09年考研辅导讲义(线性代数)

汪宏喜：辅导地位：历届考生公认的“安徽省数学考研辅导第一人”，安徽农业大学应用数学系教授、硕士生导师，现任安徽农业大学应用数学系主任。

授课特点：功底扎实，讲解透彻，条理清晰，重点突出，循循善诱，培养能力。

名师风采：曾被评为安徽省优秀中青年骨干教师；获校级教学成果奖五项，省教学成果奖三项；曾在国内外刊物上发表论文20余篇，单独完成以及合作完成数学教材6部。

个人简介：1964年2月出生，1988年8月毕业于福州大学数学系基础数学专业，获理学硕士学位。

应用数学系主任，信息与计算科学专业建设负责人。

2003年11月晋升为教授，2006年遴选为硕士生导师。

研究方向为应用微分方程，近年来主要从事算法设计与分析方面的应用研究。

主要从事数学教学及数学应用方面的研究工作，为本科各专业开设过《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《计算方法》，《常微分方程》等主要数学课程，并为工科研究生开设《现代控制理论》、《MATLAB语言与控制系统仿真》、《计算方法与MATLAB语言》以及《算法设计与分析》基础与专业课程，教学效果良好，多次被评为优秀教师。

1995年获得安徽农业大学优秀教师称号；1998年参加了原国家教委“面向二十一世纪教学内容和课程体系改革计划”项目的研究；参与研究的“结合科研、改进教法，充实更新农科数学教学内容的研究与实践”项目，1997年获校教学成果二等奖；参与数学教研室校级重点课程建设。

98年被列为安徽省优秀中青年骨干教师培养对象。

1996年参与编写全国高等农林院校《高等数学》专科教材；1999年参与校研究生课程体系建设；2001年作为第二主持人参与省级重点课程建设；2001主持一项校级教学研究项目；2001获校教学成果一等奖，安徽省教学成果三等奖；2000年与2001年连续两次获得校青年教师教学比赛三等奖(相当校级教学成果三等奖)；参与编写面向二十一世纪农林水院校通用教材《高等数学(Ⅱ)》(副主编)、《概率论与数理统计》(参编)各一本；2002年参与编写面向二十一世纪《高等数学（Ⅱ）》教材（副主编）；2004年参加全国高等学校教学研究中心课题“21世纪高等学校农林/医药类专业数理化基础课程的创新与实践”的子课题—“高等数学教学内容和课程体系结构的改革（教学基本要求、论文、立体化教材建设）（项目号：BIA010092—B03）（主持人）；2006年参与编写高等农林院校“十一五”规划教材《高等数学》（工科）（副主编），安徽省高等学校2007年省级教学研究项目“农林类院校经济管理类数学教学内容体系研究”（主持人）；2007年参与编写高等农林院校“十一五”规划教材《概率论》（副主编）； 2004--2007年度被评为安徽农业大学优秀教师；2007年获得校第六届教师教学竞赛教授组个人二等奖，理学院团体二等奖的主要成员。

2008年参与编写国家“十一五”规划教材《高等数学》（农林类）（副主编）；2008年主持编写全国高等农业院校“十一五”规划教材《微积分》（经济类）（主编）。

考研数学内部讲义线性代数概率论与数理统计编讲 汪宏喜安徽农业大学第二部分 线性代数第一章 行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.• 考试内容解析 •一、行列式的概念1．排列由正整数1，2，…，n 组成的一个有序组n j j j L 21称为一个n 级排列.在一个排列中，如果某个较大的数排在某个较小的数之前，称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作()n j j j L 21τ.有偶数个逆序数的排列称为一个偶排列，有奇数个逆序数的排列称为一个奇排列.2．n 阶行列式 n 阶行列式nnn n nn n a a a a a a a a a D L M L M M L L 212222111211=是所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a ⋅⋅⋅L 2121的代数和，其中n j j j L 21构成一个n 级排列.当n j j j L 21是偶排列时，该项取正号；当n j j j L 21是奇排列时，该项取负号.即n 阶行列式∑⋅⋅−=nn n j j j nj j j j j j n a a a D L L L 212121,)1(21)(τ其中∑nj j j L 21表示对所有的n 级排列求和.注 在n 阶行列式的定义中有三要素，一是n 阶行列式展开式中的每一项n nj j j a a a ⋅⋅⋅L 2121表示不同行、不同列的n 个元素的乘积；二是展开式中项的符号)(21)1(n j j j L τ−由列标排列的奇偶性确定；三是展开式中所有项的项数等于!n .二、 行列式的性质（1）行列互换，行列式的值不变.即行列式与其转置行列式相等. （2）互换行列式的两行（列），行列式的值反号.特别地，如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为零. （3）行列式某一行（列）各元素的公因子可以提到行列式之前.特别地，如果行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零；如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零.（4）如果行列式中某一行（列）的所有元素均为两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）的元素，其余各行（列）元素与原行列式相同.（5）行列式某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.三、行列式按行（列）展开1．余子式和代数余子式在n 阶行列式n D 中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原有顺序构成1−n 阶行列式，称为元素的ij a 余子式，记作ij M .记ij ji ij M A +−=)1(，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.2．行列式按一行（列）展开n 阶行列式n D 等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和；n 阶行列式任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即⎩⎨⎧≠==∑=,,0,1s i s i D A a n nj sj ij 若，若 ⎩⎨⎧≠==∑=,,0,1t j t j D A a n ni itij 若，若 3．几种特殊类型的行列式（1）nn nnn n nn n n a a a a a a a aa a a a a a a L L M O M M L L L MO M M L L 2211212221112221121100000==（2）n n n nnOOλλλλλλλλλL NN212)1(2121)1(**−−==（3）∏≤<≤−−−−−=ni j j i n nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x 111312112232221321)(1111L ML MMML L L . （4）1)]()1([−−−+=n b a b n a abb bb a b bbb a b b b b a LM L M M M L L L .• 例题讲解 •例1．已知),(321ααα,=A 是3阶矩阵，则||A 等于( C ).|,,|)(.|,,2|)(.|,,|)(.|,,|)(2132121321133221133221αααααααααααααααααααααα+++++++−−−D C B A解:例2．已知21321,,,ββααα,均为四维列向量，),,(),,,(22131321βαααβααα,=,=B A 且2||,1||==B A ，则||B A +等于( ).6)(.3)(.1)(.0)(D C B A解:例3．等于则设333333222222111111333222111,a c c b b a a c c b b a a c c b b a D c b a c b a c b a −−−−−−−−−=( A ) D D DC DB A 2)()()(0)(−例4．=2008200820082009200820082009200820082009200820082009200820082008 8033 .解:例5．设xxx x x f 1713410732201)(−−−=,则f (x )的常数项为 3 ,x 2的的系数为 16 . 解:例6．设61320010022222221−−,则.363,1233323134333231−=−+−=+++A A A M M M M解:例7．设xc b a c x b a c b x a cb a x x f =)(,则方程f (x )=0的根为c x b x a x c b a x ===++−=4321,,),(.解:例8．设有方程0111111211122221121112=−−−−−−−n n n n n n n a a a a a a a a a x x x L MM M M M L L L ,其中)1,,2,1(−=n i a i L 为互不相等的实常数,则该方程的全部根为.)1,,2,1(−==n i a x i i L解:例9．计算下列行列式(1)3125412*********−−−−−−=D .解: 8115023022415323202)1(341543232202100031254123202211105=−−=−==−−−−−−=D(2)aa a a x a a a x a a a x a a a x a a a D −−+−−−+−−−=.解: 400010010010011111x x x x xaaaa a a x a a x a a x a a xaaaax a a a x a a a x a a a x a a a D ==−−−−−+−−−=−−+−−−+−−−=(3)11112222++++=d cd bd ad cd c bc ac bd bc b ab adac ab a D . 解:1010101111111122222222222+++++++=++++=d cd bd cd c bc bd bc b adac ab d cd bd ad cdc bc ac bd bc b ab ad ac ab a d cd bd adcd c bc ac bd bc b abad ac ab a D 1101011001001111000100010002222222222++++=++++=++++=d c b a d cdcd c bd bcdc b b ad cd bd cdc bc bdbc b d c b a a(4)a a a a a a a aaD −−−−−−−−−=11000110001100011001. 解: 4511111000110001110aD aa aa a a a aD −=−−−−−−−−−=.1)1(1)1(15432223a a a a a aD a a aD a −+−+−=−+−=−−= (5)),,2,1,0(00000000321n i a a ba ba bbb b b a D i nL L MM M M M ML L L =≠=.解: n nnna a ab a b a a a a bbbb a b a b a D L L L M M M M M M L L L L22221322221)(00000000000−−=−−=(6)ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a D n n n n ++++=321321321321M OMM M L L L .解: .)(0010010010001)(111−==∑∑+=+=n ni i ni i b a b b b b a b D MO M M M L L L 思考题:)0(321332132213211≠++++=i nn n n n b b a a a a a b a a aa ab a a a a a b a D M OM M ML L L =∑=++ni n iib b b a b b a 22111(L第二章 矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵及它们的性质.2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及他们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4．了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆阵和秩的方法.5．了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.• 考试内容解析 •一、矩阵的概念1．矩阵的定义由m ×n 个数ij a （i =1,2,…,m ; j =1,2,…,n ）排成的m 行n 列的表⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A L L L LL L L 212222111211称为m ×n 矩阵，记作A =n m ij a ×)(或n m A ×，简记A ，数ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列的元素. 如果矩阵所有的元素ij a 均为零，则称为零矩阵，记作n m O ×，简记为O . 如果矩阵A 的行、列数相等，即m =n ，则称A 为n 阶方阵.设矩阵A =n m ij a ×)(,t s ij b B ×=)(，如果m =s,n =t ,则称矩阵A 与B 是同型矩阵. 设矩阵A =n m ij a ×)(,n m ij b B ×=)(如果对应元素均相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij L L ===,则称矩阵A 与B 相等，记作A =B . 2．几类特殊矩阵 （1）单位矩阵主对角线上元素均为1，其余元素均为零的n 阶矩阵，称为n 阶单位矩阵，记作n E ，简记E . （2）对角矩阵除主对角线上的元素之外，其余元素均为零的n 阶矩阵，称为n 阶对角矩阵. （3）数量矩阵主对角线上的元素均是常数k ，其余元素均是零的n 阶矩阵，称为n 阶数量矩阵，记作n kE . （4）三角矩阵主对角线以下元素全为零的n 阶矩阵，称为n 阶上三角矩阵；主对角线以上元素全为零的n 阶矩阵，称为n 阶的下三角矩阵.上、下三角矩阵统称为三角矩阵.（5）对称矩阵与反对称矩阵如果在n 阶矩阵A 中，对任意的n j i ,,2,1,L =，均有ji ij a a =，即TA A =，则称A 为对称矩阵.如果对任意的n j i ,,2,1,L =，均有ji ij a a −=，即TA A −=，则称A 为反对称矩阵二、矩阵运算及其性质1．矩阵的线性运算 （1）矩阵的加法设同型矩阵n m ij a A ×=)(，n m ij b B ×=)(，则矩阵n m ij ij n m ij b a c C ××+==)()(则称为矩阵A 与B 的和，记作C =A +B . （2）矩阵的数乘设矩阵n m ij a A ×=)(，k 是一个数，则矩阵n m ij ka ×)(称为数k 与矩阵A 的乘积，简称为数乘，记作kA .（3）矩阵的线性运算的性质矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，设A ,B ,C 是同型矩阵，O 是同型的零矩阵，k ,l 是两个数.① 交换律:A +B =B +A ． ② 结合律：（A +B ）+C =A +(B +C ). ③ A +O =O +A =A ． ④ A +(-A )=O . ⑤ k (A +B )=kA +kB . ⑥ (k +l )A =kA +lA . ⑦ klA =k (l A ). ⑧ A A =⋅1. 2．矩阵的乘法（1）矩阵的乘法设矩阵s m ij a A ×=)(，n s ij b B ×=)(,则矩阵n m ij c C ×=)(，其中∑==sk kj ikij b ac 1，称为矩阵A 与B的乘积，记作C =AB .注 ① 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，AB ≠BA .② 当AB =O 时，推不出A =O 或B =O . （2）矩阵乘法的性质① 结合律：(AB )C =A (BC ).② 分配律：A (B +C )=AB +AC ，(B +C )A =BA +CA . ③ k (AB )=(kA )B =A (kB ). 3．矩阵的转置 （1）矩阵的转置设矩阵n m ij a A ×=)(，将A 的行变为相应的列所得到的n ×m 矩阵m n ji a ×)(称为A 的转置矩阵，记作T A ，即m n ji Ta A ×=)(.（2）矩阵转置的性质① A A TT=)(. ② TTTB A B A +=+)(. ③ TTkA kA =)(. ④ TTTA B AB =)(. 4．矩阵的幂 （1）矩阵的幂设A 为n 阶矩阵，k 个A 相乘称为矩阵A 的k 次幂，记作，即43421L 个k kA A A A ⋅⋅⋅=. （2）矩阵的幂的性质 ①lk lkAA A += ② kll k A A =)(.5．方阵的行列式 （1）方阵的行列式设n 阶方阵n n ij a A ×=)(，n 阶行列式||ij a 称为方阵A 的行列式，记作||A 或det A . （2）n 阶方阵的行列式的性质① .||||||B A AB = ② ||||A k kA n=.三、逆矩阵和伴随矩阵1．逆矩阵设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA =E ，则称A 是可逆矩阵，B 是A 的逆矩阵，记作B A=−1.2．逆矩阵的性质设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵的性质如下： （1）.)(11A A =−− （2）111)(−−=A kkA (常数0≠k ). （3）.)(111−−−=A B AB （4）.)()(11T T A A −−=（5）.11AA=− 3．矩阵可逆的充分必要条件（1）n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是存在n 阶矩阵B ，使得AB =E 或BA =E .（2）n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵，即0≠A ，并且当A 可逆时，*11A AA =−，其中*A 是A 的伴随矩阵. 4．伴随矩阵 （1）伴随矩阵设A 是n 阶方阵，由行列式A 的各元素ij a 的代数余子式ij A 构成的n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==nn n nn n Tij A A A A A A A A A A A L L L L L L L 212221212111*)(称为矩阵A 的伴随矩阵. （2）伴随矩阵的常用性质①.**E A A A AA == ②A AA A 1)()(*11*==−−(A 为可逆矩阵). ③.)(*1*A kkA n −= ④.1*−=n AA⑤.)(2**A AA n −= ⑥.)(***AB AB =四、矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换 对矩阵施行下述三种变换： （1）交换矩阵的两行（列）.（2）用一个非零常数k 去乘矩阵的某一行（列）.（3）矩阵某一行（列）的k 倍加到另一行（列）.这三种变换称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换. 2．初等矩阵单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.对应于三种初等变换的三种初等矩阵分别记作E (i ,j ), E [i (k )], E [i , j (k )].3．矩阵的初等变换和初等矩阵的关系设A 是n m ×矩阵，对A 施行一次初等行变换得到的矩阵，等于用同种初等矩阵左乘A ；对A 施行一次初等列变换得到的矩阵，等于用同种初等矩阵右乘A .4．矩阵的等价矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价.矩阵之间的等价关系，有以下性质：（1）反身性：A 与A 等价.（2）对称性：若A 与B 等价，则B 与A 等价.（3）传递性：若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价. 5．用初等变换求逆矩阵为求n 阶可逆矩阵A 的逆矩阵1−A ，构造n n 2×矩阵(A ,E )，对(A ,E )连续施行初等行变换，当A 变为单位矩阵E 时，E 就变成1−A ，即),(),(1−⎯⎯⎯→⎯A E E A 初等行变换五、矩阵的秩1．矩阵的秩在矩阵m n A ×中，任取k 行k 列（),min(1m n k ≤≤），其交叉位置上的元素按原有顺序构成的k 阶行列式，称为m n A ×的一个k 阶子式.如果矩阵A 不为零的子式的最高阶数为r ，即存在r 阶子式不为零，任意r+1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r ，记作r(A )=r.2．矩阵的秩的简单性质（1）初等变换不改变矩阵的秩.即若P ,Q 为可逆矩阵,则r(A )=r(P A )=r(AQ )= r(P AQ ). （2）r(TA )=r(A ).（3）当0≠k 时，r(kA )=r(A ).（4）如果矩阵A 的秩为r ，即r(A )=r ，则A 与⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O O O E r等价，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O O O E r 称为矩阵A 的等价标准形.（5）r(A +B )≤ r(A )+r(B ).（6）)}.(),(min{)(B r A r AB r ≤ （7）.)()(,0n B r A r B A p n n m ≤+=××则（8）⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r 六、分块矩阵1．分块矩阵将矩阵A 用横线和纵线分为若干子块，以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵. 2．分块矩阵的运算法则与计算公式 （1）分块矩阵的运算法则分块矩阵以子块为元素进行运算，要求所分子块的行数与列数满足运算的有关法则，使运算能够进行.（2）分块矩阵的计算公式① 如果21,A A 分别是m 阶，n 阶可逆矩阵，则,1211121⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−A O O A A O O A⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−OA A OO A A O 1112121. ② 设分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21A BC AD ，则.21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=T T TT TA CB A D ③ 如果21,A A 分别是m 阶，n 阶矩阵，则|,|||2121A A A OO A =||||212121A A A BO A A OB A ==.• 例题讲解 •例1．已知A , B 均为n 阶矩阵,则（ ）||0||0||)(000)())((2))((222=+=⇔=+=≠==+−=−C B A AC AB D B A ，AB C B A AB B B AB A B A A TT T 或时必有且若解:例2．设n 维行向量)21,0,,0,21(L =α,矩阵,2,I B I A T T +=−=αααα其中I 为n 阶单位矩阵,则AB 等于（ ）I D I C I B A T −−αα)()()(0)(解:例3．对n 阶矩阵A , B 和任意非零常数k ,下列等式中正确的是 （ ） (A ) |kAB |＝k |BA | (B ) |A+B |＝|A | +|B | (C ) |(kA )*|＝k n |A |n-1 (D ) |B T A |＝|A T B | 解:例4．则阶矩阵为设,,,A A C A A B n A T T −=+= ( )为反对称矩阵为对称矩阵都为反对称矩阵都为对称矩阵为对称矩阵为反对称矩阵C B D C B C C B B C B A ,)(,)(,)(,)(解:例5．设A 2=E ,则以下结论中错误．．的是（ ）不可逆时可逆时或E A E A D E A E A C A A B A A A +≠+≠=−==−,)(,)()(1||1||)(1解:例6．设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100001,100001010,,21323331121311222321333231232221131211P P a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ,则下列等式成立的是( )B P AP D B A P PC B AP P B BAP P A ====−212112112)()()()(解:例7．设A ,B 均为4阶方阵,且3||,2||−==B A ,则①21||1=−A , ②8||*=A ,③8|4|*1=−−A A , ④3**8|)(|=A . ⑤5*8|)2(|=A ,⑥1627|)(|||*1−=−T B A , ⑦24||*−=A B T , ⑧ 61|)()3(|*1−=−T B A例8． 矩阵的综合运算知识①设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−11210,23,321112B E A A B A 则.②已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=202040202,2B B A AB ,则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−−001010100)(1E A .③设AP P B A 1,100001010−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=,则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−00002000222008A B .④设βαβαT A =−==且),1,1,3(),3,2,1(,则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−000000000,3392261132*1A A n n .⑤设E A A 42+=,则2)2(1E A E A +=−−⑥设矩阵),,,(321ααα=A )93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ,其中321,,ααα均为3维列向量，记如果1=A ,那么=B 2 .⑦设E BA ABA B A +=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=**2,100021012满足矩阵,则9||1=−B .⑧设1**62,100021012−+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=A BA ABA B A 满足矩阵,则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200002020B .解:例9．矩阵秩的综合知识①设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−==×332010223,2)(43B A r ,则2)(=A B r T .②设,1)(,2)(,2131232134=+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=×A AB r A r t B 且,则3=t .③设,043,0220121=×⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=AB B t t A 的非零矩阵且为,则2=t .④设A ,B 均为4阶方阵,且3)(,4)(==B r A r ,则1)(**=B A r .解:例10．已知A 的逆矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−0111213221A ，试求伴随矩阵A *的逆阵解:由1*||−=A A A 知||)(||)(111*A A A A A −−−==，下面用初等行变换来求A . ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−641100531010431001641100531010431001641100110110210101201340110110100011001322010121100011100011010121001322)|(1E A又1||1−=−A ，所以⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−641531411)(1*A .例11．已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010001,202020102B A ，若X 满足AX - BA=B +X .求X.解:由AX - BA=B +X ⇒ ( A - E ) X = B ( A + E )，又A ..102010101)(,1||,102010101)(1⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−−−=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−−E A ，E A E A E A 求得可逆所以 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=+−=−104030201302030103100010001102010101)()(1E A B E A X .例12．已知3阶矩阵B 满足ABA *=2AB +12E ,且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=400032011A ，求B.解:由于AA *=|A |E =4E ,将原方程两边左乘A ,右乘1−A 得, 4B =2BA +12E ⇒B (2E - A ) =6E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−≠=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−−30002402261)2(,06|2|,20001201121A E A E A E 求得.所以⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−≠=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−−30002402261)2(,06|2|,20001201121A E A E A E 求得所以 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−=−300024022)2(61A E B .例13．用初等变换将矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=82312410114121141213A 化为行阶梯形、行最简形及标准形，并指出A 的秩解: ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=143215632114121341211143215632114121141213行A . ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−⎯→⎯3143011210211104121162860224208444041211行行)(32100321002111041211行阶梯形行行⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−⎯→⎯00000321002111041211)()(00000321002111020101标准形行最简形列行行⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯0000000100000100000100000321005301052001矩阵A 的秩为3.例14．求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b b a b b b b a b b b b aA 的秩,其中a 与b 是实常数. 解: ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−+⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++++⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=b a b a b a b b b ba ab b b a b a b b a b b a ba b b b ba ab b b b a b b b b a bb b b a A 00000000033333行行. 讨论如下:①当03≠+≠b a b a 且时,4)(=A r ;②当03=+≠b a b a 且时, 即当03≠−=b a 时, 3)(=A r ; ③当03≠+=b a b a 且时, 即当0≠=b a 时, 1)(=A r ; ④当03=+=b a b a 且时, 即当0==b a 时, 0)(=A r . 例15．已知A 与B 均为n 阶满秩矩阵,试证明***)(A B AB =.证明:因为A 与B 均为n 阶满秩矩阵,所以A B 也为n 阶满秩矩阵,从而 **11111*)|)(||(|||||)(||)(A B A A B B A B B A AB AB AB ====−−−−−. 例16．设A 为n 阶(n ≥3)非零矩阵,且T A A =*.试证明1||=A .证明:由于⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==||||||||*A A A E A AA O .又T A A =*,所以 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==nn n n n n nn n n n n T a a a a a a a a a a a a a a aa a a AA AA L M M M ML L L M M M M L L 212221212111212222111211*. 故),,2,1(||12n i a A nk ikL ==∑=,又由于A 为非零矩阵,故0||>A .由1||1||||||||||21**=⇒=⇒=⇒=⇒=−−A A A A A A A A n n T T .第三章 向量考试内容向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价的向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 正交矩阵及其性质（*向量空间及其相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 正交规范基）考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法,了解正交矩阵及其性质.• 考试内容解析 •一、n 维向量1．向量的定义由n 个数n a a a ,,,21L 组成的有序数组T n a a a ),,,(21L =α或),,,(21n a a a L =α称为n 维向量，其中),,2,1(n i i L =α称为向量的第i 个分量.Tn a a a ),,,(21L =α称为n 维列向量，Tn a a a ),,,(21L =α称为n 维行向量.若一个向量的每一个分量均为实数，则称该向量为实向量.注 向量可以看作矩阵的特例. 2．向量的线性运算设Tn a a a ),,,(21L =α，Tn b b b ),,,(21L =β是n 维列向量，且k 是一个数. (1)向量的加法T n n b a b a b a ),,,(2211+++=+L βα.(2)数与向量乘法（数乘）T n ka ka ka k ),,,(21L =α(3)向量线性运算的运算性质向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算.向量的线性运算满足以下运算性质. ①.αββα+=+ ②.)()(γβαγβα++=++③.0αα=+ ④0)(=−+αα ⑤.)(αββαk k k +=+ ⑥.)(αααl k l k +=+ ⑦).(ααl k kl = ⑧.1αα=⋅二、向量组的线性相关性1．向量的线性组合与线性表示 （1）定义对n 维向量s ααα,,,21L 和β，如果存在常数n 维列向量s k k k ,,,21L ，使得s s a k a k a k +++=L 2211β,则称β是s ααα,,,21L 的线性组合，或者β称可由s ααα,,,21L 线性表示. （2）判别设有n 维向量β和向量组s ααα,,,21L .① 向量β可由向量组s ααα,,,21L 线性表示的充分必要条件是，线性方程组βααα=+++s s x x x L 2211有解.方程组的一组解，就是一组线性表示的系数.②向量β可由向量组s ααα,,,21L 线性表示的充分必要条件是),,,,(),,,(2121βααααααs s r r L L =2．向量组的线性相关与线性无关 （1）定义对n 维向量s ααα,,,21L ，如果存在一组不全为零的数s k k k ,,,21L ，使得02211=+++s s k k k αααL则称向量组s ααα,,,21L 线性相关.否则，当且仅当021====s k k k L 时，才能使上面等式成立，则称向量组s ααα,,,21L 线性无关.注 由线性相关与线性无关的定义可知： ① 1个零向量线性相关，1个非零向量线性无关.② 向量组21,αα线性相关的充要条件是21,αα的分量对应成比例. （2）性质①n 个n 维列向量n ααα,,,21L 线性相关的充分必要条件是，这些列向量构成的矩阵的行列式0,,,21=n αααL .②当m >n 时，任意m 个n 维向量必定线性相关.③如果一个向量组的部分向量线性相关，则整个向量组线性相关；反之，如果一个向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.（整体无关⇒部分无关）④向量组)2(,,,21≥s s αααL 线性相关的充分必要条件是，其中至少有一个向量是其余s -1个向量的线性组合.⑤如果向量组s ααα,,,21L 线性无关，但向量组βααα,,,,21s L 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,,,21L 线性表示，且表示法唯一.⑥如果向量组s ααα,,,21L 可由向量组t βββ,,,21L 线性表示，且s>t ，则向量组s ααα,,,21L 线性相关；反之，如果向量组s ααα,,,21L 线性无关，且可由向量组t βββ,,,21L 线性表示，则t s ≤.⑦设n 维向量组s ααα,,,21L 线性无关，则每个向量再添加m 个分量所得到的n +m 维向量组',,','21s αααL 也线性无关.(低维无关⇒高维无关)（3）判别①n 维列向量组s ααα,,,21L 线性相关（或无关）的充分必要条件是，齐次线性方程组02211=+++s s x x x αααL 有非零解（或仅有零解）.②n 维列向量组s ααα,,,21L 线性相关（或无关）的充分必要条件是矩阵),,,(21s A αααL =的秩r(A )<s （或=s ）.三、向量组的秩1．极大线性无关组设向量组s ααα,,,21L 的一个部分组r i i i ααα,,,21L 满足条件：①线性无关；②向量组中的任一个向量均可由它线性表示，则称部分组r i i i ααα,,,21L 是此向量组的一个极大无关组.注 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 2．向量组的秩 （1）定义向量组s ααα,,,21L 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记作),,,(21s r αααL .（2）性质如果向量组t βββ,,,21L 可由向量组s ααα,,,21L 线性表示，且,),,,(21p r t =βββL r r s =),,,(21αααL ，则r p ≤.3．向量组等价 （1）定义设有两个向量组：（Ⅰ）s ααα,,,21L ；（Ⅱ）t βββ,,,21L .如果向量组（Ⅰ）的每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示.如果向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)可以互相线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.（2）性质①反身性：},,,{21s αααL 与},,,{21s αααL 等价.②对称性：若},,,{21s αααL 与},,,{21t βββL 等价，则},,,{21t βββL 与},,,{21s αααL 等价. ③传递性：若},,,{21s αααL 与},,,{21t βββL 等价，},,,{21t βββL 与},,,{21p γγγL 等价，则},,,{21s αααL 与},,,{21p γγγL 等价.④任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑤如果},,,{21s αααL 与},,,{21t βββL 等价，则),,,(21s r αααL ),,,(21t r βββL =. 4．向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵A 的行向量组的秩等于矩阵A 的列向量组的秩，均等于矩阵A 的秩，即r(A )=A 的行秩=A 的列秩.5．求向量组的秩和极大无关组的常用方法（1）利用矩阵的初等变换，设s ααα,,,21L 为n 维列向量组，记矩阵),,,(21s A αααL =，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=T s T T B αααM 21.对A 施行初等行变换，或者对B 作初等列变换将其化为阶梯形矩阵.由于初等行（或列）变换不改变矩阵列（或行）的线性关系，从而容易求出向量组的秩和极大无关组.（2）利用矩阵的秩和子式.设s ααα,,,21L 为n 维列向量组，记),,,(21s A αααL =.如果经过计算，得出r(A )=r ，则向量组的秩r r s =),,,(21αααL .如果A 中一个r 阶子式0≠r D ，则r D 所含的部分向量组是一个极大无关组.（3）利用线性相关和线性无关的定义.这种方法适用于抽象的向量组. 6．判定向量β是否可由向量组s ααα,,,21L 线性表示的常用方法（1）解线性方程组βααα=+++s s x x x L 2211.根据方程组有唯一解、无穷多组解或无解，判定向量β由向量组s ααα,,,21L 线性表示法唯一、不唯一或不能表示. （2）利用向量组的秩.计算),,,(21s r αααL 和),,,,(21βαααs r L .如果),,,,(),,,(2121βααααααs s r r L L =，则β可由s ααα,,,21L 线性表示.如果),,,,(),,,(2121βααααααs s r r L L ≠，则β不能由s ααα,,,21L 线性表示.7．判定向量组线性相关性的常用方法（1）利用向量组线性相关性的定义判定.基本思路是，由向量组线性相关性定义出发，经过恒等变形，最终归结为判定一个齐次线性方程组是否存在非零解.这是判定向量组线性相关性的最基本的方法.对于分量已知的具体向量组适用，对于抽象向量组也适用.（2）利用矩阵的秩判定.向量组的秩和矩阵的秩之间存在密切的联系，判定向量组的线性相关性，经常转化为讨论矩阵秩的问题.对于n 维列向量组s ααα,,,21L ，令矩阵),,,(21s A αααL =.当r(A )<s 时，s ααα,,,21L 线性相关；当r(A )=s 时，s ααα,,,21L 线性无关.（3）利用行列式判定.对于n 个n 维列向量n ααα,,,21L ，令矩阵),,,(21n A αααL =.当0=A 时，n ααα,,,21L 线性相关；当0≠A 时，n ααα,,,21L 线性无关.（4）利用向量组线性相关性的有关性质.由于线性相关和线性无关是两个相互对立的概念，反证法也是判定向量组线性相关性的常用方法.在反证的推理过程中，注意利用线性相关性的有关性质.四、实向量的内积、长度和正交1．向量的内积n 维列向量Tn a a a ),,,(21L =α与Tn b b b ),,,(21L =β的内积∑===ni i i Tb a 1),(βαβα.2．向量的长度∑===ni iTa12ααα称为向量α的长度,长度为1的向量称为单位向量.3．向量正交如果列向量βα,的内积等于零，即0=βαT，则称α与β正交.如果r ααα,,,21L 是一组两两正交的非零向量组,则称r ααα,,,21L 为正交向量组.如果正交向量组r ααα,,,21L 中的每个向量的长度为1,则称r ααα,,,21L 为正交规范向量组. 注 行向量的线性运算、内积、长度和正交与列向量的情况类似. 4．施密特(Schmidt )正交规范化 设321,ααα,是一组线性无关的向量, 取222321113133111212111),(),(),(),(,),(),(βββαββββαβαββββαβαβαβ−−=−=,=,再令||||,||||,||||333222111ββηββηββη===, 则321,,ηηη是与321,ααα,等价的正交规范向量组. 5．正交矩阵及其性质 （1）正交矩阵的定义如果n 阶矩阵A 满足条件E A A AA TT==，则称A 是正交矩阵. （2）正交矩阵的性质 ①正交矩阵A 可逆，并且T A A=−1.②正交矩阵A 的行列式之值为1或-1，即1=A 或-1. ③如果A ,B 均是n 阶正交矩阵，则AB 也是n 阶正交矩阵. ④正交矩阵A 的行（列）向量组均为正交规范向量组.• 例题讲解 •例1．下列向量组中，线性无关的是 ( D ).)1,2,1,1(,)0,,0,1(,)0,3,1,0)((.),,(,)1,0,1(,)1,2,3(,)3,2,1)((.)1,1,1,1(,)8,6,4,2(,)4,3,2,1)((.)0,0,0,0(,)1,2,3,4(,)4,3,2,1)((TTTTTTTT T T T T T a D c b a C B A解:例2．已知βααα,,321,均为3维列向量，现有下列四个命题 ①若β不能由向量组321,ααα,线性表示，则321,ααα,线性相关. ②若321,ααα,线性相关，则β不能由向量组321,ααα,线性表示. ③若β能由向量组321,ααα,线性表示，则321,ααα,线性无关. ④若321,ααα,线性无关，则β能由向量组321,ααα,线性表示 其中命题正确的是（ C ）（A ）① ②. （B ）③ ④. （C ）① ④. （D ）② ③. 解:例3．设向量组321,ααα,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( C ).553,2232)(.3,322)(.2,)(.,)(3213213213132213213221133221αααααααααααααααααααααααααααα−++−,++++,++++,+−+,+D C B A解:例4．设A ,B 是两个非零矩阵,且AB =0,则必有( A ) （A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.解:例5．设向量组321,ααα,线性无关，向量组432,,ααα线性相关,矩阵),,(4321αααα,=A 经线性行变换化为),,(4321ββββ,=B ,则( C )(A ) 4β不能由向量组321,βββ,线性表示.(B ) 4β能由向量组321,βββ,线性表示,但表示式不唯一. (C ) 4β能由向量组321,βββ,线性表示,且表示式唯一. (D ) 4β能否由向量组321,βββ,线性表示不能确定. 解:例6．设n 维向量组)(,1n m m <,ααL 线性无关，则n 维向量组m ββ,1L ,线性无关的充要条件是( D )(A ) 向量组m αα,1L ,能由向量组m ββ,1L ,线性表示. (B ) 向量组m ββ,1L ,能由向量组m αα,1L ,线性表示. (C ) 向量组m αα,1L ,与向量组m ββ,1L ,等价.(D ) 矩阵),(1m A α,α=L 与矩阵),(1m B β,β=L 等价.. 解:例7．设向量组)0,1(),,11(),31,1(321,=α,=α,=αt t 线性相关, 向量组),32,1(1,=β)76,2(),2,3,1(32,=−=ββt 线性无关，则.1=t例8．设向量组)1,1,,2(),,11,1(),,01,1(321+=,−=,=a a a a a ααα线性相关,则.1=a例9．设向量组)0(),,,(),,(),,(321≠=,=,=a a b b b a b b b a ααα的秩为2，则a 与b 满足关系式 a +2b =0 .例10．已知)0)(,,(>,=a d c b a β是与)1,3,2,1(),2,1,10(),1,10,1(321−=,=−,=ααα都正交的单位向量,则.)0,33,33,33(−=β与21,αα等价的正交规范向量组为.)515,514,513,511(),33,33,0,33(−。