刚体力学第3讲——刚体力学小结与习题课

v0
m O R
17、在半径为 R 的具有光滑竖直固定中 心轴的水平圆盘上,有一人静止站立在距 转轴为 R/2 处,人的质量是圆盘质量的 1/10,开始时盘载人相对地面以角速度 0 匀速转动,然后此人垂直圆盘Байду номын сангаас径相对于 盘以速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运 动, 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 MR2 / 2,人可视为质点,求: （1）圆盘对地的角速度。 （2）欲使圆盘对地静止,人沿着 R/2 圆周 对圆盘的速度 v 的大小及方向？
F dt P P 0
角动量定理
质点系动量定理

t
t0
M dt L L 0

其中
t
t0
P

mv
动量守恒定律 当合外力为0时
角动量守恒定律 当合外力矩为0时
L
0
P0 P
L
二 典型例题分析
解决力学问题的方法
1.确定研究对象；
2.受力分析； 3.建立坐标系或规定正向，或选择0势点； 4.确定始末两态的状态量； 5.应用定理、定律列方程求解； 6.有必要时进行讨论。
2
m ,r m
m ,r
2m
解： 2 mg T 1 2 ma
①
2
(T 1 T 2 )r (T 2 T 3 )r
1 2 1 2
T '2
T
2
mr mr
2
② ③ ④ ⑤

T
3
T '1
T 3 mg ma
T '3
T1
a r
得 a g / 4,
mg
2 mg
T
释放小球至碰撞前，小球与地球系统机械 能守恒：
mgx (1 cos )
1 2
m
2
(1)
碰撞过程中，小球与杆系统受外力对 O 轴力矩 为零，角动量守恒： 1 2 (2) m x ml
1 完全弹性碰撞前后动能相等： 2 2 m x mx ml
1 1 1 23 m ml 2 2 3
2
/2
质点系功能原理
功 和 能
W 外 W 内非 E E 0
物体系功能原理
W 外 W 内非 E E 0
其中
E mv
2
其中
/ 2 mgh
2
E mv
2
/ 2 mgh
kx
/2
kx
2
/ 2 J
2
/2
机械能守恒定律
M J

变力的功 W 功率 P dW / dt Fv cos 功 动能 E mv 2 / 2 k 和 能 质点动能定理
a
F dr
力矩的功 W Md 力矩的功率 P M 2 E k J / 2 转动动能
0
W mv
2
/ 2 mv
除保守力外其它力不作功
E0 E
物体系机械能守恒 除保守力外其它力不作功
E0 E
平动 冲量 动量
I
转动
t
P mv
t

F dt
冲量矩 角动量
t0
刚体 L J 质点 L r P
t0

t
M dt
质点动量定理 动 量

t0
F dt m v m v 0
的小球原来静止在 A 点，由于微小的扰动而向下滑动， 圆环内壁光滑， 则小球滑到 B 点与 C 点时，环的 角速度与小球相对环的速率各为多少？

A
0
R
O C
B
系统 — 小球+环 分析： 轴力和重力对轴的力矩皆为零， 即M外= 0， 此系统角动量守恒。 2 O AB： J 0 0 ( J 0 mR ) B
例1：一半径为r的圆盘，可绕一垂直于圆盘面的转轴 作定轴转动．现在由于某种原因转轴偏离了盘心O， 而在C处，如图所示．若A、B是通过CO的圆盘直径上 的两个端点，则Ａ、Ｂ两点的速率将有所不同．现在 假定圆盘转动的角速度 是已知的，而vA、vB可以通 过仪器测出，试通过这些量求出偏心距l
C B l
AB：
1 2
J 0 0 mgR
2
1 2 1
J 0 B
2
1 2 1
m ( B 球环 B 环地 ）
2 2

2
J 0 B
2
2
m ( B 球环 B R )
2 2 2
得
B 球环
2 gR
J 0 0 R
2
2 2
J 0 mR
（1）量纲 检验：
对
2 gR
J 0 0 J 0 C
1 2 J 0 mgR
2 0
C0,
1 2 J 0
2 C

1 2
m
2 C
mgR
C 2
gR ,
C 2 gR
小结
一、刚体运动小结 二、习题分析
作业：5.16、5.17 预习：第19章 复习：第5章
2 2
3
??? (3)
x 3 l /3 或小球自下落至碰撞完毕，整个过程中小球、杆、 地球系统的机械能守恒： 1 1 2 2 mgx (1 cos ) ( ml ) (3´)
(2)+(3) 解出
(1)+(2)+(3´)同样可解出
2 3
空心圆环可绕竖直轴 AC 自由转动，其转动惯量 例7： 为 J 0 . 环的半径为 R , 初始角速度为 0 . 质量为 m
v
2
2
0t t / 2
2
v0 2 a x
2
0 2
2
2
平动 平动惯性 质量m 动 力 学 牛顿第二定律
F ma
b
转动 转动惯性 转动惯量J 2 质点系 J m i ri 质量连续分布 J r 2 dm 转动定律
A R B 得 B
J 0 0 J 0 mR
2
B
0
因球获得了角动量，环转动变慢。
C
O
AC： J 0 0 J 0 C
得
C 0
系统 —“小球+环+地球” 过程中， 小球与环的一对内力垂直相对位移， 又没有摩擦和外力，故 W 外 0 ， W 内非 0 此系统机械能守恒。 （对“小球+地球”系统， 机械能是否守恒？） 取通过环心的水平面重力势能 EPB = 0。 B： v B 球地 v B 球环 v B 环地 （ v v B 环地 ） B 球环
3
11 mg / 3
例4：一轻绳绕过一定滑轮，滑 轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量 为M / 4，均匀分布在其边缘 上．绳子的A端有一质量为M的 人抓住了绳端，而在绳的另一端 B系了一质量为M/4的重物，如 图．设人从静止开始相对于绳匀 速向上爬时，绳与滑轮间无相对 滑动，求B端重物上升的加速度？ (已知滑轮对通过滑轮中心且垂 直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2 / 4 )
O
A B
解：受力分析如图 由题意 a人=aB=a
人 : Mg T
由牛顿第二定律
2
Ma
① ②
B :T1
由转动定律 :
1 4
Mg
1 4
Ma
对滑轮
:
(T 2 T 1 ) R J
1 4

M R
2
③
T
o
B
2
T1
A
Mg
附加 : a R
a
Mg
④
1 4
练习3：如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台，正
2 0
/2
刚体定轴转动动能定理 2 2 W J / 2 J 0 / 2 物体系动能定理
W 外 W内 E k E k0
质点系动能定理
W 外 W内 E k E k0
平动 其中
E k mv
2
转动 其中
/2 E k mv
2
/ 2 J
刚体力学第3讲
——刚体力学小结与习题课
主要内容
一、刚体力学小结 二、典型例题分析
一、刚体力学小结（与质点力学类比）
平动 位移
v d r / dt a d v / dt
转动 角位移 2 1 角速度 d / dt 角加速度 d / dt
0
( J 0 J 球 ) J 0 0 .
小球、环、地球系统机械能守恒 ( 选 O 处重力势能为零 )：
R
O
C
B
1 2
J 0 mgR
2 0
1 2
J 0
2

1 2
m
2
mgh
( J 0 J 球 ) J 0 0 . 1 1 1 2 2 2 J 0 0 mgR J 0 m mgh 2 2 2
C： v C 球地 v C 球环 v C 环地 v C 球环
v （2）当 0 = 0时， B 球环
对
AC： J 0 0 mg ( 2 R )
2
1
1 2
2
J 0 C
2
1 2
m C 球环
2
又 得
C 0
v C 球环 2
gR

解：小球与环的系统角动量守恒： A
o
v
M R 40
2
ME
2v 2 M R ME / 2 R


( 2 ) 若要
ME
( 21 R 0 2 v ) / 21 R
ME
0，
则要 21 R 0 2 0 ，
得 v 21 R 0 / 2
例6： 一长为 、质量为 m 的匀质细杆的一端悬于 O
( J 0 J 球 ) J 0 0 . 1 1 1 2 2 2 J 0 0 mgR J 0 m mgh 2 2 2 2 2 2 B B ( R B )
B
J 0 R2
2 0
2 gR ;
J 0 mR
2
C点： J 球 0 , h R
B点：J 球 mR
2
2
, h 0
( J 0 mR ) B J 0 0
1 2 J 0 mgR
2 0

2 B
B

2 B
J0 J 0 mR
2
0,
1 2
J 0
2 0
1 2
m

2 B

J 0 (
2) B
2 gR
m
( B 是球对地速率，以 B 表示球对环速率 )
点，可绕通过该点的水平轴自由转动。在 O 点又有 一轻绳，悬一质量也为 m 的小球。 O 当小球偏离竖直方向某一角度时， x 由静止释放，小球在 O 点正下方 与杆发生完全弹性碰撞。 问绳长 l m m 为多少时，碰后小球恰好静止。 解：设绳长为 x , 开始时绳与竖直方向 成 角； 碰撞瞬间前，小球的速度为 ； 碰撞瞬间后，杆的角速度为 .
关系
dr rd
r r2 r1
速度 加速度 切向加速度
v r
a r
a dv / dt
an r
2
法向加速度
an v / r
2
a
a a n
2
2
匀变速直线运动
v v 0 at
匀变速转动
0 t
x v 0 t at / 2
以角速度w0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯 1 量J＝ 2 mR ．台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半， 一人站于台边A处，另一人站于距台中心的B处．今A处的 人相对于圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处 的人相对于圆台以速率2v逆圆台转向沿圆周走动．求圆台
2
这时的角速度w．

R O R /2 B 2v v A
练习4：一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一 粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通 过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质 量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌 在盘边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解：取人和盘为系统，
M
外
0
.
R
R /2
系统的角动量守恒
o
v
(1 ) 开始系统的角动量为

1 1 2 m R 0 M R 0 2 2
后来：
2
m
1 4
R mE
2

1 2
M R
2
ME
mE
2
ME
mM
R /2 R
21 M R 0 / 40
O A
练习1：如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2， 且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量 为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设 开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度
r
m1
m2
练习2：一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均 匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的 重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光 1 滑．两个定滑轮的转动惯量均为 2 mr ．将由两个定 滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放， 求两滑轮之间绳内的张力