秋季数学讲座六

传递性 : a b(mod m), b c(mod m) a c(mod m).
(2)a b(mod m), c d (mod m) a c b d (mod m).
7、同余 性质: (3)a b(mod m), c d (mod m) ac bd (mod m). m (4)ca cb(mod m) (c 0) a b(mod ). (c, m) 特别地,当(c, m) 1时, ca cb(mod m) (c 0) a b(mod m).
若把上式中相同的素数合并, 即得 a p1 1 p2 2 ps s , Fra bibliotek中1 2
s n, p1 p2 ps (i 1, 2,, s), 称之为a的标准素因数分解式.
2、裴蜀( Bezout )定理 : 设 a1 , a2 , ak 是不全为零的整数, 则对整 数 n, 存在整数 y1 , y2 ,, yk , 使得 n a1 y1 a2 y2 ak yk (*) 成 立的充要条件是 (a1 , a2 ,, ak ) | n.
(2)设正整数 n 可以等于4个不同的正整数的倒数之和, 则这样 的 n的个数是 ( ). ( A)1 ( B) 2 (C )3 ( D) 4
解
1 1 1 1 设 n , 且 a b c d , a, b, c, d N . a b c d
若 a 3, 则 b 4, c 5, d 6
解
显然, 要使数列nk 取遍 X 中所有元素,
只要 n0 不是 2与5的倍数,
故初值 n0 的集合是 1,3,7,9.
(4)设 k , m, n 是整数 , 不定方程 mx ny k 有整数解的必要条件 是 ( ). ( A) m, n 都整除 k (C ) m, n, k 两两互素 ( B ) m, n的最大公因子整除 k ( D ) m, n, k 除 1外没有其他公因子
(5)若今天是星期二, 则31998 天之后是 ( ). ( A) 星期四 ( B ) 星期三 (C ) 星期二 ( D ) 星期一
解
31 3(mod 7), 34 4(mod 7), 32 2(mod 7), 35 5(mod 7), 33 6(mod 7), 36 1(mod 7),
定理 : 设 n 是正整数, p 是素数, ( p, n)满足 p n!, 则 n ( p, n) [ i ]. i 1 p

5、未知数个数多于方程个数的方程(组)称为不定方程(组). 不定方程的常用解法有 :配方法,因式分解法, 判别式法, 余数 分析法和奇偶分析法等.
自主招生复习
数学讲座六（初等数论）
主讲人: 贺才兴
自主招生考试中出现的初等数论问题主要有 : 整除问题, 高斯函数 [ x], n !的素因数分解问题, 不定方程, 同余问题, 函数方程及多项式等.
1、算术基本定理 : 设整数 a 1, 则必有 a p1 p2 pn , 其中 pi (1 i n) 是素数. 若不计次序, 则上式是唯一的.
故 (7 2004 36)818 的个位数是 9.
(5)有一个整数的首位是 7,当7 换至末位时, 得到的数是原数 的三分之一, 则原数的最小值是 7 1027 . _______
解
26 20
设原数为n 1位数, 首位为7, 后面各位形成数 x, 则 7 10n x 3(10 x 7) 29 x 7(10n 3). mod 29 :102 13, 103 14,104 24, 105 8, 106 22, 107 17, 108 25, 109 18, 1010 6, 1011 2, 1012 20, 1013 26, 1014 28, 1015 19, 1016 16, 1017 15, 1018 5, 1019 21, 1020 7, 1021 12, 1022 4, 1023 11, 1024 23, 7 25 26 27 10 27, 10 9, 10 3, n 27, x (1027 3), 29 27 26 10 3 27 27 7 10 . 故原数的最小值是 7 10 7 20 29
解
设 (m, n) d m ad , n bd (其中(a, b) 1),
则(ax by)d k , 故必有 d | k .
另外, 由 Bezout 定理, x0 , y0 Z , 使得 ax0 by0 1,
k k 故只要取 x x0 , y y0 即可. d d
2、裴蜀( Bezout )定理 : 特别地, (*)式对 n 1成立的充要条件是 (a1 , a2 ,, ak ) 1, 即
a2 , , ak 互素, 符号(a1 , a2 ,, ak )指a1 , a2 ,, ak的最大公约数.
3、高斯函数问题 设 x 是实数, [ x]表示不超过 x的最大整数, 称为 x的整数部
[ x] x (5)对正整数 m 有[ ] [ ]; m m (6)不小于 x的最小整数是 [ x];
(7)小于 x的最大整数是 [ x] 1; (8)大于 x的最小整数是 [ x] 1.
4、n!的素因数分解式 设 k 是非负整数, 记号 a k b 表示 b 恰被 a的 k 次方整除, 即 a k | b.
(3)设 X 0,1, 2,,9 , 定义在 X 上的运算 如下 : 对任意 m, n X , m n 等于 m n除以10的余数. 给定初值 n0 X , 记 n1 n0 素的初值 n0 的集合是 ( ). ( A)空集 ( B) X n0 , nk nk 1 n0 , k 1, 2,, 则使得数列nk 取遍 X 中所有元 (C ) 1,3,9 ( D) 1,3,7,9
6、一次不定方程 设 k 2, k , c, ai Z 且 ai 均非零 , xi 是整数变量, i 1, 2,, k ,
则方程 a1 x1 a2 x2 ak xk c 称为k 元一次不定方程.
6、一次不定方程 定理 : k 元一次不定方程有解的充要条件是 (a1 , a2 ,, ak ) | c.
3
m 538, n 461, 故 xyzabc 538461.
9 (4)(7 2004 36)818 的个位数是 _____ .
解
7 2004 (10 3) 2004 (3) 2004
91002 (1)1002 1(mod10),
(7 2004 36)818 (1 36)818 (40 3)818 (3)818 9409 (1) 409 1 9(mod10),
(6 103 7,7 103 6) (6 103 7,103 1) (13,103 1)
(13,1001) 13,
7 103 6 6 10 7 538 m 13 461 n 13 538, 461, 13 13
积, 则2012!的值的尾部(从个位往前数 )连续的0的个数是 ( ). ( A)504 ( B)503 (C )502 ( D)501
解
将 2012!进行标准素因数分解, 设 2012! 2 3 5 , 则 2012!的值的尾部连续的0的个数是由 和 决定的. 显然 , 0的个数最终由 确定. n 根据 n !的素因数分解, 若 p n !, 则 [ i ], i 1 p 故所求的尾部连续的0的个数是 2012 2012 2012 2012 [ ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 402 80 16 3 501. 5 5 5 5
故 100!末尾有 24个 0.
解
1 1 1 (2)方程 1的所有正整数解 ( x, y, z )为 (2,3,6),(2, .4, 4), _______ x y z (3,3,3)或其交换
不妨设 x y z, 则 x 2. 1 1 1 若 x 2, 则 当 y 3时, z 6; y z 2 当 y 4时, z 4; 1 1 2 1 当 y 5时, , 矛盾. y z 5 2 1 1 1 1 1 1 若 x 3, 则 1 只有 x y z 3. x y z 3 3 3
7、同余 设 m 0, 若 m | a b, 即 a b km, 则称 a同余于 b 模 m, b 是 a
对模 m的剩余, 记为a b(mod m); 否则, 称 a不同余于 b 模 m, b不是 a 对模 m的剩余, 记为a b(mod m).
性质: (1) 自反性 : a a(mod m); 对称性 : a b(mod m) b a(mod m);
8、多项式
余数定理 :多项式 f ( x)除以 ( x a)的余数为 f (a).
因式定理 : f (a) 0 (即 x a 是方程 （x） 0的根 )的充要条件 f 是 ( x a) 是多项式 f ( x)的因式.
1、选择题 (1)记 2012! 1 2 2012为从1到2012 之间所有整数的连乘
1 1 1 1 1 1 1 1 19 1, a b c d 3 4 5 6 20 0 a 3 a 1 或 2.
(2)设正整数 n 可以等于4个不同的正整数的倒数之和, 则这样 的 n的个数是 ( ). ( A)1 ( B) 2 (C )3 ( D) 4
综上, ( x, y, z ) (2,3,6),(2, 4, 4),(3,3,3) 或其交换.
538461 (3)已知 6 xyzabc 7 abcxyz, 则 xyzabc _______ .