2013高中新课程数学(苏教版必修四) 第二课时角的概念的推广(二)教案

合集下载

高中数学必修四(北师大版)第一章学案角的概念的推广

【导学案】角的概念的推广一、学习目标:1.通过本节的学习，理解角的概念推广的必要性并在学习过程中体会类比、数形结合等思想方法；2、学会建立直角坐标系来讨论任意角，了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示；3、能判定正角、负角和零角，掌握终边相同的角的表示。

二、学习重点：正角、负角和零角和象限角的定义，终边相同角的表示方法及判断。

三、学习难点: 把终边相同的角用集合和符号语言表示出来。

四、自主学习（一）复习回顾下列问题：1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围如何？2、举例说明实际生活中是否有超出初中所学的范围的角？（二）新课学习（认真阅读教材P6-P8思考回答下列问题）1.角的概念：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角.2. 象限角我们常在内讨论角。

为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合。

那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

试一试：画出45-︒及405︒.3.轴线角如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。

4、与α有相同始边和终边的角可以表示为五、课中探究：探究1在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

000000---30, 150,60, 390,390,120探究2 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？探究3720720 在之间，写出与60角终边相同的角的集合S.o o o :探究4 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用0360o o :的角表示）【达标检测】1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 2 、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．3、下列命题中正确的是( )A.第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等4、以原点为角的顶点，x 轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于延伸拓展：写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）学习总结：你收获了什么？你还有什么困惑。

(北师大版)高中数学必修四：1.2《角的概念的推广》教案设计

§2 角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教法: 类比探究交流法。

四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

[高中数学必修4]第一章基本初等函数(Ⅱ)

集合 S 的每一个元素都与α 的终边相同，当 k=0 时，对应元素为α . 终边相同的角有无数个，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，并且它们相差 360°的整数倍. （5）象限角在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重合. 这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角，如果终边在坐标轴上，那么这个角叫做轴线角，并且认为这个角不属于任何象限. 第一象限角：k²360°＜α ＜k²360°+90°，k∈Z；
22
２
必修四
用公式α =l求圆心角时，应注意其结果是圆心角的弧度数.这个公式在物理学上计算角
r
速度时经常用到，因此要熟练掌握它及其变形后的另外两种形式：l=α ²r 和 r= l（α ≠0）.
α
运用这两个变形公式时，如果已知的角以度为单位，则应先把它化成弧度后再计算.可以
看出，这些公式各有各的用处.
切线上，其位置不随的变化而变化；从图中可以看出，当的终边在 y 轴上时，角的
正切不存在；我们规定三角函数线的正方向与 x 轴（或 y 轴）正方向相同.
3. 同角三角函数的基本关系式
（1）基本关系
平方关系： sin2 cos2 1. 商数关系： sin tan .
cos 公式变形： cos tan sin；sin cos .
2
减区间是
(
2k , 3
2k )(k
Z)
.
2
2
８
必修四
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T ) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小

高中数学——角概念的推广与弧度制(教案)

角概念的推广与弧度制【知识导图】知识讲解知识点1 角的有关概念1、从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.2、从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.3、若β与α是终边相同的角，则β用α表示为()2k k Z βπα=+∈.知识点2 角度与弧度1、弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是l rα=. 3．角度与弧度的换算①1180rad π︒=；②1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭. 4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，则l r α=，扇形的面积为21122S lr r α==. [易错提醒]角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180rad π︒=进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.知识点3 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么sin y α=，cos x α=，y tan xα=角的概念与弧度制任意角角的概念的推广角的分类终边相同的角弧度制定义弧度制与扇形任意角的三角函数三角函数的定义三角函数的符号三角函数线2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()1,0. [方法技巧]三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.知识点4 三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos sin αα，，即()P cos sin αα，，其中cos OM α=，sin MP α=，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余例题讲解【例题1】与263-︒角终边相同的角的集合是（）A ． {α|α=k ⋅360°+250°,k ∈Z }B ． {α|α=k ⋅360°+197°,k ∈Z }C ． {α|α=k ⋅360°+63°,k ∈Z }D ． {α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z } 【答案】D当α终边相同的角与α相差360°的整数倍，所以，与−263°角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z }，故选D ．【例题2】9°=（）A ． π36 B ． π20 C ． π10 D ． π9 【答案】B由角度制与弧度制的转化公式可知：9∘=9180π=π20.本题选择B 选项.【例题3】已知0240的圆心角所对的弧长为8m π，则这个扇形的面积为_______2m . 【答案】24π04240π3=弧度．设扇形所在圆的半径为r ，由题意得483r ππ=⋅，解得6r =．所以扇形的面积为186242S ππ=⨯⨯=．【例题4】如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB =2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ．若CD 的长为a ，则ACB 与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积为______________.【答案】(4π3−√3)a 2设扇形的半径为r ，则在△OAD 中，OA =r,OD =r −a,∠OAD =π6， ∴OD =OA ∙sin π6，即r −a =r2，解得r =2a ．∴扇形面积为S 扇形OAB =13×π×(2a)2=4π3a 2，又S △OAB =12∙AB ∙OD =12×2√3a ×a =√3a 2， ∴S 弓形ACB =S 扇形OAB −S △OAB =(4π3−√3)a 2【例题5】不等式sin x ≥____________________．【答案】2|22, 33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】233sinsin ππ== ∴结合正弦函数的图象及正弦函数的性质可得不等式2sinx ≥的解集为2{|22}33x k x k k Z ππππ+≤≤+∈，课堂练习【基础】1. 下列各个说法正确的是（）A ．终边相同的角都相等B ．钝角是第二象限的角C ．第一象限的角是锐角D ．第四象限的角是负角【答案】B对于选项A ，与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k ∈Z}，故终边相同的角相差2π的整数倍数，所以终边相同的角都相等不对，故选项A 不对；对于选项B ，第二象限角的集合为{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z} ，当k =1时，集合为{α|π2<α<π} ，即为钝角的范围.所以选项B 正确.对于选项C ，π4+2π是第一象限角，但其不是锐角，故选项C 错误；对于选项D ，7π4是第四象限角，但不是负角，故选项D 错误. 故选B .2.256π-是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】D 由题意得25466πππ-=--， ∴256π-的终边和角6π-的终边相同， ∴256π-是第四象限角．故选D ．3. 设集合180452|k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，180454|k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，那么( ) A ． M N = B ． N M ⊆ C ． M N ⊆ D ． M N ⋂=∅ 【答案】C由题意可得，(){}18045||2145,2k M x x k Z x x k k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭，即M 为45°的奇数倍构成的集合，又(){}18045|145,4|k N x x k Z x x k k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭，，即N 为45°的整数倍构成的集合，M N ⊆，故选：C ．【巩固】4.已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角α等于_________ 【答案】2设扇形的半径为r ，则周长为24r r α+=， ∴面积为()22221142211122S r r r r r r α⎛⎫==-=-=--+≤ ⎪⎝⎭扇形，当且仅当1r =时取等号，此时2α=．故答案为：2．5.已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=__________．【答案】25.∵m <0，∴r =√(4m)2+(−3m)2=−5m ， ∴sinα=y r =−3m −5m=35，cosα=4m −5m=−45，∴2sinα+cosα=2×35−45=25．6.利用三角函数线，sinx ≤12的解集为___________．【答案】()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭如图，作出满足12sinx =的角的正弦线11M P 和22M P ，226M OP π∠=，1156M OP π∠=．当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，因此，满足12sinx ≤的解集为()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．【拔高】7. 设α为第四象限角，其终边上的一个点是(,P x ，且cos 4x α＝，求sin α和tan α．【答案】sin α-＝tan α-＝利用余弦函数的定义求得x ，再利用正弦函数的定义即可求得sin α的值与tan α的值．∵α为第四象限角，∴0x >，∴r =，∴cos 4x x r α==＝，∴x =r sin y r α==＝，tan y x α==＝． 8. 扇形MON 的周长为16cm .（1）若这个扇形的面积为12cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长MN . 【答案】(1)23或6；(2)答案见解析.设扇形MON 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，（1）由题意可得{2r +l =1612lr =12 解得{r =6l =4 或{r =2l =12∵α＝l r ∴α＝23或6. （2）∵2r ＋l ＝16∴S 扇＝12l ·r ＝12(16−2r)r =12(16−2r)r =−r 2+8r,r ∈(0,8)， ∴当r ＝4时，l =8，α＝lr =2时，弦长MN ＝4sin 1×2＝8sin 1.小结1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．课后练习【基础】1. 将67o 30′化为弧度为____________. 【答案】3π8 ∵67o 30′=67.5o ， ∴67o 30′=67.5×π180=3π8．2. 已知扇形的半径为4cm ，圆心角为π4，则扇形面积为_________cm 2. 【答案】2π∵扇形的半径为4cm ，圆心角为π4， ∴弧长l =4×π4=π,∴这条弧所在的扇形面积为S =12×π×4=2πm 2，故答案为2π. 3. 已知角θ的终边上一点()()3,40a P a a ≠，则sin θ=________. 【答案】45sin θ=±. 3x a =，4y a =，5r a ∴==.此处在求解时，常犯5r a =的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a 进行讨论. (1)当0a >时，5r a =，455y sin θ∴==. (2)当0a <时，5r a =-，455y sin θ∴==- ∴45sin θ=±. 【巩固】4.下列判断正确的是__________．（填序号） ①sin3080>0；②cos(−3100)<0；③cos(−43π6)>0；④sin212<0.【答案】④由题意结合诱导公式可得：sin308∘=sin (360∘−52∘)=−sin52∘<0，①错误； cos (−310∘)=cos (50∘−360∘)=cos50∘>0，②错误； cos (−436π)=cos (56π−8π)=cos 56π<0，③错误；212∈(3π,72π)，则sin 212<0，④正确；综上可得判断正确的序号为④.5.已知角α的终边经过P (1,2),则tanα⋅cosα等于__________ 【答案】2√55角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α终边经过点P (1,2)，则x =1，y =2，r =|OP |=√5，∴sinα=y r=√5=x r=√5则tan α⋅cos α=sinαcosα⋅cos α=√5=2√55.即答案为2√55. 6.若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积【答案】⎝⎛⎭⎫2π3－3 设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ， S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝⎛⎭⎫2π3－3(cm 2)．【拔高】7.已知α是第三象限角，求2α所在的象限【答案】当α是第三象限角时，2α是第二或第四象限角322()2k k k Z ππαππ+<<+∈，32()24k k k Z παπππ∴+<<+∈．当()2k n n Z =∈时，322224n n παπππ+<<+，2α是第二象限角，当21()k n n Z =+∈时，3722224n n παπππ+<<+，2α是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，2α是第二或第四象限角． 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA,OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．【答案】12−1π如图，设两个半圆的交点为C ，且以AO 为直径的半圆以D 为圆心，连结OC 、CD ，设OA =OB =2，则弓形OMC 的面积为S 弓形OMC =S 扇形OCD −S Rt∆DCO =14⋅π⋅12−12×1×1=π4−12，可得空白部分面积为S 空白=2S 半圆AO −2S 弓形OMC =2×12⋅π⋅12−(π2−1)=π2+1，因此，两块阴影部分面积之和S 阴影=S 扇形OAB −S 空白=14π⋅22−(π2+1)=π2−1可得在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P =S 阴影S 扇形AOB=π2−1π=12−1π，故答案为：12−1π. 9.xtan x 有意义？【答案】()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛⎤+⋃++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦sin 0x ≥所以x 在y 轴上半轴，又因为tan x 有意义2x k ππ≠+所以易求得x 的范围()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛⎤+⋃++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦。

苏教版高中数学必修四《二倍角的三角函数》教案2

二倍角的三角函数教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ当α＝β时，tan2α＝2tanα1－tan2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠π2 ＋kπ及α≠π4 ＋k π2 (k ∈Z )时才成立，否则不成立(因为当α＝π2 ＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在；当α＝π4 ＋k π2 ，k ∈Z 时tan2α的值不存在).当α＝π2 ＋kπ(k ∈Z )时,虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2(π2 ＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin π3 ＝32≠2sin π6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 α2 的2倍，将 α2 作为 α4 的2倍，将3α作为 3α2的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－（513 ）2 ＝－1213∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513 ×(－1213 )＝－120169 ，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(513 )2＝119169 ，tan2α＝sin2αcos2α ＝－120169 ×169119 ＝－120119 .练习题：1.已知cos α＝m ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵cos α＝m ，α在第二象限.∴sin α＝1－cos 2α ＝1－m 2∴sin2α＝2sin αcos α＝21－m 2 ·m ＝2m 1－m 2cos2α＝2cos 2α－1＝2m 2－1tan2α＝sin2αcos2α ＝2m 1－m 2 2m 2－1或由tan α＝sin αcos α ＝1－m 2 mtan2α＝2tan α1－tan 2α ＝2m 1－m 2 2m 2－12.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ＝1＋cos[2(θ＋15°)]2 ＋1＋cos[2(θ－15°)]2 －32cos2θ＝1＋12 ［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－32cos2θ＝1＋12 ［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－32cos2θ＝1＋12 ×2cos2θcos30°－32cos2θ ＝1＋32cos2θ－32cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：sin 2α＝1－cos2α2 ，cos 2α＝1＋cos2α2 ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.［例2］若270°＜α＜360°，化简：12 ＋12 12 ＋12 cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1，cos α＝2cos 2α2 －1 ∴12 ＋12 12 ＋12 cos2α＝12 ＋12 12 ＋12 （2cos 2α－1）＝12 ＋12 cos 2α 又∵270°＜α＜360° 135°＜α2 ＜180°∴原式＝12 ＋12 cos α ＝12 ＋12 （2cos 2α2 －1）＝cos 2α2 ＝－cos α2［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°∴原式＝12 cos80°cos40°cos20°＝12 ×cos80°cos40°cos20°sin20°sin20° ＝12 ×cos80°cos40°sin40°×12 sin20°＝12 ×cos80°sin80°×12 ×12 sin20° ＝12 ×sin160°×12 ×12 ×12 sin20° ＝116［例4］求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8(cos 2θ)2＝8(1＋cos2θ2 )2＝2(cos 22θ＋2cos2θ＋1) ＝2(1＋cos4θ2)＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 Ⅲ.课堂练习课本1、2、3、4.Ⅳ.课时小结理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业课本习题 1、2、3、4。

高中数学必修四1.2_角的概念的推广教案北师大版Word版

2.过程与方法：
通过学生观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法。
3.情感、态度与价值观：
通过本节的学习，使学生对角的概念有一个新的认识并让学生在学习过程中体会类比、数形结合等思想方法，激发学生学习数学积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力，为今后的学习奠定良好的基础。
4.终边相同的角的集合表示方法，应当包括两种基本情况：
（1）象限角
（2）终边落在x轴和y轴上的角
二、学情分析
学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S=﹛β|β=α﹢k·360°，k∈Z﹜的含义.如果借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边的位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义.
1.角的概念的推广
（1）旋转形成“角”
一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角 .旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.
（2）“正角”“负角”与“零角”
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角.(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)。
2跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？
3工人师傅在拧紧或宁松螺丝时，扳手转动的角度如何表示才比较合适？
4你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表块了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当调整准确后，分针转过了多少度角？

(新课程)2013高中数学第1章《三角函数》教案苏教版必修4

本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式（一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = ③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的X 围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式；三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z ) x ≠k π(k ∈Z ) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间[2k π－2π,2k π+2π]上都是增函数在区间[2k π+2π，2k π+23π]上都是减函数在区间[2k π－2k π]上都是增函数在区间[2k π，2k π+π]上都是减函数在每一个开区间 (k π－2π, k π+2π) 内都是增函数在每一个开区间（k π,k π+π）内都是减函数周期 T=2πT=2π T=πT=π 对称轴 2ππ+=k xπk x =无无对称中心()0,πk⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于.（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为.（3）sin (176-π)的值为.2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. 例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--；（2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为. （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-；（ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-. 3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合. 例5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为.（2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为.练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值X 围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为.练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为，其中在－2π～2π间的角有. （2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角? 5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是.练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到. 6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+.（i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 . （2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为.（3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为.（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y =2所围成的封闭图形的面积为. （5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据： t （时） 03691215182124y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 .（3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++.下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。

高中数学北师大版必修4 1.2 教学设计《角的概念的推广》(数学北师大高中必修4)

《角的概念的推广》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节内容从角大于周角的非负角开始扩充到任意角，使有正角、负角、零角之分。

在平面直角坐标系建立适当的坐标系，根据角的终边在哪一个象限，把角划分为四个象限角和特殊角若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。

再由特殊到一般进行归纳总结。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

【过程与方法目标】类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

【情感态度价值观目标】通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

◆教学重难点【教学重点】理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

【教学难点】把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

◆课前准备多媒体课件◆教学过程一、情境导学同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

必修四三角函数知识点

必修四三角函数知识点三角函数是数学中一个重要的分支，在必修四的课程中，我们对三角函数进行了较为深入的学习。

下面就让我们一起来梳理一下这部分的重要知识点。

一、角的概念的推广1、正角、负角和零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

2、象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

3、终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z。

二、弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。

2、弧度与角度的换算180°＝π rad ， 1°＝π/180 rad ， 1 rad ＝（180/π）°3、扇形的弧长公式和面积公式弧长公式：l ＝｜α|r （α为圆心角的弧度数，r 为半径）面积公式：S ＝ 1/2 lr 或 S ＝ 1/2 ｜α|r²三、任意角的三角函数1、定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝√（x²＋y²) ，那么：正弦函数：sinα ＝ y/r余弦函数：cosα ＝ x/r正切函数：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）2、三角函数值在各象限的符号正弦函数在一、二象限为正，在三、四象限为负；余弦函数在一、四象限为正，在二、三象限为负；正切函数在一、三象限为正，在二、四象限为负。

3、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα （cosα ≠ 0）四、诱导公式1、公式一sin(2kπ ＋α) ＝sinα ，cos(2kπ ＋α) ＝cosα ，tan(2kπ ＋α) ＝tanα （k∈Z）2、公式二sin(π ＋α) ＝sinα ，cos(π ＋α)＝cosα ，tan(π ＋α) ＝tanα3、公式三sin(α) ＝sinα ，cos(α) ＝cosα ，tan(α) ＝tanα4、公式四sin(π α) ＝sinα ，cos(π α) ＝cosα ，tan(π α) ＝tanα5、公式五sin(π/2 α) ＝cosα ，cos(π/2 α) ＝sinα6、公式六sin(π/2 ＋α) ＝cosα ，cos(π/2 ＋α) ＝sinα诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，从而进行求值和化简。

高中数学必修4教案：1.2角的概念的推广

§2 角的概念的推广教学目标1.知识与技能（1）通过实例，使学生理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向，能判定正角、负角和零角；（2）学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。

2.过程与方法通过学生观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会有特殊到一般的数学思维方法。

3.情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物，激发学生学习的积极性和分析、探求问题的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教材分析初中学生学习的是角的静态定义，研究的范围有限。

本节将在此基础上利用运动旋转来重新定义角，并把角的概念扩展到任意角，有正角、负角及零角之分，这在数学认识上是一个飞跃。

为了突出本节的重点及突破本节的难点，主要从“形”到“数”或从“数”到“形”两个方面去研究。

本节的重要概念之一是象限角。

研究角的方法是把角放在平面直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

象限角不包含终边在坐标轴上的角。

终边相同的角的集合表示法是本节的难点，也是学好本章的最主要的基本技能。

终边相同的角的集合的表示方法，应当包含两种基本情况：（1）象限角；（2）终边落在x轴和y轴上的角。

教学重点了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角和终边相同的角的概念，初步学会终边相同角的表示方法。

教学难点终边相同的角的集合的表示方法。

教学方法与手段在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念, 启发探究，把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转，讲练结合，掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

苏教版高中数学必修四任意角教案(2)(1)

第 1 课时：§1.1.1 任意角【三维目标】：一、知识与技能1. 使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；2.能在00到0360范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合二、过程与方法1.通过创设情境，类比初中所学的角的概念，从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；2.通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；3.讲解例题，总结方法，巩固练习.三、情感、态度与价值观1. 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分。

角的概念推广以后，知道角之间的关系.2.理解掌握终边相同角的表示方法，树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，学会运用运动变化的观点认识事物，并由此深刻理解推广后的角的概念.【教学重点、难点与关键】：重点：任意角的概念难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来；关键：理解终边相同的角的意义【学法与教学用具】：1.学法：在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念，把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示，以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、三角板、圆规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角。

利用这些角，我们已能表示圆周上某些点P 。

但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的。

最新人教版高中数学必修4第一章《角的概念的推广》示范教案

示范教案整体设计教学分析教材分三段编写，首先复习初中学过的角的概念，然后设置“观览车”问题情境，推广角的概念，最后研究象限角的性质及表达式．这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念．让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念的推广问题．本节充分结合角和平面直角坐标系的关系，建立了象限角的概念，使得任意角的讨论有一个统一的载体．教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题，让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角．能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，是本节的一个重要任务．学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的含义．如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义．与以往教材不同的是，把旋转的合成与角度的加法运算对应起来，使数与形紧密结合，以加深学生对角度运算的直观认识．书中通过4个例题，要求学生能熟练地掌握旋转与角度的加法运算关系象限角的概念、象限角和终边落在坐标轴上的角的代数表示．要求练习A、B组习题全做，但B组5题为扩展题，可让学生选做．三维目标1．通过实例的展示，使学生理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念．2．通过自主探究、合作学习，认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍．3．通过类比正、负数的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础．重点难点教学重点：将0°～360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合．教学难点：用集合来表示终边相同的角．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品．由此提问：指针怎样旋转，旋转多少度才能赢？还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度；自行车车轮旋转的角度；螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释？在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广．图1思路2.在日常生活中，只要我们用心去观察，又勤于思考，就会发现许多与数学有关的事情．游乐园是人们爱去的地方，各种神奇的游戏器械吸引着人们去玩耍，那高大的观览车绕轴转动着，边缘上悬挂的座椅，带着游人在空中旋转，给游人带来乐趣！你想过吗？图2从你的座位开始转动的时刻到某个时刻，你的座位转了多少角度？由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题．推进新课新知探究提出问题(1)你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？(2)体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度？(3)请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度？活动：让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程；让学生站立原地做转体动作．教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向．对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边．我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.讨论结果：(1)顺时针方向旋转了30°；逆时针方向旋转了450°.(2)顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.(3)－180°或＋180°或－540°或＋540°或900°……提出问题(1)能否以同一条射线为始边作出下列角：210°，－45°，45°，－315°，124°，405°.(2)如何在坐标系中作出这些角，象限角是什么意思？0°角又是什么意思？活动：先让学生看书、思考、并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路．学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角．教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象．今后我们通常在平面直角坐标系中研究和讨论角．平面内任意一个角都可以通过移动使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．讨论结果：(1)能．如图3中的(1)、(2)．图3(2)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．这样：上图(1)中的45°，－315°，405°角都是第一象限角．(2)中的124°角是第二象限的角，210°角是第三象限的角，－45°角是第四象限的角．特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角．可以借此进一步设问：锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？提出问题(1)在直角坐标系中标出210°，－150°的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328°，－32°，－392°角的终边及数量关系是怎样的？终边相同的角有什么关系？(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来？活动：让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示：演示象限角、终边相同的角，并及时地引导终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备．为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成－32°角后提问学生这是第几象限角？是多少度角？讨论结果：(1)210°与－150°角的终边相同；328°，－32°，－392°角的终边相同．终边相同的角相差360°的整数倍．设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}，则328°，－392°角都是S的元素，－32°角也是S 的元素(此时k＝0)．因此，所有与－32°角的终边相同的角，连同－32°在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任何一个元素与－32°角终边相同．(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．适时引导学生认识：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．应用示例例1射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD的大小．活动：这是本节教材安排的例1，目的在于巩固刚推广的正、负角概念，教师不要讲解，由学生自己探究完成，对有困难的学生，教师可给予适当的点拨．解：由题意知∠AOB＝－80°，∠BOC＝250°，∠COD＝－270°，因此∠AOD＝∠AOB ＋∠BOC＋∠COD＝－80°＋250°－270°＝－100°.点评：在学生独立完成的基础上，教师引导学生进一步通过作图来验证运算结果．例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角；(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′，它是第二象限的角．例3写出终边在x轴上的角的集合．活动：终边落在x轴上，应分x轴的正方向与x轴的负方向两个．学生很容易分别写出所有与0°，180°的终边相同的角构成的集合，这时应启发引导学生进一步思考：能否化简这两个式子，用一个式子表示出来．让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来．并强调数学的简洁性．在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式．解：在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}．因为{m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，即集合S是终边在x轴上的角的集合．点评：本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合例4分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.解：(1)S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是(－1)×360°＋60°＝－300°，0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.(2)S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是0×360°－21°＝－21°，1×360°－21°＝339°，2×360°－21°＝699°.(3)S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是(－2)×360°＋363°14′＝－356°46′，(－1)×360°＋363°14′＝3°14′，0×360°＋363°14′＝363°14′.点评：本例是让学生用集合表示出终边相同角，这是本节的重点，也是难点，接着找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法.图4{β|β＝225°＋k·360°，k∈的元素是：例5写出在下列象限的角的集合：(1)第一象限；(2)第二象限；(3)第三象限；(4)第四象限．活动：本题关键是写出第一象限的角的集合，其他象限的角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把(1)中的范围写成0°～90°，可引导学生分析360°～450°范围的角是不是第一象限的角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角．解：(1)终边在第一象限的角的集合：{β|n·360°<β<n·360°＋90°，n∈Z}．(2)终边在第二象限的角的集合：{β|n·360°＋90°<β<n·360°＋180°，n∈Z}．(3)终边在第三象限的角的集合：{β|n·360°＋180°<β<n·360°＋270°，n∈Z}．(4)终边在第四象限的角的集合：{β|n·360°＋270°<β<n·360°＋360°，n∈Z}．点评：教师给出以上解答后可进一步提问：以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同角的意义．课堂小结本节课推广了角的概念；学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法；零角是射线没有作任何旋转．一个角是第几象限的角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}；(2)在0°～360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k，余数为α(α必须是正数)，α即为所找的角．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业课本本节练习B 1、2、3、4.设计感想1．本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好．教师可充分利用多媒体，在课堂上演示给学生，有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法．2．本节课设计的指导思想是加强教学的直观性，充分利用几何直观有利于对抽象概念的理解．在学生得出象限角的概念后，可以让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处，引导学生体会：在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础．3．几点说明：(1)列举不在0°～360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动．(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟．(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习．备课资料备用习题1．若角α与β终边相同，则一定有()A．α＋β＝180°B．α＋β＝0°C．α－β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝k·360°(k∈Z)2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于() A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}3．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k·360°(k ∈Z )4．已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)范围内终边与θ3角的终边相同的角是__________．5．若集合A ＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k·360°＋315°<β<k·360°＋405°，k ∈Z }，求A ∩B.参考答案：1．C 2.C3．D 点拨：将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后，知α±90°与角β的终边重合．4．56°，176°，296° 点拨：根据已知条件有θ＝k·360°＋168°，k ∈Z ，θ3＝k·120°＋56°，k ∈Z .又0≤k·120°＋56°<360°，满足条件的k 为0,1,2.5．解：B ＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k ∈Z }．采用数形结合法，在直角坐标系内，分别寻找集合A 和集合B 中的角的终边所在的区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A ∩B ，可以求得A ∩B ＝{x|30°＋k·360°<x<45°＋k·360°，k ∈Z }．。

(新课程)2013高中数学第二课时角的概念的推广教案(2) 苏教版必修4

第二课时角的概念的推广(二)教学目标：熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.教学重点：轴线角的集合，终边相同的角的表示方法教学难点：终边相同的角的表示方法教学过程：Ⅰ.复习回顾请思考并回答以下问题：1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.Ⅱ.例题分析［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}第三步：写出几个集合的并集，即S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)· 180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}.以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤720°的元素β写出来：(1)60°（2）－21°（3）363°14′第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：（1）S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}(3)S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:(1)－300°，60°，420°(2)－21°，339°，699°(3)－356°46′，3°14′，363°14′题目中的k 值是靠观测、试探确定的，即赋给k 一个任意值m 试一试，看是否满足条件，再将m 增1或减1再试，直至找到合适的k 的最小值（或最大值）.［例3］若α是第三象限角，试求α2 、α3的范围. 分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定α2 、α3 的范围，再进一步判断α2 、α3 所在的象限.解：∵α是第三象限角∴k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z )(1)k ·180°+90°＜α2＜k ·180°+135°(k ∈Z ) 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°+90°＜α2＜n ·360°+135° 当k ＝2n +1(n ∈Z )时，n ·360°+270°＜α2＜n ·360°+315° ∴α2 为第二或第四象限角.(2)k ·120°+60°＜α3＜k ·120°+90°(k ∈Z ) 当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°+60°＜α3＜n ·360°+90°(n ∈Z ) 当k ＝3n +1(n ∈Z )时，n ·360°+180°＜α3＜n ·360°+210°（n ∈Z ) 当k ＝3n +2(n ∈Z )时，n ·360°+300°＜α3＜n ·360°+330°(n ∈Z ) ∴α3 为第一或第三或第四象限角.Ⅲ.课堂练习P 7练习5Ⅳ.课时小结本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.Ⅴ.课后作业（一）P 10习题 4、11、12.（二）1.预习内容课本P 7~P 8弧度制2.预习提纲弄清楚下列问题：(1)弧度的单位符号(2)1弧度的角的定义(3)弧度制的定义(4)角度与弧度的换算公式角的概念的推广(二)1．若α是第四象限角，则180°－α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2．设k ∈Z ，下列终边相同的角是（）A.（2k +1)·180°与（4k ±1)·180°B.k ·90°与k ·180°+90°C.k ·180°+30°与k ·360°±30°D.k ·180°+60°与k ·60°3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.以上都不对4．终边与坐标轴重合的角α的集合是（）A.{α|α＝k ·360°，k ∈Z}B.{α|α＝k ·180°+90°，k ∈Z}C.{α|α＝k ·180°，k ∈Z}D.{α|α＝k ·90°，k ∈Z}5．若角α与β终边重合，则有（）A.α－β＝180°B.α+β＝0C.α－β＝k ·360°（k ∈Z ）D.α+β＝k ·360°（k ∈Z ）6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了度，分针转了度.7．若角α是第三象限角，则α2角的终边在，2α角的终边在 . 8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.9．如果角α的终边经过点M （1， 3 ），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.角的概念的推广(二)答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．2.5 307．第二或第四象限第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.解：由题意得6α＝30°＋k ·360°(k ∈Z )∴α＝5°＋k ·60°∵－180°＜α＜180°∴－180°＜5°＋k ·60°＜180°，－185°＜k ·60°＜175°∴－3712 ＜k ＜3512∵k 是整数， ∴k ＝－3，－2，－1，0，1，2.分别代入α＝5°＋k ·60°，得满足条件的α的集合为：{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}9．如果角α的终边经过点M （1， 3 ），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.∴A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）绝对值最小的角为60°（当k＝0时）10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.由7θ＝θ＋k·360°，得θ＝k·60°（k∈Z）∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°。

苏教版高中数学必修四任意角教案(2)

1.1.2 任意角（2）一、课题：任意角（2）二、教学目标：1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；2．会写出某个区间上角的集合。

三、教学重、难点：区间角的表示。

四、教学过程：（一）复习：1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。

2．与角α同终边的角的集合S 表示。

3．练习：把下列各角写成360(0360)k αα⋅+≤<o o 的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。

（1）135-o ；（2）1110o ；（3）540-o ．（答案）（1）135360225,-=-+o o o 第三象限角。

（2）1110336030=⋅+o o o，第一象限角。

（3）540(2)360180-=-⋅+o o o ，终边在x 轴非正半轴。

（二）新课讲解：1．轴线角的集合表示例1：写出终边在y 轴上的角的集合。

分析：（1）0o 到360o 的角落在y 轴上的有90,270o o ；（2）与90,270o o 终边分别相同的角的集合为：{}{}{}{}12|90360,|902180,|270360,|90(21)180,S k k Z k k Z S k k Z k k Z ββββββββ==+⋅∈==+⋅∈==+⋅∈==++⋅∈o o o o o o o o（3）所有终边在y 轴上的角的集合就是1S 和2S 并集：12S S S =U {}{}|902180,|270(21)180,k k Z k k Z ββββ==+⋅∈=++⋅∈o oo o U {}|90180,n n Z ββ==+⋅∈o o ．拓展：（1）终边在x 轴线的角的集合怎么表示？ {}|180,S n n Z ββ==⋅∈o ；（2）所有轴线角的集合怎么表示？ {}|90,S n n Z ββ==⋅∈o ；（3）相对于轴线角的集合，象限角的集合怎么表示？ {}|90,P n n Z ββ=≠⋅∈o．提问：第一、二、三、四象限角的集合又怎么表示？（略）例2：写出第一象限角的集合M ．分析：（1）在360o 内第一象限角可表示为090α<<o o ；（2）与0,90o o 终边相同的角分别为0360,90360,()k k k Z +⋅+⋅∈o o o o ；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为： {}|36090360,M k k k Z ββ=⋅<<+⋅∈o o o ．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：{}|90360180360,P k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈o o o o ；{}|90360180360,N k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈o o o o ；{}|270360360360,Q k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈o o o o ．说明：区间角的集合的表示不唯一。

(新课程)2013高中数学第一课时角的概念的推广(一)教案苏教版必修4

第一课时角的概念的推广(一)教学目标：推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法；理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.教学过程：Ⅰ.课题导入有一块以点O为圆心的半圆空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大?分析：设OA＝t〔0＜t＜a)，矩形的面积为S，那么S＝２t a2－t2，求S的最值即可.将S＝2t a2－t2两边平方，得S2＝4t2〔a2－t2〕.令y＝S2，x＝t2，那么上式化为y＝4x〔a2－x〕，是以x为自变量的二次函数，其最值不难求得.这种转化的方法，是一种常用的解题策略，同学们要切记并灵活运用，且将此问题的解求出来，不过请同学们注意，求出的y的最值是不是就是矩形面积的最值呢？相应的x的值是不是就是A、D的位置呢?不是.求出y与x的值后，还须进一步确定S、t的值，才能确定A、D的位置.因为y、x、S、t都是正数，根据y与S的关系、x与t的关系，容易确定S、t的值.分析二：设矩形的面积为S，∠AOB＝θ〔0°＜θ＜90°〕，那么AB＝a sinθ，OA＝a cosθ，S＝a sinθ·2a cosθ＝a2·2sinθcosθ.求S的最值即可.这个函数式的最值我们会求!但现在还不行，待我们再学习一些基础知识之后，这个问题便可迎刃而解，并且这个办法比法一要简便的多，下面我们就来学习、研究与我们生活密切相关的、解决问题十分便利的、并且在各门科学技术中有着广泛应用的重要的基础知识(板书课题).Ⅱ.讲授新课我们知道，角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，在P5图中，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.我们规定．．：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α〞或“∠α〞可以简记成“α〞.体操中转体720°(即转体两周).转体1080°(即转体三周)的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转所形成的角.［师］这就是说角度可以不限于0°～３60°X围内，如750°(它实际上是射线OA绕端点O逆时针转过两圈再继续逆时针转了30°)；210°(射线OA绕端点O逆时针旋转了210°)，负角β＝－150°(射线OA绕端点O顺时针旋转了150°)，γ＝－660°(射线OA 绕端点O顺时针转过一圈后再继续顺时针转了300°).如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，也就是说，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.角的概念经过这样推广后，就包括正角、负角、零角.今后，我们常在直角坐标系内讨论角，为此，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如30°、390°、－330°都是第一象限角， 300°、－60°都是第四象限角，585°角是第三象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限，称为轴线角.在直角坐标系内，使三角板角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，之后，提问学生这是第几象限的角，是多少度的角，我们能否把这些角用一个集合表示出来呢?比如说，我们把这些角记为β，把β的集合记为S，那么S可以怎样表示呢?S＝｛β｜β＝k·360°＋60°，k∈Z｝容易看出，所有与60°角终边相同的角，连同60°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素，即集合S中的任意一个角显然与60°角终边相同.我们再来考虑一下，是不是任意一个角，都与0°到360°内的某一个角终边相同呢?任意一个角都可以表示成0°到360°间的某一角与k〔k∈Z〕个周角的和，那么大家再看一下，角390°、－330°、585°、－60°它们分别与0°到360°间的哪个角终边相同，用0°到360°的角表示它们该怎样表示呢?［生］390°＝360°＋30°－330°＝－360°＋30°585°＝360°＋225°－60°＝－360°＋300°［师］一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.Ⅲ.例题分析［例1］在0°到360°X围内，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－120°〔2〕240°〔3〕－950°12′解：(1)－120°＝－360°＋240°所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角.(2)640°＝360°＋280°所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角.(3)－950°12′＝〔－3〕×360°＋129°48′所以与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.Ⅳ.课堂练习P7练习 1、2、3、4.Ⅴ.课时小结为了解决实际问题的需要，本节课我们开始学习数学学科中的一门基础知识：三角函数.本节课我们学习推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，注意：正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转.一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：一、与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝；二、在0°到360°内找与角终边相同的角α，其方法是，用所给角除以360°，所得的商为k ，余数为α(α为正数)，α即为所找的角.Ⅵ.课后作业〔一〕P 10习题1.1 1、2、5、10.〔二〕预习内容：课本P 6例2角的概念的推广(一)1．以下命题中的真命题是〔〕A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.第一象限的角是锐角C.第二象限的角比第一象限的角大D.角α是第四象限角⇔2k π－2π＜α＜2π(k ∈Z )2．A ＝{小于90°的角}，B ＝{第一象限的角}，那么A ∩B 等于〔〕A.{小于90°的角}B.{第一象限的角}C.{锐角}D.以上都不对3．集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，以下四个命题：①A ＝B ＝C②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C ＝B ，其中正确的命题个数为〔〕A.0个B.2个C.3个D.4个4．假设α是第一象限角，那么以下各角中第四象限角的是〔〕A.90°－αB.90°+αC.360°－αD.180°+α5．假设－540°＜α＜－180°且α与40°角的终边相同，那么α＝.6．终边落在x 轴负半轴的角α的集合为.7．与－1178°的终边相同且绝对值最小的角是.8．经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转了多少度？9．求－720°和360°之间与－756°角终边相同的角.10．求与－1692°终边相同的最大负角是多少？角的概念的推广(一)答案1．D 2．D 3．A 4．C 5．－320° 6．180°＋ k ·360°〔k ∈Z〕 7．－98°8．分析：依据条件先求出时针和分针每小时转动的角度，进而求出问题的结果.解：∵时针12小时转－360°，∴时针每小时转－360°÷12＝－30°.∴时针转动的角度为：5512·〔－30°)＝－162.5°， ∵分针每小时转－360°，∴分针转动的角度为5512·〔－360°)＝－1950° 9．分析：依据条件先写出终边相同的角的一般形式，再通过解不等式求出k 的值.解：∵－765°＝－2×360°－36°∴与－765°角终边相同的角为α＝k ·360°－36°〔k ∈Z )(*)∴－720°＜k ·360°－36°＜360°〔k ∈Z 〕.∴－1910 ＜k ＜1110(k ∈Z 〕∴k＝－1，0，1分别代入〔*〕式得α＝－396°，－36°，324°∴－396°，－36°，324°为所求的角.10．与－1692°终边相同的角为α＝－1692°+k·360°，k∈Z，当k＝4时，取得最大负角－252°.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二课时角的概念的推广(二)教学目标：熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.教学重点：轴线角的集合，终边相同的角的表示方法教学难点：终边相同的角的表示方法教学过程：Ⅰ.复习回顾请思考并回答以下问题：1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.Ⅱ.例题分析［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即S1＝{β|β＝90°＋k²360°，k∈Z}S2＝{β|β＝270°＋k²360°，k∈Z}第三步：写出几个集合的并集，即S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k²360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k²360°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k²180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)²180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n²180°，n∈Z}能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k²360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k²360°＋180°，k∈Z}.以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤720°的元素β写出来：(1)60°（2）－21°（3）363°14′第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：（1）S＝{β|β＝60°＋k²360°，k∈Z}(2)S＝{β|β＝－21°＋k²360°，k∈Z}(3)S＝{β|β＝363°14′＋k²360°，k∈Z}第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:(1)－300°，60°，420°(2)－21°，339°，699°(3)－356°46′，3°14′，363°14′题目中的k 值是靠观测、试探确定的，即赋给k 一个任意值m 试一试，看是否满足条件，再将m 增1或减1再试，直至找到合适的k 的最小值（或最大值）.［例3］若α是第三象限角，试求α2 、α3的范围. 分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定α2 、α3 的范围，再进一步判断α2、α3所在的象限. 解：∵α是第三象限角∴k ²360°+180°＜α＜k ²360°+270°(k ∈Z )(1)k ²180°+90°＜α2＜k ²180°+135°(k ∈Z ) 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ²360°+90°＜α2＜n ²360°+135° 当k ＝2n +1(n ∈Z )时，n ²360°+270°＜α2＜n ²360°+315° ∴α2为第二或第四象限角. (2)k ²120°+60°＜α3＜k ²120°+90°(k ∈Z ) 当k ＝3n (n ∈Z )时，n ²360°+60°＜α3＜n ²360°+90°(n ∈Z ) 当k ＝3n +1(n ∈Z )时，n ²360°+180°＜α3＜n ²360°+210°（n ∈Z ) 当k ＝3n +2(n ∈Z )时，n ²360°+300°＜α3＜n ²360°+330°(n ∈Z ) ∴α3为第一或第三或第四象限角. Ⅲ.课堂练习P 7练习5Ⅳ.课时小结本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.Ⅴ.课后作业（一）P 10习题 4、11、12.（二）1.预习内容课本P 7~P 8弧度制2.预习提纲弄清楚下列问题：(1)弧度的单位符号(2)1弧度的角的定义(3)弧度制的定义(4)角度与弧度的换算公式角的概念的推广(二)1．若α是第四象限角，则180°－α是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2．设k∈Z，下列终边相同的角是（）A.（2k+1)²180°与（4k±1)²180° B.k²90°与k²180°+90°C.k²180°+30°与k²360°±30°D.k²180°+60°与k²60°3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称D.以上都不对4．终边与坐标轴重合的角α的集合是（）A.{α|α＝k ²360°，k ∈Z}B.{α|α＝k ²180°+90°，k ∈Z}C.{α|α＝k ²180°，k ∈Z}D.{α|α＝k ²90°，k ∈Z}5．若角α与β终边重合，则有（）A.α－β＝180°B.α+β＝0C.α－β＝k ²360°（k ∈Z ）D.α+β＝k ²360°（k ∈Z ）6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了度，分针转了度.7．若角α是第三象限角，则α2角的终边在，2α角的终边在 . 8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.9．如果角α的终边经过点M （1， 3 ），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.角的概念的推广(二)答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．2.5 307．第二或第四象限第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.解：由题意得6α＝30°＋k ²360°(k ∈Z )∴α＝5°＋k ²60°∵－180°＜α＜180°∴－180°＜5°＋k ²60°＜180°，－185°＜k ²60°＜175°∴－3712 ＜k ＜3512∵k 是整数， ∴k ＝－3，－2，－1，0，1，2.分别代入α＝5°＋k ²60°，得满足条件的α的集合为：{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}9．如果角α的终边经过点M （1， 3 ），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.∴A＝{α|α＝60°＋k²360°，k∈Z}其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）绝对值最小的角为60°（当k＝0时）10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.由7θ＝θ＋k²360°，得θ＝k²60°（k∈Z）∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°。