重庆大学2012年9月份考试高等数学(II-1)第一次作业
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)文 (2)
12重庆(文)1.(2012重庆,文1)命题“若p 则q ”的逆命题是( ). A.若q 则p B.若 p 则 q C.若 q 则 pD.若p 则 qA 根据逆命题的定义,命题“若p 则q ”的逆命题为“若q 则p ”,故选A. 2.(2012重庆,文2)不等式12x x -+<0的解集为( ).A.(1,+∞)B.(-∞,-2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)C 不等式12x x -+<0可化为(x -1)(x +2)<0,解不等式得其解集为(-2,1),故选C. 3.(2012重庆,文3)设A ,B 为直线y =x 与圆x 2+y 2=1的两个交点,则|AB |=( ).A.1D.2D 由已知条件可知直线y =x 过圆x 2+y 2=1的圆心,所以AB 为圆x 2+y 2=1的直径,|AB |=2,故选D. 4.(2012重庆,文4)(1-3x )5的展开式中x 3的系数为( ). A.-270B.-90C.90D.270A (1-3x )5的展开式的通项为T r +1=5C r(-3)r x r ,令r =3,则x 3的系数为35C (-3)3=-270,故选A. 5.(2012重庆,文5)sin47sin17cos30cos17︒-︒︒︒=( ).B.-12C.12C 因为sin 47°=sin(30°+17°)=sin 30°cos 17°+sin 17°cos 30°,所以原式=sin30cos17sin17cos30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒︒=sin 30°=12,故选C.6.(2012重庆,文6)设x ∈R,向量a =(x ,1),b =(1,-2),且a ⊥b ,则|a +b |=( ).A B C D .10B 因为a ⊥b,所以a·b=x-2=0,解得故选B .7.(2012重庆,文7)已知a=log 23+log log 29-log log 32,则a,b,c 的大小关系是( ). A .a=b<c B .a=b>c C .a<b<cD .a>b>cB a=log 23+log log 2log 29-log log 2因此a=b,而log 2log 22=1,log 32<log 33=1,所以a=b>c,故选B .8.(2012重庆,文8)设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f '(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf '(x )的图象可能是( ).C 由题意可得f'(-2)=0,而且当x ∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,此时xf'(x)>0;当x ∈(-2,+∞)时,f'(x)>0,此时若x ∈(-2,0),xf'(x)<0,若x ∈(0,+∞),xf'(x)>0,所以函数y=xf'(x)的图象可能是C .9.(2012重庆,文9)设四面体的六条棱的长分别为a,且长为a ,则a 的取值范围是( ).A B C D A 四面体如图1所示.设则a>0,当A,B,C,D 四点共面时(如图2所示).而此时A,B,C,D 不能构成四面体,所以故选A .图1 图210.(2012重庆,文10)设函数f (x )=x 2-4x +3,g (x )=3x -2,集合M ={x ∈R|f (g (x ))>0},N ={x ∈R|g (x )<2},则M ∩N 为( ). A .(1,+∞) B .(0,1) C .(-1,1)D .(-∞,1)D 函数f(x)=(x-3)(x-1),令f(x)>0得x>3或x<1,不等式f(g(x))>0可化为g(x)>3或g(x)<1,即3x -2>3或3x -2<1,分别求解得x>log 35或x<1,即M={x ∈R |x>log 35或x<1},N={x ∈R |3x -2<2}={x ∈R |x<log 34},所以M ∩N={x ∈R |x<1},故选D .11.(2012重庆,文11)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S 4= .15 由等比数列前n 项和公式S n =n1a (1q )1q--得,S 4=41212--=15. 12.(2012重庆,文12)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .4 f(x)=x 2+(a-4)x-4a.因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=x 2+(4-a)x-4a=x 2+(a-4)x-4a,a-4=4-a,a=4. 13.(2012重庆,文13)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB= .由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4,故c=2,而sin ∵b=c,故sin B=sin14.(2012重庆,文14)设P 为直线y=b 3a x 与双曲线22x a -22y b=1(a>0,b>0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1垂直于x 轴,则双曲线的离心率e= .因为F 1为左焦点,PF 1垂直于x 轴,所以P 点坐标为bc c,-3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又因为P 点为直线与双曲线的交点,所以22c a -2222b c 9a b =1,即89e 2=1,所以15.(2012重庆,文15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答).15基本事件总数为66A =720,事件“相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”所包含的基本事件分两类,一类是相邻两节文化课之间恰好间隔1节艺术课有23333A A =72,一类是相邻两节文化课之间间隔1节或2节艺术课有32223322A C A A =72,由古典概型概率公式得P=15.16.(2012重庆,文16)已知{a n }为等差数列,且a 1+a 3=8,a 2+a 4=12. (1)求{a n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,若a 1,a k ,S k+2成等比数列,求正整数k 的值. 解:(1)设数列{a n }的公差为d,由题意知112a 2d 8,2a 4d 12.+=⎧⎨+=⎩解得a 1=2,d=2. 所以a n =a 1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得S n =1n n(a a )2+=n(22n)2+=n(n+1).因a 1,a k ,S k+2成等比数列,所以2k a =a 1S k+2. 从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k 2-5k-6=0. 解得k=6或k=-1(舍去).因此k=6.17.(2012重庆,文17)已知函数f(x)=ax 3+bx+c 在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b 的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 解:(1)因f(x)=ax 3+bx+c,故f'(x)=3ax 2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16, 故有f'(2)0,f (2)c 16,=⎧⎨=-⎩ 即12a b 0,8a 2b c c 16,+=⎧⎨++=-⎩化简得12a b 0,4a b 8,+=⎧⎨+=-⎩ 解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x 3-12x+c; f'(x)=3x 2-12=3(x-2)(x+2). 令f'(x)=0,得x 1=-2,x 2=2.当x ∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当x ∈(-2,2)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数; 当x ∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数.由此可知f(x)在x 1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x 2=2处取得极小值f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4, 因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.18.(2012重庆,文18)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响. (1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率. 解:设A k ,B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则P(A k )=13,P(B k )=12(k=1,2,3).(1)记“乙获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(1A B 1)+P(112A B A B 2)+P(11223A B A B A B 3)=P(1A )P(B 1)+P(1A )P(1B )P(2A )P(B 2)+P(1A )P(1B )P(2A )P(2B )P(3A )P(B 3) =23×12+222132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+332132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)=P(112A B A B 2)+P(1122A B A B A 3)=P(1A )P(1B )P(2A )P(B 2)+P(1A )P(1B )P(2A )P(2B )P(A 3)=222132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+22211323⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=427. 19.(2012重庆,文19)设函数f(x)=A sin (ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ≤π)在x=6π处取得最大值2,其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=426x x 1f x 6cos sin π--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域.解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即2ωπ=π,解得ω=2.因f(x)在x=6π处取得最大值2,所以A =2.从而sin 2φ6π⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=1,所以3π+φ=2π+2k π,k ∈Z . 又由-π<φ≤π得φ=6π.故f(x)的解析式为f(x)=2sin 2x 6π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2)g(x)=426x x 122x 2cos sin sin π--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=426x x 222x cos cos cos +- =222(2x 1)(3x 2)2(2x 1)cos cos cos -+-=32cos 2x+121x 2cos ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭.因cos 2x ∈[0,1],且cos 2x ≠12,故g(x)的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⋃.20.(2012重庆,文20)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=4,AC=BC=3,D 为AB 的中点. (1)求异面直线CC 1和AB 的距离;(2)若AB 1⊥A 1C,求二面角A 1-CD-B 1的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,因AC=BC,D 为AB 的中点,故CD ⊥AB.又直三棱柱中,CC 1⊥面ABC,故CC 1⊥CD,所以异面直线CC 1和AB 的距离为(2)解法一:由CD ⊥AB,CD ⊥BB 1,故CD ⊥面A 1ABB 1,从而CD ⊥DA 1,CD ⊥DB 1,故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1-CD-B 1的平面角.因A 1D 是A 1C 在面A 1ABB 1上的射影,又已知AB 1⊥A 1C,由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D,从而∠A 1AB 1,∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余,因此∠A 1AB 1=∠A 1DA,所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A.因此1AA AD =111A B AA ,得A 21A =AD·A 1B 1=8. 从而A 11D=A 1所以在△A 1DB 1中,由余弦定理得cos ∠A 1DB 1=222111111A D DB A B 2?A D?DB +-=13.(2)解法二:如图,过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1,在直三棱柱中,由(1)知DB,DC,DD 1两两垂直.以D 为原点,射线DB,DC,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A 1(-2,0,h),B 1从而1AB =(4,0,h),1A C由11AB A C ⊥得1AB ·1A C =0,即8-h 2=0,因此. 故1DA1DBDC设平面A 1CD 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ⊥DC ,m ⊥1DA ,即1110,2x 0,⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z 1=1,得m设平面B 1CD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ⊥DC ,n ⊥1DB ,即2220,2x 0,⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2=-1,得n所以cos <m,n>=m?n|m |?|n |13.所以二面角A 1-CD-B 1的平面角的余弦值为13.21.(2012重庆,文21)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线交椭圆于P,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求△PB 2Q 的面积. 解:(1)设所求椭圆的标准方程为22x a+22y b=1(a>b>0),右焦点为F 2(c,0).因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,从而|OA|=|OB 2|,即b=c 2.结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,所以离心率e=ca在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故12AB B S =12·|B 1B 2|·|OA|=|OB 2|·|OA|=c 2·b=b 2,由题设条件12AB B S=4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20.因此所求椭圆的标准方程为 2x 20+2y 4=1.(2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my-16=0.(*)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=24m m 5+,y 1·y 2=216m 5-+.又2B P =(x 1-2,y 1),2B Q =(x 2-2,y 2), 所以2B P ·2B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-4m(y 1+y 2)+16=2216(m 1)m 5-++-2216m m 5++16 =-2216m 64m 5-+. 由PB 2⊥QB 2,知2B P ·2B Q =0,即16m 2-64=0,解得m=±2. 当m=2时,方程(*)化为9y 2-8y-16=0,故y121-y 2△PB2Q 的面积S=12|B 1B 2|·|y 1-y 2当m=-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q 的面积综上所述,△PB2Q。
2012年重庆市专升本《高等数学》试题答案
重庆市2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。
共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0,sin 0,3)(x a xx x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ）A. 0B. 1C. 2D. 3 解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=⇒=+a a ,故选C.2.当0→x 时，与函数2)(x x f =是等价无穷小的是（ A ） A. )1ln(2x + B. x sin C. x tan D. x cos 1-解：由11ln(lim 1ln()(lim )220)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A.3.设)(xf y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）A. )(x e f -'B. )(x e f -'-C. )(x x e f e --'D.)(x x e f e --'-解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='⋅'=',故选D.4.设x 1是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3（ B ）A.C x +221 B. C x +-221 C. C x +331 D.C x x +ln 414解：因x 1是)(x f的一个原函数,所以211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=,所以C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰2321)(故选B.5.下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=-1374n n nn B.∑∞=-1231n n C. ∑∞=132n nn D. ∑∞=121sin n n解：因121)1(lim 2122)1(lim 33313<=+=+∞→+∞→n n n n n nn n ,所以∑∞=132n n n 收敛,故选C.6.交换⎰⎰⎰⎰+=102121121),(),(yy y dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的是（ B ） A. ⎰⎰122),(x x dy y x f dx B.⎰⎰1022),(x x y x f dy C.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx D.⎰⎰2122,(x x y x f dx 解：由题意画出积分区域如图:故选B.7.设向量21,αα是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ）A. 21αα+B. 21αα-C. 212αα+D.212αα-解：因,2)(2121b b b A A A =+=+=+αααα同理得,0)(21=-ααA ,3)2(21b A =+αα,)2(21b A =-αα故选D.8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααk 线性相关,则=k （ D ）A. -2B. 2C. -3D.3解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛03002240112125402240112125400*********k k k k ααα 由于123,,ααα线性相关,所以123(,,)2r ααα≤,因此3=k9.设B A ,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(===AB P B P A P 则=)(B A P （ A ）A.0.2B. 0. 4C. 0.6D. 0.8解: 2.0)]()()([1)(1)()(=-+-=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ） A.163 B. 207 C. 41 D. 21解: 由全概率公式得20751415243=⨯+⨯=p二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。
《高等数学1,2 2012年》试题及答案
f x 3x 2
1 2
2 x2 3
。
极限 lim (1 ax) x
x 0
x
e 2 ,则 a
a 2
。
y e 的马克劳林公式为
x2 x n ex x n 1 1 x , (0 1) 。 2! n! (n 1)!
4、
设
x t cos t dy sin t t cos t ，则 ＝____ 。 cos t t sin t dx y t sin t
5、
已知 f ' (3) 2, 则 lim
h 0
f (3 h) f (3) = 2h
-1
。
x 3y 0
6、 通过 z 轴和点（-3，1，-2）的平面方程
f '( x)
1
2分 2分 2分
sin x 2 2sin x 2 2 x x2 x
2分
xf ( x)dx
0
1 1 1 1 1 f ( x)dx 2 f (1) x 2 f '( x)dx 2 0 2 2 0
1 1 2 x sin x 2 dx 0 2 1 1 sin x 2 dx 2 2 0 1 (cos1 1) 2 四、解答题（每小题 6 分，共 30 分）
0 x
x 0
（1 分）
＝ lim
x 0
3x
（1 分） （1 分） （1 分）
＝ lim ＝
x 0
2 cos x 3
2 3
g ( x) e 2 x ,x0 2、设 g (0) 1, g ' (0) 2, g" (0) 1, f ( x) ，求 f ' (0) 。 x 0, x 0
高等数学1-2答题上传(作业) 重庆大学练习库及答案
1、函数，若在处连续，则＝______
正确答案是：0
2、设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是__________ 正确答案是：
3、设则 __________。
正确答案是：36
4、设,则______
正确答案是：
5、已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是______ 。
正确答案是：
6、=______
正确答案是：1
四、计算题(共 2 题、0 / 16 分 )
1、利用基本积分公式及性质求积分。
正确答案是：原式=
2、求。
正确答案是：=ln 1-ln 2=-ln 2.
牛顿-莱布尼兹公式
1、验证拉格朗日定理对函数在区间[0，1]上的正确性.
正确答案是：
因为在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由得
解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立.
六、证明题(共 1 题、0 / 20 分 )
1、利用极限存在准则证明：。
正确答案是：∵
且，，由夹逼定理知
用夹逼准则。
最新高等数学Ⅱ-1试卷A201201答案
重庆大学试卷 教务处07版 第 1 页 共 3 页重庆大学 高等数学11-1 课程试卷juanA卷B卷2011 ~2012学年 第 1学期 开课学院： 数学与统计 课程号：10019745考试日期： 20120109考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟一、填空题（每小题2分，共10分）1．221x x y =+反函数为 2log 1y x y =-或2log 1xy x =-2．极限0limsin x x→= 1 3．摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-在2t π=时的切线方程为 22ay x a π=-+4．若0()1f x '=，则000()()lim2h f x f x h h →--= 125．1ln x dx x +=⎰ 21(1ln )2x c ++或21ln ln 2x x c ++二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．求函数()(1)xy x x =+的微分。
解：1ln ln(1)ln (ln )11x xy x x y x y y x y x x''=+⇒=+⇒=+++ 故(1)(ln )1xxdy x x dx x=+++2．设22()(1)x xf x x x -=-，判定函数()f x 的间断点为哪一类间断点。
解：22220000lim ()lim 1,lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x x xf x f x x x x x ++--→→→→--====---- 故0x =为第一类（跳跃）间断点22111lim ()lim (1)2x x x x f x x x →→-==-，故1x =为()f x 的可去间断点。
2211lim ()lim (1)x x x x f x x x →-→--==∞--，故1x =-是()f x 的无穷间型间断点。
3．求由方程摆线0ye xy e +-=表示的曲线在(0,1)处的切线和法线方程。
重大高数II-I_期中-含答案
R2
sin
2
1 2
sin
S弓形
1 2
R2 (
sin) ，
当弧长趋于零时， 趋于零，于是，弓形面积与内接等腰三角形面积之比的
极限为
lim S弓形 S 0 △ ABC
1 R2 ( sin )
lim
0
2 R2 (sin
1
sin )
22
sin
lim
0
2 sin
sin
2
13
lim
0
1 x
(1 |
1
x |) x
lim
x0
a arctan
1 x
lim (1
x0
1
x) x
π 2
a
1 e
所以
重庆大学《高等数学 II-I》期中评分参考
第3页 共5页
解得 a 1 e2 . πe
πa1 πae， 2 e2
18. 已知 f (x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x 0 的某个邻域内满足关系式
D
B
形. 当 R 不变，弓形的弧长趋于零时，求弓
形面积与内接三角形面积之比的极限，并
α
利用所得结果推出弓形面积的近似公式：
O
附： sin 1 3 ( 0) 6
S 2 bh . 3
【解】 如图所示， AB b, CD h, AOB ，则△ABC 的面积为
弓形的面积
S△ ABC
1 bh 2
x 0, x 1,
0,
x 0, x 1
指出 f (x) 的间断点，并说明间断点的类型.
【解】 间断点为 x 0, x 1，因为
f
(0 )
lim
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数(重庆卷)解析版
试卷总评2012年高考重庆卷数学文理科的特点是"稳中有降、梯度合理、试题亲切、背景公平"。
稳中有降：1、整份试题继承了去年试题的框架结构，全面考查了《考试大纲》各部分的内容，函数、三角函数、不等式、数列、圆锥曲线等仍是稳定的主干考点；2、客观题（选择、填空）的压轴题都较往年降低了难度，连接解答题的难度也略低于往年，试题面向全体考生，体现了向新课改主干知识平稳过渡。
梯度合理：整份试题层次分明，问题设置科学、合理，对数学基础、数学水平、数学能力不同的学生有着较好的区分度，部分试题设计巧妙，能考察学生综合分析以及继续学习的潜能，不仅有利于优秀学生的发挥，也有利于数学中等生取得满意的成绩。
试题亲切：全卷试题表述清晰、富有数学美感，考生审题无文字障碍；淡化特殊技巧，回归常态，运算量适中；试题紧扣教材，对高中主干知识考察的明晰且突出，经典数学问题的重构与改编所考察的数学思想与方法体现出了命题者的匠心独用。
背景公平：全卷无偏、难、怪、繁的试题，体现数学应用意识的一些题目选材自然、具有生活体验，如学生轮流投篮胜负的探讨、学校课表安排等题目，这些题目对城乡学生的审题、分析以至于解题过程均体现出公平的认知背景，同时也较好地体现了新课改中数学文化的渗透。
值得一提的是，命题者注重文理科差异，命题具有针对性。
(21道试题中有9道是同源题目，其他均采用了不同的试题，考察体现了文理科学生的数学学习能力差异)总之，整份试题应该说是一份对如何考查双基内容作出了完美的诠释的试题，不仅是一份有利于高校选拔人才的试卷，更对高中数学课堂教学改革起到了风向标的引领作用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则{}n a 的前5项和5S = （A ）7 （B ）15 （C ）20 （D ）25 【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =，1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，解题时要认真审题，仔细解答． （2）不等式1021x x -≤+的解集为 （A ）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B ） 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ） [)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ （D ）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是 （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交但直线不过圆心 （D ）相交且直线过圆心（4）8的展开式中常数项为（A ）3516 （B ）358 （C ）354（D ）105 【答案】B【解析】：8821881()2r rr r r r r T C C --+== 令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项 （5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==，则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值． （6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则||a b +=（A （B （C ） （D ）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0] 减函数，又2为周期，所以[3，4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性，进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a ，且长为a 的棱异面，则a的取值范围是（A ） （B ）（C ） （D ） 【答案】：A【解析】：BE ==BF BE <，2AB BF =<， 【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题． （10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=11255n n +====【考点定位】本题考查极限的求法和应用，n -都没有极限，可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c = 【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos ,513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点，然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值． （14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】：35【解析】：语文、数学、外语三门文化课间隔1节艺术课排列有3334A A 种排法，语文、数学、外语三门文化课相邻有4343A A 种排法，语文、数学、外语三门文化课两门相邻有2211332223C A C C A 种排法，故所有的排法种数有33342A A +2211332223C A C C A ，在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +== 【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
重庆大学高等数学(工学类)课程试卷
2.若2lim ()x x a x x a xe dx x a
+∞-→+∞-=+⎰，求a 的值。
3、设函数()y y x =由方程322
2221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点，并判断它是否是极值点。
4. 计算
22(tan 1)x e x dx +⎰。
5. 设12
01()()1x f x xe f x dx x =-+⎰，求(),()f x f x '。
6. 已知1(2),(2)02
f f '==及20()1f x dx =⎰，求120(2)x f x dx ''⎰。
四、证明题（每小题9分，本题共18分）
1、证明方程0ln x x e π=
-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。
2、设()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可微，且0()sin 0f x xdx π
=⎰，0()cos 0f x xdx π
=⎰。
证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。
五、应用题（本题共10分）用自重200N 的抓斗将井深30米内开始时重2000N 的污泥提升到井口，已知铁链每米重50N ，提升速度为每秒3米，提升过程中污泥以每秒20N 的速度从抓斗的漏孔中漏掉，问克服重力作功多少焦耳？。
2012年考研数一真题及答案解析(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)理
12重庆(理)1.(2012重庆,理1)在等差数列{a n }中,a 2=1,a 4=5,则{a n }的前5项和S 5=( ). A.7B.15C.20D.25B 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 2=a 1+d =1,a 4=a 1+3d =5,解得a 1=-1,d =2,所以S n =n 2-2n ,S 5=15,故选B. 2.(2012重庆,理2)不等式121x x -+≤0的解集为( ).A.1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪[1,+∞) D.1,-2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[1,+∞) A 不等式可化为(1)(21)0,210,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解不等式组得-12<x ≤1,故选A. 3.(2012重庆,理3)对任意的实数k ,直线y =kx +1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( ). A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心C 直线y =kx +1过定点(0,1),而02+12<2,所以点(0,1)在圆x 2+y 2=2内部,直线y =kx +1与圆x 2+y 2=2相交且直线不经过圆心,故选C.4.(2012重庆,理4)8的展开式中常数项为( ).A.3516B.358C.354D.105B 二项式8的通项为T r +1=8C r8-r -r =2-r 8228C rr x -,令822r -=0得r =4,所以二项展开式的常数项为T 5=2-448C =358,故选B.5.(2012重庆,理5)设tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的两根,则tan(α+β)的值为( ). A.-3B.-1C.1D.3A 因为tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的两根,所以tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,而tan(α+β)=tan tan 1tan ?tan αβαβ+-=312-=-3,故选A. 6.(2012重庆,理6)设x ,y ∈R,向量a =(x ,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |=( ).A B C D .10B 由a ⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2.由b ∥c 得12=y 4,解得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b ,故选B .7.(2012重庆,理7)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( ). A .既不充分也不必要的条件 B .充分而不必要的条件 C .必要而不充分的条件 D .充要条件D 若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D .8.(2012重庆,理8)设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f '(x ),且函数y =(1-x )f '(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ).A .函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B .函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C .函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D .函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D 由图可得函数y=(1-x)f'(x)的零点为-2,1,2,则当x<1时,1-x>0,此时在(-∞,-2)上f(x)>0,f'(x)>0,在(-2,1)上f(x)<0,f'(x)<0;当x>1时,1-x<0,此时在(1,2)上f(x)>0,f'(x)<0,在(2,+∞)上f(x)<0,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,-2)为增函数,在(-2,2)为减函数,在(2,+∞)为增函数,因此f(x)有极大值f(-2),极小值f(2),故选D .9.(2012重庆,理9)设四面体的六条棱的长分别为a,且长为a ,则a 的取值范围是( ).A BC DA 四面体如图1所示,设则a>0.当A,B,C,D 四点共面时(如图2所示).而此时A,B,C,D 四点不能构成四面体,所以故选A .图1图210.(2012重庆,理10)设平面点集A=1(x,y)(y x)y 0x ⎧⎫⎛⎫--≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( ). A .34πB .35πC .47πD .2πD 不等式(y-x)1y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0可化为y x 0,1y 0x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩或y x 0,1y 0.x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩集合B 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,A ∩B 所表示的平面区域如图所示.由线y=1x,圆(x-1)2+(y-1)2=1均关于直线y=x 对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选D .11.(2012重庆,理11)若(1+i )(2+i )=a+b i ,其中a,b ∈R ,i 为虚数单位,则a+b= . 4 (1+i )(2+i )=1+3i =a+b i ,所以a=1,b=3,a+b=4. 12.(2012重庆,理12)n = .25n=n lim →∞=n →∞115+=25. 13.(2012重庆,理13)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=513,b=3,则c= .145 由已知条件可得sin A=45,sin B=1213,而sin C=sin (A+B)=sin A cos B+cos A sin B=5665,根据正弦定理bBsin =c Csin 得c =145.14.(2012重庆,理14)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若|AB|=2512,|AF|<|BF|,则|AF|= .56 F 点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,设A,B 两点的横坐标为x 1,x 2.因|AF|<|BF|,故直线AB 不垂直于x 轴.设直线AB 为y=k 1x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,联立直线与抛物线的方程得k 2x 2-(k 2+2)x+2k 4=0 ①,则x 1+x 2=22k 2k +,又|AB|=x 1+x 2+1=2512,可解得k 2=24,代入①式得12x 2-13x+3=0,即(3x-1)(4x-3)=0.而|AF|<|BF|,所以x 1=13,由抛物线的定义得|AF|=x 1+12=56. 15.(2012重庆,理15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答).35基本事件总数为66A =720,事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类,第一类:三节艺术课各不相邻有3334A A =144;第二类:有两节艺术课相邻有3221133223A C A C C =216;第三类:三节艺术课相邻有133233C A A =72.由古典概型概率公式得概率为14421672720++=35. 16.(2012重庆,理16)设f(x)=a ln x+12x+32x+1,其中a ∈R ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a 的值; (2)求函数f(x)的极值.解:(1)因f(x)=a ln x+12x+32x+1,故f'(x)=a x -212x +32.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-ln x+12x+32x+1(x>0),f'(x)=-1x -212x +32=223x 2x 12x --=2(3x 1)(x 1)2x +-. 令f'(x)=0,解得x 1=1,x 2=-211x ,33⎛⎫=- ⎪⎝⎭因不在定义域内舍去.当x ∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数; 当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.17.(2012重庆,理17)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望.解:设A k ,B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则P(A k )=13,P(B k )=12(k=1,2,3).(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(A 1)+P(11A B A 2)+P(1122A B A B A 3)=P(A 1)+P(1A )P(1B )P(A 2)+P(1A )P(1B )P(2A )P(2B )P(A 3)=13+23×12×13+223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭×13=13+19+127=1327. (2)ξ的所有可能值为1,2,3. 由独立性知P(ξ=1)=P(A 1)+P(1A B 1)=13+23×12=23,P(ξ=2)=P(11A B A 2)+P(112A B A B 2)=23×12×13+223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭=29,P(ξ=3)=P(1122A B ?A ?B )=223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭=19.综上知,ξ有分布列从而,E ξ=1×23+2×29+3×19=139(次).18.(2012重庆,理18)设f(x)=4cos ωx 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin ωx-cos (2ωx+π),其中ω>0.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)若f(x)在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求ω的最大值.解:(1)f(x)=41ωx ωx 2sin ⎫+⎪⎪⎝⎭sinωx+cos 2ωx ωx cos ωx+2sin 2ωx+cos 2ωx-sin 2ωx2ωx+1.因-1≤sin 2ωx ≤1,所以函数y=f(x)的值域为(2)因y=sin x 在每个闭区间2k ,2k 22ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )上为增函数,故 2ωx+1(ω>0)在每个闭区间k k ,ω4ωω4ωππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )上为增函数.依题意知3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⊆k k ,ω4ωω4ωππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k ∈Z 成立,此时必有k=0,于是3,24ω.24ωππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 解得ω≤16,故ω的最大值为16.19.(2012重庆,理19)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=4,AC=BC=3,D 为AB 的中点. (1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离;(2)若AB 1⊥A 1C,求二面角A 1-CD-C 1的平面角的余弦值.解:(1)由AC=BC,D 为AB 的中点,得CD ⊥AB.又CD ⊥AA 1.故CD ⊥面A 1ABB 1,所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为(2)解法一:如图,取D 1为A 1B 1的中点,连接DD 1,则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1,故CD ⊥A 1D,CD ⊥DD 1,所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1-CD-C 1的平面角.因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影,又已知AB 1⊥A 1C,由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D,从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余,因此∠A 1AB 1=∠A 1DA,所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A.因此1AA AD=111A B AA ,即A 21A =AD·A 1B 1=8,得AA 1从而A 1所以,在Rt △A 1DD 1中,AB 1⊥A 1D ,从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余,因此∠A 1AB 1=∠A 1DA,所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A.因此1AA AD=111A B AA ,即A 21A =AD·A 1B 1=8,得AA 1从而A 1所以,在Rt △A 1DD 1中, cos ∠A 1DD 1=11DD A D=11AA A D.解法二:如图,过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD 1两两垂直.以D 为原点,射线DB,DC,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A 1(-2,0,h),B 11从而1AB =(4,0,h),1A C=(2,由11AB A C ⊥,有8-h 2=0,h=2故1DA1CCDC设平面A 1CD 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ⊥DC ,m ⊥1DA ,即1110,2x 0.⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z 1=1,得m设平面C 1CD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ⊥DC ,n ⊥1C C ,即220,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取x 2=1,得n=(1,0,0),所以cos <m,n>=m?n |m||n |所以二面角A 1-CD-C 120.(2012重庆,理20)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.解:(1)如图所示,设所求椭圆的标准方程为22x a+22y b=1(a>b>0),右焦点为F 2(c,0).因△AB 1B 2是直角三角形,又|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,因此|OA|=|OB 2|,得b=c 2,结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,所以离心率e=c a在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故12AB B S =12·|B 1B 2|·|OA|=|OB 2|·|OA|=c 2·b=b 2.由题设条件12AB B S=4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20,因此所求椭圆的标准方程为2x 20+2y 4=1.(2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my-16=0,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=24m m 5+,y 1·y 2=-216m 5+,又2B P =(x 1-2,y 1),2B Q =(x 2-2,y 2),所以2B P ·2B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m(y 1+y 2)+16=-2216(m 1)m 5++=2216m m 5++16=-2216m 64m 5-+.由PB 2⊥QB 2,得2B P ·2B Q =0,即16m 2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. 21.(2012重庆,理21)设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a 2S n +a 1,其中a 2≠0, (1)求证:{a n }是首项为1的等比数列;(2)若a 2>-1,求证:S n ≤n 2(a 1+a n ),并给出等号成立的充要条件.(1)证法一:由S 2=a 2S 1+a 1得a 1+a 2=a 2a 1+a 1,即a 2=a 2a 1,因a 2≠0,故a 1=1,得21a a =a 2,又由题设条件知S n+2=a 2S n+1+a 1,S n+1=a 2S n +a 1, 两式相减得S n+2-S n+1=a 2(S n+1-S n ),即a n+2=a 2a n+1, 由a 2≠0,知a n+1≠0,因此n 2n 1a a ++=a 2,综上,n 1na a +=a 2对所有n ∈N *成立.从而{a n }是首项为1,公比为a 2的等比数列.证法二:用数学归纳法证明a n =n 12a -,n ∈N *. 当n=1时,由S 2=a 2S 1+a 1,得a 1+a 2=a 2a 1+a 1,即a 2=a 2a 1,再由a 2≠0,得a 1=1, 所以结论成立.假设n=k 时,结论成立,即a k =k 12a -,那么a k+1=S k+1-S k =(a 2S k +a 1)-(a 2S k-1+a 1)=a 2(S k -S k-1)=a 2a k =k 2a . 这就是说,当n=k+1时,结论也成立.综上可得,对任意n ∈N *,a n =n 12a -.因此{a n }是首项为1,公比为a 2的等比数列. (2)证法一:当n =1或2时,显然S n =n 2(a 1+a n ),等号成立.设n ≥3,a 2>-1且a 2≠0.由(1)知a 1=1,a n =n 12a -,所以要证的不等式化为1+a 2+22a +…+n 12n a 2-≤(1+n 12a -)(n ≥3), 即证:1+a 2+22a +…+n 2n 1a 2+≤(1+n 2a )(n ≥2). 当a 2=1时,上面不等式的等号成立.当-1<a 2<1时,r 2a -1与n r 2a +-1(r=1,2,…,n-1)同为负; 当a 2>1时,r 2a -1与n r 2a +-1(r=1,2,…,n-1)同为正. 因此当a 2>-1且a 2≠1时,总有(r 2a -1)(n r 2a +-1)>0,即r 2a +n r 2a -<1+n 2a (r=1,2,…,n-1). 上面不等式对r 从1到n-1求和得2(a 2+22a +…+n 12a -)<(n-1)(1+n 2a ), 由此得1+a 2+22a +…+n 2a <n 12+(1+n 2a ). 综上,当a 2>-1且a 2≠0时,有S n ≤n 2(a 1+a n ),当且仅当n=1,2或a 2=1时等号成立.证法二:当n=1或2时,显然S n =n 2(a 1+a n ),等号成立.当a 2=1时,S n =n=n 2(a 1+a n ),等号也成立.当a 2≠1时,由(1)知S n =n221a 1a --,a n =n 12a -.下证:n 221a 1a --<n 2(1+n 12a -)(n ≥3,a 2>-1且a 2≠1). 当-1<a 2<1时,上面不等式化为(n-2)n 2a +na 2-n n 12a -<n-2(n ≥3).令f(a 2)=(n-2)n 2a +na 2-n n 12a -. 当-1<a 2<0时,1-n 22a ->0,故f(a 2)=(n-2)n 2a +na 2(1-n 22a -)<(n-2)|a 2|n <n-2, 即所要证的不等式成立.当0<a 2<1时,对a 2求导得f'(a 2)=n[(n-2)n 12a --(n-1)n 22a -+1]=ng(a 2). 其中g(a 2)=(n-2)n 12a --(n-1)n 22a -+1,则g'(a 2)=(n-2)(n-1)(a 2-1)n 32a -<0,即g(a 2)是(0,1)上的减函数,故g(a 2)>g(1)=0,从而f'(a 2)=ng(a 2)>0,进而f(a 2)是(0,1)上的增函数,因此f(a 2)<f(1)=n-2,所要证的不等式成立.当a 2>1时,令b=21a ,则0<b<1,由已证的结论知n2211a 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<n 12n 112a -⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 两边同乘以n 12a -得所要证的不等式. 综上,当a 2>-1且a 2≠0时,有S n ≤n 2(a 1+a n ),当且仅当n=1,2或a 2=1时等号成立.。
高数重修试题答案2-1A09-10第一学期
重庆大学高等数学Ⅱ-1（重修）课程试卷2009 ~2010 学年 第一 学期开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2009年12月考试方式：考试时间：120 分一、 填空题（3分/每小题，共15分）⒈1lim(1)x x x →+ e 。
2．设(0)0(1)8f f ='=，则 1()(1)lim1x f f x x →-=- 8 。
3 当a = 1 时，()00xf x e x a x x ⎧⎨⎩=<+≥在点0x =处连续。
41011211dx x x -=+⎰ 0 。
5． arc n ta y x =的单调增加区间是 R 。
二、 计算题（7分/每小题，共14分）⒈求极限3tan lim x x x x →- 解：30tan lim x x x x →-=222200sec 1tan 1limlim 333x x x x x x →→-== 2．求极限 23l n (1)li m xx td tx→+⎰解：运用罗比塔法则：23ln(1)lim xx t dtx →+⎰220ln(1)1lim 33x x x →+==三、计算题（7分/每小题，共28分）1．．已知()f x=ln(x ⎡⎤⎣⎦'，求积分()xf x dx '⎰解：因为()ln(f x dx x =+⎰C +所以 ()f x == 则积分()xf x dx '⎰[()]()()xd f x xf x f x dx ==-⎰⎰ln(x C =-+命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封密2．由方程 10x y e xy ++-= 确定了隐函数 ()y y x =， 求(0)y ''以方程两边对x 求导得：()0x y x y x yx ye x e y y y e y x e ++++'+++=--'=+当0x =时，(0)0y =，所以 (0)1y '=- 再将以上方程对x 求导有：(1)(1(1))()0x y x y x y e y y e y x e y y +++''''''+++++++=整理得：22(1)x y x yy e y y x e ++''++''=+所以 (0)2y ''=-3．设{2ln(1)arctan x t y t t=+=- 求dy dx22222111122211t t t y dy t t t t t dx x t t -'++===='++ 4求.22cos2cos sin xdx x x⎰222222cos sin 11()cos sin sin cos (cot tan )x x dx x x x x x x C-==-=-++⎰⎰解:原式四、计算题（7分/每小题，共14分）1．计算定积分2π-⎰2-⎰43xdx ==⎰2．求函数 11x y e-=的间断点，并判断其类型。
重庆大学高等数学习题1-1
习题1-1 A 组1.确定下列函数的定义域和值域 （1）y =（2）y =（3）1cos y x π=（4）ln(sin )y xπ=解析：本题考查函数定义域和值域的概念，定义域指的是自变量的取值范围，值域指的是函数的取值范围，一般定义域和值域可以用区间或描述法来表示，根据此可以求解 解：（1）因为303x x ->⇒>，则函数的定义域为(3,)+∞，值域为(0,)+∞ （2）因为232021x x x x -+≥⇒≥≤或，则函数的定义域为(,1][2,)-∞+∞U 值域为[0,)+∞（3）因为1cos 02x x n π≠⇒≠+（n 为整数），则函数的定义域为12{,}2nx x n z +≠∈ 值域为(,1][1,)-∞-+∞U（4）因为11sin02(21)1212n n x x xxxn nππππππ>⇒<<<+⇒><<+或或（n 是不为0 的整数） 则函数的定义域为11{,{0}}(1,)212xx n Z n n<<∈-+∞+U ，值域为(,1]-∞ 2.设函数()f x 的定义域为[2,3]，求复合函数f 的定义域解析：考查复合函数定义域的求解，本题中可以令u 则本题就是求函数()f u 的定义域，也就是求函数u解：由已知可得[2,3]x ∈，则u =则复合函数f的定义域为3.设函数21,0()2,0x x x f x x ⎧+-∞<≤⎪=⎨<<+∞⎪⎩求(2)f -，(0)f ，(2)f解析：考查分段函数的函数值，注意找对变量所在的区间 解：2(2)1(2)5f -=+-=，2(0)101f =+=，2(2)24f ==4.求函数2,1(),142,4x x x f x x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩的反函数及其定义域解析：考查反函数的概念和性质，对于任意一个函数来说，其定义域就是反函数的值域，其值域就是反函数的定义域解：由已知可得，当1x -∞<<时，函数()f x 的值域为(,1)-∞当14x ≤<时，函数()f x 的值域为[1,16]；当4x <<+∞时，函数()f x 的值域为[16,]+∞则函数的反函数为12,1()11616log ,y y x f y x x y --∞<<⎧==≤≤<<+∞⎩ 5.判断下列函数的奇偶性（1）235sin y x x =- （2）2233(1)(1)y x x =-++解析：考查函数奇偶性的概念，对于有对称定义域的函数，若()()f x f x -=，则称该函数为偶函数；若()()f x f x -=-，则称该函数为奇函数解：（1）因为2()35sin y x x x -=+，不满足奇、偶函数的定义，则为非奇非偶函数 （2）因为2233()(1)(1)()y x x x y x -=++-=，则原函数为偶函数 6.判断下列函数是由哪些基本函数复合而成： （1）y =2）3ln cos y x =解析：考查复合函数的概念，最常见的五种基本函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数，上述函数就是由基本函数复合而成解：（1）该函数是由反三角函数arctan y v =，指数函数12v u =和幂函数21u x =+组成 （2）该函数是由对数函数ln y v =，三角函数cos v u =和指数函数3u x =组成 7.指出下列函数是否为周期函数；若是，求其小正周期 （1）5sin 6y x = （2）2cos y x =解析：考查周期函数的概念，已知最简单的三角函数的周期，例如sin x ，cos x 的最小正周期为2π，根据函数定义域的概念，可以求上诉函数的最小正周期 解：（1）因为sin x 为周期函数，自然本函数为周期，623x x ππ=⇒=则函数的最小正周期为3π（2）同理，本函数也为周期函数，因为21cos 2cos 2xy x +==22x x ππ=⇒=，则函数的最小正周期为π8.设函数,1(),1x e x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，22,0()1,1x x x x x ϕ+<⎧=⎨-≥⎩，求复合函数(())f x ϕ解析：考查复合函数的概念和性质，首先应确定函数()x ϕ的值域在函数()f x 哪个定义域内，然后求出复合函数(())f x ϕ的对应关系解：对于函数()x ϕ来说，当1x <-时，值域为(,1)-∞，此时2(())x f x e ϕ+=；当10x -≤<时，值域为(1,2)，(())2f x x ϕ=+；当1x ≤<(0,1)，21(())xf x e ϕ-=；x ≤时，值域为[1,)+∞，2(())1f x x ϕ=-综上可知2212,12,10(()),11,x x e x x x f x e x x x ϕ+-⎧<-⎪+-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩B 组1.确定下列函数的定义域和值域 （1）2arccos1x y x =+ （2）211y x=-（3）y =（4）y =解析：考查定义域和值域的求解，函数的定义域一般利用函数的一些限制条件，例如：分母不为0、根号下大于等于0；根据定义域就可以求出函数值的取值情况 解：（1）因为2111113x x x -≤≤⇒-≤≤+，则函数的定义域为1[,1]3-，值域为(,)-∞+∞ （2）因为2102012x x x x -≠+≥⇒≠±≥-且且，则函数的定义域为[2,1)(1,1)(1,)---+∞U U ，因为函数211x -的值域为(,)-∞+∞，则原函数的值域也为(,)-∞+∞（3）sin 02(21)x n x n ππ≥⇒≤≤+（n 为整数），则函数的定义域为{2(21),}x n x n n Z ππ≤≤+∈，值域为[0,1]（4）254015x x x +-≥⇒-≤≤，则函数的定义域为[1,5]-， 又因为极大值(2)3f =，(1)(5)0f f -==，则值域为[0,3] 2.设(1)cos f x x x +=+，求(8)f 与()f x解析：考查复合函数的概念，本题可以利用换元法或者配方法求解 解：换元法：令1x t +=，则1x t =-，(1)()1cos(1)f x f t t t +==-+-，也即()cos(1)1f x x x =+-- (8)7cos7f =+配方法：(8)(71)7cos7f f =+=+因为(+1)=11cos(11)f x x x +-++-，则()cos(1)1f x x x =+-- 注：熟悉后就可以直接利用配方法求解了 3.设函数()ln(2)f x x =-，求()f x 与(ln )f x 的定义域 解析：考查复合函数定义域的求解，本题可以先求出()f x 的定义域，然后求解函数(ln )f x 的定义域时，即已知lnx 的值域，求其定义域解：因为30x ->且20x ->，则函数()f x 的定义域为(2,3) 即函数lnx 的值域为(2,3)，也即 2ln 3x <<，解得23e x e << 则函数(ln )f x 的定义域为23(,)e e4.讨论函数3()f x x =在(,)-∞+∞内的单调性 解析：本题考查函数单调性的定义解：对于函数3()f x x =来说，12,(,)x x ∀∈-∞+∞，当12x x <时12()()f x f x <则函数3()f x x =在(,)-∞+∞内是单调递增的 5.判断下列函数的奇偶性（1）cos(sin )y x = （2）1cosy x x=⋅ （3）11x x a y x a -=+其中0a >解析：考查奇偶性的定义，对于奇偶性的概念这里就不再赘述，本题都可以直接利用其概念求解解：（1）已知所求函数定义域为(,)-∞+∞且()cos[sin()]cos(sin )cos(sin )y x x x x -=-=-=，即()()y x y x -= 则原函数为偶函数（2）已知所求函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞U且11()cos cos y x x x x x--=-⋅=-，即()()y x y x -=- 则原函数为奇函数（3）已知所求函数定义域为(,)-∞+∞且111()111x x x x x x a a a y x x x x a a a ------=-=-=+++，即()()y x y x -=则原函数为偶函数6.证明定义于(,)-∞+∞内的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和解析：考查奇偶性的应用，本题比较抽象，但可以通过假设一个函数 ()f x ，其满足()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+证明：设函数()()()2f x f x g x +-=，()()()2f x f x h x --=因为()()()()2f x f x g x g x -+-==，()()()()()()22f x f x f x f x h x h x -----==-=-则函数()g x 为偶函数，()h x 为奇函数即证结论7.判断下列函数是否为周期函数；若是，求其最小正周期（1）sin cos y x x =+ （2）y =解析：考查周期函数的概念，利用已知函数的周期来确定，例如函数sin x 、cos x 的周期都为2π，即满足sin sin(2)x x π=+，cos cos(2)x x π=+，根据此思路可以求解本题 解：（1）经过上述分析可知，对于函数sin cos y x x =+，满足()(2)y x y x π=+ 则为周期函数，其最小周期为2π（2）函数y =y =()tan 2u x x =组成的因为tan x 的周期为π，则函数()tan 2u x x =的周期为2π则()()2u x u x π=+，即()()2y x y x π=+ 则为周期函数，其最小周期为2π。
2012年9月份考试高等数学(II-2)第一次作业.docx
2012年9月份考试高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（本大题共90分，共 30 小题，每小题 3 分）1. 下列阶数最高的微分方程是（）。
A. B.C. D.2. 在空间直角坐标系中，点 A(1,-2,3) 在：（）A. 第五卦限B. 第八卦限C. 第三卦限D. 第四卦限3. 下列方程表示抛物面的是（）A. x2+y2+z2=1B. x+y+z=1C. x+y2+z2=0D. x2-y2+z2=04. 方程x=2在空间表示( )A. yoz坐标面。
B. 一个点。
C. 一条直线。
D. 与yoz面平行的平面。
5. 微分方程x(y')2-2yy'+x=0是（）的。
A. 2阶B. 3阶C. 不能确定D. 1阶6. 下列二重积分的性质不正确的是（）A.B.C.D.7. 已知点 M(1,-4,8) ，则向量的方向余弦为（）A.B.C.D.8. 设,若则（）A. x=0.5 y=6B. x=-0.5 y=-6C. x=1 y=-7D. x=-1 y=-39. 点（ 4 ， -3 ， 5 ）到 oy 轴的距离为 ()A.B.C.D.10. 若limn→∞u n=0，则级数u n∞n=1（）A. 一定发散B. 一定条件收敛C. 可收敛也可发散D. 一定绝对收敛11. 收敛级数加括号后所成的级数（）A. 收敛但级数和改变B. 发散C. 收敛且级数和不变D. 敛散性不确定12. 级数的敛散性为( )A. 收敛B. 不能确定C. 可敛可散D. 可敛可散=5，则C=（）13. 函数x2-y2=C初始条件y|x=0A. 0B. 25C. 1D. -2514. 微分方程y'+y=0的通解是（）A. y=3sin x-4cos xB. y=Ce-x（C是任意常数）C. y= Ce x（C是任意常数）D. y=3sin x-4cos x+515. 设 u=a-b+2c,v=-a+3b-c . 则用 a,b,c 表示 2u-3v 为：（）A. 5a +11b+7cB. 5a -1b+7cC. 5a -1b-7cD. 5a -1b+7c16. 设a为常数，则级数 ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性与a的值有关17. 点 A(1,-1,0) 的位置特征是（）A. A 位于 yOz 平面B. A位于xOy平面C. A位于z轴D. A位于x轴18. 微分方程的通解为（）。
《数值计算试卷》重庆大学_2012-2013版本
重庆大学《数值计算》课程试卷2012 ~2013 学年 第1学期开课学院：数统学院 课程号：考试日期：考试方式：考试时间120 分钟一、 填空题（3分/每空，共24分）1、精确值461972.2*=x ，近似值462041.2=x ，则x 有 位有效数字。
2、Simpson 公司的代数精度为 。
3、若)(x f 在),(b a 上有连续的二阶导数，则梯形求积公式的截断误差为4、已知矩阵 A=250276428⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 A ∞= 。
5.)1(>>x 改变为 使得到的结果更有效。
6、解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法，在单实根附近具有 阶收敛。
7、若线性方程组b Ax =的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代法____ _8、迭代过程 （k=1,2,…）收敛的充要条件是。
二、（18分）对方程组1231231234232622252x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩用Gauss-Seidel 迭代法求解是否收敛？取初值()1,1,1T ，并求出用Gauss-Seidel 迭代3次后的值(3)x 。
三.（16分）用经典的四阶R-K 方法求初值问题'2(0)1y x y y ⎧=+⎨=⎩的解在x ＝0.2处的值，取步长h ＝0.1 四.(16分) 已知：5====，（1） 构造差商表；（2的近似值五.（12分）用逐次分半的复化梯形法公式计算积分⎰+=10211dx x I 要求精确至3位有效数。
六．试对矩阵A 进行Doolittle 分解 (14分)623251139A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
2012年高等数学综合自测题参考答案
2012年重庆市普通高校专升本统一选拔考试基础阶段《高等数学》综合自测题参考答案一．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）1．极限301sin sin 22lim x x xx →-= ． 解：23300021sin sin 22sin ()sin (1cos )sin 122lim lim lim[24()2x x x x x x x x x x x x x →→→--==⋅=⋅． 2．函数sin 21xe y +=在点(0,)2π处的切线方程是 ．解：两边同时对x 求导，得2cos 20xe y y '+=，解得2cos 2xe y y'=-，所以切线斜率为02212cos 22xx x y y e k y yππ===='==-=，从而切线方程为1(0)22y x π-=-，即20x y π-+=． 3．一阶线性微分方程sin sin y y x x '+=的通解是 ． 解：因为()sin P x x =，()sin Q x x =，所以sin sin (sin )xdx xdxy e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰cos cos (sin )x x e x e dx C -=⋅+⎰cos cos ((cos ))x x e e d x C -=-+⎰cos cos ()x x e e C -=⋅+cos 1x Ce =+．4．设函数,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =处连续，则a = ．解：因为()f x 在点0x =处连续，可知()f x 在点0x =处左连续，又0lim ()lim 1xx x f x e --→→==，(0)f a =，所以1a =．5．已知2341231413424321=D ，则11213141A A A A +++= ．解：因为1234243141321432D =213141r r r r r r +++=10234104311013210432123414311011321432=11121314110(1111)A A A A =⋅+⋅+⋅+⋅按第列展开1121314110()A A A A =+++0=，（行列式中有两列成比列，行列式的值为零），所以112131410A A A A +++=． 二．选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）6．设函数)(x f 可微，则)1(xe f y --=的微分dy =（ D ）．A ．dx e f e x x)1()1('---+ B ．dx e f e x x )1()1('----C ．dx e f ex x)1('---- D ．dx e f e x x )1('---解：因为[(1)][(1)](1)(1)xxxxx y f e f e e e f e -----'''''=-=--=-，所以(1)x x dy e f e dx --'=-．7．设n u =，32n n v n =，则（ A ）．A ．1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散 B ．1nn u∞=∑发散，1nn v∞=∑收敛C ．1nn u∞=∑，1nn v∞=∑均发散 D ．1nn u∞=∑，1nn v∞=∑均收敛解：因为851n u n=≤=，又8151n n∞=∑为p-级数且815>，是收敛的，所以由比较审敛法，可知1n n u ∞=∑收敛．因为133132(1)lim lim lim 2()2121n n n n n n nv n n v n n++→∞→∞→∞+==⋅=>+，所以由比值审敛法，可知1nn v ∞=∑发散．8．设函数1)1sin()(2--=x x x f ，则（ B ）．A ．1-=x 为可去间断点，1=x 为无穷间断点B ．1-=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点C ．1-=x 和1=x 均为可去间断点D ．1-=x 和1=x 均为无穷间断点解：由题可知，1,1x x =-=为间断点．因为2111sin(1)1sin(1)lim ()limlim 11(1)x x x x x f x x x x →-→-→---==⋅=∞-+-，所以1-=x 为()f x 的无穷间断点． 因为2111sin(1)1sin(1)1lim ()limlim 11(1)2x x x x x f x x x x →→→---==⋅=-+-，且()f x 在1=x 处无定义，所以1=x 为()f x 的可去间断点．9．22sin xdx ππ-=⎰（ D ）． A ．0 B ．π C ．2πD ．2 解：令()sin f x x =，则()f x 在[,]22ππ-上为偶函数，所以2202sin 2sin xdx xdx πππ-=⎰⎰202(cos )2x π=-=．10．设A ，B 均为n 阶方阵，则下列各式中成立的是（ B ）．A ．AB A B +=+ B ．AB BA =C ．()TTTAB A B = D ．AB BA =解：因为A B A B +≠+，()TTTAB B A =，AB BA ≠，AB A B B A BA ===，所以选B ． 三、计算、应用与证明题（本大题共10小题，每小题8分，满分80分。
2012 重庆 理
2012 重庆 理一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。
在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 则}{n a 的前5项和5S =A 、7B 、15C 、20D 、25 【B 】【解析】利用等差数列的性质求解. {}n a 是等差数列，∴243215a a a +==+，33a ∴=，()1535552531522a a a S +⨯∴===⨯=.2.不等式0121≤+-x x 的解集为A .⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C .[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121.D .[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 【A 】【解析】利用分式不等式与一元一次不等方程组间的转化关系求解.1021x x -≤+等价于不等式组10210x x -≤⎧⎨+>⎩○1或10210x x -≥⎧⎨+<⎩○2，解○1得112x -<≤，解○2得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21. 3.对任意的实数k ，直线y kx 1=+与圆 的位置关系一定是A 、相离B .相切C .相交但直线不过圆心D .相交且直线过圆心【C 】【解析】利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解.∴222x y +=的圆心()0,0到直线y kx b =+的距离为1d ==≤，又r =∴0d r <<.∴直线与圆相交但直线不过圆心. 4.321⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A .1635B .835C .435 D .105【B 】【解析】利用二项展开式的通项求解.8442218881122rr rrr r r r r r rT CC x C x ----+===，令40r -=，则4r =，∴常数项为458413528T C ==.5.设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为 A 、3- B 、1- C 、1 D 、3【A 】【解析】利用两角和的正切公式求解. tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，tan tan 3αβ∴+=，tan tan 2αβ=，∴()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ++==--.6.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c ⊥//b c ，则a b += ABC、D 、10【B 】【解析】利用平面向量共线和垂直的条件求解.(),1a x = ，()1,b y =，()2,4c =-，由a c⊥得0a c ⋅=，即240x -=，2x ∴=.由//b c ，得()1420y ⨯--=，2y ∴=-.()2,1a ∴=，()1,2b =-.()3,1a b ∴+=-，a b ∴+==7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[01]，上的增函数”是“()f x 为[34]，上的减函数”的A 、既不充分也不必要的条件B 、充分而不必要的条件C 、必要而不充分的条件D 、充要条件【D 】【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[01]，双抗的增函数可知在[]1,0-减函数，又2为周期，所以[34]，上的减函数8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数,(1)()y x f x =-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A 、函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB 、函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC 、函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D 、函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f【D 】【解析】利用极值的存在条件判定.由2x <-时，()'1()0y x f x =->，得()'0fx >；当21x -<<时，()()'10y x f x =-> ，得()'fx <；当12x <<时，()()'10y x fx =->，得()'0fx <；当2x >时，()()'10y x fx =-<，得()'0f x >；∴()fx 在(),2-∞-上是增函数，在()2,1--上是减函数，在()1,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数，∴函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f .9.设四面体的六条棱的长分别为1111，，，a ，且长为a a 的取值范围是A 、B 、C 、D 、(1,【A 】【解析】利用三角形存在的条件求解.根据已知条件画出图形，如图所示.AB =，C D a =，设点E 为A B 的中点，则E D A B ⊥，E C A B ⊥，则2ED ==，同理2EC =.由构成三角形的条件知0a ED EC <<+=∴0a <<10.设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B所表示的平面图形的面积为A 、34π B 、35π C 、47π D 、2π【D 】 【解析】借助图形，数形结合求解.由题意知A B 所表示的平面图形中的阴影部分，曲线1y x=与直线y x =将圆()()22111x y -+-=分成C ，D ，E ，F 四部分.圆()()22111x y -+-=与1y x=的图像都关于直线y x =对称，从而C F S S =，D E S S =，而C D E F S S S S π+++=，=2C E S S S π∴+=阴影.二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上11.若()()1+i 2+i a bi =+，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ；【4】【解析】利用复数相等的充分必要条件求解.()()1213a bi i i i +=++=+ ，1,3a b ∴==，4a b ∴+=. 12.0lim →∞=【52】【解析】利用分母有理化同解变形求极限.222limlimlim555n n n nnn n→∞→∞→∞===+-.13.设A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【145】【解析】利用同角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解.在A B C ∆中，3c o s 05A => 4s i n 5A ∴=.∴5cos 013B => 12sin 13B ∴=()sin sinC A B π=-+⎡⎤⎣⎦()4531256sin sin cos cos sin 51351365A B A B A B =+=+=⨯+⨯=，由正弦定理知sin sin b c BC=，sin 14sin 5b Cc B∴==.14.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12A B A F B F =<则AF =【56】【解析】利用焦半径公式求解.由于22y x =的焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，设A B 所在直线方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x <，将12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入22y x =，得22122k x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2222204k k x k ∴-++=.1214x x ∴=.而121225112x x p x x ++=++= 121312x x ∴+=.∴113x =，234x =，11152326p A F x ∴=+=+=.15.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【53】【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有3334A A 种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆大学2012年9月份考试高等数学（II-1）第一次作业一、单项选择题（共30题、总分60分、得分60分）1. 若对于任意x，有，则此函数为( )(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：B解题方案：先求不定积分，然后利用条件f(1)=?1求的任意常数C选B2. 下列广义积分收敛的是（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：D解题方案：利用当p>1时∫1+∞1xpⅆx收敛，选D3. 若是上的连续偶函数，则=（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、0C、D、题目信息难度：2正确答案：C解题方案：奇函数在对称区间上的积分为0，偶函数积分为半区间的两倍。
选C 4. 函数的周期是( )。
(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：C解题方案：绝对值函数的周期减半5. 若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线所围图形的面积( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：A解题方案：利用定积分的几何含义解题选A6. 函数在区间（）有界(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：D解题方案：画图选D7. ，其中存在；其中A代表的是( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：D解题方案：利用导数的定义式解题选D8. 函数在处连续是在处处可导的( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、必要但非充分条件B、充分但非必要条件C、充分必要条件D、既非充分又非必要条件题目信息难度：2正确答案：A解题方案：连续不一定可导，可导一定连续选A9. 下列函数中，（）是奇函数(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：B解题方案：奇：f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0偶:f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0?选B10. 函数在点处取得极大值，则必有（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：2正确答案：D解题方案：函数在某点取得极值，则f′(x0)=0或不存在选D11. 若，则在x=0处（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、有极限B、极限不存在C、左右极限都存在D、不能确定题目信息难度：3正确答案：B解题方案：极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等该函数极限不存在12. 设函数在[a,b]上连续，则=( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、小于零B、等于零C、大于零D、不确定题目信息难度：3正确答案：B解题方案：13. 若，则k=( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、0B、-1C、1D、题目信息难度：3正确答案：C解题方案：计算不定积分，代入解方程选C14. 函数=( )在[-1，1]上满足罗尔定理的条件.(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：3正确答案：C解题方案：15. 下列等式中，（）是正确的(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：3正确答案：D解题方案：利用原函数和导数之间的关系选D16. 是（）的一个原函数(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：3正确答案：B解题方案：求原函数，使用不定积分选B17. 若时，1-cosx与是等价无穷小，则a=( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、1/2B、4C、1D、-1题目信息难度：3正确答案：A解题方案：等价无穷小之间的比值的极限为1故a＝1/218. 下列函数在指定区间上单调上升的有( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：3正确答案：C解题方案：19. 下列函数中，（）是偶函数(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
) A、B、C、D、题目信息难度：3正确答案：C解题方案：奇：f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0偶:f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0?选C20. ,则=（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、0B、(n-1)aC、(n-1)!D、n!题目信息难度：3正确答案：D解题方案：利用导数的基本性质解高阶导数选D21. 是的图形在点处有拐点的( )(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、充分条件B、充分必要条件C、必要条件D、以上说法都不对题目信息难度：4正确答案：C解题方案：拐点的判别定理选C22. 下列分部积分中，选择正确的是（）。
(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：4正确答案：A解题方案：利用分部积分选择策略解题选A23. 由曲线与直线x=1所围成图形的面积为（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：4正确答案：C解题方案：定积分的几何意义24. =( ).(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、0B、C、D、题目信息难度：4正确答案：C解题方案：25. 若函数在点处可导，则( )是错误的．(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：4正确答案：B解题方案：26. 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的是（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：4正确答案：B解题方案：两个条件:闭区间上连续，开区间上可导选B27. 设,则=( )(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、B、C、D、题目信息难度：4正确答案：D解题方案：正确满分，否则0分28. 曲线( )(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、有四个极值B、有两个极值C、有三个拐点D、对称原点题目信息难度：4正确答案：B解题方案：分别求一阶导数和二阶导数，然后根据这些信息解题选B29. 函数在[-2,2]上的最大值为（）(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、０B、１C、２D、-２题目信息难度：4正确答案：C解题方案：先求极值，再求端点的函数值，将极值和端点的函数值进行比较，大的为最大值，小的为最小值选C30. 函数在区间上满足罗尔定理的是( )。
(本题分数：2 分，本题得分：2 分。
)A、0B、C、D、题目信息难度：4正确答案：C解题方案：罗尔定理的三个条件：闭区间上连续，开区间上可导，两端点处取值相等选CTop二、判断题（共10题、总分40分、得分40分）1.(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：后者为0，前者为导函数在x0处的取值错2. 如果当时，为无界函数，则当时，必为无穷大。
(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：不一定3. 若，则。
(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：例如f(x)=x3就不对错4. 已知是函数的极值点，则.(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：可能时导数不存在的点错5. 若在处不连续，则必不存在。
(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：A解题方案：可导一定连续，因此，不连续则不可导对6. 函数f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]内存在极值的必要条件.( )(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：是充分条件错7.(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：复合函数的求导8. 若函数在处不连续，则在处必不可导。
(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：A解题方案：可导一定连续，因此，不连续则不可导对9. 若曲线在处存在切线，则必存在.(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：比如y=1?x2在x=1处存在切线，但导数不存在错10. 如果函数在点处可导，则||在点处必可导.(本题分数：4 分，本题得分：4 分。
)A、正确B、错误题目信息难度：1正确答案：B解题方案：f ( x ) = x 在0点可导，但绝对值就不可导错。