(人教版)高中数学选修：1.2 充分条件与必要条件 课后提升作业 五 1.2.2含解析
人教A版高中数学选修2-1习题：1.2充分条件与必要条件(含答案)
1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。
(人教版)高中数学选修：1.2 充分条件与必要条件 课时提升作业(五) 1.2.2含解析
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课时提升作业(五)充要条件的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件.2.(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立.4.(2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.5.(2015·烟台高二检测)已知a,b∈R,ab≠0,则“a>0,b>0”是“≥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a>0,b>0时由基本不等式可得≥.当且仅当a=b时取等号.反之,当≥时,由有意义结合a,b≠0,可得a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,而当a<0,b<0时<0与≥矛盾.故必有a>0,b>0成立,故“a>0,b>0”是“≥”的充要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·郑州高二检测)等差数列{a n}的首项为a,公差为d,其前n项和为S n,则数列{S n}为递增数列的充要条件是.【解题指南】若{S n}为递增数列,则S n+1>S n(n∈N*),据此转化求解.【解析】由S n+1>S n(n∈N*)⇔(n+1)a+d>na+d(n∈N*)⇔dn+a>0(n∈N*)⇔d ≥0且d+a>0.因此数列{S n}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a>0.答案:d≥0且d+a>07.(2015·三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是.【解析】直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切⇔圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于⇔=⇔|m+2|=2⇔m=-4或0.答案:m=-4或0【补偿训练】“x2-2x>0”的充要条件是.【解析】x2-2x>0⇔x·(x-2)>0⇔x>2或x<0.答案:x>2或x<08.下列命题:①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的充要条件;③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.其中真命题的序号为.【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0.故②为假命题;。
人教版高中数学必修目录
必修一（高一）必修三（高一）必修二（高二）必修四（高一）必修五（高一）高中数学选修教材目录1-1（高二文）第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆2.2双曲线探究与发现为什么的渐近线2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结1-2（文）第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明小结第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用word2002绘制流程图小结2-1（高二理）第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2双曲线探究与发现 为什么 是双曲线 的渐近线2.3 抛物线探究与发现 为什么二次函数 的图像是抛物线2.4 直线与圆锥曲线的位置关系阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用2.5曲线与方程探究与发现 圆锥曲线的离心率与统一方程小结第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算阅读与思考 向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结2-2（理）第一章导数及其应用1.1 变化率与导数 1.2导数的计算探究与发现 牛顿法-用导数方法求方程的近似解1.3导数在研究函数中的应用信息技术应用 图形技术与函数性质1.4 生活中的优化问题举例 1.5定积分的概念信息技术应用 曲边梯形的面积1.6 微积分基本定理 1.7定积分的简单应用 实习作业 走进微积分第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考 平面与空间中的余弦定理2.2 直接证明与间接证明 2.3数学归纳法小结第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算 阅读与思考 代数基本定理小结2-3（理）第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 1.2排列与组合探究与发现 组合数的两个性质1.3 二项式定理小结第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用阅读与思考 这样的买彩票方式可行吗?探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4正态分布信息技术应用 µ,б对正态分布的影响小结第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结4-1 几何证明选讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理 二 平行线分线段成比例定理 三相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定2 相似三角形的性质 四直角三角形的射影定理第二讲 直线与圆的关系 一 圆周角定理 二 圆内接四边形的性质与判定定理 三 圆的切线的性质及判定定理 四 弦切角的性质 五与圆有关的比例线段 第三讲圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影 二 平面与圆柱面的截线 三平面与圆锥面的截线 4-4 坐标系与参数方程 第一讲 坐标系一 平面直角坐标系 二 极坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 四 柱坐标系与球坐标系 第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 三 直线的参数方程 四渐开线与摆线4-5 不等式选讲 第一讲 不等式和绝对值不等式 一不等式1不等式的基本性质2基本不等式3三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式2绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。
人教新课标版数学高二 选修1-1练习 1.2充分条件与必要条件
课时跟踪检测（三） 充分条件与必要条件层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|解析：选C 对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于B ，注意当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b ，且|a|＝|b|时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b .4．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Aφ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0 B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0 D．2x<1解析：选B∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a1＝21，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 故p 是q 的充要条件．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(1)充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． 当n ＝1时，上式也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．(2)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． ∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p (p －1)p ＋q ，∴q ＝－1.即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.层级二 应试能力达标1．“0<a <b ”是“⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a <b 时，⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 成立，所以是充分条件；当⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 时，有a <b ，不能推出0<a <b ，所以不是必要条件，故选A.2．已知直线l ，m ，平面α，且m ⊂α，则( )A ．“l ⊥α”是“l ⊥m ”的必要条件B ．“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件C ．l ∥m ⇒l ∥αD ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m ，l ⊥m l ⊥α，l ∥ml ∥α，l ∥αl ∥m ，故选B.3．下列说法正确的是( ) A ．“x >0”是“x >1”的必要条件B ．已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a >b ”的必要条件D ．在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件解析：选A A 中，当x >1时，有x >0，所以A 正确；B 中，当m ∥n 时，m ＝n 不一定成立，所以B 不正确；C 中，当a >b 时，a 4>b 4不一定成立，所以C 不正确；D 中，当a >b 时，有A >B ，所以“a >b ”是“A >B ”的充分条件，所以D 不正确．故选A.4．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎦⎤0，12 解析：选B ∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故选B.5．已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a ≤2或a ≥10.答案：(1,2]∪[10，＋∞)6．已知“－1<k <m ”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时， k 2＋3－4k 2>0，解得－1<k <1， 所以－1<m ≤1，即实数m 的取值范围是(－1,1]． 答案：(－1,1]7．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}． 依题意p ⇒q ，所以A ⊆B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．8．求二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)，B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点的充要条件．解：线段AB 的方程为x ＋y ＝3，由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3(0≤x ≤3)， ①y ＝－x 2＋mx －1， ②在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则二次函数f (x )在x ∈[0,3]上有两个实根，故有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－16>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤3，103.。
(整理)人教a版数学【选修1-1】作业：1.2充分条件与必要条件(含答案)
§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在 [1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a.又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c ，即a b ＝a c 或b c ＝a c ， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得an ＝2n ＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c ＝－1.。
人教版高中数学选修1-1导学案第一章§1.2充分条件与必要条件
§1-2充分条件与必要条件【学习目标】1•理解充分条件、必要条件、充要条件的泄义∙2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3•能够利用命题之间的关系判左充要关系或进行充要条件的证明. 知识梳理梳理教材夯实圧础知识点一充分条件与必要条件知识点二充要条件如果既有P=q，又有q*就记作P仝q∙此时，我们说，"是§的充分必要条件，简称充要条件.特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件)，即Paq且曲:(2)充分不必要条件，即Paq且q≠>p;(3)必要不充分条件，即p≠>q且(4)既不充分也不必要条件，即］τ≠>q且c{Ψ>p.■思考辨析判断正误-- -----------------------------------------------------------1.若“是q的充分条件,则P是唯一的.(× )2.“若P ,则g”是真命题,而“若「则“”是假命题，则"是"的充分不必要条件.(√)3. 4不是"的必要条件时Jgq”成立.(J )4.若卩是q的充分不必要条件，则締P是締q的必要不充分条件.(√)题型探究探究重点索养提升------------------------ % -------一、充分、必要' 充要条件的判断例1指出下列各题中，"是g的什么条件(在''充分不必要条件”"必要不充分条件”“充要条件”''既不充分也不必要条件”中选出一个作答).(1)在AABC中，p： A>B, q： BC>AC;(2)对非空集合A, B, p：x≡AUB, q：Λ∈B;(3)在Z∖ABC 中，p：Sin Λ>sin B, q：tanΛ>tan Bi(4)已知x, y∈R, p：仗一I)?+©—2)2=0, q： (X — l)(y—2)=0.解(1)在Z∖ABC中,显然有A>B^BC>AC I所以P是g的充要条件.⑵显然x∈AU B≠>X≡B ,但X∈B=>A∈A UB ,所以"是g的必要不充分条件•⑶取A二120。
2021年高二人教版数学选修1-1练习：1.2充分条件与必要条件 Word版含答案
►根底梳理1．充分条件和必要条件．一般地,"假设p ,那么q〞为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p 可推出q ,记作p⇒q ,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件．2．充要条件．一般地,如果既有p⇒q ,又有q⇒p ,就记作p⇔q ,此时我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件．显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件．概括地说,如果p⇔q ,那么p与q互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件?答案：对于集合A＝{x|p(x)} ,B＝{x|q(x)} ,分别是使命题p和q为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．集合A ,B ,那么 "A⊆B〞是 "A∩B＝A〞的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2． "a＝1〞是 "直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直〞的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．假设a∈R ,那么 "a＝2〞是 "(a－1)(a－2)＝0〞的充分不必要条件．解析：由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0 ,但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2 ,而不是a＝2 ,所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中 , "A >30°〞是 "sin A >12〞的(B ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时 ,sin 170°＝sin 10°<12,所以 "过不去〞；但是在△ABC 中 ,sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30° ,即 "回得来〞． 2．(2021·湛江一模) "x >2〞是 "(x －1)2>1〞的(B )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3． "b 2＝ac 〞是 " a ,b ,c 成等比数列〞的________条件．解析：因为当a ＝b ＝c ＝0时 , "b 2＝ac 〞成立 ,但是a ,b ,c 不成等比数列； 但是 "a ,b ,c 成等比数列〞必定有 "b 2＝ac 〞．答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件．解析：当a ＝0时 ,2x ＋1>0不恒成立．当a ≠0时 ,ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎨⎧a >0Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0 ,q ：2x 2－3x －2≥0 ,假设p 是q 的必要不充分条件 ,求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a } ,q ⇒p 且p ⇒/ q ,得M ?N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12 a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12 a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2. 即所求a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2.1．(2021·深圳二模)设x ,y ∈R ,那么 "x ≥1且y ≥2〞是 "x ＋y ≥3〞的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． "直线与平面α内无数条直线垂直〞是 "直线与平面α垂直〞的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．假设等比数列{a n }的公比为q ,那么 "q >1〞是 "a n ＋1>a n (n ∈N )〞的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1 ,－2 ,－4 ,－8 ,…公比为2 ,但不是增数列；②如数列：－1 ,－12 ,－14 ,－18 ,…是增数列 ,但是公比为12<1. 4．(2021·东莞二模)p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行 ,q ：a ＝－1 ,那么p 是q 的(A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．直线a 、b 和平面α ,那么a ∥b 的一个必要不充分条件是(D )A ．a ∥α ,b ∥αB ．a ⊥α ,b ⊥αC ．a ∥α ,b ⊂αD ．a 、b 与平面α成等角6．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是(B )A ．k ∈(－ 2 , 2)B ．k ∈(－ 3 , 3)C ．k ∈(－∞ ,－2)∪( 2 ,＋∞)D ．k ∈(－∞ ,－3)∪( 3 ,＋∞)解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点⇔d ＝21＋k 2>1⇔k ∈(－3 ,3)． 7．命题p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为∅ ,命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数 ,那么p 是q 的____________________．解析：命题p 相当于命题：a <1 ,命题q 相当于：0<a <1.所以 ,p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分条件8．条件p ：x 2＋x －2>0 ,条件q ：x >a ,假设q 是p 的充分不必要条件 ,那么a 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2} ,B ＝{x |x >a } ,∵p 是q 的充分不必要条件 ,∴B ?A ,∴a ≥1.答案：a ≥19．指出以下各组命题中 ,p 是q 的什么条件．(1)在△ABC 中 ,p ：∠A >∠B ,q ：BC >AC ；(2)p ：a ＝3 ,q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a <b ,q ：a b<1. 答案：(1)充要条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．是否存在实数p ,使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件 ?如果存在 ,求出p 的取值范围；如果不存在 ,请说明理由．解析：由x 2－x －2>0 ,解得x >2或x <－1 ,令A ＝{x |x >2或x <－1} ,由4x ＋p <0 ,得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4. 当B ⊆A 时 ,即－p 4≤－1. 即p ≥4 ,此时x <－p 4≤－1⇒x 2－x －2>0 ,∴当p ≥4时 ,4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件． 11．p ：－2≤－1－ x －13≤2 ,q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0) ,且綈p 是綈q 的必要不充分条件 ,求实数m 的取值范围．分析：(1)用集合的观点考察问题 ,先写出綈p 和綈q ,然后 ,由綈q ⇒綈p ,但綈p ⇒/綈q 来求m 的取值范围；(2)将綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件再求解．解析：方法一 由x 2－2x ＋1－m 2≤0 ,得1－m ≤x ≤1＋m ,∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ,或x <1－m ,m >0}．由－2≤1－x －13≤2 ,得－2≤x ≤10 , ∴綈p ：B ＝{x |x ＞10 ,或x ＜－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件 ,结合数轴∴A ?B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0 1－m ≤－2 解得m ≥9.1＋m ≥10.方法二 ∴綈p 是綈q 的必要不充分条件 ,∴綈q ⇒綈p ,且綈p ⇒/ 綈q .∴p ⇒q ,且q ⇒/ p ,即p 是q 的充分不必要条件．结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10} ,q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m >0}∴C ?D ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥101－m ≤－2 ∴m ≥9. 所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．12．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：ax 2－ax ＋1>0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a <0⇔0<a <4. ►体验（高|考）1．(2021·安徽卷) "x <0〞是 "ln(x ＋1)<0〞的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln(x ＋1)<0得－1<x <0 ,应选B.2．(2021·广东卷)在△ABC 中 ,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,那么 "a ≤b 〞是 "sin A ≤sin B 〞的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B .3．(2021·浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ,那么 "四边形ABCD 为菱形〞是 "AC ⊥BD 〞的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2021·北京卷)设a 、b 是实数 ,那么 "a >b 〞是 "a 2>b 2〞的(D )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2021·福建卷)设点P (x ,y ) ,那么 "x ＝2且y ＝－1〞是 "点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上〞的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：假设x ＝2且y ＝－1 ,那么x ＋y －1＝0；反之 ,假设x ＋y －1＝0 ,x ,y 有无数组解 ,如x ＝3 ,y ＝－2等 ,不一定有x ＝2且y ＝－1 ,应选A.6．设x ∈R ,那么 "x >12〞是 "2x 2＋x －1>0〞的(A ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件。
人教版 高中数学【选修 2-1】1.2充分条件与必要条件课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 1.2充分条件与必要条件课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“数列{a n}为等比数列”是“a n=3n(n∈N*)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a n=3n时,{a n}一定为等比数列,但当{a n}为等比数列时,不一定有a n=3n,故应为必要不充分条件.答案:B2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由a+b=0可知a,b是相反向量,它们一定平行;但当a∥b时,不一定有a+b=0,故应为充分不必要条件.答案:A3.“实数a=0”是“直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=0时,两直线方程分别为x=1和2x=1,显然两直线平行;反之,若两直线平行,必有1×(-2a)=(-2a)×2,解得a=0,故应为充要条件.答案:C4.函数y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是()A.1<a<2B.<a<2C.a<1D.a<0解析:由指数函数性质得,当y=(2-a)x(a<2且a≠1)是增函数时,2-a>1,解得a<1.故选C.答案:C5.设p:|x|>1,q:x<-2或x>1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由已知p:x<-1或x>1,则q是p的充分不必要条件.由互为逆否命题的两个命题同真,得p是q的充分不必要条件.答案:A6.“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是()A.0<a<1B.0≤a≤1C.0<a<D.a≥1或a≤0解析:当关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立时,应有Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.答案:B7.“sin A=”是“A=”的条件.解析:由sin A=不一定能推得A=,例如A=等;但由A=一定可推得sin A=,所以“sin A=”是“A=”的必要不充分条件.答案:必要不充分8.在平面直角坐标系中,点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是.解析:由解得0<x<1,所以点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是0<x<1.答案:0<x<19.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.10.若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f(2)=2,设P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数t的取值范围.解:因为f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f(2)=2,所以P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t)<f(2)}={x|x+t<2}={x|x<2-t},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x)<f(-1)}={x|x<-1}.因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P⫋Q,所以2-t<-1,解得t>3.即实数t的取值范围是t>3.B组1.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当△ABC为钝角三角形时,A,B,C中的任何一个都有可能是钝角,不一定有<0;但当<0时,A为钝角,△ABC一定是钝角三角形.故选B.答案:B2.已知a>1,f(x)=,则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.-1<x<0B.-2<x<1C.-2<x<0D.0<x<1解析:由a>1,<1可得x2+2x<0,即-2<x<0,因此使f(x)<1成立,即-2<x<0成立的一个充分不必要条件是-1<x<0.答案:A3.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④p是s的必要不充分条件;⑤r是s的充分不必要条件.则正确命题的序号是.解析:由已知可得,p⇒r,r p,r⇒s,q⇒r,s⇒q.因此必有q⇒r⇒s,又s⇒q,故s是q的充要条件.又p⇒r⇒s⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.又r⇒s⇒q,q⇒r,故r是q的充要条件.又p⇒r⇒s,但s p,故p是s的充分不必要条件,从而p是s的必要不充分条件.又r⇒s,s⇒q⇒r,故r是s的充要条件.故正确命题的序号是①②④.答案:①②④4.是否存在实数p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;否则,说明理由.解:由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1,令A={x|x>2或x<-1}.由4x+p<0,解得x<-,令B=.当B⊆A时,即-≤-1,即p≥4,此时x<-≤-1⇒x2-2x-2>0,故当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.5.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明:(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,方程x2+mx+1=0有实根.设x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,由根与系数的关系,知x1x2=1>0,所以x1,x2同号.又因为x1+x2=-m≤-2,所以x1,x2均为负根.(2)必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=--2=-=-≥0.所以m≥2.综合(1)(2)可知命题得证.6.已知p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}=,N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2或x≥a}.由已知p⇒q且q p,得M⫋N,即解得≤a<2或<a≤2,即≤a≤2.故实数a的取值范围是≤a≤2.。
高中数学人教版选修1-2课时提升作业五2.2.1.1综合法习题Word版含答案
高中数学人教版选修1-2课时提升作业五 2.2.1.1 综合法习题 Word版含答案课时提升作业五综合法一、选择题(每小题5分,共25分)1. (2019·阜阳高二检测)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )A.1-≤m≤1+B.1-≤m≤2C.-2≤m≤2D.-2≤m≤1-【解析】选 B.因为f(x)为“局部奇函数”,所以存在实数x满足f(-x)=-f(x),即4-x-2m2-x+m2-3=-4x+2m2x-m2+3,令t=2x(t>0),则+t2-2m+2m2-6=0,-2m+2m2-8=0在t∈(0,+∞)上有解,再令h=+t(h≥2),则g(h)=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2,+∞)上有解,函数关于h的对称轴为h=m,①当m≥2时,g(h)≥g(m),所以g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0,解得2≤m≤2;②当m<2时,则g(2)=4-4m+2m2-8≤0,即m2-2m-2≤0,解得1-≤m<2.综合①②,可知1-≤m≤2.2.(2019·济宁高二检测)命题“对任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了( )A.分析法B.综合法C.分析法与综合法D.演绎法【解析】选 B.证明过程是由已知条件入手利用有关公式进行证明的,属于综合法,即证明过程应用了综合法.3.(2019·德州高二检测)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选B,由题意知x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0.解得-2<x<1.4.(2019·东营高二检测)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )A.8B.4C.1D.【解析】选 B.因为是3a与3b的等比中项,所以3a·3b=3,即a+b=1.又a>0,b>0,所以≤=,得ab≤.故+==≥=4.即+的最小值为 4.5. (2019·三明高二检测)在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选 C.因为在△ABC中,sinAsinB<cosAcosB即cos(A+B)>0.即cosC<0,所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·江阳高二检测)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x).则f(9)的值为________.【解析】因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4.所以f(9)=f(1)=-f(-1)=-f(1),所以f(1)=0即f(9)=0.答案:07.(2019·石家庄高二检测)若lgx+lgy=2lg(x-2y),则lo=________. 【解析】由题设条件知即x2-5xy+4y2=0,解得=1或=4,因为x>2y,所以=4,即log=lo4=4.答案:48.(2019·烟台高二检测)设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.则++的最小值为________.【解题指南】应用a+b+c=1代换应用基本不等式.【解析】因为a>0,b>0,c>0且a+b+c=1所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c时等号成立.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.【证明】因为x+y=1,所以===5+2.又因为x>0,y>0,所以>0,>0.所以+≥2,当且仅当=,即x=y=时取等号.则有≥5+2×2=9成立.【一题多解】因为x>0,y>0,1=x+y≥2,当且仅当x=y=时等号成立, 所以xy≤.则有=1+++=1++=1+≥1+8=9成立. 10.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC= 60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE.(2)证明:PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又因为AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为点E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又因为PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019·济南高二检测)在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有a n a n+1a n+2=K(K为常数),那么这个数列叫做等积数列,K叫做这个数列的公积,已知数列{a n}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积K=8则a1+a2+a3+……+a12= ( )A.24B.28C.32D.36【解析】选 B.由已知a n a n+1a n+2=8,a n+1a n+2a n+3=8,两式相除得=1即a n+3=a n,即此数列是一个以3为周期的数列.由a1a2a3=8得a3=4,所以a1+a2+a3=7,所以a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×7=28.2.(2019·大连高二检测)在非等边三角形ABC中,∠A为钝角,则三边a,b,c满足的条件是( )A.b2+c2≥a2B.b2+c2>a2C.b2+c2≤a2D.b2+c2<a2【解题指南】应用余弦定理cosA<0.【解析】选 D.由余弦定理得cosA=.因为A为钝角,所以cosA<0,即b2+c2<a2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2019·武昌高二检测)已知函数f(x)=2x,a,b∈(0,+∞).A=f, B=f,C=f则A,B,C从小到大排列为________.【解析】因为a>0,b>0,所以≥,所以≤1,所以≤,故≤≤,又f(x)=2x为增函数,所以f≤f()≤f,即C≤B≤A,当且仅当a=b=c时取等号.答案:C≤B≤A4.(2019·郑州高二检测)若不等式(-1)n a<2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】当n为偶数时,a<2-.而2-≥2-=.故a<,①当n为奇数时,a>-2-.而-2-<-2,故a≥-2,②由①,②得-2≤a<.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤.【解题指南】不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a+b+c=1,将已知平方可得a,b,c 两两乘积及a,b,c的平方和的形式,然后可用基本不等式证明.【证明】因为a+b+c=1,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.又因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.所以1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).所以ab+bc+ca≤.6.(2014·山东高考)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,点E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP∥平面BEF.(2)求证:BE⊥平面PAC.【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,来证明线面平行.(2)本题考查了线面垂直的判定,在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可.【证明】(1)连接AC交BE于点O,连接OF,CE,不妨设AB=BC=1,则AD=2,因为AB=BC=AD,AD∥BC,E为AD的中点,所以四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点,因为O,F分别为AC,PC中点,所以OF∥AP,又因为OF?平面BEF,AP?平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)因为AP⊥平面PCD,CD?平面PCD,所以AP⊥CD,因为BC∥ED,BC=ED,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,所以BE⊥PA,又因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC,又因为PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BE⊥平面PAC.关闭Word文档返回原板块。
充分条件与必要条件课后限时作业(五)含答案人教版高中数学选修1-1
高中数学专题复习
《充分条件与必要条件》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是
)A B U =U （C
（A ） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2020山东理)
2．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非
必要条件(2020上海春季)
3．a 、b 为非零向量。
“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的
（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020北京理
6）
4．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”。
(人教版)高中数学选修1-1课后提升作业 五 1.2.2 Word版含解析
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课后提升作业五充要条件(分钟分)一、选择题(每小题分,共分).(·安徽高考)设<<>,则是成立的( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件【解析】选.由>>可知:由能推出,但由不能得出,所以是成立的充分不必要条件..(·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“α<β”的( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件【解析】选.在中,函数为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“α<β”的充要条件..若非空集合满足∪,且不是的子集,则( ).“∈”是“∈”的充分条件但不是必要条件.“∈”是“∈”的必要条件但不是充分条件.“∈”是“∈”的充要条件.“∈”既不是“∈”的充分条件也不是“∈”的必要条件【解析】选.由∪知∈∈∈∈.所以∈是∈的必要不充分条件..(·石家庄高二检测)设∈,则“()<”是“<”的( ) .充分而不必要条件.必要而不充分条件.必要条件.既不充分也不必要条件【解析】选.因为∈,则()<,所以<成立,由<,则<,“()≤,所以根据充分必要条件的定义可以判断:∈,则“()<”是<的充分不必要条件..（·北京高考）设是向量，则“”是“”的( ).充分而不必要条件.必要而不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件【解析】选.由可得⊥.所以“”是“”的既不充分也不必要条件..(·陕西高考)“αα”是“α”的( )。
(人教版)高中数学选修：1.2 充分条件与必要条件 课后提升作业 四 1.2.1含解析
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课后提升作业四充分条件与必要条件(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.使x>1成立的一个必要条件是( )A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.2.(2016·大连高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( )A.0<x<2B.-1<x<1C.<x<D.<x<2【解析】选C.x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识易知只有C中由<x<可以推出0<x<1,其余均不可,故选C.3.(2016·郑州高二检测)下列p是q的必要条件的是( )A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1C.p:a<b,q:a<b+1D.p:a>b,q:a>b+1【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故选D.4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( )①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;④由于p:直线a,b不相交q:a∥b,所以p不是q的充分条件.5.(2016·武汉高二检测)如果<x<是不等式|x-a|<1成立的充分条件,但不是必要条件,则实数a的取值范围是( )A.<a<B.≤a≤C.a>或a<D.a≥或a≤【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,由题意知(a-1,a+1),则有且等号不同时成立,解得≤a≤,故选B.【补偿训练】(2016·上海高二检测)集合A=,B={x||x-b|<1},若“a=1”是“A ∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是______.【解析】“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠∅,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠∅得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b≤0,所以b的范围是-2<b<2.答案:(-2,2)6.(2016·温州高二检测)已知集合A={x∈R|<2x<8},B=,若x∈B成立的一个充分条件是x∈A,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤2C.m>2D.-2<m<2【解析】选A.A=={x|-1<x<3},因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A,所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2.7. “x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ln(x+1)<0,得x+1>0且x+1<1,所以-1<x<0,故“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.【补偿训练】若条件p:(x+1)2>4,条件q:x2-5x+6<0,则q是p的______条件.【解析】因为(x+1)2>4,所以x<-3或x>1.又x2-5x+6<0,所以2<x<3,所以q p,即q 是p的充分条件.答案:充分8.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x-x2,且a,b∈R,则“a>b>1”是“f(a)<f(b)”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象,如图所示:。
人教a版数学【选修1-1】作业：1.2充分条件与必要条件(含答案)
§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号12345 6 答案二、填空题7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a 解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在 [1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得an ＝2n ＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c ＝－1.第一章 章末总结知识点一 四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1 判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
高中数学课时提升作业五1.2.2充要条件的应用含解析新人教A版选修
课时提升作业五充要条件的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安徽高考)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为p:x<3,q:-1<x<3,所以q⇒p,但由p不能得出q,所以p是q成立的必要不充分条件,故选C.2.(2016·长治高二检测)在下列3个结论中,正确的有( )①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】选C.对于①,由x3<-8⇒x<-2⇒x2>4,但是x2>4⇒x>2或x<-2⇒x3>8或x3<-8,不一定有x3<-8,故①正确;对于②,当B=90°或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故②错;对于③,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故③正确.【误区警示】本题易错选②,原因是忽视了斜边、直角边的确定.3.在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.在△ABC中,由“·=0”可知B为直角,则“△ABC是直角三角形”.三角形是直角三角形,不一定B=90°,所以在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件.4.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解.【解析】选A.由题意,x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.5.(2016·宁德高二检测)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1【解题指南】利用二次函数的图象特点来判断.【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.下列命题中是假命题的是.(填序号)(1)x>2且y>3是x+y>5的充要条件(2)“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件(3)b2-4ac<0是ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形【解析】(1)因x>2且y>3⇒x+y>5,x+y>5x>2且y>3,故x>2且y>3是x+y>5的充分不必要条件.(2)若x>1,则|x|>0成立,若|x|>0,则x<0或x>0,不一定大于1,故“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件.(3)因b2-4ac<0ax2+bx+c<0的解集为R,ax2+bx+c<0的解集为R⇒a<0且b2-4ac<0,故b2-4ac<0是ax2+bx+c<0的解集为R的必要不充分条件.(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形.答案:(1)(3)7.(2016·池州高二检测)设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的条件.【解析】由⇒而仅有a+2b>0,无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立.答案:必要不充分【补偿训练】设{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的条件.【解析】{a n}为等比数列,a n=a1·,由a1<a2<a3,得a1<a1q<a1q2,即a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{a n}为递增数列.反之也成立.答案:充要8.△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”成立的条件.【解析】条件:△ABC中,角A,B,C成等差数列⇔B=;结论:sinC=(cosA+sinA)cosB⇔sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB⇔cosAsinB=cosAcosB⇔cosA=0或sinB=cosB⇔A=或B=.所以条件是结论的充分不必要条件.答案:充分不必要三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P12习题1.2A组T4改编)求圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.【解析】因为圆是轴对称图形,所以圆面积被y轴平分等价于圆心在y轴上,即点(a,b)在y轴上,所以a=0是圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.10.证明:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.【解题指南】要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件.【证明】必要性:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,则x=0,y=0,即xy=0,故xy=0是x2+y2=0的必要条件;不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.综上所述:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·保定高二检测)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.|a·b|=|a||b||cosα|=|a||b|,得cosα=±1,α=0或π,故a∥b,反之,a∥b,则a,b的夹角为0或π得,|a·b|=|a||b|,故|a·b|=|a||b|是a∥b的充要条件.2.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是p⇒q还是q⇒p.【解析】选 A.由题意知f(x)=x2+bx=-,最小值为-,令t=x2+bx,则f(f(x))=f(t)=t2+bt=-,t≥-.当b<0时,f(f(x))的最小值为-,所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”;当b=0时,f(f(x))=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.【补偿训练】已知真命题“a≥b⇒c>d”和“a≥b⇔e≤f”,那么“c>d”是“e≤f”的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为a≥b⇒c>d,a≥b⇔e≤f,所以e≤f⇒c>d.但是c>d不一定推出e≤f,故“c>d”是“e≤f”的必要条件.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)【解题指南】化简条件q中的k值,再确定p与q的关系.【解析】因为直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,所以=1,解得k=±,即条件q:k=±.若p成立,则q成立;反之,若q成立,推不出p成立.所以p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要条件4.(2016·焦作高二检测)“a=”是“对任意的正数x,均有x+≥1”的条件.【解析】当a=时,对任意的正数x,x+=x+≥2=1,而对任意的正数x,要使x+≥1,只需f(x)=x+的最小值大于或等于1即可,而在a为正数的情况下,f(x)=x+的最小值为f()=2≥1,得a≥,故为充分不必要条件.答案:充分不必要三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件.(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件.【解题指南】用数轴表示两个集合,把条件的充要性转化为集合间的关系解决.【解析】由M∩P={x|5<x≤8}知,a≤8.(1)M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5.(2)M∩P={x|5<x≤8}的充分但不必要条件,显然,a在[-3,5]中任取一个值都可.(3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)∪(5,8]是M∩P={x|5<x≤8}的必要但不充分条件.故a<-3时为必要不充分条件.6.(2016·益阳高二检测)证明“0≤a≤”是“函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数”的充分不必要条件.【证明】充分性:由已知0≤a≤,对于函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数.当a≠0时,由已知0<a≤,得≥6.二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2图象是抛物线,其开口向上,对称轴方程为x==-1≥6-1=5.所以二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数.非必要性:当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2的图象是抛物线,其对称轴为x==-1.因为二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数,所以⇒0<a≤.显然,函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是减函数时,也有a=0.由于,所以0≤a≤不是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的必要条件. 综上所述,命题成立.【补偿训练】已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1. 【证明】充分性:当q=-1时,a1=p-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1).当n=1时,上式也成立.于是==p,即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1).因为p≠0且p≠1,所以==p.因为{a n}为等比数列,所以==p=,所以q=-1. 所以数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.。
人教课标版高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》提升训练
《充分条件与必要条件》提升训练(时间：45分钟；分值:60分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.(2018河南南阳模拟，★☆☆)设,a b R ∈，函数()()01f x ax b x =+≤≤，则“()0f x >恒成立”是“20a b +>成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2018广东广州二中期末，★☆☆）已知函数()()()21,f x x a b x a b a b R =++++∈，则“0a =”是“()f x 为偶函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2018河北阜城中学期末，★★☆)已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2018陕西长安期末，★★☆)“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2018广东化州模拟，★★☆)已知函数()2,1,,1,x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是( )A.(]0,2a ∈B.(]1,2a ∈C.()1,2a ∈D.(]0,1a ∈6.（2017上海虹口二模，★☆☆）已知,,a b c 是实数，则“,,a b c 成等比数列”是“2b ac =”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2017湖南郴州二模，★☆☆)“2a =”是“函数()21f x x ax =++在区间[)1,-+∞上为增函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2017江西南昌一模，★★☆)已知,αβ为第一象限的两个角，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.(2017青海西宁二模，★★☆)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“角,,A B C 成等差数列”是“()()b a c b a c ac +--+=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2017湖南张家界二模，★☆☆)设集合{}{}1,1A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是( )A.11x -<≤B.1x ≤C.1x >-D.11x -<<二、解答题（共10分）11.(2017辽宁大连校级期末，★★★)已知集合{}2680,A x x x =-+<{}22430B x x ax a =-+->. (1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A B =∅，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：A解析：由“()0f x >恒成立”可得()()00,10,f b f a b =>⎧⎪⎨=+>⎪⎩所以20a b +>成立；反之当20a b +>成立时，不能得到()()00,10,f b f a b =>⎧⎪⎨=+>⎪⎩成立. 所以“()0f x >恒成立”是“20a b +>成立”的充分不必要条件.故选A. 2.答案：A解析：若0a =,则()2f x x b =+为偶函数;若()f x 为偶函数,则()()f x f x -=，所以()()()()2211x a b x a b x a b x a b -++⋅-++=++++,解得0a =或1b =-.即“0a =”是()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选A.3.答案：C解析：若0d >，则46546520,2S S S d S S S +-=>∴+>； ()4651112,466152510,S S S a d a d a d +>∴+++>+2120,0d d d ∴>∴>，即“0d >”是“4652S S S +>”的充要条件.故选C. 4.答案：A解析：若ϕπ=，则()()sin 2sin 2sin 2y x x x ϕπ=+=+=-,易知曲线()sin 2x ϕ+过坐标原点，充分性成立；若曲线()sin 2x ϕ+过坐标原点，则()k k Z ϕπ=∈,则不一定有ϕπ=，必要性不成立；综上，“ϕπ=”是“曲线()sin 2x ϕ+过坐标原点”的充分不必要条件.故选A. 5.答案：见解析解析：()2,1,,1,x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩函数有两个零点，20,1 2.10,a a a -≥⎧∴<≤⎨-+>⎩解得 ∴根据选项知，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是()1,2a ∈. 6.答案：A解析：已知,,a b c 是实数，若,,a b c 成等比数列，则2b ac =成立， 当0a b c ===时，满足2b ac =,但,,a b c 不能成等比数列， 故“,,a b c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件.故选A. 7.答案：A解析：函数()21f x x ax =++在区间[)1,-+∞上为增函数， 1,2,2a a ∴-≤-∴≥ “2a =”⇒“2a ≥”，反之不成立.∴ “2a =”是“函数()21f x x ax =++在区间[)1,-+∞上为增函数”的充分不必要条件.故选A.8.答案：D 解析：角,αβ的终边在第一象限，∴令2,33ππαπβ=+=，满足αβ>，但sin sin αβ=，则sin sin αβ>不成立，即充 分性不成立.令,233ππαβπ==+，满足sin sin αβ>，但αβ>不成立，即必要性不成立，故“αβ>”是“sin sin αβ>”的既不充分也不必要条件.故选D. 9.答案：C解析：充分性:如图，若角,,A B C 成等差数列，则2,3180,60.B A C B B ︒︒=+∴==.∴由余弦定理得，222b a c ac =+-，222a c b ac ∴+-=,()()()2222222b a c b a c b a c b a c ac ac ac ac ∴+--+=--=--+=-+=， 即()()b a c b a c ac +--+=,∴“角,,A B C 成等差数列”是“()()b a c b a c ac +--+=”的充分条件. 必要性：若()()b a c b a c ac +--+=,则()222222b a c b a c ac ac --=--+=，222a c b ac ∴+-=. 又2222cos ,a c b ac B +-=⋅()1cos ,260,601806060,,2,B B A A B AC B B A C ︒︒︒︒︒∴=∴=∴-=-+-∴-=-∴=+∴角,,A B C 成等差数列，角“,,A B C 成等差数列”是“()()b a c b a c ac +--+=”的必要条件. 综上所述,“角,,A B C 成等差数列”是“()()b a c b a c ac +--+=”的充要条件. 故选C.10.答案：D 解析：集合{}{}1,1A x x B x x =>-=≥-, 又“x A x B ∈∉且”11x ∴-<<；又当11x -<<时,满足x A x B ∈∉且.∴“x A x B ∈∉且”成立的充要条件是“11x -<<”.故选D.二、解答题11.答案：见解析 解析：{}{}()(){}268024,30A x x x x x B x x a x a =-+<=<<=--<.(1)当0a =时，B =∅，不符合题意.当0a >时,{}3B x a x a =<<，要满足题意， 则需2,34,a a ≤⎧⎨≥⎩解得423a ≤≤. 当0a <时，{}3B x a x a =<<，要满足题意，则需32,4,a a ≤⎧⎨≥⎩无解. 综上，a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)当0a >时，{}3B x a x a =<<，要满足A B =∅，则2a ≤或34a ≥,即2a ≤或43a ≥，即0a <. 当0a =时，,B =∅A B =∅，综上，a 的取值范围为[)2,4,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(五) 1.2.2 充要条件 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(五)充要条件(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·安徽高考)设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由q：2x>20⇒x>0可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件.2.(2015·绵阳高二检测)“a=2”是“直线(a2-a)x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若a=2，则2x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，是充分条件；若直线(a2-a)x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，则a=2或a=-1，不是必要条件，故选C.【补偿训练】(2015·杭州高二检测)“a=-1”是“l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行(l1与l2不重合)”的__________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”). 【解析】若直线l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行，则需满足1×2(a-1)-a×(3-a)=0，化简整理得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，经验证得当a=-1时两直线平行，当a=2时，两直线重合，故“a=-1”是“l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行”的充要条件.答案：充要3.(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a，b>=1，<a，b>=0，所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.【补偿训练】已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.a>2可以推出a2>2a，a2>2a可以推出a>2或a<0，不一定推出a>2，“a>2”是“a2>2a”的充分不必要条件.4.(2015·陕西高考)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.方法一：由cos2α=0得cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0，得sinα=cosα或sinα=-cosα.所以sinα=cosα⇒cos 2α=0，即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.方法二：由sinα=cosα，得sin=0，即α-=kπ，α=kπ+，k∈Z.而cos 2α=0，得2α=kπ+，α=+，k∈Z.所以sinα=cosα⇒cos2α=0，即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.5.(2015·中山高二检测)若m>0且m≠1，n>0，则“log m n<0”是“(m-1)(n-1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由log m n<0知，当m>1时，0<n<1，此时(m-1)(n-1)<0成立，当0<m<1时，n>1，此时(m-1)(n-1)<0成立，所以log m n<0是(m-1)(n-1)<0的充分条件；反之，因为m>0且m≠1，n>0，所以当(m-1)(n-1)<0时，或此时总有log m n<0，所以，log m n<0是(m-1)(n-1)<0的必要条件.综上，选C.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设p，r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____________条件，r是t的__________条件.【解析】由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件，r是t的充要条件.答案：充分充要【补偿训练】(2013·哈尔滨高二检测)设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由题意，甲⇒乙，而乙甲，丙⇔乙，丙⇒丁，而丁⇒/丙，可见甲⇒丁，而丁⇒/甲，故丁是甲的必要不充分条件.7.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是__________.【解析】因为直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切，所以圆心(1，1)到直线x+y+m=0的距离等于，所以=，即|m+2|=2解得m=-4或0.当m=-4或0时，直线与圆相切.答案：m=-4或08.(2015·杭州高二检测)设m∈N*，一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.【解题指南】先将根用m表示，再用整数等有关概念分析验证.【解析】x==2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N*，取m=1，2，3，4.验证可得m=3，4符合题意，所以m=3，4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.答案：3或4三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·威海高二检测)已知p：-4<x-a<4，q：(x-2)(x-3)<0，且q是p的充分而不必要条件，试求a的取值范围.【解析】设q，p表示的范围为集合A，B，则A=(2，3)，B=(a-4，a+4).由于q是p的充分而不必要条件，则有A B，即或解得-1≤a≤6.10.求证：关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.【证明】充分性：因为m≥2，所以Δ=m2-4≥0.所以x2+mx+1=0有实根，两根设为x1，x2，由根与系数的关系，知x1x2=1>0，所以x1与x2同号，又x1+x2=-m≤-2<0，所以x1，x2同为负实根.必要性：因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2，所以故m≥2，综上，m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.【补偿训练】(2014·衡水高二检测)求证：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).【证明】充分性：因为a+b=-(c+d)，所以a+b+c+d=0.所以a×13+b×12+c×1+d=0成立，故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.必要性：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1，所以a+b+c+d=0，所以a+b=-(c+d)成立.综上得证.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·四川高考)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由3a>3b>3，知a>b>1，所以log3a>log3b>0，所以<，即log a3<log b3，所以“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分条件；但是取a=，b=3也满足log a3<log b3，不符合a>b>1，所以“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的不必要条件.2.(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】选A.若p：l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交，所以命题q：l1，l2不相交成立，即p是q的充分条件，反过来，若q：l1，l2不相交，则l1，l2可能平行，也可能异面，所以不能推出l1，l2是异面直线，即p不是q的必要条件.二、填空题(每小题5分，共10分)3.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的______条件.【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时，不能推出线面垂直；由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.答案：必要不充分【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”，则结论如何？【解析】当直线l⊂α时，不能推出l∥α，不是充分条件；由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”，所以是必要不充分条件.4.(2015·长沙高二检测)若“0<x<1”是“(x-a)≤0”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是__________.【解析】令A={x|0<x<1}，B={x|(x-a)≤0}={x|a≤x≤a+2}，由题意可得A B，所以解得-1≤a≤0.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·郑州高二检测)(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件？【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件，则只要⊆{x|x<-1或x>3}，即只需-≤-1，所以m≥2.故存在实数m≥2，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件，则只要{x|x<-1或x>3}⊆，这是不可能的.故不存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.6.(2015·烟台高二检测)设a， b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，证明：“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.【证明】充分性：由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA==.即sinB+2sinBcosA=sin(A+B).化简，得sinB=sin(A-B)，由于sinB>0且在三角形中，故B=A-B，即A=2B.必要性：若A=2B，则A-B=B，sin(A-B)=sinB，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).因为A，B，C为△ABC的内角，所以sin(A+B)=sinC，即sinC=sinB(1+2cosA).所以=1+2cosA=1+=，即=.化简得a2=b(b+c).所以a2=b(b+c)是“A=2B”的充要条件.【补偿训练】已知{a n}为等差数列，且a1+a4=10，a1+a3=8，前n项和为S n.求证：a1，a k，S k+2成等比数列的充要条件是k=6.【证明】设等差数列{a n}的公差为d，由题意得解得所以a n=2+2(n-1)=2n，由此得S n===n(1+n).(充分性)当k=6时，a1=2，a k=a6=12，S k+2=S6+2=S8=8×9=72，因为===，所以a1，a6，S6+2成等比数列，即a1，a k，S k+2成等比数列.(必要性)由a1，a k，S k+2成等比数列，得=a1S k+2，从而(2k)2=2(k+2)(k+3)，即k2-5k-6=0，解得k=-1(舍去)或k=6.综上可知，k=6是a1，a k，S k+2成等比数列的充要条件.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
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课后提升作业五
充要条件
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·安徽高考)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20 x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q 成立的充分不必要条件.
2.(2016·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件.
3.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.由A∪B=C知,x∈A x∈C,x∈C x∈A.
所以x∈C是x∈A的必要不充分条件.
4.(2016·石家庄高二检测)设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为a,b∈R,则(a-b)a2<0,
所以a<b成立,
由a<b,则a-b<0,“(a-b)a2≤0,
所以根据充分必要条件的定义可以判断:
a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是a<b的充分不必要条件.
5.（2016·北京高考）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.
所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
6.(2015·陕西高考)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.方法一:由cos2α=0得
cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,
得sinα=cosα或sinα=-cosα.
所以sinα=cosα⇒cos 2α=0,
即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
方法二:由sinα=cosα,得sin=0,
即α-=kπ,α=kπ+,k∈Z.
而cos 2α=0,得2α=kπ+,α=+,k∈Z.
所以sinα=cosα⇒cos2α=0,即“sinα=cosα”是
“cos2α=0”的充分不必要条件.
【补偿训练】“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为当α=+2kπ(k∈Z)时,
cos2α=cos=,所以“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos 2α=”的充分条件.而当α
=-时,cos2α=,但-≠+2kπ(k∈Z),所以“α=+2kπ(k∈Z)”不是“cos2α=”的必要条件.
7．(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件。