高数试题及答案[1]
高等数学试题及答案完整版
高等数学试题一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)1.设f(x)=lnx ,且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1,则[]ϕ=f (x)( ) ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2.()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰( )A .0B .1C .-1D .∞ 3.设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导,则必有( ).lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4.设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=,则f(x)在点x=1处( )A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5.设C +⎰2-x xf(x)dx=e ,则f(x)=( )2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0,1]上有定义,则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7.()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8.arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时,总成本是2g C(g)=9+800,则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰,则_____________.三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y),求','x y z z 。
高等数学习题及解答(1)
一般班高数作业(上)第一章 函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数,并说明原因: (2) y sin(arcsin x) 与(6) yarctan(tan x) 与 y x ;(4)y x ;(8)y x 与 y x2;y f ( x) 与 xf ( y) 。
解:判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。
(2) y sin(arcsin x) 定义域不一样,所以两个函数不一样;(4) y x 2x ,两个函数同样;(6) y arctan(tan x) 定义域不一样,所以两个函数不一样;(8) yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样,所以两个函数同样。
2、求以下函数的定义域,并用区间表示:x 211(2) yx;(7) y ex x;(3) y 2 xarcsinln 1x解:(2) x [ 2,0) ;(3) x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ;(7) x(0, e)(e,) 。
1 。
1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ,求 f ( x) f ( x) 。
解:按 x 0 , x 0 , x 0 时,分别计算得, f (x)0 x 0f ( x)x 。
2 04、议论以下函数的单一性(指出其单增区间和单减区间) :(2) y4xx2;(4) y x x 。
解:(2) y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ,单减区间为 [ 2,4] 。
(4) yx x2x x 0) 。
0 x ,定义域为实数集,单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性:(2)f ( x) x x2 1 tanx ;(3)f (x) ln( x2 1 x);(6) f ( x) cosln x ;1 x, x 0 (7) f (x)x, x 0。
1解:(2)奇函数;(3)奇函数;( 6)非奇非偶函数;( 7)偶函数。
6、求以下函数的反函数及反函数的定义域:2x), D f ( ,0) ;() f ( x) 2x 1, 0 x 1()。
《高等数学》试卷1(下)
《高等数学》试卷1(下)一.选择题(3分⨯10)1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ).A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2,则有( ).A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是( ).A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是( ).A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是( ). A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz =( ).A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则( ). A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为( ).A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ).A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ).A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题(4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分⨯6)1.设v e z usin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin,其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径).5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题(10分⨯2)1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ,()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时,用料最省.2..312x y =《高数》试卷2(下)一.选择题(3分⨯10)1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M ( ). A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为( ). A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为( ).A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为( ). A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz ( ).A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的,则( ).A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为( ).A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是( ). A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ).A.cx ey = B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题(4分⨯5)1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=,求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+(0>a )所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题(10分⨯2) 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图,以初速度0v 将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律().t x x =(提示:g dtxd -=22.当0=t时,有0x x =,0v dtdx=)试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3(下)一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分) 1、二阶行列式 2 -3 的值为( )4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ,则a 与b 的向量积为( ) A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P (-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点(1,4π)处的两个偏导数分别为( ) A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ,则yzx z ∂∂∂∂,分别为( ) A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R ,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为( )(面积A=2R π)A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为( )A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为( )A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是( ) A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为( ) A 、-2,-1 B 、2,1 C 、-2,1 D 、1,-2 二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分) 1、直线L 1:x=y=z 与直线L 2:的夹角为z y x =-+=-1321___________。
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1(上)一.选择题1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ).(A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()g x =(C )()f x x = 和 ()2g x =(D )()||x f x x=和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ).(A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是( ). (A )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(B )1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ (C )1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (D )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10.设()f x 为连续函数,则()102f x dx '⎰等于( ).(A )()()20f f - (B )()()11102f f -⎡⎤⎣⎦(C )()()1202f f -⎡⎤⎣⎦(D )()()10f f -二.填空题1.设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则a =.2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π,则()2f '=.3.()21ln dxx x =+⎰.三.计算 1.求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分xxe dx -⎰四.应用题(每题10分,共20分)1.求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一.选择题1.B 4.C 7.D 10.C 二.填空题 1.2- 2.33- 3.arctan ln x c + 三.计算题 1①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四.应用题1. 18S =《高数》习题2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩,则()1lim x f x →=( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导,且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线:22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题:CDCDB CADDD二填空题:1.-2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题:1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题:1.略 2.13S =《高数》习题3(上)一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一.1.3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写:'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线:1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线:1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ).A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是( ).A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x ( ).A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ).A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ). A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2( ).A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx( ). A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题(每小题4分)1、设函数xxe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ;三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim; 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数;3、求函数 1133+-=x x y 的微分;4、求不定积分⎰++11x dx;四、应用题(每小题10分)1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、C ; 6、B ; 7、B ; 8、A ; 9、A ; 10、D ;二、1、xe x )2(+; 2、94 ; 3、0 ; 4、xe x C C y 221)(-+= ; 5、8,0 三、1、 1; 2、x 3cot - ; 3、dx x x 232)1(6+ ; 4、C x x +++-+)11ln(212; 5、)12(2e- ; 四、1、38;《高数》习题5(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是( ).A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中,极限存在的是( ).A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim ( ). A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是( ). A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ,则=dy ( ).A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是( ).A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是( ).A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题(每小题4分)1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ,则有=-→)(lim 0x f x ,=+→)(lim 0x f x ;2、设 xxe y = ,则 =''y ;3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ,最小值是 ;三、计算题(每小题5分) 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ;2、求 x x y arccos 12-= 的导数;3、求函数21xx y -=的微分;4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ;5、求定积分⎰e edx x 1ln ;四、应用题(每小题10分)1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ; 2、A ; 3、D ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、D ; 10、B.二、1、 2 ,b ; 2、xe x )2(+ ; 3、 5ln ,0 ; 4、0 ; 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ; 2、1arccos 12---x x x ; 3、dx xx 221)1(1-- ; 4、C x ++ln 22 ; 5、)12(2e - ; 四、1、 29;。
完整)高等数学考试题库(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)。
1.下列各组函数中,是相同的函数的是()。
A)f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB)f(x)=|x|和g(x)=x^2C)f(x)=x和g(x)=x^2/xD)f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案:A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续,则a=()。
A)1B)0C)-1D)2答案:A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为()。
A)y=x-1B)y=-(x+1)C)y=(lnx-1)(x-1)D)y=x答案:C4.设函数f(x)=|x|,则函数在点x=0处()。
A)连续且可导B)连续且可微C)连续不可导D)不连续不可微答案:A5.点x=0是函数y=x的()。
A)驻点但非极值点B)拐点C)驻点且是拐点D)驻点且是极值点答案:A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是()。
A)只有水平渐近线B)只有垂直渐近线C)既有水平渐近线又有垂直渐近线D)既无水平渐近线又无垂直渐近线答案:B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是()。
A)f(1/x)+CB)-f(x)+CC)f(-1/x)+CD)-f(-x)+C答案:C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是()。
A)arctan(e^x)+CB)arctan(e^(-x))+CC)ex-e^(-x)+CD)ln(ex+e^(-x))+C答案:D9.下列定积分为零的是()。
A)∫π/4^π/2 sinxdxB)∫0^π/2 xarcsinxdxC)∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD)∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案:A10.设f(x)为连续函数,则∫f'(2x)dx等于()。
A)f(1)-f(0)B)f(2)-f(0)C)f(1)-f(2)D)f(2)-f(1)答案:B二.填空题(每题4分,共20分)。
高数A试题及答案[1]
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设f(x)=lnx ,且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1,则[]ϕ=f (x)( ) ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln lnx+2x-2x+22-x2.()002lim1cos tt xx e e dtx-→+-=-⎰( )A .0B .1C .-1D .∞3.设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导,则必有( ).lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4.设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=,则f(x)在点x=1处( )A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5.设C +⎰2-x xf(x)dx=e ,则f(x)=( )2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0,1]上有定义,则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________.7.()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8.arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时,总成本是2g C(g)=9+800,则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________. 14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰,则_____________.三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.a ⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y),求','x y z z 。
高等数学试题(含答案)
高等数学试题(含答案)高等数学试题(含答案)一、选择题1.已知函数f(x)=x^2+3x+2,下列哪个选项是f(x)的导数?A. 2x+3B. 2x+2C. x^2+3D. 3x+22.若函数f(x)=e^x,那么f'(x)等于:A. e^-xB. e^xC. ln(x)D. e^x+13.设函数y=f(x)在点x=2处可导,且f'(2)=3,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为:A. 2B. 3C. 1D. 6二、计算题1.计算极限lim(x→1) [(x-1)/(x^2-1)]答案:1/22.计算积分∫(0 to 1) (2x+1) dx答案:3/23.设曲线C的方程为y=x^3,计算曲线C的弧长。
答案:∫(0 to 1) √(1+9x^4) dx三、证明题证明:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)可导,那么必然存在c∈(a,b),使得 f'(c) = [f(b)-f(a)] / (b-a)。
证明过程:由于f(x)在区间[a,b]上连续,根据连续函数的介值定理,f(x)在[a,b]上会取到最大值M和最小值m。
设在点x=c处取得最大值M(即f(c)=M)。
根据费马定理,如果f(x)在点x=c处可导,并且f'(c)存在,那么f'(c)=0。
由于f(x)在(a,b)可导,故f'(c)存在。
那么,根据导数的定义,f'(c)=[f(c)-f(a)]/(c-a)。
又因为f(c)=M,将其代入上式得到f'(c)=(M-f(a))/(c-a)。
同理,根据费马定理,如果f(x)在点x=d处取得最小值m(即f(d)=m),那么f'(d)也等于0。
将f(d)=m代入上式得到f'(d)=(m-f(a))/(d-a)。
由于f(x)是连续函数,故在区间[a,b]上必然存在一个点c∈(a,b),使得它处于最大值M和最小值m之间,即m<f(c)<M。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一:极限的概念与计算问题:计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案:根据洛必达法则,当分子分母同时趋向于0时,可以对分子分母同时求导,得到:\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二:导数的应用问题:设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\),求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案:首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处,导数值为 \(f'(1) = -1\),函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\),即 \(y = -x + 1\)。
试题三:不定积分的计算问题:计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案:这是一个基本的三角换元积分问题,令 \(x = \tan(\theta)\),\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式,\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
自考高数1试题及答案
自考高数1试题及答案自考高等数学(一)试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,不是周期函数的是()。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案:C2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x = 1处的导数是()。
A. -1B. 3C. 5D. 7答案:D3. 定积分∫₀¹ x² dx的值是()。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案:A4. 二阶常系数线性微分方程y'' - 5y' + 6y = 0的特征方程是()。
A. r² - 5r + 6 = 0B. r² + 5r + 6 = 0C. r² - 6r + 5 = 0D. r² + 6r + 5 = 0答案:A5. 利用洛必达法则计算极限lim (x->0) [sin(x)/x]的正确步骤是()。
A. 直接代入x=0B. 计算分子的导数C. 计算分母的导数D. 计算分子和分母的导数答案:D6. 方程y² = x在点(4,2)处的切线斜率是()。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案:C7. 函数f(x) = ln(x)的值域是()。
A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案:C8. 利用定积分的几何意义,圆x² + y² = 4与直线y = x所围成的图形的面积是()。
A. 2πB. πC. 1/2πD. 4/3π答案:B9. 微分方程dy/dx + 2y = 8e²x的解是()。
A. y = 4e²x + Ce⁻²xB. y = 2e²x + Ce⁻xC. y = 8e²x + Ce⁻xD. y = Ce²x + 8e⁻²x答案:A10. 函数f(x) = x³在区间[-1, 2]上的最大值是()。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ).(A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()g x =(C )()f x x = 和 ()2g x =(D )()||x f x x=和 ()g x =1 2.函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续,则a =( ).(A )0 (B )14(C )1 (D )23.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ).(A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ).(A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微5.点0x =是函数4y x =的( ).(A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点6.曲线1||y x =的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是( ). (A )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(B )1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(C )1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(D )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8.x x dxe e -+⎰的结果是( ).(A )arctan xe C + (B )arctan xeC -+ (C )x x e e C --+ (D )ln()x x e e C -++9.下列定积分为零的是( ).(A )424arctan 1x dx x ππ-+⎰ (B )44arcsin x x dx ππ-⎰ (C )112x xe e dx --+⎰ (D )()121sin x x x dx -+⎰ 10.设()f x 为连续函数,则()12f x dx '⎰等于( ).(A )()()20f f - (B )()()11102f f -⎡⎤⎣⎦(C )()()1202f f -⎡⎤⎣⎦(D )()()10f f -二.填空题(每题4分,共20分)1.设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则a =.2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π,则()2f '=.3.21xy x =-的垂直渐近线有条. 4.()21ln dxx x =+⎰.5.()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三.计算(每小题5分,共30分) 1.求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1. 作出函数323y x x =-的图像.2.求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一.选择题1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二.填空题 1.2- 2. 3. 2 4.arctanln x c + 5.2 三.计算题 1①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四.应用题1.略 2.18S =《高数》试卷2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩,则()1lim x f x →=( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导,且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线:22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题:CDCDB CADDD二填空题:1.-2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题:1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题:1.略 2.13S =《高数》试卷3(上)一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一.1.3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写:'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线:1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线:1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ).A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是( ).A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x ( ).A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ).A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ). A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2( ).A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx( ). A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ).A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题(每小题4分)1、设函数xxe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ;4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ;三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim 0; 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数;3、求函数 1133+-=x x y 的微分;4、求不定积分⎰++11x dx;5、求定积分⎰eedx x 1ln ; 6、解方程21xy xdx dy -=;四、应用题(每小题10分)1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、C ; 6、B ; 7、B ; 8、A ; 9、A ; 10、D ;二、1、xe x )2(+; 2、94 ; 3、0 ; 4、xe x C C y 221)(-+= ; 5、8,0三、1、 1; 2、x 3cot - ; 3、dx x x 232)1(6+ ; 4、C x x +++-+)11ln(212; 5、)12(2e - ; 6、C x y =-+2212 ; 四、1、38; 2、图略《高数》试卷5(上)一、选择题(每小题3分) 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是( ).A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中,极限存在的是( ).A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim ( ). A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是( ). A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ,则=dy ( ).A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是( ). A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是( ).A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0,则=-⎰dx x a a22( ).A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程( )是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题(每小题4分)1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ,则有=-→)(lim 0x f x ,=+→)(lim 0x f x ;2、设 xxe y = ,则 =''y ;3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ,最小值是 ;4、=⎰-113cos xdx x;5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题(每小题5分) 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ;2、求 x x y arccos 12-= 的导数;3、求函数21xx y -=的微分;4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ;5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ;6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题(每小题10分)1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案(B 卷)一、1、B ; 2、A ; 3、D ; 4、C ; 5、B ; 6、C ; 7、D ; 8、A ; 9、D ; 10、B.二、1、 2 ,b ; 2、xe x )2(+ ; 3、 5ln ,0 ; 4、0 ; 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ; 2、1arccos 12---x xx ; 3、dx x x 221)1(1-- ;4、C x ++ln 22 ;5、)12(2e- ; 6、x e x y 122-= ;四、1、 29; 2、图略。
高数测试卷一及答案(第一章)
高数第一章测试一、选择题(每题5分)1、当x →0时,下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小( )A .x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案:C;211cos ~2x x -,22ln(1)~x x +, 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=, ∴该选(C )2、设当x →0时,(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小,而x sin x n 是比(2x e )高阶的无穷小,则正整数n 为()A.1B.2C.3D.4答案:B ;因为当0x →时,224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-,,所以214n <+<满足题设条件的2n =。
故选B 。
3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时() A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案:B ;【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
4、下列极限存在的是() A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案:A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=+,。
高等数学试题(含答案)
《高等数学》试题库一、选择题 (一)函数1、下列集合中( )是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且 2、下列各组函数中是相同的函数有( )。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是( )。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中,不成立的是( )。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中,( )是奇函数。
x xa . x xb s i n.211.+-x x a a c 21010.xx d -- 6、下列函数中,有界的是( )。
arctgx y a =. t g x y b =. xy c 1.=x y d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ,则()=x f ( )。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是( )。
π4.a π2.b π.c 2.πd9、下列函数不是复合函数的有( )。
xy a ⎪⎭⎫⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i nlg .= xe y d s i n 1.+=10、下列函数是初等函数的有( )。
11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式( ).(A )a x <<+∞ (B )+∞<≤x a (C )a x < (D )a x ≥ 12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=( ).(A )31t + (B )61t + (C )62t + (D )963332t t t +++13、函数log (a y x =+ 是( ).(A )偶函数 (B )奇函数 (C )非奇非偶函数 (D )既是奇函数又是偶函数 14、函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线( ). (A )0y = (B )0x = (C )y x = (D )y x =-15、函数1102x y -=-的反函数是( ).(A )1x lg 22y x =- (B )log 2x y = (C )21log y x= (D )1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos y x x =+是周期函数,它的最小正周期是( ).(A )2π (B )π (C )2π (D )4π 17、设1)(+=x x f ,则)1)((+x f f =( ). A . x B .x + 1 C .x + 2 D .x + 3 18、下列函数中,( )不是基本初等函数.A . xy )e1(= B . 2ln x y = C . xxy cos sin =D . 35x y = 19、若函数f(e x )=x+1,则f(x)=( )A. e x +1B. x+1C. ln(x+1)D. lnx+1 20、若函数f(x+1)=x 2,则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ,g(x)=x+1,则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0,1)B.(-1,0)C.(e -1,1)D. (e -1,e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫⎝⎛++=21ln xx y C.e x D.sinx 225、若函数f(x)是定义在(-∞,+∞)内的任意函数,则下列函数中( )是偶函数。
大一下半学期高数题答案与试卷(1)
答案与提示 第十章 微分方程一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B 二、填空题1. 05|2='=+⎧⎨=⎩x y y y 2. 2221+=x y 3. d cot d y x u u u x x ==, 4. 12e e x x y x C x C =+++ 5. p ;p ';0xp p '+= 6. p ;d d p py ;2d 20d pyp p y+= 7. 220'''-+=y y y 三、综合题 1. ⑴ 213ln ||1=++-y x x x ⑵ 21(arctan )2=y x ⑶ 21arctan 2=++y x x C 2. ⑴ 45=+x Cy x⑵ 2(1)e y x y -=+ 3. 22e e x x --4. ⑴ 5712e e x x y C C =+ ⑵ 2e xy x -= ⑶ 212e (cos sin )xy C x C x =+5. 12()e euuf u C C -=+ 6. 22123e e (3)e 2x x x y C C x x ---=++-第六章 空间解析几何与向量代数一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. D 二、填空题1. (,,)---a b c2. 13. ⑴ 120==D D ⑵ 120==B B 且12,D D 不全为0 ⑶ 12120====C C D D4. 5++=x y z5. 6. {}22(,)2+≤x y x y 7. 22450-=z y 8. 22=+z x y 三、综合题1. | r | = 6,错误!未找到引用源。
2. ⑴121012--+==x y z ⑵ 112132-+-==-x y z3. 7510-+-=x y z4. 30+=x y 或30-=x y5. 354250+-+=x y z6. 2230-=x y第七章 多元函数微分学一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B二、填空题1. {}(,)10x y x y x y +>-+≠且 2. 2 3. 2cos 2cos +y x x y 4. 1112250221---++-===x y z x y z5. 6. 3,1 7. 9813 三、综合题1. 22. cos()2∂=+∂z y xy xy x ,2cos()∂=+∂z x xy x y ,2cos()sin()2∂=-+∂∂z xy xy xy x x y2 3. 1d d ln d ln d yz yz yz u yzxx zx x y yx x z -=++ 4.e ,x zf f y x u v∂∂∂=+∂∂∂ ∂∂=∂∂z fxy u5.22d 1)d z y x x y =-+ 6. cos()1cos()11cos()1cos()z yz xyz z xz xyz x xy xyz y xy xyz ∂-∂-==∂-∂-, 第八章 二重积分一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A二、填空题 1. (,)d d Df x y x y ⎰⎰ 2. 连续 3. >;< 4. 41+xy 5. 4π 6. 1 7. 33πa8.422d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 9.2221d (,)d y yy f x y x +-⎰⎰ 10. d d x y ;d d r r θ三、计算题 1. ⑴ 1111d (,)d x f x y y --⎰⎰ 或1111d (,)d y f x y x --⎰⎰ ⑵11d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 或1d (,)d yy f x y x ⎰⎰⑶ eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰或1ee d (,)d y yf x y x ⎰⎰⑷122001d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰或1201d (,)d yy f x y x -⎰⎰或242222d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰或40d (,)d y f x y x ⎰2. 64153. 26π-4. 136. e 2-7.763 8. 2(1e )R π-- 9. 9210. 6π内蒙古农业大学2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》(B2)试卷 A一、填空题(每小题2分,共20分) 1. 点()231,,--在第( )卦限2.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 (3)(2)a b →→⋅-= ( ). 3.点)1,1,2(到平面22100x y z ++-=的距离( )4. 1(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域为( )5.(,)f x y =35(,)f =( )6. 设z xy =, 则 =dz ( ).7. 已知22dz x dx y dy =+,则2zx y∂=∂∂( ).8. 若 D={(y x ,)︱0201,x y ≤≤≤≤}, Dd σ=⎰⎰( ).9. 一阶线性微分方程sin 1xy y x x '+=的通解是( ).10. 特征方程2320r r +-=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题(每小题2分,共20分)1.过点(2,3,1)且垂直z 轴的平面方程为( )A 1z = B. 3y = C. 2x = D. 230x y z ++= 2. 03sin limx y xyx →→=( ) A 4 B. 2 C. 3 D. 1 3. 22limx y x yx y →→=+().A. 0B. 不存在C. 2D. 14. 已知32(,)f x y x y =, 则 (1,1)x f =( )A. 1B. 2C. 4D. 35.22{(,)9}D x y x y =+≤则Dd σ⎰⎰=( )A. 18πB. 14πC. 16πD. 12π6.已知平面2433x y z ++=与平面29x ky z +-=垂直,则k =( )A. 0B. 2C. 1D. 37. 设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=,那么a b →→⨯= ( ).A. b a →→⨯ B. b c →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯8. 就二元函数而言,下列说法正确的是 ( ).A. 可导一定连续B. 连续一定可导C. 可导、连续互为充要条件D. 可导、连续彼此无关 9. 微分方程ydx xdy =通解是( ).A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 下列方程是三阶微分方程的是( )A. 2y y x '-= B. 32()y y x '''-= C. 23()30y y '+= D. 22y y x '''=+4 三、判断题(每小题2分,共20分)1. 空间任意两个向量(自由向量)一定是共面的 ( )2. 此式子()a b c →→→⨯⋅表示一个数 ( ) 3. (2,1,3),(1,1,2),a b →→==则 a b →→⨯9= ( ) 4.r i j k →→→→=++是单位向量. ( )5. 2222lim x y x y x y→→-=-2 . ( )6. 已知z x y =+,则 dz dx dy =+. ( )7. 已知2229x y z ++=,则z xx z∂=-∂ ( ) 8.(,)Df x y d σ=⎰⎰(,)Df x y dxdy ⎰⎰. ( )9.()10,y dy f x y dx ⎰⎰=()1,xdx f x y dy ⎰⎰. ( )10.微分方程1y ''=的通解是y =12c x c +. ( ) 四、计算题(每小题8分,共40分)1. 求平行于y 轴且过点1P (1,5,1)-及2322(,,)P -的平面方程2.已知22z u v =+,,u xy v x y ==-, 求 dz 3. 求23223(,)f x y x x y y =++-的极值.4. 计算Dxy d σ⎰⎰, 其中D 是由直线0,y x y ==和1x =所围成的闭区域.5. 求微分方程320y y y '''-+=满足初始条件00,1x x yy =='==的特解内蒙古农业大学 2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》(B2)试卷 A 评分参考一、填空题(每小题2分,共20分)1.(六)2. ( 6).3. ( 1 ) 4. ( 1x y +->02,x y +≠ )5. ( 4 )6. ( ydx xdy + )7. ( 0 ).8. ( 2 ) .9. (1(cos )x c x-+ ). 10. ( 320y y y '''+-= ).二、选择填空题(每小题2分,共20分)1. A 2. C. 3. B. 4. D. 5. A. 6. C. 7. B. 8. D 9. B. 10. D. 三、判断题(每小题2分,共20分)1. √2. √3. ×4.×5. ×6. √7. √8. √9. × 10. × 四、计算题(每小题8分,共40分)1. 解 平行于y 轴的平面方程为 0Ax Cz D ++= 此平面过1P (1,5,1)-和2322(,,)P -得 0320,A C D A C D ++=-+= 解得 3255,A D C D =-=- 带入 3250x z +-= 2. 解22z z u z vuy v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂,22z z u z v ux v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂ 2222()()z zdz dx dy uy v dx ux v dy x y∂∂=+=++-∂∂ 3. 解22236,f f x y y x y ∂∂=+=-∂∂ 令00,f fx y ∂∂==∂∂ 得 12121102,x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 222222066,,f f fy x x y y∂∂∂===-∂∂∂∂ (1)1110x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===--=-<0, 1110x y =-⎧⎨=⎩ 不是极值点.(2)2212x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===-=>0,A >0,∴(,)f x y 在12(,)-取得极小值125(,)f -=-4. 解112000120x Dx xy d dx xydy xy σ==⎰⎰⎰⎰⎰1301128x dx ==⎰5. 解 2320r r -+=, 解得 1212,r r ==, 通解为 212x x y c e c e =+ 2122x xy c e c e '=+ , 由 00,1x x yy =='== 得 1212021,c c c c +=+=解得 1211,c c =-=, 特解为 2x xy e e =-+内蒙古农业大学2013—2014学年第二学期经济类《高等数学》(B2)试卷 A一、填空题(每小题2分,共20分)1.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 a b →→⨯= ( ). 2. 过点(3,2,1)且垂直y 轴的平面方程为( )63. 22123limx y x y x y →→+=+( )4. (,)arccos x f x y y=,则12(,)f =( )5. 1(,)f x y x y =-间断点为( )6. 已知2(,)f x y xy =, 则 (1,1)y f =( )7.设33z x y =+, 则 =dz ( ). 8.交换积分顺序()10,y dy f x y dx ⎰⎰=( )9.微分方程1y ''=的通解是( ).10. 特征方程2330r r -+=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题(每小题2分,共20分)1.设(1,1,2),(2,1,2),a b →→=-=-则 (2)(3)a b →→⋅-= ( ).A 18 B. 19 C. 20 D. 21 2.点312(,,)-到平面2230x y z -+-=的距离( )A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 103lim(1)xx y xy →→+=( )A 2e B. e C. 1 D. 3e4. 已知dz ydx xdy =+,则2zx y∂=∂∂( ). A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 5.22{(,)9,0}D x y x y x =+≤≥则Dd σ⎰⎰=( )A. 12πB. 10πC. 11πD. 9π6.已知平面2433x y z ++=与直线12312x y z k ---==-平行,则k =( )A. 0B. 2C. 1D. 37.已知()u f xy =, 则uy∂=∂( ) A. ()f xy ' B. ()xf xy ' C. ()yf xy ' D. ()xyf xy ' 8.设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=,那么a b →→⨯= ( ).A. b c →→⨯ B. b a →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯9. 微分方程xdx ydy =通解是( ).A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 可分离变量的微分方程的是( )A. 32()y y x ''-= B. 22y x y '= C. 23()30y y '+= D. 2y y x '-= 三、判断题(每小题2分,共20分)1. 空间任意三个向量(自由向量)一定是共面的. ( )2. 2433,,πππαβγ===是某一向量的方向角. ( ) 3. 2sin lim 2x y xy y →→=。
高等数学习题及解答 (1)
普通班高数作业(上)第一章 函数1、试判断下列每对函数是否是相同的函数,并说明理由:(第二版P22:4;第三版P8:1)(注:“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题) (2))sin(arcsin x y =与x y =; (4)x y =与2x y =;(6))arctan(tan x y =与x y =; (8))(x f y =与)(y f x =。
2、求下列函数的定义域,并用区间表示:(第二版P22:5;第三版P8:2)(2)xx x y -+=2; (3)x y x -+=1ln arcsin 21;(7)xey xln 111-+=。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,1)(22x x x x x f ,求)()(x f x f -+。
(第二版P23:10;第三版无) 4、讨论下列函数的单调性(指出其单增区间和单减区间):(第二版P23:11;第三版P12:1) (2)24x x y -=; (4)x x y -=。
5、讨论下列函数的奇偶性:(第二版P23:12;第三版P12:2)(2)x x x x f tan 1)(2+-=; (3))1ln()(2x x x f -+=;(6)x x f ln cos )(=; (7)⎩⎨⎧≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。
6、求下列函数的反函数及反函数的定义域:(第二版P23:16;第三版P14:1)(1))0,(),21ln(-∞=-=f D x y ; (6)⎩⎨⎧≤<--≤<-=21,)2(210,12)(2x x x x x f 。
7、(1)已知421)1(x x x x f +=-,求)(x f ;(2)已知2ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ求)(x ϕ。
(第二版P23:19;第三版P16:3)8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中,哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ?哪些不可复合?为什么?(第二版P24:23;第三版P16:7)(2)21,arccos )(xxu u u f +==; (4)x u u u f sin ),1ln()(=-=。
大一高数试题及答案[1]
大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。
2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。
x5.∫─────dx=_____________。
1-x416.limXsin───=___________。
x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。
dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an 发散,则级数∑ an_______________。
n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0 ② 1 ③ 2 ④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( )①平行于xoy面的平面 ②平行于oz轴的平面 ③过oz轴的平面 ④直线x8.设f(x,y)=x3+ y3+ x2ytg── ,则f(tx,ty)= ( ) y①tf(x,y) ②t2f(x,y) 1③t3f(x,y) ④ ──f(x,y)t2an +1 ∞9.设an ≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an ( ) n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散 ②在p≥1时收敛,p〈1时发散 ③在p≤1时收敛,p〉1时发散 ④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程 y'+3xy=6x2y 是 ( )①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是 ( )①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx ④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0② 1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ an xn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=() D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。
高等数学下考试题库(附答案)(1)
《高等数学》试卷1(下)一.选择题(3分10)1.点到点的距离()。
A.3B.4 C。
5 D。
62。
向量,则有( ).A。
∥ B.⊥C。
D。
3。
函数的定义域是().A. B.C。
D4。
两个向量与垂直的充要条件是().A。
B。
C。
D。
5.函数的极小值是()。
A.2B. C。
1 D.6.设,则=().A. B。
C. D。
7.若级数收敛,则()。
A. B。
C。
D。
8.幂级数的收敛域为( )。
A。
B C. D。
9。
幂级数在收敛域内的和函数是( ).A。
B. C。
D。
10。
微分方程的通解为()。
A。
B。
C. D.二.填空题(4分5)1.一平面过点且垂直于直线,其中点,则此平面方程为______________________.2.函数的全微分是______________________________.3.设,则_____________________________.4。
的麦克劳林级数是___________________________。
5.微分方程的通解为_________________________________。
三。
计算题(5分6)1.设,而,求2。
已知隐函数由方程确定,求3。
计算,其中.4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(为半径).5.求微分方程在条件下的特解.四。
应用题(10分2)1。
要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2。
.曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点,求此曲线方程.试卷1参考答案一.选择题CBCAD ACCBD二.填空题1。
.2。
.3。
4. .5。
三。
计算题1。
,。
2..3.。
4. .5。
四.应用题1.长、宽、高均为时,用料最省。
2.《高数》试卷2(下)一。
选择题(3分10)1。
点,的距离().A。
B. C. D.2.设两平面方程分别为和,则两平面的夹角为()。
试题库(高数(1))第一章
第一章客观题及答案1.xx y 1arctan 3+-=的自然定义域是( C ) A .{}3<x x B .{}0≠x x C .{}0,3≠<x x x D .{}30<<x x2.若x x g x x f lg 2)(,lg )(2==,则下列叙述正确的是( B )A .)()(x g x f =B .)()(x g x f ≠C .)()(x g x f >D .)()(x g x f <3.x x f =)(,下列说法正确的是( D )A .是分段函数B .是非初等函数C .是可导函数D .是初等函数4.若函数)(x f 的定义域[]2,0=D ,则)(2x f 的定义域是( A ) A .[]2,2- B .[]2,0 C .[]4,0 D .[]4,4- 5.下列说法错误的是( B )A .两个偶数的和是偶数,两个奇数的和是奇数B .两个偶数的积是偶数,两个奇数的积是奇数C .偶数与奇数的积是奇数D .偶数与一个非奇非偶的函数的和奇偶性不定6.若[]n nx n n 11)1(++-=,则关于{}nx 的极限下列说法正确的是( A ) A .极限不存在 B .极限为1 C .极限为0 D .极限为27.n n n x 312+=的极限是( B ) A .0 B .32 C .不存在 D .1 8.设a x n n =∞→lim ,下列说法不正确的是( C ) A .在a 的任意去心邻域内都含有{}n x 中的无数多个点B .在a 的任意邻域外都至多含有{}n x 中的有限多个点C .存在N ,对任意的正数ε,当N n >时,都有ε<-a x nD .对任意的正数ε,存在正数N ,当N n >时,都有ε<-a x n9.设0lim >=∞→a x n n ,下列说法不正确的是( D ) A .数列{}n x 有界 B .存在正数N ,当N n >时,0>n xC .a x n n =∞→lim D . 对任意n ,0>n x 10.a x n n ≠∞→lim 的充要条件的是( D ) A .{}n x 中任意子列都收敛 B .{}n x 中任意子列都收敛于aC .{}n x 中奇数项子列与偶数项子列都收敛于aD .存在{}n x 中的两个子列收敛于不同的极限11.若0)(lim >=∞→a x f x ,则下列说法不正确的是( B ) A .a x f x f x x ==+∞→-∞→)(lim )(lim B .0)(>x f C .M x st M >>∃,,0时,)(x f 有界 D .a y =是)(x f 的水平渐近线12.0)(lim 0>=→a x f x x ,下列说法正确的是( A ) A .左、右极限都存在,且都等于aB .{}n x 是)(x f 定义域内任一收敛于0x 且不等于0x 的数列,都有{})(n x f 收敛C .0x x =是)(x f 的垂直渐近线D .0)(>x f 13.=+-+-∞→1521lim 233n n n n n ( B ) A .0 B .1 C .∞ D .21 14.=+++∞→112lim 322n n n n ( A ) A .0 B .1 C .∞ D .21 15. =--∞→nn n n 51lim 23( C ) A .0 B .1 C .∞ D .21 16.=>∞→n n a a lim ,0( B )A .0B .1C .∞D .2117.当0→x 时,113-+x ~( D )A .xB .x +1C .∞D .x 3118.当0→x 时,x 2cos 1-~( D )A .xB .x 2C .221x D .22x19.=→x xx 5sin 2tan lim 0( B ) A .0 B .52C .∞D .∞-20.=--+→1cos 1)21(lim 3120x x x ( C )A .0B .1C .34-D .21-21.当0→x 时,x x x 1cos sin 2+是)1ln()cos 1(x x ++的( A )A .同阶无穷小B .高阶无穷小C .等价无穷小D .低价无穷小22.当0→x 时,34)1(x xx ++是x 的( B )A .高阶无穷小B .同阶无穷小C .等价无穷小D .低价无穷小23.下列说法正确的是( D )A .若)(x f 在0x 的左、右极限都存在,则)(x f 在0x 连续B .若)(x f 在0x 的极限存在,则)(x f 在0x 连续C .一切的初等函数在其定义域上都连续D .若)(x f 在0x 连续,则)(x f 在0x 的极限必存在24.若0x 是)(x f 的间断点,则下列说法中,0x 不是)(x f 的第一类间断点的是( B)A .)(x f 在0x 无定义B .)(x f 在0x 的左极限不存在C .)(x f 在0x 的左、右极限都存在,但不相等D .)(x f 在0x 的极限存在,但不等于)(0x f25.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,cos 0,)(21x x x a e x f x 在0=x 连续,则=a ( A )A .0B .1C .34-D .21- 26.若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0),1ln(10,00,sin )(x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的( B ) A .连续点 B .可去间断点 C .跳跃间断点 D .第二类间断点27.下列说法错误的是( C )A .若)(x f 在0x 即左连续又右连续,则)(x f 在0x 点连续B .若)(x f 在0x 的连续,则)(x f 在0x 的连续C .若)(x f 在0x 的连续,则)(x f 在0x 的连续D .若)(x f 在0x 有定义,则0x 不是连续点就是间断点28.下列述叙错误的是( D )A .若)(),(x g x f 在0x 连续,则)()(x g x f ±在0x 点连续B .若)(),(x g x f 在0x 连续,则)()(x g x f ⋅在0x 点连续C .若)(),(x g x f 在0x 连续,则0)(,)()(0≠x g x g x f 在0x 点连续D .若)(),(x g x f 在0x 连续,则))((x g f 在0x 点连续29.=+→xx x 2cot 20)tan 31(lim ( C )A .0B .1C .3eD .430.若11)(11+-=x xe e xf ,则0=x 是)(x f 的( A )A .可去间断点B .连续点C .跳跃间断点D .第二类间断点 31.))21(cos 11sin (lim 2-+∞→--++e x x x x x x xx x =( B )A .0B .1C .2eD .不存在32.下列说法正确的是( C )A .若)(x f 在[]b a ,连续,则)(x f 在[]b a ,必有零点B .若)(x f 在[]b a ,有间断点,则)(x f 在[]b a ,必无界C .若)(x f 在[]b a ,连续,则)(x f 必取得介于最大值与最小值之间的任何值D .若)(x f 在[]b a ,连续,则)(x f 在),(b a 必有最大值与最小值33.数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的( B )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .无关条件34.)(x f 在0x 有定义是)(x f 在0x 收敛的( D )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .无关条件35.设(Dirichlet )函数⎩⎨⎧=是无理数时,当是有理数时当x x x D 0,1)(,则下列说法正确的是( A ) A .处处不连续 B .在有理点连续 C .在无理点连续 D .在0=x 连续36.=+∞→xx xx 2)1(lim ( D ) A .0 B .1 C .3e D .2e37. =-→x x x 1)21(lim ( C ) A .2e B .1 C .2-e D . 3e38.设,232)(-+=x x x f 则当0→x 时,有( )A .)(x f 与x 是等价无穷小B .)(x f 与x 同阶但非等价无穷小C .)(x f 是比x 高阶的无穷小D .)(x f 是比x 低阶的无穷小39.)(x f 在0x 的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0x f x x 的( B )条件 A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .无关条件40.设)(x f 的定义域是[]1,0,则)(ln x f 的定义域是( A )A .[]e ,1B .[]e ,0C .[]1,0D .[)+∞,041.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,)(cos )(2x a x x x f x 在0=x 连续,则=a ( B ) A .0 B .1 C .34- D .21-42.=+++∞→1)1232(lim x x x x ( A ) A .e B .1 C . 2e D .2-e43.=++++++∞→)12111(lim 222n n n n n ( A )A .0B .1C . nD .∞+44.若)(x f 在0x 的某右邻域内单调递增,则下列说法证确的是( D )A .若有上限,则)(x f 在0x 点有极限B .若有下限,则)(x f 在0x 点有极限C .若有上限,则)(x f 在0x 点有右极限D .若有下限,则)(x f 在0x 点有右极限 45.0lim =∞→n n x 是0lim =∞→n n x 的( C ) A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .无关条件。
考研高数1试题及答案
考研高数1试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \),下列选项中,\( f(x) \) 的导数正确的是:A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案:A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵,\( \det(A) = 2 \),则\( \det(2A) \) 的值是:A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是:A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案:B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是:A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。
答案:\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。
答案:\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。
答案:\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \),则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。
答案:1三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
高数总复习题一答案
高数总复习题一答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是()A. RB. (-∞, +∞)C. {x|x≠0}D. {x|x≠-3/2}答案:A2. 函数f(x)=1/x的值域是()A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)D. R答案:C3. 若f(x)=x^2,求f'(x)=()A. 2xB. x^2C. 2D. x答案:A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是()A. -6B. -12C. 0D. 6答案:D5. 函数f(x)=sin(x)的周期是()A. πB. 2πC. π/2D. π/4答案:B二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x+5,则f'(x)=______。
答案:3x^2-4x+17. 函数y=x^2+2x+3的极小值点是______。
答案:x=-18. 若曲线y=x^3与直线y=6x-9相切于点P,则点P的坐标为______。
答案:(1,0)9. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。
答案:1/x10. 函数y=x^2-4x+7在区间[2,5]上的最大值是______。
答案:7三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
答案:首先求导f'(x)=3x^2-12x+11,令f'(x)=0,解得x=1,x=11/3。
在区间[1,3]内,x=1是极小值点,f(1)=0;x=11/3不在区间内,所以区间端点处的值也需要比较,f(3)=12。
因此,最大值为12,最小值为0。
12. 已知某函数f(x)=x^3-3x^2+2x,求其在x=2处的切线方程。
答案:首先求导f'(x)=3x^2-6x+2,然后计算f'(2)=2,f(2)=2。
切线方程为y-2=2(x-2),即y=2x-2。
四、证明题13. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是严格递增的。
高数一试题及答案
《高等数学(一)》复习资料」、选择题1.2若 lim x -x k _5,则 k _( )x )3x -3A. -3B.-4C.-5 D. -62. 若lim ―1x 2 -k 2,x -1则 k =( )A.1;. 2 C.3 D.43. 曲线y=e x -3sinx 1在点(0, 2)处的切线方程为() A. y =2x 2 B. y = -2x 2 C. y = 2x 3 D. y = -2x 34. 曲线y =e x -3sin x -1在点(0,2)处的法线方程为()x -15.妁——=()x 1sin xA. 0B. 3C. 4D. 5x6.设函数 f (x) = [ (t +1)(t —2)dt ,贝U f \3)=()7.求函数y =2x 4 -4x 3,2的拐点有()个 A 1 B 2 C 4 D 010.设f (x )=x -3x ,5,则 f (0)为 f (x )在区间[-2,2]上的(B.y = --x 2 C.28.当x 》::时,下列函数中有极限的是(1 A. sinx B. x C. e9.已矢口 f '(3)=2 , h im 0f(3-h)-f (3)2hx 1X 2-1 )。
D. arcta nx)。
A.极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数 f(x)在[1,2]上可导,且 f'(x) ::: 0, f (1) . 0,f (2) ::: 0,则 f(x)在(1,2)内 ()A.至少有两个零点B.有且只有一个零点C.没有零点D.零点个数不能确定12. [f (x) xf '(x)]dx =().A. f(x) CB. f '(x) CC. xf (x) CD. f 2(x) C13. 已知 y = f 2 (In x 2),则 y = ( C )14. d . f (x)=( B) 0 C-2 DA.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19.已知 y = f(ln x),则 y = ( A )A. df (x)B. f (x)C. df (x)D. f (x) CA.2 f (lnx 2)f(ln x 2)4 f (ln x 2)B. -------------C.x 24 f (ln x 2) f \ln x 2) p2f (In x 2)f (x)x 2A. f '(x) CB.f(x) C.f (x)D. f(x) C15.xdx = ( DA. 2xln x +CB.C. 2ln x CD. ln x ? C16. A. 2B.4 D.17. 设函数 f (x)二 C.x(t-1)(t 2)dt ,则 f (-2)=()18. 曲线 y =x 3的拐点坐标是() A.f (ln x)B. f (ln x)C. xf(ln x)D f (ln X )x20. d df(x) -( A)21. In xdx = ( A )A. xl nx — x CB. In x —x CC. In x — xD. In x二、求积分(每题8分,共80分)1 .求 cosx sin xdx3.求 arctan xdx .4.求Je 酥dx5.求dx . 'x —5x +6兀27 计算 f x cosxdx .8.求厂匕dx .2 211. 求 1 2xe» dx 12. 求 3x 2 .3「x 3dx14.求 x .3 -x 2dx三、解答题, A1. 若 lim 3x- ax 2-x1 二一,求 af 62 讨论函数f (x) =-x 3-2x 2 • 3x -3的单调性并求其单调区间2.求34 3ln x ,dx .6. 求定积分8dx 013x9.求dx ' 1 +$x + 2x-求函数f(x)= x _x_2的间断点并确定其类型 x —2i x = a cost求由方程y’sint 确定的导数y x .严1e x ,x cO函数f(x)= 1,x = 0 在x=0处是否连续?tanx, x A 0"1e x ,x c0函数f (x) =[1,x =0 在x = 0处是否可导?tanx, x 0求抛物线y =x 2与直线y 二x 所围成图形D 的面积A . 10.计算由抛物线y 2 =2x 与直线y =x -4围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程y =sin y xe y 确定的函数,求 y 12. 求证:In x :: x -1, x 113. 设y 是由方程y =1 xe y 确定的函数,求 \14. 讨论函数f(x) =2x 3 -9x 2,12x-3的单调性并求其单调区间 15. 求证:e x • 2x —1,16. 求函数f(x)「(1-;)的间断点并确定其类型X —X五、解方程1. 求方程 y 2dx ,(x 2 -xy)dy =0 的通解.2. 求方程yy • y 2 = 0的通解.3.4. 设 xy 2 sin x =e xy ,求 y5. 求y =(x 2的导数. 5(x 3)6. 7. 8. 9.3. 求方程 厂一2y : y = x 2 3的一个特解.4. 求方程y -5y • 9y =5xe ;x 的通解.高数一复习资料参考答案 一、选择题 I- 5: DABAA 6-10: DBCDD II- 15: BCCBD 16-21 : ABAAAA 二、求积分1 .求 cosx , sin xdx___ _________ 2解:cosx 、、sin xdx 二 sin xd (sin x) sin32.J(4 3lnx)34解:设 u = arctanx , dv 二 dx ,即二 xarcta n x - 十X=3t 2e t -6te t6 e t dt =3t 2e^6te t 6e t C2 2=xarctanxIn(1 x ) C . 34. 求[e ,x dx解:3jxX = td3t 2dt =3 t 2ddt Fd -3 e? 2td^3t 2e t -6 te t dtx+c =2Js in 3x+C3解:4 3In xdx 二(4 3Inx)3d(ln x) x1(4 3ln丄d(4 3ln x)33. 求 arctan xdx -a r ct acid 炉 xa r ctxa n(arcx 2dx=3e x (3 x 2 -23 x 2) C .5.求3 dx -'x —5x +6解:由上述可知V 35—,所以x -5x 6 x-2 x-3「 x +3 i .z -5 6 、i l 「 1 i 「 1 i 巧 dx = ( )dx - -5 dx 6 dx x -5x 6 x-2 x -3 x-2 x-3=-5ln x- 2 +6ln x -耳 +C .解:令于? = t ,即 x = t ‘,贝U dx =3t 2dt ,且当 x = 0 时,t=0 ;当 x = 8 时,t =3ln3.兀27.计算 J 0 x cosxdx .2解:令 u = x , dv 二cosxdx ,贝U du 二 2xdx , v 二 sinx ,于bnl^x C . 6 |4 x解:令 u = M x +2,贝U x =u 3 -2 , dx =3u 2du ,从而有6.dx 1 3 x2,于是■ 2■ 2 2x cosxdx 二 xdsinx=(x sin x) 0 0再用分部积分公式,得r2 二x cosxdx = 2 xd cosx 二 2=2 ||(xcos x) JI JI-f 2xsinxdx=—2『 xsinxdx(xcosx)-sin xJI- 0 cosxdx8.求dx解:dx = d(x 1^-ln63—(x ,)+C 3+(x+1)9.求dx 13x 2求定积分8 dx _ 23t 2dt厂3x = oTT「t ln(1 t)2 2 , ,」o u -11, du = 3 du ‘ 1 +ue21=(In xd (In x) =Tn x314.求 x .3-x 2dx解:J x J 3 _x 2dx = _ J 1 J 3 _x 2d(3 _X 2) = _丄 2(3 — x 2)' +C = —1 (3 —x 2)' +C'2 2 3 3三、解答题J 11.若 lim 3x i :ax 2-x 1 二一,求 a F 6解:因为 3x - Jax 2 -x +1 = 一:x x ,所以 a = 9 3x + Jax 2 - x +1 否则极限不存在。
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高数试题一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。
2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。
x5.∫─────dx=_____________。
1-x416.limXsin───=___________。
x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。
dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an 发散,则级数∑ an_______________。
n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0 ② 1 ③ 2 ④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( )①平行于xoy面的平面 ②平行于oz轴的平面 ③过oz轴的平面 ④直线x8.设f(x,y)=x3+ y3+ x2ytg── ,则f(tx,ty)= ( ) y①tf(x,y) ②t2f(x,y) 1③t3f(x,y) ④ ──f(x,y)t2an +1 ∞9.设an ≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an ( ) n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散 ②在p≥1时收敛,p〈1时发散 ③在p≤1时收敛,p〉1时发散 ④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程 y'+3xy=6x2y 是 ( )①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是 ( )①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx ④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0② 1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③ 设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ an xn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=() D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。
√ x(x+3)sin(9x2-16)2.求lim─────────── 。
x→4/3 3x-4dx3.计算∫ ─────── 。
(1+ex)2t 1 dy4.设x=∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求─── 。
0 t dx5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。
___6.设u=ex+√y+sinz,求du。
x asinθ7.计算∫ ∫ rsinθdrdθ。
0 0y+18.求微分方程dy=(──── )2dx通解。
x+139.将f(x)=───────── 展成的幂级数。
(1-x)(2+x)四、应用和证明题(共15分)1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度(比例常数为k〉0)求速度与时间的关系。
___ 12.(7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x〉3-── 。
x附:高数(一)参考答案和评分标准一、填空题(每小题1分,共10分)1.(-1,1)2.2x-y+1=03.5A4.y=x2+115.──arctgx2+c26.17.ycos(xy)π/2 π8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr0 09.三阶10.发散二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.②6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③(二)每小题2分,共20分11.④ 12.④ 13.⑤ 14.③ 15.③16.② 17.① 18.③ 19.① 20.②三、计算题(每小题5分,共45分)11.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)](2分)211111──y'=──(────-──-────)(2分)y2x-1xx+3__________1/x-1111y'=── /──────(────-──-────)(1分)2√ x(x+3)x-1xx+318xcos(9x2-16)2.解:原式=lim──────────────── (3分)x→4/3 318(4/3)cos[9(4/3)2-16]=────────────────────── =8(2分)31+ex-ex3.解:原式=∫───────dx(2分)(1+ex)2dxd(1+ex)=∫─────-∫─────── (1分)1+ex(1+ex)21+ex-ex1=∫───────dx+───── (1分)1+ex1+ex1=x-ln(1+ex)+───── +c(1分)1+ex4.解:因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arctgtdt(3分)dy-(sint)arctgtdt所以─── =──────────────── =-tgt(2分)dx(cost)arctgtdt5.解:所求直线的方向数为{1,0,-3}(3分)x-1y-1z-2所求直线方程为────=────=──── (2分)10-3__ __6.解:du=ex +√y + sinzd(x+√y+sinx)(3分)__ dy=ex + √y + sinz[(1+cosx)dx+─────](2分)___2√yπ asinθ1π7.解:原积分=∫ sinθdθ∫ rdr=──a2∫ sin3θdθ(3分)0 0 2 0π/2 2=a2∫ sin3θdθ=── a2(2分)0 3dydx8.解:两边同除以(y+1)2得──────=────── (2分)(1+y)2(1+x)2dydx两边积分得∫──────=∫────── (1分)(1+y)2(1+x)211亦即所求通解为──── -──── =c(2分)1+x1+y119.解:分解,得f(x)=──── +──── (1分)1-x2+x111=──── +── ───── (1分)1-x2x1+──2∞ 1∞ xnx=∑ xn+── ∑ (-1)n── (│x│〈1且│──│〈1)(2分)n=0 2 n=0 2n2∞ 1=∑ [1+(-1)n───]xn(│x│〈1)(2分)n=0 2n+1四、应用和证明题(共15分)du1.解:设速度为u,则u满足m=──=mg-ku(3分)dt1解方程得u=──(mg-ce-kt/m)(3分)kmg=0定出c,得u=──(1-e-kt/m)(2分)由u│t=0k__ 12.证:令f(x)=2√x+── -3则f(x)在区间[1,+∞]连续(2分)x11而且当x〉1时,f'(x)=── -── 〉0(2分)__ x2√x因此f(x)在[1,+∞]单调增加(1分)从而当x〉1时,f(x)〉f(1)=0(1分)___ 1即当x〉1时,2√x〉3-── (1分)。