振动波动习题课

l
r1 )
r ( 2
r1 )
π = ± 2k 波程差
——干涉加强
若
r 2 r 1 ) ± (2k + 1π ( ) Δ Φ = 2π = l 波程差 r 2 r 1 = ±(2k + 1) l 2 A = A1 A2 ——干涉减弱
例1.已知一质点（m = 20 kg）的振动方程为 求：1.振幅、周期、频率和初相；2. t = 0.2 s 时质 点的位置、速度和质点所受合力；3. t = 0.1 s 时 质点的相位、振动动能、势能和总能量。

例1.已知一质点（m = 20 kg）的振动方程为
x 10cos(5 t 0.25 )(cm)
求：1.振幅、周期、频率和初相；2. t = 0.2 s 时质 点的位置、速度和质点所受合力；3. t = 0.1 s 时 质点的相位、振动动能、势能和总能量。
3 t = 0.1 s 时 5 0.1 4 4
动能、势能周期性变化 动能、势能周期性变化
动能、势能同时一样大 动能最大时，势能最小 、一样小。 反之也是。 动能、势能的相位是相 动能、势能的相位是反 向的。 同的。 机械能不守恒，能量是 机械能是守恒的。能量 传递的。 值是一个常量的。
七、 波的干涉
相干波源：若有两个波源，它们的振动 方向平行、频率相同、相位相同或相差恒定， 称这两波源为相干波源。 s1 * 波源振动方程: y S1= A 1cos ( ω t +j 1 )
应用
1.已知波动方程，求振幅、周期、频率、波 长以及波传播路径上各点的振动速度、相位、 运动方向等量。 2.已知波传播路径上某点的振动曲线（或振 动方程）以及波长（或波速），求波动方 程。
3. 已知某时刻的波形图和波速，求波动方程。
应用:求波动方程 1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。 解题思路： a.写出坐标原点的振动方程
s
r2
2
*
r1
y S2 = A 2 cos ( ω t + j2 )
. P
y1 y2
P点振动方程: y 1 = A1 cos ( ω t + j1 y 2 = A 2 cos ( ω t +j 2 P点的合振动方程: ω t +j ) yp = A cos (
A =
πr 1 ) 2
l 2 πr 2 ) l
x 1 = A 1cos (ω t + j 1) x 2 = A 2 cos (ω t + j 2 )
合成后仍为一谐振动：
x = x 1 + x 2 = A cos (ω t + j )
A A A 2 A1 A2 cos(j 2 j1 )
2 1 2 2
A1 sin j1 A2 sin j 2 j arctg A1 cos j1 A2 cos j 2
l
2
s1
* r1
P点的合振动方程: ω t +j ) yp = A cos (
A = A 1 + A 2 + 2 A 1 A 2 cosΔΦ
2 2
s
r2
*
Δ Φ =j 2 j 1
( r 2 r1 ) 2 π l
. P
y1 y2
j1 =j 2 则有： 若： r 2 ( Δ Φ = 2π
若
Δ Φ = 2π l r2 r1 =± k l A = A 1+ A 2
3、波函数的物理意义 y = A cos ω ( t 1）. x = x 1 (常数)
x ) j u +
y o
x 1 ω y = A cos ( t u )+j t
表示 x1 处质点 的振动方程
t = t 1 (常数) y = A cos ω ( t 1 2） . y o x
x )+j u
表示在 t 1 时刻的波形
o
2、写出波动方程： ω y A t cos ( = 正向传播 反向传播 波动方程的 其他形式：
x ) j u + x y = A cos ω ( t u ) + j t x y = A cos 2π ( T l ) + j x y = A cos 2π ( t l ) + j
y = A cos ω ( t kx + j )
1 2 1 2 2 2 E mv m A sin ( t j ) 动能： k 2 2 1 2 1 势能： E p kx m 2 A2 cos 2 ( t j ) 2 2
ω t +j ) A ω 2cos (
1 1 2 2 2 机械能： E Ek E p m A kA 2 2
0.25
0.50
t(s)
t 9T /12
例3.已知一质点作简谐振动的振动曲线如图 所示，试写出该质点的振动方程。 解： 由图知
A 10cm 2 j 3 5 / 3 5
x 10 cos(5 t )(cm) 4

加速度
x 10 cos(5 t ) 5 2(cm) 4 v 50 sin(5 t ) 25 2 (cm / s) 4
2

a 250 cos(5 t ) 125 2 2 (cm / s) 4 合力 F ma 25 2 2 ( N )
A j j 若 2 π 合振动加强 1 = 2k A2 A = A2+ A1 A1 A2 若 j 2 j 1 = (2k+1) π 合振动减弱 A1 A = A2 A1 A
一般情况：
j 2 j1 k
| A1 A2 | A | A1 A2 |
A2
A
s1
*
2
s
r2
*
r1
A 1 + A 2 + 2 A 1 A 2 cosΔΦ
2 2
Δ Φ =j 2 j 1
( r 2 r1 ) 2 π l
. P
y1 y2
tg j =
A 1 sin ( j1
A 1 cos (j1
2 πr1
2 πr1
l
)+ A 2 sin(j2
2 πr2
2 πr2
l
) )
l
)+ A 2 cos(j 2
单摆
d m l 2 m g sin dt
2

f
当 sin 时
结论
g 0 l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。
mg
角频率、振动的周期分别为：
g 0 l
2 l T 2 0 g
单摆
二、简谐振动的速度和加速度 ω t +j ) 简谐振动的位置 x = A cos ( ω t +j) 简谐振动的速度 v = Aω sin ( 简谐振动的加速度 a = 三、 简谐振动的能量
A1
五、波动 1.产生机械波的条件 2.机械波的分类
波源 和 媒质
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直
纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行
3.周期、频率、波长、波速之间的关系
l
u=
T
1 = T
u = l
频率和周期只决定于波源，和媒质无关。
六、波动方程
y x
u
x B ω t +j ) 1、写出波源的振动方程： y0= A cos (
A j j 若 2 π 合振动加强 1 = 2k A2 A = A2+ A1 A1 A2 若 j 2 j 1 = (2k+1) π 合振动减弱 A1 A = A2 A1 A
A A A 2 A1 A2 cos(j 2 j1 )
2 1 2 2
A1 sin j1 A2 sin j 2 j arctg A1 cos j1 A2 cos j 2
0 0
v j = arc tg ( ω x )
0
0
旋转矢量 A 的长度：振幅 A A 的旋转角速度： 角频率ω
ω
A
0 (ω t+ j ) x
M
P
A 的旋转的方向：
x
逆时针方向 旋转矢量 A 与参考方向 x 的夹角：相位
M 点在x 轴上投影点P 的运动规律： x = A cos (ω t + j )
3) t 与 x 都发生变化
y
O
.
y1 y x x´
.
ut
t
x ´= x + uΔ t
这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔ t的距离。
任意两点间的位相差： y u x2
o
x1
A
B
x
x 1 ω yA = A cos ( t u )+j x yB= A cos ω ( t u 2 ) + j x2 x1 2 j ( ) ( x2 x1 ) u u l
Ek
A
Ep
A
1 2 E kA 2
o
三、 简谐振动的能量
1 2 1 2 2 2 E mv m A sin ( t j ) 动能： k 2 2 1 2 1 势能： E p kx m 2 A2 cos 2 ( t j ) 2 2
1 1 2 2 2 机械能： E Ek E p m A kA 2 2
x 10 cos(5 t )(cm) 4

解：1.
A 10cm
2
j

4
2 0.4( rad / s ) T 5
1 2.5( Hz ) T
例1.已知一质点（m = 20 kg）的振动方程为 求：1.振幅、周期、频率和初相；2. t = 0.2 s 时质 点的位置、速度和质点所受合力；3. t = 0.1 s 时 质点的相位、振动动能、势能和总能量。 t = 0.2 s 时
一、简谐振动的振动方程 2 d x ω 2x =0 微分形式 dt 2 + 一般形式
弹簧振子 的角频率 振动的 周期
振动的 频率
x = A cos ( ω t+ j )
振幅 A 和 初相j 由 初始条件决定
k ω = m
T = 2π

m k

1 k =2 π m
2 v A= x + 2 ω 2
应用
1.已知振动方程，求振动周期、振动初相和 任 意时刻的位置、相位、振动速度、加速度等。
2.已知初始条件和振动频率（周期），求振动方程， 并作出振动曲线。 3.已知振动曲线，求振动方程。 4.证明某种物体作简谐振动，并根据初始条件写 出振动方程。
四、振动的合成——同方向同频率振动的合成 物体同时参与两分振动：
已知坐标原点O点的振动方程为：
y A cos t j
x 时间延迟法 t u y A x y A cos[ (t ) j ] j O x u
相位落后法 j
u
x
P
*
2
l 2 y A cos[t x j]
x
2 A l

l
x
l
波动方程
原点振动方程
应用:求波动方程 1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。 2. 已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。 3. 已知某时刻的波形曲线，求波动方程。
解题思路：
某时刻的波形曲线
t 0 时的波形曲线
原点的振动方程
波动方程
波动能量和振动能量的同异点 波动能量 振动能量
2
例2.一质点作简谐振动，振幅 A = 5 cm,初始 时刻质点处于平衡位置并向正方向运动，经 0.25 s 后，质点第一次回到平衡位置，试写 出质点的振动方程，并作出振动曲线。 解： 由图知，初相 j 2 4 t = 0.25 s 圆频率 t 0.25
振动方程
x b.用 (t ) 替换方程中的 t ——时间延迟法 u x y A cos[ (t ) j ] 2 u x ——相位落后法 或在相位项中
y A cos t j
l
y A cos[t
2
l
x j]
应用:求波动方程 1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。 2. 已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。 解题思路： 任意点振动曲线 任意点振动方程
x
x 5cos(4 t )(cm) 2

Hale Waihona Puke Baidu
t=0
x 5cos(4 t )(cm) 2
x x
t 3T /12 t 4T /12 t 2T /12 t T /12 t 5T /12
t 6T /12
t 7T /12

t=0
t 8T /12
t 11T /12 t 10T /12

1 1 3 2 2 2 2 2 Ek m A sin ( t ) m A (J ) 4 2 4 4 2 3 1 1 2 2 2 2 2 E p m A cos ( t ) m A (J ) 2 4 4 4 2 3 1 2 2 E m A (J ) 2 2