2019届湖南省宁乡县一中高三5月仿真模拟考试数学(文)试卷及案
2019届高三上学期期末数学统一考试(文科)答案
8．B
SΔPF1F2
=
1×2 2
2 ×1 =
2 ，故选 A.
【解析】 a + b = ab ≤ (a + b)2 ，于是 a + b ≥ 4 或 a + b ≤ 0 （舍）， a = b = 2 时取等， 4
故选 B． 9．C
【解析】由题设知，
f
(x)
的周期是
6，则
B(−
5 2
, −2),C( 7 2
π 3
⎤⎥⎥⎦
.
【解析】在正方体中，连 DA1、DB，则 CB1∥DA1，所以∠A1DP 为异面直线 CP 与 BA1
所成角，点
P
与
B
重合，∠A1DP
最大，且最大为
π 3
，当点
P
与
A1
无限接近时，
∠A1DP
趋近于零，故异面直线
CP
与
BA1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所成角的取值范围是 ⎛⎜⎜⎜⎝0,
π 3
⎤⎥⎥⎦
．
2 +1
16． 2 . 【解析】由 a = bcosC + csinB 及正弦定理得，
化简得 m2 = 9k 2 + 8 ．
…………10 分
所以 F1M iF1N = − 8 + m2 − 9k 2 = 0 ，
…………11 分
所以 F1M ⊥ F1N ，
故
∠MF1N
为定值
π 2
．
…………12 分
(注：可以先通过
k
=
0 计算出此时 ∠MF1N
=
π 2
，再验证一般性)
21.（本小题满分 12 分）
精品解析：2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试理科数学试题(解析版)
2019年5月宁乡一中仿真模拟考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =U （ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-. 故选A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.14B.13C.25D.12【答案】B 【解析】 【分析】利于小三角形的面积和与所有三角形的面积和比值即可求得概率. 【详解】设小三角形的直角边长度为12，则小三角形的面积和为411122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为4142⨯=， 则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+， 故选B【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θπ=时，就有10i e π+=，根据上述背景知识试判断3i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而判断在复平面对应的点所在象限. 【详解】欧拉公式cos sin i e i θθθ=+， 在3i e π-中，3πθ=-，所以3cos 33sin iei πππ-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭=122i =-，对应点的坐标为1,2⎛ ⎝⎭，所以在第四象限， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义的简单应用，属于基础题. 4.函数2ln ||y x x =+图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
湖南省2019年高考数学(文科)模拟试卷含答案
湖南省2019年高考模拟试卷含答案数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，时量120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B y y ==，那么()U A C B =（ ）A . ∅B .(]0,1C .(0,1)D .(1,)+∞2．若复数z 满足(34)5i z +=，则下列说法不正确的是 A ．复数z 的虚部为45i - B ．复数z z -为纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点位于第四象限D ．复数z 的模为13．若x y >，则下列不等式成立的是A ．ln ln x y >B ．0.50.5x y >C ．1122x y >D. 33x y >4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”。
其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”。
则该人第三天所走的路程为 A ．6里 B ．12里C ．24里D ．48里5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 A．B ．0CD6．已知点P 是抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若侧视图5PF =，则点P 的横坐标为A ．1B ．2C ．3D ．47．为了解某城镇居民的家庭年收入与年支出的相关关系，随机抽查5户家庭得如下数据表，根据数据表可得回归直线方程为0.760.4y x =+，则m = A ．6.8 B ．7.0C ．7.1D ．7.58．cos x xx x y e e -=+的部分图像大致为A B C D9．将函数2sin 3y x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数()y f x =的图像，则下列说法不正确的是 A ．函数()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．函数()f x 的一个零点为012x π=C ．函数()f x 在区间[,66ππ-上单调递增D ．函数()f x 的最小正周期为23π10 则该几何体的表面积为 A ．6+ B ．6C ．6+D ．711．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:340l x y -=与双曲线的左、右两只分别交于,A B 两点，若||||4AF BF -=，且右焦点F 到直线l的距离为125，则该双曲线的离心率为A ．53B ．32CD ．212．已知在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PAB △三角形，底面ABCD 是边长为3的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为A ．74π B ．4π C ．7π D ．16π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后x y O πx y O πx yO πx y O π的横线上)13．在数列{}n a 中，11n n a a +-=，n S 为{}n a 的前n 项和. 若735S =，则3a =_______.14．设,x y 满足约束条件220101x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≥，则1z x y =+-的最小值为____________.15．已知向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=2a+k b ，若b ⊥c ，则a·c =________.16．设函数224,0()3,0x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤，若()(1)f a f <，则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边,(sin sin )sin a A C b B +=.(Ⅰ)若c a =，求角B ； (Ⅱ)若3B π=，三角形ABC的面积为，求a .18．（本小题满分12分）甲、乙两陶瓷厂生产规格为600×600的矩形瓷砖（长和宽都约为600mm ），根据产品出厂检测结果，每片瓷砖质量X （单位：kg ）在[7.5-0.5,7.5+0.5]之间的称为正品，其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准，主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分，每片价格分别为 7.5元、6.5元、5.0元. 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a ,b (单位：mm)，则“尺寸误差”为|a -600|+|b -600|， “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是[00.2],，“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是(0.2,0.5]，“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是(0.51]，. 现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：（甲厂产品的“尺寸误差”频数表） （乙厂产品的“尺寸误差”柱状图）（Ⅰ）根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值； （Ⅱ）若用这个样本的频率分布估计总体分布，求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格； （Ⅲ）现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片，再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”，求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.519．（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDPQ 中，四边形ABQP 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，E 为QD 的中点，且AE ∥平面QBC .（Ⅰ）证明：AC ⊥平面ABQP ;（Ⅱ）若QB =BC =2，ACE －ACD 的体积.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆短轴的两个顶点为,P Q ，过椭圆的上顶点P作两条互相垂直的直线12,l l 分别与椭圆的另一个交点为,A B ，若43QA QB ⋅=-，求PAB △的面积.21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x x ax =-+()a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的0x ＞，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x ＞时，ln 10x e x x x -+-＞. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），线段OD（O 为坐标原点）的中点M 在曲线1C 上，设动点D 的轨迹为曲线2C ．在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθρθ=+.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程.（Ⅱ）若直线l 与y 轴交于点P ，与曲线2C 交于点A 、B ，求PA PB +. 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0,0a b >>，函数()332f x x a x b =-++ （Ⅰ）当3,1a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集； （Ⅱ）若函数()f x 的最小值为2，求ab 的最大值.数学（文史类）参考答案一、选择题： 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 二、填空题：. 13．4 14．－4 15．1 16．)1,0()1,2( -- 三、解答题：17．（本题满分12分 解：（Ⅰ）由B b C A a sin )sin (sin =+及正弦定理可得， 2)(b c a a =+，即ac a b +=22…………(2分）又a c =，所以a b 2=…………(4分）∴222c a b +=，所以2π=B …………(6分）（Ⅱ） 3π=B ，由余弦定理有，ac c a b -+=222由(Ⅰ)知ac a b +=22，∴a c 2= …………(9分）由三角形ABC 的面积为32可知，3223s i n 212==a B ac ，∴2=a …………(12分） 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）甲厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：（30×0.1+30×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+10×0.6）÷100=0.23 …………(2分） 乙厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：（30×0.1+25×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+5×0.6+5×0.7）÷100=0.225……(4分） （Ⅱ）乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格为：[(15+30+25)×7.5+(5+10+5)×6.5+(5+5)×5]÷100=7.05 …………(6分）（Ⅲ）用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片， 则“一级”瓷砖抽取1002020⨯=4片，记为A 、B 、C 、D ；“合格”瓷砖瓷砖抽取1002010⨯=2片，记为E 、F ；…………(8分）从中选取2片有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种选法；其中价格之和大于12元，即选取的2片都为“一级”瓷砖的有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种选法. …………(11分）所以选取的2片瓷砖的价格之和大于12元的概率52156==P. ………(12分） 19．（本题满分12分）解：（Ⅰ） AB ∥CD ，AC ⊥CD ，∴AC ⊥AB 又P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC又P A AB =A ，P A ，AB ⊂平面ABQP ，∴AC ⊥平面ABQP . …………(5分）（Ⅱ） AC =3，BC =2，AC ⊥AB ，∴1222=-=AC BC AB ，即AB =1 …………(6分）取QC 的中点F ，连接EF ，FB .E ，F 分别QD ，QC 的中点，∴EF ∥CD 又AB ∥CD ，∴EF ∥AB∴E ，F ，B ，A 确定平面ABFE ， 又AE ∥平面QBC ，AE ⊂平面ABFE ，平面QBC 平面ABFE =BF ，∴AE ∥BF ，又EF ∥AB ∴ABFE 为平行四边形∴AB =EF =21CD =1. ∴CD =2 …………(9分）∴CD AC S ACD ⋅=∆21=3四边形ABQP 为矩形, P A ⊥平面ABCD , ∴QB ⊥平面ABCD ，又E 为QD 的中点∴E 到平面ABCD 的距离为21QB =1∴ACD E V -=)21(31QB S ACD ⋅⋅∆=33. …………(12分）20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线为：x c =，将x c =代入椭圆方程得：22221c y a b+=，且222a b c =+，故2b y a =±，即弦长为22b a=.①又离心率为2，即2c e a == ②由①②解得1a b ==，故椭圆方程2212x y +=为所求. …………(5分） （Ⅱ）由椭圆方程2212x y +=知点(0,1)P ，设过点P 的两条直线12,l l 的方程分别为 1:1,l y kx =+，21:1l y x k =-+，联立1l 与椭圆方程，即22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，故2412A kx k =-+，即222412(,)1212k k A k k--++，同理可求得22242(,)22k k B k k -++…………(8分）又(0,1)Q -,由43QA QB ⋅=-,得2242(,)1212k k k -⋅++222424(,)223k k k k =-++, 得211k k =⇒=±.…………(11分）此时4141(,),(,)3333A B ---或4141(,),(,)3333A B ---，故PAB ∆的面积为169. …………(12分）21．（本题满分12分）解：(Ⅰ)xaxa x x f -=-='11)()0(>x …………(1分） (1)若0≤a ，则0)(>'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；(2)若0>a ，由0)(>'x f 得a x 10<<；由0)(<'x f 得ax 1>∴函数)(x f 在)1,0(a 上单调递增；在),1(+∞a上单调递减. …………(3分）（Ⅱ）若0≤a ，则01)1(>+-=a f ，∴不满足0)(≤x f 恒成立.…………(4分）若0>a ，由(Ⅰ)可知，函数)(x f 在)1,0(a 上单调递增；在),1(+∞a上单调递减)1()(max a f x f =∴a1ln =，又0)(≤x f 恒成立0)(max ≤∴x f ，即01ln ≤a，解得：1≥a综上所述，实数a 的取值范围为),1[+∞. …………(6分）（用分离参数的方法也可以） （Ⅲ）法一:由(Ⅱ)可知，当1=a 时，0)(≤x f 恒成立，即01ln ≤+-x x∴1ln -≤x x ，又0>x ，∴x x x x +-≥-2ln所以121ln 2-+-≥-+-x x e x x x e x x…………(8分）记12)(2-+-=x x e x g x )0(>x ，则22)(+-='x e x g x记22)(+-=x ex h x,则2)(-='x e x h ，由0)(='x h 得2ln =x当)2ln ,0(∈x 时，0)(<'x h ；当),2(ln +∞∈x 时，0)(>'x h∴函数)(x h 在)2ln ,0(上单调递减；在),2(ln +∞上单调递增.………(10分）所以)2(ln )(minh x h =22ln 22ln +-=e 2ln 24-=0>∴0)(>x h ，即0)(>'x g ，故函数)(x g 在),0(+∞上单调递增01)0()(0=-=>∴e g x g 即0122>-+-x x e x 所以01ln >-+-x x x ex.…………(12分）法二：记1ln )(-+-=x x x ex g x)0(>x ，x e x g x ln )(-='记x e x h xln )(-=，xe x h x 1)(-='02)21(<-='e h ，01)1(>-='e h ，且函数)(x h '在),0(+∞上单调递增∴存在唯一的)1,21(0∈x 使得0)(0='x h ，即010x e x =…………(8分） 当),0(0x x ∈时，0)(<'x h ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x h ∴函数)(x h 在),0(0x 上单调递减；在),0+∞x 上单调递增∴)()(0min x h x h =0ln 0x e x -=，又010x e x =，即00ln x x -= ∴00min 1)()(x x x h x h +==2≥，所以0)(>x h ，即0ln )(>-='x e x g x)(x g ∴在),0(+∞上单调递增 …………(10分） （1）当1≥x 时，0)1()(>=≥e g x g（2）当10<<x 时，1ln )(-+-=x x x e x g x )ln 1()1(x x e x-+-=又0110=->-e e x ，且01ln ln =<x ，∴0ln 1>-x 所以0)(>x g由（1）（2）可知当0>x 时，01ln >-+-x x x e x. …………(12分）22．（本题满分10分）（I ）直线l 的直角坐标方程为03=--y x ， …………(2分）曲线1C 的普通方程为4)122=+-y x （. …………(5分）（Ⅱ）设D(x ，y)，则由条件知M )2,2(yx 在C 1上，所以2C :4)2()1222=+-yx （, 即16)222=+-y x （. …………(7分） 易知点P )3,0(-，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==t y t x 22322(t 为参数)，代入2C :16)222=+-y x （得到：03252=--t t ，设)223,22(11t t A +-，)223,22(22t t B +-则2521=+t t ，321-=t t ，故PB PA +624)(2122121=-+=-=t t t t t t…………(10分）23．（本题满分10分） 解：（Ⅰ）当3,1a b ==时，()3332f x x x =-++()6fx ∴≥即33326x x -++≥1616x x >⎧⎨-≥⎩或21333326x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-++≥⎩或2333326x x x ⎧<-⎪⎨⎪---≥⎩65x ∴≥或56x ≤-解得不等式解集为5665x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或。
湖南省长沙市2019届高三5月模拟考试数学(文)试卷【含答案及解析】
湖南省长沙市2019届高三5月模拟考试数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 给出下列四个命题，其中真命题的个数是（）①回归直线恒过样本中心点；②“ ”是“ ”的必要不充分条件；③“ ，使得”的否定是“对，均有”；④“命题”为真命题，则“命题”也是真命题.A. 0B. 1C. 2D. 34. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，，，则输出的（）A. 6B. 9C. 12D. 215. 已知，是圆上的两个动点，，，若是线段的中点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -36. “ ”是“直线和直线垂直”的（）A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）A. B. C. D.9. 已知，将的图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则（）A. B. 1 C. D. 010. 双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.11. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3二、填空题12. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。
问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，__________ 天后两只老鼠打穿城墙．13. 在锐角中，，，，则 __________ ．14. 过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 __________ ．15. 某高新技术公司要生产一批新研发的款手机和款手机，生产一台款手机需要甲材料，乙材料，并且需要花费1天时间，生产一台款手机需要甲材料，乙材料，也需要1天时间，已知生产一台款手机利润是1000元，生产一台款手机的利润是2000元，公司目前有甲、乙材料各，则在不超过120天的情况下，公司生产两款手机的最大利润是 __________ 元．三、解答题16. 设等差数列的前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）设，若的前n项和为，证明：．17. 如图，三棱柱中，平面，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．18. 长郡中学学习兴趣小组通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深层采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（2）根据以上列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中）19. 已知抛物线的准线为，焦点为，为坐标原点.（1）求过点，且与相切的圆的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.20. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0.（1）求的值；（2）设函数，且，求证：.21. 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.22. 选修4-5：不等式选讲已知．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的值域为，且，求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =U （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-【答案】A【解析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可. 【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-. 故选A 【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A ．14B ．13C ．25D ．12【答案】B【解析】利于小三角形的面积和与所有三角形的面积和比值即可求得概率. 【详解】设小三角形的直角边长度为12， 则小三角形的面积和为411122⨯⨯⨯=， 大三角形的面积和为412242⨯=，则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+， 故选：B 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θπ=时，就有10i e π+=，根据上述背景知识试判断3i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】根据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而判断在复平面对应的点所在象限. 【详解】欧拉公式cos sin i e i θθθ=+， 在3i e π-中，3πθ=-，所以3cos 33sin iei πππ-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭=12=，对应点的坐标为1,2⎛ ⎝⎭，所以在第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义的简单应用，属于基础题. 4．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
2019年宁乡县第一高级中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年宁乡县第一高级中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：江西省崇仁县2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案如右图在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且，，，则( )A． B．C． D．【答案】D第 2 题：来源：宁夏银川一中2019届高三数学第一次模拟考试试题理如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为A． B．C． D．【答案】C第 3 题：来源：广西陆川县2018届高三数学9月月考试题理试卷及答案已知，，且，则实数（）A．1 B．2 C． 3 D． 4第 4 题：来源：山东省济南外国语学校2018_2019学年高一数学下学期3月月考试卷（含解析）已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由于，所以，应选答案C。
第 5 题：来源：湖北省武汉市2018届高三数学上学期期中试题理试卷及答案如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为A． B． C．1D．3【答案】 A第 6 题：来源：广东省深圳市红岭中学2019届高三数学第四次模拟考试试题理在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D第 7 题：来源：四川省棠湖中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理已知满足，则A. B. C. D.第 8 题：来源：安徽省阜阳市第三中学2018_2019学年高一数学上学期小期末考试（期末模拟）试题（理文A）若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】 C第 9 题：来源：河北省景县2017_2018学年高二数学上学期第一次调研考试试题试卷及答案．设的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】∵bcosC+ccosB=2acosA，∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，可得：sin(B+C)=sinA=2sinAcosA，∵A∈(0,π)，sinA≠0，∴cosA=，∴可得A=.第 10 题：来源：贵州省思南中学2018_2019学年2018_2019学年高二数学下学期期中试题文下列说法正确的是( )A. 若命题都是真命题,则命题“”为真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题:“若,则或”的否命题为“若,则或”D. “”是“”的必要不充分条件【答案】B第 11 题：来源：山东省临沂市第十九中学2019届高三数学第四次调研考试试题文函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．【答案】C第 12 题：来源：河南省鹤壁市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题试卷及答案理若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．∪【答案】A第 13 题：来源：黑龙江省大庆市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案定义在上的函数满足，当时，单调递减，则满足不等式的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B第 14 题：来源：山东省桓台县2017_2018学年高二数学上学期第一次（9月）月考试题试卷及答案直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】B第 15 题：来源：四川省德阳市中江县2016_2017学年高一数学下学期期中试卷（含解析）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…C．﹣1，﹣，﹣，﹣，… D．1，，，…，【答案】C【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据递增数列、递减数列、无穷数列、有穷数列的定义，对各个选项依次判断．【解答】解：A、此数列1，，，，…是递减数列，则A不符合题意；B、此数列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是递减数列，则B不符合题意；C、此数列﹣1，﹣，﹣，﹣，…是递增数列又是无穷数列，则C符合题意；D、此数列1，，，…，，是有穷数列，则D不符合题意；故选：C．第 16 题：来源：吉林省长春汽车经济技术开发区六中2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题文椭圆的一个顶点在抛物线的准线上，则椭圆的离心率（）A. B. C. 4 D.【答案】B试题分析：由题得：椭圆的顶点不在抛物线的准线上，所以顶点在准线上，所以，所以离心率为第 17 题：来源：黑龙江省五常市2017_2018学年高三数学11月月考试题理试卷及答案m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则 m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则 m⊥β【答案】C第 18 题：来源：高中数学第三章导数及其应用单元检测新人教B版选修1_若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，0]上是减函数，则实数a的取值范围是( )A．a≥3 B．a≤1C．a＜5 D．a≥1【答案】B f′(x)＝2x＋2a－2，因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f′(0)≤0，即2a－2≤0，a ≤1.第 19 题：来源：福建省漳州市华安县第一中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案文已知抛物线（p＞0）的准线经过点（0，-2），则抛物线的焦点坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，0） D．（2，0）（第4题图）【答案】A第 20 题：来源：安徽省定远县2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D【答案】B第 21 题：来源：四川省阆中中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题已知全集，，则下图中阴影部分表示的集合是A． B．C． D．【答案】C第 22 题：来源：山东省2018届高三数学第一次诊断性考试试题理试卷及答案设偶函数上单调递增，则使得成立的x的取值范围是A． B． C. D.【答案】A第 23 题：来源：江西省南昌市2016_2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案理已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，将四棱锥扩充为正方体，体对角线长为，所以四棱锥外接球的直径为，半径为，所以四棱锥外接球的表面积为，故选C.第 24 题：来源： 2017年高中数学第二章随机变量及其分布单元测评1（含解析）新人教A版选修2_3某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A. B.C. D.【答案】A第 25 题：来源：四川省乐山市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考（12月）试题命题“若，则”的否命题为（）。
2019年最新(统考)湖南省长沙市高考5月模拟考试数学(文)试卷及答案解析
C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动
8.已知 ， 与 的夹角为 ， ，则 的值是
A. 3 B. 1 C. D.2
9.设复数 ，若 ，则 的概率为
A. B. C. D.
10.已知函数 ，若存在 满足 ，且
，则 的最小值为
A. 6 B. 10 C. 8 D. 12
高中毕业生五月供题
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
2.若复数 满足 （ 为虚数单位），则 为
A. B. C. D.
3.设命题 ，则 为
17.（本题满分12分）设数列 的前 项和为 ，若点 在函数 的图像上运动，其中 是与 无关的常数，且
（1）求数Leabharlann 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 的最小值.
18.（本题满分12分）
某班级50名学生的考试分数 分布在区间 内，设考试分数 的分布频率是 ，且
（1）求 的值；
（2）并估计班级的考试平均分数；
19.（本题满分12分）
如图，已知正方形 和矩形 所在平面相互垂直， 在线段 上.
（1）若 是线段 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）命题“若M为线段EF的中点，则平面 平面 ”的逆命题是否成立？若成立，给出证明，否则请举出反例.
20.（本题满分12分）
已知 在椭圆 上， 为右焦点， 轴， 为椭圆上的四个动点，且 交于原点
A. B.
C. D.
4.如图是一个正方体，A,B,C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A-BCD的正视图，俯视图是（注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图）
精品解析：2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月仿真考试数学(理)试题(解析版)
宁乡一中2019年高三年级5月仿真考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2. (2015新课标全国Ⅰ理科)o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A. B.C. 12-D.12【答案】D 【解析】【详解】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3. 设（1+i ）a ＝1+bi （i 是虚数单位），其中a ，b 是实数，则|a +bi |＝（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a与b的值，再由复数模的计算公式即可求解. 【详解】由（1+i）a＝1+bi，得a+ai＝1+bi，∴1aa b=⎧⎨=⎩，则a＝b＝1.∴|a+bi|＝|1+i|＝2.故选：B.4. （2017新课标全国I理科）记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}na的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【详解】设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.6. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A. 13B.12C.23D.34【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.7. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的A. 7B. 12C. 17D. 34【答案】C 【解析】【详解】第一次循环：2,2,1a s k === ；第二次循环：2,6,2a s k === ；第三次循环：5,17,32a s k ===> ；结束循环，输出17s = ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k∈Z ） B. x=26k ππ+（k∈Z ）C. x=212k ππ-（k∈Z ） D. x=212k ππ+（k∈Z ） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．9. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】B 【解析】【详解】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 10. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是A. 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C .4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC -=【答案】A 【解析】【详解】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.11. 已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |= A.32B. 3C. 23D. 4【答案】B 【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N，利用两点间距离公式求得MN的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F，从而得到30FON︒∠=，所以直线MN的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为2)y x=-，分别与两条渐近线y x=和y x=联立，求得3(,2M N，所以3MN==，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 设函数()(21)xf x e x ax a=--+，其中1a<，若存在唯一的整数x，使得()0f x<，则a的取值范围是（）A.3,12e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,2e4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,2e4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设()()21xg x e x=-，()1y a x=-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x<-，求导可得出函数()y g x=的极值，数形结合可得()01a g->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a的取值范围. 【详解】设()()21x g x e x=-，()1y a x=-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 若x，y满足约束条件20x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z＝3x－4y的最小值为________.【答案】1-【解析】【分析】作出可行域，结合目标函数与可行域的关系，寻找满足条件的最值点即可【详解】画出可行域如图阴影部分所示.由z＝3x－4y，得344z y x=-，作出直线34y x=，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处时取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.故答案为1-【点睛】本题考查由可行域求目标函数最值，正确作图是解题关键，属于基础题15. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是______．【答案】92π【解析】【详解】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为32，此时球的体积为43πR3=92π，故填92π.16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10,记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：2019b 是数列{}n a 中的第________项． 【答案】5049 【解析】【分析】先求数列{}n a 通项公式，再确定{}n b 取法，即得结果. 【详解】因为()1122n n n a n +=+++=,所以当*n 5k 1,5k,k N =-∈时,n a 可被5整除, 因此2019b 是数列{}n a 中的第2019151150492-⨯+-=项． 【点睛】本题考查数列通项公式以及项数，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分．17. 在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1（2）5. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，根据题设条件，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos ADB ∠==（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以sin ADB ∠=由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 125ADB ∠=-=； （2）由题设及（1）知，2cos sin BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 258252225BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=. 所以5BC =.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.18. 如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22PC ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =，22PA ⎛= ⎝⎭，()0,1,0AB =.设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x y z x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,0.x z y ⎧=⎪⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【答案】（1）AM的方程为2y x =-或2y x =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =. 由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =-或2y x =（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <，直线MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++.则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,28=i ）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x yy =--∑()()81iii w w yy =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1.469 108.8表中=i i w x ，8118==∑i i w w（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆβ==∑--=∑-n i i i ni i u u v v u u ，ˆˆv u αβ=-． 【答案】（1）y c =+（2）ˆ100.6y =+（3）①576.6，,6.32；②46.24x = 【解析】 【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型； （2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，进而可得到y 关于x 的回归方程.（3）①由（2），可求出49x =时，年销售量y 的预报值，再结合年利润0.2z y x =-，计算即可； ②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值ˆ20.12z x =-+，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8ˆ681.6iii i i w w y y dw w ==--===-∑∑，ˆˆ56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+， 因此y 关于x的回归方程为ˆ100.6y =+（3）①由（2）知，当49x =时，年销售量y的预报值ˆ 100.6576.6=+=y ，年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=. ②根据（2）的结果可知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.620.12zx x =+-=-+，13.66.82==时，即当46.24x =时，ˆz 取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【点睛】本题考查回归方程及其应用，考查利用二次函数求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 21. 已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m +++<，求m 的最小值． 【答案】（1）1a =；（2）3． 【解析】【详解】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点，列方程解得1a =；（2）由题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知实数m 的最小值为3. 试题解析：（1）()f x 的定义域为()0+∞，. ①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若0a >，由()1'a x a x f xx -=-=知，当()0,x a ∈时，()'0f x <；当()，+x a ∈∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()+a ∞，单调递增，故x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1. （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->. 令112nx =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4；极坐标与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．【答案】（1）221416x y +=，当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =；（2）2-【解析】【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0α≠ 与cos 0α=两种情况.(2)将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos αα之间关系，求得tan α，即得l 的斜率．【详解】详解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 4280tcos sin t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得()1224213cos cos sin t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．[选修4-5；不等式选讲]23. 已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤. 所以()()f xg x ≥解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。
2019届高三下学期高考模拟卷(一)文科数学试题(word版)
长沙市一中2019届高考模拟卷（一）数学（文科）2019.05注意事项1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}(4)0,3,0,1,3A x x x B =-<=-，则A B=A. {}3,1-- B {}1,3 C. {}3,1,0-- D. {}0,1,32．已知函数1()()x x f x e e =-，则下列判断正确的是A ．函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数B 函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数C ．函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数D ．函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数3，将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为 A 118 B 112 C 19 D 164．已知复数1z ，2z 在复平而上对应的点分别为A （1，2），B （－1，3），则12z z 的虚部为 A 1 B 12i - C. i D 12- 5，若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为 A y x =±B y = C. 12y x =± D ．2y x =±6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为A．2+B 4+C.D.7. 等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前项和，则42S S = A 2 B 78 C 98 D 548．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥DCB ．A 1O ⊥BC C ．A 1O ∥平面BCD D ．A 1O ⊥平面ABD9．已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为 A [,]36ππ- B 7[,]412ππ C. [0,]3π D 5[,]26ππ 10．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的地物线C上，直线MF，点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为p 的值为A 1 B,2C. D 411已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为A.1044B.1024C.1045 D102512若不等式1ln x m m e x +-≤+对1[,1]x e∈成立，则实数m 的取值范围是A 1[,)2-+∞ B 1(,]2-∞- C 1[,1]2- D. [1,)+∞ 第Ⅱ卷二、填空題：本大题共4小題，每小题5分，共20分．13．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，若AH AB BC λμ=+，则_____λμ+=14．已知x ，y 满足约束条件202010x y x y y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为__________________。
2019年湖南省长沙市宁乡市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2019年湖南省长沙市宁乡市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B=( )A.{1, 3, 4}B.{1, 2, 3}C.{2, 3, 4}D.{1, 2, 3, 4}【答案】D【考点】并集及其运算【解析】集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B，可并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，∴A∪B={1, 2, 3, 4}故选D．2. (1+i)(2+i)( )A.1−iB.1+3iC.3+iD.3+3i【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=2−1+3i=1+3i．故选B.3. 已知3m＝5n＝15，则1m +1n的值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】由3m＝5n＝15，得1m +1n=log153+log155，由此能求出结果．【解答】由3m＝5n＝15，得m＝log315，n＝log515，∴1m +1n=log153+log155＝log1515＝1．4. 已知命题p:∃x ∈R ，x 2−x +1≥0．命题q ：若a 2<b 2，则a <b ，下列命题为真命题的是（ ） A.p ∧q B.p ∧￢q C.￢p ∧q D.￢p ∧￢q 【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】先判断命题p ，q 的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案． 【解答】命题p:∃x ＝0∈R ，使x 2−x +1≥0成立． 故命题p 为真命题；当a ＝1，b ＝−2时，a 2<b 2成立，但a <b 不成立， 故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题，5. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0 ，则Z ＝2x +y 的最小值是（ ）A.−15B.−9C.1D.9【答案】 A【考点】简单线性规划 【解析】先根据条件画出可行域，Z ＝2x +y ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线Z ＝2x +y ，过可行域内的点A(−6, −3)时的最小值，从而得到Z 的最小值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：在坐标系中画出可行域△ABC ，A(−6, −3)，B(0, 1)，C(6, −3)，由图可知，当x ＝−6，y ＝−3时，则目标函数Z ＝2x +y 的最小，最小值为−15．6. 设α，β是空间中两个不同的平面，m 是空间中的一条直线，若m ⊥α，则“α⊥β”是“m // β“的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据线面垂直和线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当m⊥α时，若m // β，则α⊥β成立，证明如下：设过直线m的平面θ交β于l，∵m // β，∴l // m，∵m⊥α，∴l⊥α，∵l⊂β，∴α⊥β反之若α⊥β，则m // β或m⊂β，即充分性不成立，故“α⊥β”是“m // β“的必要不充分条件，7. 执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A.5B.4C.3D.2【答案】D【考点】程序框图【解析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．【解答】由题可知初始值t＝1，M＝100，S＝0，要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而S＝100，M＝−10，t＝2，要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而S＝90，M＝1，t＝3，要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，此时N的最小值为2，8. 函数f(x)=√x2−2x+2+√(x−4)2+9的最小值是（）A.1+3√2B.3+√10C.4D.5【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义【解析】将f(x)=√x2−2x+2+√(x−4)2+9=√(x−1)2+1+√(x−4)2+32转化为动点(x, 0)到定点(1, 1)和(4, −3)的距离最小值问题，利用三角形三边性质即可求解；【解答】由题意，f(x)=√x2−2x+2+√(x−4)2+9=√(x−1)2+1+√(x−4)2+32设动点P(x, 0)，定点A(1, 1)和B(4, −3)；那么f(x)＝|PA|+|PB|≥|AB|=√32+42=5．9. 一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆方程是x 24+4y 225=1，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积是（ ） A.20π B.16π C.14πD.8π【答案】 C【考点】 椭圆的离心率 【解析】根据椭圆的方程求得圆柱的底面半径，利用几何关系求得其圆柱的高，即可求得其几何体的体积． 【解答】 由椭圆的方程x 24+4y 225=1可知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，由已知圆柱底面半径为r ＝2，即直径为4，设截面与圆柱母线成角为α，则sinα=45，所以cosα=35， 所以几何体的最长母线长为2+2acosα＝2+5×35=5， 用同样的几何体补在上面，可得一个半径r ＝2，高为7的圆柱， 其体积为，V ＝π×22×7＝28π， 所求几何体的体积为14π，10. 函数f(x)={1−x 2,x ≤1(x −1)2,x >1 ，且a ∈[0, 1]，b ∈(1, 2]，则满足f(a)≥f(b)的概率是（ ） A.12 B.π6C.π4D.以上都不对【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 分段函数的应用 【解析】所有试验结果构成的区域为a ∈[0, 1]，b ∈(1, 2]的正方形区域，面积为1，满足f(a)≥f(b)的区域即满足a 2+(b −1)2≤1的区域为以(0, 1)为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为14个圆，求出面积代入几何概型的概率公式即可． 【解答】依题意，所有试验结果构成的区域为a ∈[0, 1]，b ∈(1, 2]的正方形区域，面积为1， 满足f(a)≥f(b)的区域即满足a 2+(b −1)2≤1的区域为以(0, 1)为圆心，以1为半径的圆与正方形的公共区域，即为14个圆， 所以则满足f(a)≥f(b)的概率是：P =SS=14π×121×1=π4．11. 若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1∼100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是（）A.130B.325C.676D.1300【答案】C【考点】数列的求和【解析】根据题意，设两个连续偶数为2k+2和2k，根据题意，计算其和平数可得(2k+2)2−(2k)2＝4(2k+1)，故和平数的特征是4的奇数倍，分析可得在1∼100之间所有和平数，由等差数列的前n项和公式，计算可得答案．【解答】设两个连续偶数为2k+2和2k，则(2k+2)2−(2k)2＝4(2k+1)，故和平数的特征是4的奇数倍，故在1∼100之间，能称为和平数的有4×1、4×3、…、4×25，共计13个，其和为4×1+252×13=676；12. 已知球的半径为R，则该球内接正四棱锥体积的最大值是（）A.64 27R3B.6481R3 C.8164R3 D.3227R3【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设正四棱锥S−ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为ℎ＝R+x，从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．【解答】设正四棱锥S−ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则：x2+(√22a)2=R2，而正四棱锥的高为ℎ＝R+x，故正四棱锥体积为：V(x)=13a2ℎ=13a2(R+x)=23(R2−x2)(R+x)．其中x∈(0, R)，∵23(R2−x2)(R+x)=13(2R−2x)(R+x)(R+x)≤13⋅(2R−2x+R+x+R+x3)3=6481R3．当且仅当x=13R时，等号成立．故这个正四棱锥体积的最大值为：6481R3．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分已知向量a→=(−2, 3)，b→=(3, m)，且a→⊥b→，则m＝________．【答案】2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】∵向量a→=(−2, 3)，b→=(3, m)，且a→⊥b→，∴a→⋅b→=−6+3m＝0，解得m＝2．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知C=60∘,b=√6，c=3，则A=________．【答案】75∘【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由正弦定理，得sinB=bsinCc =√6sin60∘3=√22，所以B=45∘或135∘，因为b<c，所以B<C，故B=45∘，所以A=75∘．故答案为：75∘．抛物线y=18x2−x+1的焦点坐标是________【答案】(4, 1)【考点】抛物线的性质【解析】把抛物线方程化为标准形式，求出p，再写出顶点、对称轴方程和焦点坐标．【解答】由抛物线方程为y=18x2−x+1，整理得(x−4)2＝8(y+1)，∴2p＝8，∴p2=2，顶点为(4, −1)，对称轴方程为x＝4，焦点为(4, 1)．若关于x的方程e x+2(−x2+x+1)−b＝0有且只有一个实数根，则实数b的取值范围是：________【答案】b<−5或b＝e3【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】将方程有一个实数根转化为两条线段只有一个交点的问题，通过对曲线段求最值即可得到答案．【解答】∴f′(x)＝e x+2(−x2−x+2)，令f′(x)＝0⇒x＝−2或1(1)令f′(x)>0⇒−2<x< 1(2)令f′(x)<0⇒x<−2或x>1，且x<−2时，f(x)<0恒成立（3）∴f(−2)＝−5，f(1)＝e3(4)则可得f(x)的图象为：要使题设成立，只需y＝f(x)的图象与直线y＝b有且只有一个公共点，∴实数b的范围为b<−5或b＝e3．→∞故答案为：b<−5或b＝e3．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分已知数f(x)=√3sinxcosx−12cos2x+12．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合；（3）若(x)在区间(−π3, m)上的最大值为32，求m的最小值【答案】函数f(x)=√3sinxcosx−12cos2x+12=√32sin2x−12cos2x+12=sin(2x−π6)+12．所以函数的最小正周期为T=2π2=π，令2x−π6=2kπ−π2(k∈Z)，解得x=kπ−π6(k∈Z)．故函数在{x|x=kπ−π6}(k∈Z)时，函数的最小值为−12．当x∈(−π3, m)时，则−5π6<2x−π6<2m−π6，所以2m−π6≥π2，即m≥π3时，函数f(x)在区间(−π3, m)上的最大值为32，所以m的最小值为π3．【考点】三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的性质的应用求出函数的最小值．（3）利用函数的单调区间的应用求出m的最小值．【解答】函数f(x)=√3sinxcosx−12cos2x+12=√32sin2x−12cos2x+12=sin(2x−π6)+12．所以函数的最小正周期为T=2π2=π，令2x−π6=2kπ−π2(k∈Z)，解得x=kπ−π6(k∈Z)．故函数在{x|x=kπ−π6}(k∈Z)时，函数的最小值为−12．当x∈(−π3, m)时，则−5π6<2x−π6<2m−π6，所以2m−π6≥π2，即m≥π3时，函数f(x)在区间(−π3, m)上的最大值为32，所以m的最小值为π3．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，M为侧棱PB的中点，N为棱AD上的动点，且AN＝λ⋅AD，(0<λ<1)．（1）当直线MN // 平面PCD时，求λ的值（2）在（1）的基础上，S为线段MN的中点．求三棱锥S−PCD的体积．【答案】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， M(1, 0, 1)，N(0, 2λ, 0)，P(0, 0, 2)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)， MN →=(−1, 2λ, −1)，PC →=(2, 2, −2)，PD →=(0, 2, −2)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PC →=2x +2y −2z =0n →⋅PD →=2y −2z =0 ，取y ＝1，得n →=(0, 1, 1)， ∵ 直线MN // 平面PCD ，∴ n →⋅MN →=2λ−1＝0，解得λ=12． 由（1）得N(0, 1, 0)，S(12,12,12)，S △PCD =12×CD ×PD =12×2×√4+4=2√2， 点S 到平面PCD 的距离d =|PS →⋅n →||n →|=√2=√22． ∴ 三棱锥S −PCD 的体积V =13×d ×S △PCD =13×√22×2√2=23．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 直线与平面平行 【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．（2）由（1）得N(0, 1, 0)，S(12,12,12)，由此利用向量法能求出三棱锥S −PCD 的体积． 【解答】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， M(1, 0, 1)，N(0, 2λ, 0)，P(0, 0, 2)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)， MN →=(−1, 2λ, −1)，PC →=(2, 2, −2)，PD →=(0, 2, −2)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PC →=2x +2y −2z =0n →⋅PD →=2y −2z =0 ，取y ＝1，得n →=(0, 1, 1)， ∵ 直线MN // 平面PCD ，∴ n →⋅MN →=2λ−1＝0，解得λ=12．由（1）得N(0, 1, 0)，S(12,12,12)，S △PCD =12×CD ×PD =12×2×√4+4=2√2， 点S 到平面PCD 的距离d =|PS →⋅n →||n →|=√2=√22． ∴ 三棱锥S −PCD 的体积V =13×d ×S △PCD =13×√22×2√2=23．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分10． (Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)估计该次考试的平均分x （同一组中的数据用该组的区间中点值代表）； (Ⅲ)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）【答案】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得 (2a +0.020+0.030+0.040)×10＝1， 解得a ＝0.005；（2）由频率分布直方图知各小组依次是[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，其中点分别为55，65，75，85，95，对应的频率分别为0.05，0.30，0.40，0.20，0.05，计算平均分为x=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05＝74（分）；(Ⅲ)由频率分布直方图值，晋级成功的频率为0.2+0.05＝0.25，故晋级成功的人数为100×0.25＝25，填写2×2列联表如下，假设晋级成功与性别无关，根据上表计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(16×41−34×9)225×75×50×50≈2.613>2.072，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．【考点】独立性检验【解析】(Ⅰ)由频率和为1，列方程求出a的值；(Ⅱ)利用直方图中各小组中点乘以对应的频率，求和得平均分；(Ⅲ)根据题意填写，计算观测值K2，对照临界值得出结论．【解答】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得(2a+0.020+0.030+0.040)×10＝1，解得a＝0.005；（2）由频率分布直方图知各小组依次是[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，其中点分别为55，65，75，85，95，对应的频率分别为0.05，0.30，0.40，0.20，0.05，计算平均分为x=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05＝74（分）；(Ⅲ)由频率分布直方图值，晋级成功的频率为0.2+0.05＝0.25，故晋级成功的人数为100×0.25＝25，填写2×2列联表如下，假设晋级成功与性别无关，根据上表计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(16×41−34×9)225×75×50×50≈2.613>2.072，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，△AF 2B 的周长为8， （1）求该椭圆C 的方程．（2）设P 为椭圆C 的右顶点，Q 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点，若直线l:y =12x +m ，(−1<m <1)与圆C 交于M ，N 两点，求P 、M 、Q 、N 四点组成的四边形面积S 的取值范围． 【答案】由已知可得{ca =√324a =8 ，解得{a =2c =√3b =1椭圆C 的方程：x 24+y 2=1．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，{2y =x +2m x 2+4y 2=4⇒x 2+2mx +2m 2−2＝0． x 1+x 2＝−2m ，x 1x 2=2m 2−2，|MN|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√2−m 2，(−1<m <1) Q(0, 1)到直线MN 的距离d 1=√5， P(2, 0)到直线MN 的距离为d 2=5．P 、M 、Q 、N 四点组成的四边形面积S =12|MN|(d 1+d 2)=12⋅√5⋅√2−m 2⋅√5=2√2−m 2∵ −1<m <1，∴ 0≤m 2<1， ∴ 2√2−m 2∈(2, 2√2]，∴ P 、M 、Q 、N 四点组成的四边形面积S 的取值范围为(2, 2√2]【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）利用椭圆的离心率，以及|，△AF 2B 的周长，列出方程组，转化求解椭圆方程即可．（2）设出直线方程，利用直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的表达式，然后求解四边形面积的范围．【解答】由已知可得{ca =√324a =8 ，解得{a =2c =√3b =1椭圆C 的方程：x 24+y 2=1．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，{2y =x +2m x 2+4y 2=4⇒x 2+2mx +2m 2−2＝0． x 1+x 2＝−2m ，x 1x 2=2m 2−2，|MN|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√2−m 2，(−1<m <1) Q(0, 1)到直线MN 的距离d 1=√5， P(2, 0)到直线MN 的距离为d 2=√5．P 、M 、Q 、N 四点组成的四边形面积S =12|MN|(d 1+d 2)=12⋅√5⋅√2−m 2⋅√5=2√2−m 2∵ −1<m <1，∴ 0≤m 2<1， ∴ 2√2−m 2∈(2, 2√2]，∴ P 、M 、Q 、N 四点组成的四边形面积S 的取值范围为(2, 2√2]已知函数f(x)=12ax 3−32x 2+32a 2x ，其中a ∈R （1）当a ＝−2时，求函数f(x)的极值：（2）若函数g(x)＝f(x)+f′(x)−32a 2x ，x ∈[0, 2]，在x ＝0处取得最大值，求a 的取值范围． 【答案】当a ＝−2时，函数f(x)＝−x 3−32x 2+6x ，∴ f′(x)＝−3x 2−3x +6，令f′(x)＝−3x 2−3x +6＝0，解得x ＝−2或x ＝1， 当x <−2或x >1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递减， 当−2<x <1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递增，∴ f(x)极小值＝f(−2)＝8−6−12＝−10，f(x)极大值＝f(2)＝−1−32+6=72；∵ f′(x)=32ax 2−3x +32a 2，∴函数g(x)＝f(x)+f′(x)−32a2x=12ax3−32x2+32a2x+32ax2−3x+32a2−3 2a2x=12ax3+(32a−32)x2−3x+32a2，∴g′(x)=32ax2+(3a−3)x−3，∵△＝(3a−3)2+12×32a＝3(a2+1)>0，∴g′(x)＝0，有两个不相等的实数根x1，x2，(i)当a>0时，x1，x2异号，若g(x)在x＝0处取得最大值，只需g(0)≥g(2)，解得0<a≤65，(ii)当a＝0时，g(x)=−32x(x+2)，∴g(x)在[0, 2]上单调递减，∴g(x)max＝g(0)，满足题意，(iii)当a<0时，∴g′(x)这个二次函数的图象的对称轴为x=−a−1a<0，∴g′(x)在[0, 2]上单调递减，∴g(x)≤g′(0)＝−3<0，∴g(x)在[0, 2]上单调递减，∴g(x)max＝g(0)，满足题意，综上所述a的取值范围是a≤65．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】（1）根据导数和函数极值的关系即可求出，（2）要求函数g(x)＝f(x)+f′(x)，x∈[0, 2]，在x＝0处取得最大值，即先根据求出函数的极值，在与断点出的函数值比较，得出最大值，从而得到关于a的不等式．【解答】当a＝−2时，函数f(x)＝−x3−32x2+6x，∴f′(x)＝−3x2−3x+6，令f′(x)＝−3x2−3x+6＝0，解得x＝−2或x＝1，当x<−2或x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递减，当−2<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递增，∴f(x)极小值＝f(−2)＝8−6−12＝−10，f(x)极大值＝f(2)＝−1−32+6=72；∵f′(x)=32ax2−3x+32a2，∴函数g(x)＝f(x)+f′(x)−32a2x=12ax3−32x2+32a2x+32ax2−3x+32a2−3 2a2x=12ax3+(32a−32)x2−3x+32a2，∴g′(x)=32ax2+(3a−3)x−3，∵ △＝(3a −3)2+12×32a ＝3(a 2+1)>0， ∴ g′(x)＝0，有两个不相等的实数根x 1，x 2， (i)当a >0时，x 1，x 2异号，若g(x)在x ＝0处取得最大值，只需g(0)≥g(2)，解得0<a ≤65， (ii)当a ＝0时，g(x)=−32x(x +2)， ∴ g(x)在[0, 2]上单调递减， ∴ g(x)max ＝g(0)，满足题意，(iii)当a <0时，∴ g′(x)这个二次函数的图象的对称轴为x =−a−1a<0，∴ g′(x)在[0, 2]上单调递减， ∴ g(x)≤g′(0)＝−3<0， ∴ g(x)在[0, 2]上单调递减， ∴ g(x)max ＝g(0)，满足题意， 综上所述a 的取值范围是a ≤65．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2(1−m 2)1+m 2y =4m1+m 2（m 为参数） （1）写出C 的普通方程（2）曲线C 按向量a →=(3, 4)平移后得曲线M ，过原点O 且斜率为k 的直线与曲线M 相交于A ，B 两点，求|OA|与|OB|的乘积 【答案】曲线C 的参数方程为{x =2(1−m 2)1+m 2y =4m 1+m 2（m 为参数）所以，x =2(1−m 2)1+m 2=−2+41+m 2≠−2，所以x +2=41+m ，由于y =4m1+m ，所以m =yx+2代入x +2=41+m 整理得x 2+y 2＝4． 所以曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4(x ≠−2)．曲线C 按向量a →=(3, 4)平移后得曲线M ，即(x −3)2+(y −4)2＝4(x ≠1)， 设直线AB 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα（t 为参数）代入曲线M 的方程，得到t 2−t(6cosα+8sinα)t +21＝0， 所以|OA|⋅|OB|＝|t 1⋅t 2|＝21． 【考点】直线与椭圆的位置关系参数方程与普通方程的互化 椭圆的应用 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程．（2）利用直线和曲线间的位置关系式，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的运算求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =2(1−m 2)1+m 2y =4m 1+m 2（m 为参数）所以，x =2(1−m 2)1+m 2=−2+41+m 2≠−2，所以x +2=41+m 2，由于y =4m1+m 2，所以m =yx+2代入x +2=41+m 2整理得x 2+y 2＝4． 所以曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4(x ≠−2)．曲线C 按向量a →=(3, 4)平移后得曲线M ，即(x −3)2+(y −4)2＝4(x ≠1)， 设直线AB 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα （t 为参数）代入曲线M 的方程，得到t 2−t(6cosα+8sinα)t +21＝0， 所以|OA|⋅|OB|＝|t 1⋅t 2|＝21． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)＝|x −a|+|x −3|，a ∈R ． （1）若f(x)≥5恒成立，求a 的取值范围；（2）若f(x)<x +3的解集是(1, t)，求a 与t 的值． 【答案】f(x)＝|x −a|+|x −3|≥|(x −a)−(x −3)|＝|a −3|． ∵ f(x)≥5恒成立，∴ |a −3|≥5， ∴ a ≥8或a ≤−2，∴ a 的取值范围为(−∞, −2]∪[8, +∞)； ∵ 不等式f(x)<x +3的解集是(1, t)， ∴ t >1且1是方程f(x)＝x +3的实根， ∴ |1−a|+2＝4，∴ a ＝−1或a ＝3．当a ＝−1时，由f(x)＝|x +1|+|x −3|<x +3，解得1<x <5，∴ t ＝5； 当a ＝3时，由f(x)＝|x −3|+|x −3|<x +3，解得1<x <9，∴ t ＝9， ∴ a ＝−1，t ＝5或a ＝3，t ＝9． 【考点】函数恒成立问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）利用绝对值三角不等求出f(x)的最小值为|a −3|，然后由f(x)≥5恒成立，可得|a −3|≥5，解不等式可得a 的范围；（2）不等式f(x)<x +3的解集是(1, t)，则1为方程f(x)＝x +3的实根，求出a 后代入不等f(x)<x +3中可得t 的值． 【解答】f(x)＝|x −a|+|x −3|≥|(x −a)−(x −3)|＝|a −3|． ∵ f(x)≥5恒成立，∴ |a −3|≥5， ∴ a ≥8或a ≤−2，∴ a 的取值范围为(−∞, −2]∪[8, +∞)； ∵ 不等式f(x)<x +3的解集是(1, t)， ∴ t >1且1是方程f(x)＝x +3的实根， ∴ |1−a|+2＝4，∴ a ＝−1或a ＝3．当a ＝−1时，由f(x)＝|x +1|+|x −3|<x +3，解得1<x <5，∴ t ＝5；当a＝3时，由f(x)＝|x−3|+|x−3|<x+3，解得1<x<9，∴t＝9，∴a＝−1，t＝5或a＝3，t＝9．。
湖南省2019届高三高考模拟数学(文)试题
普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）文科数学本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。
3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、设集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，则()A．M∪N＝M B．(∁R M)∩N＝R C．(∁R M)∩N＝∅D．M∩N ＝M2、若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x4、函数y ＝lg|x |x的图象大致是 ( )5、、等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝16、已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是 ( )A.π2B.π3C.π4D.π67、若|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为 ( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°8、设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π- 9、在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) ． A.53B.54C.109D.15810若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 11、设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A .12或32B .23或2C .12或2D .23或3212、已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－32，3B.⎣⎡⎦⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
长浏宁三(市)县一中高三5月仿真模拟数学文试题及答案
高三5月份仿真模拟考试试卷数学（文科）时量：120分钟 分值：150分 命卷：长沙县一中 审校：宁乡一中考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。
2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知i 是虚数单位，则421ii-=-+（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -2.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2⨯2列联表进行性检验，经计算K 2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）P(K 2≥k 0) 0.1000.0500.025 0.010 0.001 k 。
2.706[3.8415.0246.635 10.828A. 0．1％B. 1％C. 99％D. 99．9％ 3. 若1,1,1c a c c b c c >=--=+-则下列结论中正确的是（ ）A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b ≤ 4. 已知)0(),6sin()(>+=ωπωx x f ,()1y f x =+的图像与2y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x = 的图像，只须把sin y x ω=的图像（ ）A. 向右平移12π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移12π个单位 D. 向左平移6π个单位5.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．π9200+ B ．π18200+C ．π9140+D ．π18140+6.已知命题p ：对任意,x R ∈，总有30x>；命题q ："2"x >是"4"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ） A ． 1个B ．2个 C ．3个 D ．4个8. 已知向量a )2,1(-=，b ),y x （=，若]4,1[,∈y x ，则 满足0a b ⋅>的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．19 D ．899.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F ∆的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．a b c +-B ． aC ． bD ．c10.设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在],[b a x ∈上有两个不同的零点，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“关联函数”，区间],[b a 称为“关联区间” .若43)(2+-=x x x f 与m x x g +=2)(在]3,0[上是“关联函数”，则m 的取值范围是（ ）A ．]0,1[-B ．]2,49(--C ．]2,(--∞D ．),49(+∞-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.已知集合=M 2{|||2,},{|(3)ln 0}x x x R N x R x x ≤∈=∈-=，那么=⋂N M .12.在极坐标系中，直线:l 112x ty t=+⎧⎨=+⎩()t 为参数被曲线θρcos 2:=C 所截得的线段长为 .13.若实数y x ,满足042=-y x ，则1+x y的取值范围为 . 14.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 夹角为︒120，OA 与OC 的夹角为︒30，且1==OB OA ，32=OC ,若),(R OB OA OC ∈+=μλμλ，则μλ+的值为 .BCAO15.在一个数列中，如果对任意n N +∈,都有12(n n n a a a k k ++=为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公积为8，记{}n a 的前n 项和为n S ，则： （1）5a = . （2）2015S = .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知),,1(),cos 23sin 21,21(y b x x a =+= 且b a //.设函数).(x f y = （1）求函数)(x f y =的解析式；（2）若在锐角ABC ∆中，3)3(=-πA f ，边3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.17．（本小题满分12分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生， 求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥AB 侧面C C BB 11，已知21=AA ,2=AB ,1=BC ,31π=∠BCC .（1）求证：⊥B C 1平面ABC ；（2）当E 点为棱1CC 的中点时，求11C A 与平面E B A 11所成的角的正弦值.19. （本小题满分13分）某学校实验室有浓度为ml g /2和ml g /2.0的两种K 溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为ml g /2和ml g /2.0的两种K 溶液各ml 300分别装入两个容积都为ml 500的锥形瓶B A ,中，先从瓶A 中取出ml 100溶液放入B 瓶中，充分混合后，再从B 瓶中取出ml 100溶液放入A 瓶中，再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第n 次操作后，A 瓶中溶液浓度为ml g a n /，B 瓶中溶液浓度为ml g b n /.)477.03lg ,301.02(lg ≈≈（1）请计算11,b a ，并判定数列}{n n b a -是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；（2）若要使得B A ,两个瓶中的溶液浓度之差小于ml g /01.0，则至少要经过几次？E C 1A 1ABB 1C20. （本小题满分13分）如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A 、B ，右焦点为F ，且1=⋅FB AF 1=OF .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点F 作直线1l 、2l ，直线1l 与椭圆分别交于点M 、N ，直线2l 与椭圆分别交于点P 、Q ，MQ NP NQ MP =+，求四边形MPNQ 的面积S 的最小值.21. （本小题满分13分）已知函数),()(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极值2. （1）求)(x f 的解析式；（2）设A 是曲线)(x f y =上除原点O 外的任意一点，过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ，试问：是否存在这样的点A ，使得曲线在点B 处的切线与OA 平行？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设函数a ax x x g +-=2)(2，若对于任意R x ∈1，总存在]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g ≤，求实数a 的取值范围.NPMBAyxl 2 l 1QF O长浏宁三（市）县一中高三五月三模考试参考答案文科数学一、 选择题（本大题共10个小题，共50分）题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCACADCCBB二、填空题（本大题共5个小题，共25分）11.{1，-1} 12.554 13.]1,1[- 14. 6 15. 2 ; 4700三、解析题（本题共6小题，共75分） 16.（本小题12分）【解析】（1）因为b a //，所以113sin cos 222y x x =+，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ……4分 （2）因为2sin 2sin 3333f A A A πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3sin A =， 因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=. ………………………………………………………6分又3BC =，由正弦定理知，2sin BCR A =，得322sin 3R π==，所以2sin AC B =，2sin AB C =，所以ABC ∆232sin 2sin 32sin 2sin 3B C B B π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭= 3132sin 2sin 32326B B B B π⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ………………10分 因为022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以62B ππ<<，则3263πππ<+<B ，3sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 所以ABC ∆周长的最大值为33…………………………………………………12分17. （本小题12分） 【解析】（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. …………………………………3分因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92. ………………………6分 （2）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………9分 其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ………………………………………………11分 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：710p =…………………………………………………………………………………12分 18.（本小题12分） 【解析】（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥.在1BC C ∆中，111,2,BC CC BB ===1.3BCC π∠=由余弦定理有：=∠⋅⋅⋅-+=112121cos 2BCC CC BC CC BC BC 14212cos3.3π+-⨯⨯⨯=故有22211BC BC CC +=，所以1C B BC ⊥.而BCAB B =且,AB BC ⊂平面ABC ，所以1C B ⊥平面ABC . ………………………………………………………6分 （2）因为E 点为棱1CC 的中点，所以︒=∠==1201111111B EC C B EC ，， ， 则31=E B ,又E B B A B BCC B A 1111111⊥∴⊥，面26322111=⨯⨯=∴∆E B A S 且432321120sin 112111=⨯=︒⨯⨯⨯=∆E B C S 设点1C 到平面E B A 11的 距离为d ，则由等体积法得：111111EB A C B EC A V V --=即d ⨯⨯=⨯⨯263124331 21=∴d 又321121111=+=C B B A C A ,设11C A 与平面E B A 11所成的角为θ，则63321sin 11===C A d θ， 故所求的11C A 与平面E B A 11所成的角的正弦值为63………………………………12分19.（本小题13分） 【解析】（1）./55.1,/65.011ml g a ml g b == …………………………………3分 ),3(41)100300(4001,21111----+=+=≥n n n n n a b a b b n 时 分次才能达到要求所以至少要操作得由分为公比的等比数列，为首项，是以13..8,49.72lg 13lg 2110)21(9.0)2(8.)21(9.021}{),(21),3(41)100200(30012111111111 ≈++><=-∴--∴-=-+=+=--------n b a b a b a b a b a b a b a a n n n n n n n n n n n n n n n 20.（本小题13分）【解析】（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则由题意知1c =，又因为1=⋅FB AF ，即()()221a c a c a c +-==-，所以22a =.所以2221b a c =-=，故椭圆的方程为2212x y +=. ………………………………4分 （2）设()()()(),,,,,,,.M M N N P P Q Q M x y N x y P x y Q x y则由题意：2222MP NQ NP MQ +=+ 即：()()()()2222M P M P N Q N Q x x y y x x y y -+-+-+-=()()()()2222M P M P M Q M Q x x y y x x y y -+-+-+-整理得：0N P M Q M P N Q N P M Q M P N Q x x x x x x x x y y y y y y y y +--++--=即()()()()0N M P Q N M P Q x x x x y y y y ----=，所以12l l ⊥ ……………………………7分 ① 若直线12l l ⊥中有一条斜率不存在.不妨设2l 的斜率不存在，则可得2l x ⊥轴， 所以22,2MN PQ == 故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S . ② 若直线12,l l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)0)(1(≠-=k x k y ，则 由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-⎩＝得：2222214220k x k x k +-+-=（）. 设()()1122,,M x y N x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++.()())222222221212122224222141141212121k k k MN k x k x x x x k k k k -+⎛⎫=+-=+--=+-= ⎪+++⎝⎭同理可求得，)222212k PQ k+=+，故四边形MPNQ 的面积：))()222222221221114161=1222129212k k S PQ MN k k k k k++==⨯⨯=≥=±+++++当取“”综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为169…………………………………13分 21.（本小题13分）【解析】（1）因为()2mx f x x n =+，所以222222)()(2)()(n x mx mn n x x mx n x m x f +-=+⋅-+='.又()f x 在1x =处取得极值2，所以()()f 10f 12'=⎧⎪⎨=⎪⎩，即()2(1)0121m n n m n-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩解得14n m ==，，经检验满足题意，所以()241xf x x =+ ……………………………………………3分 （2）由（1）得()()222441x f x x-'=+，假设存在满足条件的点A ，且002041x A x x ⎛⎫⎪+⎝⎭，， 则204 1OAk x =+，又22020220200)4()4(16]1)2[()2(44)2(+-=+-='x x x x x f . 则由)2(0x f K OA'=，得202220016(4)41(4)x x x -=++，所以420054x x =，因为00x ≠， 所以2045x =，得025x =.故存在满足条件的点A ，此时的点A 的坐标为25852585⎛ ⎝⎭⎝⎭或. ……7分（3）解法一：()()()22411(1)x x f x x -+-'=+，令'0f x =（），得11x x =-=或.当x 变化时，'f x f x （），（）的变化情况如下表： x1-∞-（，）-1 11-（，）1 1+∞（，）'f x （） - 0 + 0 - f x （）单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f x （）在1x =-处取得极小值12f -=-（），在1x =处取得极大值12f =（），又0x >时，0f x >（），所以f x （）的最小值为12f -=-（），因为对于任意的1x R ∈，总存在[]211x ∈-，，使得()21g x f x ≤（），所以当[]11x ∈-，时，()g x 最小值不大于-2，又()2222g x x ax a x a a a =-+=-+-（）.所以当1a ≤-时，()g x 的最小值为()113g a -=+，由132a +≤-，得1a ≤-；当1a ≥时，()g x 最小值为()11g a =-，由12a -≤-，得3a ≥；当11a -<<时，()g x 的最小值为()2g a a a =-.由22a a -≤-，即2420a --≥得1211a a a ≤-≥-<<或，又，所以此时a 不存在．综上，a 的取值范围是(][)13-∞-+∞，，…………………………………13分 解法二：同解法1得()f x 的最小值为2-.因为对任意的1x R ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x ≤，所以当[]1,1x ∈-时，()2g x ≤-有解，即2220x ax a -++≤在[]1,1-上有解.设()222h x x ax a =-++，则()()()()()244241201 1 1330130 a a a a a a h a h a ⎧∆=-+=+->⎪-≤≤⎪∈∅⎨-=+≥⎪⎪=-+≥⎩得， 或()()()()113330h h a a -=+-+≤，得13a a ≤-≥或所以1a ≤-或3a ≥时，2220x ax a -++≤在[]1,1-上有解，故a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞.解法三：同解法1得()f x 的最小值为2-.因为对任意的1x R ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x ≤，所以当[]1,1x ∈-时，()222g x x ax a =-+≤-有解，即()2212x a x -≥+在[]1,1-上有解.令21x t -=，则22214t t x ++=，所以[]229,3,14t t at t ++≥∈-。
湖南省长沙市宁乡县第一中学2019年高三数学理月考试题含解析
湖南省长沙市宁乡县第一中学2019年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}，则M∩N=（）A．{0，2} B．{﹣2，0，2} C．{0，2，4} D．{﹣2，2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合N，由此利用交集的定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴M∩N={﹣2，0，2}．故选：B．2. 已知点M(x，y)是平面区域内的动点，则的最大值是(A)10 (B) (C) (D)13参考答案：D3. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为2，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：设棱柱的高为h，则，∴h=4．∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴BC=如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OA，由题意，AP=?=1，OP=2，∴OA==，所以球的表面积为：4πR2=20π．故选：B．【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是中档题．4. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A． B．1 C． D．2参考答案：B5. 执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）A．17 B．36 C．52 D．72参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k＞5时，退出循环，即可得解S的值．【解答】解：根据程序框图可知k=1，S=0，进入循环体后，循环次数、S的值、k的值的变化情况为：故选：D．【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．6. 若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是A. 2个B. 3个C. 4个 D. 多于4个参考答案：C略7. 设函数是定义在R上的奇函数，且=，则（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：A8. “x＞1”是“x2+2x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别讨论能否由x＞1推出x2+2x＞0，能否由x2+2x＞0推出x＞1，即可得到正确答案．【解答】解：当x＞1时，x2+2x＞0成立，所以充分条件成立当x2+2x＞0时，x＜﹣1或x＞0，所以必要条件不成立故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定，间接考查一元二次不等式的解法，属简单题．9. 已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，则参考答案：112. 双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线离心率的取值范围是.参考答案：13. 复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．参考答案：4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．解答：解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．14. 已知函数，若，则实数a等于．参考答案：0或2略15. 平面向量的夹角为，，则____________．参考答案：略16. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则＝.参考答案：17. 设是两个集合，定义集合，若，，则。
2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试理科数学试题
2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =U （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A ．14B ．13C ．25D ．123．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θπ=时，就有10i e π+=，根据上述背景知识试判断3ie π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<6．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12807．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．3C ．43D ．38．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值为（ ）A ．3B ．59C ．49D ．49．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（ ）10．已知抛物线C ：22y px =（0p >）上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2-C ．D 111．已知函数()sin f x x x =，且()()12f f 4x x =-n ，则12x x +的最小值为（ ） A ．3π B ． 2πC ．23π D ．3 4π12．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．713．平面向量a v 与b v的夹角为12a π=v ，，1b =v ，，则32a b -=v v __________．14．已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≥0x +y −3≤02y +1≥0，则z =2x −y 的最小值为___15．已知F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(,0)A a ，(0,)B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的体积的最大值为__________．17．已知数列{}n a 满足12a =，()21(2)(1)232n n n a n a n n ++=+-++，设1nn a b n =+. （1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列1111n n n n a a +⎧⎫+⋅⎨⎬++⎩⎭的前n 项和n S .18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且2PC BC AD ==2CD ==2PA =．(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由． 19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)2F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线:=+l y kx E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 20．北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率； （Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明）21．已知函数()ln ,xf x a x e a R =-∈.（1）试讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若*a N ∈，且()0f x <恒成立，求a 的最大值. 参考数据：22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．23．已知函数()21f x x a =++.（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2）若存在1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()22f x b x a ≥++的解集非空，求b 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可. 【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-. 故选A 【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型. 2．B 【解析】 【分析】利于小三角形的面积和与所有三角形的面积和比值即可求得概率. 【详解】设小三角形的直角边长度为1， 则小三角形的面积和为411122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为4142⨯=， 则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+， 故选：B 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积； 3．D 【解析】 【分析】根据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而判断在复平面对应的点所在象限. 【详解】欧拉公式cos sin i e i θθθ=+， 在3i e π-中，3πθ=-，所以3cos 33sin iei πππ-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭=12=，对应点的坐标为1,22⎛- ⎝⎭，所以在第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义的简单应用，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。