广东省广州市白云区九年级(上)期末数学试卷
广东省广州市白云区2017-2018学年九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列是一元二次方程的为（）A．x﹣2y+1=0B．x2﹣2x﹣3=0C．2x+3=0D．x2+2y﹣10=02．点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（1，﹣3）3．将方程x2﹣2x=2配成（x+a）2=k的形式，方程两边需加上（）A．1B．2C．4D．﹣14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的大小是（）A．20°B．35°C．130°D．140°5．在抛物线y=﹣x2﹣1的对称轴的左侧（）A．y随x的增大而增大B．y随x的增大而减小C．y随x的减小而增大D．以上都不对6．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切7．下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0B．某个数的相反数等于它本身C．某两个数的和小于0D．某两个负数的积大于08．下列命题中的真命题是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．正七边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．各角相等的多边形是正多边形D．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形9．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）A．1B．2C．3D．410．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（）A．12cm B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根为1，则m的值为．12．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=102°，则∠DCE=．13．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=．14．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0，其根的判别式为．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为cm．16．把一根长30cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正三角形，它们的面积和的最小值是cm2．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（13分）解下列方程（1）x2﹣3x=0（2）x2﹣6x﹣9=018．（9分）反比例函数y=的图象如图所示．（1）m的取值范围是．（2）若A（﹣2，a），B（﹣3，b）是该函数图象上的两点，试说明a与b的大小关系．19．（9分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．20．（11分）已知二次函数y=x2﹣4x+1（1）该抛物线的对称轴为；（2）用配方法，求出该抛物线的项点坐标；（3）把该抛物线向左平移1个单位长度，求平移后所得函数的解析式．21．（10分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，点A与点C是对应点．（1）画出△OAB关于点O对称的图形（保留画图痕迹，不写画法）；（2）若∠A=110°，∠D=40°，求∠AOD的度数．22．（10分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA=OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′，B′；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y=的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α=30时点B恰好落在反比例函数y=的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．24．（14分）已知二次函数y=x2+（a﹣5）x+5．（1）该抛物线与y轴交点的坐标为；（2）当a=﹣1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知两点A（2，0）、B（3，0），抛物线y=x2+（a﹣5）x+5与线段AB恰有一个交点，求a的取值范围．25．（14分）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆上．（1）当正方形的顶点F也在半圆弧上时，半圆的半径与正方形边长的比为；（2）当正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆⊙O的半径r=4，求半圆的直径AB的值；（3）若半圆的半径为R，直接写出⊙O半径r可取得的最大值．2017-2018学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列是一元二次方程的为（）A．x﹣2y+1=0B．x2﹣2x﹣3=0C．2x+3=0D．x2+2y﹣10=0【分析】直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、x﹣2y+1=0，是二元一次方程，故此选项错误；B、x2﹣2x﹣3=0，是一元二次方程，故此选项正确；C、2x+3=0，是一元一次方程，故此选项错误；D、x2+2y﹣10=0，是二元二次方程，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．2．点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（1，﹣3）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为：（﹣3，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．3．将方程x2﹣2x=2配成（x+a）2=k的形式，方程两边需加上（）A．1B．2C．4D．﹣1【分析】两边都加上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣2x=2，∴x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，故选：A．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的大小是（）A．20°B．35°C．130°D．140°【分析】欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC=2∠ABC=140°；故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．在抛物线y=﹣x2﹣1的对称轴的左侧（）A．y随x的增大而增大B．y随x的增大而减小C．y随x的减小而增大D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：抛物线的开口向下，所以对称轴的左侧y随着x增大而增大，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．6．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为6.5cm，圆心O到直线l的距离为8cm，6.5＜8，∴直线l与⊙O相离．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．7．下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0B．某个数的相反数等于它本身C．某两个数的和小于0D．某两个负数的积大于0【分析】不可能事件是一定条件下一定不会发生的事件．依据定义即可解得．【解答】解：A、任何数的绝对值都大于或等于0，故为不可能事件，符合题意；B、0的相反数等于它本身，为随机事件，不符合题意；C、两个负数的和小于0，为随机事件，不符合题意；D、正确，为必然事件，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．8．下列命题中的真命题是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．正七边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．各角相等的多边形是正多边形D．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形【分析】根据正多边形的判定定理、中心对称图形、轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：各边相等、各角相等的多边形是正多边形，A是假命题；正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，B是假命题；各边相等、各角相等的多边形是正多边形，C是假命题正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，D是真命题；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据图象，当x=2时，函数值在1和2之间，代入解析式即可求解．【解答】解：如图，当x=2时，y=，∵1＜y＜2，∴1＜＜2，解得2＜k＜4，所以k=3．故选：C．【点评】解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．10．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（）A．12cm B．C．D．【分析】由题意可得BC的长度，∠CBC'的度数，由弧长公式可求点C经过的路线的长度．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6cm∴AC=3，BC=AC=3∵将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上∴∠CBC'=150°∴则点C经过的路线的长度为=故选：C．【点评】本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利用弧长公式求轨迹是本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根为1，则m的值为2．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根为1，∴x=1满足一元二次方程x2﹣3x+m=0，∴1﹣3+m=0，解得，m=2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．12．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=102°，则∠DCE= 102°．【分析】连接OB，OD，利用圆周角定理得到∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，再由周角定义及等式的性质得到∠A与∠BCD互补，利用邻补角性质及同角的补角相等即可求出所求角的度数．【解答】解：连接OB，OD，∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，∴∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）=360°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=102°，故答案为：102°【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．13．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=1．【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：由题意知：，解得n=1．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0，其根的判别式为9﹣4m．【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac，求出该一元二次方程根的判别式即可．【解答】解：x2﹣3x+m=0，a=1，b=﹣3，c=m，把a=1，b=﹣3，c=m代入△=b2﹣4ac得：△=（﹣3）2﹣4×1×m，即△=9﹣4m，故答案为：9﹣4m．【点评】本题考查根的判别式，正确掌握判别式的计算方法是解题的关键．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为2cm．【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，则AD=4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）【解答】解：作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，∴AD=4，即圆的半径是2．【点评】能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．16．把一根长30cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正三角形，它们的面积和的最小值是cm2．【分析】设第一个等边三角形的边长为xcm，则第二个等边三角形的边长为（10﹣x）cm，设两个三角形的面积和为y，根据等边三角形的性质结合三角形的面积公式即可得出y关于x的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：设第一个等边三角形的边长为xcm，则第二个等边三角形的边长为（10﹣x）cm，设两个三角形的面积和为y，根据题意得：y=x2+（10﹣x）2=x2﹣5x+25=（x﹣5）2+．∵＞0，∴当x=5时，y取最小值，最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用以及等边三角形的性质，解题的关键是得出y关于x的二次函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积找出y关于x的函数关系式是关键．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（13分）解下列方程（1）x2﹣3x=0（2）x2﹣6x﹣9=0【分析】（1）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：解：（1）x2﹣3x=0分解因式得：x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3；（2）x2﹣6x﹣9=0，x2﹣6x=9x2﹣6x+9=18，x2﹣6x+9=18，（x﹣3）2=18，x﹣3=±3，x1=3+3，x2=3﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18．（9分）反比例函数y=的图象如图所示．（1）m的取值范围是m＜．（2）若A（﹣2，a），B（﹣3，b）是该函数图象上的两点，试说明a与b的大小关系．【分析】（1）直接利用反比函数图象的分布得出2m﹣3＜0，进而得出答案；（2）利用反比例函数的增减性得出答案．【解答】解：（1）∵反比例函数图象分布在第二、四象限，∴2m﹣3＜0，解得：m＜；故答案为：m＜；（2）∵反比例函数图象分布在第二、四象限，∴2m﹣3＜0，∴每个象限内y随x的增大而增大，∵A（﹣2，a），B（﹣3，b）是该函数图象上的两点，﹣2＞﹣3，∴a＞b．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．19．（9分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点评】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．20．（11分）已知二次函数y=x2﹣4x+1（1）该抛物线的对称轴为直线x=2；（2）用配方法，求出该抛物线的项点坐标；（3）把该抛物线向左平移1个单位长度，求平移后所得函数的解析式．【分析】（1）把二次函数解析式配成顶点式得到y=（x﹣2）2﹣3，从而得到抛物线的对称轴；（2）利用（1）配方的结果得到抛物线的顶点坐标；（3）把把点（2，﹣3）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后所得函数的解析式．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x=2；故答案为直线x=2；（2）抛物线的顶点坐标为（2，﹣3）；（3）把点（2，﹣3）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（1，﹣3），所以平移后所得函数的解析式为y=（x﹣1）2+3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．（10分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，点A与点C是对应点．（1）画出△OAB关于点O对称的图形（保留画图痕迹，不写画法）；（2）若∠A=110°，∠D=40°，求∠AOD的度数．【分析】（1）延长AO到A′，使OA′=OA，延长BO到B′，使OB′=OB，则△OA′B′满足条件；（2）根据旋转的性质得∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，再利用三角形内角和计算出∠COD，然后计算∠AOC﹣∠COD即可．【解答】解：（1）如图，△OA′B′为所作．（2）∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，∴∠COD=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠AOD=∠AOC﹣∠COD=80°﹣30°=50°．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22．（10分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD=90°，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．【解答】（1）证明：∵∠B+∠D=90°，∴∠BHD=180°﹣90°=90°，即AB⊥CD，∵AB过O，∴CH=DH，即H是CD的中点；（2）解：连接OD，∵H为CD的中点，CD=2，AB过O，∴DH=CH=CD=，AB⊥CD，∴∠BHD=90°，由勾股定理得：BH===1，设⊙O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，即（R﹣1）2+（）2=R2，解得：R=，∴AB=2×=3．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA=OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y=的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α=30时点B恰好落在反比例函数y=的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据中心对称定义可得；（2）由题意可得点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3），代入解析式可求m的值；（3）①由题意可得旋转后B1（3，3），代入解析式可求k的值；②当α=60°，可求出点A1，点B2的坐标，代入解析式可判断点是否在反比例函数图象上．【解答】解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3=m=5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1=6，∠COB1=30°∴B1C=3，OC=OB1=3∴B1（3，3）∴3=∴k=9∴解析式为y=②α=60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD=3，DA=3∵tan∠BOA==∴∠AOB=30°设点A逆时针旋转60°后对应点为A1．∴∠A1OB=30°，且OA=OB=6=OA1．∴A1（3，3）设点B逆时针旋转60°后对应点为B2．∴∠B2OB=60°，且OB2=OB=6∴B2（3，3）当x=3时，y==3，当x=3时，y==3∴点A1，点B2在反比例y=的图象上∴将△OAB绕点O按逆时针方向旋转60°时，点A、B能同时落在反比例函数的图象上．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数解析式，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（14分）已知二次函数y=x2+（a﹣5）x+5．（1）该抛物线与y轴交点的坐标为（0，5）；（2）当a=﹣1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知两点A（2，0）、B（3，0），抛物线y=x2+（a﹣5）x+5与线段AB恰有一个交点，求a的取值范围．【分析】（1）当x=0时，y=5．即抛物线与y轴的交点坐标为（0，5）（2）由题意可得抛物线解析式，当y=0时，可求抛物线与x轴的交点坐标．（3）分抛物线的顶点在线段AB上，抛物线与x轴的其中一个交点在线段AB上两种情况讨论，列不等式组可求a的取值范围．【解答】解：（1）当x=0时，y=5．即抛物线与y轴的交点坐标为（0，5）（2）当a=﹣1时，抛物线解析式为y=x2﹣6x+5．当y=0时，0=x2﹣6x+5解得：x1=1，x2=5∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）（3）①∵抛物线y=x2+（a﹣5）x+5与线段AB恰有一个交点∴△=（a﹣5）2﹣20=0∴a=±2+5∵2≤﹣≤3∴﹣1≤a≤1∴a=﹣2+5②∵抛物线y=x2+（a﹣5）x+5与线段AB恰有一个交点∴或解得：≤a＜或无解综上所述：≤a＜或a=﹣2+5，【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．（14分）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆上．（1）当正方形的顶点F也在半圆弧上时，半圆的半径与正方形边长的比为：2；（2）当正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆⊙O的半径r=4，求半圆的直径AB的值；（3）若半圆的半径为R，直接写出⊙O半径r可取得的最大值．【分析】（1）根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF ，在直角三角形FGH 中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a 的代数式表示半圆的半径为a ，正方形边长为2a ，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；（2）切点分别为I ，J ，连接EB 、AE ，OH 、OI ，可得OHCI 是正方形，且边长是4，可设BD=x ，AD=y ，则BD=BH=x ，AD=AI=y ，分别利用直角三角形ABC 和直角三角形AEB 中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB=21． （3）根据（2）中得出方程解答即可．【解答】解：（1）如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF ，H 为半圆的圆心，不妨设GH=a ，则GF=2a ，在直角三角形FGH 中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为a ，正方形边长为2a ，所以半圆的半径与正方形边长的比是a ：2a=：2；故答案为：：2； （2）因为正方形DEFG 的面积为100，所以正方形DEFG 边长为10．切点分别为I ，J ，连接EB 、AE ，OI 、OJ ，∵AC 、BC 是⊙O 的切线，∴CJ=CI ，∠OJC=∠OIC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形OICJ 是正方形，且边长是4，设BD=x ，AD=y ，则BD=BI=x ，AD=AJ=y ，在直角三角形ABC 中，由勾股定理得（x +4）2+（y +4）2=（x +y ）2①；在直角三角形AEB 中，∵∠AEB=90°，ED ⊥AB ，∴△ADE ∽△BDE ∽△ABE ，于是得到ED 2=AD•BD ，即102=x•y ②．解①式和②式，得x +y=21，即半圆的直径AB=21；（3）由（2）可得：r=．【点评】本题综合考查了圆、三角形、方程等知识，是一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题．。
2019-2020学年人教新版广东广州市白云区九年级第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级第一学期期末数学试卷一、选择题1．方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝±2D．x＝±42．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．14．一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（）A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于65．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A 的位置关系为（）A．点B在⊙A上B．点B在⊙A外C．点B在⊙A内D．不能确定6．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（）A．11B．12C．13D．147．下列抛物线中，其顶点在反比例函数y＝的图象上的是（）A．y＝（x﹣4）2+3B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2﹣1 8．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的穊率为（指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指OB时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°9．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．8米B．6米C．5米D．4米10．在下列函数图象上任取不同两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0成立的是（）A．y＝﹣2x+1（x＜0）B．y＝﹣x2﹣2x+8（x＜0）C．y＝（x＞0）D．y＝2x2+x﹣6（x＞0）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．12．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为．13．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）14．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35°，则∠OAB＝．15．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第象限．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝a，点E，F在对角线BD上，且∠ECF＝∠ABD，将△BCE绕点C旋转一定角度后，得到△DCG，连接FG．则下列结论：①∠FCG＝∠CDG；②△CEF的面积等于；③FC平分∠BFG；④BE2+DF2＝EF2；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题[本大飇共9小题，满分102分.解答应写岀文宁说明、证明过程或演算步骤.）17．解方程：x2﹣6x+8＝0．18．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC＝2，求k的值．，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．A B C D E F G H学生垃圾类别可回收物√××√√×√√其他垃圾×√√√√×√√餐厨垃圾√√√√√√√√有害垃圾×√×××√×√（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．22．为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．23．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD是高．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积．24．已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．（1）求∠ACD的度数；（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．参考答案一、选择题（共10小題，每小題3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）1．方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝±2D．x＝±4【分析】方程变形为x2＝4，再把方程两边直接开方得到x＝±2．解：x2＝4，∴x＝±2．故选：C．2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】考查对二次函数顶点式的理解．抛物线y＝（x﹣1）2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值．解：根据二次函数的性质，当x＝1时，二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是2．故选：B．4．一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（）A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6【分析】事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，据此进行判断即可．解：A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5，属于随机事件，不合题意；B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5，属于随机事件，不合题意；C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6，属于随机事件，不合题意；D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6，属于不可能事件，符合题意；故选：D．5．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A 的位置关系为（）A．点B在⊙A上B．点B在⊙A外C．点B在⊙A内D．不能确定【分析】根据题意确定AC＞AB，从而确定点与圆的位置关系即可．解：∵点C为线段AB延长线上的一点，∴AC＞AB，∴以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为点B在⊙A内，故选：C．6．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（）A．11B．12C．13D．14【分析】设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），根据两数之积为132，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），依题意，得：x（x﹣1）＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．7．下列抛物线中，其顶点在反比例函数y＝的图象上的是（）A．y＝（x﹣4）2+3B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2﹣1【分析】根据y＝得k＝xy＝12，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于12，就在函数图象上．解：∵y＝，∴k＝xy＝12，A、y＝（x﹣4）2+3的顶点为（4，3），4×3＝12，故y＝（x﹣4）2+3的顶点在反比例函数y＝的图象上，B、y＝（x﹣4）2﹣3的顶点为（4，﹣3），4×（﹣3）＝﹣12≠12，故y＝（x﹣4）2﹣3的顶点不在反比例函数y＝的图象上，C、y＝（x+2）2+1的顶点为（﹣2，1），﹣2×1＝﹣2≠12，故y＝（x+2）2+1的顶点不在反比例函数y＝的图象上，D、y＝（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1），﹣2×（﹣1）＝2≠12，故y＝（x+2）2﹣1的顶点不在反比例函数y＝的图象上，故选：A．8．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的穊率为（指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指OB时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据针恰好指向白色扇形的概率得到黑、白两种颜色的扇形的面积比为1：7，计算即可．解：∵指针恰好指向白色扇形的穊率为，∴黑、白两种颜色的扇形的面积比为1：7，∴∠AOB＝×360°＝45°，故选：B．9．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．8米B．6米C．5米D．4米【分析】连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算，得到答案．解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，由题意得，AB＝8，CD＝2，∵OC⊥AB，∴AC＝AB＝4，设圆的半径为r，则OC＝r﹣2，由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米，故选：C．10．在下列函数图象上任取不同两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0成立的是（）A．y＝﹣2x+1（x＜0）B．y＝﹣x2﹣2x+8（x＜0）C．y＝（x＞0）D．y＝2x2+x﹣6（x＞0）【分析】据各函数的增减性依次进行判断即可．解：A、∵k＝﹣2＜0∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2∴当x＜0时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，故A选项不符合；B、∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜﹣1时y随x的增大而增大，∴当x＜﹣1时：能使（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0成立，故B选项不符合；C、∵＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∴当x＞0时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，故C选项不符合；D、∵a＝2＞0，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＞﹣时y随x的增大而增大，∴当x＞0时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0，故D选项符合；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（﹣2，3）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为．【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，由概率公式即可得出结果．解：树状图如图所示：共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，∴甲被选中的概率为＝；故答案为：．13．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．14．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35°，则∠OAB＝55°．【分析】由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，根据∠ACB的度数求出∠AOB的度数，再由OA＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形内角和定理即可求出∠OAB的度数．解：∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠AOB＝2∠ACB＝70°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝55°．故答案为：55°15．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第二，四象限．【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则△＝0可求出m的值，根据m的符号即可判断反比例函数y＝经过的象限．解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，∴m＝﹣1；∴反比例函数y＝经过第二，四象限，故答案为二，四．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝a，点E，F在对角线BD上，且∠ECF＝∠ABD，将△BCE绕点C旋转一定角度后，得到△DCG，连接FG．则下列结论：①∠FCG＝∠CDG；②△CEF的面积等于；③FC平分∠BFG；④BE2+DF2＝EF2；其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）【分析】由正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝45°，由旋转的性质可得∠CBE＝∠CDG＝45°，BE＝DG，CE＝CG，∠DCG ＝∠BCE，由SAS可证△ECF≌△GCF，可得EF＝FG，∠EFC＝∠GFC，S△ECF＝S△CFG，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BDC＝45°，∴∠ECF＝∠ABD＝45°，∴∠BCE+∠FCD＝45°，∵将△BCE绕点C旋转一定角度后，得到△DCG，∴∠CBE＝∠CDG＝45°，BE＝DG，CE＝CG，∠DCG＝∠BCE，∴∠FCG＝∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠CDG＝45°，故①正确，∵EC＝CG，∠FCG＝∠ECF，FC＝FC，∴△ECF≌△GCF（SAS）∴EF＝FG，∠EFC＝∠GFC，S△ECF＝S△CFG，∴CF平分∠BFG，故③正确，∵∠BDG＝∠BDC+∠CDG＝90°，∴DG2+DF2＝FG2，∴BE2+DF2＝EF2，故④正确，∵DF+DG＞FG，∴BE+DF＞EF，∴S△CEF＜S△BEC+S△DFC，∴△CEF的面积＜S△BCD＝，故②错误；故答案为：①③④三、解答题[本大飇共9小题，满分102分.解答应写岀文宁说明、证明过程或演算步骤.）17．解方程：x2﹣6x+8＝0．【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4．18．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC＝2，求k的值．【分析】根据题意A的纵坐标为2，把y＝2代入y＝2x，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．解：∵AC⊥x轴，AC＝2，∴A的纵坐标为2，∵正比例函数y＝2x的图象经过点A，∴2x＝2，解得x＝1，∴A（1，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝1×2＝2．19．如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC．20．为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，A B C D E F G H学生垃圾类别可回收物√××√√×√√其他垃圾×√√√√×√√餐厨垃圾√√√√√√√√有害垃圾×√×××√×√（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A同学”的结果数，进而求出概率．解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学，（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果数，其中抽到A的有8种，因此，抽到学生A的概率为＝．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把B（0，3）代入求出a即可．解：（1）如图△A'B'C'即为所求．A′（0，2），B′（3，0），C′（1，4）（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把B（0，3）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．22．为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．23．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD是高．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积．【分析】（1）作BH⊥AC交AD于O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．（1）线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积＝S扇形OAB+S△BOD．解：（1）如图，⊙O即为所求．（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BH⊥AC，∴BD＝CD＝3，∠OBD＝∠ABC＝30°，∠AOB＝2∠C＝120°，∴OD＝BD•tan30°＝，OB＝2OD＝2，∴线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积＝S扇形OAB+S△BOD＝+×3×＝2π+．24．已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．【分析】（1）令抛物线的y值等于0，证所得方程的△＞0即可；（2）将点A坐标代入可求m的值，即可求a的取值范围；（3）分k＞0和k＜0两种情况讨论，结合图象可求解．解：（1）设y＝0，则0＝x2+（1﹣2a）x﹣2a，∵△＝（1﹣2a）2﹣4×1×（﹣2a）＝（1+2a）2≥0，∴x2+（1﹣2a）x﹣2a＝0有实数根，∴该抛物线与x轴总有交点；（2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，∴m＝﹣1，m＝2a，∵2＜m≤5，∴2＜2a≤5，∴1＜a≤；（3）∵1＜a≤，且a为整数，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，如图，当k＞0时，若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝1，当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，如图，当k＜0时，若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝﹣，当﹣＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＜﹣时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．（1）求∠ACD的度数；（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．【分析】（1）由圆周角的定义可求∠ACB＝90°，再由角平分线的定义得到∠ACD＝45°；（2）连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；先证明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再证明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；先证明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再证明△AED是等腰三角形，分别求得EN＝+，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．解：（1）∵AB是直径，点C在圆上，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，∴∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；∴∠CDG＝∠CBG＝90°，∵∠ACB＝90°，∴AC∥BG，∴∠CGB＝∠ACG，∴∠CGB＝45°+∠DCG，∵∠CBF＝90°+∠DCG，∴∠BGF＝45°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BG＝BF，∵△ACO≌△BGO（SAS），∴AG＝BF，∵△CDF是等腰三角三角形，∴CF＝CD，∴BC+AC＝CD；（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD，∵AB＝5，∴BD＝AD＝，∵∠MAD＝∠BDN，∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），∴AM＝DN，MD＝BN，∵ED＝BD，∴△AED是等腰三角形，∵AE＝3，∴AM＝，DM＝，∴EN＝+，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，∵P是AE的中点，O是AB的中点，∴OP＝BN，∴OP＝．。
广东省广州市白云区2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2021-2022学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在如图的各事件中，是随机事件的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，已知∠P＝60°，OA＝3，则∠AOB所对的弧长为（）A．2πB．3πC．5πD．6π4．（3分）如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m≤D．m≥5．（3分）方程x2+8x+17＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．（3分）点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（）A．k＝6B．函数的图象关于y＝x对称C．函数的图象经过点（6，1）D．函数的图象关于原点对称7．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．88．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（）A．x（20+x）＝64B．x（20﹣x）＝64C．x（40+x）＝64D．x（40﹣x）＝64 9．（3分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）A．2r B．r C．r D．3r10．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣bx+c如图，下列说法正确的有（）①a+b+c＝0，②a﹣b+c＞0，③b＞0，④c＝﹣1．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。
2023届广东省广州市白云区广雅实验学校数学九年级第一学期期末复习检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．点A(﹣3，2)关于x 轴的对称点A′的坐标为（ ）A ．(3，2)B ．(3，﹣2)C ．(﹣3，2)D ．(﹣3，﹣2)2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）A ．2210x x +=B ．220x x --=C ．2320x xy -=D ．240y -=4．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．60°5．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A ．13 B ．512 C ．12 D ．16．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A ．0或4 B ．4或8 C ．0 D ．47．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m ）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）A ．28mB ．35mC ．42mD ．56m8．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．9．获2019年度诺贝尔化学奖的“锂电池”创造了一个更清洁的世界．我国新能源发展迅猛，某种特型锂电池2016年销售量为8万个，到2018年销售量为97万个．设年均增长率为x ，可列方程为（ ）A ．8（1+x ）2＝97B ．97（1﹣x ）2＝8C ．8（1+2x ）＝97D ．8（1+x 2）＝9710．一元二次方程2660x x --=配方后化为( )A ．2(3)15x -=B ．2(3)3x -=C ．2(3)15x +=D ．2(3)3x +=二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图所示的弧三角形，又叫莱洛三角形， 是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画一个正三角，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画弧得到的三角形．若中间正三角形的边长是10，则这个莱洛三角形的周长是____________．12．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.13．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的三个顶点A 、B 、D 均在抛物线y=ax 2﹣4ax+3（a ＜0）上．若点A 是抛物线的顶点，点B 是抛物线与y 轴的交点，则AC 长为_____．15．将一些相同的圆点按如图所示的规律摆放：第1个图形有3个圆点，第2个形有7个圆点，第3个图形有13个圆点，第4个图形有21个圆点，则第20个图形有_____个圆点．16．如图，ABC 的顶点均在O 上，4,30AB C =∠=︒，则O 的半径为_________．17．如果32a b =，那么a b b += ． 18．已知(0,3)A ，()2,3B 是抛物线2y x bx c =-++上两点，该抛物线的解析式是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2－2x +m =0,有两个不相等的实数根.⑴求实数m 的最大整数值；⑵在⑴的条下，方程的实数根是x 1，x 2,求代数式x 12+x 22－x 1x 2的值.20．（6分）如图，△ABC 是等腰三角形，且AC=BC ，∠ACB=120°，在AB 上取一点O ，使OB=OC ，以O 为圆心，OB 为半径作圆，过C 作CD∥AB 交⊙O 于点D ，连接BD ．（1）猜想AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的猜想；（2）已知AC=6，求扇形OBC 围成的圆锥的底面圆半径．21．（6分）已知如图AB ∥EF ∥ CD ， 34AE DE =（1）△CFG ∽△CBA 吗？为什么？（2）求 GF AB的值． 22．（8分）解方程：22710x x -+=（公式法）23．（8分）如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．24．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°．在斜边AB 上取一点D ，使CD=CB ，圆心在AC 上的⊙O 过A 、D 两点，交AC 于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若13BC AC =，且AE =2，求CE 的长．25．（10分）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AC 于点D 、E ，BE 交AD 于点F ，AB ＝AD ． （1）判断△FDB 与△ABC 是否相似，并说明理由；（2）BC ＝6，DE ＝2，求△BFD 的面积．26．（10分）已知24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k 的值； （2）当x 为何值时，y 随x 的增大而减少．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出符合题意的答案．【详解】解：点A （﹣3，2）关于x 轴的对称点A′的坐标为：（﹣3，﹣2），故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标特征，关于x 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．2、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3、B【解析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（1）未知数的最高次数是1；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 1＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程,故选B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1．4、C【解析】试题分析：由线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，根据垂径定理的即可求得：BC BD =，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选C ．考点：圆周角定理；垂径定理．5、C【分析】根据随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴红灯的概率是：301 302552=++.故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.6、D【解析】根据已知一元二次方程有两个相等的实数根得出k≠0，，求出k的值即可．【详解】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，，所以．故选D．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式解答.7、C【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=3.5m，同理可证出AF=EF=3.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=3.5（m），同理可证：AF=EF=3.5（m）∴AB=BG+GF+AF=3.5×3=10.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4=42（m），故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．8、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 错误；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 错误；故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.9、A【分析】2018年年销量=2016年年销量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：设年均增长率为x ，可列方程为：8（1+x ）2＝1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一元二次方程；得到2018年收入的等量关系是解决本题的关键．10、A【分析】先把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可.【详解】2660x x --=移项得：266x x -=，方程两边同加上9，得：26915x x -+=，即：2(3)15x -=，故选A.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、10π【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【详解】解：如图：∵△ABC 是正三角形，∴∠BAC=60°，∴BC 的长为：6010101803ππ⨯= ， ∴莱洛三角形的周长=103103ππ⨯=． 故答案为：10π．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 12、50【分析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，再利用圆周角定理求出ACB ∠，CAB ∠，计算即可.【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,∴DAB 180DCB 80∠∠=︒-=︒∵DC=CB∴1CAB 402DAB ∠=∠=︒ ∵AB 是直径∴ACB 90∠=︒∴ABC 90CAB 50∠∠=︒-=︒故答案为：50.【点睛】本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键.13、485【分析】先由勾股定理求出BE ，再过点B 作BF AF ⊥于F ，由CBE FBA ∆∆∽的比例线段求得结果即可．【详解】解：过点B 作BF AF ⊥于F ，如图所示：∵BC=6厘米，CD=16厘米，1CE 2=CD 8∴=CE 厘米，90C ∠=︒， 由勾股定理得：22226810BE BC CE =++=，90BCE FBE ∠=∠=︒，EBC ABF ∴∠=∠，90BCE BFA ∠=∠=︒，CBE FBA ∴∆∆∽，BE BC AB BF∴=， 即10616BF=， 485BF ∴=． 故答案为：485． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键． 14、1.【解析】试题解析：抛物线的对称轴x=-42a a-=2，点B 坐标（0，3）， ∵四边形ABCD 是正方形，点A 是抛物线顶点，∴B 、D 关于对称轴对称，AC=BD ，∴点D 坐标（1，3）∴AC=BD=1．考点：1.正方形的性质；2.二次函数的性质．15、1【分析】观察图形可知，每个图形中圆点的个数为序号数的平方加上序号数+1，依此可求第n 个图有多少个圆点．【详解】解：由图形可知，第1个图形有12+1+1＝3个圆点；第2个图形有22+2+1＝7个圆点；第3个图形有32+3+1＝13个圆点；第4个图形有42+4+1＝21个圆点；…则第n 个图有（n 2+n +1）个圆点；所以第20个图形有202+20+1＝1个圆点．故答案为：1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．16、1【分析】连接AO,BO ，根据圆周角的性质得到60AOB ∠=︒,利用等边三角形的性质即可求解．【详解】连接AO,BO ，∵30C ∠=︒∴60AOB ∠=︒又AO=BO∴△AOB 是等边三角形，∴AO=BO=AB=1即O 的半径为1故答案为1．【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．17、52【解析】试题分析：本题主要考查的就是比的基本性质.根据题意可得：a b b+=a b +b b =a b +1=32+1=52. 18、2y x 2x 3=-++ 【分析】将A （0，3），B （2，3）代入抛物线y=-x 2+bx+c 的解析式，可得b ，c ，可得解析式.【详解】∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=-x 2+bx+c 上两点，∴代入得3423c b c ⎩-++⎧⎨＝＝， 解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3.故答案为：y=-x 2+2x+3.【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，利用代入法解得b ，c 是解答此题的关键．三、解答题(共66分)19、⑴m 的最大整数值为m=1（2）x 12+x 22－x 1x 2= 5【分析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】⑴由题意，得：△＞0，即：(24m -->0 解得 m ＜2， ∴m 的最大整数值为m=1；(2)把m=1代入关于x 的一元二次方程x 2－x+m=0得x 2－根据根与系数的关系：x 1+x 2 , x 1x 2=1，∴x 12+x 22－x 1x 2= （x 1+x 2）2－3x 1x 22-3×1=5考点：根的判别式.20、 (1)见解析. 【解析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠A=30°，再由OB=OC 和∠CBO=∠BCO=30°，所以∠OCA=120°﹣30°=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt △AOC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CO= 所以弧BC 的弧长=，然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．【详解】（1）AC与⊙O相切，理由：∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠ABC=∠A=30°．∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°，∴∠OCA=120°﹣30°=90°，∴AC⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切；（2）在Rt△AOC中，∠A=30°，AC=6，则tan30°===，∠COA=60°，解得：CO=2，∴弧BC的弧长为：=，设底面圆半径为：r，则2πr=，解得：r=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆锥的计算和切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．21、（1）△CFG∽△CBA，见解析；（2）47 GFAB【分析】（1）由题意利用相似三角形的判定定理-平行模型进行分析证明即可；（2）根据题意平行线分线段成比例定理进行分析求值.【详解】解：（1）△CFG∽△CBA，理由如下，∵AB ∥EF，∴FG∥AB，∴△CFG∽△CBA．（2）∵AB∥EF∥CD，∴34BF AE CF DE ==, ∴47CF BC =, ∵△CFG ∽△CBA ， ∴47GF CF AB BC ==. 【点睛】本题考查相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质以及判定． 22、12741741,.44x x +-== 【分析】先确定a,b,c 的值和判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：这里2a =，7b =-，1c =，49841∆=-=，∴7414x ±=. 即12741741,.44x x +-== 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是本题的关键.23、 (1)抛物线的解析式为：y=﹣x 1+x+1 (1)存在，P 1（，2），P 1（，），P 3（，﹣）(3)当点E 运动到（1，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=． 【解析】试题分析：（1）将点A 、C 的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m 、n 的值；（1）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD 的值，以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1；以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 1，P 3；作CH 垂直于对称轴与点H ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B 点的坐标，从而可求出BC 的解析式，从而可设设E 点的坐标，进而可表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积=S △BCD +S △CEF +S △BEF 可求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 1+mx+n 经过A （﹣1，0），C （0，1）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1；（1）∵y=﹣x1+x+1，∴y=﹣（x﹣）1+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，1），∴OC=1．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP1=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=1，∴DP1=2．∴P1（，2），P1（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x1+x+1∴x1=﹣1，x1=2，∴B（2，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+1．如图1，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+1），F（a，﹣a1+a+1），∴EF=﹣a1+a+1﹣（﹣a+1）=﹣a1+1a（0≤x≤2）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a1+1a）+（2﹣a）（﹣a1+1a），=﹣a1+2a+（0≤x≤2）．=﹣（a﹣1）1+∴a=1时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（1，1）．考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值24、（1）详见解析；（2）CE=14．【分析】（1）连接OD，由CD=CB，OA=OD，可以推出∠B=∠CDB，∠A=∠ODA，再根据∠ACB=90°，推出∠A+∠B=90°，证明∠ODC=90°，即可证明CD是⊙O的切线；（2）连接DE，证明△CDE∽△CAD，得到CE CDCD CA，结合已知条件，设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，列出方程，求出x，即可求出CE的长度．【详解】解：（1）连接OD．∵CD=CB，OA=OD，∴∠B=∠CDB，∠A=∠ODA．又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODC=180°-（∠ODA+∠CDB）=90°，即CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．（2）连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=90°，又∵∠ODC=∠CDE+∠ODE =90°，∴∠ADO=∠CDE．又∵∠DCE=∠DCA，∴△CDE∽△CAD，∴CE CD CD CA=∵13BCAC=，AE=2，∴可设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，即323 x x x x-=解得，34 x=∴CE=3x -2=14【点睛】 本题主要考查了圆的切线证明以及圆与相似综合问题，能够合理的作出辅助线以及找出相似三角形，列出比例式是解决本题的关键．25、（1）相似，理由见解析；（2）94． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE ＝CE ，根据等腰三角形的性质得出∠EBC ＝∠ECB ，∠ABC ＝∠ADB ，根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据△FDB ∽△ABC 得出FD AB ＝BD BC ＝12，求出AB ＝2FD ，可得AD ＝2FD ，DF ＝AF ，根据三角形的面积得出S △AFB ＝S △BFD ，S △AEF ＝S △EFD ，根据DE 为BC 的垂直平分线可得S △BDE =S △CDE ，可求出△ABC 的面积，再根据相似三角形的性质求出答案即可．【详解】（1）△FDB 与△ABC 相似，理由如下：∵DE 是BC 垂直平分线，∴BE ＝CE ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∵AB ＝AD ，∴∠ABC ＝∠ADB ，∴△FDB ∽△ABC ．（2）∵△FDB ∽△ABC ， ∴FD AB ＝BD BC ＝12， ∴AB ＝2FD ，∵AB ＝AD ，∴AD ＝2FD ，∴DF ＝AF ，∴S △AFB ＝S △BFD ，S △AEF ＝S △EFD ，∴S △ABC ＝3S △BDE ＝3×12×3×2＝9， ∵△FDB ∽△ABC ， ∴BFD ABC S S ＝（DB BC ）2＝（12）2＝14， ∴S △BFD ＝14S △ABC ＝14×9＝94．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质及相似三角形的判定与性质，线段存在平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．26、（1）3k =-；（2）当0x >时，y 随x 的增大而减少【分析】（1）根据二次函数的定义得出k 2+k-4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k 的值； （2）利用（1）中k 的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax 2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴即可得出答案．【详解】（1）∵242kk y k x +-=+（）是二次函数， ∴k 2+k-4=2且k+2≠0，解得k=-1或k=2，∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k ＜-2，∴k=-1．（2）当k=-1时，y=-x 2顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义以及其性质，利用函数图象有最高点，得出二次函数的开口向下是解决问题的关键．。
2022-2023学年广东省广州中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）1．（3分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“广州中学”四个字的篆书，其中能看作既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2x2﹣1B．y＝2x2+1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2 3．（3分）二次函数y＝2（x+3）2+6，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C．顶点坐标为（3，6）D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小4．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．若a是实数，则|a|≥0D．六边形的一个内角为120°5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（）A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞17．（3分）圆锥的高h＝3，母线l＝5，则圆锥的侧面积是（）A．15πB．20πC．24πD．36π8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，若以点D为圆心，12为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论：①a＞0；②c＜0；③4a＝b；④b2﹣4ac＜0；⑤a﹣b+c＞0．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若2是关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0的一个根，则常数k的值为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点A（2，1）顺时针旋转90°得到点B（x，y），则x+y的值为．13．（3分）在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为，则n为．14．（3分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h＝﹣5t2+20t，则小球运动中的最大高度是m．15．（3分）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧上一点，若∠ACB＝130°，则∠P＝．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+x＝n有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2+x﹣n 的顶点在第象限．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．（4分）解方程：x2+4x＝0．18．（4分）如图，⊙O中，弧AB＝弧AC，∠C＝70°，求∠A的度数．19．（6分）2022世界杯8强决赛部分赛程安排如下：时间比赛队伍记号12月10日03：00荷兰VS阿根廷比赛A12月10日23：00摩洛哥VS葡萄牙比赛B12月11日03：00法国VS英格兰比赛C 甲、乙两位同学各自从这3场比赛中随机抽取一场观看直播，请用列表法或画树状图求两位同学恰好观看同一场比赛的概率．20．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．画出将△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1，并求旋转过程中点B经过的路线长．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，y＜0．22．（10分）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）连接BC，若BC＝6，AC＝8，求AE的长．24．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC 延长线上的动点，始终保持CE＝CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；（2）当时，求∠AEC的度数；（3）如图2，连接EF，G为EF中点，，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．25．（12分）已知抛物线G：y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A、B（点A在B的左侧），交y轴于点C（0，3），A点坐标为（﹣1，0）．（1）求b和c的值；（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，第一象限内的点P在抛物线G上运动，连接PD，以P为圆心，PD为半径作⊙P，记⊙P的面积为S，试求S的最小值；（3）F（m，n）是抛物线G上一点，且F不与点C重合，将抛物线的顶点先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，得到点E，记T＝|FC﹣FE|，是否存在点F，满足：（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，同时使得T取得最大值？如存在，请求出点F的坐标；如不存在，请说明理由．2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2．【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可．【解答】解：∵把抛物线y＝2x2向下平移1个单位，∴所得抛物线的函数表达式是：y＝2x2﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．3．【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．【解答】解：y＝2（x+3）2+6＝2x2+12x+24，a＝2，b＝12，c＝24，∴A选项，开口向上，故A选项错误；B选项，对称轴为，故B选项错误；C选项，顶点坐标的横坐标为x＝﹣3，纵坐标为6，即顶点坐标为（﹣3，6），故C选项错误；D选项，开口向上，对称轴为x＝﹣3，在对称轴坐标x＜﹣3时，y随x 的增大而减小，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键．4．【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．【解答】解：A、打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛，是随机事件，不符合题意；B、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，不符合题意；C、若a是实数，则|a|≥0，是必然事件，符合题意；D、六边形的一个内角为120°，是随机事件，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．5．【分析】根据垂径定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，∴＝，＝，CE＝DE，但OE不一定等于BE，故选项A、B、D正确，选项C不正确，故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．6．【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，解得：k＞4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为4，再根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的底面圆的半径＝＝4，所以圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，从而判断出点B在圆外．【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝13，∵13＞12，∴点B在⊙D外，故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．9．【分析】根据旋转得出∠ECA＝30°，CE＝AC，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∵△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，∴∠ECA＝∠BCD＝30°，CE＝AC，∴△ACE是等腰三角形，∴∠CAE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．10．【分析】利用二次函数的性质，结合函数的特性，利用数形结合的方法对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∴①的结论正确；令x＝0，则y＝c，∴抛物线与y轴交与点（0，c）．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴②的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴b＝4a．∴③的结论正确；由图象知：抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴④的结论不正确；由图象知：当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴⑤的结论不正确．综上，正确的结论有：①②③，故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11．【分析】把x＝2代入方程x2+kx+2＝0得4+2k+2＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+kx+2＝0得4+2k+2＝0，解得k＝﹣3，即常数k的值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【分析】根据题意作出图形，利用旋转的性质即可得出点B的坐标，最后相加即可求解．【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A（2，1），∴OC＝2，AC＝1，∵点A（2，1）顺时针旋转90°得到点B，∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，即x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1+﹣2＝﹣1．【点评】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．13．【分析】根据概率公式列式求得n的值即可．【解答】解：根据题意得：＝，解得：n＝15，经检验：n＝15是原方程的解，故答案为：15．【点评】本题考查了概率公式，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．14．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：20．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．【分析】由切线的性质得出∠PBO＝∠P AO＝90°，由∠ACB＝130°，得出∠AOB＝100°，再由四边形内角和等于360°，即可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵P A，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠ACB＝130°，∴∠AOB＝100°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．16．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+x＝n有两个不相等的实数根，由此可以得到此方程的判别式是正数，这样可以得到关于n的不等式，解不等式求出n的取值范围，代入抛物线y＝﹣x2+x﹣n的顶点坐标公式中，就可以判断顶点所在象限．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x＝n即x2+x﹣n＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝1﹣4（﹣n）＞0，∴n＞﹣，∵抛物线y＝x2+x﹣n的对称轴为x＝﹣，y最小值＝＝﹣n﹣，∵n＞﹣，则﹣n﹣＜﹣＝0，∴顶点在第三象限．故答案为：三．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，要熟悉二次函数的性质．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．【分析】提公因式分解因式，得出两个一元一次方程求解即可．【解答】解：方程x2+4x＝0，分解因式得：x（x+4）＝0，所以x＝0或x+4＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣4．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．【分析】由圆周角定理得∠B＝∠C＝70°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵弧AB＝弧AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，即∠A的度数为40°．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19．【分析】先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及两位同学恰好观看同一场比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两位同学恰好观看同一场比赛的情况有3种结果，∴两位同学恰好观看同一场比赛的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置，再利用弧长公式得出答案．【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，旋转过程中点B经过的路线长为：＝3π．【点评】此题主要考查了旋转变换以及弧长公式，正确得出对应点位置是解题关键．21．【分析】（1）根据图象特点，可设解析式为交点式或一般式求解；（2）利用图象在x轴下方的图象y小于0得解．【解答】解：（1）设解析式为y＝ax2+bx+c．∵图象过点（1，1），（2，0），（0，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2bx；（2）根据图象知，当x＜0或x＞2时，y＜0．【点评】此题考查了运用待定系数法求函数解析式、运用图象得出函数与不等式的关系等知识点．利用数形结合得出是解题关键．22．【分析】（1）设窗框的宽度为x米，则高为（6﹣3x）米，根据矩形面积得出函数解析式，并根据落地窗的高不小于2米，求出自变量的取值范围；（2）令y＝2，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可．【解答】解：（1）设窗框的宽度为x米，则高为（6﹣3x）米，窗户的透光面积为：y＝x•（6﹣3x）＝﹣x2+3x，∵落地窗的高不小于2米，∴（6﹣3x）≥2，解得x≤，∴自变量x的取值范围为0＜x≤，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+3x（0＜x≤）；（2）不能，理由：令y＝2，则﹣x2+3x＝2，整理得：3x2﹣6x+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×3×4＝﹣12＜0，∴此方程无解，∴不能使窗的透光面积达到2平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．23．【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥CD，根据切线的判定定理证明；（2）连接BC、CE，过点O作OF⊥AE于F，根据垂径定理得到AF＝EF，根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理列式计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC、CE，过点O作OF⊥AE于F，则AF＝EF，四边形CDFO为矩形，∴DF＝OC，OF＝CD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AC平分∠DAB，∴＝，∴CE＝BC＝6，设AF＝EF＝x，则DE＝5﹣x，∵CE2﹣DE2＝CD2，OA2﹣AF2＝OF2，∴CE2﹣DE2＝OA2﹣AF2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得：x＝，∴AE＝．【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．24．【分析】（1）延长BD交AE于点H，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，由旋转的性质和全等三角形的性质可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性质可得∠AHB＝90°＝∠F AE，可得AF∥BD，可得结论；（2）由三角形的面积公式可得AH＝BD＝AE，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；（3）先求出点G在∠ACE的角平分线上运动，即可求解．【解答】解：（1）结论：BD∥AF．理由：如图1，延长BD交AE于点H，∵E绕A点逆时针旋转90°到AF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∵∠E+∠CAE＝90°，∴∠E+∠CBD＝90°，∴∠AHB＝90°＝∠F AE，∴AF∥BD；（2）（2）∵S△ABD＝BD2，∴BD•AH＝BD2，∴AH＝BD＝AE，∴BH垂直平分AE，∴BA＝BE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABE＝45°，又∵BA＝BE，∴∠AEC＝67.5°；（3）如图2，连接AG、CG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于M，GN⊥AC于N，∵GM⊥CE，GN⊥AC，∠ACM＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∵AF＝AE，∠EAF＝90°，G是EF中点，∴AG＝GE，AG⊥EF，∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，∴∠CAG+∠CEG＝180°，∵∠CEG+∠GEM＝180°，∴∠CAG＝∠GEM，又∵∠ANG＝∠GME＝90°，∴△ANG≌△EMG（AAS），∴NG＝GM，∴四边形CMGN是正方形，∴CG平分∠ACE，∴点G在∠ACE的角平分线上运动，∴当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为×AC＝＝AB＝2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）将点A，C坐标代入抛物线解析式中，即可求出b，c的值，（2）先求出点D坐标，设出点P坐标，进而得出S与点P横坐标的函数关系式，即可求出答案；（3）先求出直线CE的解析式为y＝﹣2x+3，再判断出点C，E，F在同一直线上，进而得出n＝﹣2m+3①，再判断出n＝﹣m2+2m+3②，即可求出点F坐标，最后将m，n的值代入（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）判断，即可得出答案．【解答】解：（1）∵点C（0，3）在抛物线G：y＝﹣x2+bx+c上，∴c＝3，∴抛物线G的解析式为y＝﹣x2+bx+3，∵点A（﹣1，0）在抛物线G的解析式为y＝﹣x2+bx+3上，∴﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2，即b＝2，c＝3；（2）如图1，由（1）知，b＝2，c＝3，∴抛物线G的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线G的对称轴为直线x＝1，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∵C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴D（1，2），设点P（a，﹣a2+2a+3）（0＜a＜3），∴S＝πDP2＝π[（1﹣a）2+（2+a2﹣2a﹣3）2]＝π[（a﹣1）2﹣]2+π，当（a﹣1）2﹣＝0，即a＝1﹣（不符合题意）或a＝1+时，S最小，其最小值为π；（3）存在，由（2）知，抛物线G的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴此抛物线的顶点坐标为（1，4），由平移知，E（﹣1，5），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+3，∵T＝|FC﹣FE|，要T最大，则点C，E，F在同一直线上，∴点F（m，n）在直线CE上，∴n＝﹣2m+3①，∵点F（m，n）抛物线G上，∴n＝﹣m2+2m+3②，联立①②解得，或，∵点F（m，n）不与点C（0，3）重合，∴点F（4，﹣5），∴（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）＝（16﹣32+18）（25﹣50+28）＝6，即（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，∴存在点F（4，﹣5），满足：（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，同时使得T取得最大值．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的面积公式，确定出点F 在直线CE上是解（3）的关键．。
2020-2021学年广东省广州市白云区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）方程x2﹣1＝0的解是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x＝±1D．无实数根2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB的度数为（）A．34°B．56°C．60°D．68°5．（3分）如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（）A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C 6．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m≤0C．m≠1D．m≤0且m≠﹣17．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣3B．函数的图象在第二、四象限C．函数图象经过点（3，﹣1）D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定9．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B 或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是个．13．（3分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为．14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是．15．（3分）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是．16．（3分）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD ，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是m2．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．（4分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．求证：OP平分∠AOB．19．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为；（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B （5，2），C（5，5）．（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）．21．（8分）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：x…﹣2﹣1012…y＝…m03n3…ax2+bx+c（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向，对称轴为；（2）求|m﹣n|的值．22．（10分）如图是一张长24cm，宽12cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．（1）a＝；（2）若铁盒底面积是80cm2，求剪去的小正方形边长．23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），直线AB∥y轴，且与x轴交于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点P．若⊙P经过点A，且与x轴交于B，C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由．24．（12分）（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，①作等边△ACD，使得点D，B分别是直线AC异侧的两个点；②作等边△BCE，使得点E，A分别是直线BC异侧的两个点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）推理：在（1）所作的图中，设直线BD，AE的交点为P，连接PC，①求∠APD的度数；②猜想P A，PB，PC与AE之间的等量关系，并证明：（3）变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD，AE的交点为P，连接PC．测得∠P AB＝15°，P A＝+，PB＝，PC＝．求点D到直线AB的距离．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a 的式子表示）．2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）方程x2﹣1＝0的解是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x＝±1D．无实数根【解答】解：x2﹣1＝0，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、此图形是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．3．（3分）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；所以抛物线y＝3x2经过点（0，0）．故选：B．4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB的度数为（）A．34°B．56°C．60°D．68°【解答】解：∵∠C＝34°，∴∠AOB＝2∠C＝68°．故选：D．5．（3分）如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（）A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，∵∠BOD≠90°，∴BD≠OB．故选：A．6．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m≤0C．m≠1D．m≤0且m≠﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴，解得m≤0且m≠﹣1．故选：D．7．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣3B．函数的图象在第二、四象限C．函数图象经过点（3，﹣1）D．当x＞0时，y随x的增大而减小【解答】解：A、反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），∴k＝﹣3×1＝﹣3，故本选项正确；B、∵k＝﹣3＜0，∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故本选项正确；C、∵当x＝3时，y＝﹣1，∴此函数图象过点（3，﹣1），故本选项正确；D、∵k＝﹣3＜0，∴当x＞0时，y随着x的增大而增大，故本选项错误．故选：D．8．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝2，∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，∴R＜d，∴点C在⊙B外．故选：C．9．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B 或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；故选：B．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（2，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2＜3，∴y1＜y2，故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数），∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确，故结论正确有2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【解答】解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．12．（3分）抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是2个．【解答】解：令x2﹣3x+2＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是2．故答案是：2．13．（3分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为12．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝2，正六边形的周长l＝6a＝12，故答案为：12．14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是．【解答】解：扇形Ⅰ的圆心角：360°﹣60°﹣120°﹣45°＝135°，设圆的半径为r，则指针指向扇形Ⅰ的概率是：＝，故答案为：．15．（3分）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是．【解答】解：连接AD，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AD＝2×＝，∴扇形的弧长为＝π，∴圆锥的底面圆的半径是π÷π÷2＝．故答案为：．16．（3分）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD ，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是（24﹣4π）m2．【解答】解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．故答案为：（24﹣4π）．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．（4分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．求证：OP平分∠AOB．【解答】证明：∵P A，PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．19．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为；（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．【解答】解：（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为，故答案为：；（2）列表如下：我爱白云我（我，我）（爱，我）（白，我）（云，我）爱（我，爱）（爱，爱）（白，爱）（云，爱）白（我，白）（爱，白）（白，白）（云，白）云（我，云）（爱，云）（白，云）（云，云）由表可知，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的有7种结果，所以两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率为．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B （5，2），C（5，5）．（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵OB ＝＝，∴点B 经过的路径长为π．21．（8分）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：x…﹣2﹣1012……m03n3…y＝ax2+bx+c（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1；（2）求|m﹣n|的值．【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1；故答案为：下，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝﹣2时，m＝﹣4﹣4+3＝﹣5；当x＝1时，n＝﹣1+2+3＝4；∴|m﹣n|＝|﹣5﹣4|＝9．22．（10分）如图是一张长24cm，宽12cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．（1）a＝12cm；（2）若铁盒底面积是80cm2，求剪去的小正方形边长．【解答】解：（1）设底面长为mcm，宽为ncm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，由②③得2a＝24，解得a＝12（cm），故答案为：12cm；（2）根据题意，得mn＝80，由，得由①得，n＝12﹣2x，把a＝12代入②得m＝12﹣x，再把m和n代入mn＝80中，得（12﹣x）（12﹣2x）＝80，解得x＝2或x＝16（舍去）．答：剪去的小正方形边长为2cm．23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），直线AB∥y轴，且与x轴交于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点P．若⊙P经过点A，且与x轴交于B，C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点A的坐标为（2，6），∴k＝2×6＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，∵⊙P经过A、B点，∴P A＝PB，∴P在AB的垂直平分线上，∵直线AB∥y轴，∴B（2，0），P点的纵坐标为3，把y＝3代入y＝得，3＝，则x＝4，∴P（4，3），∵⊙P与x轴交于B，C两点，∴P是BC的垂直平分线上的点，∴C（6，0）；（2）相离，理由如下：∵P（4，3），B（2，0），∴PB＝＝，∴⊙P的半径为，∵P的横坐标为4，4＞，∴⊙P与y轴相离．24．（12分）（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，①作等边△ACD，使得点D，B分别是直线AC异侧的两个点；②作等边△BCE，使得点E，A分别是直线BC异侧的两个点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）推理：在（1）所作的图中，设直线BD，AE的交点为P，连接PC，①求∠APD的度数；②猜想P A，PB，PC与AE之间的等量关系，并证明：（3）变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD，AE的交点为P，连接PC．测得∠P AB＝15°，P A＝+，PB＝，PC＝．求点D到直线AB的距离．【解答】解：（1）如图1，①则等边△ACD即为所求作的三角形；②则等边△BCE即为所求作的三角形；（2）①如图2，∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠BCA＝∠BCA+∠BCE，即∠BCD＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴∠CDB＝∠ACE，∵∠COD＝∠AOP，②AE＝P A+PB+PC，理由是：如图2，在PD上截取DM＝AP，∵DC＝AC，∠CDM＝∠CAP，∴△CDM≌△CAP（SAS），∴CM＝PC，∠DCM＝∠ACP，∵∠ACD＝∠DCM+∠ACM＝60°，∴∠ACM+∠ACP＝60°，即∠PCM＝60°，∴△PCM是等边三角形，∴PM＝PC，∵BD＝DM+PM+PB＝AE，∴AE＝P A+PB+PC；（3）如图3，过点D作DG⊥AB于G，在BD上截取DM＝AP，连接CM，由（2）同理得：△DCB≌△ACE，∴BD＝AE，∠CAE＝∠CDB，∵AC＝CD，AP＝DM，∴△ACP≌△DCM（SAS），∴PC＝CM，∠ACP＝∠DCM，∴△PCM是等边三角形，∴PC＝PM，∵P A＝+，PB＝，PC＝，∴P A+PB﹣PC＝++﹣＝+，∵P A+PB﹣PC＝DM+PB﹣PM＝BD，∴BD＝+，∵∠APD＝∠ACB＝60°＝∠P AB+∠PBA，∴∠PBA＝60°﹣15°＝45°，∵DG⊥AB，∴∠DGB＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴DG＝BD＝＝+；即点D到直线AB的距离是+．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a 的式子表示）．【解答】解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点，则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a，故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限，则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下：（1）由题意得：S1＝×AB×OC＝×4×3a＝6a＝3，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣；（2）是定值2，理由：过点D作DH⊥y轴于点H，则S2＝S梯形ADHO﹣S△CDH﹣S△ACO＝（1+3）×4a﹣×1×（﹣3a+4a）﹣×3×3a＝3a，由（1）知S1＝6a，故＝2；（3）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象，根据平移的性质，y1＝a（x﹣a）2+2a（x﹣a）﹣3a＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a），由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x＝﹣1+a，∵﹣1+a＜a+1，故x＝a+1在新抛物线对称轴的右侧．①当x＝a﹣1≤0时，即x＝0在x＝a﹣1的右侧，即0＜a≤1，当0＜a≤1时，则a+1＜2，则抛物线在x＝a+1时取得最大值，而在x＝0时取得最小值；当x＝a+1时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0，当x＝0时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数＝（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣a2﹣a；②当a﹣1＞0时，则此时，顶点的横坐标0＜a﹣1≤a+1，当x＝a﹣1时，y1取得最小值为y1＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）＝﹣4a，当a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即1＜a＜3，则当x＝a+1时，y1的最大值为0，∴y1的最大值与最小值的平均数＝＝﹣2a，当a﹣1﹣0≥a+1﹣（a﹣1），即a≥3，当x＝0时，y1取得最大值，此时y1＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数＝；即y1的最大值与最小值的平均数＝．。
广东省广州市 九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.在抛物线y=-13x2-1的对称轴的左侧（）A. y随x的增大而增大B. y随x的增大而减小C. y随x的减小而增大D. 以上都不对2.已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切3.下列命题中的真命题是（）A. 各边相等的多边形是正多边形B. 正七边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 各角相等的多边形是正多边形D. 正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形4.将方程x2-2x=2配成（x+a）2=k的形式，方程两边需加上（）A. 1B. 2C. 4D. −15.点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（）A. (3,1)B. (−3,−1)C. (−3,1)D. (1,−3)6.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（）A. 12cmB. 5π2cm C. 53π2cm D. 233cm7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的大小是（）A. 20∘B. 35∘C. 130∘D. 140∘8.下列是一元二次方程的为（）A. x−2y+1=0B. x2−2x−3=0C. 2x+3=0D. x2+2y−10=9.下列事件中，属于不可能事件的是（）A. 某个数的绝对值小于0B. 某个数的相反数等于它本身C. 某两个数的和小于0D. 某两个负数的积大于0二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）10.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0，其根的判别式为______．11.把一根长30cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正三角形，它们的面积和的最小值是______cm2．12.如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=102°，则∠DCE=______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）13.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆上．（1）当正方形的顶点F也在半圆弧上时，半圆的半径与正方形边长的比为______；（2）当正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆⊙O的半径r=4，求半圆的直径AB的值；（3）若半圆的半径为R，直接写出⊙O半径r可取得的最大值．14.如图，在平面直角坐标系中，已知A（33，-3）、B（6，0），且OA=OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′______，B′______；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰的图象上，求m的值；好落在反比例函数y=63x（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α=30时点B恰好落在反比例函数y=k的图象上，求k的值；x②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．15.已知二次函数y=x2-4x+1（1）该抛物线的对称轴为______；（2）用配方法，求出该抛物线的项点坐标；（3）把该抛物线向左平移1个单位长度，求平移后所得函数的解析式．16.如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=22，BD=3，求AB的长．17.一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．18.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，点A与点C是对应点．（1）画出△OAB关于点O对称的图形（保留画图痕迹，不写画法）；（2）若∠A=110°，∠D=40°，求∠AOD的度数．19.已知二次函数y=x2+（a-5）x+5．（1）该抛物线与y轴交点的坐标为______；（2）当a=-1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知两点A（2，0）、B（3，0），抛物线y=x2+（a-5）x+5与线段AB恰有一个交点，求a的取值范围．20.解下列方程（1）x2-3x=0（2）x2-6x-9=021.反比例函数y=2m−3的图象如图所示．x（1）m的取值范围是______．（2）若A（-2，a），B（-3，b）是该函数图象上的两点，试说明a与b的大小关系．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意可知：抛物线的开口向下，所以对称轴的左侧y随着x增大而增大，故选：A．根据二次函数的性质即可求出答案．本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．2.【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为6.5cm，圆心O到直线l的距离为8cm，6.5＜8，∴直线l与⊙O相离．故选：C．直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：各边相等、各角相等的多边形是正多边形，A是假命题；正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，B是假命题；各边相等、各角相等的多边形是正多边形，C是假命题正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，D是真命题；故选：D．根据正多边形的判定定理、中心对称图形、轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4.【答案】A【解析】解：∵x2-2x=2，∴x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3，故选：A．两边都加上一次项系数一半的平方可得．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：点A（3，-1）关于原点对称的点的坐标为：（-3，1）．故选：C．直接利用关于原点对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．6.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6cm∴AC=3，BC=AC=3∵将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上∴∠CBC'=150°∴则点C经过的路线的长度为=故选：C．由题意可得BC的长度，∠CBC'的度数，由弧长公式可求点C经过的路线的长度．本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利用弧长公式求轨迹是本题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC=2∠ABC=140°；故选：D．欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.【答案】B【解析】解：A、x-2y+1=0，是二元一次方程，故此选项错误；B、x2-2x-3=0，是一元二次方程，故此选项正确；C、2x+3=0，是一元一次方程，故此选项错误；D、x2+2y-10=0，是二元二次方程，故此选项错误；故选：B．直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．9.【答案】A【解析】解：A、任何数的绝对值都大于或等于0，故为不可能事件，符合题意；B、0的相反数等于它本身，为随机事件，不符合题意；C、两个负数的和小于0，为随机事件，不符合题意；D、正确，为必然事件，不符合题意；故选：A．不可能事件是一定条件下一定不会发生的事件．依据定义即可解得．本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．10.【答案】9-4m【解析】解：x2-3x+m=0，a=1，b=-3，c=m，把a=1，b=-3，c=m代入△=b2-4ac得：△=（-3）2-4×1×m，即△=9-4m，故答案为：9-4m．根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，求出该一元二次方程根的判别式即可．本题考查根的判别式，正确掌握判别式的计算方法是解题的关键．11.【答案】2532【解析】解：设第一个等边三角形的边长为xcm，则第二个等边三角形的边长为（10-x）cm，设两个三角形的面积和为y，根据题意得：y=x2+（10-x）2=x2-5x+25=（x-5）2+．∵＞0，∴当x=5时，y取最小值，最小值为．故答案为：．设第一个等边三角形的边长为xcm，则第二个等边三角形的边长为（10-x）cm，设两个三角形的面积和为y，根据等边三角形的性质结合三角形的面积公式即可得出y关于x的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了二次函数的应用以及等边三角形的性质，解题的关键是得出y关于x的二次函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积找出y关于x的函数关系式是关键．12.【答案】102°【解析】解：连接OB，OD，∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，∴∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）=360°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=102°，故答案为：102°连接OB，OD，利用圆周角定理得到∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，再由周角定义及等式的性质得到∠A与∠BCD互补，利用邻补角性质及同角的补角相等即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．13.【答案】5：2【解析】解：（1）如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a=：2；故答案为：：2；（2）因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，∵AC、BC是⊙O的切线，∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；在直角三角形AEB中，∵∠AEB=90°，ED⊥AB，∴△ADE∽△BDE∽△ABE，于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．解①式和②式，得x+y=21，即半圆的直径AB=21；（3）由（2）可得：r=．（1）根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a的代数式表示半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；（2）切点分别为I，J，连接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且边长是4，可设BD=x，AD=y，则BD=BH=x，AD=AI=y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB=21．（3）根据（2）中得出方程解答即可．本题综合考查了圆、三角形、方程等知识，是一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题．14.【答案】（-33，3）；（-6，0）【解析】解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，-3）、B（6，0），∴A'（-3，3），B'（-6，0）故答案为（-3，3），（-6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3-m，-3）∴-3=m=5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1=6，∠COB1=30°∴BC=3，OC=OB1=31∴B1（3，3）∴3=∴k=9∴解析式为y=②α=60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，-3）∴OD=3，DA=3∵tan∠BOA==∴∠AOB=30°设点A逆时针旋转60°后对应点为A1．∴∠A1OB=30°，且OA=OB=6=OA1．∴A 1（3，3）设点B逆时针旋转60°后对应点为B2．∴∠B2OB=60°，且OB2=OB=6∴B2（3，3）当x=3时，y==3，当x=3时，y==3∴点A1，点B2在反比例y=的图象上∴将△OAB绕点O按逆时针方向旋转60°时，点A、B能同时落在反比例函数的图象上．（1）根据中心对称定义可得；（2）由题意可得点A平移后的坐标为（3-m，-3），代入解析式可求m的值；（3）①由题意可得旋转后B1（3，3），代入解析式可求k的值；②当α=60°，可求出点A1，点B2的坐标，代入解析式可判断点是否在反比例函数图象上．本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数解析式，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15.【答案】直线x=2【解析】解：（1）∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，∴抛物线的对称轴为直线x=2；故答案为直线x=2；（2）抛物线的顶点坐标为（2，-3）；（3）把点（2，-3）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（1，-3），所以平移后所得函数的解析式为y=（x-1）2+3．（1）把二次函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-3，从而得到抛物线的对称轴；（2）利用（1）配方的结果得到抛物线的顶点坐标；（3）把把点（2，-3）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（1，-3），然后利用顶点式写出平移后所得函数的解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．16.【答案】（1）证明：∵∠B+∠D=90°，∴∠BHD=180°-90°=90°，即AB⊥CD，∵AB过O，∴CH=DH，即H是CD的中点；（2）解：连接OD，∵H为CD的中点，CD=22，AB过O，∴DH=CH=1CD=2，AB⊥CD，2∴∠BHD=90°，由勾股定理得：BH= BD2−DH2=(3)2−(2)2=1，设⊙O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，即（R-1）2+（2）2=R2，，解得：R=32∴AB=2×3=3．2【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD=90°，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R 的方程，求出R即可．本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．17.【答案】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为26=1 3．【解析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．18.【答案】解：（1）如图，△OA′B′为所作．（2）∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，∴∠COD=180°-110°-40°=30°，∴∠AOD=∠AOC-∠COD=80°-30°=50°．【解析】（1）延长AO到A′，使OA′=OA，延长BO到B′，使OB′=OB，则△OA′B′满足条件；（2）根据旋转的性质得∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，再利用三角形内角和计算出∠COD，然后计算∠AOC-∠COD即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19.【答案】（0，5）【解析】解：（1）当x=0时，y=5．即抛物线与y轴的交点坐标为（0，5）（2）当a=-1时，抛物线解析式为y=x2-6x+5．当y=0时，0=x2-6x+5解得：x1=1，x2=5∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）（3）①∵抛物线y=x2+（a-5）x+5与线段AB恰有一个交点∴△=（a-5）2-20=0∴a=±2+5∵2≤-≤3∴-1≤a≤1∴a=-2+5②∵抛物线y=x2+（a-5）x+5与线段AB恰有一个交点∴或解得：≤a＜或无解综上所述：≤a＜或a=-2+5，（1）当x=0时，y=5．即抛物线与y轴的交点坐标为（0，5）（2）由题意可得抛物线解析式，当y=0时，可求抛物线与x轴的交点坐标．（3）分抛物线的顶点在线段AB上，抛物线与x轴的其中一个交点在线段AB 上两种情况讨论，列不等式组可求a的取值范围．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．20.【答案】解：解：（1）x2-3x=0分解因式得：x（x-3）=0，解得：x1=0，x2=3；（2）x2-6x-9=0，x2-6x=9x2-6x+9=18，x2-6x+9=18，（x-3）2=18，x-3=±32，x1=3+32，x2=3-32．【解析】（1）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．21.【答案】m＜32【解析】解：（1）∵反比例函数图象分布在第二、四象限，∴2m-3＜0，解得：m＜；故答案为：m＜；（2）∵反比例函数图象分布在第二、四象限，∴2m-3＜0，∴每个象限内y随x的增大而增大，∵A（-2，a），B（-3，b）是该函数图象上的两点，-2＞-3，∴a＞b．（1）直接利用反比函数图象的分布得出2m-3＜0，进而得出答案；（2）利用反比例函数的增减性得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．。
2022-2023学年广东省广州市白云区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷1. 点关于原点的对称点是( )A. B. C. D.2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )A. B.C. D.3. 下列图形中，是中心对称图形的是( )A. 正五边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 半圆4. 下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是( )A. B. C. D.5. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字.指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形指针指向扇形Ⅰ的概率是( )A. B. C. D.6. 如果在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是( )A. B. C. D.7. 如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若，则的度数为( )A. B.C. D.8. 方程的根的情况是( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9. 圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为( )A. B. C. D.10. 下列关于抛物线的说法中，正确的是( )A. 开口向上B. 必过点C. 对称轴为D. 与x轴没有交点11. 已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O，把这个三角形绕点O顺时针旋转______ 后，所得图形与原来的图形重合填写小于的度数12. 已知函数，当时，记函数值y为，则______填写“>”“<”或“=”13. 如图，的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，的平分线交于点D，则______14. 方程两个根的和为a，两个根的积为b，则______ .15. 为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入10个红球红球与白球除颜色不同以外，其他均相同，搅匀后，从箱子中摸出15个球.如果在这15个球中有2个是红球，那么估计箱子中白球的个数为______ 个.16. 点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是______ 填序号①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点，在此反比例函数的图象上且，则17. 尺规作图：如图，已知作边BC关于点A对称的图形保留作图痕迹，但不要求写作法18. 求二次函数的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值.19. 解下列方程：；20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系.当时，，求这个反比例函数的解析式.21. 如图，AB，CD是的两条弦，，，，垂足分别为E，比较CE和AF的大小，并证明你的结论.22. 线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等.为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图1和图2：本次随机抽查的学生人数为______ 人，补全图2；参加线上教学的学生共有6000名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为______ 人，图1中扇形①的圆心角度数为______ 度；若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率.23. 一次足球联赛，赛制为双循环形式每两队之间都赛两场，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？24. 已知抛物线若，求该抛物线与x轴交点的坐标；判断该抛物线与x轴交点的个数，并说明理由；若时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，求m的取值范围.25. 如图，已知正方形ABCD边长为2，点O是BC边的中点，点E是正方形内一个动点，且连接BE，CE，求的度数；连接DE，若，求BE的长度；将线段DE绕点D逆时针旋转后，得到线段DF，连接CF，线段CF长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为，故选：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．2.【答案】A【解析】解：A、，是一元二次方程，故符合题意；B 、，含有两个未知数，故不符合题意；C、，含有两个未知数，故不符合题意；D、，不是整式方程，故不符合题意；故选：根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问题可求解．本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，A、C、D 都是轴对称图形不符合要求；是中心对称图形的只有故选：根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．4.【答案】B【解析】解：A、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；B、该函数是反比例函数，故本选项符合题意；C、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；D、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意．故选：根据反比例函数的定义解答即可．本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是5.【答案】A【解析】解：转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，指针指向扇形Ⅰ的概率是故选：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率6.【答案】C【解析】解：在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，，故选：根据当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大求解即可．本题主要考查反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性时解题关键．7.【答案】A【解析】解：、PB是的切线，A、B为切点，，，，，，，故选：利用切线长定理可得，，则，，再利用互余计算出，然后根据三角形内角和计算的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．8.【答案】A【解析】解：，，，，，方程没有实数根．故选：找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个．不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．9.【答案】B【解析】解：圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，故选：根据扇形面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：抛物线，该抛物线开口向下，故选项A错误，不符合题意；当时，，故选项B错误，不符合题意；对称轴为直线，故选项C正确，符合题意；当时，，，故选项D错误，不符合题意；故选：根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】【解析】解：根据题意知，O为等边三角形的对称中心，即把这个三角形绕点O顺时针旋转，所得图形与原来的图形重合，故答案为：根据对称和旋转的知识得出结论即可．本题主要考查对称图形的旋转，熟练掌握对称图形的旋转是解题的关键．12.【答案】>【解析】解：由题意知：，，，故答案为：分别计算、的值；然后比较大小．本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题过程中，利用了代入求值的方法求解．13.【答案】【解析】解：是直径，，，，，平分，，，故答案为：利用勾股定理求出BC，证明，求出AD，可得结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，角平分线的定义，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】11【解析】解：，，方程两个根的和为a，两个根的积为b，，，，故答案为：先将化为一般形式，即可得到a和b的值，然后计算即可．本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．15.【答案】65【解析】解：设箱子中白球的个数为x，根据题意得：，解得，经检验是原方程的解，答：估计箱子中红球的数量为65个；故答案为：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．16.【答案】②③【解析】解：根据题意可得，，反比例函数在第一象限内，，，反比例函数的解析式为，故结论②正确；，故结论①错误；若点在此反比例函数图象上，则，，故结论③正确；结合函数图像特点，时，，故结论④错误；综上所述，正确结论为②③．故答案为：②③．，可得反比例函数的解析式为，再结合函数图像特点，分析每一个结论即可．本题考查了函数图像系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图像的特点是解本题的关键，综合性较强，难度适中．17.【答案】解：如图，DE为所作．【解析】延长BA到D点使，延长CA到E点，使，则BC和DE关于点A 对称．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18.【答案】解：，该抛物线的顶点坐标为，且开口方向向上，当时，y取得最小值，最小值为【解析】把抛物线解析式化成顶点式，得到的顶点坐标和开口方向即可得出答案．本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．19.【答案】解：，，所以，；，，或，所以，【解析】把方程两边开方得到，然后解一次方程即可；利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．20.【答案】解：设，当时，，，解得，即这个反比例函数的解析式是【解析】根据题意，可以先设，然后根据当时，，即可求得k的值，从而可以写出这个函数解析式．本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．21.【答案】解：，理由如下：，，，，，【解析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．由，得到，同理：，而，即可证明问题．22.【答案】400 1800 108【解析】解：本次随机抽查的学生人数为人；“②”种方式的人数为人，条形统计图为：故答案为：400；人，所以估计最喜爱“①连麦问答”的学生人数为1800人，图1中扇形①的圆心角度数为；故答案为：1800，108；画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好选中“②，③”这两种方式的结果数为2，所以恰好选中“②，③”这两种方式的概率用最喜爱“③”方式的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出最喜爱“②”方式的人数，然后补全条形统计图；用6000乘以样本中最喜爱“①连麦问答”的学生所占的百分比可估计参加线上教学的学生中最喜爱“①连麦问答”的学生人数；然后用乘以最喜爱“①连麦问答”的学生所占的百分比得到图1中扇形①的圆心角度数；画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选中“②，③”这两种方式的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23.【答案】解：设有x队参加比赛．依题意，得，，解得，不合题意，舍去答：共有10支队参加比赛．【解析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．24.【答案】解：当时，抛物线为，令，则，解得，，抛物线与x轴的交点为和；令，则，，当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得；当时，抛物线与x轴有两个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点；，抛物线对称轴为直线，①当抛物线的顶点在x轴上时，由知，当抛物线与x轴有且只有1个交点时，；②当时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，如图：，解得，当时，，，解得；当时，，，解得，，综上所述，m的取值范围为或【解析】把代入解析式．然后令，解方程即可；令，由，，，解得m的取值范围，并判断抛物线与x轴交点个数；分抛物线与x轴只有一个交点和抛物线与x轴有两个交点两种情况讨论．本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的图像与性质是解题关键．25.【答案】解：由题意知，点E在以BC为直径的半圆上，；当时，DE切于点E，连接BE，EC，OD，，，又，且OD平分EC，，即，，，，即，，，即，解得舍去负值；，，，在和中，，≌，，最小时，AE最小，连接AO交于点，在中，，，存在最小值为【解析】根据点E在以BC为直径的半圆上得出结论即可；当时，DE切于点E，连接BE，EC，OD，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出，再利用三角函数得出，最后根据勾股定理得出BE的长度即可；根据SAS证≌，得出，求出AE的最小值即可．本题主要考查正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．。
学年广州白云区九年级数学上期末试卷
2013学年第一学期期末教学质量检测九年级数学（试题）第Ⅰ部分选择题（共3０分)一、选择题1.下列二次根式中,最简二次根式为（)(A)１3(Ｂ)，6 （C) ８(D) ＼ｒ(,４a－4b)2.如图１，ＡBCD为⊙Ｏ内接四边形，若∠Ｄ＝8５°,则∠Ｂ=( ）(Ａ) 85°(Ｂ）９5°（C) 105°(D）１1５°3.下列方程是一元二次方程的是()(A)2ｘ+1=0 （B)x２+y=2 (Ｃ)ｘ２-３=0 (D)x２—错误!= 24．下列为中心对称图形的是()(A）三角形(Ｂ）梯形(C)正五边形（D)平行四边形5.下列事件中，属于不可能事件的是( )(A)某个数的绝对值小于0 (Ｂ)某个数的相反数等于它本身(C)某两个数的和小于0(D)某两个负数的积大于06.下列正多边形中,中心角等于内角的是()(Ａ)正六边形(Ｂ)正五边形(C)正四边形(Ｄ）正三边形7.下列各式计算正确的是（）(A）错误!= 16 （Ｂ)错误!÷错误!=１(C)错误!＝错误!(D）错误!=9错误!８.如图２,圆内的两条弦AB、ＣD相交于E,∠D=35°,∠AEＣ=1０5°,则∠C=( ）(Ａ）６0°(B）７０°（C)80°(D)85°9．在半径为３的圆中，１5０°的圆心角所对的弧长是( ）（A)错误!π(Ｂ) 错误!π(C) 错误!π(D)＼ｆ(5,2)π10．不论a、b为任何实数，式子a2+b2-4b＋2a+8的值（)(Ａ）可能为负数(Ｂ）可以为任何实数（Ｃ)总不大于8 (D)总不小于3第Ⅱ部分非选择题（共１２0分）二、填空题1１.关于x的方程x2-4x+ｍ=0,其根的判别式为。
1２．已知x２+x－６＝0,则该方程两根之积= 。
13.已知⊙O的半径为5cｍ,A是⊙O内一点，AO=３cm，那么过点A最短的弦长为cm。
2022年广东省广州市白云区数学九上期末教学质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若122x x =，121132x x +=，则以12x x ，为根的一元二次方程是（ ） A ．2320x x +-= B ．2320x x -+=C ．2320x x ++=D ．2320x x --= 2．函数y ＝mx 2+（m +2）x +12m +1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或2 C ．0或2或﹣2D ．2或﹣2 3．关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≤B ．3m <C ．3m <且2m ≠D ．3m ≤且2m ≠ 4．二次函数224y x x =-++,当12x -≤≤时，则( )A ．1y 4≤≤B ．5y ≤C ．45y ≤≤D ．1y 5≤≤ 5．如图，两个反比例函数14y x=和1y x =在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC x ⊥轴于点C ，交C 2于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()23110x += B ．()()231110x x ++++=C ．()233110x ++=D ．()()23313110x x ++++= 7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角(0°＜α＜90°)得到△DEC ，设CD 交AB 于点F ，连接AD ，当旋转角α度数为________，△ADF 是等腰三角形．A ．20°B ．40°C ．10°D ．20°或40° 8．已知3x ＝4y ，则x y ＝( ) A ．43 B ．34 C ．34- D ．以上都不对9．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB为（ ）A ．12B 2C ．14D 210．点A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （1，y 3）都在反比例函数y=﹣3x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 2＜y 1＜y 3二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF ＝1，FB ＝3，则AC BD＝_____．12．若23a b =，则a b b +＝_____． 13．如果22sin 7sin 30A A -+=，那么sin A 的值为______． 14．如图，某园林公司承担了绿化某社区块空地的绿化任务，工人工作一段时间后，提高了工作效率.该公司完成的绿化面积S (单位：2)m 与工作时间t (单位： h )之间的函数关系如图所示，则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积是____________2m .15．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转140，得到ADE ∆，这时点,,B C D 恰好在同一直线上，则B 的度数为______．16．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．17．如图，圆心都在x 轴正半轴上的半圆O 1，半圆O 2，…，半圆O n 与直线l 相切．设半圆O 1，半圆O 2，…，半圆O n 的半径分别是r 1，r 2，…，r n ，则当直线l 与x 轴所成锐角为30°，且r 1＝1时，r 2018＝________.18．如图，起重机臂AC 长60m ，露在水面上的钢缆BC 长302m ，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC 逆时针转动15︒到'AC 的位置，此时露在水面上的钢缆''B C 的长度是___________.三、解答题(共66分)19．（10分）一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。
广东省广州市白云区19-20九上期末数学试卷
广东省广州市白云区19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程x2−1=0的解是()A. x1=x2=1B. x1=1，x2=−1C. x1=x2=−1D. x1=1，x2=02.下列图形中是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.二次函数y=(x−2)2+5的最小值是()A. 2B. −2C. 5D. −54.小明抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是随机事件的是()A. 掷一次骰子，骰子向上的一面的点数大于0B. 掷一次骰子，骰子向上的一面的点数为7C. 掷两次骰子，在骰子向上的一面上的点数之积刚好是11D. 掷三次骰子，骰子向上的一面的点数之和刚好为奇数5.已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=5cm，则点A与⊙O的位置关系为()A. 点A在圆上B. 点A在圆内C. 点A在圆外D. 无法确定6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为()A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人7.如图，反比例函数y=k的图象经过二次函数y=ax2+bx图象x,m)(m>0)，则有()的顶点(−12A. a=b+2kB. a=b−2kC. k<b<0D. a<k<08. 已知弦AB 把圆周分成2:3的两部分，则弧AB 所对圆心角的度数是( )A. 72°B. 72°或144°C. 144°D. 144°或216°9. 如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 长为( )A. 5米B. 7米C. 375米D. 377米10. 在下列函数图象上任取不同两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，一定能使y 2−y 1x 2−x 1<0成立的是( )A. y =3x −1(x <0)B. y =−x 2+2x −1(x >0)C. y =−√3x (x >0)D. y =x 2−4x −1(x <0)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(3,−2)，则点A 关于原点O 的对称点的坐标是________．12. 3.12日植树节，老师想从甲、乙、丙、丁4名同学中挑选2名同学代表班级去参加学校组织的植树活动，恰好选中甲和乙去参加的概率是______．13. 已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2.(结果保留π)14. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，∠A =50°，∠ABC =60°，则∠ABD =______．15. 若一元二次方程x 2−2x −m =0无实数根，则反比例函数y =m+1x 的图象所在的象限是____________________。
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13. 当 m 满足条件______时，关于 x 的方程（m2-4）x2+mx+3=0 是一元二次方程． 14. 已知函数 y=2（x-3）2+1，当______（填写 x 需满足的条件）时，y 随 x 的增大而增
大．
15. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后， 放回并摇匀，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为______．
9. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A. x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25
B. x2−2x−99=0 化为(x−1)2=100
C. 2t2−7t−4=0 化为(t−74)2=8116 D. 3x2−4x−2=0 化为(x−23)2=109
10. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx 与 y=kx(k≠0)的图象大致是（ ）
四、解答题（本大题共 8 小题，共 93.0 分） 18. 画出△AOB 关于点 O 对称的图形．
19. 请你用树状图分析以下问题： 某校亲子运动会中，小美一家三口参加“三人四足”比赛，需要小美、爸爸和妈妈排 成一横排，求小美排在妈妈右侧身旁的概率．
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20. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，1）、B（2，0）、O （0，0），反比例函数 y=kx 的图象经过点 A． （1）求 k 的值； （2）将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 60°，得到△COD， 其中点 A 与点 C 对应，试判断点 D 是否在该反比例函 数的图象上？
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵a=-1＜0， ∴抛物线的开口向下， 故选：B．
A. x=−2
B. x=−3
C. x=−12
D. x=−13
4. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是 6
B. 任意画个三角形，其内角和为 180∘
C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
D. 一元二次方程一定有两个实数根
5. 一元二次方程 ax2+bx+c=0，若有两根 1 和-1，那么 a+b+c=（ ）
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
6. 在抛物线 y=x2-4x-4 上的一个点是（ ）
A. (4,4)
B. (3,−1)
C. (−2,−8)
D. (−12,−74)
7. 把抛物线 y=-12x2（ ）得到抛物线 y=-12(x+1)2-1．
A. 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
九年级（上）期末数学试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 抛物线 y=-x2 开口方向是（ ）
A. 向上
B. 向下
C. 向左
2. 下列旋转中，旋转中心为点 A 的是（ ）
A.
B.
C.
四
总分
D. 向右 D.
3. 二次函数 y=3x2+2x 的图象的对称轴为（ ）
16. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：
设计次数
20
40
Hale Waihona Puke 100200400
1000
射中 9 环以上次数
15
33
78
158
321
801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中 9 环以上”的概率是______（精 确到 0.1）． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 9.0 分） 17. 解下列方程：x2+x（3x-4）=0
A. (1)(3)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 反比例函数 y=5x 的图象在第______象限．
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D. (2)(4)
12. ⊙O 的半径为 10cm，点 P 到圆心 O 的距离为 12cm，则点 P 和⊙O 的位置关系是 ______．
B. 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
C. 向石平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
D. 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
8. AB、CD 为⊙O 的两条不重合的直径，则四边形 ACBD 一定是（ ）
A. 等腰梯形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
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24. 已知如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于 D，过点 D 作 ⊙O 的切线交 BC 于点 E． （1）求证：∠B=∠ACD，DE=12BC； （2）已知如图 2，BG 是△BDE 的中线，延长 ED 至点 F，使 ED=FD，求证： BF=2BG．
21. ⊙O 的直径为 10cm，AB、CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，求 AB 和 CD 之间的距离．
22. 关于 x 的一元二次方程 x2-（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．
23. 如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长 10 分米，宽 8 分米，在它的四角各切去 一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． （1）若无盖方盒的底面积为 48 平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的 正方形？ （2）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的 3 倍，并将无盖方盒内部进 行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为 0.5 元，底面每平方分米的防锈处 理费用为 2 元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费 用为多少元？
25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1， 0），B（0，2），二次函数 y=12x2+bx-2 的图象经过 C 点． （1）求二次函数的解析式； （2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线 l，若直线 l 恰好将△ABC 的面积分为 1：2 两部分，请求出此时直线 l 与 x 轴的交点坐标； （3）将△ABC 以 AC 所在直线为对称轴翻折 180°，得到△AB′C，那么在二次函数图 象上是否存在点 P，使△PB′C 是以 B′C 为直角边的直角三角形？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．