辐射度、光度与色度及其测量 第4章

第4章 辐射在空间中的传输4.1 光辐射能在空间的传输辐射能的传输一般是指辐射能由光源(光源的自发射或者物体表面反射、透射、散射辐射能)经过传输介质而投射到接收系统或探测器上。

在辐射能的传输路径上，会遇到传输介质和接收系统的折射、反射、散射、吸收、干涉等，使辐射能在到达接收系统前，在空间分布、波谱分布、偏振程度、相干性等方面将会发生变化。

光辐射能在空间传输的一般过程可用图4-1来表示。

本章不讨论辐射能由于干涉、衍射等在空间、时间、强度等方面引起的变化，主要从几何光学的基本定律出发，讨论辐射能的传输。

在许多实用情况下，几何光学能够相当精确地描述光辐射能的传输。

图4-1 光辐射能在空间的传输过程4.1.1 辐亮度和基本辐亮度守恒在光束传输路径上任取两个面元1和2，面积分别为d A 1和d A 2(图4-2)。

取这两个面元时，使通过面元1的光束也都通过2。

设两面元之间相距r ，面元法线与传输方向的夹角分别为θ1和θ2。

则2212cos dA d r θΩ=，1122cos dA r θd Ω= 设面元1的辐亮度为L 1, 当把面元1看作子光源，面元2看作接收表面时，由面元1发出，面元2接收的辐射通量为图4-2 辐亮度守恒关系2221211111112cos cos cos dA d L dA d L dA rθθθΦ=Ω= 再由辐亮度的定义, 可得面元2的辐亮度L 2为221212222222211cos cos cos d d L dA d dA dA rθθΦΦ==Ωθ2 比较以上两式可得1L L = (4-1)即当辐射能在传输介质中没有损失时，表面2和表面1的辐亮度相等——辐亮度守恒。

如果面元1和2在不同介质中(图4-3)，辐射通量在介质边界上无反射、吸收等损失，则212111222cos cos d L dAd L dAd θθΦ=Ω=Ω由(1-1)式，得21211112222sin cos sin cos d L dA d d L dA d d θθθϕθθθϕΦ==再由折射定律221sin sin n n 1θθ=，有2211111221sin cos sin (sin )(sin cos n d d n 2d θθθθθθθθ==代入上式得121222L L n n = (4-2) 图4-3 辐射在介质边界的传输若将L /n 2叫做基本辐亮度，则基本辐亮度守恒既可用在光辐射能在同一均匀介质中的传输问题，也可用在不同介质中光辐射能传输的分析描述。

在光密介质中辐亮度增大是由于光束会聚的立体角减小的缘故。

在光辐射测量中将接收器表面紧贴在平凸透镜的一侧(如图3-32)正是利用这一性质，提高探测点的辐亮度。

4.1.2 辐射换热角系数光辐射能在空间传输的计算，对分析辐射能空间分布、辐射测量系统的工作性能、辐射热交换等都是十分重要的。

在计算中常常需要作与实际情况近似的假定，简化分析的问题。

如图4-4，由表面1上面元d A 1传输到表面2上面元d A 2的辐射通量可写成12121111112212cos cos cos d L dA d L dA dA r θθθΦ=Ω= (4-3) 于是，表面1传输到表面2的总辐射通量为121212112212cos cos A A L dA dA r θθΦ=∫∫(4-4) 式中，L 1为表面1的辐亮度；θ1、θ2为面元d A 1、d A 2的法线与传输方向r 12的夹角；r 12为面元d A 1到面元d A 2的距离；A 1、A 2分别是表面1和表面2的面积。

图4-4 空间表面之间辐射能的传输一般地，L 1是位置d A 1位置的函数。

若假设表面1是朗伯面，则L 1与d A 1的位置无关，且有关系L 1=M 1/π，M 1是表面1的辐射出射度，则121121212212cos cos A A M dA dA r θθπΦ=∫∫由表面1发出的总辐射通量Φ1=M 1A 1，表面2接收的辐射通量占光源表面1发出辐射通量的比值为121212121221112cos cos 1A A F dA dA A r θθπΦ==Φ∫∫ (4-5) F 12是只与表面1，2的形状、位置、大小、方向有关的无量纲量，称为辐射换热角系数或角系数。

当两个表面的空间几何参数确定后，F 12就已确定，因此，若已知表面1发出的总辐射通量Φ1，则可方便地求得表面2上的接收的辐射通量Φ12=F 12Φ1。

需要指出，角系数计算的前提是光源为朗伯表面。

许多表面的漫射性虽然和朗伯特性不尽相同，但这种假设在进行分析中常常是可借鉴的。

然而，对准直光、会聚光、镜面反射表面等就不能用这种假设。

虽然F 12的形式简单，但其中二重积分求解却决非易事。

目前，计算简单形状之间的角系数有不少可供查阅的公式和表格。

附表3-1中列出了一些常用表面之间角系数计算公式。

利用角系数的一些基本性质，常常可以使计算大为简化，把复杂表面的计算变成简单角系数的计算，这些性质包括等值性、可加性、互易性和完整性。

z 等值性来自立体角的基本性质，即接收表面d A 2不论离辐射源表面d A 1有多远，形状如何以及传输方向的夹角是多少，只要它对d A 1的立体角不变，那末角系数F 12不变(图4-5)。

z 可加性来自光的独立作用原理，即两个光源传输到同一接收表面的辐射通量等于各光源传输到该表面辐射通量之和。

同样，对于接收表面，多个接收表面接收到的总辐射通量等于它们各自接收到的辐射通量之和。

z 互易性112221A F A F = (4-6)即若已知表面2对光源表面1的角系数F 12 ，那末把表面1看成接收表面，而表面2看作光源表面时，表面1对光源表面2的角系数F 21可由F 12及表面1，2的面积比来求得。

如图4-6，表面1大于表面2，这样光源表面1发出的2π立体角的辐射通量被表面2接收到比例部分F 12 (左图)，要比设光源表面为2时发出的2π立体角的辐射通量被表面1所接收到的比例部分F 21(右图)小，而F 12和F 21之间的关系就是通过它们两个面积之比联系起来。

图4-5角系数的等值性图4-6 角系数的互易性z 完整性假如接收表面包容了发射表面d A 1周围的整个空间，即d A 1发出的全部辐射能都被接收表面所接收，那末F 12=1。

下面来举几个例子，说明利用这些基本性质计算角系数的方法。

例1 在积分球(图4-7)规则的球内层涂以具有近似朗伯漫射特性的涂料。

求半径为R 的球内任一面元1(辐亮度为L ，表面积为d A 1)发出的辐射通量Φ1在球内任一面元2(表面积为d A 2)形成的直射辐照度E 2。

解： 由几何关系，θ1=θ2=θ，r 12=2R cos θ，则122212122211cos 4cos 4dA dA dA F dA dA R Rθ2dA πθπ==∫∫ 即 212121124dA F LdA RππΦ=Φ= 故 1212224LdA E dA RΦ== (4-7) (4-7)式说明：E 2与面元2在球内的位置无关，即球内任一面元发出的福通量在球内各内表面形成的辐照度值正好等于该辐射通量除以球的内表面面积。

积分球的这一特性广泛地被应用在光辐射测量中。

例2 求图4-8所示圆环2到圆环4的角系数F 24。

解: 利用附表4-1中两个圆盘之间角系数公式，通过可加性和互易性来求解，即。

242523F F F =−∵ 225552345051()()A F A F A A F F ==+−22333233031()A F A F F ，A F ==−图4-7 积分球内任一面元的直射辐照度∴ 343245051303122()()A A AF F F F F A A +=−−− 由于F 50、F 51、F 30、F 31都可根据附表4-1算出来，由此可求得F 24。

例3 求图4-9所示圆柱筒侧壁(面积为A 3)到接收器(面积为A 1)的角系数F 31。

图4-8 例2角系数计算用图图4-9 例3角系数计算用图解: 如果按照角系数的积分公式，则应在圆柱筒壁上取一个面元，由几何位置关系求出面元对接收器的角系数，然后在整个侧壁进行积分。

显然，这样的计算很繁复。

设接收器是光源表面，则121314F F F =+则 113113121433()A AF F F F A A ==− F 12和F 14可以用附表4-1求得，从而可简单地求出角系数F 31。

4.1.3 光辐射在光学系统内的传输在光学系统中，由于光学系统将发散或会聚光束，因此，不能直接用上面的方法。

这里，仍假定光学系统对光辐射能没有表面反射、吸收、散射等损失，且光源是朗伯体。

则按照立体角投影定律(1-34)式，表面2接收辐度为L 1的光源表面1投射的辐射通量为121111111cos T L A d L A L G θΩΦ=Ω=Ω=∫ (4-8)式中，G =A 1ΩT 称为光学系统的几何度。

几何度是光源表面面积A 1与接收光学系统对光源所张投影立体角的乘积，只与光源几何尺寸、光源到光学系统的距离、光学系统的入瞳尺寸以及系统结构等有关，与光源的辐射量无关。

(4-8)式表明：当光源辐亮度一定时，光学系统接收辐射通量取决于其几何度。

因此，几何度成为光学系统接收和传输辐射能能力的度量，几何度大的光学系统，其传输或接收的辐射通量也多。

在没有光能损失的光学系统中，光学系统只改变辐射能的会聚和发散程度，而辐射通量不变。

在相同的均匀介质中，由于辐亮度守恒，因此光学系统的几何度也不变。

即光辐射在光学系统中传输时，如果中间没有其它辐射能加入或者分光，则任一截面上的几何度都是不变的。

当光束的截面积变小时，其投影立体角必然增大，反之亦然。

在有吸收等损失的光学系统中，辐射通量和辐亮度都在传输过程中减小了，但几何度仍是不变的。

在不同介质内，由基本辐亮度守恒，得222121(/)T G n L L n ΦΦ===Ω′A (4-9) 式中，n 是介质的相对折射率。

n ²A 1ΩT 称为基本几何度，于是，可以把几何度的概念延伸到不同折射率介质的光学系统中，即光学系统的基本几何度是不变的。

几何度不变的概念在分析和近似计算光辐射能在光学系统中的传输问题时是很有用的。

例4 图4-10是一投影光学系统。

S 是物，I 表示物经过光学系统投影在像方的像。

物像的面积分别为A S 和A I ，试写出物方立体角和像方立体角的关系式。

解: 由几何度不变的关系可直接写出s s I A A I Ω=Ω故 SI S IA A Ω=Ω式中，ΩS 和ΩI 分别为物方和像方投影立体角(对轴上物点来说，其投影立体角就等于物方立体角)。

这一关系可由近轴光学公式直接求得。

用入瞳和出瞳表示的光学系统如图4-11(a)所示，由几何度不变的概念可写出S S e e x x I I A A A A Ω=Ω=Ω=Ω (4-10)注意到A S 和A I 之间存在的物像关系。