22.3.4解读一般式-系数的确定
九年级数学上第22章一元二次方程22.3实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题课华东师大
条，即 A 同学的说法不正确．
8．【中考·德州】为积极响应新旧动能转换，提高公司经 济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备， 每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售 价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元 时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位： 台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx＋ b(k≠0)，由题意得4405kk＋＋bb＝＝650500，，解得kb＝＝－1 01000，. ∴年销售 量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元， 如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？
安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 支球队参加比赛， 根据题意，可列出方程x（x－ 2 1）＝28.解这个方程， 得 x1＝8，x2＝－7(舍去)． 答：应邀请 8 支球队参加比赛．
5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把 这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的 乘积等于765，求原两位数． 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x ＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765， 整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)， 则x＋4＝5，故原两位数为15.
22。3-4二次函数配方法专项练习试题
图象。
2
配方可得 y 1 x2 6x21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x21 的顶点是（6，3），对称轴 2
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y1x2 6x21 2
·· ·
··
3
·y
10
4
5
6
7
8
9
·· ·
y 1x2 3x4 2
yx2 5x-3
x25x （ -5） 2（ - -5） 2-3 22
（x25x25） -25-3 44
（x5）2 - 37 24
y-x212x9
（ -x21x 2） 9
（ -x2 1x2 3-6 3） 69 （ -x2 1x2 3） 6 （ 3 6 9 ）
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性， 最值
yx22x2
y2x24x8
y2x2 8x
y 3x2 2x
yx22x
y
1x2 2
-2
x3
y1x24x3 2
2 抛物线如何 y2x24x5平移得到 y 2x2
范例
例2、画出 y1x2 6x21二次函数的
b 4ac b2
2a
,
4a
的对称轴是 x b 顶点 2a
1、二次函数 y = ax2 + bx + c (a、b、c为常数，a≠0)的图象是一条抛
物线，它的表达式也可以是 yaxh2 k ，
其中 h b ,k4acb2
2a
4a
2、二次函数 yax2bxc 的性质：
一元二次方程教材分析讲义
高次方程
新课程标准
• 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程 是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
• 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程； • 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单
的数字系数的一元二次方程； • 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
课程学习目标
以 做
x m2 2m2
一
些
铺
如果（1）和（2）中的条件
垫
m>-1和m>0去掉又如何解？
设计让推导公式成为一种需要 求根公式使我们省略了每次重复的配方过程.（机器） 求根公式包含初中所学的六种运算,最美的公式 解方程本身就是变形的过程.
b b2 4ac x
2a
解一元二次方程（公式法）
用配方法解方程
程之间的联系，体会
试求 a 2 2007a 等20式0变8 的形的值一。般方法 a2 1
降次，解一元二次方程
从一元二次方程解法的发展历史来看， 我们在教学的安排顺序如下：
1.直接开平方法 2.配方法 3.公式法 4.因式分解法
一元二次方程（配方法）
①用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
一元二次方程ax2 bx c 0a 0
题
（y+1)2与2y的
差.
3y2 =0 ⑥
例1（补）.判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) 3x 2 5y 3 (2) x2 4
1 x2
x2
2
(3) x 2 1 x 整式方程 x 1
x2 4 1
(4) 7 x 5 x 2 x
3
2
(5) x 2 4 (x 2)2 整理化简
这样由基本到一般再到特殊的过程是十分切合学生的认
22.3一元二次方程根与系数的关系(2)
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为x1 , x 2
则:
新方程的两根之和为( x1 ) ( x2 ) 3
x1 x2 3, x1 x2 5
( x1 ) ( x2 ) 5 新方程的两根之积为
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练习: 1.以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为：
{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
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一正根，一负根
两个正根 △≥0
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
{
X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
2
⑷.3X =1
2
x1 x2 1
2 x1 x 2 3
4.x1 x2 0
1 x1 x 2 3
x1 x2 0
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在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ a
时，
注意“－ ”不要漏写。
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x x6 0
2
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三
已知两个数的和与积，求两数
题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得:{ x=2 或 y=－1 ｘ＝－1 { y=2
数学人教版 九年级上学期月考知识点汇总
22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪
些是未知量以及它们之间的等量关系.
（2）设：是指设元，也就是设出未知数.
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应
用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2.
由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故 2a
如果b 0时，对称轴为 y 轴； 如果 b 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
如果 b 0（即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a
③c的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置 当 x 0时，y c ，所以抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ），故 如果c 0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与 y 轴交于正半轴；
人教版九年级上册数学同步培优第二十二章 二次函数 用二次函数求最值问题
(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况 下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函 数的解析式．
解：当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝－ b .
①当－
b 2
＜b，即b＞0时，
2
在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而增大，
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2．【教材P49探究1变式】【2021·广东】我国南宋时期数学 家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公
式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角 形的三边长分别为a，b，c，记p＝ a＋b＋c ，则其面积S
2 ＝ p（p－a）（p－b）（p－c）. 这个公式也被称为海伦 －秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大 值为( )
【点思路】设销售价为x元(x≥9)，每天所获利 润为y元，则y＝[20－4(x－9)]·(x－8)＝－4(x－ 11)2＋36，所以将销售价定为11元时，才能使每 天所获销售利润最大.
【答案】11
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5．【2021·鄂州】为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收 入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放 种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植 某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该 作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系 ，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
对称轴为直线 x＝1 810000－a， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时， 月利润之差最大， ∴16.5≤1 810000－a≤17.5.解得 50≤a≤150.
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(1)求y与x之间的函数解析式(不求自变量的取值范围)； 【点方法】根据已知条件用待定系数法即可求出一次
【新华东师大版】九年级数学上册：22.3《实践与探索》学案(4课时)
22.3 实践与探索第一课时学习目标：1.使学生掌握列方程解应用题中写“关系式”及找相等关系列方程方法；2.使学生理解列方程实质在于会用含未知数的代数式表示题目里的关系式；3.采用对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用的能力．重点和难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是重点也是难点.学习过程：一、创设情境1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用．2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样．我们先来解决§22.1的问题1，然后总结一些规律或应注意事项．二、探究归纳例1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地宽为x米，不难列出方程：三、实践应用例2如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．解法1如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为______．所列的方程是不是32×20-(32x＋20x)＝540？启发学生思考，务必把这一点弄明白！解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x 米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．分析 设截去正方形的边长为x 厘米后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．解 设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得练习：1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到0.1厘米）.2.竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v 0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米?四、归纳小结1.列方程解应用题的步骤是：2.面积问题常要用到割、补、运动等技法．例2中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略，解法2采用了运动的办法，是一种灵活解题的能力．总之：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．五、作业1.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到0.1米）.2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较适合?3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米，求原正方形广场的边长（精确到0.1米）．4.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米，求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度．22.3实践与探索第二课时课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、一元二次方程的应用主要有以下几种题型：（1）平均增长率方面的问题：如果原产量的基础数为a ，平均增长率为x ，那么对于时间n 的总产值b ，有公式()nx b +=1，类似地还有降低率问题. （2）几何图形方面的问题：这类问题的数量关系往往隐藏在图形中，可以通过布列一元二次方程求解，图形主要是三角形、四边形，数量关系主要有面积计算、体积计算、勾股定理等.（3）行程问题中的匀速变速运动问题：匀变速运动问题在现实世界中有许多原型，它是物理运动学的基础，利用“路程=平均速度×时间”可列方程.（4）营销问题：解决此类问题首先要弄清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、折价、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.2、列一元二次方程的一般步骤是：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③，审题是解题的基础，列方程是解题的关键，在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边的同类量的单位一样；（3）方程两边的数值相等.注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：平均增长率问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．【解题思路】3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x ，则六月份的营业额是：3月份的营业额2(1)x ⨯+，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额(110)400(110)440⨯+=+=％％.【解】设平均月增长率为x ，依题意，得2440(1)633.6x +=，2(1) 1.44x +=，两边直接开平方，得1 1.2x +=±，所以120.220 2.2x x ===-％，（不合题意，舍去）．类型二：几何图形问题例2、如图，正方形ABCD 的边长为12，划分成12×12个小正方形格.将边为n （2≤n ≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n ×n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的为n ×n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n －1）×(n －1)的正方形.如此摆放下去，最后直到纸片被盖住的面积（重合部分只计一次）为S 1，未被盖住的面积为S 2.是否存在使得S 1＝S 2的n 值，若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）把S 1与S 2分别用含n 的代数式表示出来.根据S 1＝S 2或S 1＝21221⨯列出方程，答案是否存在，要看所列方程有没有整数解.（2）当小正方形边长为12时，只需1块正方形纸片.当小正方形边长为n （2≤n ≤11，且n 为整数）时，需要（13－n ）块小正方形纸片.（3）S 1等于由（12－n ）个如图所示的图形和一个边长为n 的小正方形的面积之和.【解】当S 1＝S 2时，即S 1＝21221⨯时，（12－n ）[n 2－(n －1)2]＋n 2＝21221⨯，即－n 2＋25n －84＝0.解这个方程，得n 1＝4，n 2＝21(21>11，舍去).所以这样的n 值是存在的，其值为4.类型三：商品销售问题例3、某商店购进一批服装，进货单价为50元，如果将每件按60元出售，那么只能销售800件.经测算，售价每提高1元，销售量将减少20件.若要求这批服装获利1200元，且进货成本不超过2400元，问这种服装售价定为多少元适宜？此时应购进这种服装多少件？【解题思路】这种服装若按每件60元出售，则只能销售800件，利润最多是800×（60－50）=8000元，要想获得12000元的利润，必须提高售价，为了方便，可以设每件服装提价x 元，这时销售价为（60+x ）元，每件获利（60+x －50）元，销售量为（800－20x ）件，因而根据销售利润12000可以建立等式，需要注意的是，本题还有进货成本不能超过24000元的限制.【解】设这种服装每件提价x 元，根据题意，得：（60+x －50）（800－20x ）=12000，∴10,2021==x x .当x =10时，售价为60+10=70（元），需要购进服装800－20x =600（件），此时进货成本是600×50=30000（元）＞24000元，不合题意，应舍去.当x =20时，售价为60+20=80（元），需要购进服装800－20x =400（件），此时进货成本是400×50=20000（元）＜24000元，符合题意.答：这种服装售价定为80元适宜，此时应购进这种服装400件.类型四：生活热点题 例4、某水库水位已超过了警戒线，上游水位以a s m /3的流量流入水库，为防洪打开闸门，每个闸门均以()s m a /332-的流量放水，经测算，若打开一个放水闸，15h 可将水位降至警戒线，若打开两个放水闸，5h 可将水位降到警戒线，求a 的值.【解题思路】该题是以水库开闸放水作为背景，题型新颖，解决这题的关键是紧紧扣住警戒线的高度是不变的，即水库中的水两次开闸所放的水量是相等的，打开一个闸门所放的水量是()[]a a --⨯3152，打开两个水闸所放的水量是()[]a a --⨯3252，因而有()[]a a --⨯3252=()[]a a --⨯3152，a 值可求. 【解】由题意，得：()[]a a --⨯3252=()[]a a --⨯3152，化简得：0322=--a a ，解得1,321-==a a （舍去）.故a 值为3.易错警示1、分不清商品经济营销中的概念例5、某商品经过连续两次调价后的价格比原来翻两番，求平均每次调价的百分数.【错解】 设平均每次调价的百分数为x ，原来的价格为1，则()212=+x ，解得21±-=x ，舍去负根，得%4141.021=≈+-=x ，因此平均每次调价的百分数约为41%.【错因分析】造成错解的原因是对“翻两番”这个概念的含义理解不透，“翻一番”后的数量是原来的数量乘以2，“翻两番”后的数量是原来的数量乘以4，也就是说，如果原来是x ，则翻一番后是2x ，翻两番后是4x ，翻n 番后是x n2.【正解】设平均每次调价的百分数为x ，原来的价格为1，则()412=+x ，解得31-=x （舍去）12=x =100%，因此平均每次调价的百分数约为100%.2、在解答实际问题中，对方程的解进行取舍时忽视实际情况造成错解.例6、如图，要在一面靠墙（墙长18米）的地方用30米长的不锈钢修建一个面积为100平方米的矩形花圃的护栏，问矩形护栏的长和宽分别是多少？【错解】设与墙相邻的一边长为x 米，则另一边长为（30－2x ）米，依题意，得x （30－2x ）=100，整理，得050152=+-x x ，解得5,1021==x x .当x =10时，30－2x =10；当x =5时，30－2x =20.因此，矩形花圃的护栏的长和宽分别是10米和10米，或20米和5米.【错因分析】错解忽视了墙长只有18米，也就是说墙的最大利用长度是18米，没有考虑到当x = 5米时，与墙平行的那一边的长为20米，此时需要利用墙长20米，但这是不可能的.【正解】前面的过程与错解中相同，略.当x =10时，30－2x =10；当x =5时，30－2x =20＞18（应舍去）.因此，矩形花圃的护栏的长和宽分别是10米和10米.课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）1、以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s （单位：m ）与标枪出手的速度v (单位：m /s )之间大致有如下关系：229.8v s =+.如果抛出40米，则标枪出手速度为 （精确到0.1m /s ）.2、一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布的面积是桌面的面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，则这块台布的长和宽分别为 .3、先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答.（1）如果a 是关于x 的方程的根，并且，求________的值.①；② ；③；④.（2）已知，且，求________的值.①；② ；③；④.4、学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米，宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．5、一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.依次类推.（1）试写出第n 层所对应的点数；（2）试写出n 层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？课后作业练习一、选择题：1、在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为cm x ，那么x 满足的方程是（ ）Ａ．213014000x x +-=Ｂ．2653500x x +-= Ｃ．213014000x x --= Ｄ．2653500x x --=2、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的21．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ）A 、20％B 、30%C 、50%D 、120%3、若两个连续整数的积是56，则它们的和是 ( )A 、±15B 、15C 、-15D 、114、以墙为边，再用长为13米的铁丝围另外三边，围成面积为20平方米的长方形，已知长大于宽，则长方形的长、宽分别是（ ）A 、5m 、4m 或9m 、2mB 、9m 、2mC 、10m 、1.5mD 、8m 、2.5m 或5m 、4m5、下列判断，错误的是（ ）A 、两个连续整数的积是30，则这两个数是5和6B 、已知三角形的面积为24 cm 2，某边上的高比该边短2cm ，若设该边长为x cm ，则可列出方程()24221=-x x C 、将15 cm 长的铁丝围成一个面积为10 cm 2的矩形，设长为x cm ，则可列出方程()1021521=-x x D 、某工厂计划用两年时间把产品的成本下降19%，则平均每一年比上一年下降10%.6、李明同学在验算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案少了35，则这个数为（ ）A 、－7B 、－5或7C 、5或－7D 、77、要用一条长为24 cm 的铁丝围成一个斜边长为10 cm 的直角三角形，则两条直角边的长分别为（ ）A 、1 cm 和3 cmB 、6 cm 和8 cmC 、4 cm 和10 cmD 、7 cm 和7 cm二、填空题：8、汽车由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车的刹车距离()s m 与车速()/v km h 之间关系为20.20.01s v v =+，当刹车距离为15m 时，该车车速为 /km h .三、解答题：9、编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答.编题要求：①题目完整，题意清楚；②题意与方程的解都要符合实际.10、（2010山东聊城）2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率来实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1）求全市国民生产总值的年平均增长率（精确到1%）；（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿？（精确到1亿元）11、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？22.3参考答案：1、答案：B2、解析：由规则得，解之得.x为正数，，故应选B.3、3m/s4、长为8cm，宽为6cm.5、解析：由一元二次方程根的定义，得：，，即，因此选填③；对于第（2）题，可将恒等变形并分解因式，得，.故应选填②.⨯=（平方米），比它多1平方米的长方形面积6、解：（1）学校计划新建的花圃的面积是9763是64平方米，因此可设计以下方案：方案一：长和宽都是8米；方案二：长为10米，宽为6.4米；方案三：长为20米，宽为3.2米．（2）假设在计划新建的长方形周长不变的情况下长方形花圃的面积能增加2平方米．由于计划⨯+=（米），设面积增加后的长方形的长为x米，则宽是新建的长方形的周长是2(97)32(322)2(16)x x -÷=-（米），依题意，得(16)65x x -=，整理，得216650x x -+=，因为224(16)46540b ac -=--⨯=-<，此方程没有实数根，所以，在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米．7、解：（1）第n 层上的点数为6（n －1）（n ≥2）.（2）n 层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝1＋2)1)](1(66[--+n n ＝3n (n －1)＋1.（3）令3n (n －1)＋1＝169，得n ＝8.所以，它一共是有8层.课后作业答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：A4.答案：D5.答案：A6.答案：B7.答案：B8.答案：309.答案：如：某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少？解：设平均每年增产的百分率是x ，由题意，得，1.1121.1)1(2±=+=+x x ，，（不合题意，舍去），1.21.021-==∴x x .所以只能取，即平均每年增产的百分率是10%.10.（1）解：设年平均增长率为x ，根据题意，得1376（1+x ）2＝1726，解得 x 1≈0.12，x 2＝-2.12（不合题意，舍去）．（2）1376×（1+0.12）≈1541.12，1726×（1+0.12）≈1933.12，1541.12+1726+1933.12≈5200（亿元）．答：年平均增长率为12%，2010年至2012年全市三年国民生产总值为5200亿元.11.解：延长DA 至M ，使BM ⊥BE .过B 作B G ⊥AM ，G 为垂足.易知四边形BCD G 为正方形，所以BC ＝B G.又∠CBE ＝∠G BM ，∴Rt △BEC ≌Rt △BM G..∴BM ＝BE ，∠ABE ＝∠ABM ＝45°，∴△ABE ≌△ABM ，AM ＝AE ＝10.设CE ＝x ，则A G ＝10－x ，AD ＝12－(10－x )＝2＋x ，DE ＝12－x .在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2，∴100＝（x ＋2）2＋（12－x ）2，即x 2－10x ＋24＝0，解之，得x 1＝4，x 2＝6.故CE 的长为4或6.12.解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游，因为2700025000251000<=⨯，所以员工人数一定超过25人.可得方程[]27000)25(201000=--x x ，解得：30,4521==x x .当451=x 时，700600)25(201000<=--x ，故舍去1x ；当452=x 时，700900)25(201000>=--x ，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.22.3 实践与探索第三课时【学习目标】1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
人教版 九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数(含答案)
人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°.若新建墙BC 与CD 的总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D.45 32 m 22. 有一根长60 cm 的铁丝，用它围成一个矩形，则矩形的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)之间的函数解析式为( ) A ．S ＝60xB ．S ＝x (60－x )C ．S ＝x (30－x )D ．S ＝30x3. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从点A出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是( )A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 24. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为( )A ．800平方米B ．750平方米C ．600平方米D ．2400平方米5. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m6. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ 的面积的最小值为 ( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 27. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －18. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D．篮球出手时离地面的高度是2 m9. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同10. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取()A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题（本大题共8道小题）11. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.12. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．13. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．14. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．15. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.16. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．17. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.18. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？20. 如图，排球运动员王亮站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；②球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；③若排球运动员张明站在另外半场的点M(m，0)，且张明原地起跳接球的最大高度为2.4 m．若张明因接球的高度不够而失球，求m的取值范围．(2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．21. 某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x(吨)时，所需的成本y(万元)与(x2＋60x＋800)成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p(单位：万元)由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与x成正比例，比例系数为－120.在营销中发现年产量为20吨时，所需的成本是240万元，并且年销售利润W(万元)的最大值为55万元．(注：年利润＝年销售额－成本)(1)求y(万元)与x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(2)求年销售利润W(万元)与年产量x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(3)当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？22. 如图，用一块长为50 cm，宽为30 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.(1)盒子底面的长AB＝________ cm，宽BC＝________ cm.(用含x的代数式表示)(2)若做成的盒子的底面积为300 cm2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S的最大值；若不存在，说明理由.人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，则S ＝AB ·AC 2－AP ·AQ 2＝8×62－2t ×t 2＝－t 2＋24. ∵点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 m/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6， ∴0<t ≤4，∴当t ＝4时，S 取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm 2)．4. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.5. 【答案】D[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.6. 【答案】C[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6 cm.设运动时间为t s(0<t≤4)，则PC ＝(6－t)cm ，CQ ＝2t cm ， ∴S四边形PABQ ＝S △ABC －S △CPQ＝12AC·BC －12PC·CQ ＝12×6×8－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋24＝(t －3)2＋15，∴当t ＝3时，四边形PABQ 的面积取得最小值，最小值为15 cm 2. 故选C.7. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．8. 【答案】A[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.可见选项A 正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.9. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.10. 【答案】C[解析] 如图，设BE ＝CF ＝x cm ，则EF ＝(80－2x )cm.∵△EFM和△CFN 都是等腰直角三角形，∴MF ＝22EF ＝(40 2－2x )cm ，FN ＝2CF ＝2x cm ，∴包装盒的侧面积＝4MF ·FN ＝4·2x (40 2－2x )＝－8(x －20)2＋3200， 故当x ＝20时，包装盒的侧面积最大．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y ＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.12. 【答案】25 [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25. ∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.13. 【答案】225214. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋415. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.16. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.17. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB ＝36 m ，∴AH ＝BH ＝18 m. 由题可知：OH ＝7 m ，CH ＝9 m ， ∴OC ＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－1 36，∴y＝－136x2＋16.当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24 m，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．18. 【答案】0.5[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y＝600－5x(0≤x≤120)．(3分)(2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，(4分)则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500.(7分)答：果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．(8分) 20. 【答案】解：(1)①把x＝0，y＝2及h＝2.6代入y＝a(x－6)2＋h，得2＝a(0－6)2＋2.6，∴a＝－1 60，∴y＝－160(x－6)2＋2.6.②球能越过球网，球会出界．理由如下：由①知y＝－160(x－6)2＋2.6，当x＝9时，y＝－160×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网．当x＝18时，y＝－160×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球会出界．③若运动员张明原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时－160(m－6)2＋2.6＝2.4，解得m1＝6＋2 3，m2＝6－2 3.∵张明接球高度不够，∴6－2 3＜m＜6＋2 3.∵张明在另外半场，∴m的取值范围为9＜m＜6＋2 3.(2)将x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝2－h 36.当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＝2＋3h4＞2.43；①当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②由①②，得h≥8 3.21. 【答案】解：(1)设y＝k(x2＋60x＋800)(k≠0)，由题意，得240＝k(202＋60×20＋800)，解得k＝1 10，∴y＝110x2＋6x＋80.(2)设基础价为a，则p＝a－120x，∴W＝px－y＝(a－120x)x－(110x2＋6x＋80)＝－320[x－13×10(a－6)]2＋13×5(a－6)2－80.∵W的最大值为55，∴13×5(a －6)2－80＝55，解得a 1＝15，a 2＝－3(舍去)，∴W ＝－320[x －13×10×(15－6)]2＋13×5×(15－6)2－80＝－320(x －30)2＋55.(3)∵W ＝－320(x －30)2＋55，∴当x ＝30时，年销售利润最大，∴p ＝a －120x ＝15－120×30＝13.5，∴当年销售利润最大时，每吨的售价是13.5万元．22. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300，整理，得x 2－40x ＋300＝0，解得x 1＝10，x 2＝30(不符合题意，舍去)．当x ＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm 3)．(3)存在．盒子的侧面积S ＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x －4x 2＋60x －4x 2＝－8x 2＋160x ＝－8(x 2－20x)＝－8[(x －10)2－100]＝－8(x －10)2＋800， ∴当x ＝10时，S 有最大值，最大值为800.。
拱桥问题中的抛物线(课堂PPT)
所以水面的宽度增加了 2 6 4 m. 13
知识要点 解决抛物线型实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行 有关的计算.
14
例2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大 门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有 载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m, 装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能, 请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
A 1.25米
O
18
y B
A 1.25
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水与x轴交于C点. 由题意可知A（ 0，1.25）、 B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
O
C x 设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.
④、ya(xh)2k(a0)
(顶点式)
⑤、ya2xb xc(a0)
(一般式)
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2， 则二次函数可表示为：
⑥、y a (x x 1 )x ( x 2 )a ( 0 ) (交点式) 3
4
5
6
7
8
拱 高
跨度
9
探究：拱桥问题
例1、如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离 水面 2 m时,水面宽 4 m。水面下降 1 m, 水面 宽度为多少？水面宽度增加多少 ？
实际问题与二次函数--第4课时---如何巧建立直角坐标系
能力提升：某工厂的大门是一抛物线形水泥建 筑物，如图22-10，大门地面宽AB＝4米，顶部 C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的 汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8 米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆 汽车能否顺利通过大门？
能力提升：某工厂的大门是一抛物线形水泥建 筑物，如图22-10，大门地面宽AB＝4米，顶部 C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的 汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8 米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆 汽车能否顺利通过大门？
（方法一） 解：设该抛物线图像解析式为
y=a(x+ b/2a)²+(4ac-b2)/4a (a、b、c是常 数,a≠0)
（方法二） 解：设该抛物线图像解析式为
y=a(x-x1)(x-x2) (a是常 数,a≠0)
探究3：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水
面6.5M时，水面宽52M，水面下降1M，水面 宽度增加多少？
都是2.5M，绳子自然下
垂呈抛物线状，身高
0.5M
2.5M
1M的小明距较近的那 棵树0.5M时，头部刚好 1M
接触到绳子，则绳子的
2M
最低点距地面的距离为？
试一试 如图，小明
的父亲在相距2M的两
棵树间拴了一根绳子，
给做了一个简易的秋千。
拴绳子的地方距地面高
都是2.5M，绳子自然下
垂呈抛物线状，身高
（0，6.5） C
B
（-26，0）
（26A，0）
解：设该抛物线图像解析式为 y=ax²+c (a、c是常数，a≠0)
∵我们选择A（26，0），C（0，6.5）两点代入y=ax²+c 中
一次函数的待定系数法,一设二代三解四写
一、概述在数学学科中，一次函数是最基本的函数之一，也是学生在初中阶段就开始学习的内容。
待定系数法是解一次函数方程的一种常用方法，通过设定代数式的待定系数，从而解得方程的未知数，通过此方法可以简化计算过程，提高解题效率。
二、一次函数的表达式一次函数的一般表达式为：y = ax + b，其中a和b分别代表函数的系数，x为自变量，y为因变量。
在实际问题中，常常遇到一次函数方程的解的问题，这时可以利用待定系数法进行求解。
三、待定系数法的具体步骤1. 根据一次函数的一般表达式y = ax + b，对于已知的方程式或条件进行列式2. 设定代表未知系数的变量，如设a为待定系数3. 根据方程式或条件列出代数式，并将待定系数代入4. 通过方程式或条件解方程，得到未知系数的值5. 将未知系数的值代入一次函数的一般表达式，得到最终的解四、一设二代三解四写的步骤一设：假设一次函数的表达式为y = ax + b，其中a和b为待定系数二代：根据已知的方程式或条件，列出代数式并将待定系数代入三解：通过解方程得到待定系数的值四写：将待定系数的值代入一次函数的一般表达式，得到最终的解五、待定系数法的实际应用待定系数法不仅可以应用于一次函数的解题中，在物理学、化学等领域也有广泛的应用。
例如在物理学中，通过已知的实验数据可以列出方程式，通过待定系数法可以求出物理方程中的未知参数，从而得到实际的物理意义。
在化学中，化学平衡方程式的平衡常数也可以通过待定系数法进行求解，从而得到化学反应的平衡状态。
六、总结待定系数法作为一种通用的解决问题的方法，在数学以及其它学科的应用中都有着重要的地位。
通过对待定系数法的理解和应用，可以帮助我们更好地解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。
待定系数法也是数学学科中求解问题的重要方法之一，对培养学生的逻辑思维和解题能力具有重要意义。
希望通过学习和实践，更好地掌握待定系数法这一重要的求解方法。
待定系数法是解一次函数方程的一种重要方法，通过设定待定系数，并按照设一代二求三写的步骤逐步求解，可以简化问题，提高解题效率。
九年级数学上册第一单元知识点总结,初三数学上册第二章知识点归纳（人..
九年级数学月考知识点汇总第二十一章一元二次方程22.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.注意一下几点：©只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程.知识点二一元二次方程的一般形式—般形式：«v2+c=o（a^0）其中，ax1是二次项，。
是二次项系数；冰是一次项，方是一次项系数；。
是常数项.知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根一方程的解的定义是解方程过程中验根的依据.22.2降次——解一元二次方程22.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另—边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如亍=°("20)的方程，根据平方根的定义可解得•砂+扁=-槌厂⑵直接开平方法适用于解形如X2=2或国+。
下=P(""0)形式的方程，如果p^O,就可以利用直接开平方法.(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根・(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根.知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开.(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.2222公式法知识点一公式法解一元二次方程$一般地，对于一元二次方ox2+fex+<c=0(o*0)t女口b2 -4ac>0,程那么方程的两个根为LL,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解’这种解方程的方法叫做公式法.Q一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程”+bx+c=0(a*0)的过程.$公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：履+&r+c=O(a,O),—般1化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出44W的值；④若yg则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,广4”<0,则方程无实数根.知识点二一元二次方程根的判别式式子甘-4ac叫做方程履+bx+c=0(g0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即A=/-4oc,22.2.3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程①把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法.0因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0;②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程;③④解一元一次方程即可得到原方程的知识点二用合适的方法解一元一次方程222.4 一元二次方程的根与系数的关系(了解)方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如/ =#或(m + 刀尸=pQp>0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当 ab=O,则 a=0 或 b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程.若一元二次方程F +处+q=0的两个根为八，则有+ X 2 = —p 9 Xi x 2= q若一元二次方程技+fcr + c=O0MO ）有两个实数根.Xb X +X = — .XX a 则有C a 22.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系.(2) 设：是指设元，也就是设出未知数・(3) 歹IJ ：就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应 用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程一(4)解：就是解方程，求出未知数的值一(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意.(6)答：写出答案.知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-L x+1.三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为X,则另两个数分别为x-2,x+2.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为&则这个三位数是100a+10b+c.(2)增长率问题设初始量为终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为用±西。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第三课时课件
6．(15 分)隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8 m， 宽为 2 m，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6 m，建立如图所示 的坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高 4 m，宽为 2 m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什 么？
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0.解得a＝－0.06.即y＝－ 0.06x2＋6.当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5.解得x＝±5，∴DF＝ 5，EF＝10.即水面宽度为10米
10．(14 分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到
看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的
手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿
绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚
好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生 m
C．1.66 m
D．1.67 m
由题意可知，抛物线经过点 A(0，2)，P(4，6)，B(8，2)．设抛物线的 方程为 y＝ax2＋bx＋c，将 A，P，B 三点的坐标代入抛物线方程，解 得抛物线解析式为 y＝－14x2＋2x＋2
(2)令 y＝4，则有－14x2＋2x＋2＝4.解得 x1＝4＋2 2，x2＝4－2 2，∵ |x2－x1|＝4 2＞2，∴货车可以通过
D．12.1 m
2．(5分)某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，
喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直)．如果抛物
线的最高点M离墙1 m，离地面 m(如图所示)，则水流落地点
15--确定二次函数解析式
(1)一般式
(2)顶点式 (3)交点式
背22 用待定系数法确定二次函数解析式
顶点式
（2）若已知抛物线与x轴的两个交点，通常选择
交点式 x1,0, x2,0
交点式 （3）若已知图像上的三个点或三对值，通常 选择一般式
一般式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1、已知二次函数的图象经过
A1,0, B 1, 4,C 2,7,
求出这个二次函数的解析式。
例2、已知二次函数的图象 过点(1,0), (3,0)和(2，3)， 求这个二次函数的表达 式。
例3、已知二次函数的图象顶点是(1,1), 且经过点(1,3),求这个二次函数的表达式。
例、已知抛物线y ax2 bx 1的对称轴为直线x 1, 其最高点在直线y 2x 4上，求抛物线的解析式与 直线的交点坐标。
例、抛物线y ax2 bx c与y x2的形状相同， 对称轴是直线x 3，最高点在直线y x 1上， 求抛物线解析式
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线和圆的方程 2.3.22.3.4
;
(3)两条平行线间的距离公式及两平行线间的最值问题;
(4)距离公式的应用.
2.方法归纳:待定系数法、坐标法、公式法、解方程(组)法、数形结合法.
3.常见误区:(1)已知距离求参数问题易漏解;(2)设直线方程易忽略斜率是
否存在;(3)运用两平行线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系
数分别对应相同.
9
−5,0
2
3) + (0-4) =
,
2 109
.
5
探究点二
坐标法及其应用
【例2】 [北师大版教材习题]用坐标法证明:
(1)在直角三角形中,斜边中点到三个顶点的距离相等;
(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等,则该边所对的角是直角.
证明 (1)以Rt△ABC的直角顶点A为原点,AB,AC所在直线为x轴、y轴,建立
解析 (3)由
2 +1
.
=
|- +4+3|
2 +1
,得|3m+5|=|m-7|,∴m=-6 或
1
m= .
2
变式探究 已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为
-1+ 2
.
解析 由点到直线的距离公式可知
∵a>0,∴a=-1+ 2.
|-2+3|
d= 2 =1,解得
又|AC|= (1 + 3)2 + (7-1)2 = 52,
|AB|= (3 + 3)2 + (-3-1)2 = 52,
∴|AC|=|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形.
规律方法 两点间距离公式的应用
一般式方程系数要求
一般式方程系数要求
一般式方程是指由未知量的未知数表示的普通多项式等式。
当你
想要找出一般式方程的根时，首先必须要弄清楚它的系数要求。
具体
来说，对于一般式方程，系数至少要有4项，每一项都有自己的系数。
这四项中最重要的是常数项，因为只有它能使其他项变得有意义，当
解决一般式方程时，这同样也是必不可少的。
另外，当求解一般式方程时，还必须确定每一项的系数，特别是
一次项的系数，它的系数一定要大于0，在求根的过程中它会发挥重要
作用，因为它有助于将多项式线性化。
当你处理二次项时，你需要确定它的系数，如果它是正的，则圆
和椭圆是根的形状，而如果它是负的，则圆和双曲线是根的形状。
除
此之外，幂指数也很重要，大部分一般式方程都有幂指数，但不是所
有一般式方程都有这个系数，但有了它之后，你才能求出方程的根。
总之，要求一般式方程的系数要求有以下几点：首先是常数项的
系数，其次是一次项的系数必须大于0，然后是二次项的系数，并且它
会产生圆或椭圆或双曲线的根形态;最后是幂指数，虽然不是所有的一
般式方程都有这个系数，但如果有，它也是求根的关键。
22.3.4 系数的确定
│
└a-b+c=12 ③
所以，抛物线的解析式为y=x²-5x+6．
┌a=1 │ ┤b=-5． │ └c=6
当x=-2时，y=(-2)²-5×(-2)+6=20，故点C(-2，20)也在这个抛物线上．所以
存在一个抛物线同时经过这四点．
课堂总结
根据三点可以确定二次函数的解析式．用待定系数法确定函数解析式的步 骤：
义务教育教科书·数学·九年级上册
第廿二章
二次函数
（22.3 解读标准式）
人教版数学九年级上册
§22.3.4 系数的确定
课前回顾： 抛物线y=ax²+bx+c中，系数a决定形状，b、c决定位置： ——a的符号决定开口方向，并且正向上负向下， ——a的绝对值决定开口大小，并且值越大口越小； ——b和a决定对称轴位置，并且左同右异零纵轴； ——c决定与y轴的交点位置，并且正上负下零原点． 课堂焦点： 会用待定系数法确定二次函数y=ax²+bx+c的解析式
设，列，解，答． 注意：1. 用待定系数法确定二次函数的解析式时，根据条件的特点可以设 不同形式的解析式，但是结果要写成标准形式． 2. 说明四个点是否在同一条抛物线上，先求过三点的抛物线的解析式，再 验证第四个点是否满足解析式即可．
根据解析式研究图象 二次函数 选取 满足条件 画出 抛物线 y=ax²+bx+c 解出 的三个点 选取 y=ax²+bx+c
根据图象确定解析式
典型例题
例1 你能用待定系数法确定下列抛物线的解析式吗？
解：设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A(-1，0)，B(0，-3)，C(3，0)代入得：
湘教版数学八年级下册待定系数法确定一次函数表达式课件
取值范围是1＜x＜9.
课堂小结
求函数关系式的一般步骤是怎样的呢？
可归纳为：“一设、二列、三解、四写”
一设：设出函数关系式的一般情势y=kx+b；
二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k、b的值；
四写：把求得的k、b的值代入y=kx+b，写出函数关系式.
再见
余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)一箱油可供拖拉机工作几小时？
例2
某种拖拉机的油箱可储
解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，
油40L，加满油并开始工作后， 由于点P(2，30)，Q(6，10)都在一次函数图象上，
油箱中的剩余油量y(L)与工作 将这两点坐标代入表达式， 得ቊ2 + = 30
(0， －4)
ቊ
=4
3 + ＝ − 2
=4
ቊ
＝ − 2
y=-2x+4
交点坐标为它
与x轴的交点
随堂检测
1．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，-1)，则该函数图象必经过点(B
A.(－1，1)
B.(2，2)
-1=3-b
b=4
y=3x-4
C(-2，2)
D. (2，-2)
)
随堂检测
2. 如图，直线AB对应的函数表达式是( A )
基本步骤吗？
归纳总结
求函数表达式的一般步骤
一设：设出函数关系式的一般情势y=kx+b；
二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k、b的值；
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1.(96n)已知一个二次函数的图像经过(0，0)、(1，2)、(2 3)三点，求这个函数的解析式． 2.(97n)已知一个二次函数的图象经过(0，-3)，(3，0)，(4 5)三点，求这个函数的解析式． 3.(98n)已知一个二次函数的图像经过(-1，-1)，(0，-2)， (1，1)三点求这个函数的解析式． 4.(99n)已知一个二次函数的图象经过点(1，-1)，(0，1)， (-1，13)，求这个二次函数的解析式． 5.(92n)求经过A(0，1)、B(-1，1)、C(1，-1)三点，且对 称轴平行于ｙ轴的抛物线，并求其顶点坐标和对称轴． 6.(94n)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(4 ，2)，点(2，0)在该抛物线上，求这条抛物线． 7.(16n)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．
设，列，解，答．
画出 选取 满足条件 二次函数 抛物线 y ax 2 bx c 的三个点 y ax 2 bx c 选取 解出
你能用待定系数法确定下列抛物线的解析式吗？
思考：现有四个点A(1，2)、B(0，6)、C(－2，20)、 D(－1，12)，是否存在一条抛物线同时经过这四个点？
22.3.4 系数的确定
如图，求经过A(1，0)、B(4，3)两点的直线解析式，你 是用什么方法解答的？
思考：1.如图，抛物线也经过A(1，0)、B(4，3)两点，你 能求出抛物线的解析式吗？为什么？ 2.如果已知该抛物线还经过C(0，3先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未 知的系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法． 用待定系数法确定函数的解析式的步骤：