4.1常数项级数

n=1
项去掉, ∑un 的前 k 项去掉 所得新级数
n
∞
σn = ∑uk+l = Sk+n − Sk
l =1
极限状况相同, 极限状况相同 故新旧两级 数敛散性相同. 数敛散性相同 当级数收敛时, 当级数收敛时 其和的关系为σ = S − Sk . 类似可证前面加上有限项的情况 .
§4.1 常数项级数
n=1 ∞
不一定发散. 不一定发散
例如, 例如 取un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 性质3. 性质3. 若 un ≤ vn ，则
∞ ∞
∑u ≤ ∑v
n=1 n n=1
n
§4.1 常数项级数
性质3 在级数前面加上或去掉有限项 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 有限项 的敛散性. 的敛散性 证: 将级数 的部分和为
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 技巧 利用 “拆项相消” 求和 拆项相消”
§4.1 常数项级数

1 1 1 1 (2) Sn = + + +L+ 1⋅ 2 2⋅ 3 3⋅ 4 n ⋅ (n +1)
1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +L+ 1 − 1 = 2 2 3 3 4 n n +1
3
3 3 3
故丢弃部分总长
l丢 = 1 + 2 3 32
22 + 23 +L+ 2n−1 +L + 3 4 3 3 3n = 1 1+ 2 + (2)2 + (2)3 +L+ (2)n−1 +L 3 3 3 3 3
0
1 2 1 9 9 3
2 7 8 3 9 9
1
[
1 ] = 1 ⋅1− 3
2 3
=1
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 推论: 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 注意: 若级数加括弧后收敛，原级数不一定收敛. 注意 若级数加括弧后收敛，原级数不一定收敛 例如， (1−1) + (1−1) +L= 0 , 但 例如， 发散. 发散
§4.1 常数项级数
级数收敛 加括号后级数收敛
第一节 常数项级数
——正项级数的审敛准则 ——正项级数的审敛准则
一、正项级数定义及收敛条件 二、正项级数收敛的判别方法
§4.1 常数项级数
一、正项级数定义及收敛条件
定义 1：若 un ≥ 0, 则称 ： 定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ”若 ” 有界, 有界 故 收敛 , ∴部分和数列 收敛 , 从而 故有界. 故有界 单调递增, 单调递增 也收敛. 也收敛
∑a
n+ p
k
<ε
§4.1 常数项级数
内容小结
1. 数项级数收敛的定义 2. 数项级数收敛的性质 3. 数项级数收敛的必要条件 必要条件 lim un = 0
n→∞
不满足
发 散
满足 判定敛散性 4. 数项级数收敛的充要条件 数项级数收敛的充要条件——Cauchy收敛原理 收敛原理
§4.1 常数项级数
1 →1 ( n →∞） =1− n +1 收敛, 所以级数 (2) 收敛 其和为 1 .
技巧: 技巧 利用 “拆项相消” 求和 拆项相消”
§4.1 常数项级数
例3. 判别级数 解:
的敛散性 .
= ln(n +1) + ln(n −1) − 2ln n
= ln(1+ 1) − ln 2 n
故原级数收敛 , 其和为
n=1 ∞
称上式为常数项无穷级数， 称上式为常数项无穷级数， 常数项无穷级数 其中第 n 项un 叫做级数的 一般项或通项,级数的前 一般项或通项 级数的前 n 项和
称为级数的部分和 称为级数的部分和. 部分和 为级数的和 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
§4.1 常数项级数
则称无穷级数发散 则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 当级数收敛时 称差值
T = t1 + 2t2 + 2t3 +L
2 = g 1 + 2 1 + 1 +L 2 2 ( 2)
2 [ 1+ 2( 2 +1) ] ≈ 2.63 ( s ) = g
§4.1 常数项级数
[0,1]区间三等分 区间三等分, 引例3.（康托尔尘集） 引例3.（康托尔尘集） 把[0,1]区间三等分, 舍弃中 3. (1, 2), 将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃 间的开区间 3 3 将剩下的两个子区间分别三等分, 在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作, 在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃 部分的总长和剩下部分的总长各是多少？ 部分的总长和剩下部分的总长各是多少？ 1, 2 , 22 , 23 , L, 2n−1 , L 丢弃的各开区间长依次为 3 2 3 4 n
∑a
n=1
∞
n
收敛
∀ε > 0, ∃N ∈ Ν + ,∀m , n > N ,有 S m − S n < ε
m = n+ p
∀ε > 0, ∃N ∈ Ν + ,∀n > N , p > 0 ,有 S n + p − Sn < ε
∀ε > 0, ∃N ∈ Ν + ,∀n > N , p > 0 ,有
k = n +1
1 1 1 1 n 1 + + +L+ = > 但 S2n − Sn = n +1 n + 2 n + 3 2n 2n 2
矛盾! 矛盾 所以假设不真 .
§4.1 常数项级数
思考. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 思考 判断下列级数的敛散性 若收敛求其和
(2)
解: (1) 令
n=1n
∑
∞
1
3
剩余部分总长
l剩 1 l丢 = 0 ＝ －
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”, 它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔尘集.
§4.1 常数项级数
定义： 定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , L, un , L 将各项依 次相加, 次相加 简记为 ∑un, 即
§4.1 常数项级数
二、无穷级数的基本性质
性质1. 性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数
n
收敛于 S , 即 S = ∑un , 则各项
n=1
∞
也收敛 , 其和为 c S .
n
证: 令 Sn = ∑uk , 则σn = ∑cuk = c Sn ,
k =1
k =1
∴ lim σ n
n→∞ ∞
n=1
1 1 n 1 1 Sn = ∑ 3 = ∑ − 2 2 k =1 k(k +1) (k +1)(k + 2) k =1 k + 3k + 2k
进行拆项相消 1 1 1 = − 2 1⋅ 2 (n +1)(n + 2) ∞ 1 11 (2) 其和为 . ∴ lim Sn = , 这说明原级数收敛 ,∑ 3 4 4 n→∞ n + 3n2 + 2n n=1
加括号后级数发散 级数发散
§4.1 常数项级数
三、级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: un = Sn − Sn−1 则必有
∴ lim un = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0
n→∞ n→∞ n→∞
可见: 若级数的一般项不趋于0 可见 若级数的一般项不趋于 , 则级数必发散 . 例如, 例如 其一般项为
n→∞
从而 lim Sn = ∞ ,
n→∞
§4.1 常数项级数
2). 若
则 因此级数发散 ; 级数成为
因此 从而
a, Sn = 0,
n 为奇数 n 为偶数
因此级数发散. 不存在 , 因此级数发散 等比级数发散 q ≥1时, 等比级数发散 .
等比级数收敛 可知, 综合 1)、2)可知 q <1 时, 等比级数收敛 ; 、 可知
1 1− n−1 2n −1 1 1 1 2 1 = + − n+1 = +1− n−1 1 2 2 1− 2 2 2 2
Sn − 1 Sn 2
故 lim Sn = 3, (3) n→∞
这说明原级数收敛, 这说明原级数收敛 其和为 3 .
n=1
∑
∞
2n −1 2
n
§4.1 常数项级数
四、Cauchy收敛原理 收敛原理
第四章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 Fourier级数 级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
§4.1 常数项级数
第一节 常数项级数
——常数项级数的概念、 ——常数项级数的概念、性质与收敛原理 常数项级数的概念
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 Cauchy收敛原理 四、Cauchy收敛原理
为级数的余项 为级数的余项. 显然 余项
§4.1 常数项级数
又称几何级数) 又称几何级数 例1. 讨论等比级数 (又称几何级数
( q 称为公比 ) 的敛散性 的敛散性. 则部分和 解: 1) 若
a−a qn = 1−q
从而 lim Sn = a 1−q 因此级数收敛 , 其和为 a ; 1−q 因此级数发散 .