2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试：第五章平面向量 Word版含解析(1)
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理-人教版高三全册数学
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高考数学一轮复习 第五章《平面向量》精编配套试题(含解析)理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第五章平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1 ．【山东省诸城市2013届高三12月月考理】若向量(1,2),(4,)a x b y =-=r r相互垂直，则93x y +的最小值为 A ．6B ．23C ．32D ．122、.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13- D.1 3、（2013年高考湖北理）已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB u u u r 在CDu u ur 方向上的投影为 （ ）A ．322 B ．3152C ．322-D ．3152-4、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)--5.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =r ，且a r 与br的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ） （A ）()2,-+∞（B ）11(2,)(,)22-+∞U （C ）(,2)-∞- （D ）(2,2)-6.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且ο120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R u u u r u u u r u u u r则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-7、若20AB BC AB ⋅+=u u u ur u u u r u u u r ，则ABC ∆必定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8、（2013高考湖南理）已知,a b 是单位向量,0a b =g.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9.如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r（A ）1122AB AD u u ur u u u r +（B ）1122AB AD -u u ur u u u r - （C ）1122AB AD -u u ur u u u r + （D ）1122AB AD u u ur u u u r -10、（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（ ）A ．=ga b a b B ．+=+a b a bC ．()()=gg a b c a b cD ．2=g a a a11、（2013年考安徽数学理）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是 （ ）A ．22B ．23C ．42D ．4312 ．（2013年高考重庆数学理）在平面上,12AB AB ⊥u u u r u u u u r ,121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r .若12OP <u u u r ,则OA u u u r 的取值范围是 （ ）A ．50,2⎛⎤ ⎥ ⎝B ．57,22⎛⎤⎥C ．5,22⎛⎤⎥D ．7,22⎛⎤⎥二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =u u u r u u u rg _______.14．（2013年上海市春季高考）已知向量(1 )a k =r，,(9 6)b k =-r ，.若//a b r r ,则实数 k = __________EDBA15、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】 已知向量,a b r r 夹角为45︒，且 1,210a a b =-=r r r ；则b =r___ ___.16．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考 理】已知(1,2)a =r,)2,3(-=b ,当k 为何值时，ka +r b 与3a -r b 平行？平行时它们是同向还是反向？18、(本小题满分12分) （江苏泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b +r r 的值（2）若a b ⊥r r，求θ（3）20πθ=，求证：a b r rP19、(本小题满分12分) （2013届闸北区二模）已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+b a ，求θsin 与⎪⎭⎫⎝⎛+82cos πθ的值．20、(本小题满分12分) （上海市浦东区2013年高考二模）已知向量()1,1,m =u r 向量n r 与向量m u r 的夹角为34π,且1m n ⋅=-u r r .(1)求向量n r;(2)若向量n r 与(1,0)q =r 共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +r u r的取值范围.21．(本小题满分12分) 【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】 在边长为1的等边三角形ABC 中，设−→−−→−=BD BC 2,−→−−→−=CE CA 3 (1)用向量−→−−→−AC AB ,作为基底表示向量−→−BE （2）求−→−−→−•BE AD22．(本小题满分12分)【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知定点(1,0)A 和定直线1x =-上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中o 为坐标原点）. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,2)B 的直线l 与（1）中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若0<⋅AN AM ，求直线l 的斜率的取值范围.参考答案 1、【答案】A【解析】因为a b ⊥r r ，所以0a b =r rg ，即4(1)20x y -+=，所以22x y +=。
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ， 则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0， 所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322， 则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ， 由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5， 整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错； 对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1
2014年高考数学(理)试题分项版解析：专题05 平面向量(分类汇编)Word版含解析
1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ）A.()1,1,0-B. ()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2014陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a //，则=θtan _______.6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划. 7. 【2014高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则与的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 514. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .⑤若2min ||2||,8||b a S a ==，则与的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．216. 【2014浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） 9.2A - .0B .C 3 D.15218. 【2014天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m += （ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2。
2014高考数学总复习(人教新课标)配套章末综合检测：第5章 平面向量含解析
第五章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有)(检测范围:第五章)（时间:120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知｛a n｝为等差数列，若a3＋a4＋a8＝9，则S9＝（A．24 B.27C．15 D。
54解析B 由a3＋a4＋a8＝9，得3（a1＋4d)＝9，即a5＝3.则S9＝错误!＝9a5＝27。
2．在等差数列｛a n｝中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－错误!a11的值为( )A．14 B.15C．16 D。
17解析C ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－错误!a11＝(a8＋d）－错误!（a8＋3d）＝错误!a8＝16.3．已知数列{a n}满足a1＝1,a n＋1＝错误!则其前6项之和是A．16 B。
20C．33 D.120解析C a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3,a4＝2a3＝6,a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14,所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C。
4．在数列1,2，错误!，错误!，错误!,4,…中，2错误!是这个数列的第几项（)A．16 B。
24C．26 D。
28解析C 因为a1＝1＝错误!，a2＝2＝错误!，a3＝错误!，a4＝错误!，a5＝13，a6＝4＝错误!，…，所以a n＝错误!.令a n＝错误!＝2错误!＝错误!，得n＝26.故选C。
5．已知等差数列的前n项和为S n，若S13<0，S12>0，则在数列中绝对值最小的项为( ）A．第5项B。
第6项C．第7项 D.第8项解析C ∵S13〈0，∴a1＋a13＝2a7<0，又S12〉0，∴a1＋a12＝a6＋a7〉0，∴a6>0,且|a6｜〉｜a7|。
故选C。
6.错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的值为（A。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.5 复 数考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0其中，当a ＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． 4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． 5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .( × ) (2)复数可以比较大小．( × )(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( × )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 教材改编题1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D2．复数z ＝(3＋i)(1－4i)，则复数z 的实部与虚部之和是________． 答案 －4解析 z ＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i ＋i ＋4＝7－11i ，故实部和虚部之和为7－11＝－4. 3．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －3题型一 复数的概念例1 (1)(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3. 方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i ＝1－3i ，所以a ＝－3.(2)(2022·新余模拟)若复数z 满足z 1＋i i 32－i ＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 答案 C解析 ∵z 1＋i i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1. 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i 答案 D解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2， |z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)| ＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知x 1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由x1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i ＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i ， ∴⎩⎨⎧x2＝1，x2＝y ，解得x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ， ∴其共轭复数为2－i.(2)已知z ＝1－3i ，则|z －i|＝________. 答案5解析 ∵z ＝1－3i ，∴z ＝1＋3i ， ∴z －i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ， ∴|z －i|＝12＋22＝ 5. 题型二 复数的四则运算例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(2)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.给出下列命题： ①若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3； ②若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3；③若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|； ④若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2. 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由|i|＝|1|，知①错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故②正确； |z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故③正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故④错误． 教师备选1．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D 解析2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.2．在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 －2 解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2， 且z 2＝2＋i 1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ， 故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 C解析 方法一 (转化为复数除法运算) 因为i z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i i ＝4＋3i －i i －i ＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.方法二 (利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i. 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3， 所以z ＝3－4i.(2)若z ＝i 2 0231－i ，则|z |＝________；z ＋z ＝________.答案221 解析 z ＝i2 0231－i ＝－i 1－i ＝1－i2，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22，z ＋z ＝12－12i ＋12＋12i ＝1.题型三 复数的几何意义例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析2－i 1－3i＝2－i 1＋3i 10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以3＋a 2＋1＋b 2＝4， ①3－a2＋1－b 2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →， 且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3. 教师备选1．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z 等于( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 由题意知，z ＝1＋2i ， ∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.2．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 跟踪训练3 (1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.(2)设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．2 3 C ．1＋2 2 D ．4 答案 D解析 |z |＝1表示单位圆上的点，那么|z ＋22＋i|表示单位圆上的点到点(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.在如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝ba(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例1 (1)⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 等于( )A.32＋332iB.32－332i C ．－32＋332i D ．－32－332i 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6 ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－32＋332i. (2)复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3， 由复数相等的定义，得 ⎩⎨⎧ cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )， ∴n ＝6k －1(k ∈Z )．(3)复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5－α＝0的一个根，那么α的值等于( ) A.32＋12i B.12＋32i C.32－12i D ．－12－32i 答案 B解析 由题意得，α＝⎝⎛⎭⎫cos π15＋isin π155 ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i. 例2 已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2的三角形式是( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C．4(cos 30°－isin 30°)D．4(cos 0°＋isin 0°)答案 D解析∵z2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．课时精练1．(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于() A．－10 B．10 C．－8 D．8答案 A解析∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z 1z 2＝－9－1＝－10.3．(2022·长春实验中学模拟)若复数z 的共轭复数为z 且满足z ·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A.35B ．－35i C.35i D ．－35 答案 A解析 z ·(1＋2i)＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝1－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－1－3i 5＝－15－35i ， ∴z ＝－15＋35i ， ∴复数z 的虚部为35. 4．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋i ＋1－i ＝－p ，1＋i 1－i ＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.6．(2022·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)·z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 答案 B解析 由(1＋i)·z ＝5＋3i 得z ＝5＋3i 1＋i ＝5＋3i 1－i 1＋i 1－i＝8－2i 2＝4－i ， 所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋－12＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 错误．7．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________. 答案 －i解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i.8．(2022·温州模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i ＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________.答案 5 1解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z 1－i＝1＋i 2(a －b i) ＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ， 故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1. 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为①实数；②虚数；③纯虚数． 解 ①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10. 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ，∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，∴B 所对应的复数为1＋6i.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模长等于12 D ．i 6e π的共轭复数为12－32i 答案 D解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， 因为π2<2<π， 即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，i 2e π为纯虚数， B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i＝cos x ＋isin x 3－i 3＋i 3－i ＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ， 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42 ＝12， C 正确； 对于D ，i 6e π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 其共轭复数为32－12i ，D 不正确． 12．(2022·武汉模拟)下列说法中，正确的个数有( )①若|z |＝2，则z ·z ＝4；②若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0；③若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等；④“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故①正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故②错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故③错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故④正确．13．(2022·上外浦东附中模拟)若⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝________. 答案 1解析 ∵⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝(a －i)(1＋i)－(b －2i) ＝a ＋a i －i ＋1－b ＋2i＝(a ＋1－b )＋(a ＋1)i ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－b ＝0，a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1， ∴a 2＋b 2＝1.14．(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数m ＋n i n ＋m i为虚数的概率为________．答案 56 解析 ∵复数m ＋n i n ＋m i ＝m ＋n i n －m i n ＋m in －m i ＝2mn ＋n 2－m 2i m 2＋n 2， 故复数m ＋n i n ＋m i为虚数需满足n 2－m 2≠0， 即m ≠n ，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m ＋n i n ＋m i 为虚数的概率为306×6＝56.15．(2022·青岛模拟)已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1 B.2－1 C. 2 D.2＋1答案 B解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.16．(2022·张家口调研)已知复数z 满足z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ， ∴1＋z 1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＝i 2 023＝i 2 020＋3＝i 505×4＋3＝－i ， ∴|a －i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算
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第1讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD→＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
2014高考一轮复习向量专题一-理
a≠0 且 a⊥b，而 c＝0 时，则结论不正确，故④不正确．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已 知向量 m＝(2cosA2，sinA2)，n＝(cosA2，－2sinA2)，m·n＝－1.
也可用公式 n＝－|aa|＝－ ((－－55，)2＋121)22＝(153，－1123)求得．
2．设向量 a，b 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则 a 与 b 夹角为
A.π3
B.π2
C.23π
D.34π
答案 C
()
解析 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为 1 的等边三角形，
→
＋n，解得 n＝3.
→
→
→→
14．已知|OA|＝1，|OB|＝ 3，OA·OB＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.
设O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)，则mn ＝________.
答案 3
解析 方法一 如图所示，
→→
→→
∵OA·OB＝0，∴OB⊥OA.
→
→→
→→
不妨设|OC|＝2，过 C 作CD⊥OA于 D，CE⊥OB于 E，则四边形 ODCE 是矩
→
记AB＝a，AD＝b，则
a
与
b
的夹角为23π，故选
C.
→→ 3．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2AC＋CB
2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试：第五章平面向量 Word版含解析(1)-推荐下载
43
B．(5，－5)或(－5，5)
22 1 C．( 3 ，－3)
22 1
D．( 3 ，－3)或(－ 3 ，－3)
答案 B
43
22 1
解析 方法一 |a|＝|b|，要使所求向量 e 与 a、b 夹角相等，只需 a·e＝b·e.
71 4 3 1 7 4 3 5 ∵(2，2)·(5，－5)＝(2，－2)·(5，－5)＝2，排除 C、D.
1
31 31
－ 31
C．(2，2)
答案 A
解析 设 c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b 可得Error!解得Error!因此
c＝(2,1)．
B．(1,0) D．(0，－1)
π 7．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|a＋b|＝ 7，〈a，b〉＝3，则|b|＝ ( )
A→B A→D 记 ＝a， ＝b，则
C→ B
a
与
b
2π 的夹角为 3 ，故选
A→C 3．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 ＋
＝0，则 等于
O→ C
O→A O→B A．2 －
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5 12
C.
O→A O→B B．－ ＋2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义5.1平面向量的概念及其线性运算
第1讲平面向量的概念及其线性运算【2014年高考会这样考】1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．对应学生70考点梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法与减法平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【助学·微博】 一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 一个结论在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD→＝12(AB →＋AC →)． 一个区别向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．考点自测1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )． A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析 因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C 正确． 答案 C2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )． A ．共线 B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线解析 当n ＝0时，k 与m 不共线，故选D. 答案 D3．(2012·全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )． A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b解析 由题可知|AB |2＝22＋12＝5，因为AC 2＝AD ·AB ，所以AD ＝AC 2AB ＝455，∴AD→＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b . 答案 D4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC→＋12BA → B ．－BC →－12BA → C.BC→－12BA → D.BC →＋12BA →解析 如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12. 答案 －12对应学生71考向一 平面向量的有关概念【例1】►给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ] ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.答案 ②③准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．【训练1】 给出下列四个命题：①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中所有正确命题的序号是________．解析 由于零向量与任一向量都共线，命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确．综上所述，正确命题的序号是③.答案 ③ 考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，在梯形ABCD 中，|AB→|＝2|DC →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．若AB →＝e 1，AD →＝e 2，用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →. [审题视点] 结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算． 解 DC→＝12AB →＝e 12； BC→＝BA →＋AC →＝－AB →＋AC →＝AD →＋DC →－AB →＝AD →－12AB →＝e 2－12e 1；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14AB →－AD →＋12AB → ＝14AB →－AD →＝14e 1－e 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或平行四边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【训练2】在△ABC 中，AD→＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解⎩⎨⎧DE→∥BC →，AD →＝23AB→⇒AE→＝23AC →＝23b ， BC →＝AC →－AB →＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE→＝23BC →＝23(b －a )．又AM 是△ABC 的边BC 上的中线，DE ∥BC ， ∴DN→＝12DE →＝13(b －a )．AM→＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．由⎩⎪⎨⎪⎧△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →⇒AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．考向三 共线向量定理的应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC→＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC→＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .又a 与b 为不共线的非零向量 ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．对应学生72方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．【真题探究】►(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[教你审题] 思路1 根据选项逐个进行排除．思路2 将模的运算转化为数量积的形式进行分析．[一般解法] (排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a ⊥b不成立；选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．综上，A，B，D都不正确，故选C.[优美解法] (数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．[答案] C[反思] 在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论．【试一试】 在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝( )． A.a ·(a －b )|a －b | B.a ·(b －a )|a －b |C.a ·(a －b )|a －b |2D.a ·(b －a )|a －b |2解析 由AD→＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|. 又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||b －a |＝a ·(a －b )|b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·(a －b )|b －a |2＝a ·(a －b )|a －b |2.故选C. 答案 C对应学生265A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD→.答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A. 答案 A4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD →|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4. 答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a－b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2.又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →，又因为AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC→＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM→＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
2014高考数学总复习一轮用书与名师对话5-3
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建立坐标系，将平面向量的线性运算转化为坐标运算， 便于理解和计算．
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2π (1)(2011 年江苏)已知 e1，2 是夹角为 的两个单位向量， e 3 a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若 a· b＝0，则 k 的值为________． (2)(2011 年湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中， → ＝ 设BC → → → → BE → 2BD，CA＝3CE，则AD· ＝________.
【答案】 (1)3 2
π 5 (2)6，6π
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在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、 夹角等公式，尤其对|a|＝ a· a要引起足够重视，是求距离常 用的公式．
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1.求向量的长度(模)时通常遵循以下规则： “要求向量的 长度，先求向量长度的平方”，其依据是 a· a＝|a|2，这样就 把向量长度的平方转化为向量的平方，进而转化为已知向量 的数量积问题． a· b 2．一般由公式 cos θ＝ 求向量的夹角．若给出向量 |a||b| x1x2＋y1y2 的坐标形式，则可根据公式 cos θ＝ 2 2 2 2求两个向 x1＋y1 x2＋y2 量的夹角．
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2014-2017高考真题 第五章 平面向量(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → 1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC→－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA→＋PC→＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA→＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ→＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ→|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ→＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP→＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ→|≤R，r<R}表示圆P：(x－2)21＋(y－2)2＝r2与圆P2：(x－2)2＋(y－2)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]5.（2017•浙江,15）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是________，最大值是________．5.4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |= ，| ﹣|= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z=1+3=3+1=4，min当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的zmax半径的倍，所以z= × = ．max综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m +n （m，n∈R），则m+n=________．6.3 如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B ．∵=m +n （m，n∈R），∴=m﹣n，=0+ n，解得n= ，m= ．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM→＝2MC →，BN →＝NC→.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB→与AC →的夹角为90.]12.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD→|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA→＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•北京,6）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是 • ＜0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. A ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．∴， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．故选A ．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （1，0），D （0，2），C （1，2），∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，∵BC=2，CD=1，∴BD== ,∴ BC•CD= BD•r， ∴r=，∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2= ，设点P 的坐标为（cosθ+1， sinθ+2），∵ =λ +μ ，∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1= • ，I 2= • ，I 3= • ，则（ ）A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 33. C ∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞ • ＞ • ，• ＞0，即I 3＜I 1＜I 2 ， 故选C ．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 内一点，则 •（ + ）的最小值是（ ）A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0，），B （﹣1，0），C （1，0），设P （x ，y ），则 =（﹣x ，﹣y ）， =（﹣1﹣x ，﹣y ）， =（1﹣x ，﹣y ），则 •（+ ）=2x 2﹣2 y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣ ]∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣）=﹣ ，故选B.5.(2016·四川，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA→|＝|DB →|＝|DC→|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP→|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA→|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心；DA→·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB→·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ， 同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心.DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－2⇒|DA→|＝2， 所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP→|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC→，即M 是PC 的中点， 可以写出M 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494， 当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B. 6.(2016·山东，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4C.94D.－946.B[∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA→·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A.－8B.－6C.6D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD→·CD →＝( )A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB → ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·福建，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC→|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21 12.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·重庆，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0， 所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2216.B[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1， ∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·天津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD→＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13. 因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF→＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 18. ∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴=+4 • +4=22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2 ．19.（2017•山东,12）已知 ，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．19. ，是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且•=0；又﹣与+λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ ）=| ﹣|×| +λ |×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ = × × ，化简得﹣λ= × × ，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．20.（2017·天津,13）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2 ，=λ ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为________．20.如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴= += += + （﹣）= + ，又=λ ﹣（λ∈R），∴ =（ + ）•（λ ﹣）=（ λ﹣ ） •﹣+ λ=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立. ∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE→|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·浙江，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•江苏,16）已知向量 =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若 ∥ ，求x 的值； （Ⅱ）记f （x ）= ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵ =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ）， ∥ ，∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx=，∵x ∈[0，π]，∴x= ，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣sinx=2 （ cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+∈[ ， ]，∴﹣1≤cos （x+ ）≤ ， 当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x=时，f （x ）有最小值，最大值﹣2 25.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值.(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 25.解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·北京，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 26. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]27.(2014·江西，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 27.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·湖北，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB→·AD →的值是________. 29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]。
高中数学一轮复习理数通用版：第五章 平面向量 Word版含解析
第五章⎪⎪⎪平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念；2.平面向量的线性运算.突破点(一) 平面向量的有关概念[基本知识] 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0[基本能力]1．判断题(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2) 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．填空题 (1)给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②(2)若a 、b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是________．答案：a 与b 反向共线[全析考法]平面向量的有关概念[典例] (1)(·海淀期末)下列说法正确的是( ) A ．长度相等的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线 (2)(·枣庄期末)下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0[解析] (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合，故D 不正确．(2)对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，故a ＝b 不一定成立；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.[答案] (1)C (2)C [易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．[全练题点]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选D.2．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：选C 对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.3.如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH ―→相等的向量有________；(2)与向量GH ―→共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA ―→共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) LB ′―→， HC ―→ (2) EC ′―→， LE ―→，LB ′―→， GB ―→，HC ―→ (3) EF ―→， FB ―→， HA ′―→，HK ―→，KB ′―→突破点(二) 平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法 求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b ) 数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λ μ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b ) ＝λa ＋λb向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .[基本能力]1．判断题(1)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案：(1)× (2)√ 2．填空题(1)化简：①AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝________. ②NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝________. 答案：①AB ―→②0(2)若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：2(3)在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ， AN ―→＝3NC ―→，则AN ―→＝________(用a ，b 表示)． 答案：34a ＋34b[全析考法]平面向量的线性运算尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．[例1] (1)(·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→(2)(·深圳模拟)如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2[解析] (1)BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝BA ―→＋12AE ―→＝－AB ―→＋12(AD ―→＋12AB ―→＋CE ―→)＝－AB ―→＋12⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＋13 CB ―→ ＝－AB ―→＋12AD ―→＋14AB ―→＋16(CD ―→＋DA ―→＋AB ―→)＝－23AB ―→＋13AD ―→.(2)因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→＝λ(AB ―→＋BM ―→)＋μ(BA ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12 AD ―→ ＋μ(－AB ―→＋AD ―→)＝(λ－μ)AB ―→＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD ―→，且AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．平面向量共线定理的应用(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R )．[例2] (1)(·芜湖二模)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C.14D ．4(2)(·怀化一模)已知向量a ，b 不共线，向量AB ―→＝a ＋3b ，BC ―→＝5a ＋3b ，CD ―→＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线[解析] (1)因为向量a ，b 是两个不共线的向量，所以若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－14，故选B.(2)因为BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ―→，所以BD ―→，AB ―→共线，又有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选B.[答案] (1)B (2)B[方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用[全练题点]1. [考点一](·长春一模)在梯形ABCD 中，AB ―→＝3DC ―→，则BC ―→＝( ) A ．－23AB ―→＋AD ―→B ．－23AB ―→＋43AD ―→C ．－13AB ―→＋23AD ―→D ．－23AB ―→－AD ―→解析：选A 因为在梯形ABCD 中，AB ―→＝3DC ―→，所以BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－AB ―→＋AD ―→＋13AB ―→＝－23AB ―→＋AD ―→，故选A.2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，设AB ―→＝m AC ―→(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ， ∴λμ＝1，故选D.3.[考点二](·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且m n ≠0，若a ∥b ，则mn ＝( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.4.[考点一]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，∵EC ―→＝2AE ―→，∴EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→. 5.[考点一]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→，故选A.2．(·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( )A ．AD ―→ B.12AD ―→ C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：选A EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→，故选A. 3．(·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：12[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量的有关概念1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析：选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确．2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ．∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要对点练(二) 平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b , 则BE ―→＝( )A.12b －a B.12a －b C ．－12a ＋bD.12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( ) A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A. 4．(·郑州二模)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN ―→＝n AC ―→可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM ―→＝m AB ―→，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)·AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)·n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.5．(·银川一模)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，则PC ―→＋PA ―→＝________.解析：因为BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC ―→＋PA ―→＝0.答案：06．(·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则xy 的值为________．解析：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 答案：657．(·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R )，则AD 的长为________． 解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 38．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→， AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ， OC ―→＝c ， OD ―→＝d ， OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．3.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图， 所以AG ―→＝AB ―→＋AC ―→＝a ＋b ，AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线.第二节 平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐标表示.突破点(一) 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]1．判断题(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．填空题(1)设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：0(2)设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3e 1＋3e 2(3)(·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AM ―→＝________. 答案：－b ＋12a[全析考法]平面向量基本定理[典例] (1)(·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④(2)(·岳阳质检)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ的值为( )A.14B.15C.45D.54[解析] (1)①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.(2)法一：连接AC (图略)，由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2⎣⎡⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0.又AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[全练题点]1．(·泉州调研)若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( ) A ．a －2b 与－a ＋2b B ．3a －5b 与6a －10b C ．a －2b 与5a ＋7bD ．2a －3b 与12a －34b解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a －2b 与5a ＋7b 不共线，故a －2b 与5a ＋7b 可以作为一组基底．2.向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( ) A ．－4e 1－2e 2 B.－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 结合图形易得，a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，故a －b ＝e 1－3e 2.3.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A 由题意得AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝BC ―→＋AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－12AB ―→，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A.4.(·湖南邵阳一模)如图， 在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ―→＝m a ＋nb ，则m ＋n ＝________.解析：根据已知条件得，BQ ―→＝AQ ―→－AB ―→＝12AP ―→－AB ―→＝12(m a ＋nb )－a ＝⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ， CR ―→＝BR ―→－BC ―→＝12BQ ―→－AC ―→＋AB ―→＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP ―→＝m 2a ＋n 2b ， RQ ―→＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP ―→＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b .∵RQ ―→＋QP ―→＝RP ―→，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩⎨⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎨⎧m ＝27，n ＝47，故m ＋n ＝67.答案：67突破点(二) 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力](1)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)(2)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3(3)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则AD ―→＝________.答案：(－1，－1)(4)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 解析：AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)，据题意知AB ―→∥AC ―→，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－54[全析考法]平面向量的坐标运算[例1] (1)(·绍兴模拟)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→＝________.[解析] (1)MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(2)AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，∴AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)．PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)． [答案] (1)A (2)(－6,21) [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．平面向量共线的坐标表示[例2] 已知(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[全练题点]1.[考点一]若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2.[考点一]已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.3.[考点二](·丰台期末)已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x －3y ＝0解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y ＋4x ＝0，故选C.4.[考点二](·江西四校联考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：由题意得，a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，得3×3－3k ＝0，解得k ＝1.答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.2．(·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－6[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量基本定理1．(·珠海一模)如图，设O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD ―→与AB ―→；②DA ―→与BC ―→； ③CA ―→与DC ―→；④OD ―→与OB ―→.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B ①中AD ―→，AB ―→不共线；③中CA ―→，DC ―→不共线．②④中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2．(·山西太原质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A 设BM ―→＝t BC ―→，则AN ―→＝12AM ―→＝12(AB ―→＋BM ―→)＝12AB ―→＋12BM ―→＝12AB ―→＋t 2BC―→＝12AB ―→＋t 2(AC ―→－AB ―→)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB ―→＋t 2AC ―→，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A. 3．(·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 解析：选C 如图，根据题意，得AB ―→＝12AC ―→＋12DB ―→＝12(a －b )，AD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12(a ＋b )．令AF ―→＝t AE ―→，则AF ―→＝t (AB ―→＋BE ―→)＝t ⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34 BE ―→ ＝t 2a ＋t 4b .由AF ―→＝AD ―→＋DF ―→，令DF ―→＝s DC ―→，又AD ―→＝12(a ＋b )，DF ―→＝s 2a －s 2b ，所以AF ―→＝s ＋12a ＋1－s 2b ，所以⎩⎨⎧t 2＝s ＋12，t 4＝1－s 2，解方程组得⎩⎨⎧s ＝13，t ＝43，把s 代入即可得到AF ―→＝23a ＋13b ，故选C.4．(·山东潍坊一模)若M 是△ABC 内一点，且满足BA ―→＋BC ―→＝4BM ―→，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A.12B.13C.14D ．2 解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA ―→＋BC ―→＝2BD ―→，于是2BD ―→＝4BM ―→，从而BD ―→＝2BM ―→，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12.5．(·湖北黄石质检)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为( )A.12B.13 C ．2D ．3解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13·(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y＝13. 对点练(二) 平面向量的坐标表示1．(·福州一模)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选D 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．(·河北联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－2，－4) C ．(－3，－6)D ．(－4，－8)解析：选D 由a ∥b ，得m ＋4＝0，即m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．(·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋nb ＝(2m －n ,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋nb 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C.4．(·河南六市联考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB ―→同方向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A 因为AB ―→＝(3，－4)，所以与AB ―→同方向的单位向量为AB ―→|AB ―→|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．6．(·南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ) OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.7．(·河南中原名校联考)已知a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3,3)解析：选C 根据平面向量基本定理，得向量a ，b 不共线，∵a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，∴2m －3－3m ≠0，∴m ≠－3.故选C.[大题综合练——迁移贯通]1．(·皖南八校模拟)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2―→与B 1B 2―→表示向量MN ―→； (2)求向量MN ―→的模．解：(1)MN ―→＝MA 1―→＋A 1A 2―→＋A 2N ―→，MN ―→＝MB 1―→＋B 1B 2―→＋B 2N ―→，两式相加，并注意到点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点，得MN ―→＝12(A 1A 2―→＋B 1B 2―→)．(2)由已知可得向量A 1A 2―→与B 1B 2―→的模分别为1与2，夹角为π3，所以A 1A 2―→·B 1B 2―→＝1，由MN ―→＝12(A 1A 2―→＋B 1B 2―→)得|MN ―→|＝ 14( A 1A 2―→＋B 1B 2―→)2 ＝12A 1A 2―→2＋B 1B 2―→2＋2A 1A 2―→·B 1B 2―→＝72.2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，有CM ―→＝3c ， CN ―→＝－2b ，求：(1)3a ＋b －3c ；(2)满足a ＝m b ＋nc 的实数m ，n ； (3)M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)， (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M 的坐标为(0,20)．又CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N 的坐标为(9,2)．故MN ―→＝(9－0，2－20)＝(9，－18)．3．已知三点A (a ,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a ，0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即当且仅当a ＝b ＝4时，a ＋b 取最小值为8.第三节 平面向量的数量积及其应用本节主要包括3个知识点：1.平面向量的数量积；2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.突破点(一) 平面向量的数量积[基本知识]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |c os θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |c os θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |c os θ的乘积． (3)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[基本能力]1．判断题(1)在△ABC 中，向量AB ―→与BC ―→的夹角为∠B .( ) (2)0·AB ―→＝0.( )(3)若a 与b 共线，则a ·b ＝|a ||b |.( ) (4)(a －b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．填空题(1)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a ·b ＝________. 答案：－10(2)已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：32(3)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2且a ·b ＝－2，则向量a 与b 的夹角为________． 答案：2π3[全析考法]平面向量数量积的运算1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 思路一若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算 思路二根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解[典例] (1)(·商丘模拟)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3(2)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ―→·DB ―→＝________.[解析] (1)依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32. (2)因为DM ―→＝DA ―→＋AM ―→＝DA ―→＋13AB ―→，DB ―→＝DA ―→＋AB ―→，所以DM ―→·DB ―→＝⎝⎛⎭⎫DA ―→＋13 AB ―→ ·(DA ―→＋AB ―→)＝|DA ―→|2＋13|AB ―→|2＋43DA ―→·AB ―→＝1＋43－43AD ―→·AB ―→＝73－43|AD ―→|·|AB ―→|·c os 60°＝73－43×1×2×12＝1.[答案] (1)A (2)1 [易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．[全练题点]1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8D ．2解析：选A ∵|a |c os 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·c os 〈a ，b 〉＝3×4＝12. 2．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B.10 C. 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D. 3．(·重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3D.332解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×c os 2π3＝－12，|a |＝(e 1＋2e 2)2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝－923＝－332，故选A.4．(·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP―→＝－3，则λ的值为( )A.12 B ．－12C.13D ．－13解析：选A 法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2c os π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.∵AP ―→＝λAB ―→，∴λ＝12.故选A.突破点(二)平面向量数量积的应用[基本知识]平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.几何表示坐标表示模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21夹角c os θ＝a·b|a||b|c os θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22[基本能力](1)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a＋b，则|c|＝________.答案：13(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，a·b＝1×3＋3×1＝2 3.设a与b 的夹角为θ，则c os θ＝232×2＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.答案：π6(3)已知向量a＝(1，t)，b＝(6，－4)．若a⊥b，则实数t的值为________．答案：－32[全析考法]平面向量的垂直问题[例1](1)(·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，它们的夹角θ＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．3 B．－3C ．2D ．－2(2)平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形[解析] (1)由题意得c os θ＝12. ∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝tm ·n ＋n 2＝t |m ||n |×12＋|n |2＝t 3|n |2＋|n |2＝0，解得t ＝－3.故选B. (2)因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．[答案] (1)B (2)C[方法技巧]平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[提醒] 注意x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题[例2] (1)(·a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )A. 2B ．2C ．2 2D ．4(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB ―→·AC ―→＝－1，则|BC ―→|的最小值是( )A. 2B ．2 C. 6 D ．6[解析] (1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又|a －b |＝2，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B.(2)因为AB ―→·AC ―→＝－1，所以|AB ―→|·|AC ―→|·c os 120°＝－1，即|AB ―→|·|AC ―→|＝2，所以|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→|2＝AC ―→2－2AB ―→·AC ―→＋AB ―→2≥2|AB ―→|·|AC ―→|－2AB ―→·AC ―→＝6，当且仅当|AB ―→|＝。
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 第五章 平面向量课件 文 新人教A版
(2)若点D在第二象限,用AB,
AD
表示AC
;
(3)AE=(m,2),若3AB+AC与AE垂直,求AE的坐标.
【解析】(1)设D(x,y)A,B
=(1,2),AD=(x+1,y),
由题意得
AB
AD
AD
2
(
x 1 2 y 5, x 1)2 y2 10,
即
x 2y 4, (x 1)2 y2
.
【解析】画图分解可得,λ=4,μ=2 , 3 所以λ2+μ2的值为28. 【答案】28
14.(高度提升)已知a⊥b,c与a、b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=
2,|c|=3,则(a+2b-c)2=
.
【解析】由a⊥b,c与a、b的夹角均为60°得a·b=0,
a·c=|a||c|cos 60°=1×3× 1=
1.(基础再现)已知a、b为两个单位向量,下列四个命题中正 确的是 ( ) (A)a与b相等. (B)如果a与b平行,那么a与b相等. (C)a·b=1. (D)|a|=|b|.
【解析】因为单位向量只是大小为1个单位,但方向不确定, 所以A、B、C三个选项都不正确,而|a|=|b|=1,所以D正确. 【答案】D
【答案】B
8.(高度提升)已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a
与b的夹角为60°,则直线xcos α-ysin α+ sin β)2= 1的位置关系是 ( )
2
=01与圆(x-cos β)2+(y+
2
(A)相交但不过圆心. (B)相交且过圆心.
(C)相切.
7
【答案】A
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第五章 平面向量
第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1．（2018全国Ⅰ，6）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．34AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 1.A 根据向量的运算法则，可得BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =34BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以EB ⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故选A.2.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →2.A[∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]3.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.93.B [由A ,B ,C 在圆2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (，y )，则2＋y 2＝1且∈[-1,1]，PB →＝(－2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(-6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴＝－1时有最大值49＝7，故选B.]4.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]5.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系Oy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R5.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(－2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(－2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]6．（2018全国Ⅲ，13）已知向量a=(1,2)，b=(2,−2)，c=(1,λ)．若c ∥(2a+b )，则λ=________．6.12 由题可得2a ⃑ +b ⃑ =(4,2),∵c //(2a +b ⃑ ), c =(1,λ),∴4λ−2=0,即λ=12.7.（2017•浙江,15）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是________，最大值是________． 7. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣ |=，则2+y 2=10（、y ≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令=+y ，则y=﹣+，则直线y=﹣+过M 、N 时最小为min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣+与圆弧MN 相切时最大，由平面几何知识易知ma 即为原点到切线的距离的 倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以ma =×=．综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．8.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m +n （m，n∈R），则m+n=________．8.3 如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B ．∵=m +n （m，n∈R），∴=m﹣n，=0+ n，解得n= ，m= ．则m+n=3．故答案为：3．9.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 9.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]10.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.10.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]11.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝AB →＋yAC →，则＝________；y ＝________.11.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴＝12，y ＝－16.]12.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.12.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]13.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.13.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]14.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.14.1＋7 [设D (，y )，由|CD →|＝1，得(－3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(－1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(－3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(－3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1．（2018全国Ⅱ，4）已知向量a ，b 满足|a | =1，a ⋅b =−1，则a ⋅(2a −b )=( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．01.B 因为a ⋅(2a −b ⃑ )=2a 2−a ⋅b ⃑ =2|a |2−(−1)=2+1=3,所以选B.2．（2018天津，8）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD =120∘,AB =AD =1,若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BE⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为 （ ）A ．2116 B ．32 C ．2516 D ．32.A 连接AD,取AD 中点为O,可知△ABD 为等腰三角形，而AB ⊥BC,AD ⊥CD ，所以△BCD 为等边三角形，BD =√3。
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第五章 平面向量 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．与向量a ＝(－5,12)方向相反的单位向量是 ( )A ．(5，－12)B ．(－513，1213) C ．(12，－32) D ．(513，－1213)答案 D解析 与a 方向相反的向量只能选A ，D ，其中单位向量只有D. 也可用公式n ＝－a|a |＝－(－5，12)(－5)2＋122＝(513，－1213)求得． 2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4答案 C解析 如图，四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为1的等边三角形，记AB →＝a ，AD →＝b ，则a 与b 的夹角为2π3，故选C.3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →解析 OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A.4．已知复数z ＝(1＋2i )23－4i ，则1|z |＋z 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2答案 A解析 z ＝(1＋2i )23－4i ＝(4i －3)(3＋4i )25＝－16－925＝－1，所以1|z |＋z ＝1－1＝0.故选A.5．（2013·上海模拟）对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i答案 D解析 方法一 由(z －i)(32－12i)＝1可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.方法二 (z －i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i.6．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于( )A ．(2,1)B ．(1,0)C ．(32，12)D ．(0，－1)解析 设c ＝(x ，y )，由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b 可得⎩⎨⎧x ＋1－y －2＝0，y ＋1＝2(x －1)，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，因此c ＝(2,1)． 7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝ ( ) A ．2 B ．3 C. 3 D ．4答案 A解析 由|a ＋b |＝7，可得|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×|b |cos π3＋|b |2＝7，所以|b |2＋|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－3(舍去)．故选A.8．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形或等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C解析 由(OB →＋OC →－2OA →)(AB →－AC →)＝0，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|. ∴AB ＝AC .9．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为( )A ．(2,14)B ．(2，－27) C ．(－2，－27) D ．(3,6)答案 B解析 方法一 (验证排除法)∵b 在x 轴上的投影为2，∴b 的横坐标为2，排除C ，D 项；又|b |≤14，排除A 项；故选B. 方法二 设向量b ＝(2，y )，由题意得a ·b |a ||b |＝cos α＝522|a |＝22.将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14不合题意，舍去．则y ＝－27，即b ＝(2，－27)． 故应选B.10．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( ) A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13)D ．(223，－13)或(－223，－13) 答案 B解析 方法一 |a |＝|b |，要使所求向量e 与a 、b 夹角相等，只需a ·e ＝b ·e . ∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C 、D. 又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二 设a ＝OA →，b ＝OB →.由已知得|a |＝|b |，a ⊥b ，则与向量a ，b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角平分线上，与a ＋b 共线．∵a ＋b ＝(4，－3)，∴与a ＋b 共线的单位向量为±a ＋b |a ＋b |＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)．二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝1－3i3＋i，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________．答案 1解析 z ＝1－3i 3＋i ＝－i 2－3i 3＋i ＝－i (i ＋3)3＋i＝－i ，|z |＝|i|＝1.12．已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →＝________.答案 －32解析 由题意知，OACB 为菱形，且∠OAC ＝60°，AB ＝3，∴AB →·OA →＝3×1×cos150°＝－32.13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝________. 答案 3解析 易知a ＋b ＝(3，n ＋1)，a ·b ＝2＋n .∵|a ＋b |＝a ·b ，∴32＋(n ＋1)2＝2＋n ，解得n ＝3.14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn ＝________.答案 3解析 方法一 如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形．OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →. ∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°， ∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3.又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33. ∴m n ＝333＝3.方法二 由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝(m ，3n )，故由tan30°＝3n m ＝33，可知m n ＝3.15．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．答案 ±2 解析 如图，作平行四边形OADB ，则OA →＋OB →＝OD →，OA →－OB →＝BA →，∴|OD →|＝|BA →|. 又|OA →|＝|OB →|，∴四边形OADB 为正方形，易知|OA →|为直线在y 轴上的截距大小，a ＝2.验证a ＝－2时，成立．16．对于向量a ，b ，c ，给出下列四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ＝|c |·b ，c ＝|b |·a ，则|a |＝|b |＝|c |＝1；③若|a |＝|b |＝2，则(a ＋b )⊥(a －b )； ④若|a ·b |＝|b ·c |且b ≠0，则|a |＝|c |. 其中正确的命题序号是________． 答案 ③解析 当b ＝0时，①不正确；当b ＝0时，且c ＝0时，②不正确；③中，∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )，故③正确；④中取a ≠0且a ⊥b ，而c ＝0时，则结论不正确，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 答案 (1)－12 (2)2解析 (1)∵m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A 2)，m ·n ＝－1，∴2cos 2A2－2sin 2A 2＝－1，∴cos A ＝－12.(2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3. ∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即23sin 2π3＝2sin B .∴sin B ＝12.∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6. ∴C ＝π－A －B ＝π6，∴C ＝B .∴c ＝b ＝2.18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，若实数k 使|k a ＋b |＝|a －k b |成立，求满足不等式a ·b ≥0的k 的取值范围．解析 由|k a ＋b |＝|a －k b |，得(k a ＋b )2＝(a －k b )2.即有k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2. ∴8k cos(α－β)＝3(k 2－1)．若k ＝0，则有|a |＝|b |，与已知矛盾． ∴k ≠0，∴cos(α－β)＝3(k 2－1)8k .而a ·b ＝cos α·2cos β＋sin α·2sin β＝2cos(α－β)＝3(k 2－1)4k ，且a ·b ≥0. ∴0≤3(k 2－1)4k ≤2.解得－1≤k ≤－13或1≤k ≤3.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )． (1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？ (2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．解析 (1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2.这与|cos2x |<1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x .又因为x∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]．于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝22，当2sin x＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号．故函数f (x )的最小值等于2 2.20．(本小题满分12分)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2a ＋c )·BC →·BA →＋c ·CA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2 3.试求AB →·CB →的最小值． 答案 (1)23π (2)－2解析 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0. 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0. 则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0. 所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0. 即cos B ＝－12，所以B ＝2π3. (2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3， 所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4. 当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4. 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2. 即AB →·CB →的最小值为－2.21．(本小题满分12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解析 (1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ， 化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0，m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°＝(1＋t 2－t )|a |2. ∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]． 故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。