2009年高一数学基础知识讲义(2)——函数及其性质 (1)
高中一年级数学教案学习函数的基本概念与性质
高中一年级数学教案学习函数的基本概念与性质高中一年级数学教案学习函数的基本概念与性质引言：函数是数学中非常重要的一个概念，也是高中数学的基础知识之一。
通过学习函数，可以帮助学生培养良好的数学思维能力和解决实际问题的能力。
本教案旨在引导高中一年级学生深入了解函数的基本概念与性质，建立起对函数的初步认识和应用。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个或多个自变量与一个或多个因变量之间的对应关系。
数学上用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
1.2 函数的图像与定义域函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，通常以坐标点的连接形式呈现。
函数的定义域是自变量的取值范围，用数学形式表示。
二、函数的性质2.1 奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。
若对于任意x的取值，函数满足f(-x) = f(x)则为偶函数；若对于任意x的取值，函数满足f(-x) = -f(x)则为奇函数。
2.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
若对于任意x₁，x₂的取值，当x₁ < x₂时，有f(x₁) ≤ f(x₂)则函数为单调增函数；若对于任意x₁，x₂的取值，当x₁ < x₂时，有f(x₁) ≥ f(x₂)则函数为单调减函数。
2.3 周期性函数的周期性是指函数在指定区间内的重复性。
若存在正数T，使得对于任意x的取值，有f(x + T) = f(x)则函数为周期函数。
三、教学活动设计3.1 活动一：观察和推测通过观察给定函数的图像，学生能够初步了解函数的性质。
教师给出一些函数的图像，要求学生观察并推测其奇偶性、单调性和周期性。
3.2 活动二：函数图像的绘制学生根据给定的函数表达式，利用平面直角坐标系绘制函数的图像。
通过绘制函数图像，学生可以更深入地理解函数的性质。
3.3 活动三：函数性质的分析根据已绘制的函数图像，学生分析函数的奇偶性、单调性和周期性，并用数学语言描述。
教师引导学生讨论不同类型的函数在不同区间内的变化规律。
高中数学教案：函数基本概念与性质
高中数学教案：函数基本概念与性质一、函数基本概念函数在高中数学中是一个非常重要的概念，它贯穿于整个数学学科，也是日常生活、科学和工程等领域中的基础工具。
本篇教案旨在介绍函数的基本概念与性质，帮助学生更好地理解和应用函数。
1. 函数的定义与表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的一个元素（称为因变量）。
函数的定义可以用不同的表示方式来描述，最常见的方式是使用符号表示，例如f(x)表示函数f中自变量为x。
另外，还可以使用图表、表格和公式等方式来表示函数。
2. 自变量、因变量与定义域在函数中，自变量是独立变量，其取值不受其他变量的影响；因变量是依赖变量，其取值由自变量决定。
函数的定义域是指自变量的取值范围，决定了函数可以接受的输入值。
3. 函数图像与坐标平面函数的图像是自变量和因变量之间的关系在坐标平面上的几何表示。
常用的坐标平面是笛卡尔坐标平面，由水平的x轴和垂直的y轴组成。
函数图像可以通过绘制关键点、连线以及应用平移、伸缩等变换来实现。
二、函数的性质函数的性质对于深入理解和应用函数具有重要作用。
下面我们将介绍一些常见的函数性质。
1. 单调性函数的单调性指函数在定义域内的增减趋势。
如果函数的值随着自变量的增加而单调增加，我们称之为函数是递增的；如果函数的值随着自变量的增加而单调减少，我们称之为函数是递减的。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
如果函数满足f(x) = f(-x)，则函数是偶函数；如果函数满足f(x) = -f(-x)，则函数是奇函数；如果函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，我们称之为非奇非偶函数。
3. 周期性函数的周期性是指函数图像在坐标平面上以一定形式重复出现的特性。
如果存在一个正数T，对于任意实数x，有f(x + T) = f(x)，则函数具有周期T。
周期性函数在数学和物理学中有广泛的应用，例如三角函数。
4. 初等函数初等函数是指可以用一些基本运算和基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）通过有限次的运算得到的函数。
高中数学教案：函数的基本性质
高中数学教案：函数的基本性质一、函数的定义和表达形式函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。
具体地说，如果存在一个规则将一个数集中的每个元素和另一个数集中的唯一一个元素对应起来，那么这个规则就称为函数。
函数可以用多种形式来表示。
常见的函数表达形式有两种：算式表示和图像表示。
在算式表示中，函数可以用一个显式的算式来表示，例如 f(x) = 2x + 1。
这个算式表示了一个线性函数，在给定x的值时，可以求出f(x)的值。
在图像表示中，函数可以用图像的方式来表达，例如将函数的所有点绘制在坐标系中形成的曲线。
图像表示可以直观地展示函数的性质和规律。
二、函数的定义域和值域函数的定义域是指函数中自变量（通常用x表示）的取值范围。
在定义域内，函数是有意义的，而在定义域外，函数没有定义。
例如，对于函数 f(x) = 1/x，由于0不在其定义域内，所以当x等于0时，函数没有定义。
函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
值域可以通过分析函数的定义域和图像来确定。
对于函数 f(x) = 2x + 1，可以发现随着x的取值增加，f(x)也会增加，因此函数的值域是所有实数。
三、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，它与函数的定义域和图像有关。
如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。
如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，那么它就是一个既非偶函数也非奇函数的普通函数。
通过观察函数的图像或利用性质判定，可以确定一个函数是否为偶函数或奇函数。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数，而函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
四、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。
如果函数在定义域内的任意两个数x1和x2满足x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是递增函数。
高一数学教案复习函数的基本概念与性质
高一数学教案复习函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在数理科学的研究和实际应用中都有着广泛的应用。
高一学生正处于数学基础知识的学习和掌握阶段，因此对于函数的基本概念与性质的复习显得尤为重要。
本篇教案将细致地介绍函数的基本概念和常见的性质，以帮助学生加深对该知识点的理解和运用。
一、函数的基本概念函数是指两个集合之间的一种特殊关系，其中每个元素（自变量）在定义域内只对应一个元素（因变量）。
为了确定一个函数，我们需要明确以下几个要素：1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域则是函数的所有可能输出值的集合。
需要注意的是，函数的定义域可以是实数集、整数集或自然数集等不同数集。
1.2 关系式或图表函数可以通过关系式或图表的形式来表示。
关系式是指将自变量和因变量之间的关系用式子表示出来，如y = 2x + 3；图表则是将自变量和因变量的对应关系用表格或图像呈现出来。
1.3 函数的特性函数可以通过一些特性来描述和判断，比如奇偶性、单调性、周期性等。
这些特性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
二、函数的性质与图像除了基本概念之外，函数还具有一些常见的性质。
下面我们将介绍一些关于函数性质的重要内容，并通过图像来进一步说明。
2.1 奇偶性一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
2.2 单调性单调函数是指在定义域上具有单调性的函数。
如果函数在某一区间上递增，那么它是递增函数；如果函数在某一区间上递减，那么它是递减函数。
2.3 周期性周期函数是指在一定区间内，函数的值按照一定规律重复出现。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。
周期可以通过函数的图像来观察和确定。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学上，函数可以用于解决各种数学问题，如方程的求解、不等式的证明等。
高一数学一函数知识点
高一数学一函数知识点数学作为一门重要的学科，占据着教育体系中不可或缺的一席之地。
而高一数学中的函数则是数学学科中的一个重要知识点。
通过对函数的学习，可以帮助学生建立起数学思维的逻辑框架，培养他们的推理能力和问题解决能力。
今天我将结合高一数学一中的函数知识点，为大家进行详细讲解。
一、函数的基本概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种特殊的关系，即输入和输出之间的对应关系。
函数通常用字母表示，并以输入和输出的自变量、函数值为要素。
我们可以用一个简单的方程来表示一个函数，例如：y = f(x)。
其中，y表示函数的值，x表示自变量，f(x)表示函数的表达式。
在函数中，输入x的取值范围叫做定义域，输出y的取值范围叫做值域。
二、函数的分类根据函数的性质和特点，我们可以把函数分为多种不同的类型，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
这些函数在数学中都有着重要的应用。
1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数类型，它的图像是一条直线。
线性函数的表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是截距。
通过研究线性函数，我们可以学习到直线的性质，例如斜率和截距对图像的影响。
2. 二次函数：二次函数是一种常见的函数类型，它的图像是一个抛物线。
二次函数的一般表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a不等于0。
通过研究二次函数，我们可以学习到抛物线的性质，例如顶点坐标和对称轴。
3. 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数类型。
指数函数的表达式为y = a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的表达式为y = loga x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数和对数函数在科学和工程领域有着广泛的应用，例如在计算复利、解决指数方程等方面。
三、函数的性质除了了解函数的类型之外，我们还需要掌握函数的一些重要性质。
这些性质可以帮助我们更好地理解和应用函数。
《高一数学课件：函数的概念和性质》
1
递增函数
当自变量增加时，函数值也增加。
2
递减函数
当自变量增加时，函数值减小。
3
严格单调函数
பைடு நூலகம்
在定义域的任意两个不同数值点上，函数值都不相同。
函数的性质之二：奇偶性
奇函数
具有奇函数性质的函数满足关系：f(-x) = -f(x)。
偶函数
具有偶函数性质的函数满足关系：f(-x) = f(x)。
函数的性质之三：周期性
复合函数的概念和计算
1 复合函数
复合函数是将一个函数的输出作为另 一个函数的输入。
2 复合函数的计算
可以通过将内层函数的输出替换为外 层函数的输入来计算复合函数。
反函数的概念和计算
1 反函数
对于函数f，如果对于定义域内的任意x， f(x) = y，那么反函数g满足g(y) = x。
2 反函数的计算
图像关于y轴对称。
关于原点对称
图像关于原点对称。
关于x轴对称
图像关于x轴对称。
函数的运算：加减乘除
加法
两个函数的和是将它们相应的函数值相加得 到的。
乘法
两个函数的乘积是将它们相应的函数值相乘 得到的。
减法
两个函数的差是将第二个函数的相应的函数 值从第一个函数的相应的函数值中减去得到 的。
除法
两个函数的商是将第二个函数的相应的函数 值除以第一个函数的相应的函数值得到的。
可以通过交换自变量和函数值来计算反函 数。
一次函数和二次函数的图像和性质
一次函数
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距。
二次函数
二次函数的图像是抛物线，具有顶点和对称轴。
指数函数和对数函数的图像和性质
数学高中教案：函数的基本概念与性质
数学高中教案：函数的基本概念与性质一、引言函数是高中数学中的重要概念之一。
它是描述不同数值之间的关系的工具，被广泛应用于各个领域。
本教案将介绍函数的基本概念与性质，帮助学生对函数有更深入的理解。
二、函数的定义1. 函数的定义：函数是一个数集到另一个数集的映射关系，每个自变量对应唯一的因变量。
2. 函数的表示方法：函数可以用方程、图像、表格和函数式等多种方式进行表示。
3. 函数的记法：通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
三、函数的性质1. 定义域：函数的自变量的取值范围，表示为D(f)。
2. 值域：函数的因变量的取值范围，表示为R(f)。
3. 奇偶性：函数奇偶性根据f(-x)=±f(x)来判断，若成立则为偶函数，否则为奇函数。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数值的变化趋势，可以分为递增和递减两种。
5. 周期性：函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
四、基本函数的图像与性质1. 线性函数：f(x) = kx + b，k为斜率，b为截距。
线性函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
2. 幂函数：f(x) = ax^k，a为常数，k为指数。
幂函数的图像形状因a和k的取值不同而改变。
3. 指数函数：f(x) = a^x，a为常数，a>0且a≠1。
指数函数的图像是递增的曲线。
4. 对数函数：f(x) = loga(x)，a为常数，a>0且a≠1。
对数函数的图像是递增的曲线。
五、函数的运算1. 函数的加法运算：(f+g)(x) = f(x) + g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相加。
2. 函数的减法运算：(f-g)(x) = f(x) - g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相减。
3. 函数的乘法运算：(f*g)(x) = f(x) * g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相乘。
4. 函数的除法运算：(f/g)(x) = f(x) / g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相除。
高中数学教案：函数的定义和性质
高中数学教案：函数的定义和性质一、函数的定义和基本性质函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在数学的各个领域中都得到了广泛的应用。
在本章中，我们将学习函数的定义以及与函数相关的一些基本性质。
1.1 函数的定义函数是两个数集之间的一种对应关系。
简言之，对于定义域中的每一个元素，函数都给出一个唯一确定的值，这个值对应于值域中的一个元素。
函数通常用符号f(x) 表示，其中 x 是定义域中的元素，f(x) 是对应于 x 的值域中的元素。
1.2 函数的表示方法有多种表示函数的方法，下面介绍两种常用的方法。
（1）集合表示法：函数可以表示为一个有序数对的集合形式，形如{(x,y)|y=f(x),x∈D}，其中 D 是定义域。
（2）公式表示法：函数可以用一个公式来表示，例如 f(x)=x^2，表示函数 f(x) 的值等于 x 的平方。
1.3 函数的基本性质在介绍函数的基本性质之前，我们先来了解一些基本术语。
（1）定义域：函数中所有可取的自变量值的集合称为定义域，通常用符号 D 表示。
（2）值域：所有函数值的集合称为值域，通常用符号 R 表示。
（3）单调性：函数在定义域上的单调性分为单调递增和单调递减两种。
（4）奇偶性：若对任意 x，有 f(-x) = f(x) 则函数称为偶函数；若对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数称为奇函数。
二、函数的图像和性质2.1 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示。
横坐标表示自变量 x，纵坐标表示函数值 f(x)。
函数 f(x) 的图像常常具有一些特征，例如可导性、连续性等。
2.2 函数的可导性函数的可导性是指函数在某个点 x 处的导数存在。
导数是函数瞬时变化率的极限，是研究函数变化的重要工具。
在图像上，函数可导意味着在该点处的切线存在并且唯一。
2.3 函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数图像上是否有突变、断裂的现象。
函数在某一点 x 处连续的充要条件是 x 处的左极限等于右极限，并且与函数的函数值相等。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高一数学教案函数的基本概念与性质
高一数学教案函数的基本概念与性质高一数学教案：函数的基本概念与性质一、引言在数学中，函数是一种非常重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
理解函数的基本概念以及了解其性质对于学好数学来说至关重要。
本教案将详细介绍函数的基本概念与性质，帮助学生更好地理解和应用函数。
二、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一一个元素。
数学上常用符号表示函数：设有两个集合A和B，如果对于集合A中的每个元素x，都存在集合B中的唯一一个元素y与之对应，那么我们就称之为函数。
表示函数的常用符号为：f：A→B，其中A为定义域，B为值域。
三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能输入的集合，而值域是指函数映射到的所有可能输出的集合。
2. 一一对应性：如果一个函数的定义域中的每个元素都与值域中的唯一一个元素对应，那么我们称此函数为一一对应函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在对称轴下的性质。
若对于函数f(x)，有f(-x) = f(x) ，则函数为偶函数；若对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x) ，则函数为奇函数。
4. 单调性：函数的单调性是指函数随着自变量的增大或减小而变化的趋势。
分为增函数和减函数两种。
5. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x属于定义域，都有f(x+T)=f(x)，那么函数就具有周期性。
四、函数的图像与性质的关系函数的性质可以通过函数的图像来展现。
图像上的每个点(x, y)都对应着函数中的一个元素。
通过观察图像，我们可以得出函数的某些性质。
1. 定义域和值域：图像上的横坐标范围即为函数的定义域，纵坐标范围即为函数的值域。
2. 一一对应性：如果图像上的每个点都位于直线y=x上，那么函数就是一一对应函数。
3. 奇偶性：如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。
4. 单调性：如果图像从左到右是递增的，则函数为增函数；如果图像从左到右是递减的，则函数为减函数。
高一数学《函数的性质》知识点总览
高一数学《函数的性质》知识点总览一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系，并具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所有可能输出的取值范围。
2. 单调性：函数在定义域上的单调性分为增函数和减函数，根据函数的导数或几何意义可以判断函数的单调性。
3. 奇偶性：函数的奇偶性由函数的对称性决定，若函数满足f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
4. 周期性：函数如果存在正数T，对于定义域上的每个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性，T称为函数的周期。
二、函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示。
通过对函数图像的观察，可以获得以下性质：1. 零点：函数的零点是函数与x轴的交点，即满足f(x) = 0的x值。
2. 最值：函数的最大值和最小值分别是函数曲线上最高点和最低点的纵坐标值。
3. 对称轴：函数图像的对称轴是与函数曲线关于该轴对称的一条直线。
4. 渐近线：函数图像的渐近线是与函数曲线无限靠近而没有交点的直线。
三、函数的运算函数之间可以进行加、减、乘、除等运算，并且还可以进行复合运算。
常见的函数运算有：1. 两个函数的和差：设有函数f(x)和g(x)，则它们的和函数为h(x) = f(x) + g(x)，差函数为k(x) = f(x) - g(x)。
2. 函数与常数的乘积：设有函数f(x)和常数a，则它们的乘积函数为p(x) = a · f(x)。
3. 函数的乘积：设有函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数为q(x) = f(x) · g(x)。
4. 函数的商：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则它们的商函数为r(x) = f(x) / g(x)。
高一数学讲义 函数基本性质
函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性B 简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明*②抽象函数的奇偶性板块一：函数的单调性 （一）知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式： 设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；高考要求第3讲 函数的基本性质知识精讲()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑻函数(0,0)by ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．（三）典例分析【例1】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例2】证明函数()f x =【例3】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．【例4】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤或x【例5】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例6】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例7】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例8】求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．【例9】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例10】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．板块二：函数的奇偶性 （一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． （三）典例分析：【例11】判断下列函数的奇偶性：()(f x x =-【例12】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）【例13】设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，【例14】()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．【例15】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x ．【例16】设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足（ ）． A ．2M m += B ．4M m += C ．2M m -= D ．4M m -=【例17】函数()f x =为奇函数，则a 的取值范围是（ ）．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【例18】已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =，解不等式41(log )0f x -<≤，习题1. 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．习题2. 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴()11f x x x =-+-；⑵2()5||f x x x =+．习题3. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．习题4. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．家庭作业习题5. 设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+，⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．习题6. 函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．习题1. 讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性． 月测备选习题2. 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．习题3. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且当*n ∈N 时，*()f n ∈N ，[()]3f f n n =，则(1)(2)f f += ．。
高一数学教案学习函数的概念与性质
高一数学教案学习函数的概念与性质高一数学教案：学习函数的概念与性质1. 引言函数是数学中的重要概念之一，对于高中数学的学习具有重要意义。
本教案将帮助学生全面了解函数的概念和性质，提高他们的数学认识和分析问题的能力。
2. 函数的概念函数是数学中用于描述两个集合之间对应关系的一种工具。
学生需要明确函数的定义：对于集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一对应的元素b∈B，则称这种对应关系为函数。
学生可以通过举例子来加深对函数的理解，比如学生的身高与年龄之间的关系，家庭开销与收入之间的关系等。
3. 函数的性质3.1 定义域与值域函数的定义域是指所有可以作为自变量输入的值的集合，而值域是指所有函数的输出值形成的集合。
学生需要学会如何计算函数的定义域和值域，并理解其在实际问题中的意义。
3.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减趋势。
函数可以是递增的、递减的或者保持不变的。
通过绘制函数图像的变化趋势，学生可以更好地理解函数单调性的概念。
3.3 奇偶性奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
学生需要学会根据函数的表达式判断其奇偶性，并了解奇偶函数的性质。
3.4 对称性函数的对称性包括关于x轴、y轴和原点的对称性。
学生需要学会判断函数的对称轴，并通过绘制函数图像来观察函数的对称性。
4. 函数的图像与性质通过观察函数的图像，学生可以更加直观地了解函数的性质。
4.1 函数的增减区间学生可以通过观察函数图像的上升与下降来确定函数的增减区间。
在数学实践中，函数的增减区间对于解决最优化问题具有重要作用。
4.2 函数的极值点函数的极值点是指函数在定义域内取得最大值或最小值的点。
学生需要理解极大值点和极小值点的概念，并学会通过观察函数图像来确定这些点的位置。
4.3 函数的零点函数的零点是指函数取值为零的点。
学生需要学会通过观察函数图像来确定函数的零点，并了解零点在实际问题中的应用。
高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结
高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。
文章首先介绍了函数的基本概念，包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。
文章详细阐述了函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。
文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。
文章总结了函数在数学学习中的重要性，强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。
通过本文的学习，学生可以更好地理解和掌握函数知识，为后续数学学习打下坚实的基础。
1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。
在物理、化学、生物等自然学科中，许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。
物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等，都需要借助函数概念进行建模和分析。
函数是数学体系中的核心和基础。
函数连接了代数、几何、三角学等多个分支，是数学知识和方法综合运用的基础。
对函数概念的深入理解，有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。
函数也是解决实际问题的重要工具。
在现实生活中，很多问题的解决都需要建立数学模型，而函数作为构建数学模型的基本元素之一，能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。
在经济学、统计学、工程学等领域，函数的运用非常广泛。
函数概念的重要性不言而喻。
高一学生在学习数学时，应深入理解函数的概念，掌握其性质和特点，为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。
2. 引出本文目的：总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。
函数是数学中的核心概念之一，具有广泛的应用领域。
在高中阶段，学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征，为后续学习奠定坚实基础。
本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点，加深对函数概念与性质的理解，以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。
高中数学教案：函数的概念与基本性质
高中数学教案：函数的概念与基本性质一、函数的概念函数是数学中一种重要的概念，在高中数学中占据着重要的地位。
函数的概念来源于实际生活中的对应关系，它描述了两个集合之间的一种关联规则，是一种量与量之间的依赖关系。
在函数中，一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。
函数将定义域中的每个元素与一个唯一的值域中的元素对应起来。
例如，一个餐厅的销售额与每天的顾客人数之间存在关联，可以用一个函数来描述这个关系。
在数学中，通常用f(x)来表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的集合。
通过函数的定义域和值域，我们可以确定它们的范围和取值的特点。
二、函数的基本性质函数的基本性质包括可定义性、唯一性、有界性、奇偶性和单调性等。
1. 可定义性函数的可定义性是指函数在定义域内是否有确定的取值。
在定义域内的每个元素都要对应一个值域中的元素。
如果函数在定义域内的某些点无法找到对应的值，则称函数在该点不可定义。
2. 唯一性函数的唯一性是指函数的每个自变量都有唯一的函数值。
即使是函数的定义域中有相同的自变量，对应的函数值也必须是相同的。
相反，如果函数的自变量有不同的函数值，那么这个函数就是多值函数。
3. 有界性有界性是指函数在定义域内是否有上界和下界。
上界是指函数值不能超过某个特定的值，下界是指函数值不能小于某个特定的值。
如果一个函数存在上界和下界，那么它是有界函数；如果一个函数不存在上界或下界，那么它是无界函数。
4. 奇偶性奇偶性是指函数在对称轴上的对应关系。
如果一个函数满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数。
奇函数关于坐标原点对称，而偶函数则关于y轴对称。
5. 单调性单调性是指函数在定义域上的增减特性。
如果函数的函数值随着自变量的增大而增大，那么它是增函数；如果函数的函数值随着自变量的增大而减小，那么它是减函数。
高一数学辅导资料2：函数的基本性质
5. 已知函数 f ( x) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x) x(1 x) ，当 x 0 时， f ( x) 的表达式
为
.
6. 若 f ( x) lg( x2 2 x) a 为奇函数，则实数 a 的值为
.
1 7. （Ⅰ）证明函数 f ( x) x 在 [1, ) 上单调递增；
x
（Ⅱ）试利用（ I）中的结论，求函数 g( x)
（C） y x, x R
（ D） y (1 ) x , x R 2
2. 若偶函数 f ( x) 在 , 1 上是增函数，则下列关系式中成立的是（
）
A． f ( 3 ) f ( 1) f (2) B ． f ( 1) f ( 3) f ( 2)
2
2
C． f (2)
f ( 1)
f ( 3)
D ． f (2)
么就说函数 f ( x) 是偶函数 ;
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y 轴对称 ;反之亦然 .
4．函数的单调性证明方法：比较法（以比差法为主，兼顾比商法）
5．函数奇偶性的判定：
①函数的定义域必须是关于原点的对称区间；
②＂对定义域内任一个 x＂：都有 f ( x) f ( x) 或 f ( x) f (x) 。
）．
5
7
(A) f (1) f ( ) f ( )
2
2
7
5
(B) f ( ) f (1) f ( )
2
2
7
5
(C) f ( ) f ( ) f (1)
2
2
5
7
(D) f ( ) f (1) f ( )
2
2
4. 已知函数 y ax 2 bx a 2 是定义在 1 a,2a 上的偶函数，则 a= ;b= .
高一数学第三章函数的基本性质知识要点
高一数学第三章函数的基本性质知识要点高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，下面是店铺给大家带来的高一数学第三章函数的基本性质知识要点，希望对你有帮助。
函数的基本性质知识要点一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法; 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。
函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法; 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解. 考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数; ③了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。
因此，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。
三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。
四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象。
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y) 的集合C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
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第二讲 函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。
记作：:f A B →。
⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。
⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。
这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。
⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
⑹区间：定 义 名 称 符 号{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b{}x a x b << 开区间 (),a b{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b{}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。
实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。
高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。
例题讲解：夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。
1）,,:A Z B Z f ==平方； 2）,,:A R B R f +==平方；3）{}11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →； 5）{},Z A C Z B -==正奇数，:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈；二、已知()23,1x f x x +=-求()(),2f t f x +。
()()()23()1223272121t f t t x x f x x x +=-++++==++-解：三、求下列函数的定义域。
1）2123y x x =+-2）y =2230(3)(1)031x x x x x x +-≠+-≠∴≠-≠解： 且3）1x y +={}110110x 110x x x x x x x ⎧≠-⎪-≥⇒≤⎨-=≠∴≤≠-≠解： 0且 且四、求函数解析式： 1）已知,1)1(2xx x f -=求)(x f 。
2）已知569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f 。
221()11()1()1xf x x f x x x xf x x =-∴=-∴=- 解：22221313(1)1()96593212254848t x t t t f x t t t t t x x -+=--∴=⋅-⋅+-+-++-+-+解： x== = =3）已知)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。
222(0)(0)1(1)(1)2211x bx c a f Cx b x c x bx c x x bx a b bx x a b -+≠∴==+-++---=+++-=∴==-解：设a a a 2a2()1f x x x =-+4）若函数)(x f 满足方程a x R x ax xf x af ,0,,)1()(≠∈=+为常数，且1±≠a ，求)(x f 。
222222211()()(1)1()()(2)a ()()a af f x a x xa f x af a x x f x a x a a x a f x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩=--=解： （-1） （-1）注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。
注意因题型而选择方法。
小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：①一次函数、二次函数的定义域是全体实数；②函数表达式形式是分式的，分母不为0；③函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；④零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域； ⑥多个限制条件取交集。
五、求下列函数的值域 1）()()4113(1)4115(3)43111f x x x f f =-+-≤≤-=-⋅-+==-⋅+=-解：2）()[]222()241234122(2)224211(3)2343171,7f x x x x x f f y =-+≤≤==⋅=⋅-⋅+==⋅-⋅+=∴∈解：3）y =y ==∴≤ 解： 0y 24）y x =-2222220151()241511()445{}4t x t x t t y t t t t t t y y =≥∴-==--+=--=--+=--++∴≤=1-注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表达式的函数的值域也互不相同。
在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对其定义域和值域在进一步探讨。
知识要点二：函数性质⑴函数的单调性：①定义：一般地，设()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；区间D 称为单调递增区间。
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数；区间D 称为单调递减区间。
②复合函数的单调性：同增异减 ⑵函数的奇偶性①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =） 设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。
也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。
②图像特征如果一个函数是奇函数⇔这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数⇔这个函数的图象关于y 轴对称。
③复合函数的奇偶性：同偶异奇。
高考要求：掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度，在客观题中主要考查一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在这里也容易拉开学生的档次。
例题讲解：夯实基础一、判断下列函数的单调性。
1）()10,y x x =∈+∞当12121221121212,(0,)()()1101()()x x x x f x f x x x x x x x f x f x y x∈+∞>---=<∴<∴=↓证明：任取 =是2）()f x =[)1,x ∈-+∞[()()()()()()[121212122112,1,)1000()1,)x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x ∈-+∞>≥-==-=-∴-<∴-+∞↓证明：任取 在是3）()231xf x x -=-在（11x -<<） 二、判断下列函数的奇、偶性。
1）33y x x =-+ 奇函数2）()(1f x x =- 1010111xx x x +≥-≠-∴-≤∴ 关于原点不对称. 非奇非偶3）()0f x =既是奇函数，又是偶函数.4）()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f2222∴解： x>0 -x<0f(x)=-x +x f(-x)=x -x f(x)=f(-x) f(0)=0 x<0 -x>0f(x)=x +x f(-x)=-x -x f(-x)=-f(x)5）()2212-+-=x x x f ()()22201x x f x xf x ≥+-≠∴≤≤≠≠∴=≠ 解： 1-x 0 -1 x -4 x 0 x 0为奇函数结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。
三、已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，()f x 得解析式。
解：设0x <，则0x ->当0x >时，()221f x x x =-+()()()222121f x x x x x ∴-=---+=++()y f x = 是奇函数，()()()222121f x f x x x x x ∴=--=-++=---为所求0x <时()y f x =的解析式。
能力提升一、已知函数()121x f x a =-+，若()f x 为奇函数，求实数a 的取值。
解：首先考虑定义域，知x R ∈，由奇函数的定义()()f x f x -=-建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =，()00f ∴=易得12a =。
二、、已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()11f xg x x +=-，试求()()f x g x 与的表达式。
解：令()()11f x g x x +=-的x 取x -得()()11f xg x x -+-=-- ()f x 是偶函数，()g x 是奇函数， ()()()(),,f x f x g x g x ∴-=-=-()()()()1111f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪--∴⎨⎪+=⎪-⎩两式相加得()()2221111212,11111x x f x f x x x x x x --++=+==∴=+---- 两式相减得()()222111122,11111x x x xg x g x x x x x x -++-=-==∴=-+--- 三、设()x f y =的定义域是R ，对于任意y x ,都有()()()0,>+=+x y f x f y x f 时()()12,0-=<f x f ，讨论①()x f y =的奇、偶性并加以证明；②()x f y =在R 上的单调性并加以证明。