中南大学高等数学课件5-习题课

一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
的定 性积 质分
定积分
广义积分
定 计积 算分 法的
牛顿-莱布尼茨公式

b
a
f ( x )dx F (b ) F (a )
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0 ) 、

证 （1）设 x t 2 x 0 t , 2
dx dt,
x t 0, 2
0
2
f (sin x )dx
2
2 2
0
f sin t dt 2
f (cos t )dt f (cos x )dx;
则 f ( x )dx g( x )dx
a a b b
(a b)
（ 2）
a f ( x )dx a
b
b
f ( x )dx
(a b)
[a , b] 性质6 设 M 及 m 分别是函数 f ( x ) 在区间
上的最大值及最小值，
则
m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],[ xn1 , xn ],
各小区间的长度依次为 x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，
在各小区间上任取 一点 i （ i x i ），
作乘积 f ( i )x i
( i 1,2,) 并作和 S f ( i )x i ，
s lim v ( i )t i
0 i 1
n
方法:分割、求和、取极限.
2、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界，在[a , b]中任意
若干若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间， 把区间[a, b]分成
i 1
n
记 max{x1 , x 2 , , x n } ， 如果不论对[a , b]
怎样的分法，也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上 点 i 怎样
的取法，只要当
和 S 总趋于确定的极限I ， 0 时，
I 为函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分， 我们称这个极限
cos t sin t 1 dt sin t cos t 1 1 2 . ln sin t cos t 0 4 2 2 2
cos t 1 2 dt sin t cos t 2 0
例4
计算 1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 x cos x 2x dx dx 1 2 2 1 1 x 1 1 x
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
x
x
a
f ( t )dt 就是
f ( x ) 在[a , b]上的一个原函数.
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x ) 是连续函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的一个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
也可写成
b

b
a
f ( x )dx [ F ( x )]b a.
dx . x ln x(1 ln x )
3 e4
解
原式
e
d (ln x ) ln x(1 ln x )
3 e4

3 e4
e
d (ln x ) 2 ln x (1 ln x )
3 e4
e
d ln x 1 ( ln x )2
2arcsin( ln x )
e
. 6


f (sin t )dt tf (sin t )dt
0 0


f (sin x )dx xf (sin x )dx, 0 0 xf (sin x )dx f (sin x )dx. 0 2 0
0

x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
例5
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
2 2
（1） f (sin x )dx f (cos x )dx ;
0 0
（2） xf (sin x )dx f (sin x )dx . 0 2 0 x sin x dx . 由此计算 2 0 1 cos x
sin x cos x d (cos x sin x ) dx 0. sin x cos x sin x cos x
故得 2 I , 2
即I . 4
例8
xdx . 计算 0 1 cos 2 x
4
解
1 cos 2 x 2 cos x ,
2
xdx xdx 4 4 x d tan x 2 0 1 cos 2 x 0 2 cos x 0 2
4 1 1 4 4 x tan x 0 tan xdx 2 0 2 1 ln 2 4 ln sec x 0 . 8 2 8 4
例3 解
计算 0
a
1 dx . 2 2 x a x
( a 0)
令 x a sin t ,
dx a cos tdt ,
原式
2 0
x a t , 2
2 0
x 0 t 0,
a cos t dt 2 2 a sin t a (1 sin t )
牛顿—莱布尼茨公式
表明 : 一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间 [a , b] 上的增量.
6、定积分的计算法
（1）换元法
a f ( x )dx
（2）分部积分法
b

f [ ( t )] ( t )dt
换元公式

b
a
udv [uv ] vdu
例10 解
设f ( x ) 1
x2
sin t 因为 没有初等形式的原函数， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法
1 sin t dt , 求 xf ( x )dx. 0 t
1 1 2 xf ( x ) dx f ( x ) d ( x ) 0 2 0 1 1 2 1 1 2 x f ( x )0 0 x df ( x ) 2 2 1 1 1 2 f (1) x f ( x )dx 2 2 0
( x ) a f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导数 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 是 ( x ) a dx
定理2（原函数存在定理）如 果 f ( x ) 在[a , b] 上
连续，则积分上限的函数 ( x )
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx
性质4
a 1 dx a
b
b
b
dx b a
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0
a
(a b)
推论： （1） 如果在区间[a , b] 上 f ( x ) g( x ) ，
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ，
b
b
性质7 (定积分中值定理)
使 f ( x )dx f ( )(b a )
a
(a b)
积分中值公式
5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函数
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在区间 [a , b]上可积.
4、定积分的性质
性质1
性质2
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b b
b
b
b
k ( 为常数)
性质3 假设a c b
例9
计算

1
0
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
解
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 d ln(1 x ) 2 x 2 x 0
1 ln 2 1 1 1 1 dx 0 2 x 1 x 3 1 x 2 x ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3

例7 求
2 0
sin x dx. sin x cos x
2 0
解 由I
sin x cos x dx, 设 J 2 dx, 0 sin x cos x sin x cos x