选修2-1 空间向量与立体几何学案 距离
选修2＊1-空间向量与立体几何(空间向量法求异面直线的距离)(2)课件
微诊断
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离。
D1
C1 B1
A1
D
C
A B
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
谢谢观看！
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
微诊断
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离。
z
D1
C1 B1
AC1 (a, a, a)
DB (a, a,0)
微课爱我
我爱微课
空间向量法求异面直线的距离
继点到平面距离的求法进一步拓展到异面直线的求法
1.异面直线的距离的定义 （1）公垂线：和两条异面 直线都垂直相交的直线， 我们称之为异面直线的公 垂线。 （2）公垂线段：在这两条 异面直线间的线段叫做公 垂线段。
D1
b
B1
C1
A1
D A
C
a
B
（3）公垂线段的长度，叫做两条异面直线的 距离。
A1
D
公垂向量 n (1, 1, 2)
y
C
x
连接向量 DC (0, a,0)
DC n n a 6 a 6 6
Aຫໍສະໝຸດ Bd 高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
D A
n
C
a
B
d AA1
AC1 n n
n 为异面直线的公垂向量
AC1 为异面直线的连接向量
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
3.异面直线距离的向量计算示例
例1 已知正方体AC1的棱长为a,求B1C与BD间的距离。 C1 z D1 解：如图建立空间直角坐标系，则
D(0, 0, 0),B(a, a, 0),C (0, a,0),B1 (a, a, a) A1 DB (a, a, 0), CB1 (a,0, a) 设公垂向量为 n ( x, y, z)
2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.5距离选学学案新人教b版选修2_1
3．2.5 距离(选学)1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离． 2．点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短． (2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． 3．直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离． 4．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离． 思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？ [提示]1．在四面体P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是平面ABC 内一点，且点M 到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M 到顶点P 的距离是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [以P 为坐标原点，PA →，PB →，PC →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP |＝22＋32＋62＝7.]2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532D.132C [∵M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32，3，∴|MC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532.]3．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103D [AP →＝(－1，－2,4)，d ＝|AP →·n ||n |＝103.]【例1】 如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长．(2)a 为何值时，MN 的长最小？[思路探究] 建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解． [解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，F (1,1,0)，C (0,0,1)．因为CM ＝BN ＝a (0<a <2)，且四边形ABCD ，ABEF 为正方形，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，22a －1，所以|MN →|＝a 2－2a ＋1.(2)由(1)知MN ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，所以，当a ＝22时，MN ＝22.即当a ＝22时，MN 的长最小，最小值为22.计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a |2＝a·a ，通过向量运算求|a |，如求A ，B 两点间的距离，一般用|AB |＝|AB →|2＝AB →·AB →求解．(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．1．如图所示，在120°的二面角αAB β中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，又∵二面角αAB β的平面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝60°， ∴|CD |2＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋BD →·AB →) ＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．如何理解与认识点到直线的距离？[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2．如何用向量法求点到直线的距离？[提示] 设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点，向量PA →在向量s 上的射影的大小为|PA →·s 0|，则点A 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中s 0＝s |s|.【例2】 已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1＝1，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，求点B 到直线A 1C 1的距离．[思路探究] 建立坐标系，利用向量法求解． [解] 以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(4,0,1)，C 1(0,3,1)，所以直线A 1C 1的方向向量为A 1C 1→＝(－4,3,0)，而BC 1→＝(0,3,1)，所以点B 到直线A 1C 1的距离d ＝|BC 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC 1→·A 1C1→|A 1C 1→|2＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝135.1．(改变问法)本例条件不变，所求问题改为：若M ，N 分别是A 1B 1，AC 的中点，试求点C 1到MN 的距离．[解] 如本例解法建系(图略)．则M (2,0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，0，C 1(0,3,1)，所以直线MN 的方向向量为MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－1，MC 1→＝(－2,3,0)，所以MC 1→在MN →上的投影为MC 1→·MN →|MN →|＝913，所以C 1到MN 的距离为d ＝|MC 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪MC 1→·MN →|MN →|2＝1 14413＝228613. 2．(变换条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC A 1B 1C 1且所有棱长均为2”，如何求B 到A 1C 1的距离．[解] 以B 为原点，分别以BA ，过B 垂直于BA 的直线，BB 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(1，3，2)，所以A 1C 1的方向向量A 1C 1→＝(－1，3，0)，而BC 1→＝(1，3，2)，所以点B 到直线A 1C 1的距离为d ＝|BC 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC 1→·A 1C1→|A 1C 1|→2＝8－⎝⎛⎭⎪⎫－1＋3＋022＝8－1＝7.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点； (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.【例3】 如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求点A 到平面A 1BD 的距离．[思路探究] 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．[解] 法一：设点A 到平面A 1BD 的距离为h ，则VB AA 1D ＝13×a ×12×a ×a ＝16a 3， VA A 1BD ＝13×h ×34×(2a )2＝36a 2h ， ∵VA A 1BD ＝VB AA 1D ， ∴h ＝33a ，∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a . 法二：如图所示，建立空间直角坐标系B 1 xyz ，则A 1(a,0,0)，A (a,0，a )，D (a ，a ，a )，B (0,0，a )，则BD →＝(a ，a,0)，A 1D →＝(0，a ，a )，AB →＝(－a,0,0)． 设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，ay ＋az ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0.令y ＝－1，则x ＝z ＝1， ∴n ＝(1，－1,1)．∴AB →·n ＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a .∴点A 到平面A 1BD 的距离d ＝|AB →·n ||n |＝|－a |3＝33a .用向量法求点面距的方法与步骤(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量AB →；(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n ；(4)得答案：代入公式d ＝|AB →·n ||n |求得答案.提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.2．如图所示，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (－1,4,0)，∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(－1,4，－2)． 设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)．∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)，∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n |＝26＝63.1．思考辨析(1)可以用|AB →|2＝AB →·AB →，求空间两点A 、B 的距离．( ) (2)设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到α的距离为d ＝|AB →·n ||n |.( )(3)若直线l 与平面α平行，直线l 上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l 与平面α的距离．( )[提示] (1)√ (2)√(3)× 直线上任意一点到平面α的垂线段的长度．2．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21C [PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |＝103，即|－2(x ＋2)－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11.]3．若正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2 D. 3 D [如图，A1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1.∴BB 1＝ 3.即点A 1到平面ABCD 的距离为 3.]4．在Rt△ABC 中，∠C ＝30°，∠B ＝90°.D 是BC 边的中点，AC ＝2，DE ⊥平面ABC ，DE ＝1，则点E 到斜边AC 的距离是________．194[作DH ⊥AC 于点H ，连接EH (图略)．因为DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥AC ，因为DE ∩DH ＝D ，所以AC ⊥平面DEH ，所以EH ⊥AC ，所以EH 即为所求距离．由∠B ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝2，得BC ＝ 3.因为D 是BC 边上的中点，所以DH ＝12CD ＝14BC ＝34.又DE ＝1，所以EH ＝DE 2＋DH 2＝194.]。
人教课标版高中数学选修2-1：《立体几何中的向量方法(第5课时)》教案-新版
3.2.5 利用向量知识求距离一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握利用空间向量求空间距离.（二）学习目标1.利用向量法证明空间中的点到平面的距离2.利用向量法证明空间中的线到平面和平面到平面的距离3.利用向量法证明空间中的异面直线间的距离（三）学习重点1.利用向量法证明空间中的点到平面的距离2.利用向量法证明空间中的线到平面和平面到平面的距离3.利用向量法证明空间中的异面直线间的距离（四）学习难点1．对向量法证明空间距离的理解．2．对各种证明方法的熟练掌握．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）填一填：1．点到平面的距离(如图)：平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是PM在n上的射影长，即MP n dn =.2、异面直线的距离(如图)：n设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP n d n=3、线到平面的距离(如图)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP n d n=.4、平面到平面的距离(如图)：平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP n d n=.2．预习自测1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体nnn''''ABCD A B C D -，'A C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为_________.． 解析：【知识点】利用向量法求两点间的距离【解题过程】,,,,,02222a a a a E F a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a EF ⎛∴== 点拨：利用向量的模长公式计算两点间的距离.2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为__________.y． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】如图建立坐标系， 平面ABC 1D 1的法向量为()1,0,1,n =()111111,,1,0,0,1,,,02222O D OD ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则点O 到平面ABC 1D 1的距离为：12OD n d n==点拨：利用点到平面的距离公式即可.3、正方体ABCD —1111A B C D 的棱长为a ，则点1A 到平面11AC D 的距离为_________.． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】如图建立坐标系，y平面ABC 1D 1的法向量为(),0,,n a a =()()()1111,0,,0,0,,,0,0A a a D a A Da =-则点O 到平面ABC 1D 1的距离为：112A D n d a n==点拨：利用点到平面的距离公式即可. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间中如何求点到面的距离？ 方法1：直接作或找距离； 方法2：等体积法（2）向量的射影公式:a 在b 上的射影为cos ,a b a a b b<>=2．问题探究探究一 结合实例，认识空间距离★ ●活动① 归纳提炼概念我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是一个比较难解决的问题，往往这个距离不易找到，我们以前用什么方法解决这个问题的呢?体积法（抢答），我们前面学习了空间向量，那么我们接下来试着用向量法解决这个难题.如图，,,平面垂足为则点到平面的距离就是线段的长度 .PO O P PO αα⊥若AP 是平面α的任一条斜线段，则在,cos 中PA PO Rt POA PO PA APO PO⋅=∠=如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点P 到平面的距离为PA n PO n⋅=因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步： （1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; （2）求出该平面的一个法向量;（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模. 同理，我们可以得到下面几个空间距离的求法 直线到平面的距离：转化为点到线的距离d =为斜向量，n 为法向量）平面到平面的距离：也是转化为点到线的距离||n d =AP 为斜向量，为法向量）探究二 利用向量法求点到直线的距离例1．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，求点B 到平面OCD 的距离.答案：23解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1)A BP D O M , 22(0,,2),(2)OP OD =-=--∵(),,0,0设平面的法向量为,则OCD n x y z n OP n OD∴⋅=⋅=即2020 y zx y z-=⎪+-=⎪⎩()0,4,2解得z n =设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量(0,n=上的射影的绝对值,(1,0,2) OB=-∵,23OB ndn⋅==∴.所以点B到平面OCD的距离为2 3点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．同类训练:如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱P,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点，求点A到平面PCD的距离.解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离【解题过程】解：连接OC,分别以OC，OD，OP所在直线为x,y,z轴建立坐标系.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,1),(1,1,0)CP CD =-=-n CP n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以⎩⎨⎧00x z x y -+=-+=； 令x =1,则y=z =1,所以(1,1,1)n =又(1,1,0)AC = 则点A 到平面PCD 的距离为：23n AC d n⋅==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 探究三 利用向量法求线到平面的距离 例2已知斜三棱柱1111,902,，在底面上的射影恰为的中点,ABC A B C BCA AC BC A ABC AC D ︒-∠===又知11BA AC ⊥，求1CC到平面1A AB 的距离.． 解析：【知识点】利用向量法求线到平面的距离 【解题过程】如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =,1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,求1CC 到平面1A AB 的距离，即求1C 到平面1A AB 的距离， 由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =设平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 设1z =,则33(,n =-∴点1C 到平面1A AB 的距离1||221||AC n n d ⋅==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式求出点到直线的距离．类题训练1.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题：（1） 求点1B 到面BE A 1的距离；答案：23解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离 【解题过程】如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴ 选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d点拨：建立坐标系，用向量射影公式求出点到面的距离. （2）求C D 1到面BE A 1的距离；答案：13解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离【解题过程】)2,2,1()1(:1=BE A 的法向量知平面由解 )0,0,1(11=A D 斜向量111113D A nD A BE d n→→→⋅∴==点到面的距离为点拨：建立坐标系，用射影公式转化为求出点到面的距离.(3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离.【解题过程】)1,1,1(:11-==AC BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量1111D A nD A BD d n →→→⋅∴==点到面的距离为 33111的距离为与即面CB D BD A 点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到平面的距离． 同类训练：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离【解题过程】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则()()()()()12212,0,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2,,,1,,,333A a B a D A a E a a G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 从而()2,,,0,2,1333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =， 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，． 自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(),,0H x y ，则()12,,2A H x y =--．又()()2,0,1,1,1,1AD AE =-=-．由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，． 又11111112cos ,cos ,A M AA A A A M AA A A A H =<>=<>=．点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．探究四利用向量法求异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段思考：任意两条直线都有公垂线么？有几条？注意：①公垂线与两异面直线相交垂直，不是异面垂直②任意两条异面直线有且只有一条公垂线③两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.想一想：我们可以用什么来表示异面直线间的距离呢？定义：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离.那么，我们怎样求出两异面直线的距离呢？由图知，两条异面直线,a b的距离，等于其中一条直线a到过另一条直线b且与这条直线a平行的平面的距离.即异面直线,a b的距离可以转化为直线a上任一点A到平面α的距离.接下来可按照向量法求点到直线距离求出异面直线间的距离.定义：若,n a n b⊥⊥，则我们称n为直线,a b的公垂向量.求法:①作直线,a b的方向向量,a b，求直线,a b的公垂向量n，即此异面直线,a b 的公垂线的方向向量；②在直线,a b上各取一点,A B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线,a b的距离为AB n dn⋅=例3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求异面直线B D 1与E A 1的距离.解析：【知识点】利用向量法求异面直线的距离【解题过程】xyz D -系如图建立空间直角坐标解:111(0,0,1)(1,1,0)(1,0,1)(0,,1)2则、、、D B A E 111(1,,0),(1,1,1)2A E DB →→∴=-=- D A z y x 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y D E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(= 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n d 点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 同类训练： 如图，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =.求异面直线BD 和SC 之间的距离.解析：【知识点】利用向量法求异面直线的距离【解题过程】解：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎫⎪⎪⎭，B ⎫⎪⎪⎭，C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2S()22,2,0,,2DB CS ⎛⎫∴== ⎪⎪⎭ 令向量(),,n xy z =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,x y x y ì+=ïíï-+=î取1z=得()2,n =-. ∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：25OC nd n ==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．3. 课堂总结知识梳理（1）要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：①找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；②求出该平面的一个法向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模.（2）求异面直线的距离分三步：①作直线,a b 的方向向量,a b ，求直线,a b 的公垂向量n ，即此异面直线,a b 的公垂线的方向向量；②在直线,a b 上各取一点,A B ，作向量AB ；③求向量AB 在n 上的射影d ，则异面直线,a b 的距离为AB nd n ⋅=（3）直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离. 重难点归纳（1）熟记和掌握射影公式AB nd n ⋅=.（2）向量AB 是点A 出发的，与平面内任意一点B 的斜线段对应的向量，因此尽量取特殊点，方便计算.（三）课后作业基础型 自主突破1．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：如图建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,22,0,20,0,02,2,0D A D B 、、、∴()112,0,0D A =，()()12,0,22,2,0DA DB ==、设(,,)n x y z =为平面1A BD 的法向量.由100n DA n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,220,x z x y ì+=ïí+=ïî取1x =得()1,1,1n =-- ∴点1D 到平面1A BD 的距离为 11||233D A n d n ==. 点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．． 解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)、E (1,0,12)、F (12,1,0)、D 1(0,1,1)．∴()11111,0,,0,1,02A E A D ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 设(,,)n x y z =为平面11A D E 的法向量.由11100n A E n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩得10,220,x y y ì-=ïíï=î取1x =得()1,0,2n = 又11112A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为135A F nd n ==点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.3．在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a，则点P 到平面ABC 的距离为________．【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)、A (a,0,0)、B (0,a,0)、C (0,0,a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为(,,)333a a a . ∴PH ＝∴点P 到平面ABC .． 4 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1A D 和AC 的距离为（ ）ABCD ．1答案：A ．解析：【知识点】异面直线间的距离．【解题过程】解：如图建立坐标系D xyz -，则1(1,0,1)(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)A D A C 、、、1(1,0,1),(1,1,0)DA AC ∴==-，设1,DA AC 的公垂线的方向向量为(,,)n x y z =，则100n DA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩， 取1x =，则1,1y z ==-，所以()1,1,1n =-.在两直线上取,D A ，则()1,0,0DA =1A D ∴与AC 的距离33DA nd n ⋅=5.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,A B CD 的中 点，求点B 到截面1AEC F 的距离.解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析:建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，1(0,,0)2F ，1(1,,1)2E ，设(,,)n x y z =为面1AECF 的一个 法向量，则00n AE n AF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令1x =得(1,2,1)n =-，又(0,1,0)AB =，所以点B 到截面1AEC F 的距离为||6||AB n d n ∙==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.6.如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别为,AB AD 的中点，GC直于ABCD 所在平面α，且2GC =，求：点B 到平面EFG 的距离.． 解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解析：建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，z则(0,4,0),B (2,4,0),(4,2,0),(0,0,2)E F G ，设(,,)n x y z =是平面EFG的一个法向量，00n GE n GF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即24204220x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩令1x =得(1,1,3)n =所以向量(2,0,0)EB =-在n 上的射影长为||211||EB n d n ⋅== 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 能力型 师生共研7.长方体1111D C B A ABCD -中，14,6,4AB AD AA ===，M 是11A C 的中点，P 在线段BC 上，且2CP =，Q 是1DD 的中点，求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M到平面1AB P 的距离. 答案：（1（2 解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解：（1）如图，建立空间直角坐标系B —xyz ，则()()()()4,0,02,3,40,4,04,6,2A M P Q 、、、， ∴(2,3,4),(4,2,2)AM PQ =-=，(AM ∴=-=24,6PQ AM PQ ==174cos ,58AM PQ AM PQ AMPQ<>==故异面直线AM 与PQ （2）设平面1AB P 的法向量为(,,)n x y z =，()()14,0,4,4,4,0AB AP =-=-10n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 440440x z x y -+=⎧⎨-+=⎩； 令x =1,则y=z =1,所以(1,1,1)n = 又()2,3,4MA =-- 那么点M 到平面P AB 1的距离为53MA nd n==， 故M 到平面1AB P . 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.17、如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.AC答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ(Ⅲ解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解（Ⅰ）连接AC 、BD ，设ACBD O =.由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABC D.从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABC D. （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥B D.由（Ⅰ），QO ⊥平面ABC D. 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是()()()()0,0,10,0,20,P A Q B -、、、所以()()22,0,2,0,21AQ PB =--=-于是3cos ,9AQ PB AQ PB AQ PB<>==从而异面直线AQ 与PB 所成的角的余弦值是.(Ⅲ)由（Ⅱ）点D的坐标()()0,,AD -=--(0,0,3)PQ =-，设(,,)n x y z =是平面QAD 的一个法向量，由n AQ n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以z x y +=+=⎪⎩. 取1x =，得(1,1,n =-. 所以点P 到平面QAD 的距离32PQ n d n⋅==. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 探究型 多维突破9.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM ，因为△BCD 与△MCD 均为正三角形，所以OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BC D. 以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz .因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，所以OB ＝OM ＝3，则O (0,0,0)、C (1,0,0)、M (0,0，3)、B (0，－3，0)、A (0，－3，23)， 所以BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)． 设(,,)n x y z =是平面MBC 的一个法向量，由n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以x ⎧+=⎪=.取x =()3,1,1n =-又(0,0,BA =，所求距离为215BA n d n==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 10.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1上的一点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A－A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：(1)见解析；(2)23；(3)13解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】(1)证明：连接AB 1交BA 1于点O ，连接OD.∵B 1P ∥平面BDA 1，B 1P ⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BA 1D ＝OD ，∴B 1P ∥O D.又∵O 为B 1A 的中点，∴D 为AP 的中点． ∵C 1D ∥AA 1，∴C 1为A 1P 的中点． ∴DC 1＝12AA 1＝12CC 1，∴C 1D ＝C D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A 1－xyz ，则B 1(1,0,0)，B (1,0,1)，D (0,1,12)，设(,,)n x y z =是平面1BA D 的一个法向量，由110n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，y ＋12z ＝0.取2z =，得()2,1,2n =--又()111,0,0A B =为平面AA 1D 的一个法向量，∴1111112cos ,3n A B n A B n A B <>==-由图形可知二面角A －A 1D －B 为锐角， ∴二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. (3)解：∵C (0,1,1)、D (0,1,12)、B 1(1,0,0)、P (0,2,0)，∴11110,0,1,1,,0,1,222CD DB DP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．设(,,)n x y z =是平面1B DP 的一个法向量，由10n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y －12z ＝0，y －12z ＝0.取2z =，得()2,1,2n =∴点C 到平面B 1DP 的距离13CD n d n==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 自助餐1.已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB,AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________． 【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则()0,0,2CG =，由题意易得平面GEF 的一个法向量为n ＝(1,1,3)，所以点C到平面GEF 的距离为611 CG ndn==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.2已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则点A到平面BED的距离为( )A．2B. 3C. 2D．1答案：D．解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,22)，E(0,2，2)．设(,,)n x y z=是平面BDE 的一个法向量，由n BDn DE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以.22020x yy+=⎧⎪⎨=⎪⎩取y＝1，得(1,1,n=-又()2,0,0DA=，∴点A 到平面BED 的距离是DA n d n==|－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1.点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.3．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22 C.2λ3 D.55 答案：D ．解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】如图，以射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()1111,,1,1,0,,0,,,1,1,,222G E GE F λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1110,1,0,0,0,1,1,0,2EF D ED ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面1D EF 的一个法向量，由10n EF n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 0102y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 取1x =，得()1,0,2n =又10,,2GE λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所求距离为5GE n d n==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.4.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.答案：(1)见解析；(2)13；(3)2－ 3解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】以D 为坐标原点，直线DA ，DC，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则D (0,0,0)、A 1(1,0,1)、D 1(0,0,1)，E (1,x,0)、A (1,0,0)、C (0,2,0)．(1)∵()()111,0,1,1,,1DA D E x ==-，∴11DA D E ＝(1,0,1)·(1，x ，－1)＝0，故D 1E ⊥A 1D.(2)因为E 为AB 的中点，则E (1,1,0)，从而()()()111,2,0,1,1,1,1,0,1AC D E AD =-=-=-，设平面ACD 1的法向量为(),1,n a c =，则也即⎩⎨⎧ －a ＋2＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝2， 从而()2,1,2n =，所以点E 到平面ACD 1的距离为 113D E nd n == (3)设平面CD 1E 的法向量m →＝(m,1，n )，从而CE →＝(1,x －2,0)，1D C →＝(0,2,－1)，1DD →＝(0,0,1)，由即⎩⎨⎧2－n ＝0，m ＋x －2＝0，得m →＝(2－x,1,2)， 依题意得：cos π4＝22，∴2(x －2)2＋5＝22， 解得x 1＝2＋ 3 (不合题意，舍去)，x 2＝2－3，∴AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.5．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．答案：（Ⅰ）见解析；； 解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，． AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 326EC EB BEC EC EB ∴∠===． （Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 23CH =．∴点C 到平面APB 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.6．如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD?若存在，求出AQ QD的值；若不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ）见解析；(Ⅱ(Ⅲ)13 解析：【知识点】点到平面的距离【解题过程】解：(Ⅰ)证明：在△P AD 中P A =PD,O 为AD 中点，所以PO AD ⊥,又侧面P AD ⊥底面ABCD,平面PAD ⋂平面ABCD =AD,PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABC D.(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ，依题意，易得(010)A -，，、(110)B -，，、(100)C ，，、(010)D ，，、(001)P ，，所以()()1,1,0,1,1,1CD PB =-=--， 6cos cos,3PB CDPB CD PB CD θ=<>==所以异面直线PB 与CD(Ⅲ)假设存在点Q ，使得它到平面PCD， 由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=-设平面PCD 的法向量为000(,,)n x y z →= .则0,0,n CP n CD →→→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩所以00000,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩即000x y z ==， 取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为(1,1,1)n →=.设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-由3CQ n n =，得解y =－12或y =52(舍去)， 此时13,22AQ QD ==，所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.。
《空间向量的应用—距离》教学设计
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。
教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。
单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。
高中数学选修2-1第三章3.2立体几何中的向量方法(4)——求距离
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
F
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量 A 为 n (x, y, z)
E
B
y
n EF，n EG
2x 2y 0 2x 4 y 2 0
n ( 1 , 1 ,1) 33
d | n BE| 2 11
n
11
xD
F
A E
z
G
C
B
y
异面直线的距离
如图，两条异面直线a，b所成的角为θ，
在直线a，b上分别取点A’、E和点A、F，
叫做这两条异面直线的距离。 n为垂直 a、b的直线的法向量
异面直线的距离 如图，两条异面直线a，b所成的角为θ， 在直线a，b上分别取点A’、E和点A、F， 使AA’⊥a，且AA’⊥b， （AA’称为异面直线a，b的公垂线） 已知A’E=m,AF =n,EF=l, 求公垂线AA’的长。
c
注意正负号的使用，当二面角E-AA’-F为θ时取+，为π-θ时取-。
AO n 距离万能公式 d
n
A
c
an
OH
练习：教材第113页第9题。
3.2立体几何中的 向量方法（4）
空间向量与空间距离
练习:
1.已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的单位
法向量.
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
选修2-1第三章 空间向量与立体几何全章教案
§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：练习1-3．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：GC BD AB ++；练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。
答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。
3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。
4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA +; （2）121AA CB AC ++; （3）AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =++121（3）11BA AA =--（中等题）5．如图，在长方体///B D CA OADB -中，3,4,2,OA i OB j OC k ===，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，试用向量,,表示和解：j i OE 423+=2423++=。
河南省确山县高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算(2)教案北师大版选修2-1
4.由于直线AB经过点A（1,2,3），将点A的坐标代入方程，得到3*1 + 3*2 + 3*3 + D = 0，解得D = -14。
5.因此，直线AB的方程为3x + 3y + 3z - 14 = 0。
例题3：
题目：已知空间两点A（1,2,3）和B（4,5,6），求直线AB的截距式方程。
3.教学媒体和资源使用：
（1）PPT：教师将制作精美的PPT，展示空间向量与立体几何的基本概念、运算方法和几何关系，以便学生更好地理解和掌握知识。
（2）视频：播放一些与空间几何相关的视频，如立体几何动画、空间向量运算演示等，帮助学生形象地理解抽象的空间几何知识。
（3）在线工具：利用在线工具，如几何画板、立体几何模型等，让学生自主探索空间几何问题，提高学生的空间想象力。
情感升华：
结合空间向量与立体几何内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习空间向量与立体几何的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的空间向量与立体几何内容，强调重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
1.知识方面：学生已经掌握了初中阶段的平面几何知识，对于点的坐标、直线的方程等基本概念有所了解。在空间向量的学习过程中，学生已经掌握了向量的加减、数乘等基本运算。然而，空间几何的抽象性使得学生在理解和运用上还存在一定的困难，特别是在空间想象方面。
2.能力方面：学生在逻辑推理方面有一定的基础，能够通过已有的知识推导出一些简单的几何结论。然而，在空间向量与立体几何的学习中，学生需要进一步提升逻辑推理能力，以便能够灵活运用向量知识解决空间几何问题。此外，学生在数学建模、数据分析等方面的能力还有待提高。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量
[学习目标] 1.掌握向量长度计算公式.2.会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离.知识点一 两点间的距离的求法设a ＝(a 1，a 2，a 3)，则|a |A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则d AB ＝|AB →|知识点二 点到直线的距离(1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A 到直线l 的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离问题，即过点A 在该平面内做垂直于l 的直线，垂足为A ′，则AA ′即为点A 到直线l 的距离.(2)计算公式：d ＝|P A →|2－⎪⎪⎪⎪P A →·s |s |2知识点三 点到平面的距离一点到它在一个平面内的投影的距离叫作这一点到这个平面的距离，如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.若n 0是平面α的单位法向量，则d ＝|AB →·n 0|.题型一 点到直线的距离例1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，求点A 1到下列直线的距离： (1)直线AC ；(2)直线BD .解 (1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 显然AA 1⊥AC ，所以AA 1＝5即为所求点A 1到直线AC 的距离. (2)如图建立空间直角坐标系，则有B (4,3,0)，A 1(4,0,5).DB →＝(4,3,0)，DA 1→＝(4,0,5)，DA 1→·DB →|DB →|＝165，设点A 1到直线BD 的距离为d .所以 d ＝|DA 1→|2－ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA 1→·DB→|DB →|2＝41－25625＝7695.反思与感悟 本题(1)利用基本定义直接求解距离， (2)利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解.跟踪训练1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( ) A.655 B.455 C.255 D.55答案 B解析 如图所示，BA →＝(2,0,0). BE →＝(1,0,2)，∴cos θ＝|BA →·BE →||BA →||BE →|＝225，BA →·BE →|BE →|＝255.A 到直线BE 的距离 d ＝|BA →|2－ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·BE→|BE →|2＝4－45＝455. 题型二 点到平面的距离例2 如图，直三棱柱ABC －A1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离. 解 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1, 3)，C 1(0,0，3).∴A 1B →＝(－1,1，－3)，A 1C →＝(－1,0，－3)，B 1A 1→＝(1，－1,0). 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，－x －3z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，z ＝1.即n ＝(－3，0,1)，所以，点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32.反思与感悟 本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出这个距离有很大的困难，利用向量方法求解较为容易.跟踪训练2 四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F 、E 分别为AD 、PC 的中点. (1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离.(1)证明 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)、F (1，0,0)、B (2,2,0)、E (0,1,1)，FP →＝(－1，0,2)，FB →＝(1,2,0)，DE →＝(0,1,1)， ∴DE →＝12FP →＋12FB →，又∵DE 不在平面PFB 内，∴DE ∥平面PFB . (2)解 ∵DE ∥平面PFB ，∴E 到平面PFB 的距离等于D 到平面PFB 的距离. 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB →＝0，n ·FP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1. ∴n ＝(2，－1,1)，FD →＝(－1,0,0)，∴D 到平面PFB 的距离为d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63. 题型三 线面、面面距离(选学)例3 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离.(1)证明 建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)， 所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4，2)，BC 1→＝(－3,0,2)， BC →＝(－3，0,0).∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1， 又∵CD 1⊈平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，∴CD 1∥平面A 1BC 1.(2)解 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎨⎧y ＝12z ，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)， 则BC →·n ＝(－3,0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝||BC →·n |n |＝|－12|61＝126161. 反思与感悟 六种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法.跟踪训练3 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离. 解 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (4,0,0)，M (2,0,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)，N (4,2,4)， 从而EF →＝(2,2,0)，MN →＝(2,2,0)， AM →＝(－2,0,4)，BF →＝(－2,0,4)，∴EF →＝MN →，AM →＝BF →，又∵EF ∩BF ＝F ，AM ∩MN ＝M ， ∴EF ∥MN ，AM ∥BF ， ∴平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面AMN 的法向量， 从而⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝2x ＋2y ＝0，n ·AM →＝－2x ＋4z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)， ∵AB →＝(0,4,0)， ∴AB →在n 上的投影为 n ·AB →|n |＝－84＋4＋1＝－83.∴两平行平面间的距离d ＝|n ·AB →||n |＝83.1.已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( ) A.10B.3C.83D.103答案 D解析 P A →＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)， 所以P 到α的距离为|(1，2，－4)·(－2，－2，1)|4＋4＋1＝|－2－4－4|3＝103.2.在空间直角坐标系中，已知P (－1,0,3)，Q (2,4,3)，则线段PQ 的长度为( ) A.10B.5C.29D.34 答案 B解析 线段PQ 的长度为|PQ →|＝32＋42＋02＝5.3.从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB →|＝34，则B 点坐标为( ) A.(18,17，－17) B.(－14，－19,17) C.⎝⎛⎭⎫6，72，1 D.⎝⎛⎭⎫－2，－112，13 答案 A解析 设B 点坐标为(x ，y ，z )，则AB →＝λa (λ>0)， 即(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12)， 由|AB →|＝34，即λ264＋λ281＋λ2144＝34， 得λ＝2，∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17.4.在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________. 答案 (0，－1,0)解析 点M 在y 轴上，设M (0，y,0)，则： MA →＝(1，－y,2)，MB →＝(1，－3－y,1)，因为|MA →|＝|MB →|，所以1＋y 2＋4＝1＋(－3－y )2＋1， 解得y ＝－1，故M (0，－1,0).5.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离.解 如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM ，因为△BCD 与△MCD 均为正三角形，所以OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD .以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，所以OB ＝OM ＝3，则O (0,0,0)，C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)， 所以BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3). 设平面MBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BC →，n ⊥BM →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋3z ＝0，取x ＝3，可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3，－1,1). 又BA →＝(0,0,23)，所以所求距离为d ＝|BA →·n ||n |＝2155.1.点到平面的距离的求法：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度.若AB 是平面α的任意一条斜线段.则在Rt △BOA 中，|BO →|＝|BA →|cos ∠ABO ＝|BA →·BO →||BO →|，如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.由于n|n|＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB →·n 0|.2.线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算空间距离问题的求解方法素材北师大版选修2-1
空间距离问题的种类及解法空间距离问题是高考的热门之一，本文对空间距离及其求解方法概括总结以下，供参照.一、两点之间的距离设空间有两点 P 、Q的距离为 d .方法 1：解三角形法：在 PQX 中，由勾股定理、正、余弦定理或三角形的面积等求出线段PQ 的长度.方法 2：向量法：（1）将PQ用已知向量表示，于是，PQ |PQ|PQ PQ ，（ 2）求出P、Q的坐标( x1, y1, z1)及( x2, y2, z2)，于是， PQ |PQ|(x2 x1 )2( y2y1 ) 2( z2z1 ) 2 .二、点到直线的距离方法 1．过P作PH a ，而后经过解三角形求出线段PH 的长度，如图（1） .方法 2．过P作PO，过 O作OH a ，则 PH a ，解三角形求出 PH .如图（ 2） .方法 3．过P作平面，使 a，设 a H ，而后求出 PH ，如图（3）.方法 4．向量法：若 n 是直线 a 的一个法向量，P是直线外一点，A是直线l上一点，则点P到直线 a 的距离为 PH1| n AP |，如图（4）.| n |方法 5．最值法：设M为直线a上的动点，P是直线a外一点，求出PM的最小值 .三、点到平面的距离方法 1：如图（ 1）过点P作PH，则点P到平面的距离为 d PH .方法2．过P 作平面，设l，在平面内，过P作PH l，则PH，则点P 到平面的距离为d PH .方法 3．向量法：若 n 是平面的一个法向量，P 是平面 外一点， A 是平面 内一点，则点 P 到平面的距离为 d PH1| n AP | .| n |方法 4．等体积法：经过同一个几何体体积相等求距离，用的许多的是三棱锥等积法，即 V A BCD V B CDA V C ABDVD ABC .四、线线距离1．平行线的距离 2．异面直线的距离方法 1．作出异面直线 a 、 b 的公垂线 l ，而后求出公垂线段的长度 .特别地，若直线 ab bO ，在平面内，过点O 作OH a ，则 OH，，即为所求 .2AB是异面直线 a 、 b 的公垂线段，与 AB平行的向量为 n ， C、方法 ．向量法：设D 分别是 l 1 与 l 2 上的随意一点，则 a 与 b 的距离为 d | AB || C D n |.| n |五、线面距离若直线 a ∥平面，则 上任一点到平面的距离都相等，于是，将求线 面距离转变为求点到平面的距离.六、面面距离若平面∥平面 ，则 上任一点到平面 的距离都相等，于是，将求面面距离转变为求点到平面的距离 .七、球面距离利用弧长公式求出经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.A例 1．在空间四边形ABCD 中， AC BD a ， AC 与 BD 成 60 角， M 、N 分别是 AB 、 CD 的中点，求线段 MN 的长度 .解 1：取 BC 中点 E ，连接 ME 、 NE.M 、 N 分别是 AB 、CD 的中点，MDB NECMEN 是两条异面直线 AC 与 BD 所成的角或所成角的补角.AC 与 BD 所成的角为60，MEN 60 或MEN120 .由AC BD a ME NE a .2a .（ 1）若MEN60 ，则MNE 为正三角形，故MN2（ 2）若MEN120 ，则MNE 为腰长为a的等腰三角形，故MN3a . 22A综上可得线段MN 的长度为a，或3a . 22解2：MN MA AC CN，MN MB BD DN，两式相加，获得MD BNC2MN MA AC CN MB BD DN AC BD ，因此， MN 1(AC BD) ，且AC, BD60 ，或AC, BD120 . 2于是2121(2222cos,) (AC BD)a a a AC BD|MN|44当AC, BD60 时，|MN |23a 2|MN |3a .；42当AC, BD120时，|MN |2 a 2|MN | a .42综上可得线段MN 的长度为a，或3a .22例 2．一只小船以10m / 分的速度，由南向北等速驶过湖面，在离湖面20 m高处的桥上一辆汽车由西向东以20m / 分的速度等速行进. 如图，此刻小船在水Q面 P 点南 40m 处，汽车在桥Q点以西30m处，求小船与汽车间的最短距离（能够不考虑汽车和小船自己的大小，线段 PQ 分别垂直于小P船和汽车的路线） .解：以下列图设经过时间t 汽车在 A 点，船在 B 点， | AQ || 3020t |, | BP | | 40 10t | | PQ | 20. 且异面直线AQ与 BP 所成的角为90，于是，|AB|2 |AC |2|BC |2 | AC|2| AQ|2|BP|220 2(30 20t )2(40 10t )2100[5(t2) 2 9].当 t2时， | AB |2 min 900 ，即 | AB |min 30(m).例 3．（ 1）正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，点 P 是 AD 1 的中点， Q 是 BD 上一点， DQ1DB ，则 P 、 Q 两点间的距离为 _______ .4（ 2）在长方体 OABCO 1 A 1B 1C 1 中， AO 2, AB3, AA 12 ，zD 1C 1A 1B 1PDC则点 O 1 到 AC 的距离为 _______解：（ 1）如图，成立坐标系D xyz.zO 1AxyQBC 1则P (1,0, 1)、Q(1, 1, 0)，A 1B 12 24 4(1 1)2 ( 1)21) 2 6 .OC故PQ |PQ|(y42424ADBO xyz.（ 2）如图，成立坐标系x设 O 1 在 AC 上的正射影为 D ，则 A(2, 0, 0) 、 C (0, 3, 0), O 1 (0, 0, 2).设 D (x, y, 0) ，则O 1D( x , , 2) ， AD(x 2, y, 0) ， AC ( 2, 3, 0).y由 O 1DAC ，且 AD ∥ AC ，zO 1C 12 3y 0,x 18 ,18 12A 1B 1得 x 2 y13因此 D (12 ,, 0).2.13 13C3y.Oy13AD18122 286B222.故O 1D |O 1D |2( )( )x131313例 4．已知 ABCD 是边长为4 的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且GC 2 ，求点 B 到平面 EFG 的距离 .解 1：如图，连接 EG 、 FG 、 EF 、 BD 、 AC.EF 、BD 分别 AC 交于 H 、 O.因为， ABCD 是正方形， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，因此，EF ∥ BD ，且 H为 AO 的中点 .BD 不在平面 EFG 上，不然，平面 EFG 与平面 ABCD 重合，进而点 G 在平面 ABCD上，与题设矛盾 .由直线和平面平行的判断定理知BD ∥平面 EFG ，因此， BD 和平面 EFG Dk的距离就是点 B 到平面 EFG 的距离 .FOBD AC ， EFHC .AHBEGC 平面 ABCD ， EF平面 HCG.平面 EFG 平面 HCG ，且平面 EFG 平面 HCG HG.作 OKHG 于点 K ，则OK平面 HCG. 因此， OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离 .正方形 ABCD 的边长为 4，且 GC 2 ，AC4 2,HO 2, HC 3 2.在直角 HCG 中， HG(3 2 )2 2 222.因为 RtHKO 和 Rt HCG 有一个锐角是公共的，故 HKO ∽ HCG.OKHO GC2 2 2 11. HG2211z即点 B 到平面 EFG 的距离为211 .G11D C解 2：如图，成立空间直角坐标系D xyz.yF易得向量 EB(0, 2, 0) ， FE(2, 2, 0) ，AxEBFG ( 2, 4, 2) ，设平面 EFG 的法向量为 n(1, x, y) ，由n FE 0, n(1, 1, 3).n FG0.因此，点 B 到平面 EFG 的距离为 d| EB n || 0 1 2 ( 1) 03 |2 11 .| n |1 1 911例 5．如图， 正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，并且平面 ABCD 与平面 ABEF 相互垂直，点 M 在 AC 上挪动，点 N 在 BF 上挪动，若 CMBN a(0 a 2).GC（Ⅰ）求 MN 的长；（Ⅱ）当 a 为什么值时， MN 的长最小？（Ⅲ）当 MN 的长最小时，求平面MNA 与平面 MNB 所成的二面角的大小 .解：（Ⅰ）作 MP ∥ BC 交 AB 于点 P ，连接 PN ，则 MP 平面 ABEF ，故 MP AB ，MP BN.由已知 CM BNa, CBAB BE 1, AC2 ，MPAP( 2 a)2 12a, PB2a.222MNMP PB BN ，CMDGEB P NAF|MN |2 |MP|2| PB|2|BN |22(MP PB PB BNMP BN)(12 a)2 ( 2 a) 2 a 22(02 a a cos 30)2224a 22a 1.|MN |(a2 ) 2 1 .(0 a2).2 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a2 时， MN 的长的最小值为2 .22（Ⅲ）当 MN 最小时， a 2 ，取 MN 的中点 G ，则 AG MN,BGMN , AGB2为平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角的平面角 . 且 AMANBMBN2 ,2AG BG6,ABAGGB.4|AG|2 |GB|22AG GB cos AG, GB| AB|2，即 ( 6 ) 2( 6 ) 2 2 6 6 cos 12cos1 arccos(1).444433例 6．已知平面平面，l ， P 是空间一点，且 P 到平面、 的距离分别为 1、2，则点P到l 的距离为________.解：如图， PA， PB，则 PA l , PB l ，因此平面PAB l ，且平面PAB l O ，连接 PO ，则 PO l ，于是， PO1222 5.即点 P 到 l 的距离为 5.注意：一般地，若二面角l的大小为， PA， PB，且PA a, PB b ，则点P到l的距离为a 2b22ab cos.sin例 7．在棱长为 4 的正方体ABCD A1B1C1 D1中，O是正方形 A1B1C1 D1的中心，点P 在棱 CC1上，且 CC14CP.（Ⅰ）求直线AP 与平面BCC1B1所成的角；zC1D1（Ⅱ）设 O 点在平面D1AP上的射影为 H ，求证：D1H AP ；OA1B1（Ⅲ）求点 P 到平面BCC1B1的距离 .D H PC y解：（Ⅰ）AB平面 BCC1B1，AP 与平面D1AP所成AB的x角是APB.如图，成立空间直角坐标系，坐标原点为 D.CC14CP, CC1 4 ，CP 4, A(4, 0, 0) 、 P( 0, 4, 1) 、 B(4, 4, 0).PA(4,4,1)，PB(4, 0,1).PA PB160 1 17，cos APB PA PB17561 .|PA||PB |331733因此，直线 AP 与平面D1AP所成的角的大小为arccos561 .33或略解：AB 为平面 BCC1B1的一个法向量，且AP, AB 为 AP 与面BCC1B1所成角的余角，cos AP , ABAP AB 164 33 .|AP||AB|4 33 33 因此，直线 AP 与平面 D 1 AP 所成的角的大小为arcsin433 .33（Ⅱ）连接 D 1O ，由（Ⅰ）有 D 1 (0, 0, 4) 、 O(2, 2, 4). D 1O (2, 2, 0) ， PA PB 8800PAD 1O.平面 D 1 AP 的斜线 D 1O 在这个平面内的射影是 D 1 H ， D 1 H AP.或证：设 H (x, y, z) ， OH(x2, y 2, z 4) ，由 OHD 1 A ， OHD 1P 知，OH D 1 A (x 2, y 2, z 4) (4, 0, 4) 0, x z 2 0,OHD 1 P (x2, y2, z4) (0, 4, 3)0.4 y 3z40.而( 4, 4, 1) ( , ,4) 4440,x yzxy zAP D 1H故 D 1HAP.（Ⅲ）设平面ABD 1 的一个法向量为 n( x, y, z).则n D 1 A,nAD 1 .即n AB(x, y, 1) (0, 4, 0) 0,y0,(1, 0,1).故 nn AD 1(x, y, 1) ( 4,0,4)0. x 1.故P 到平面 ABD 1 的距离等于 PD 1 在 n 方向上的射影向量的长度，即| PD 1 n | | (0, 4, 3) (1, 0, 1) |3 2.| n |22例 8．在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 4 的正三角形， 平面 SAC平面 ABC ，SA SC 2 3,M 、N 分别为 AB 、SB 的中点 .（ 1）证明： AC SB ；（ 2）求二面角 N CM B 的大小；（ 3）求点 B 到平面 CMN 的距离 .解：（ 1）取 AC 中点 O ，连接 OS 、 OB .zSNCyOBMAxSA SC, AB AC ，AC SO，且 AC BO .平面 SAC 平面 ABC ，平面 SAC平面 ABC AC ，SO平面 ABC ，SO BO.如图，成立直角坐标系O xyz ，则 A(2, 0, 0) ， B(0, 23, 0)，C(2, 0,0)，S(0, 0, 2 2) ， M (1,3, 0)， N(0,3, 2).AC( 4,0,0)，SB(0, 23, 22) ，AC SB (4, 0, 0) (0, 23, 22)0 ，AC SB.（ 2）由（ 1）得CM(3,3,0)，MN( 1, 0, 2).设 n( x, y, z) 为平面 CMN 的一个法向量，则CM n3x3y 0,取 z 1 ，MN n x2z0.则 x2, y 6 ，得n(2,6,1).又 OS(0, 0, 22) 为平面 ABC 的一个法向量，cos n, OS n OS1，于是，二面角N CM B 的大小为arccos 1 .| n ||OS |33（3）由（ 1）、（ 2）MB(1,3, 0) ， n( 2 ,6, 1)为平面 CMN 的一个法向量，点 B 到平面 CMN 的距离 d| n MB | 4 2 .| n |3z C1例 9．在直三棱柱ABC A1 B1C1中，底面是等腰直角三角形，B1A1DACB 90 ，侧棱 AA1 2 ，D、E分别是 CC1与 A1B 的中点，点E在平C(O)面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.E G（Ⅰ）求 A1 B与平面 ABD 所成的角的大小；A Byx （Ⅱ）求平面ABD 与平面A1BD所成角的大小；（Ⅲ）求点 A1到平面AED的距离.解：如图，成立直角坐标系，设CA 2a ，则A(2a, 0, 0)，B(0, 2a, 0)，D (0, 0, 1)，E(a, a, 1) ， A 1 ( 2a, 0, 2) ， G( 2 2 a, 1 GE ( a a 2(0, 2a, 1) .3 a, ) ， , , )，BD由3 3 3 3 3 BD GE0 a 1.（Ⅰ）由 GE(1 , 1 , 2) ，且 EG 为平面 ABD 的一个法向量及 BA 1 ( 2, 2, 2) ，( 2 ,4, 1). 3 3 3BG3 3 34BA 1 BG2由13cos.BA,BG|BA 1||BG| 2 3 2173故 A 1B 与平面 ABD 所成的角是 arccos7 .3（Ⅱ） 设平面 A 1 BD 的一个法向量为n ( x, y, z) ，由 A 1 B n2x2y 2z 0, ，BD n2y z 0.取z，则 x1, y 1，得n ( 1, 1, 2).1GE n4 2由 cosGE , n3| GE || n |6.633因此，平面 ABD 与平面 A 1 BD 所成的角为 2arccos .3（Ⅲ）设平面 AED 的法向量为 m( x, y, z) ， AE ( 1,1,1) ，AD ( 2, 0, 1). 仿上可求得 m(1, 1, 2) ，又 AA 1 (0, 0, 2) ，设点 A 1 到平面 AED 的距离为 d ，则z| m AA 1 |42 6B 1C 1d| m |63 .A 1 D 1例 10．在长方体 ABCD A B C D 1中，AB a, BCb, CCc( a b). 求Bx11 1C AC 与 BD 1 之间的距离及夹角 .ADy解：成立直角坐标系（左手系）如图，则C (b, 0, 0) ， A(0, a, 0) ，D (b, a, 0) ，D 1 (b, a, c) .设 nA(1, , ) 同时与向量 BD 1 、 CA 垂直（实质上 n 为 BD 1 、 CA 的法向量），则高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算空间距离问题的求解方法素材北师大版选修2-1由BD1n0, 得b,2b. 因此， n(1,b,2b).CA n0.a c a c22BC(b, 0, 0) ，于是，BC n b,又 | n |1 b 24b2 .a c所求的距离为 d| BC n |b abc.| n | b 24b2c2 (a 2 b 2 ) 4a2 b 221a 2c又 BD1 CA b2 a 2 , 而 | BD |b2a2 c 2， | CA | b 2 a 2 .cosBD1 CA| a 2 b 2|，| BD1 ||CA| a 2 b 2c2 a 2 b 2故arccos| a 2b2|.a2 b 2c2 a 2 b 2C B 练习：1．在平行四边形ABCD 中，AB AC1,ACD90 ，将它沿对角线D A C AC 折起，使 AB与 CD成60角，求 B、D间的距离.(1)D B解：在图（ 2）中以{ BA, AC, CD}为空间向量的一个基底，则ABD BA AC CD.(2)由已知， | AC | |CD | | BA|1,BA, AC AC, CD90 ，BA, CD60或120 .于是|BD|2(BA AC CD)2| BA|2|AC|2|CD |22( BA AC AC CD BA CD)32BA CD3 2 cos BA, CD .当BA, CD60时，|BD|24|BD| 2 ；当BA, CD120 时， | BD |22|BD | 2.故 B、D间的距离为 2 或 2 .。
高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~07《立体几何中的向量方法求空间距离》(2)(人教选修2-1)
课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(2)【教学简案】课时：07 课型：新授课教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． （1）空间线线距离： 异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量） 例1：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，为11D C 的中点， 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E AB D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n d 例2：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。
111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则xAD CB1A 1C 1B 1D课堂练习：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC1间的距离。
（2）空间线面距离及面面距离：直线到平面的距离 转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）例3：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离AD CB1A 1C 1B 1D C1A 1C 1B 1D例4：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD ，求直线A 1D 和平面C AB 1间的距离课后作业：同步练习册 3.2~07教学反思:。
高中数学 第2章 空间向量与立体几何 6 距离的计算学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1
§6 距离的计算学习目标：1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点) 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 3.通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)1．利用向量求点A 到直线l 的距离步骤： (1)找到直线l 的方向向量s ，并求s 0＝s|s |；(2)在直线l 上任取一点P ； (3)计算点P 到点A 的距离|PA →|； (4)计算PA →在向量s 上的投影PA →·s 0； (5)计算点A 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2.2．利用向量求点A 到平面π的距离步骤： (1)找到平面π的法向量n ； (2)在平面π内任取一点P ； (3)计算PA →在向量n 上的投影PA →·n 0； (4)计算点A 到平面π的距离d ＝|PA →·n 0|.思考：如图，P 是平面α外一点，PO ⊥α于O ，PA ，PB 是α的两条斜线段.PA →与PB →在PO →上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？[提示] 相等，都等于|PO →|，即P 到平面α的距离．1.判断正误(1)平面α外一点A 到平面α的距离，就是点A 与平面内一点B 所成向量AB →的长度． (2)直线l ∥平面α，则直线l 到平面α的距离就是直线l 上的点到平面α的距离．(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知直线l 过定点A (2，3，1)，且方向向量为n ＝(0，1，1)，则点P (4，3，2)到l 的距离为( )A.322 B.22C.102D. 2A [PA →＝(－2，0，－1)，|PA →|＝5，PA →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |2＝5－12＝322.]3．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则P (－2，1，4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103D [∵A (－1，3，0)，P (－2，1，4)，∴AP →＝(－1，－2，4)，∵n ＝(－2，－2，1)，∴n 0＝n |n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，13，∴d ＝|AP →·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋（－2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋4×13＝103.]4．已知直线AB ∥平面α，平面α的法向量n ＝(1，0，1)，平面α内一点C 的坐标为(0，0，1)，直线AB 上点A 的坐标为(1，2，1)，则直线AB 到平面α的距离为________．22[CA →＝(1，2，0)， 直线AB 到平面α的距离d ＝|CA →·n 0|＝22.]点到直线的距离ABCD A 1B 1C 1D 1AB BC AA 1A 1列直线的距离：(1)直线AC ； (2)直线BD .[解] (1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 显然AA 1⊥AC ，所以AA 1＝5即为所求点A 1到直线AC 的距离． (2)如图建立空间直角坐标系，则有B (4，3，0)，A 1(4，0，5)． DB →＝(4，3，0)，DA 1→＝(4，0，5)， DA 1→·DB →|DB →|＝165， 设点A 1到直线BD 的距离为d .所以d ＝|DA 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA1→·DB →|DB →|2＝41－25625＝7695.1．本题(1)利用基本定义直接求解距离． 2．点到直线的距离的算法框图空间一点A 到直线l 的距离的算法框图，如图．1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )A.655 B.455 C.255D.55B [如图所示，BA →＝(2，0，0)，BE →＝(1，0，2)， BA →·BE →|BE →|＝255. A 到直线BE 的距离 d ＝|BA →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·BE →|BE →|2＝4－45＝455.]点到平面的距离【例2】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．[解] 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，A 1(1，0，3)，B 1(0，1，3)，C 1(0，0，3)．∴A 1B →＝(－1，1，－3) A 1C →＝(－1，0，－3)，B 1A 1→＝(1，－1，0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，－x －3z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝0，z ＝1.即n ＝(－3，0，1)，所以，点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|A 1B 1→·n |n ||＝32.空间一点A 到平面π的距离的算法框图，如图所示．2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知G (0，0，2)，E (4，－2，0)，F (2，－4，0)，B (4，0，0)， ∴GE →＝(4，－2，－2)，GF →＝(2，－4，－2)， BE →＝(0，－2，0)．设平面EFG 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧GE →·n ＝0，GF →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －z ＝0，x －2y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝－3y . 令y ＝1，则n ＝(－1，1，－3)， 故点B 到平面EFG 的距离为d ＝|BE →·n |n ||＝211＝21111.求线面距与面面距1． 线面距、面面距可转化为点到平面的距离吗？为什么？[提示] 可以．直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离均相等；平面与平面平行时，一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，故可将线面距、面面距等转化为点面距．2． 你能给出用向量法求面面距的基本思路吗？[提示] 求两平行平面之间的距离，通常也是转化为点面距求解，其基本思路是：设点A 为平面α内任意一点，B 为平面β内的任意一点，n 为平面α或β的法向量，若α∥β，则平面α与β间的距离为d ＝|AB →·n |n ||＝|AB →·n 0|.【例3】 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 、F 分别在A 1B 、B 1D 1上，且A 1E ＝13A 1B ，B 1F ＝13B 1D 1.(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求EF 与平面ABC 1D 1的距离d .[思路探究] (1)建系，写出相应点的坐标，求出平面平面ABC 1D 1的法向量n ，利用EF →·n ＝0证明；(2)直接转化为点E 与平面ABC 1D 1的距离．[解] (1)证明：建立如图空间直角坐标系B －xyz ， 易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，23a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，13a ，a ， 故EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a ，13a ，13a ，BA →＝(a ，0，0)，BC 1→＝(0，a ，a )．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABC 1D 1的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BC 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝0，ay ＋az ＝0，令z ＝1，得n ＝(0，－1，1)．∵EF →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a ，13a ，13a ·(0，－1，1)＝0，∴EF →⊥n ，由于EF 平面ABC 1D 1，故EF ∥平面ABC 1D 1. (2)由(1)得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，023a ，n |n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，22， ∴d ＝|BE →·n |n ||＝23a .1.(变条件)若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离． [解] 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)、B (1，1，0)、D 1(0，0，1)，A 1B →＝(0，1，－1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，A 1D 1→＝(－1，0，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1D →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，－x －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1，∴n ＝(－1，1，1)． ∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|A 1D 1→·n |n ||＝13＝33.∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离， ∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33. 2.(变条件)若棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则BD 到平面EFD 1B 1的距离为________．13[以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，易求平面EFD 1B 1的法向量n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12，又DF →＝(0，12，0)， ∴d ＝|DF →·n ||n |＝13.]1．求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．2．求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离．1．已知△ABC 的顶点A (1，－1，2)、B (5，－6，2)、C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [AB →＝(4，－5，0)，AC →＝(0，4，－3)， ∴|AC →|＝5，∴|AD →|＝|AB →·AC →||AC →|＝205＝4，∴高BD ＝|AB →|2－|AD →|2＝41－16＝5.]2．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12B.24C.22D.32B [以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则有D 1(0，0，1)，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)．因O为A 1C 1的中点，所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0，AB →＝(0，1，0)，AD 1→＝(－1，0，1)，设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，0，1)，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪C 1O →·n |n |＝122＝24.]3．单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点B 1到直线AC 的距离为________． 62[建立坐标系如图， B 1(1，1，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴AC →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(0，1，1)，AB 1→·AC →|AC →|＝12，∴点B 1到直线AC 的距离为d ＝|AB 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·AC →|AC →|2＝2－12＝62.] 4．在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，底面ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝AC ＝1，AA ′＝2，求A ′到直线BC ′的距离为________．306[由题意，可知AB 、AC 、AA ′两两垂直，故以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A ′(0，0，2)，B (1，0，0)，C ′(0，1，2)，所以点A ′到直线BC ′的距离为d ＝|BA ′→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ′→·BC ′→|BC ′→|2＝5－256＝306]5．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，求点A 1到平面MBD 的距离．[解] 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系(图略)． 则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0) M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，A 1(a ，0，a )．设平面MBD 的一个法向量为(x ，y ，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2＝0，（x ，y ，1）·（a ，a ，0）＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋a2＝0，ax ＋ay ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.∴A 1到平面MBD 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA1→·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－a2＋a 32＝66a .。
高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~06《立体几何中的向量方法求空间距离》1(人教A版选修2-1)
课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】课时：06 课型：新授课教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． （1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||sin AP d =⇒=又sin =θ||n d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）例１：如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离．解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-．设BM ⊥平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++(1)a b c ++=，∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a+4b,－2b －4c,2c)． 由⊥BM 平面EFG ，得BM GE ⊥，BM EF ⊥，于是 0BM GE ⋅=，0BM EF ⋅=．∴ (24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01a b b c c a b b c c a b c +--⋅-=⎧⎪+--⋅-=⎨⎪++=⎩整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得1511711311a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． ∴ BM ＝(2a+4b,－2b －4c,2c)＝)116,112,112(． ∴||BM ⎛==故点B 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，为11D C 的中点，求下列问题： （1） 求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D-，则),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量x则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n 选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为3211==d课后练习：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 到面BC A 1的距离.2.在三棱锥ABC S -中， ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，黄肌瘦32==SC SA ，M 、N 分别为AB 、SB 的中点,求点到平面CMN 的距离.x教学反思:。
人教版高中数学选修2-1课件 3.2.4立体几何中的向量法解决角与距离
点B到平面GEF的距离。
分析 :
以CD,CB, CG的方向为 x D
C
x轴, y轴, z轴的正方向
F
建立空间坐标系,则 A G(0, 2, 0), B(0, 4, 0), A(4, 4, 0), D(4, 0, 0), E(2, 4, 0), F (4, 2, 0).
E
B
y
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2), BE (2, 0, 0) 设平面EFG的法向量为n (x, y,1),则有:
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
思考：
B
C
（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.
化为向量问题
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
D1 A1
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
D
于 , 那 么有这个四棱柱的对角线的长可以 A
确定棱长吗?
C1
B1 C B
分析: 设 AC1 a，AB AD AA1 x，BAD BAA1 DAA1
则由AC1 AB AD AA1
2
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
空 间 距 离
学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学生姓名： 一．学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离；
2．能用向量方法解决线线、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用；
3． 探究题型，掌握解法。
二．重难点：向量法在立体几何中求空间的距离应用。
三．学习过程 （一）．知识梳理
1．点到直线的距离：点P 到直线a 的距离为点P 到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为A ，过A 作a 的垂线，垂足为B ，连结PB ，则由三垂线定理可得线段PB 即为点P 到直线a 的距离。
在PAB Rt ∆中求出PB 的长即可。
2．异面直线间的距离：异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，
a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线
b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
3．点到平面的距离：点P 到平面α的距离为点P 到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点P 到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点A ，B 到斜足
C 的距离AB ，AC 的比为n m :，则点A ，B 到平面α的距离之比也为n m :．特别地，AB AC
=时，点A ，B 到平面α的距离相等；③体积法
4．直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
5．平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离：线线距，点面距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。
（二）．新知探究
空间向量的应用
1．用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点a E ∈，b F ∈，则异面直线a 与b 之间的距离是
d =
；
2．用法向量求点到平面的距离
如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为 ；
3．用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上 到平面的距离问题。
4．用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成 问题。
（三）．题型讲解
题型1：异面直线间的距离
例1．如图1，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，
底边长AB =BD 和SC 之间的距离.
b
题型2：点面距离
例2．如图，已知ABCD 为边长是４的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2=GC ，求点B 到平面EFG 的距离。
(请尝试运用几何法、向量法两种方法解题)
题型3：线面距离
例3．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8， 对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
求（1）求点1B 到
直线AC 的距离；（2）直线1AB 到平面BD C 1的距离。
（四）.巩固训练
长方体1111ABCD A BC D -中，4AB =，6AD =，4AA 1=，M 是11AC 的中点，P 在线段
BC 上，且2CP =，Q 是1DD 的中点，求：（1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值；（2）M 到直线PQ 的距离；（3）M 到平面1AB P 的距离。
B A
C
D
1
A
1
B 1
C Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ Ｇ
Ｅ
O '
Ｆ
Ｏ Ｈ。