河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题及答案

试卷类型： A唐山市2019届高三第一次模拟考试数学文试题2019.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 已知集合2}6{|0A x x x =--≤，{}|1B x x =>，则A B ⋂=（ ）A 、(12]，B 、(]1,3C 、(]1,23[),⋃+∞D 、R（2） 设复数 z 满足()12i z i +=（其中 i 为虚数单位），则z =（ ）AB、2 D 、4 （3） 若双曲线22 3x y -=的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，则12k k =（ ） A 、-1 B、、-3 D 、-9（4）若x ， y 满足约束条件3301010x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ） A 、1 B 、2 C 、7 D 、8（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A 、8B 、4C ．83 D ．43（6） 已知命题 p ：()3f x x ax =-的图像关于原点对称；命题 q ：()cosg x x x =的图像关于 y 轴对称．则下列命题为真命题的是（ ） A 、p⌝ B 、q C 、p q ∧ D 、()p q ∧⌝7. 《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 5 时， 外方的边长为 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）A ．12 B C ．57 D ．2549 8.为计算1234171834561920n T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A 、W W i =⨯B 、()1W W i =⨯+C 、()2W W i =⨯+D 、()3W W i =⨯+（9） 在ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，3b =，4c =，设 AB 边上的高为h ，则 h =（ ）A B C D（10）已知直四棱柱1111 ABCD A BC D -的所有棱长相等，60ABC ∠︒＝，则直线1 BC 与平面11ABB A 所成角的余弦值等于（ ）A B C ．2D （11）如图，直线2230x y +-=经过函数 si ()()n f x x ωϕ=+（0ω>，||ϕπ<）图象的最高点 M 和最低点N ，则（ ）A 、2πω=，4πω= B 、ωπ=， 0ϕ= C 、2πω=，4πϕ=- D 、ωπ=， 2πϕ= 12.设函数()2sin xf x ae x =-，,[]0x π∈有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（ ） A4πB 4π-C 2πD 2π-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13） 已知向量 13)(,a =-，( 6),b m =，若 a b ，则 m =_____． （14） 若函数110,1()lg ,1x x f x x x -⎧≤>=⎨⎩， 则(1()0)f f =_____．（15）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为 2，则该圆锥的侧面积为_____．（16） 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，经过点 0()2,M -的直线交 C 于 A ，B 两点，若OA BF（O 为坐标原点），则||AB =_____．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分（17）（12 分）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-，记 n n b a n =+， （1）求1b ，2 b ，3 b ； （2）判断{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的前n 项和 n S ． （18）（12 分）如图，ABC 中，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点A 到达点 P 的位置，且 PB BE =．（1） 证明：BC ⊥平面 PBE ； （2）求点F 到平面PEC 的距离．19. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2 F ，其离心率为2，过2 F 的直线 l 与C 交于,A B 两点，且1AF B 的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为P ，证明：当 l 的斜率为13时，点P 在以 AB 为直径的圆上． （20）（12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、 湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（21）（12 分）已知函数()f x ax a x-＝－，a ∈R ． （1） 若1x =是 ()f x 的极值点， 求 a 并讨论 ()f x 的单调性； （2） 若1x e <<时， ()0f x ≤，求 a 的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，0απ<<）． 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 sin 4cos ρθθ=． （1）求l 和 C 的直角坐标方程； （2）若l 与 C 相交于 ,A B 两点，且8AB =，求 α． （23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知,a b 是正实数，且2a b +=， 证明： （1）2a b +≤；（2）33(4)()a b a b ++≥．试卷答案唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题A 卷： BBACD DACDB AB B 卷： BCABD DACDC AB 二、填空题（13） -2 （14） 1 （15） （16三、解答题（17） 解：（1）因为11a =，所以21 202a a =+=，322215a a =+-=， 从而12b =，22 24b a =+=， 3338b a =+=， （2）{}n b 是等比数列． 因为121n n a a n +=+-， 所以112()n n a n a n +++=+， 所以1()12()n n a a n n +=+++，所以1(1)2n n a n a n +++=+， 即12n nb b +=， 所以{}n b 是等比数列，且首项1 2b =，公比为 2． （3） 由（2）知2nn b =，故2nn n a b n n =-=-． 所以123(2222)nn S =+++(123)n -++++21222n n n++=--.（18） 解：（1） 因为 ,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF BC ，因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥， EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面 PBE ， 所以BC ⊥平面 PBE ． （2）取BE 的中点 O ，连接 PO ， 由（1）知BC ⊥平面 PBE ，BC ⊂平面 BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面 BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面 PBE ，平面 PBE ⋂平面 BCFE BE =， 所以PO ⊥平面BCFE ，在Rt POC 中：PC ==在Rt EBC 中：EC =在PEC 中，PC EC ==2PE =，所以PECS=又2ECF S =，设点 F 到平面PEC 的距离为 d ， 由 F PEC P ECF V V --=得 PEC ECFS d S PO ⨯=⨯，2d =d =.即点F 到平面PEC .（19）解：（1）1AF B 的周长等于11||AF AB BF ++12214||AF AF BF BF a =+++=，所以4a =，从而a =因为2c e a ==，所以 1c =，即2221b a c =-=， 椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）由（1）得 ()0,1P ，2()1,0F ． 设11(),A x y ， 22(),B x y ， 依题意，l 的方程为31x y =+， 将l 的方程代入C 并整理，可得211610y y +-=， 所以12611y y +=-，12111y y =-． 1212(1)(1)PA PB x x y y ⋅=+-- 1212(31)(31)(1)(1)y y y y =+++-- 1212102()2y y y y =+++0=所以PA PB ⊥， 综上， 点P 在以AB 为直径的圆上. （20） 解：（1） 分层抽样 （2） 完成列联表22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(405010010)200140605015063⨯-⨯==⨯⨯⨯ 3.175 2.706≈>，所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）（意思相近即可得分）建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作.（21） 解：（1）2221ln ln 1()x ax x f x a x x -+-'=-=，0x >. 因为1x =是 ()f x 的极值点， 所以()10f '=，可得 1a =． 所以ln ()1x f x x x =--，22ln 1()x x f x x+-'=. 因为2 ln 1y x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且 1x =时， 0y =， 所以 01x <<时，2 ln 10x x +-<， 0()f x '<， ()f x 单调递减； 1x >时， 2ln 10x x +->，0()f x '>， ()f x 单调递增． 故 ()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． （2）由 ()0f x ≤得ln (1)0xa x x--≤， 因为1x e <<，所以ln(1)xa x x ≤-.设ln ())(1xg x x x =-，则221(21)ln ()(1)x x xg x x x ---'=-.令1)()l 21(n h x x x x =---， 则11()1(21)2ln 2ln 1h x x x x x x'=--⋅-=--， 显然()h x '在(0,)+∞内单调递减，且()10h '=， 所以1x e <<时，0()h x '<，()h x 单调递减， 则() 0(1)h x h <=，即 0()g x '<， 所以 ()g x 在(1,)e 内单减，从而1()()(1)g x g e e e >=-.所以1(1)a e e ≤-.（22）解：（1）当2πα=时，1l x =：当2πα≠时，()tan 1l y x α=-：． 由1cos s (28c )o ρθθ-=得222sin 8cos ρθρθ=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以C 的直角坐标方程24y x =．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：22sin 4cos 0(()4)t t αα--=，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=，因为12248s |||i |n AB t t α=-===，所以sin 2α=或2-，因为0απ<<，所以sin 2α=，11 故4πα=或34π．（23）解：（1）∵,a b是正实数，∴a b +≥，1≤，∴24a b =++≤，2，当且仅当1a b ==时，取“=”．（2）∵222a b ab +≥，∴()()22222224a b a b ab a b +≥++=+=，∴222a b +≥，∴()()()233443344222224a b a b a b a b ab a b a b a b ++=+++≥++=+≥，当且仅当1a b ==时，取“=”．。