线性规划习题附答案模板

习题

2-1 判断下列说法是否正确:

（1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题;

（2）对偶问题的对偶问题一定是原问题;

（3）根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解;

（4）若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解;

（5）若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况;

（6）应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。

（7）若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k;

（8）

已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。

2-2将下述线性规划问题化成标准形式。

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束

43

214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束

321

3213213

21,0,06

24

.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示:

'''

12344'''

12344'''

123445'''

123446'''1234456max 342554222214..232

,,,,,,0

z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-⎧-+-+-=⎪+-+-+=⎪⎨-++-+-=⎪⎪≥⎩ (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示:

'''''

1233''''

1233''''

12334''''12334

max 22334

..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+⎧++-=⎪+-++=⎨⎪≥⎩ 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照

指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,825943.510max 12

1212121x x x x x x st x x z ()⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,242615

53.2max 22

121212

1x x x x x x st x x z 解: (1)图解法

最优点为B 点, 最优解为x1=1,x2=3/2, 最优值为35/2。 单纯形表计算过程:

初始单纯形表( 对应O 点)

z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 -10 -5 0 0 0 x 3 0 3 4 1 0 9 9/3 x 4

[5]

2

1

8

8/5

第一次迭代( 对应A 点)

z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 0

-1

0 2

16

x 3

0 [14/5]

1

-3/5 21/5 /14/5

5x 1+2x 2=8

x 2

x 1

O(0,0)

A(8/5,0)

B(1,3/2)

3x 1+4x 2=9

x 1 10 1 2/5 0 1/5 8/5

8/5/4/5

第二次迭代( 对应B 点, 即最优解)

z ’ x 1 x 2 x 3

x 4

RHS

z ’ 1 0 0 5/14 25/14 35/2 x 2 5 0 1 5/14 -3/14 3/2 x 1

10

1

-1/7

2/7

1

(2)图解法

最优点为B 点, 最优解为x1=15/4,x2=3/4, 最优值为33/4。 单纯形表计算过程:

初始单纯形表( 对应O 点)

z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 -2 -1 0 0 0 x 3 0 3 5 1 0 15 15/3 x 4

[6]

2

1

24

24/6

第一次迭代( 对应A 点)

z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 0 -1/3 0 1/3 8 x 3 0 0 [4] 1 -1/2 3 3/4 x 1

2

1

1/3

1/6

4

4/1/3

6x 1+2x 2=24

x 2

x 1

O(0,0)

A (4,0)

B(15/4,3/4)

3x 1+5x 2=15