高等数学与拉氏变换在自动化的应用123
拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用
拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用摘要：通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特点。
关键词：拉普拉斯变换 原函数 象函数 传递函数一、拉普拉斯变换(Laplace)及其反变换1、拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。
拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。
同时还引出了传递函数、频率特性等概念。
用拉氏变换解微分方程示意图拉普拉斯变换(Laplace)及其反变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论它在应用数学中占有很重要的地位.拉普拉斯变换和傅里叶(Fourier)变换都是积分变换，函数f(t)的拉普拉斯变换，就是对于函数 ()()at F t e f t -=的傅里叶变换，没有本质上的不同.它们都是解微分方程和积分方程的有力工具，但拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更为广泛的应用。
一个定义在区间[0,)+∞的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为()(),st F s f t e dt +∞-=⎰（1）式中s j σω=+为复数，F(s)称为f(t)的原函数f(t)。
这种由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，其定义为1()(),2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （2）式中c 为正的有限常数.2. 拉普拉斯变换的存在定理 若函数f(t)满足下列条件： 在t ≥0的任一区间上分段连续。
在t 充分大后满足不等式|f(t)|≤Mect ，其中M 、c 都是实常数。
则f(t)的拉氏变换在平面上Re(s)>c 一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。
3、几种典型函数的拉氏变换 (1).单位阶跃函数1(t) 数学表达式为其拉氏变换为-0()()e d st F s f t t+∞=⎰10()1()0t f t t t ⎧==⎨<⎩≥000()[()]()e d 1111e d e [01]st st st F s f t f t tt s s s+∞-+∞--+∞===⋅=-=--=⎰⎰L(2).单位斜坡函数 数学表达式为其拉氏变换为(3).等加速函数 数学表达式为其拉氏变换为(4).指数函数e-at 数学表达式为0()1()0tt f t t t t ⎧=⋅=⎨<⎩≥02()[()]()e d e d 111e e d 001st st stst F s f t f t t t tt t t s s s s+∞+∞--+∞-+∞-===⋅⎡⎤⎡⎤=--⋅=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰⎰L210()20t t f t t ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥200200231()[()]()e d e d 211e e d 211100st st st st F s f t f t t t tt t t s s s s +∞+∞--+∞-+∞-===⋅⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L e 0()()0att a f t t -⎧=⎨<⎩≥为实数其拉氏变换为(5).正弦函数sin t 正弦函数定义为其拉氏变换为(6). 单位脉冲函数( 函数) 函数的表达式为其拉氏变换为4、拉氏反变换的定义如下()0()e e e d 1e d at at st s a t F s tt s a +∞---+∞-+⎡⎤==⎣⎦==+⎰⎰L sin 0sin 00tt t t ωω⎧=⎨<⎩≥()0j j 022()[sin ]sin e d 1e e e d 2j1112j j j st tt st F s t t tt s s s ωωωωωωωω+∞-+∞--===-⎡⎤=-=⎢⎥-++⎣⎦⎰⎰L 0()()d 100t t t t t δδ+∞-∞∞=⎧==⎨≠⎩⎰ 且0()[()]()e d 1st F s t t t δδ+∞-===⎰L[]j 1j 1()()()e d 2πj st F s f t F s tσωσω+--==⎰L一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
高等数学(下) 第3版课件-拉氏变换的应用
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又叫拉氏变换。其应用 如下：
1.有些情况下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实 变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉 斯逆变换来求得实数域上的相应结果。
2.应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程， 使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从 实域上，转换为复域上来表示。
3.在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换 的基础上的。
拉普拉斯变换就是使用了化归思想方法的结果。化归思想，是将一个问题 由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程，它是转化和归结的简称。
自动控制原理拉氏变换
s
δ(t )
d [
ε(t )]
S
1
1
dt
S
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
3.积分性质
重点！
设： [ f (t)] F(s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
F(s) s
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ(s)
[ f (t)]
dt
F(s) K - Ke-t
K K Ka s s a s(s a)
2. 微分性质
若： f (t) F(S) udv uv vdu
则
df ( t dt
)
sF ( s )
f
(0 )
重点！
证：
df ( t dt
例13-8
求：F(s)
s2
1 (s 1)3
的原函数f
(t)
解
F(s)
K22 s
K21 s2
K13 (s 1)
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
以(s+1)3乘以F（s）
(s
1)3
F (s)
1 s2
1
K11 s2 s1 1
K12
d ds
1 s2
s1
注 f (t t0) 0 当 t t0
证：
f(t - t0 )
0
f (t t0 )estdt
高等数学第十二章 拉普拉斯变换
结论
L[ f (t )] 11eTs
T f(t)estdt
0
(Re(s) 0)
二、常见的拉氏变换
0, t 0,
定义
设
(t)
1
0 t , 当 0 时， ( t ) 的极限
0 t .
lim (t) (t) 称为狄拉克函数，简称 —函数。 0
例1 求函数 f (t) 1(1eat ) 的拉氏变换. a
解 L[ f (t)] L[1(1eat)]1L[1eat]
a
a
1L[1]1L[eat] aa
1 1 1 as a(sa) s(sa)
二、微分性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，则有 L [f(t)] sF (s) F (0 )
2）由
L[tsint] 2s (s21)2
F(s)
得
L [ e 2 tts in t] F [ s ( 2 ) ] F ( s 2 )
2(s2)
2s4
[(s2)21]2 (s24s5)2
五、延迟性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，又 t 0 时， f (t) 0 ，
L[sint]ds
0t
0
0s211dsarctans02
例6 解
计算 tet sintdt
0 由本节例4得
F (s)0 tsinte std tL [tsint](s2 2 s1 )2
令 s 1 ，得 tet sintdt 1
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
高等数学第10章 拉普拉斯变换
e st f (t)dt 0
对于 s在某一范围内的值收敛，则此积分就确定了一
个参数
s
的函数，记为 F(s)
，即 F (s) est f (t)dt 0
，函数 F(s)
称为 f (t) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。
拉氏变换通常用符号 L 表示，即
F (s) L[ f (t)] est f (t)dt 0
且常常将
y
f
(t), 0,
t 0 t0
简记为 y f (t);
2. 积分F(s)
0
e st
f
(t)dt
中的 s
一般情况下为复数，
但我们只讨论 s 是实数的情况。
3. 函数 f (t) 的拉氏变换 F(s) ，当且仅当积分
F (s) est f (t)dt 时才存在，但一般说来，科技、 0
解：由 L[ (t)] 1 及 L[ f (t )] esF(s) 可得：
L[ (t a)] eas L[ (t)] eas
同理可得：
L[I (t a)] eas s
同理可算得余弦函数的拉氏变换
L[cos t ]
s2
s
2
二 两个重要函数
1. 单位阶梯函数I (t)
单位阶梯函数
I (t)
0 1
t0 t0
由例1知，它的拉氏变换 L[I
的图像如下页左图所示， (t)] 1 ，将 I (t) 的图像向右
s
平移 a
个单位，即得
0 I (t a) 1
若 F(s) 是 f (t) 的拉氏变换，则称 F(s) 是 f (t) 的像 函数，拉氏变换是可逆的积分变换，称 f (t) 是 F(s) 的像
拉氏转换与自动控制关联性
拉氏轉換與自動控制關聯性高昆義生機二乙0914422摘要本報告是在說明拉式轉換對於自動控制中線性偏微分方程式的幫助，透過拉式轉換可簡約了很多繁雜的數學步驟，另外此份報告還提到拉式轉換的基本定理和公式，可使讀者更能了解拉式轉換的使用方法，最後也提到利用拉式轉換解線性偏微分方程式的步驟，如此更能有效的應用這些工具來達成需要的目的。
關鍵詞：拉式轉換(Laplace transform)，拉式方程式(Laplace's equation)。
一、前言科學常藉著數學來解決或推演一些複雜的問題，因此從古至今科學家在數學方面也具有即高的成就，自動控制的線性常微分方程式若以時間為參數的方式來解，過程較為複雜且困難，若能利用拉氏轉換將時間參數轉為s參數，在數學的計算方面，即可相當的便利與容易，且透過拉氏轉換，一個系統的暫態與穩態響應也可一次求得，對於結果的求得可說是便利許多。
二、內容拉普拉斯，一位法國的數學家及天文學家，1749年3月23日生於法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，1827年3月5日卒於巴黎，涉略很廣，天文、數學、物理、化學，都有相當的研究及貢獻，但主要研究天體力學和物理學，認為數學只是一種解決問題工具，不過卻也因此發明了許多解決問題的數學方法，像是拉式轉換(Laplace transform)與拉式方程式(Laplace's equation)，成就不在話下。
拉式轉換的定義:已知一函數f(t)以及一有限實數σ，且f(t)滿足下列條件：則f(t)之拉式轉換定義為其中F(s)為複變數s之函數由F(s)求f(t)之運算即為反拉式轉換，可表示為基本函數之拉式轉換：拉式轉換定理:(n) (n-1)1.線性定理L[k 1f 1(t)+k 2f 2(t)]=k 1F 1(s)+K 2F 2(s) 其中k 1，k 2為常數 2.微分定理L[f’(t)]=sF(s)-f(0)L[f ’’(t)]=(s^s)F(s)-sf(0)-f ’(0)L[f ]=(s^n)F(s)-[s^(n-1)]-[s^(n-2)]f ’(0)……-f (0) 3.積分定理4.複數的微分L[(t^n)f(t)]=[(-1)^n](d^n)F(s)/ds^n 其中 n=1,2,3,…… 5.複數的積分 L[f(t)/t]=F(λ)d λ6.複數移位定理(shift in s) L[e^(αt)f(t)]=F(s-a)7.時間移位定理(shift in time) L[f(t-a)u s (t-a)]=e^(-αs)F(s)8.時間刻度轉換 L[f(t/a)]=αF(αs)9.初值定理(initial value theorem)-110.終值定理(final value theoem)：若sF(s)在虛軸和s-平面右半面為可解析，則11.實數迴旋定理(Real convolution theorem) L[f 1(t)*f 2(t)]=F 1(s)F 2(s) 或f 1(t)*f 2(t)=L [F 1(s)F 2(s)]當以拉氏轉換來解線性常微分方程式時，可藉由以下步驟，以便更易於解題 1. 對原方程式取拉式轉換，使成為以s 為變數的代數式。
高等数学与拉氏变换在自动化的应用123
高等数学与拉氏变换在自动化的应用何鑫磊（黑龙江科技大学电气学院，自动化，09）摘要：拉普拉斯变换在化工实践中得到了广泛的应用 ,特别是在研究化工控制理论时 要 所建立的数学模型多数是常系数线性微分方程，通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。
本文主要介绍化工过程控制系统中如何建立数学模型，和高等数学在此的应用。
关键词：数学建模；高等数学；自动化；引言当今世界，在全球自动化的应用是很重要的，这里包括了很多知识，如高等数学与拉氏变换在此的应用。
一、高等数学的重要地位我们可以作这样一个比喻：如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。
这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。
我们现在学习的高等数学是由微积分学、空间解析几何、微分方程组成，而微积分学是数学分析中主干部分，而微分方程在科学技术中应用非常广泛,无处不在。
就微积分学，可以对它作如下评价。
微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。
它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。
恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
”美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。
”百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。
二、高等数学在电气自动化领域的体现《电路原理》中的数学应用我们在学习《基本电路理论》一阶、二阶电路部分时遇到了许多微分方程求解的问题。
这些微分方程实质上比较简单，但运算量大，且涉及繁琐的复数计算，消耗大量的时间。
拉氏转换与自动控制概要
拉氏轉換與自動控制仝立偉生機三甲0914334摘要研究控制系統時，要用到應用數學的地方很多。
由於控制系統的設計與分析必須處理實際的問題，因此不能忽視問題的硬體面與實驗面。
然研究控制系統的目的之一，就是要發展出一套分析的工具，使設計者不用花太多時間在實驗及計算機模擬上，就能成功地設計出可預測及可靠的成品[1]。
一、前言線性控制系統常用微分方程式描述之。
物理元件或系統有時須以偏微分方程式描述之，例如液體控制元件或電動馬達的特性；但是在適當的工作點及工作範圍下，線性元件或系統可以常係數微分方程式描述之。
另一種很方便而且很重要的系統分析與設計工具就是拉氏變換。
拉氏變換用在解常係數常微分方程式異常的方便；微分方程式可被變換為代數方程式，故用代數的方法可獲解。
此外，拉氏變換因其具備複變數及s-平面的特性用於代表系統的轉移函數、判斷穩定度及作頻率響應等分析時極為重要[2]。
二、材料與方法對所線性統控制特性而言，可將系統分為三大部分，即輸入r(t)、系統g(t)、輸出c(t)三部份，其關係如下圖所示：其關係式為c(t)是r(t)與g(t)之摺積（convolution ）：為化簡此一控制系統之積分式，可利用拉式轉換（Laplace Transform）使其在時間上的積分式轉換為在頻域s上的代數式。
拉式轉換定義為：反之，則為反拉式轉換，即：因此對上述控制系統之輸出c(t)取拉式轉換，則可表示為：令所以：因此對於分析控制系統之輸入R(s)、系統G(s)、輸出C(s)三者之關係可簡單地表示為代數式之相乘積[4]。
三、結論拉氏變換可將個元件或次系統轉變成為轉移函數，再依據方塊圖或信號流程圖的增益公式更可極便利地球出整體系統的特性；與古典之解法相較，拉氏轉換可歸納下列兩大優點：1.齊次方程式和特殊機分兩解，一次完成。
2.拉氏轉換將為分方程式轉換為s的代數方程式，然後運用簡單的代數規則，解出s的代數方程式；最後，只要將該解做一次反拉氏轉換即可[3]。
拉普拉斯变换在自动控制理论中的应用
拉普拉斯变换在自动控制理论中的应用【摘要】：建立数学模型是分析自动控制理论的前提，通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，得出传递函数，根据拉普拉斯变换和反变换公式，求出系统的动态过程，得到系统输入输出的关系，借助拉普拉斯变换和反变换其计算具有快速、简洁和方便的优点。
【关键词】：拉普拉斯变换 原函数 象函数 传递函数１.拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论，在数学应用中占有很重要的地位。
[1.2]1．１拉普拉斯变换的定义设)(t f 为复值函数，若积分dt e t f st⎰∞-0)(在复平面s 的某一区域收敛于)(s F ，则称=)(s F dt e t f st ⎰∞-0)( 为函数)(t f 的拉普拉斯变换，或称为拉氏变换，记为：)()]([s F t f L = 如果)(s F 为)(t f 的拉普拉斯变换，则称)(t f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换。
记为：)()]([1t f s F L =-。
拉普拉斯变换具有线性、微分、积分和延迟等基本性质，根据拉普拉斯定义和具有的性质，它在工程技术中有许多重要应用，本文主要介绍骑在自动控制领域中的应用。
1.2拉普拉斯变换的性质[3]① 线性性质：)()()]()([2121s BF s AF t Bf t Af L ±=±；② 微分性质：)0()()]('[--=f s sF t f L③ 积分性质： ss F t f L s dt t f L t )()]([1])([ 0 =∙=⎰ ④ 延迟性质： )()]([00s F e t t f L st -=-２.拉普拉斯在自动控制领域的应用在自动控制理论中，首先建立系统的动态数学模型——微分方程，然后求解就可以得到系统的动态过程，其常用的方法就是拉普拉斯变换。
传递函数是自动控制理论中常用的微分方程，传递函数定义为：零初始条件下线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比。
拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用
复变函数的发展史及laplace变换在自控领域中的应用摘要：复变函数经历了150多年的发展历程，在不断发展和更新的过程中愈来愈完善并不断向各个领域延伸，特别是在自动控制领域的作用愈来愈重要。
复变函数中的Laplace变换是近一世纪来迅速发展起来的一种有效的数学方法。
借助于Laplace变换可把微积分的运算转化复平面的代数运算，因此，可利用它解常微分方程、偏微分方程、积分方程及差分方程，简化了求解过程，是解线性系统的重要工具，。
通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特点，在现代自控理论中得到广泛的应用。
关键词：复变函数拉普拉斯变换原函数象函数传递函数Abstract :Complex function has experienced 150 years of development,and it became be more perfect and constantly to the various fields in the process of developing and updating, especially it palys a more and more important role in the field of automatic place transform is nearly a century to rapidly develop an effective mathematical method. Using Laplace transform can turn calculus operations in the plane of the transformation of complex arithmetic, therefore, can use it to solution of differential equation, partial differential equations and integral equations and difference equation, simplified the solving process, is an important tool for solving linear system, in the modern theory of automatic widely applied. These contents in relevant tutorial or monographs, already common occurance. This paper will give out Laplace transform another new applications, namely using Laplace transform calculating generalized integrals, thus obtains the calculation kind of generalized integrals of new methods.Keywords:Complex function ,Laplace transform, Primary function,image function,Transform function一. 复变函数的发展史1. 复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。
积分变换 第8讲拉氏变换的应用
-
a
1 RC
1 RC
j
-
e
1 RC
t
-
e
jt
其中
-a
1 RC
1 RC
j
=
- r e j
1
jC
R
-
j
1
C
=
j
r
1
C
R
2
-
1
C
2
e j( - )
令U Cm
=
R2
r
1
C
-
1
C
2
,则uC (t)
=
jU
Cm
e
j(
-
)
e
-
1 RC
t
-
e
jt
22
uC (t) =
jU Cm
e
j(
-
)
-
e
1 RC
t
-
e
-
1 LC
记
=
R 2L
,
=
2
-
1 LC
, 则r1
=
-
, r2
=
-
-
i(t)
=
E L
er1t
r1
-
r2
er2t
r2
-
r1
=
E L
er1t - er2t r1 - r2
=
E e-t L
e
t
-e
2
-
t
=
E
L
e-t
sinh
t
26
i(t)
=
E
L
e-t
sinh
拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用
拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用 ；拉普拉斯变换(Laplace )及其反变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论它在应用数学中占有很重要的地位.拉普拉斯变换和傅里叶(Fourier)变换都是积分变换，函数f(t)的拉普拉斯变换，就是对于函数 ()()at F t e f t -=的傅里叶变换，没有本质上的不同.它们都是解微分方程和积分方程的有力工具，但拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更为广泛的应用. 一个定义在区间[0,)+∞的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 0()(),st F s f t e dt +∞-=⎰ （1）式中s j σω=+为复数，F(s)称为f(t)的原函数f(t)。
这种由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，其定义为1()(),2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （2）式中c 为正的有限常数.在自动控制理论中，首先建立系统的动态数学模型一一微分方程，然后求解方程便可得到系统的动态过程，其常用的求解方法就是拉普拉斯 变换.传递函数是在应用拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程中构造出来的，是一个派生的概念，但对控制理论而言是极为重要的概念.传递函数定义为:零初始条件下线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比.设线性定常系统的微分方程为1111()()()n n o n n n d c t d c t dc t a a a dt dtdt---+++ 1111()()()()()m m n o m m m m d r t d r t dr t a c t b b b b r t dt dt dt ---+=++++, (3)式中：c(t)为输出量，r(t)为输入量，0101,,,;,,,n m a a a b b b 均为由系统结构参数决定的常系数。
设初始值均为零，对式(3)两端进行拉普拉斯变换，得系统方程 11011011()()()(),n n n n n n n m a s a s a s a C s b s b s b s b R s ----++++=++++则系统传递函数为 00()()()m n nb s bm C s G s R s a s a ++==++ (4) 式中:分了为象方程的输入端算了多项式，分母为输出端算子多项式亦即微分方程的特征式.传递函数是系统的s 域动态数学模型，而且是更具有实际意义的模型.在不需要求解微分方程的情况下，直接利用传递函数便可对系统的动 态过程进行分析和研究.应该指出，传递函数是由于拉普拉斯变换导出的，而拉普拉斯变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统.传递函数取决于系统内部的结构参数，它仅表明一个特定的输入、输出关系.同一系统，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传递函数将各不相同.传递函数是在零初始条件下进行的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特征.动态数学模型，是对控制系统进行理论研究的前提.模型一旦建立，便可运用适当的方法对系统的控制性能作全面的分析和计算.对线性定 常系统，用的方法有时域分析法、根轨迹法和频率法，现在我们仅讨论时域分析法.时域分析法根据系统微分方程，用拉普拉斯变换直接解出动态过程，并依据过程曲线及表达式，分析系统的性能，方便、快捷、准确.设单位反馈系统的开环传递函数为: 0.41()(0.6)s G s s s +=+ （5） 从中可以求该系统对单位环跃输入信号的响应，也可以求该系统的性能指标上升时间p t 和最大超调量%σ.由于这单的闭环传递函数为非标准形式(带有零点)，故求时域响应不能套用己有的公式，求性能指标也不能套用己有的公式，只能按定义求出.由于是单位反馈系统，则根据开环传递函数可得传递函数闭环为: 2()()0.41(),()1()()1C s G s s s R s G s H s s s +Φ===±++ （6） 1()()(),().C s s R s R s s=Φ= 根据闭环特征方程210s s ++=可知，特征根为共轭复根121,2s =-+，故可按振荡形式将C(s)展成如下部分分式：220.4110.6()(1)1s s C s s s s s s s ++==-++++2112(12)34s s s +=+++ （7） 则1()[()]C t L C s -=0.51]t e t t -=-+0.501 1.00783.2)t e t -=-+ （t ≥0）. （8）由于该系统的闭环传递函数不是标准形式(带零点)，故不能用一阶系统欠阻尼的求指标公式，只能根据性能指标的定义，由输出响应表达式来推导.0.5()1(cos )1,22r t r r r C t e t -=-= （9）于是tan()8.66tan(),2r πβ===-其中arctan8.66β== 083.14 1.45rad = 故 1.95.r t s =≈ （10）为了求最大超调量%σ，首先要求出峰值时间p t .为此令()p C t 对时间的一阶导数为零，可得出p t = （11）其中023.40.4,a rad ==由此可得出()()%100%18%.()p c t c c σ-∞=⨯=∞ （12）拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用拉普拉斯变换有许多非常好的性质,如线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理、卷积定理等。
拉氏变换及应用
a,b为常数
则他们的组合为
L [ a f 1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F 2 ( s )
2、微分性质
L[ d f (t ) dt L[ d f (t ) dt
n 2 2 2 ] s F ( s ) 2 f (0 ) f (0 )
] sF ( s ) f (0 )
s1 t
i m 1
n
cie
si t
拉氏变换表如书中。 例
d y (t ) dt
2 2
2
d y (t ) dt
2 y (t ) (t )
y (0) y (0) 0
方程两端拉氏变换
带入初状态有
Y (s) s c1 1 2 j
1
2
2s 2 c2
m 1
c1 ( s s1 )
c m 1 s s m 1
cn s sn
系数如下
c m lim ( s s1 ) F ( s )
m s s1
c m 1 lim
[ ( s s1 ) ds
j m m
d [( s s1 ) F ( s )]
m
s s1
拉氏变换及应用
1、定义 如 f ( t ) e dt 其中 s j 为复变量存在 称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 记作F(s)= f ( t ) e dt 其中 s j F(s)=L[f(t)]称F(s)为f(t)的象函数，f(t) 为F(s)的原函数。 2、积分限问题 正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的
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高等数学与拉氏变换在自动化的应用
何鑫磊
（黑龙江科技大学电气学院，自动化，09）
摘要：拉普拉斯变换在化工实践中得到了广泛的应用 ,特别是在研究化工控制理论时 要 所建立的数学模型多数是常系数线性微分方程，通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。
本文主要介绍化工过程控制系统中如何建立数学模型，和高等数学在此的应用。
关键词：数学建模；高等数学；自动化；
引言
当今世界，在全球自动化的应用是很重要的，这里包括了很多知识，如高等数学与拉氏变换在此的应用。
一、高等数学的重要地位
我们可以作这样一个比喻：如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。
这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。
我们现在学习的高等数学是由微积分学、空间解析几何、微分方程组成，而微积分学是数学分析中主干部分，而微分方程在科学技术中应用非常广泛,无处不在。
就微积分学，可以对它作如下评价。
微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。
它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。
恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
”美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。
”百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。
二、高等数学在电气自动化领域的体现
《电路原理》中的数学应用我们在学习《基本电路理论》一阶、二阶电路部分时遇到了许多微分方程求解的问题。
这些微分方程实质上比较简单，但运算量大，且涉及繁琐的复数计算，消耗大量的时间。
可以看到，在后面引入的相量法、拉式变换为我们提供了强有力的工具去解决这一类问题，但如果思考一下各种情形下微分方程求解中的同异，熟悉它们的数学本质，就会设计出一种便捷的方法处理这类问题。
分析先从RLC 串联电路的零输入响应谈起。
对基本RLC 串联电路列出微分方程：
0c di L Ri u dt ++=
c du i C dt
= 并有220,0i di i L R t dt C
d
dt ++=≥。
这是教材当中的表达式。
我们将其写成：22
0,0i di LC
RC i t dt d dt ++=≥ （1） 令i 的系数为1。
初始条件(0)0,(0)(0)0c L u i i === 于是有010[(0)(0)]c di t Ri u dt
L L u ==-+=- （2） 先不去解上面的方程，而是直接转到RLC 串联电路的冲激响应。
含有冲激响应的基本微分方程为
22()C C C d L R t dt C d d u u u t δ++=
三、用拉普拉斯反变换得到微分方程的时域解
计算拉普拉斯反变换 , 要进行复变函数积 分 ,一般很难直接计算 ,通常用部分分式展开法 将复杂函数展开成有理分式函数之和 , 然后由 拉普拉斯变换表一一查出对应的反变换函数 , 即得所求的原函数 f ( t ) 。
在控制理论中 , 常遇到的象函数是 S 的有 理分式 ,即 F ( s) = m m- 1 + …+ b1 s + b0 B ( s) bmS + bm - 1 s = ≥ n m n n- 1 ( s) A ans + an - 1 s + …+ a1 s1 + a0 为了将 F ( s) 写成部分分式 ,首先将 F ( s) 的分母因式分解 ,则有 F ( s) = m m- 1 + …+ b1 s + b0 bmSm + bm - 1 sm - 1 + …+ b1 s + b0 B ( s) bmS + bm - 1 s = = n n- 1 ( s + p 1 ) ( s + p 2 ) ( s + p 3 ) + …+ ( s + p n) A ( s) ans + an - 1 s + …+ a1 s1 + a0 式中 p 1 、2 、 p n 是 A ( s) = 0 的根的负值 , p … 称为 F ( s) 的极点 , 按照这些根的性质 , 应用拉 氏反变换可以得到微分方程的时域解 。
高等数学与拉氏变换对于我们自动化来说是非常重要的，我们要应用好它，也要利用好它，它会给我们带来很大的财富，我们也要努力的学习好它，因为它能给我们许多，我们要虚心学习，我们要学习很多东西，不只是高等数学与拉氏变换，我还有好多知识要学习，自动化在世界上都是一个很厉害的专业，我们的国家需要人才，我们要努力让自己成人人才，同学们加油吧，为了让我们成人国家的栋梁而努力奋斗。