高等数学 函数的连续性
高等数学函数的连续性
x + 1 2
= lim
=
x1 3 x2 + 3 x + 1 3
（有理化， 去掉零因子）
例4、lim 1 + x sin x - 1 x0 1 - cos x
= lim ( 1+ x sin x -1)( 1+ x sin x +1) x0 (1- cos x)( 1+ x sin x +1)
求这一点的函数值。
例 求 lim arctan x = arctan1 =
x1 5 - x2
5 - 12 8
例1
lim
x1
3 1- x3
+
1 x -1
=
lim
x1
3
(1 + 1-
x+ x3
x2 )
=
lim
x1
2 - x - x2 (1- x)(1+ x +
（1）f x 在点x0处有定义；（2）f x 在点x0处的极限存在；
（3）f x 在点x0处的极限值等于f x在点x0处的函数值
提示: Dy=f(x0+Dx)-f(x0) 设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
2
又 lim tan x = ，此时我们称x = 是函数y = tan x的无穷间断点。
x
2
2
例
讨论函数f
x
=
sin
1 x
0
x x
=
0 0
在点x
高等数学函数的连续性
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
(3)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
例如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x, x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
对任意的, 当 0时, 有 sin | |,
故 y 2sin x x , 2
当x 0时, y 0.
《高等数学》第三节 函数的连续性
如果 x0 是函数 第一类间断点 可去间断点
f ( x) 的间断点,可将其分成两类:
f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在;
其它
f ( x) 在点 x0 处的左右极限至少有
第二类间断点
一个不存在. 无穷间断点 振荡间断点 其它
例2 考察函数
2 x 0 x 1 f ( x) 1 x 1 在 x 1处的连续性. 1 x x 1
解 该函数在点x 1 处没有定义,所以函数在x 1 处间断;又因为
1 x 1 x 1 lim
,极限
x 1
不存在，趋于无穷，所以 是函数
f ( x)
1 x 1 的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
解 该函数在
1 f (x) sin 在 x 0 处的连续性. x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 函数增量 y 也趋于零,即 x0 x0
,则称函数
y f ( x) 在点 x0
处连续，x0 称为函数 f ( x)
的连续点．
若记 x x0 x ,则 y f ( x) f ( x0 ) ,且当
x 0 处没有定义,
所以函数在 x 0 处间断,又因为当
x0
时,极限不存在,函数值在1与－1之间无
限次地振荡,所以 x 0 是
f ( x ) sin 1 x
的第二
类间断点,且为振荡间断点.
二、初等函数的连续性
g ( x) 均 定理1（连续函数的四则运算） 如果 f ( x)、
在点
f (b) ,
为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一实
高等数学：第一讲 函数的连续性
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
高等数学 第1章 第九节 函数的连续性与间断点
有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,
高等数学第五节 函数连续性
O
但是由于
2
x
lim f(x)1f(0)0,
x 0
因此 x = 0 是该函数的第一类间断点 . 这类间断点又 称为可移去间断点.
因为，如果修改定义 f (0) = 1， 则函数
s inx
f
(x)
x
,
x 0,
在 x = 0 连续.
1 , x 0
y
1
2 O
2
x
所以，左、右极限存在且相等的间断点称为 可移去间断点.
例如，由l于 im cc(c为 常 )， li数 m xx0,且
x x0
x x0
x0 （ ， ） 的 任因意 此，点 函数f， (x) = c, g (x) = x 在 ( ， ) 内连续.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 .
证 任取 x0 (- , + )，则因
y f (x0 + x) - f (x0) sin(x0 + x) - sinx0
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思： (1)它在该点的一个邻域内有定义; (2)极限存在; (3) 极限值等于该点处的函数值.
函数 y = f (x) 在x0处连续的几何意义是： 函数 y f (x) 的图形在点( x0,f (x0) )处不断开；
函数y = f (x) 在 (a, b) 连续的几何意义是： 函数 y f (x) 的图形在 ( a, b) 内连绵不断.
l i m f(x)g(x)l i m f(x)l i m g(x)
x x0
x x0
x x0
f(x0)g(x0)，
因此 f (x) · g (x) 在 x0 处连续 .
定理 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u
高等数学（8）函数的连续性与间断点
⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。
单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。
高等数学第八节函数的连续性
设函数 f (x) 在 U(x0)
内有定义, xU(x0) , 则称
y
x = x x0 为自变量 x 在
x0 点处的增量. 此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处
O
y = f (x)
y x x0
x
x
有增量 y
y = f (x) f (x0 ) = f (x0 + x) f (x0 )
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)
(2) lim f ( x) a 存在 ；( x x0 时, f ( x ) 有极限 )
讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处 的连续性.
y
解
lim | x | 0
x0
y=|x|
y x 0 | x | x 0 0
O
x
y = | x | 在点 x = 0 处连续.
例3
讨论函数 f (x) =
x2,
x 1,
x + 1, x >1,
在 x = 1 处的连续性.
x x0
(3) a f ( x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
例1
解
函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 且
lim x 0
高等数学 第6节 函数的连续性
因为
，所以此函数不连续.
定义4 设在x0的任何邻域内总有异于x0而属于函数
f (x)的定义域的点，而 f (x) 在x0处不连续，
则称x0是函数
f (x)
的一个间断点.
• 若 lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) A ，而函数 y f (x) 在点 x 0 x x x x 处无定义，或者虽然有定义，但 f ( x0 ) A，则点x 0 是函数 y f (x)的一个间断点，称此类间断点为函数
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例7. 设
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
讨论复合函数 解:
例1. 证明函数
在
内连续 .
证: x ( , )
y sin( x x) sin x
y 2 sin
x 2
cos( x
x 2
)
x
x 0
0
即 这说明 在 在
机动
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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例2. 设函数
y
又如,
1
o
1
x
y
也无最大值和最小值
2
1
o
1
2
x
机动
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有界性: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
高等数学-第一章 第八节连续函数
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 5
连续函数
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
连续函数
3. 左、右连续
若 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the
4
连续函数
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
f (u0 ).
意义 1. 变量代换 u g( x)的理论依据.
2. 在定理的条件下, lim 与f 可交换次序;
16
连续函数
定理3
若 lim x x0
g( x)
u0 , 函数
f
(u)在点u0连续,
则有 lim x x0
f [g( x)]
第3讲 函数的连续性
第3讲 函数的连续性函数的连续性是高等数学研究对象的一个基本特征，它往往是讨论函数问题的一个先决条件，连续函数性质经常是解决数学问题的有力工具.3.1 基本概念、内容、定理、公式1．定义 1 设)(x f 在a 的某个邻域内有定义，若对0,0>∃>∀δε，只要δ<-a x ，就有ε<-)()(a f x f .则称函数)(x f 在a 点连续.即 )lim ()()(lim x f a f x f ax ax →→==.2．定义2 函数)(x f 在a 点连续必须满足三个条件： （1）点a 属于函数定义域内； （2）)0(+a f 与)0(-a f 都存在； （3）)()0()0(a f a f a f =-=+；（其中)0(+a f =)(lim x f a x +→，)0(-a f =)(lim x f a x -→.）若上述三条件之一不成立，则称)(x f 在a 点不连续（间断），并称a 是函数)(x f 的不连续点（或间断点）. 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点；其余的间断点都称为第二类间断点. 一般来说，可疑间断点包括不在定义域内的点和分段函数的分界点. 3．闭区间上连续函数的性质定理1（有界性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在闭区间],[b a 上有界.即M x f b a x M ≤∈∀>∃)(],,[,0.定理2（最大值最小值定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在闭区间],[b a 上有最小值m 和最大值M .即],[,21b a x x ∈∃，使得M x f m x f ==)(,)(21.定理3（根的存在性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()(<b f a f ，则在开区间),(b a 内至少存在一点c ，使得0)(=c f .定理4（介值性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，m 和M 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值和最大值，ξ是m 和M 之间的任意一个数（M m ≤≤ξ），则],[b a c ∈∃，使得ξ=)(c f .3.2 例题选讲1. 求间断点类型例3-1设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1 112cos )(x x x x x f π，求)(x f 的间断点，并判别间断点的类型. 例3-2 设1lim )(2212+++=+∞→n n n x bxax x x f 为连续函数，试确定b a ,的值.例求函数2sin ()lim1(2)nn xf x x π→∞=+的所有间断点，并指出这些间断点的类型例3-3 试证狄利克莱(Dirichlet)函数)!(cos lim lim )(x m x D nn m π∞→∞→=对R x ∈∀都不连续.注：狄利克莱(Dirichlet)函数因它的性质太“坏”经常作为反例出现.例如有这样一个问题：已知函数在一点处连续能否推出此函数在这点的一个邻域内都连续呢？回答是否定的，即函数在一点处连续与函数在此点附近是否连续没有任何直接关系.请看下面例子： 设 ()0 \x x Qf x x R Q∈⎧=⎨∈⎩，则此函数仅在0x =处连续.问：能否改造此函数，使得函数仅在两个点、三个点……连续呢？（留给读者） 2. 有关连续性的证明例3-4（根的存在性定理的推广形式）设函数)(x f 在),(+∞a 上连续，A x f a x =+→)(lim ，B x f x =+∞→)(lim ，且0<⋅B A ，证明：),(+∞∈∃a ξ，使得0)(=ξf .例3-5（有界性定理的推广形式）设函数)(x f 在),(+∞a 上连续，A x f a x =+→)(lim ，B x f x =+∞→)(lim ，证明：)(x f 在),(+∞a 上有界.例3-6 试证：（1）奇次多项式1221120)(+++++=n n n a x a xa x p )0(0≠a 至少存在一个实根，其中,0,1,2,,21i a i n =+都是实数.（2）方程221012120n n n n a x a xa x a --++++=)0(0≠a ，20n a <至少有两个实根，其中,0,1,2,,21i a i n =+都是实数.例3-7 设)(x f 在]1,1[+n 上连续，)1()1(+=n f f ，证明：],1[n ∈∃ξ，使得)1()(+=ξξf f . 例3-8 若)(x f 在],[b a 上连续，且对任何],[b a x ∈，存在相应的],[b a y ∈，使得)(21)(x f y f ≤，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得0)(=ξf .例设()f x 在[,]a a -(0)a >具有二阶连续导数，(0)0f =， （1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）在[,]a a -上至少存在一点η，使得3()3()aaa f f x dx η-''=⎰。
高等数学（1）——连续
⾼等数学（1）——连续Fo r t h e id e a l t h a t I h o l d n e a r t o m y h e a r t, I'd n o t r e g r e t a t h o u s a n d t im e s t o d ie.亦余⼼之所善兮，虽九死其尤未悔。
题⽬得刷过去才⾏。
1.1.1函数的连续性连续：只要函数的在某⼀点处有定义，且其极限值与函数值相等，即在该点处连续。
左连续：函数在某⼀点有定义，左极限值与函数值相等。
右连续：函数在某⼀点有定义，右极限值与函数值相等。
1.2函数的间断点间断点：也称不连续点，以下三中⼀即为间断点，在某⼀点处没有定义在某⼀点处有定义，但极限不存在。
在某⼀点处有定义，但极限值不等于函数值。
第⼀类间断点：左右极限都存在的间断点。
左右极限相等就叫可去间断点。
左右极限不相等即跳跃间断点。
第⼆类间断点：不满⾜第⼀类间断点定义的间断点。
震荡间断点：⽆穷间断点：计算相关就是第⼀类间断点⽤的多，第⼆类常⽤于判断类型。
2.2.1连续函数的和差积商的连续性只要商时，分母不为零即都连续。
2.2反函数与复合函数的连续性反函数连续：只要原函数在指定区间单调且连续，则反函数也会在对应区间单调且连续。
复合函数：逐层判断连续。
2.3基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性：在其定义域内都是连续的。
定义区间：⼀定包含在定义域内的区间。
初等函数的连续性：在其定义区间内连续。
3.3.1有界性与最⼤值最⼩值定理有界性与最⼤值最⼩值定理：在闭区间上的连续函数在该区间上必定有界且存在最⼤值和最⼩值。
3.2零点定理与介值定理零点定理：连续函数f(x)在区间[a,b]，如果，则在区间[a,b]必定存在零点。
介值定理：连续函数在闭区间内有最⼤值M和最⼩值m，则在这个闭区间内存在⼀个数a，使得f(a)的介于M和m之间。
第⼀章三⼤殿：映射殿，极限殿，连续殿结束施⼯。
高等数学——连续函数的运算与性质
连续函数的运算与性质一、基本内容1. 连续函数的和、差、积、商的连续性：连续函数的和、差、积、商仍然连续。
2. 复合函数的连续性：设)(x u ϕ=在点0x 连续, 且00)(u x =ϕ, 而)(u f y =在点0u u =连续, 则)]([x f ϕ在点0x 也连续。
3. 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.4. 闭区间上连续函数的性质：1）最值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
2）有界性定理：在闭区间上连续的函数一定有界。
3）零点定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少存在一点ξ（b a <<ξ），使0)(=ξf 。
4）介值定理：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值A a f =)(及B b f =)(，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间),(b a 至少有一点ξ（b a <<ξ），使C f =)(ξ（b a <<ξ）5）推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
二、学习要求1. 了解初等函数的连续性。
2. 知道在闭区间上连续函数的性质。
三、基本题型及解题方法题型1 求初等函数在其定义区间内某点的极限解题方法：只需求初等函数在该点的函数值。
即)()(lim 0→0x f x f x x =, （∈0x 定义区间）【例1】 求极限：52lim20+-→x x x ； 解：因为 52)(2+-=x x x f 是初等函数，而0=x 是定义区间内的点，所以 52lim 20+-→x x x =5500=+-【例2】 求下列极限：（1）xx x sin ln lim 0→； （2）x x e 1lim ∞→。
解：（1）x x x sin ln lim 0→=x x x sin lim ln 0→=1ln =0 （2）x x e 1lim ∞→=x x e 1lim ∞→=0e =1 题型2 利用闭区间上连续函数的性质证明一些相关问题，如讨论方程的实根，函数的有界性等解题方法：一般解题步骤1）作辅助函数2）寻找闭区间，使辅助函数在该区间端点处的值异号，利用零点定理。
高等数学连续的概念
高等数学连续的概念
在高等数学中，连续是一个重要的概念。
连续性是指函数在某一区间上的无间断性和光滑性。
以下是关于连续的几个基本概念和定义：
连续函数：一个函数在某一点上连续，意味着函数在该点的值与其邻近点的值之间没有突变或断裂。
形式化地，函数f(x) 在点a 处连续的定义是：当x 无限接近于a 时，f(x) 也无限接近于f(a)。
连续点：对于函数f(x)，如果f(x) 在点a 处连续，那么a 就是函数f(x) 的一个连续点。
连续区间：在实数轴上，如果一个函数在区间[a, b] 上的每一个点都连续，那么该区间就被称为函数的连续区间。
间断点：对于函数f(x)，如果存在某个点a，使得f(a) 的值与其邻近点的值存在突变或断裂，那么 a 就是函数f(x) 的一个间断点。
连续性定理：在高等数学中，有一些重要的连续性定理，如介值定理、零点定理、极值定理等。
这些定理探讨了函数连续性与函数性质之间的关系。
连续性是数学中一个基本而重要的概念，它在微积分、实分析和其他数学分支中有广泛的应用。
连续性的概念使我们能够研究函数的光滑性、趋势和性质，为数学的推理和分析提供了重要的基础。
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lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
第一类间断点: 及
若 若 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 若其中有一个为 ,称 x0 为无穷间断点 . 若其中有一个为振荡, 称 x0 为振荡间断点 .
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均存在 , 称
x0 为可去间断点 .
称 x0 为跳跃间断点 .
sin x 例4 讨论函数 f ( x ) x , x 0, 的间断点. 0 ,x0 sin x 解 因为 lim 1. 即该函数在 x = 0 处的左、 x 0 x 右极限存在， 但是由于 lim f ( x ) 1 f (0) 0,
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左连续与右连续
左连续: 如果 lim f ( x) f ( x0 )存在且等于f ( x0 ), 即 x x0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
右连续: 如果 lim f ( x) f ( x0 ) 存在且等于 f ( x ), 即 0
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数
(3) 函数
在
在
x x0
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
不存在; 存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
称为不连续点或间断点 .
这样的点
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设函数y = f (x)在点 当自变量 在这邻域内从 地从 变到
的某一个邻域内是有定义的 变到 时函数y相应 因此函数 y 的对应增量为
y
其几何意义如右图所示：
y f( x )
y x
O
x0 x0x
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x
2.函数连续性的定义 定义: 设函数 在
如果 那么就称函数 设 在点 则
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思考与练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 x = 0 连续.
时 提示:
在
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作业 P49 2(1)(2)(4); 3 ; 4(2)
第九节 目录
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求函数
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
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1 x sin , x 0 ， 讨论 f ( x ) 在 x 0 处的连续性. x 0, x 0，
例2
1 解 因为 lim f ( x ) lim x sin 0 f (0) ， x 0 x 0 x
x 0
因此 x = 0 是该函数的可去间断点.
y
1
3
2
O
2
3
x
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因为，如果修改定义 f (0) = 1，则函数
sin x , x 0, f ( x) x 在 x = 0 连续. 1 , x0
y
1
3
2 O
第十节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
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一、 函数连续性的定义
1.变量的增量 设变量 从它的一个初值 变到终值 值的差 就叫做变量u的增量 记作 终值与初 即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
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例如:
y
π x 为其无穷间断点 . 2
y tan x
2
O
x
y y sin 1 x O x
x 0 为其振荡间断点 .
y
x 1 为可去间断点 . O 1
x
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x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1 显然 lim f ( x) 1 f (1)
x 0, 在x 0处的 x 0,
解
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0),
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点x 0处不连续.
所以 f (x) 在 x = 0 处连续.
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区
间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
如果函数在开区间 处右连续,在右端点 在闭区间 在闭区间 上连续. 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. 内连续,并且在左端点 处左连续,则称函数
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
O
1
x
y
1
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
O
x 0 为其跳跃间断点 .
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1
x
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间断点分类:
的间断点，并指出间断点的类型。
解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为
所以 而 所以
为间断点。为第二类无穷间断点。 Nhomakorabea所以
为第一类可去间断点。
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思考题
1. P49 题 5
2. 确定函数 f ( x)
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
解: 间断点 x 0 , x 1
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求函数
的所有间断点，并指出类型。
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间
的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间
断点及其类型。 解: 当
当 时， 时，
当
时，
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所以 因为
故 因为
是
的跳跃间断点;
故
也是
的跳跃间断点;
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导致函数图象断 开的原因？？？
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导致函数图象断开的原因：
y 2 y y 2
2.5 2
o 1 x
o1
x
o
1
x
1、函数在 x 1 处没有定义
2、函数在 x 1时极限不存在
3、函数在
x 1处的极限值和
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函数值不等
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二、 函数的间断点
的某一邻域内有定义 ,
处连续
y y f (x)
y
即
O
x0
x
x x
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定义: 设函数 且
在
的某一邻域内有定义 ,
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
前提条件
可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3)
在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
在点
存在 ;
简单地说，连续函数的图形能一笔画成。
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例3. 证明函数 证: x ( , )
在
内连续 .
y sin( x x) sin x
y 2 sin 2x cos( x 2x )
x
即 这说明 在 在
x 0
0
内连续 .
内连续 .
同样可证: 函数
x x0
函数
x 0
在点
连续有下列等价命题:
x x0
lim y 0
lim f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
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x 2, 例 1 讨论函数 f ( x ) x 2, 连续性.
2
3
x
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
第一类间断点
(左右极限都存在)
右连续 左连续 间断的类型 可去间断点: 左右极限相等,但不等于
函数值或无定义 跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
(左右极限至少有 一个不存在)
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
内变动无限多次