3-2稳定性和误差

1
2
对于稳定的线性系统， 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范 围内都能稳定， 围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定 而大范围不稳定的情况。 而大范围不稳定的情况。
3
♦ 单摆运动
b
a
4
线性控制系统稳定性的定义如下： 稳定性的定义如下 线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系 的影响下， 统在初始扰动δ(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推 的影响下 移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之， 移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则 为不稳定。 为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性， 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性， 而与输入信号无关。 而与输入信号无关。 根据定义输入δ(t)，其输出为脉冲过渡函数 。 ，其输出为脉冲过渡函数g(t)。 收敛到原来的平衡点， 如果当 t→∞时， g(t)收敛到原来的平衡点，即有 时 收敛到原来的平衡点
n
an ∏ si = (−1) a i =1 0
n
j =1 i≠ j n
M
7
从上式可以导出， 从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必 要条件为： 要条件为： ai aj > 0 ( i, j =1,2, … , n) 即闭环特征方程各项同号且不缺项。 即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件， 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的， 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为 上式仅是必要条件。 上式仅是必要条件。下面给出系统稳定的充分必要条 件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为 正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都 要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数， 要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等 于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。 于相应特征方程式位于右半 平面上根的个数。 平面上根的个数
R(s)
R'(s) C(s) E'(s) 1 G(s)H(s) + ﹣ H(s)
由图可知， 表示等效单位反馈系统的输入信号 由图可知，R’(s)表示等效单位反馈系统的输入信号， 表示等效单位反馈系统的输入信号， 也就是输出的希希值。因而， 也就是输出的希希值。因而， E’(s)是从输出端定义的非 是从输出端定义的非 单位控制系统的误差。 单位控制系统的误差。 E(s) = R(s) −B(s) = R(s) −H(s)C(s) 1 E ′( s ) = R ′( s ) − C ( s ) = R( s ) − C ( s ) H ( s) 1 1 [ R( s ) − H ( s )C ( s )] = = ⋅ E ( s) H ( s) H ( s) 由此可见，从系统输入端定义的稳态误差， 由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接 19 或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。 或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。
式中， 个闭环极点。 式中，a0 >0 , si（i =1,2 , … , n）是系统的 个闭环极点。 ）是系统的n个闭环极点 根据代数方程的基本理论，下列关系式成立： 根据代数方程的基本理论，下列关系式成立： n a1 ∑ si = − a i =1 0
a2 ∑ si s j = a i =1 0
误差的基本概念 R(s) 1. 误差的定义 误差的定义有两种： 误差的定义有两种： 从系统输入端定义， ① 从系统输入端定义， 它等于系统的输入信号与 主反馈信号之差，即 主反馈信号之差， E(s)=R(s) −B(s) 3.6.1 E(s) G(s) H(s) B(s) C(s)
+
﹣
从系统输出端定义， ② 从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与 。（性能指标中经常使用 性能指标中经常使用） 希希值之差。（性能指标中经常使用） 对于单位反馈系统，两种定义是一致的。 对于单位反馈系统，两种定义是一致的。 2. 两种定义的关系 18
3.5.2 线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件 系统稳定的必要条件： 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭 环特征方程为
D( s) = a0 s n + a1 s n−1 + a2 s n− 2 + L + an−1 s + an = a0 ∏ ( s − si ) = 0
i =1 n
lim g ( t ) = 0
t →∞
那么，线性系统是稳定的。 那么，线性系统是稳定的。
5
不失一般性， 不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为
M ( s ) bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0 Φ ( s) = = D( s ) a n s n + a n −1 s n −1 + L a1 s + a0
16
13 4
劳斯表中第一列元素均 为正 ∴系统在s 右半平面没有 系统在 系统是稳定的。Fra bibliotek根，系统是稳定的。
2) 令 s = s1 − 1
2 s 13 + 4 s 12 − s 1 − 1 = 0
2 s13 + 4 s12 − s1 − 1 = 0 s 13 s 12 s 10 2 4 −1 −1 −1
表中： 的幂次排列，由高到低， 表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标 识作用，不参与计算。 识作用，不参与计算。 第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
8
sn sn−1 sn−2 ┋ s1 s0
a0 （c11） a1 （c21） b1 （c31）
a2 （c12） a3 （c22） b2 （c32）
a4 （c13） … a5 （c23） … b3 （c33） …
┋ 1 c i − 2 ,1 c i − 2 , j + 1 cij = − … c i − 1 ,1 c i − 1 ,1 c i − 1 , j + 1 bn (an) （cnn） ( i ≥ 3, j = 1, 2, …)
12
−7 6
例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 − 3s2 − s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。 试用劳斯判据判断系统稳定性。 解: 该系统的劳斯表如下 s4 s3 s2 s1 s0 第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时， 第二种特殊情况 劳斯表中某行元素全为零。此时， 劳斯表中某行元素全为零 特征方程中存在对原点对称的根（实根， 特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或 共轭复数根）。对此情况，可作如下处理： ）。对此情况 共轭复数根）。对此情况，可作如下处理： 1 1 −2 0 −3 −1 2 0 2
s3 s2 s1 s0
1 0(ε)
b1 = 2 + 3ε −ε
−3 2
∵ε→0+时，b1< 0，劳斯表 ， 中第一列元素符号改变了两 次 ∴系统有两个正根，不稳定。 系统有两个正根，不稳定。
2
（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为： ）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 − 3s2 − 7s + 6 = 0 s4 1 6 −3 s3 s2 s1 s0 3 −2/3 20 6
15
（3）确定系统的相对稳定性 ） 例3-9 检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面， 是否有根在 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 的右边？ −1的右边？ 的右边 s3 2 解：1) s2 10 s1 s0 12.2 4 坐标平移， 坐标平移，得新特征方程为
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次， 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴ 系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根， 系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根， 可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= −1 。 可解辅助方程求出。 对本例题，可用长除法求出另二个根， 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 14 s3=1 和 s4= −2 。
9
2. 劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 ） 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 例3-5 设有下列特征方程 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解：劳斯表 s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 −6 5 3 4 5 5
g( t ) = ∑ Ai e
i
q
− pi t
+ ∑ Bk e
k
r
−ξ k ω k t
sin(ω dk t + β k )
( t ≥ 0)
线性系统稳定的充要条件是： 线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的 所有根都具有负实部，或者说， 所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均 位于s左半平面 不包括虚轴）。 左半平面（ 位于 左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性， 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道 系统特征根的全部符号。如果能解出全部根， 系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可 判断系统的稳定性。然而对于高阶系统， 判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量 很大， 很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面 6 的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。 的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。