线性规划习题附答案模板
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版
《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的一般形式有何特征？3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10.大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11 •什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7.用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j' 0对应的变量都可以被选作换入变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数二k对应的变量xk作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型1.某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
线性规划专题 含答案
线性规划专题（含答案）1. 设，满足约束条件则的最大值是．2. 设，满足约束条件则的最大值是．3. 设，满足约束条件则的最大值为．4. 在约束条件下，目标函数的最大值为．5. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为．6. 若，则目标函数的取值范围是．7. 已知实数，满足不等式组那么目标函数的最大值是．8. 已知满足条件则目标函数的最大值为．9. 若实数，满足不等式组则的最小值是．10. 已知，满足约束条件则的最小值为．11. 若，满足约束条件则的最大值为．12. 已知，满足则的最大值为．13. 设、满足约束条件则的最小值为．14. 在约束条件下，目标函数的最小值是．15. 设变量、满足约束条件：则的最小值为．16. 已知实数，满足则的最大值为．17. 若，满足约束条件，则的最小值为．18. 若实数，满足条件则的最大值为．19. 已知实数，满足条件则的取值范围是．20. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为．21. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．22. 若圆关于直线对称，动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是．23. 若，满足约束条件则的最大值为．24. 设实数，满足，，且，则的最大值为．25. 实数，满足不等式组则的取值范围是．26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点为边界及内部的任意一点，则的最大值为．27. 已知实数，满足且的最大值为．28. 已知实数，满足则的取值范围是．29. 若实数，满足不等式组则目标函数的最大值为．30. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为．31. 若变量，满足约束条件，则的最大值是．32. 已知，满足若目标函数的最大值为，则展开式的常数项为．33. 若，满足约束条件则的最小值为．34. 设，满足约束条件则的取值范围是．35. 已知实数，满足约束条件则的最大值为．36. 已知变量，满足约束条件若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数．37. 已知，，满足约束条件若的最大值为，则．38. 若实数，满足约束条件则的最大值为．39. 若，满足约束条件则的最大值为．40. 设实数，满足则的最大值为．41. 如果实数，满足约束条件则的最大值为．42. 已知实数满足条件则的最小值为．43. 若，满足约束条件则的最大值为．44. 已知实数，满足则的最小值为．45. 设实数，满足则的取值范围是．46. 记不等式组所表示的平面区域为，若直线与有公共点，则的取值范围是．47. 已知变量，满足约束条件则的最小值是．48. 若实数，满足条件则的最小值为．49. 设，满足约束条件，则的最大值为，则的值为．50. 若，满足约束条件则的最小值是．51. 如果实数，满足条件则的最大值为．52. 设实数，满足向量，．若，则实数的最大值为．53. 如果实数，满足约束条件那么目标函数的最小值为．54. 设，满足约束条件向量，，且，则的最小值为．55. 设，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为．56. 设为坐标原点，点，点满足则的取值范围为．57. 若实数满足且的最小值为，则．58. 已知，满足约束条件则的最大值．59. 已知点的坐标满足条件那么点到直线的距离的最小值为．60. 已知，满足则的最小值为．61. 已知点的坐标满足条件那么的取值范围为．62. 若变量，满足约束条件则的最大值为．63. 设实数，满足则的最小值为．64. 若，满足约束条件则的取值范围是．65. 已知点，是坐标原点，点的坐标满足，则的取值范围是．66. 已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，若点，且的最小值为，的最大值为，则等于．67. 已知整数，满足不等式，则的最大值是；的最小值是．68. 设实数，满足则动点所形成区域的面积为，的取值范围是．69. 若点满足线性约束条件则的最小值是；的取值范围是．70. 已知，满足约束条件则的最小值为．71. 已知实数，满足则的最小值为．72. 若，满足且的最大值为，则．73. 已知，满足若有最大值，则实数的值为．74. 若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是．75. 已知变量，满足约束条件则目标函数的取值范围是．76. 已知实数，满足则的最小值为．77. 设，满足则的最大值为．78. 若点位于曲线与所围成的封闭区域内（包含边界），则的最小值为．79. 若实数，满足则的取值范围是，的取值范围是．80. 已知，满足约束条件若的最大值为，则．81. 已知实数，满足则的最大值为．82. 已知实数，满足不等式组则的最大值为．83. 若实数，满足且的最小值为，则．84. 若，满足约束条件则的最大值为．85. 设，满足约束条件则的最大值是．86. 设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为．87. 设，满足约束条件则的最小值是．88. 若，满足条件则的最大值是．89. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为．90. 已知实数，满足则的取值范围为．91. 不等式组的解集记作，实数，满足如下两个条件：①，；②，．则实数的取值范围为．92. 设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是．93. 若，满足约束条件则的最小值是．94. 已知实数，满足则的最大值是．95. 设，满足不等式组若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为．96. 在等差数列中，已知首项，公差．若，，则的最大值为．97. 设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为．98. 已知实数，满足则的取值范围为．99. 若，满足若的最大值为，则实数．100. 已知正数满足：，，则的取值范围是．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.【解析】先作出不等式对应的区域，由图形可知直线过时，目标函数取得最大值，由解得即，．12.13.【解析】画出可行域：由图可知，当直线过点时，取得最小值为．14.15.【解析】不等式组对应的平面区域如图所示．平移直线，当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小为．16.17.【解析】由图知最小值在点处取到，最小值为．18.【解析】满足约束条件的可行域如下图所示：令，由可得，直线经过时，取得最大值：；此时的最大值为．19.【解析】由约束条件作出可行域如图，联立解得．的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，因为．所以则的取值范围是．20.【解析】，画出可行域如图中阴影部分所示，的最小值为，所以．21.【解析】作出可行域，如图所示，由题意．设，作，易知，过点时有最小值，；过点时有最大值，，所以的取值范围是．22.【解析】圆关于直线对称，所以圆心在直线上，，表示的平面区域如图，表示区域内点与点连线的斜率．，，所以的取值范围是．23.【解析】由变形为，纵截距为，当直线过点时最大，所以．24.【解析】，即为，所以顶点坐标为，设目标函数，则当目标函数经过点，的值最大，即，故的最大值为．25.【解析】的取值范围是可行域中的点与点连线的斜率的取值范围．平面区域如图：所以斜率最小值为，无最大值，当区域中的点的横纵坐标都趋于无穷大时，斜率趋近于．26.27.【解析】由约束条件作出可行域如图，设，可行域内的动点，则．．其几何意义为向量与向量夹角的余弦值的倍，所以当与重合时，有最大值为．28.29.【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知：当直线经过点时最大，由解得，所以的最大值为．30.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形，其中，，，为原点．设为区域内一个动点，则表示点到原点的距离，所以，可得当到原点距离最远时达到最大值，因此，运动点使它与点重合时，达到最大值，．所以最大值31.【解析】变量，满足的约束条件对应的平面区域是以点，和为顶点的三角形区域（包括边界），当经过点时，取得最大值．32.【解析】由约束条件，满足作出可行域如图，联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．则．由．令得．所以则展开式的常数项为．33.【解析】因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点，代入目标函数，求得：，，所以最小值为．34.35.36.37.【解析】先作出不等式组对应的区域，若的最大值为，则，直线过定点，则直线与相交于，得，同时也在直线上，即，得．38.【解析】作出所对应可行域（如图），变形目标函数可得，平移直线可得当直线经过点时，直线的截距最小，取最大值，代值计算可得最大值为：．39.【解析】画出表示的平面区域如图所示，由，得，画出，并平移经过时，．40.【解析】不等式组对应的平面区域如图，设，当此直线经过图中时，在轴的截距最小，即最大，所以的最大值为．41.【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．42.【解析】画出的可行域如图阴影区域：由得，目标函数可看做斜率为的动直线，由图数形结合可知：当过点时，最小为．43.【解析】44.【解析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由解得，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最大，有最小值，等于．45.【解析】由约束条件作出可行域如图，，联立解得．的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，因为，．所以的取值范围是．46.【解析】画出可行域，如图中区域．又直线恒过定点，是直线的斜率，当直线经过点与点这两个边界点时，对应的分别为与，故的范围为．47.【解析】画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线经过点时最小，由得，所以．48.【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，则当，时，取得最小值．49.【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时也最大，由，解得，即，将代入目标函数，得．解得．50.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得到直线的距离最小，此时最小值，则的最小值是．51.【解析】，根据约束条件画出可行域，可判断当，时，取得最小值，则的最大值为．52.【解析】因为，所以，即．由已知，画出可行域如下图阴影部分．所以当直线过点时取到最大值．53.【解析】由已知画图如下．当目标函数经过点时，截距取到最大值，也就是取到最小值．54.【解析】由向量，，且，得，根据约束条件画出可行域，设，将最小值转化为轴上的截距的最大值，当直线经过点时，最小，最小值是：．55.【解析】由题，可行域图象如下：结合目标函数中，，可知其经过时，取得最大值，故有，即，又，所以．56.【解析】设．画出可行域，如图所示：当直线过点时，取最大值；当直线过点时，取最小值．所以的取值范围为．57.【解析】画出可行域，当目标函数表示的直线平移到经过点时，取得最小值，然后将坐标代入即可．58.【解析】由约束条件得到可行域如图：直线经过图中点时，直线在轴的截距最小，此时最大，且，所以的最大值为；59.【解析】依题意画图如下．为图中三角形（包括边界）中的点，显然点到直线的距离最小，为．60.【解析】作出不等式组对应的平面区域，如下图中三角形，将直线进行平移，可得当直线经过点时，取得最小值，由解得时，取得最小值，所以．61.【解析】表示的平面区域如图，表示区域内点与点的距离的平方，由图知：最大；到直线的距离的平方最小．由于不取等号，所以不是最小值．62.【解析】由约束条件作出可行域如图，联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为．63.【解析】不等式组对应的平面区域如图，设，当此直线经过图中时，在轴的截距最大，即最小，所以的最小值为．64.65.【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：为阴影部分中的点，其中，，所以与平面的夹角的范围为．．所以的取值范围是．66.67. ，68. ，69. ，【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：，表示过平面区域的点由得：，当直线过时，最小，最小值与的直线的斜率，显然直线过时，，直线过时，．70.71.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由得，平移直线，由图象可知当直线过点时，直线的截距最大，此时最小．由解得即，代入目标函数得，即的最小值为．72.73.74.【解析】由题意，由可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束条件如图所示．可得，则实数的取值范围．75.76.【解析】如图阴影部分为的可行域，平行移动直线，过点时取得最小值，．77.78.79. ，80.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则，．显然直线过时不能取得最大值，若直线过点时取得最大值，则，解得，此时，目标函数为，作出直线，平移该直线，当直线经过点时，截距最小，此时，的最大值为，满足条件．81.82.【解析】作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得，由可得平移直线可知，当直线经过点时，取最大值，代值计算可得的最大值为．83.【解析】实数，满足约束条件的可行域如图所示，的最小值为，可知目标函数的最优解过点，由解得，所以，解得．84.【解析】作出不等式组约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，．所以最大值85.86.【解析】由得，作出可行域如图：因为，，所以直线的斜率为负，且截距最大时，也最大．平移直线，由图象可知当经过点时，直线的截距最大，此时也最大．由解得即．此时，即，即在直线上，的几何意义为直线上点到原点的距离的平方，则原点到直线的距离，则的最小值为．87.88.89.90.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，由图象知的斜率最小，的斜率最大，由得即，此时斜率，由得即，此时斜率，则的取值范围为．91.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，即，由图象可得，．因为①，，当时，恒成立，当时，过点时斜率最小，即，所以，综上所述的范围为．因为②，，所以直线一定在点的下方或过点，所以，综上所述的范围为．92.93.【解析】，满足约束条件的可行域如图：则的几何意义是可行域的点到坐标原点距离，由图形可知的距离最小，直线的斜率为，所以．94.【解析】实数，满足作图：易知可行域为一个三角形，平移，可知，当直线经过时，目标函数取得最大值，由解得，最大值为．95.【解析】由得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则，，因为的最大值为，最小值为，所以直线过点时，取得最大值为，经过点时取得最小值为，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上．96.【解析】由，得，将看作自变量，看作因变量，可得可行域如图所示：由图象知，在取得最大值，此最大值为．97.【解析】根据不等式组，画出平面区域如图所示．所以由平移基准线的位置可知，在处，目标函数，即．又由，，解得：，所以的最小值为．98.99.【解析】提示：如图，画出可行域．分别将、、代入验证知，只有当直线经过点时，符合题意，此时．100.【解析】根据条件得到不等式组和目标函数，利用线性规划求解．由已知，得令则问题转化为：求的取值范围．画出可行域，如图，由于，则的最大值为．设曲线在点处的切线方程为，将原点的坐标代入，解得，从而切点为．而切点在曲线上的点、之间，所以的最小值为．故的取值范围是．。
线性规划习题答案
习题一P .361. 一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A,B,C 三种混纺毛料,生产1单位产品需要的原料如下表所示.三种产品的单位利润分别是4,1,5.每月可购进的原料限额为羊毛8000单位,兔毛3000单位,问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润?解：设生产A,B,C 三种产品的量分别是123,,x x x ，则模型为123123123123max 4538000..243000,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩2. 某饲料厂生产的一种饲料由6种配料混合配成.每种配料中所含营养成分A,B 以及单位配料购入价由下表所示.每单位饲料中至少含9单位的A,19单位的B.问饲料厂如何配方,使得饲料成本最低且满足要求?解：设每单位饲料中每种配料所需的量为()1,2,3,4,5,6i x i =，则有1234561345623456123456min 3530605027122229..33219,,,,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++≥⎧⎪++++≥⎨⎪≥⎩4. 某产品的一个完整单位包括四个A 零件和三个B 零件.这两种零件(A 和B)由两种不同的原料制成,而这两种原料可利用的数量分别是100单位和200单位.三个车间进行生产,而每个车间制造零件的方法各不相同.下表中给出每个生产班组的原料耗用量和每一种零件的产量.目标是要确定每一个车间的生产班组数使得产品的配套数达到最大.解：设每个车间的生产组数分别为123,,x x x ，则可生产()()123123768594min ,43x x x x x x y ++++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭个单位产品，则线性规划如下：123123123123123max 853*********..76845943,,0yx x x x x x s t x x x y x x x yx x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≥⎨⎪++≥⎪⎪≥⎩6． 设123,,,A A A 三地各有某种纺织原料90,30,70吨,需要调运给12345,,,,B B B B B 五地,后者各需要80,10,30,50,20吨.从()1,2,3i A i =到(1,2,3,4,5)j B j =的路程(千米)如下表所示.现要求设计一个调拨方案,使得总运输吨公里数最少.解: 设从()1,2,3i A i =运往()1,2,3,4,5j B j =的运量为ij x ，则线性规划模型为如下形式，其中ij c 表示从i A 到j B 的运价。
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。
每一个工序的加工时间和利润都不相同。
现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。
请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件：a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2，满足约束条件：x1 + y1 ≤ 100，x2 + y2 ≤ 80，a1 + a2 ≤ 200，b1 + b2 ≤ 150，x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。
部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。
公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。
车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。
工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。
线性规划题型整理与例题(含答案)
积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
高中线性规划练习含详细解答
线性规划练习1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【2019年高考·广东卷 理5】已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )2. (2019年高考·辽宁卷 理8)设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．553.(2019年高考·全国大纲卷 理13) 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。
4.【2019年高考·陕西卷 理14】 设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ．5.【2019年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，506. (2019年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元7. (2019年高考·安徽卷 理11) 若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____.8．(2019年高考·山东卷 理5)的约束条件2441x y x y +≤⎧⎨-≥-⎩，则目标函数z=3x－y 的取值范围是A ． [32-，6]B ．[32-，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32] 9．(2019年高考·新课标卷 理14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为 .2 . “距离”型考题10.【2019年高考·福建卷 理8】 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( )A.285 B.4 C. 125D.2 11.( 2019年高考·北京卷 理2) 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A 4πB22π- C 6π D44π- 3. “斜率”型考题12.【2019年高考·福建卷 理8】 若实数x 、y 满足10,0x y x -+≤⎧⎨>⎩则y x 的取值范围是 （ ）A.(0,1)B.(]0,1C.(1,+∞)D.[)1,+∞13.（2019年高考·江苏卷 14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a的取值范围是 ．4. “平面区域的面积”型考题14.【2019年高考·重庆卷 理10】设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x yB x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则AB 所表示的平面图形的面积为A 34π B 35π C 47π D2π 15.（2019年高考·江苏卷 理10）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2B ．1C ．12D ．1416.（2019年高考·安徽卷 理15） 若A 为不等式组02x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 . 17.（2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（A ）73（B ） 37（C ）43（D ） 34高18.（2019年高考·浙江卷 理17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.5. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.19.（2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. － 5B. 1C. 2D. 320.【2019年高考·福建卷 理9】若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23 D ．221.（2019年高考·山东卷 理12）设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3]B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9]22.（2019年高考·北京卷 理7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是A (1，3]B [2，3]C (1，2]D [ 3，+∞]23.（2019年高考·浙江卷 理17）设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩}22{(,)|25}x y x y ⊆+≤，则m 的取值范围是___________.24.（2019年高考·浙江卷 理7） 若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A 2-B 1-C 1D 26. “求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究. 25.（2009年高考·陕西卷 理11）若x ，y满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ． (2,4)- 26.（2019年高考·湖南卷 理7）设m >1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 A ．)21,1(+B ．),21(+∞+C ．（1，3）D ．),3(+∞7. 其它型考题27. （2009年高考·山东卷 理12） 设x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>> 的值是最大值为12，则23a b+的最小值为（ ）A.625 B. 38 C. 311D. 4 28. （2019年高考·安徽卷 理13）设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a b +的最小值为________.线性规划问题 答案解析1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1、选B 【解析】约束条件对应ABC ∆内的区域(含边界)，其中53(2,2),(3,2),(,)22A B C 画出可行域，结合图形和z的几何意义易得3[8,11]z x y =+∈2、选D ； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D.3、答案：1-【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-.] 4、答案2； 【解析】当x > 0时，()xx f 1'=，()11'=f ，∴曲线在点(1,0)处的切线为1-=x y ，则根据题意可画出可行域D 如右图：目标函数z x y 2121-=， ∴当0=x ，1-=y 时，z 取得最大值25、选B ；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 、y 亩，总利润为z 万元， 则目标函数为(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+. 线性约束条件为50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即50,43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组表示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C . 平移直线0.9z x y =+，可知当直线0.9z x y =+，经过点()30,20B ，即30,20x y ==时 z 取得最大值，且max 48z =（万元）. 故选B. 点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X，画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400z x 43+- 这是随Z 变化的一族平行直线，解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ，⎩⎨⎧==∴4y 4x ，即A （4,4）280016001200max =+=∴Z7、答案[3,0]-； 【解析】约束条件对应ABC ∆内的区域(含边界)，其中3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ，画出可行域，结合图形和t 的几何意义易得[3,0]t x y =-∈-8、选A ； 【解析】 作出可行域和直线l ：03=-y x ，将直线l 平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即623≤≤-z . ∴应选A.9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形OABC 内及边界，其中(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C ，则2[3,3]z x y =-∈-2 . “距离”型考题10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述假设有一家创造公司，该公司生产两种产品：产品A和产品B。
公司有限的资源包括劳动力和原材料。
产品A每一个单位需要2个小时的劳动力和3个单位的原材料，产品B每一个单位需要4个小时的劳动力和1个单位的原材料。
公司每天有8个小时的劳动力和10个单位的原材料可用。
产品A的售价为每一个单位10美元，产品B的售价为每一个单位8美元。
创造一台产品A的成本为每一个单位6美元，创造一台产品B的成本为每一个单位4美元。
问题：如何确定每种产品的生产数量，以最大化公司的利润？二、线性规划模型假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
则可以建立如下的线性规划模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 10x + 8y约束条件：1. 劳动力约束：2x + 4y ≤ 8（劳动力总共有8个小时）2. 原材料约束：3x + y ≤ 10（原材料总共有10个单位）3. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题为了求解上述线性规划问题，可以使用各种数学软件或者线性规划求解器。
下面给出一个可能的求解过程和结果。
1. 使用线性规划求解器输入模型和约束条件。
2. 求解器计算出最优解，即最大化的利润。
3. 解读结果。
四、求解结果经过计算，最优解如下：最大利润为：$64产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位五、结果解释根据最优解，公司应该生产2个单位的产品A和2个单位的产品B，以最大化公司的利润。
此时，公司的最大利润为64美元。
六、敏感性分析敏感性分析用于确定模型的解对于参数变化的稳定性。
下面进行一些敏感性分析。
1. 劳动力的变化：假设劳动力增加到10个小时，重新计算模型。
结果如下：最大利润为：$76产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位2. 原材料的变化：假设原材料增加到12个单位，重新计算模型。
结果如下：最大利润为：$76产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位通过敏感性分析可以得出，当劳动力和原材料的供应增加时，最优解保持不变。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述假设某公司生产两种产品：产品A和产品B。
每天生产的产品A需要花费3小时的人工时间和2小时的机器时间，每天生产的产品B需要花费2小时的人工时间和4小时的机器时间。
公司每天有8小时的人工时间和10小时的机器时间可供使用。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。
公司希翼通过合理安排生产计划，使得每天的总利润最大化。
二、数学建模1. 定义变量：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y。
2. 建立目标函数：总利润最大化，即Maximize Z = 200x + 300y。
3. 建立约束条件：3x + 2y ≤ 8（人工时间约束）2x + 4y ≤ 10（机器时间约束）x ≥ 0，y ≥ 0（非负约束）三、线性规划模型Maximize Z = 200x + 300ysubject to3x + 2y ≤ 82x + 4y ≤ 10x ≥ 0, y ≥ 0四、求解线性规划问题通过线性规划求解器进行计算，得到最优解。
1. 求解目标函数最大值：Z = 200x + 300y最大值为Z = 200 * 2 + 300 * 1 = 700。
2. 求解最优生产量：当x = 2，y = 1时，总利润最大，即每天生产2件产品A和1件产品B，总利润为700元。
五、结论根据线性规划模型的计算结果，为了使得公司每天的总利润最大化，应该安排每天生产2件产品A和1件产品B。
这样可以获得每天700元的总利润。
六、灵敏度分析在线性规划问题中，灵敏度分析可以匡助我们了解模型的稳定性和可行性。
下面对人工时间和机器时间的变化进行灵敏度分析。
1. 人工时间的变化：当每天的人工时间增加1小时，即约束条件变为3x + 2y ≤ 9时，重新求解线性规划问题。
结果显示，最大总利润仍然为700元，最优生产量为每天生产2件产品A和1件产品B。
2. 机器时间的变化：当每天的机器时间增加1小时，即约束条件变为2x + 4y ≤ 11时，重新求解线性规划问题。
线性规划题及答案
线性规划题及答案1. 问题描述假设一家餐馆每天供应两种菜品：A和B。
每份A菜品的成本为2美元，每份B菜品的成本为3美元。
餐馆每天有100美元的预算用于购买这两种菜品。
餐馆估计每天能卖出20份A菜品和30份B菜品。
每份A菜品的售价为5美元，每份B 菜品的售价为4美元。
餐馆希翼最大化每天的利润。
2. 线性规划模型设变量：x1：购买的A菜品的份数x2：购买的B菜品的份数目标函数：最大化利润：Z = 5x1 + 4x2约束条件：成本约束：2x1 + 3x2 ≤ 100供应约束：x1 ≤ 20x2 ≤ 30非负约束：x1, x2 ≥ 03. 求解线性规划问题为了求解该线性规划问题，我们可以使用各种数学软件或者线性规划求解器。
下面是使用一个线性规划求解器得到的最优解。
x1 = 20x2 = 26.67Z = 186.67解释：根据最优解，餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
在这种情况下，每天的利润为186.67美元。
4. 灵敏度分析灵敏度分析用于确定目标函数系数或者约束条件右侧值的变化对最优解的影响。
下面是对目标函数系数和约束条件右侧值进行灵敏度分析的结果。
目标函数系数灵敏度：如果A菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从5变为6，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从4变为5，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
约束条件右侧值灵敏度：如果成本约束从100美元增加到120美元，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果A菜品供应约束从20份增加到25份，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品供应约束从30份减少到25份，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
根据线性规划模型的最优解和灵敏度分析的结果，我们可以得出以下结论：- 餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
线性规划习题解答
8 x13 6 x23 5 x33 1 1 (1 0.15) (1 0.15) 2 8 x12 6 x22 5 x32 2 8 x11 6 x21 5 x31 4 4 (1 0.10) (1 0.10) 3 8 x13 6 x23 5 x33 3
(3)当该线性规划问题具有无界解时，必有
d 0,c1 0,c2 0且a1 0.
(4)当解非最优，为对解改进，换入变量为 必有 ，换出变量为
d 0,c1 0,且c1 c2，a3 0,
3
a3
d
4
.
1.7 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数见下表。
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6∶00～10∶00 10∶00～14∶00 14∶00～18∶00 18∶00～22∶00 22∶00～ 2∶00 2∶00～ 6∶00 所需要人数 60 70 60 50 20 30
• 1.6 下表是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。 表中无人工变量， ， 为待定常数。试说明 这些常数分别取何值时，以下结论成立。 (1)表中解为唯一最优解； (2)表中解为最优解，但存在无穷多最优解； (3)该线性规划问题具有无界解； (4)表中解非最优，为对解改进，换入变量为
cj
CB
9
(3) 确定约束条件 前、中、后舱位载重量限制为： 8x11 + 6x21 + 5x31 2000 8x12 + 6x22 + 5x32 3000 8x13 + 6x23 + 5x33 1500 前、中、后舱位体积限制为： 10x11 + 5x21 + 7x31 4000 10x12 + 5x22 + 7x32 5400 10x13 + 6x23 + 7x33 1500 A、B、C 三种商品数量限制为： x11 + x12 + x13 600 x21 + x22 + x23 1000 x31 + x32 + x33 800
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习题
2-1 判断下列说法是否正确:
（1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题;
（2）对偶问题的对偶问题一定是原问题;
（3）根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解;
（4）若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解;
（5）若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况;
（6）应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。
（7）若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k;
（8）
已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束
43
214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束
321
3213213
21,0,06
24
.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示:
'''
12344'''
12344'''
123445'''
123446'''1234456max 342554222214..232
,,,,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-⎧-+-+-=⎪+-+-+=⎪⎨-++-+-=⎪⎪≥⎩ (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示:
'''''
1233''''
1233''''
12334''''12334
max 22334
..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+⎧++-=⎪+-++=⎨⎪≥⎩ 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照
指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
()⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤++=0,825943.510max 12
1212121x x x x x x st x x z ()⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤++=0,242615
53.2max 22
121212
1x x x x x x st x x z 解: (1)图解法
最优点为B 点, 最优解为x1=1,x2=3/2, 最优值为35/2。
单纯形表计算过程:
初始单纯形表( 对应O 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 -10 -5 0 0 0 x 3 0 3 4 1 0 9 9/3 x 4
[5]
2
1
8
8/5
第一次迭代( 对应A 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 0
-1
0 2
16
x 3
0 [14/5]
1
-3/5 21/5 /14/5
5x 1+2x 2=8
x 2
x 1
O(0,0)
A(8/5,0)
B(1,3/2)
3x 1+4x 2=9
x 1 10 1 2/5 0 1/5 8/5
8/5/4/5
第二次迭代( 对应B 点, 即最优解)
z ’ x 1 x 2 x 3
x 4
RHS
z ’ 1 0 0 5/14 25/14 35/2 x 2 5 0 1 5/14 -3/14 3/2 x 1
10
1
-1/7
2/7
1
(2)图解法
最优点为B 点, 最优解为x1=15/4,x2=3/4, 最优值为33/4。
单纯形表计算过程:
初始单纯形表( 对应O 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 -2 -1 0 0 0 x 3 0 3 5 1 0 15 15/3 x 4
[6]
2
1
24
24/6
第一次迭代( 对应A 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 0 -1/3 0 1/3 8 x 3 0 0 [4] 1 -1/2 3 3/4 x 1
2
1
1/3
1/6
4
4/1/3
6x 1+2x 2=24
x 2
x 1
O(0,0)
A (4,0)
B(15/4,3/4)
3x 1+5x 2=15
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤++++≤++++0572********..5432154321j x x x x x x x x x x x t s ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧≥≥+≥+≥+++≥++0226332..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s 第二次迭代( 对应B 点, 即最优解)
z ’ x 1 x 2 x 3
x 4
RHS
z ’ 1 0 0 1/12 7/24 33/4 x 2 1 0 1 1/4
-1/8 3/4 x 1
2
1
-1/12 5/24 15/4
2-4已知线性规划问题, 写出其对偶问题:
( 1)
(2)
解: (1)原问题的对偶问题为:
12121
21
2121212min 1957210
424
2320..3220525,0
y y y y y y y y s t y y y y y y ω=++≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪≥⎪⎩ 5
4
3
2
1
2520202410max x x x x x z ++++=)5,4,3,2,1(=j 4
3216368min x x x x z +++=)
4,3,2,1(=j。