断裂力学讲义(第五章)

K判据用于： 1.脆性材料 2.中低强度，延性较佳材料制成的大截面构件 CTOD用于：薄壁压力容器、船壳等。 延性断裂发生的三个阶段：1. 裂纹的启裂 2. 亚临界裂纹 扩展 3. 失稳断裂
5.6.2 J积分的物理意义




Sanders and Rice： 线路C外部对内部做功的速率大于或等于储存于A 中内能的改变率和不可恢复的损耗能量率之和。 du d dD T ds W dA dt dt dt 代入裂纹长度a， dD da d da G 应用格林公式，dt a dt ， dt dt u G W dy T ds 得： x 为纪念James. Rice ，记为
5.6 J积分 5.6.1 弹塑性力学的难点


弹塑性力学的难点：裂端弹塑性应力场的封闭 解难以得到。 James. Rice 提出J integral。 定义：J W dy T ui ds

c
1
i
x


——弹塑性应变能密度 Ti ——作用于ds积分单元上i方向的面力分量 u i ——ds积分单元上i方向的位移分量
2 2 I I
2 I I
J I GI
KI E1
E

以上等式的假设条件是：裂纹沿原方向扩展，小 范围屈服。
5.6.3 J积分的线路无关性应用举例


无限长平板有对称的半无限长裂纹： h y 施以固定位移 在 2 C1 ，C5上，面力为零，应变能也为零。 ∴ C C 0 u C2 ， 4 上， dy 0 ； 为常数， 为常数 C ∴ C C 0 n C3上：x 1 ，y 0 ，dy ds ， x 0 ，xy 0 ， y 0 n Tx x nx xy ny Ty y ny yx nx ∴ T T 0 S J Wdy W h x y
5.1.1 Irwin对裂纹尖端塑性区尺寸的初 步估计

裂端正前方应力分布如图 对I型裂纹 r rp 时， ys y 0 K ys r r 2 2rp K rp ∴ 2 2 ys 平面应力时： ys s (单向拉伸时的屈服强度) 2
p
2 2 2 p 2 s 2 2 p 2 s



Von Mises 准则确定 I型裂纹塑性区的形状。
5.4 平面应力与平面应变的塑性区
5.5 裂纹尖端张开位移（CTOD）



裂纹张开位移——一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表 面间的距离。简写为COD(crack opening displacement) K r 2 k 1 2 cos sin 对I型裂纹： 2 2 2 当 时，即在裂纹面时，
k 1 Keff rp CTOD 2

K 小范围屈服时， eff
CTOD
2
K
2
4 K 4G K G E1 ys ys E1
，
k 1

8E
1
，
rp

K2 2 ys


K a
K
表示由分布力 ys 引起的应力强度因子。

无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到一对集 中拉力P的作用（单位厚度集中力）
KA P
a
ab a b
KB
P
a b a a b

结合Dugdale模型：
dK
dx a x a x a x a
2
2 k 1
COD 2
k 1 K

K r 2
r 2

裂端的COD为COTD(crack tip opening displacement) 线弹性时，COTD=0。

Irwin塑性区修正，裂纹端点移至有效裂纹端点，真正裂纹 r rp , ） 端点（
cos 2 ys
a 时， 1 当 2
a 1 a 1
a
1 , a a
ys
2
1 cos( ) 1 1 , 2 ys 2 2 ys 2 ys
ys
a
a x
a x
K 2 ys
a 1 a cos a
a 1 a cos 0 a

则：
a 2 ys
a a
2
5.3 裂端塑性区的形状

Dugdale模型描述的裂端塑性区形状（狭长的） 存在于低碳钢制成的压力容器与管道中，但对 于高强度材料，其裂端塑性区的形状如何呢？
将裂端应力场的线弹性断裂力学的公式代入：
1 K cos 1 sin 2 2 2 r 2


5.6.1 弹塑性力学的难点 5.6.2 J积分的物理意义 5.6.3 J积分的线路无关性应用举例 5.6.4 J积分的能量解释
5.1 Irwin对裂端塑
由线弹性分析可知： 1 x , y , xy 随 r 2 而变化，r →0， →∞。这些解在的裂纹端点并 不适用。这就是所谓的应力奇异性。 在含裂纹的材料受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区 （plastic zone）。 对于非常脆的材料，塑性区可能很小，与裂纹长度和零构件尺寸 相比可忽略不计。可用线弹性理论的应力强度因子的概念来分析 应力场。 而当塑性较好的材料，塑性区尺寸比较大，进行必要的修正后， 才能应用线弹性断裂力学的结果。 若是塑性区尺寸大到超过裂纹长度，则线弹性断裂力学已不适应 于这种情况，不能应用应力强度因子的概念。

1 x y x y 2 xy 2 2 2
2
0 s 1 2
平面应力 平面应变

假定是平面应力问题： 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 s 2 Mises屈服条件： 将 1 、 2 代入Mises屈服条件，得 r K 3 r 1 2 1 cos sin （平面应变） 4 2 K 3 （平面应力） r 1 cos sin 4 2
则：
ys


0
K dr ys 2 r
ys
K 2 ys
K 2
ys


当
K 2
a
时， r


K

p


K 2rp
K2

∴
ys
2
ys

ys


∵ r ，∴ r 第二步估计的 r 2r ，比 rp 大一倍。 Irwin裂端塑性区的估计是建立在“小范围屈 服”(small scale yielding)基础上的( a )。 rp 与 K 2 成正比，与 ys 2 成反比。




可以设想：当把有效裂纹的概念 a 引进后， O' 在 的“－”方向的有效裂纹 O, 的作用 有 ys ，按有效裂纹的假设应该有一定的位移。 而实际情况是没有位移。 ∴可以认为在 的上下裂纹表面作用有指向 裂纹的 ys 。 这一分布的 ys 不仅使裂纹表面不分开，而且 使有效裂纹端点的应力奇异性消失。 即： K K K 0 （在有效裂纹的端点）
W1


可以证明：J积分与路径无关。→可选择远离裂端的应力 应变场容易求得的积分路径来求积分而避开裂端应力应变 场难以求得的路径积分。 小范围屈服时：J=G I型裂纹，启裂判据： J I J Ic
a时, K为代表的线弹性断裂力学理论仍然适用 应用CTOD或J 积分 不满足 a时 a, 仍用K , 但 +a aeff , 得 : K eff
2 2 a 8 2 ys


， 小范围屈服 K a 大范围屈服时， 与 a 相比不可忽略，直接利 a cos 用 2 a 求出。 Dugdale模型的塑性区要比Irwin模型的塑性区 大一些。
ys
K 8 ys
5. 弹塑性断裂力学的基本概念

5.1 Irwin对裂端塑性区的估计


5.1.1 Irwin对裂纹尖端塑性区尺寸的初步估计 5.1.2 Irwin对塑性区的第二步估计

5.2 Dugdale模型 5.3 裂端塑性区的形状 5.4 平面应力与平面应变的塑性区 5.5 裂纹尖端张开位移（CTOD） 5.6 J积分


K2 K2 2 2rp 2 2 ys 2 ys
p
p

p
p
5.2 Dugdale模型


Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂 纹时，其裂端的塑性区是狭长块状。 类似于Irwin的有效裂纹长度的概念，他认为有 效裂纹的长度为 a 。 ? （ 是塑性区尺 寸）
i C i A 1 i C 1 i
J W1dy Ti
C
ui ds x

实际上，是和Irwin能量平衡公式意义一致的。 对于线弹性体，J为Griffith的能量释放率。 对于线弹性体，平面应变I型裂纹端点区： 2
J GI