09理论力学讲义-第九讲第六章(2004.10.12)

F’ A A Ⅰ F F’ A Ⅰ Ⅱ F Ⅱ O F’ 2F A1 F Ⅱ B1 B 2F’ A1 F B B Ⅰ B
F’
§6－3 空间力偶理论
9 9
1、空间力偶的性质： 空间力偶的性质： 力偶的性质
z
力偶大小、力偶作用面的方位和力偶转向 是力偶的三要素 力偶是矢量，是自由矢量
y O
空间力偶矩矢的表示：右手规则
退出
Fy = F cos β
Fz = F cos γ
Fx = F cosθ cosϕ
Fy = F cosθ sin ϕ
Fz = F sin θ
§6-1 空间力沿座标轴的分解与投影
4 4
反过来，若已知力 在坐标轴上的投影 在坐标轴上的投影Fx、 、 ， 反过来，若已知力F在坐标轴上的投影 、Fy、Fz，
z Fz γ β Fx x α Fy F y
r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k
F = Fx + Fy + Fz
2 2
2
退出
Fx cosα = F
cos β =
Fy F
Fz cos γ = F
§6－2 空间汇交力系的合成与平衡
5 5
z F4 F3
r r r r Fi = Fix i + Fiy j + Fiz k
a b F M α C B y
A F r x
受力图： 解：1. 受力图：首先要选取研究对象，作受力图。
退出
2. 坐标系：选择坐标系时应注意力与轴的夹角应尽量简单 坐标系： 3. 列方程：a)力在轴上的投影（分解）；b)多取力矩方程 列方程：
§6－6 空间任意力系的平衡条件与平衡方程
空间约束类型
19 19
结论：空间任意力系向任一点简化，一般可以得到一力和一力 结论
退出
r r r r r FR = F1 '+ F2 '+ L + Fn ' = ∑ F '
偶；该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该力偶之 矩矢等于力系对于简化中心的主矩。
§6－6 空间任意力系的平衡条件与平衡方程
16 16
序 主矢FR’ 主矩Mo 力系简化最终结果
z
r 大小 mo ( F ) = 2S ∆OAB
F B Fz r A Fxy y B’
r r mo ( F ) = r × F
mo(F)
方向：右手规则;作用点：矩心O; 定位矢量 2、力对轴之矩的定义： 对轴之矩的定义：
O
A’ x
F’xy
mz ( F ) = ±2S ∆OA'B ' = mz ( Fxy ) + mz ( Fz )
18 18
例6-6 传动轴AB上装有齿轮C（图），齿轮的节圆直径 d=4.8cm，压力角α=20°齿轮与轴承A及B相距a=9cm， b=21cm 。 已 知 轴 的 A 端 由 电 动 机 带 动 ， 作 用 有 矩 M=70N·m的力偶，转向如图所示。求齿轮所受的圆周力 F及轴承A、B处的约束反力。 z
11 11
1、力对点之矩的矢量表示： 对点之矩的矢量表示：
z
mz(F)= [mo(F)]z
F
r 大小 mo ( F ) = 2S∆OAB
2、力对轴之矩的定义： 对轴之矩的定义：
r r r mo ( F ) = r × F
mo(F)
B γ O r A y F’xy B’
mz ( F ) = ±2S∆OA'B '
力对于轴之矩的特点：
（1）当力的作用线与轴平行或相交（ 共面 ） 时，力对于该轴之矩等于零 平行或相交（共面） 平行或相交 。 （2）当力沿其作用线移动时，它对于轴之矩不变。 （3）求空间力对坐标轴的力矩，可以将空间力沿坐标轴分解，分别对X Y Z轴取矩，正负按右手法则确定。
退出
§6－4
力对于点之矩与力对于轴之 矩
r r r mo ( F ) = r × F
mx(F)
x
r r r mo ( F ) = r × F = x Fx
r i
r j
r k z
y Fy
r r r r mo ( F ) = ( yFz − zFy )i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx )k
退出
Fz
mx ( F ) = yFz − zFy
3、力对点之矩与力对轴之矩的关系： 对点之矩与力对轴之矩的关系：
A’ x
S ∆OA'B ' = S ∆OAB cos γ
r r r mz ( F ) = ± mo ( F ) cosγ = mo ( F ) cosγ = [mo ( F )]z
力矩关系定理
退出
即力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力 对于该轴之矩
F O z F B mo(F) A O
退出
m = mo (F )
O z B A
A
F’ A O A’
y B’
y B’
A’ x x
§6－5 空间任意力系向已知点的简化
15 15
F2 F1 A1 A2 O An Fn F1’ m1 O mn m2 F ’ 2 Fn’ FR
m
O
合力矢 r r Q F1 ' = F1
∑F
x
=0
∑F
y
=0
∑F
z
= 0 ⇔ 平衡
空间汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是： 空间汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是： 该力系中所有各力在三个坐标轴的每一个坐标轴上投影的 代数和等于零。 称为空间汇交力系的平衡方程 平衡方程
退出
§6－3 空间力偶理论
7 7
F2
平面力偶的性质： 平面力偶的性质：平面力偶可以在其作用面 的性质
FR
r r r r r FR = ∑Fi = ∑(Fixi + Fiy j + Fizk )
r r r = (∑Fix )i + (∑Fiy ) j + (∑Fiz )k
F2 F1 O O F4 x F2 F3 y
FRx = ∑ Fx
FRy = ∑ Fy
FRz = ∑ Fz
r r r r FR = FRx i + FRy j + FRz k
z
y O
退出
x
§6－3 空间力偶理论
空间力偶的性质： 空间力偶的性质：力偶可由一个平面移至刚体内另一平行平面而 力偶的性质
不影响它对于刚体的作用，或者说，作用面平行的两个力偶 作用面平行的两个力偶 若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。 ，若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效
证明： 证明：
理 论 力 学
第九讲
第六章
2 2
空间力系和重心
§6-1 §6－2 §6－3 §6－4 §6－5 §6－6
退出
空间力沿坐标轴的分解与投影 空间汇交力系的合成与平衡 空间力偶理论 力对于点之矩与力对于轴之矩 空间任意力系向已知点的简化 空间任意力系的平衡条件与平衡方程 平行力系的中心与重心
§6－7
§6-1 空间力沿座标轴的分解与投影
空间合力投影定理： 空间合力投影定理： 合力投影定理
退出
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上投影 的代数和，称为空间合力投影定理
§6－2 空间汇交力系的合成与平衡
6 6
FRx =
∑F
x
FRy =
∑F
y
FRz =
∑F
z
r r r r FR = FRx i + FRy j + FRz k r FR = 0 ⇔ 平衡
r r r r F2 ' = F2 L Fn ' = Fn r r r r r r ∴ FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ F =FR ' 主矢 r r r r 附加合力偶矩矢 m = m1 + m2 + L + mn r r r r r r m = mo ( F1 ) + mo ( F2 ) + L + mo ( Fn ) = ∑ mo ( F ) = M o 主矩
退出
∑m (F) = 0 ∑m (F) = 0 ∑m (F) = 0
x y z
§6－6 空间任意力系的平衡条件与平衡方 程特殊空间力系
z
17 17
F1
F3
一、空间汇交力系的平衡方程
y O x F2
∑F
x
x
=0
∑F
y
y
=0
∑F
z
z
=0
∑m (F) = 0 ∑m (F) = 0 ∑m (F) = 0
二、空间平行力系的平衡方程 空间平行力系的平衡方程
3 3
力矢F在轴上的投影 力矢 在轴上的投影: 在轴上的投影 r r
r r r r r F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
（2）二次投影法：
z
l）直接投影法：
z Fz γ β Fx x α Fy F y
Fz F Fx x φ θ Fy y
Fx = F cosα
§6－5 空间任意力系向已知点的简化
14 14
力线平移定理： 力线平移定理：
作用于刚体上的力均可以 可以从原来的作用位置平行移至刚体内任一指 可以 定点，欲不改变该力对于刚体的作用，则必须在该力与指定点所决 定的平面内附加一力偶 附加一力偶，其力偶矩(矢)等于原力对于指定点之矩( 附加一力偶 矢) 。 F’