广西钦州市高三数学上学期第一次质量检测试题理
广西钦州市崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)答案
3钦 州 市 、 崇 左 市 2021 届 高 三 第 一 次 教 学 质 量 监 测理 科 数 学 参 考 答 案一 、 (60 分 )1 .D ( 犃 = {狓 狘 狓 (狓 - 1 ) > 0 }, 解 得 狓 > 1 或 狓 < 0 , 故 犃 = (- ∞ ,0 ) ∪ (1 , + ∞ ),故 瓓 犝 犃 = [0 ,1 ]. 底 面 是 一 个 直 角 梯 形 , 犃 犇 ⊥ 犃 犅 , 犃 犇 ∥ 犅 犆 , 犃 犇 = 4 , 犃 犅 = 犅 犆 = 犘 犗 = 2 , 且 犘 犗 ⊥ 底面 犃犅犆犇 ,∴ 该 四 棱 锥 的 体 积 为 犞 = 1 犛 犃犅犆犇犺故 应 选 D .)2 .C (∵ 狕 = (i - 2 )(1 + i ) = i + i2 - 2 - 2i = - 3 - i , 因 此 复 数 狕 对 应 点 的 坐 标 为 (- 3 , - 1 ), 在 第 三 象 限 .故 应 选 C .)3 .A (由 题 意 ,若 犪 > 狘犫 狘 ,则 犪 > 狘犫 狘 ≥ 0 ,则 犪 > 犫 , 所 以 犪 狘 犪 狘 = 犪 2 , 则 犪 狘 犪 狘 > 犫 狘 犫 狘 成 立 ,当 犪 = 1 ,犫 = - 2 时 , 满 足 犪 狘 犪 狘 > 犫 狘 犫 狘 , 但 犪 > 狘 犫 狘 不 一 定 成 立 , 所 以 “ 犪 > 狘 犫 狘 ” 是“犪 狘 犪 狘 > 犫 狘 犫 狘 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 .故 应 选 A .)4 .B ( 由 题 意 ,狔 2 = 4 狓 的 焦 点 犉 (1 ,0 ), 准 线为 狓 = - 1 , 设 抛 物 线 上 的 动 点 犘 (狓 0 ,狔 0 ), 根 据抛 物 线 的 定 义 可 知 ,狘 犘犉 狘 = 1 + 狓 0 ,因 为 狓 0 ∈ [0 , + ∞ ),所 以 狘 犘犉 狘 = 1 + 狓 0 ≥ 1 ,故 抛 物 线 狔 2 = 4 狓 上 的 点 与 其 焦 点 的 距 离 的 最 小 值 为 1 .故 应 选 B .)= 1 × (2 + 4 ) × 2 × 2 = 4 . 3 2 故 应 选 D .)烄 狓 + 狔 + 1 ≥ 08 .C ( 不 等 式 组 烅 3 狓 - 2 狔 + 6 ≥ 0 表 示 的 平烆 5 狓 + 狔 - 3 ≤ 0面 区 域 为 图 中 的 △ 犃犅犆 (包 括 边 界 ),5 .A (∵ 犗 犃→ ⊥ 犃 犅→ ,狘 犗 犃→ 狘 = 1 ,由 图 知 , 平 移 直 线 狕 = 狓 - 2 狔 , 当 经 过 点 犆 ∴ 犗 犃→ · 犃 犅→ = 犗 犃→ · (犃 犗→ + 犗 犅→ ) = - 狘 犗 犃→ 狘 2时 ,狕 狓 2 取 得 最 小 值 ,+ 犗 犃→ · 犗 犅→ = - 1 + 犗 犃→ · 犗 犅→ = 0 ,犗 犃→ · 犗 犅→ = 1 , = - 狔∴ 犗→犃 · (犗→犃 + 犗→犅 ) = 犗→犃 2 + 犗→犃 · 犗→犅 = 2 .易 得 犆 (0 ,3 ), 即 狕 = 0 - 6 = - 6 . 故 应 选 C .)故 应 选 A .) 116 .B (由 折 线 图 可 知 A 、D 项 均 正 确 ,该 年 第9 .C (犫 = log 32 ∈ (0 ,1 ), 犮 = 3 3 > 2 3 > 1 , 1 1 1一 季 度 G D P 总 量 和 增 速 由 高 到 低 排 位 均 居 同 一 位 的 省 份 有 江 苏 均 第 一 . 河 南 均 第 四 , 共 2 个 , 故 C 项 正 确 ; 今 年 浙 江 省 的 G D P 增 长 率 最 低 . 故 B 项 不 正 确 .故 应 选 B .)7 .D ( 根 据 三 视 图 可 得 直 观 图 为 四 棱 锥 犘 - 而 狔 = 狓 3 为 增 函 数 , 故 3 3 > 2 3 , 即 犮 > 犪 .故 犮 > 犪 > 犫 . 故 应 选 C .)10 .C ( 判 断 框 中 的 条 件 应 该 满 足 经 过 第 一 次 循 环 得 到 1 ,2犃犅犆犇 ,如 图 :经 过 第 二 次 循 环 得 到 1 2 经 过 第 三 次 循 环 得 到 1 2+ 2 ,3 + 2 + 3 ,3 4 …故 判 断 框 中 的 条 件 应 该 为 犛 = 犛 + 犻 .犻 + 1故 应 选 C .)+ 52 5 3 3 11 .C (∵ 犪 2 + 犫 2 - 犮 2 = 犪 犫 ,14 .1 ( 二 项 式 (犪 狓 2 +1 )5 展 开 式 的 通 项 为∴ 可 得 cos 犆 =犪 2 + 犫 2 - 犮 2 2犪犫 = 犪犫 12犪犫 =2 犜 狉 1 = 犆 狉犪 5 - 狉狓 槡狓10 - 5狉 , ∵ 犆 ∈ (0 ,π ),∴ 犆 = π,3令 10 - 5狉 = 0 , 则 2狉 = 4 . ∵ ∠ 犃 = π4 ,犮 = 3 ,∵ 二 项 式 (犪 狓 2 + 1 )5 展 开 式 中 的 常 数 项 由 正 弦 定 理 犪犮 , 可 得 : 犪 槡狓∴ 3 , 解 得犪 = 槡 6 .槡3 2sin 犃 = sin犆槡2 = 为 5 ,2∴ 犆 4 犪 5 - 4 = 5 . ∴ 犪 = 1 .)15 .3 + 2 槡 2 ( 函 数 狔 = 1+ 1 的 图 象 可 由狓 - 1故 应 选 C .)12 .A ( 如 图 , 连 结 犘 犉 2 、犗 犕 ,∵ 犕 是 犘 犉 1 的 狔 = 1狓向 右 平 移 1 个 单 位 , 再 向 上 1 个 单 位 得中 点 ,到 , 又 狔 = 1 狓是 奇 函 数 , 故 其 对 称 中 心 为 (0 ,0 ),故 犳 (狓 ) 的 对 称 中 心 为 (1 ,1 ),所 以 2 犪 + 犫 = 1 ,1 + 1 犪 犫 = (1 犪 + 1 )(2 犪 + 犫 ) = 3 + 犫犫 犪 + 2 犪犫≥ 3 + 2 槡 2, 当 且 仅 当 犫 = 槡 2 犪 时 等 号 成 立 .) 16 . [0 ,2 槡2 ](犳 (狓 ) = sin狓 cos狓 = 2 狘 sin狓∴ 犗 犕 是 △ 犘 犉 1 犉 2 的 中 位 线 ,∴ 犗犕 ∥ 犘犉 2 ,且 狘 犘犉 2 狘 = 2 狘 犗犕 狘 = 2犪 . - cos狓 狘 = 2 槡 2 狘 sin (狓 - π4) 狘 ∈ [0 ,2 槡 2 ].)∵ 犘 犉 1 与 以 原 点 为 圆 心 犪 为 半 径 的 圆 相 切 , ∴ 犗犕 ⊥ 犘犉 1 ,可 得 犘犉 2 ⊥ 犘犉 1 , △ 犘犉 1犉 2 中 ,狘 犘犉 1 狘2 + 狘 犘犉 2 狘2 = 狘 犉 1犉 2 狘2, 三 、 (70 分 )17 . (1 ) 由 题 知 ,犪 2 = 16 ,∴ 犪 1 = 犛 1 = 犪 - 4 2= 4 , ①3……………………………… 1 分 根 据 双 曲 线 的 定 义 ,得 狘 犘犉 1 狘- 狘 犘犉 2 狘 = 2犪 , ∴ 狘 犘 犉 1 狘 = 狘 犘 犉 2 狘 + 2 犪 = 4 犪 , 代 入 ① 得 ∴ 3犛狀 = 犪狀 + 1 - 4 ,∴ 犛 = 1 犪 狀 + 1 - 4 ,(4 犪 )2 + (2 犪 )2 = 狘 犉 1 犉 2 狘 2 ,1 4∴ (2 犮 )2 = 狘 犉 1 犉 2 狘 2 = 20 犪 2 , 解 之 得 犫 = 当 狀 ≥ 2 时 ,犛 狀 - 1 = 3 犪 狀 - 3 ,2犪 .由 此 可 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 狔 = ± 2狓 .故 应 选 A .) 两 式 相 减 可 得 犪 狀= 1 犪 3 狀 + 1 - 1犪狀 3,即 犪 狀 + 1 = 二 、 (20 分 )4犪狀 , ………………………………………… 4 分13 . - 1( 因 为 α ∈ (π ,3 π ),sinα = 4 , 所因 为 犪 2 = 4 , 数 列 {犪 狀 } 为 等 比 数 列 , 首 项 为7以 α ∈ (π ,π 2 2 2 ), 所 以 tanα = - 4,3 5 犪 14 ,公 比 为 4 ,所 以 通 项 公 式 为 犪狀 = 4 狀 ,狀 ∈ 犖 .………………………………………… 6 分 tanα + tan π(2 )犫狀 = log 2犪狀 = log 24 狀 = 2狀 ,则 tan (α + π ) = 4 =1 1 1 14 1 - tanαtan π4∴ = =( - 犫狀犫 狀 + 1 2 狀 × 2 (狀 + 1 ) 4 狀- 4 + 1 1 ), …………………………………… 8 分 3 = - 1 .)狀 + 11 +4 7 3 ∴ 犜 狀 = 1 4 (1 - 1 2 + 1 - 1 2 3+ … + 1 -狀 , 狀1 1 犆 1 2 =5= 5 = 5犮21 ) = 1(1 - 1 ) =狀 … 11 分2 ,0 ), 犈 (0 ,1 ,1 ), 犆 犈→ = (- 2 ,1 ,1 ),犆犅→ = (- 2 , 狀 + 1 4 狀 + 1 4 (狀 + 1 )2 ,0 ),犅犆→= (2 ,2 ,0 ), …………………… 6 分∴ 犜 2020 = 505…………………… 12 分 设 平 面 犆 犅 1 犈 的 法 向 量 为 狀 = (狓 ,狔 ,狕 ), 2021狀 · 犆 犈→ = - 2 狓 + 狔 + 狕 = 0 18 .(1 ) 抽 取 的 5 人 中 男 员 工 的 人 数 为 545 由 {狀 · 犆犅→= - 2狓 + 2狔 = , 取 狓 = 1 , 027 = 3 ,女 员 工 的 人 数 为 5× 18 = 2 . ……… 4 分得 狀 = (1 ,1 ,1 ), ………………………… 9 分设 直 线 犅 犆 1 与 平 面 犅 1 犆 犈 所 成 角 为 θ ,狘 狀 ·犅犆→ 狘(2 ) 由 (1 45) 可 知 , 抽 取 的 5 名 员 工 中 , 有 男 员 则 sinθ = 狘cos < 狀 ,犅犆→ > 狘 =1狘 狀 狘狘 犅犆→狘 工 3 人 ,女 员 工 2 人 .所 以 , 随 机 变 量 犡 的 所 有 可 能 取 值 为 0 ,1 ,= 狘 2 × 1 + 2 × 1 狘= 4 = 槡 6 , 槡 1 + 1 + 1 × 槡 4 + 4 + 0 2 槡6 32 .…………………………………………… 6 分即 直 线与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 槡 6 犆 3 犆 0 1犅犆 1 3 .根 据 题 意 ,犘 ( 犡 = 0 ) =3 23 10,犘 ( 犡 = ………………………………………… 12 分犆 2 犆 1 6 犆 1 · 犆 2 3犪 = 2 1 ) = 3 2 3 10 ,犘 ( 犡 = 2 ) = 3 2 3 10 烄 烄 犪 = 2 1 随 机 变 量 的 分 布 列 是 :20 .(1 ) 由 题 意 知 烅 犪 = 2烅 犮 = 1 , 烆 犪 2 = 犫 2 + 犮 2 烆犫 = 槡 3 ………………………………………… 3 分由 于 椭 圆 焦 点 在 狓 轴 上 , 所 以 椭 圆 犆 的 方 程 为 狓 2 狔2 …………………………… 分 数 学 期 望 犈 犡 = 0 + 1 × 6 + 2 × 3 = 6 .4 + 3= 1 .4 10 105犿 2 狀 2…………………………………………… 10 分(2 ) 设 犘 ( 犿 ,狀 ), 则 犙 ( 犿 , - 狀 ), +=4 3 (3 )狊2 = 狊2 . ………………………… 12 分 1 狀 2 = 3 (1 -犿 ). ……………………… 6 分 19 . (1 )∵ 犃 犅 ⊥ 平 面 犅 犆 犆 1 犅 1 , 在 三 棱 柱 犃 犅 犆 - 犃 1 犅 1 犆 1 中 , 有 犃 犅 ∥ 犃 1 犅 1 ,∴ 犃 1 犅 1 ⊥ 平 面 犅 犆 犆 1 犅 1 , 得 犃 1 犅 1 ⊥ 犅 犆 1 ,………………………………………… 2 分 4依 题 意 可 知 - 2 < 犿 < 2 , 且 犿 ≠ 0 . 直 线 犃 犘 的 方 程 为 狔 = 狀 (狓 + 2 ), 直 线犿 + 2∵ 四 边 形 犅犆犆 1 犅 1 是 边 长 为 2 的 正 方 形 , ∴ 犅 犆 1 ⊥ 犅 1 犆 , 而 犃 1 犅 1 ∩ 犅 1 犆 = 犅 1 ,犅 犙 的 方 程 为 狔 = 狀 (狓 - 2 ). 2 - 犿 ……… 8 分∴ 犅 犆 1 ⊥ 平 面 犃 1 犅 1 犆 ; ……………… 4 分 烄 狔 = 狀 (狓 + 2 ) 烄 狓 = 4(2 ) 由 (1 ) 知 , 犃 犅 ⊥犅犅 1 ,平 面 犅犆犆1犅 1 ,又 犅犆 ⊥由 犿 + 2 解 得 犿,烅 狔 = 狀 (狓 - 2 ) 烅 狔 = 2 狀烆 2 - 犿 烆犿 ∴ 以 犅 为 坐 标 原 点 , 分 别 以 犅 犆 ,犅 犅 1 ,犅 犃 所 在 直 线 为 狓 ,狔 ,狕 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 即 犕 (4 犿 ,2 狀 ) 犿. ……………………… 11 分角 坐 标 系 ,所 以 犘 , 犕 两 点 的 横 坐 标 之 积 为 犿 · 4 犿4 . ………………………………………… 12 分21 . (1 ) 由 题 可 知 犳 (狓 ) 的 定 义 域 为 (0 ,+ ∞ ),……………………………………… 1 分函 数 犳 (狓 ) = 1 狓 2 + ln 狓 ,犳 ′ (狓 ) = 狓 + 1 > 2 狓0 ,则 犅 (0 ,0 ,0 ), 犆 (2 ,0 ,0 ), 犅1(0 ,2 ,0 ), 犆 1 (2 ,所 以 函 数 犳 (狓 ) 在 区 间 [1 ,犲 ] 上 是 增 函 数 .11 1犆 犆 ×. =犡 0 1 2 犘1 106 103 10………………………………………… 3分{犳 (狓 ) 在 区 间 [1 ,犲 ] 上 的 最 大 值 为 犳 (犲 ) = 代 入 圆 的 方 程 得 (3槡3 狋 )2(1 狋 )2 4 .1 2, 最 小 值 为 ( ) 1 ………… 分+2 +2=2犲 + 1犳 1 = 2 . 5 ………………………………………… 7 分 (2 )犳 (狓 ) > (1 - 犪 )狓 2 , 令 犵 (狓 ) = 犳 (狓 )- (1 整 理 得 :狋 2 + 3 槡 3 狋 + 5 = 0 ,狋 1 + 狋 2 = - 3 槡 3 , - 犪 )狓 2 = ln 狓 + (犪 - 121)狓 2 ,犵 ′ (狓 ) = (2 犪 - 1 )狓狋1狋2 = 5 . 由 狋1+ 狋2 <0 且 狋 1 狋 2 > 0 ,………… 9 分+ 狓. ……………………………………… 6 分 可 知 狘 犘犃 狘+ 狘 犘犅 狘 = 狘 狋1 狘+ 狘 狋2 狘 = - (狋1当 1 时 , ( ) , ( )1 + 狋2 ) = 3 槡 3 . …………………………… 10 分犪 ≥ 2 犵 ′ 狓 > 0 犵 1 = 犪 - 2≥23 .(1 )∵ 狘 2 狓 + 3 狘 - 狘 狓 - 1 狘 ≤ 3 ,0 , 显 然 犵 (狓 ) > 0 有 解 .1………………… 8 分 1 ∴ 狓 ≥ 12 狓 + 3 - 狓 + 1 ≤ 3当 犪 < 2 时 , 由 犵 ′ (狓 ) = (2 犪 - 1 )狓 + 狓=烄- 3< 狓 < 1 0 得 狓 =1 , 或 烅2 槡 1 - 2 犪当 狓 ∈ (0时 ,犵′(狓 ) > 0 , 烆 2 狓 + 3 + 狓 - 1 ≤ 3 烄 狓 ≤ - 3或烅2 . ………… 3 分 当() 时 , ( ) ,烆 - 2 狓 - 3 + 狓 - 1 ≤ 3狓 ∈+ ∞ 犵′ 狓 < 0 狓 ≥ 1 烄 - 3 < 狓 <1 2烄 狓 ≤ - 3 故 犵 (狓 ) 在 狓 =处 取 得 最 大 值∴ {狓 ≤ - 1 或 烅 1 或 烅 2 .1 -2犪 烆 狓 ≤ 3烆 狓 ≥ - 7 犵 (= - 1-1 ln (1 -2 犪 ).∴ - 7狓 1 . …………………… 5 分 2 2≤≤ 3若 使 犵 (狓 ) > 0 有 解 , 只 需 - 1 2 - 1ln (1 -2即 不 等 式 犳 (狓 ) ≤3 的 解 集 为 [- 7 ,1].32 犪 ) > 0 ,解 得 犪 > 1 - 1 .22犲………………………………………… 6 分 (2 )犳 (狓 ) > 2犪 - 狘 2狓 - 2 狘 ,得 狘 2狓 + 3 狘+ 狘 2 狓 - 2 狘 > 2 犪 . ………………………… 7 分结 合 犪 < 12, 此 时 犪 的 取 值 范 围 为 (1 2 - 1 ,2犲∵ 狘 2 狓 + 3 狘 + 狘 2 狓 - 2 狘 ≥ 狘 2 狓 + 3 - 2 狓 +1 ). ………………………………………11 分 22 狘 = 5 , 当 且 仅 当 - 32≤ 狓 ≤ 1 取 “= ”. ……综 上 所 述 ,犪 的 取 值 范 围 为 (1- 1,+ ∞ ). ………………………………………… 9 分52 2犲∴ 2 犪 < 5 ,犪 < 2.…………………………………………… 12 分22 .(1 ) 由 ρ = 4sinθ 得 ρ 2 = 4ρsinθ , …… 所 以 实 数 犪 的 取 值 范 围 是 (- ∞ ,5 ). …2 ………………………………………… 2 分从 而 有 狓 2 + 狔 2 = 4 狔 , 即 狓 2 + (狔 - 2 )2 = 4 .……………………………………………… 4 分(2 ) 设 直 线 犾 的 参 数 方 程 为………………………………………… 10 分烄 狓 = 3 + 狋 cos π6 烄 狓 = 3 + 槡 3 狋 ,即 2 . …… 5 分 烅 狔 = 2 + 狋 sin π烆 6 烅 1 狔 = 2 + 狋烆2。
2021届广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题
保密★启用前钦州市、崇左市 20 21 届高三第一次教学质量监测理科数学注意事项:1. 本卷共 150 分,考试时间120 分钟.答卷前,考生务必将自己的 姓名 、考生号等填写在答题 卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上 ,写在本试卷上无效.3. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U AA. (-∞,0] U [l , +∞)B.(-∞,0) U (1,+∞)C.(0,1) D .[0,1]2. 在复平面内,复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >|b |”是“a | a |> b | b |”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为 A.2 B.1 C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=,则()OA OA OB ⋅+=A. 2 B . 1 C . -1 D.06. 图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图,则下列说法中不正确...的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比,该年第一季度的 GDP 总量实现了增长 7. 某四棱锥的三视图如图 2 所示,则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48. 已 知 实 数 x , y 满足不等式 组11,3260,530,x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数 x - 2y 的最小值为 (A. -4B. 145-C. -6D.-7 9. 设113332,log 2,3a b c ===,则A. c > b > aB. a > c > b C . c > a > b D.a >b >c 10. 如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图,则① 处应 填入的内容为 A. 1i S S i =-+ B. 1i S S i =-- C. 1i S S i =++ D. 1i S S i =+- 11. 在△ABC 中,∠ A = π4,a 2+b 2 - c 2 = ab , c = 3 , 则 a = A.2 B.5C. 6D.312. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的 左 、右焦点分别为F 1、F 2,P 为双曲线C 的右支上一点.以O 为圆心 a 为半径的圆与 PF 1相切于点 M ,且PM = F 1M , 则该双曲线的渐近线为A.y =±2xB.y =±xC. y=±3xD.y =±3x二、填空题:本 题 共 4 小 题 ,每小题 5 分,共 20 分.13. 已知 a π3π4(,),sin 225α∈=,则πtan()4α+= . 14. 二项式25()ax x +展开式中的常数项为 5 , 则实数a = . 15. 直 线 2a .x 十 by - l =0 (a > 0 ,b > 0) 过函数111y x =+-图象的对称中心,则11a b +的最小值为 .16. 对任意两实数 a , b , 定义运算“*”:2,,2,,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩则函数 f ( x ) = sin x *cos x 的值域为 .三、解答题:共 70 分 解答应写出 文字说明 、证明过程或 演算 步骤.第1 7~21 题为必考题 ,每个试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题 ,考生根 据要求作答.( 一)必考题:共 60 分.17. ( 本小 题 满分 12 分)已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,且2116,34n n a S a +==-.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) 若2log n n b a =,求数列11{}n n b b +的前2020项和T 2020.18. ( 本小题满分 12 分)某单位共有员工 45人,其中男员工 27人,女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的 方法抽取 5 名员工进行 考核.(1 ) 求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少; ( 2) 考核前,评估小组从抽取的 5 名员工中,随机选出 3 人 进行访谈.设选出的 3人中女员工人数为 X , 求随机变量 X 的分布列和数学期望;( 3 ) 考核分笔试和答辩两项.5 名员工的笔试成绩分别为78 , 85 , 89 , 92 , 96 ; 结合答辩情况,他们的考核成绩分别为 95 , 88 , 102, 106 , 99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记2212,s s ,试比较21s 与 22s 的大小.(只需写出结论)19. (本小题满分12分)如图4,在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中,四边形 BCC 1B 1是边长为2的正方形,AB ⊥平面BCC 1B 1,AB = 1, 点 E 为棱 AA 1 的中点.(1 ) 求证 ,BC 1⊥平面 A 1B 1C 1;(2 ) 求直线 BC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值.20. ( 本小题 满分 12 分)如图 5 , 已知焦点在x 轴上的 椭圆 C 的长轴长为4, 离心率为12. (1) 求椭圆 C 的方程;(2) 设O 为原点,椭圆 C 的左、右两个顶点分别为 A 、B ,点 P 是椭圆上与A ,B 不重合的任意一点 ,点 Q 和点 P 关于x 轴对称,直线 AP 与直线 BQ 交于点 M , 求证: P , M 两点的横坐标 之积为定 值.21. ( 本小题 满分 12 分)已知函数 21()ln 2f x x x =+. (1 ) 求函数f (.x ) 在区间[1 ,e] 上的最大值和最小值;(2 ) 若 f ( x ) > (l -a ) x 2有解,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23 题中任选一 题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. ( 本小题 满分 10 分)[选修 4-4 : 坐标系与参数方程]在平面直角 坐标系内,直线 l 过点 P ( 3 , 2) , 且倾斜角 a = π6,以坐标原点 O 为极点 ,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方 程为=4sin ρθ..(1) 求圆 C 的直角坐标方程1(2) 设直线l 与圆C 交于A , B 两点,求| PA |+| PB |的值.23. (本小题 满分10 分)[选修 4- 5 , 不等式选讲]已知函数()|23|f x x =+.(1 ) 求不等式()3|1|f x x ≤+-的解集 ,( 2) 若不等式()2|22|f x a x >--对任意x ∈R 恒成 立,求实数a 的取值范围.。
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试(数学试题理)试题
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试(数学试题理)试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF 的中点恰好在双曲线C 上,则C 的离心率为( )A 1BCD2.已知集合{lgsin A x y x ==+,则()cos22sin f x x x x A =+∈,的值域为( )A .31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D .22⎛⎫⎪⎪⎝⎭3.已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列,要得到函数()cos g x A x ω=的图象,只需将()f x 的图象( )A .向左平移12π个单位 B .向右平移4π个单位 C .向左平移4π个单位 D .向右平移34π个单位 5.若函数()ln f x x =满足()()f a f b =,且0a b <<,则224442a b a b+-+的最小值是( )A .0B .1C .32D .6.波罗尼斯(古希腊数学家,的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k (k >0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆2222x y a b+=1(a >b >0),A ,B 为椭圆的长轴端点,C ,D 为椭圆的短轴端点,动点M 满足MA MB=2,△MAB 面积的最大值为8,△MCD 面积的最小值为1,则椭圆的离心率为( ) A .23B .33C .22D .327.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且80S =,33a =-,则9S =( ) A .9B .12C .15-D .18-8.设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A .10B .11C .12D .139.2(1ii +=- ) A .132i +B .32i+ C .32i- D .132i-+ 10.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为( ) A .B .C .1D .211.已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π,则a =( )A .3B .3-C .33-D .3-12.已知复数2(1)(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位,1a >),则z 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学(理)试题Word版含解析
2021届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,集合,集合,则集合的子集的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】∵A={1,2, 3,4},B={3,4,5,6},∴集合C的子集为∅,{3},{4},{3,4},共4个.故选:D.2. 已知复数,则下列命题中正确的个数为()①;②;③的虚部为;④在复平面上对应点在第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】故正确;,也正确;的虚部为1,这是复数概念错误;在复平面上对应点是在第一象限,故正确;故选C.3. 命题,则的否定是()A. ,则B. ,则C. ,则D. ,则【答案】D【解析】,则的否定是,则,全称命题的否定是换量词,否结论,不改变条件.故选D;4. 已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则()A. 2B. 0C.D.【答案】C【解析】∵等差数列{a n}的公差为2,且a1,a3,a4成等比数列,则即解得a1=﹣8.∴a4=a1+3d=﹣8+3×2=﹣2.故选:D.5. 若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的图象不过第三象限,∴m﹣≥﹣1,解得m≥﹣.∵“m>a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,3∴a<﹣.则实数a的取值范围是.故选:D.点睛:函数的图象不过第三象限,可得:m﹣≥﹣1,解得m范围.由“m>a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,即可得出.6. 执行如图所示的程序框图(),那么输出的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次执行循环体,k=1,p=A11,满足继续循环的条件,k=2;第二次执行循环体,k=2,p=A22,满足继续循环的条件,k=3;第三次执行循环体,k=3,p=A33,满足继续循环的条件,k=4;…第N次执行循环体,k=N,p=A N N,满足继续循环的条件,k=N+1;第N+1次执行循环体,k=N+1,p=A N+1N+1,不满足继续循环的条件,故输出的p值为A N+1N+1,故选:C点睛:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.7. 设是定义在上周期为2的奇函数,当时,,则()A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】因为设是定义在上周期为2的奇函数,当时,,故;故选C;8. 某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的柱体,(也可以看成一个三棱柱与半圆柱的组合体),其底面面积S=×2×2+π=2+π,高h=3,故体积V=Sh=6+π,故选:C.点睛:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的柱体,代入柱体体积公式,可得答案.9. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为()(结果保留一位小数.参考数据:,)()A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日【答案】C【解析】设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n},其a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞(植物名)的长度组成等比数列{b n},其b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A,B n=,由题意可得:,化为:2n+=7,解得2n=6,2n=1(舍去).∴n==1+=≈2.6.∴估计2.6日蒲、莞长度相等,故答案为:2.6.10. 已知是所在平面内一点,且,现将一粒黄豆随机撒在内,则黄豆落在内的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC,则,∵=,∴,得=﹣由此可得,P是△ABC边BC上的中线AO的中点,点P到BC的距离等于A到BC的距离的.∴S△PBC=S△ABC.将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点睛:根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量充要条件,得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点.再根据几何概型公式,将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案.11. 抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,点是抛物线的准线与坐标轴的交点,则的最小值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知,抛物线的准线方程为x=﹣1,A(﹣1,0),过P作PN垂直直线x=﹣1于N,由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,当PA是抛物线的切线时,有最小值,则∠APN最大,即∠PAF最大,就是直线PA的斜率最大,设在PA的方程为:y=k(x+1),所以,解得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,所以△=(2k2﹣4)2﹣4k4=0,解得k=±1,所以∠NPA=45°,=cos∠NPA=.故选B.点睛:通过抛物线的定义,转化PF=PN,要使有最小值,只需∠APN最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值.12. 已知定义在上的奇函数,设其导函数为,当时,恒有,令,则满足的实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】定义在R上的奇函数f(x),所以:f(﹣x)=﹣f(x)设f(x)的导函数为f′(x),当x∈(﹣∞,0]时,恒有xf′(x)<f(﹣x),则:xf′(x)+f(x)<0即:[xf(x)]′<0所以:函数F(x)=xf(x)在(﹣∞,0)上是单调递减函数.由于f(x)为奇函数,令F(x)=xf(x),则:F(x)为偶函数.所以函数F(x)=xf(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.则:满足F(2)>F(x﹣1)满足的条件是:|x﹣1|<2,解得:﹣1<x<3.所以x的范围是:(﹣1,3)故选:C点睛:根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数,利用xf′(x)+f(x)<0,得到:[xf(x)]′<0,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反.故建立不等式组,解不等式组求的结果.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知(,为正实数),则的最小值为__________.【答案】【解析】∵a,b∈R+,a+4b=1∴=≥,当且仅当,即a=2b时上述等号成立,故答案为:914. 若,满足约束条件,则的最大值是__________.【答案】0【解析】约束条件对应的平面区域如下图示:由z=x﹣y可得y=x﹣z,则﹣z表示直线z=x﹣y在y轴上的截距,截距越小,z越大由可得A(1,1)当直线z=x﹣y过A(1,1)时,Z取得最大值0故选D15. 现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为__________.【答案】189【解析】若没有红色卡片,若是3种颜色,那么有种方法,若是2种颜色,有种方法,若有红色卡片,那有一张红色的卡片,共有种方法,所以共有种方法,故填:189.【点睛】本题考查了有限制条件的组合问题,对这类问题容易出错在:本来是组合问题,但选元素的时候出现“顺序”,象这种不能同一种颜色,或是选出的鞋不能是同一双等等题型,第一步先选颜色,第二步从颜色中选卡片,如果是不同双的鞋,那第一步就先选哪几双,第二步在每一双里选一只,这样就能保证不同颜色,选出的鞋不是同一双.16. 在锐角三角形中,若,则的取值范围是__________.【答案】【解析】由sinA=sin(π﹣A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC,可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,①由三角形ABC为锐角三角形,则cosB>0,cosC>0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC,又tanA=﹣tan(π﹣A)=﹣tan(B+C)=②,则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC,由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC =,令tanBtanC=t,由A,B,C为锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,由②式得1﹣tanBtanC<0,解得t>1,tanAtanBtanC,由t>1得,﹣≤<0,因此tanAtanBtanC的最小值为8,三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知函数.(1)求函数的单调增区间;(2)的内角,,所对的边分别是,,,若,,且的面积为,求的值. 【答案】(1)函数的单调增区间为,(2)【解析】试题分析:(1)由化一公式得,,得结果;(2),∴,再由余弦定理得.化简可得:.(1)由,.得:.∴函数的单调增区间为,.(2)∵,即.∴.可得,.∵,∴.由,且的面积为,即.∴.由余弦定理可得:.∴.18. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)(1)从这15天的数据中任取一天,求这天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取3天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数,求的分布列;(3)以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况,(一年按360天来计算),则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.【答案】(1)(2),其中(3)一年中平均120天的空气质量达到一级【解析】试题分析:(1)古典概型;(2)符合超几何概型;(3)一年中每天空气质量达到一级的概率为,由第二一问中的条件知道.(1)记“从这15天的数据中任取一天,这天空气质量达到一级”为事件,则;(2)依据条件,服从超几何分布,其中,,,的可能值为0,1,2,3,其分布列为:,其中;(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为.一年中空气质量达到一级的天数为,则;∴(天).∴一年中平均120天的空气质量达到一级.19. 如图,四棱锥底面为正方形,已知平面,,点、分别为线段、的中点.(1)求证:直线平面;(2)求直线与平面所成的角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)与平面夹角的余弦值为【解析】试题分析:(1)延长AN,交CD于点G,推出MN∥PG,然后证明直线MN∥平面PCD;(2)以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设A(1,0,0),求出相关点的坐标,=(1,1,﹣1),平面AMN的法向量,利用向量的数量积求解PB与平面AMN夹角的余弦值.(1)证明:由底面为正方形,连接,且与交于点因为、分别为线段、的中点,可得,平面,平面,则直线平面. (2)由于,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,则.设平面的法向量为.所以.令,所以.所以平面的法向量为.则向量与的夹角为,则.则与平面夹角的余弦值为.20. 已知椭圆:()的长轴长是短轴长的2倍,过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线交椭圆于,两点,若存在点使为等边三角形,求直线的方程. 【答案】(1)椭圆的标准方程:(2)直线的方程:【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的离心率,椭圆的通径公式,及a2=b2+c2及可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)设直线l的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标,根据等边三角形的性质,求得G点坐标,由丨GD丨=丨EF丨,即可取得t的值,即可求得直线l的方程.(1)由椭圆的长轴长是短轴长的2倍,所以,①由椭圆的通径,②解得:,.∴椭圆的标准方程:.(2)设直线:,,.易知:时,不满足,故,则,整理得:,显然,∴,,于是.故的中点.由为等边三角形,则.连接则,即,整理得,则,由为等边三角形,则,.∴.整理得:,即,解得:,则,∴直线的方程,即.点睛:本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,中点坐标公式,等边三角形的性质公式,考查计算能力.21. 已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当,且时,证明:.【答案】(1)单调递减区间为,单调递增区间为(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)令,得增区间,,得减区间;(2),需证,变量集中.(1)的定义域为,令,得.当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减.∴单调递减区间为,单调递增区间为.(2)证明:因为,故,().由(),得,即.要证,需证,即证.设(),则要证().令.则.∴在上单调递增,则.即.故.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为:,将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)已知直线与曲线交于,两点,点,求的值.【答案】(1)曲线:(2)【解析】试题分析:(1)由图像伸缩平移的规律得到曲线:;(2),由韦达定理解出即可;(1)曲线的极坐标方程为:,即,化为直角坐标方程:.将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线:.(2)直线的极坐标方程为,展开可得:.可得直角坐标方程:.可得参数方程:(为参数).代入曲线的直角坐标方程可得:.解得,.∴.23. 选修4-5:不等式选讲已知,.(1)解不等式;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)的解集为或(2)时,不等式恒成立【解析】试题分析:(1)零点分区间,取绝对值,解不等式组;(2)由已知恒成立,又,,求出结果即可;(1)当时,解得.当时,无解,当时,解得.∴的解集为或.(2)由已知恒成立.∴恒成立.又.∴,解得.∴时,不等式恒成立点睛:第二问中,不等式恒成立,求实数范围,先变量分离,,再根据绝对值三角不等式,求得,这是绝对值三角不等式很重要的一个应用.。
2021届广西钦州市、崇左市高三上学期一模考试数学(理)试卷及答案
2021届广西钦州市、崇左市高三上学期一模考试数学(理)试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项:1. 本卷共 150 分,考试时间120 分钟.答卷前,考生务必将自己的 姓名 、考生号等填写在答题 卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上 ,写在本试卷上无效.3. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U A()A. (-∞,0] U [l , +∞) B.(-∞,0) U(1,+∞)C.(0,1)D.[0,1]2. 在复平面内,复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >|b |”是“a | a |> b | b |”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为()A.2B.1C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=,则()OA OA OB ⋅+=A. 2B. 1C. -1D.06.图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图,则下列说法中不正确...的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比,该年第一季度的 GDP 总量实现了增长7.某四棱锥的三视图如图 2 所示,则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48.已知实数x, y满足不等式组11,3260,530,x yx yx y++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数x- 2y的最小值为(A.-4B.145-C.-6D.-79.设113332,log2,3a b c===,则A. c> b > aB. a > c > bC.c > a > bD.a>b>c10.如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图,则①处应。
21.广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)【解析版】
广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知全集 U =R ,集合{|()}10A x x x =->,那么集合UA( )A .(,0][1,)-∞⋃+∞B .()(),01,-∞⋃+∞C .()0,1D .[]0,1【答案】D 【分析】先求出集合A ,再根据补集定义即可求出. 【详解】{{(1)0}0A x x x x x =->=<∣或}1x >,{}[]010,1U A x x ∴=≤≤=.故选:D. 【点睛】本题考查补集的运算,其中涉及一元二次不等式的求解,属于基础题. 2.在复平面内,复数()()21z i i =-+对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】C 【分析】运用复数乘法化简复数3z i =--得解 【详解】2(2)(1)223z i i i i i i =-+=+--=--,因此复数z 对应点的坐标为()3,1--,在第三象限. 故应选C . 【点睛】本题考查复数乘法运算及复数几何意义,属于基础题.3.已知,a b ∈R ,“a b >”是“a a b b ”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由a b >,结合不等式的性质可推出a a b b ;代入特殊值即可判断由a a b b 不一定推出a b >,即可选出正确答案. 【详解】由题意,若a b >,则0a b >≥,则0a >且a b >,所以2a a a =,则a ab b 成立.当1,2a b ==-时,满足a a b b ,但a b >不一定成立,所以a b >是a a b b 的充分不必要条件.故选:A. 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了充分必要条件的判断.4.抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为( )A .2B .1C .116D .12【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可转化为0||1PF x =+,根据0x 的范围求解即可. 【详解】由题意,24y x =的焦点(1,0)F ,准线为1x =-, 设抛物线上的动点()00,P x y ,根据抛物线的定义可知,0||1PF x =+, 因为0[0,)x ∈+∞, 所以011PF x =+,故抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为1. 故选:B 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程,抛物线的定义,属于容易题. 5.若OA AB ⊥,||1OA =,则()OA OA OB ⋅+=( ) A .2 B .1C .-1D .0【答案】A 【分析】由OA AB ⊥可得0OA AB ⋅=,可根据()AB AO O OA OA B ⋅=⋅+求得1OA OB ⋅=,进而可求出()OA OA OB ⋅+的值. 【详解】OA AB ⊥,||1OA =,2()||10OA OA O AB AO A O OB A OB OA OB ∴⋅=⋅+=-+⋅=-+⋅=, ∴1OA OB ⋅=,2()2OA OA OB OA OA OB ∴⋅+=+⋅=.故选:A. 【点睛】本题考查数量积的运算,考查垂直关系的向量表示,属于基础题.6.如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图,则下列说法中不正确的是( )A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B.该年第一季度浙江省的GDP总量最低C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位次的省份有2个D.与去年同期相比,该年第一季度的GDP总量实现了增长【答案】B【分析】由折线图,直接判断AD正确,比较容量和增速可判断C,观察条形图反应的总量可判断B.【详解】由折线图可知A、D项均正确,该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四,共2个,故C项正确:今年浙江省的GDP增长率最低.故B项不正确.故选:B.【点睛】本题考查统计图表,考查折线图、条形图,属于基础题.7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()A.2 B.C.D.4【答案】D【分析】由三视图做出几何体的直观图,再根据体积公式计算即可得答案.【详解】,如图:解:根据三视图可得直观图为四棱锥P ABCD底面是一个直角梯形,AD AB ⊥,//AD BC , 4=AD ,2AB BC PO ===,且PO ⊥底面ABCD , ∴该四棱锥的体积为1124224332ABCD V S h +⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, 故选:D . 【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积,考查空间想象能力,运算能力,是基础题.8.已知实数x ,y 满足不等式组10,3260,530,x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值为( ) A .-4 B .145-C .-6D .-7【答案】C 【分析】根据题意,做出平面区域,根据几何意义求解即可. 【详解】不等式组103260530x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为图中的ABC (包括边界),由图知,平移直线2z x y =-,当经过点C 时,2z x y =-取得最小值,易得(03)C ,,即066z =-=-. 故选:C . 【点睛】本题考查线性规划求最值,考查数形结合思想,是基础题. 9.设132a =,3log 2b =,133c =则( ) A .c b a >> B .a c b >> C .c a b >> D .a b c >>【答案】C 【分析】考查幂函数13y x =得到1c a >>,又3log 2(0,1)b =∈运用中间变量得解 【详解】3log 2(0,1)b =∈,13y x =为增函数,故1133321>>,即1c a >>.故c a b >>. 故选C . 【点睛】本题考查利用函数单调性判断函数值大小,同一题中有指对数式通常利用中间变量得解,属于基础题. 10.如图是求数列12,23,34,45,56,78…前6项和的程序框图,则①处应填入的内容为( )A .1i S S i =-+ B .1i S S i =-- C .1i S S i =++ D .1i S S i =+- 【答案】C 【分析】可知判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到12,经过第二次循环得到1223+,经过第三次循环得到123234++,…,根据此规律即可判断. 【详解】判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到12, 经过第二次循环得到1223+, 经过第三次循环得到123234++, …故判断框中的条件应该为1i S i =++. 故应选:C. 【点睛】本题考查补全程序框的条件,属于基础题.11.在ABC 中,4A π∠=,222a b c ab +-=,3c =,则a =( )A .2 BCD .3【答案】C 【分析】首先利用余弦定理求出C ,再根据正弦定理计算可得; 【详解】解:222a b c ab +-=,∴可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.(0,)C π∈,3C π∴=,4A π∠=,3c =,∴由正弦定理sin sin a cA C==,解得a =故选:C. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.12.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线C 的右支上一点.以O 为圆心a 为半径的圆与1PF 相切于点M ,且1PM FM =,则该双曲线的渐近线为( ) A .2y x =± B .y x =± C.y = D .3y x =±【答案】A 【分析】连接2PF 、OM ,利用中位线定理和双曲线定义构建参数,,a b c 关系,即求得渐近线方程. 【详解】如图,连接2PF 、OM ,∵M 是PF 的中点,∴OM 是12PF F △的中位线,∴2OM //PF ,且22||2PF OM a ==, 根据双曲线的定义,得122PF PF a -=,∴1224PF PF a a =+=, ∵1PF 与以原点为圆心a 为半径的圆相切, ∴1OM PF ⊥,可得21PF PF ⊥,12PF F △中,2221212PF PF F F +=,即得22212(4)(2)a a F F +=,22212(2)20c F F a ∴==,解得225c a =,即22224b c a a =-=,得2b a =.由此得双曲线的渐近线方程为2y x =±. 故选:A. 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法,属于中档题.二、填空题 13.已知π3π,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4sin 5α,则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=______.【答案】17- 【分析】由题可求得4tan 3α=-,再利用和的正切公式即可求出. 【详解】因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4sin 5α,所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=-,则4tan 3α=-,则41tan tan134tan 4471tan tan 143παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-+. 【点睛】本题考查同角三角函数的关系,考查和的正切公式的应用,属于基础题.14.二项式251()ax x+展开式中的常数项为5,则实数=_______. 【答案】1 【详解】解:因为25(ax +展开式的通项公式为52551022155()r r r rr r r T C ax xC ax----+==令510-0,42r r ==,则常数项为第5项且为5,所以45455,1C a a -== 15.直线()2100,0ax by a b +-=>>过函数111y x =+-图象的对称中心,则11a b+的最小值为______. 【答案】3+【分析】 可得函数111y x =+-图象的对称中心为()1,1,即可得21a b +=,利用基本不等式即可求解. 【详解】 函数111y x =+-的图象可由1y x =向右平移1个单位,再向上1个单位得到,又1y x=是奇函数,故其对称中心为()0,0,故()f x 的对称中心为()1,1, 所以21a b +=,∴11112(2)33b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭, 当且仅当b =时等号成立.故答案为:3+. 【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查利用基本不等式求最值,属于基础题. 16.对任意两实数a ,b ,定义运算“*”:22,22,a b a ba b b a a b-≥⎧*=⎨-<⎩,则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】[0, 【分析】先分析题意,把函数化简整理为()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∣,再利用三角函数的图像与性质求值域即可得到答案. 【详解】 由22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩,则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得:()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣,即sin 0,4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为[0,.故答案为:[0, 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质,考查学生的分类讨论思想及处理新定义问题的能力,属于中档题.三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且216a =,134n n S a +=-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T . 【答案】(1)4nn a =;(2)5052021. 【分析】(1)由递推关系可判断{}n a 为等比数列,根据等比数列的通项公式即可写出; (2)求出n b ,再利用裂项相消法即可求出. 【详解】(1)由题知,216a =,211443a a S -∴===, 134n n S a +∴=-,11433n n S a +∴=-,当2n ≥时,11433n n S a -=-,两式相减可得11133n n n a a a +=-,即14n n a a +=.因为214a a =,数列{}n a 为等比数列,首项为4,公比为4, 所以通项公式为4nn a =.(2)22log log 42nn n b a n ===,11111122(1)41n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⨯++⎝⎭, 111111111142231414(1)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 20205052021T ∴=. 【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求解,考查裂项相消法求和,属于基础题. 18.某单位共有员工45人,其中男员工27人,女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核. (1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少;(2)考核前,评估小组从抽取的5名员工中,随机选出3人进行访谈.设选出的3人中女员工人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望;(3)考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78,85,89,92,96;结合答辩情况,他们的考核成绩分别为95,88,102,106,99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记21s ,22s 试比较21s 与22s 的大小.(只需写出结论) 【答案】(1)男员工3人,女员工2人;(2)分布列见解析,65;(3)2212s s =. 【分析】(1)根据题意得抽样比例为545,进而可得男女员工人数; (2)根据题意得X 满足超几何分布,再根据超几何分布得概率分布列与数学期望; (3)根据题意得考核成绩是笔试成绩均加10得到,故方差不变. 【详解】(1)抽取的5人中男员工的人数为527345⨯=, 女员工的人数为518245⨯=. (2)由(1)可知,抽取的5名员工中,有男员工3人,女员工2人. 所以,随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.根据题意,3032351(0)10C C P X C ===, 2132356(1) 10C C P X C ===,1232353(2)10C C P X C ⋅===. 随机变量X 的分布列是:数学期望01210105EX =+⨯+⨯=. (3)2212s s =.【点睛】本题考查分层抽样,超几何分布,方差等,考查运算能力,是中档题.19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BCC B 是边长为2的正方形,AB ⊥平面11BCC B ,1AB =,点E 为棱1AA 的中点.(1)求证,1BC ⊥平面11A B C ;(2)求直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)3. 【分析】(1)先利用平面与平面垂直的性质证得AB ⊥平面11BCC B ,即得11A B ⊥平面11BCC B ,得111A B BC ⊥,由11BCC B 是正方形,得11BC B C ⊥,再由直线与平面垂直的判定可得1BC ⊥平面11A B C ;(2)由(1)知,AB ⊥平面11BCC B ,又1BC BB ⊥,故以B 为坐标原点,分别以BC ,1BB ,BA 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面1CB E 的一个法向量与1BC 的坐标,由两向量所成角的余弦值即可得直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值. 【详解】 证明:(1)AB ⊥平面11BCC B ,在三棱柱111ABC A B C -中,有11//AB A B ,11A B ∴⊥平面11BCC B ,得111A B BC ⊥.∵四边形11BCC B 是边长为2的正方形,11BC B C ∴⊥,而1111A B B C B =1BC ∴⊥平面11A B C(2)由(1)知,AB ⊥平面11BCC B ,又1BC BB ⊥,∴以B 为坐标原点,分别以BC ,1BB ,BA 所在直线为x ,y ,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)B ,(2,0,0)C ,1(0,2,0)B ,1(2,2,0)C ,(0,1,1)E , (2,1,1)CE =-,()12,2,0CB =-,1(2,2,0)BC =,设平面1B CE 的法向量为(,,)n x y z =,由1CE 20220n x y z n CB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取1x =,得()1,1,1n =.设直线1BC 与平面1B CE 所成角为θ,则111sin cos,3||n BC n BC n BC θ⋅=<>====,即直线1BC 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定,考查线面角的求法,考查空间想象能力与思维能力,属于中档题.20.如图,已知焦点在x轴上的椭圆C 的长轴长为4,离心率为12.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,椭圆C 的左、右两个顶点分别为A 、B ,点P 椭圆上与A 、B 不重合的任意一点,点Q 和点P 关于x 轴对称,直线AP 与直线BQ 交于点M ,求证:P ,M 两点的横坐标之积为定值.【答案】(1)22143x y +=;(2)证明见解析. 【分析】(1)根据题中条件,列出方程组求出21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,即可结合题意求出椭圆方程;(2)设(,)P m n ,根据题中条件,得到(,)Q m n -,22314m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得出直线AP 与直线BQ 的方程,联立求出42,n M m m ⎛⎫⎪⎝⎭,即可得出结果. 【详解】(1)由题意知222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,由于椭圆焦点在x 轴上,所以椭圆C 的方程为22143x y+=;(2)设(,)P m n ,则(,)Q m n -,因为点P 椭圆上与A 、B 不重合的任意一点,则22143m n +=,即22314m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,22m -<<;因此直线AP 的方程为(2)2ny x m =++,直线BQ 的方程为(2)2n y x m =--. 由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪-⎩解得42x mn y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即42,n M m m ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以P ,M 两点的横坐标之积为44m m⋅=. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程,考查椭圆中的定值问题,属于常考题型.21.已知函数21()ln 2f x x x =+. (1)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值; (2)若()21()f x a x >-有解,求实数a 的取值范围.【答案】(1)最大值为2112e +,最小值为12;(2)11,22e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)求导得()f x 在区间[]1,e 上单调递增,进而可得答案; (2)由题得21()ln 2g x x a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,求导得()1(21)g a x x x '=-+,再分12a ≥和12a <两种情况讨论求解即可. 【详解】(1)由题可知()f x 的定义域为()0,∞+ 函数21()ln 2f x x x =+,1()0f x x x '=+>所以函数()f x 在区间[1,]e 上是增函数. ()f x 在区间[1,]e 上的最大值为()2112f e e =+,最小值为1(1)2f =. (2)2()(1)f x a x >-,令221()()(1)ln 2g x f x a x x a x ⎛⎫=--=+-⎪⎝⎭, ()1(21)g a x xx '=-+. 当12a ≥时,()0g x '>.1(1)02g a =-≥,显然()0g x >有解.当12a <时,由()1(21)0g x a x x '=-+=得x =当x ⎛∈ ⎝时,()0g x '>,当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时,()0g x '<,故()g x 在x =11ln(12)22g a =---. 若使()0g x >有解,只需11ln(12)022a --->解得1122a e>-. 结合12a <,此时a 的取值范围为111,222e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述,a 的取值范围为11,22e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,研究不等式,考查分类讨论思想和数学运算能力,是中档题.22.在平面直角坐标内,直线l 过点(3,2)P ,且倾斜角6πα=.以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与圆C 交于,A B 两点,求||||PA PB +的值. 【答案】(1)22(2)4x y +-=;(2)【分析】(1)根据222x y ρ=+,cos x ρθ=,sin y ρθ=,将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)由题意得到直线l 的参数方程,代入圆的直角坐标方程,得到关于t 的一元二次方程,根据韦达定理,可得12t t +、12t t 的值,代入所求,即可得答案. 【详解】(1)由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=从而有224x y y +=,即:22(2)4x y +-=(2)由题意设直线l 的参数方程为3cos 62sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),即:32122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)代入圆C的方程得2213422t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得:250t ++=,12t t +=-125t t =,因为120t t >,所以1212||||PA PB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,以及直线参数方程中参数t 的几何意义的应用,属基础题.23.已知函数()|23|f x x =+.(1)求不等式()3|1|f x x ≤+-的解集,(2)若不等式()2|22|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【分析】(1)分段讨论去绝对值可得答案; (2)根据三角不等式可得答案. 【详解】(1).|23||1|3x x +--,12313x x x ⎧∴⎨+-+⎩ 或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩或322313x x x ⎧-⎪⎨⎪--+-⎩. 11x x ⎧∴⎨-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或327x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩.173x∴-. 即不等式()3f x ≤的解集为17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)()2|22|f x a x >--,得|23||22|2x x a ++->,|23||22|23225x x x x ++-+-+=∣∣,当且仅当312x -取“=”. 25a ∴<,52a <. 所以实数a 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查分类讨论的思想.。
广西钦州市数学高三理数第一次模拟考试试卷
广西钦州市数学高三理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)(2018·河北模拟) 若,则()A .B .C .D .2. (2分)已知集合,|则()A .B .C .D . ,3. (2分)已知约束条件,则目标函数的最大值为()A . 1B . 21C . 13D . 34. (2分)(2018·山东模拟) 已知点P是双曲线C:的一条渐近线上一点,F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则点P到y轴的距离为()A .B .C . 1D . 25. (2分)已知正方形ABCD的边长为2, H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足|PH|<的概率为()A .B .C .D .6. (2分) (2018高二上·普兰期中) 已知等差数数列的前项和为 ,若 ,则等于()A . 15B . 18C . 27D . 397. (2分)右图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A . i>8B . i<8C . i>16D . i<168. (2分) (2019高二下·四川月考) 曲线y=﹣x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()A . y=3x﹣1B . y=﹣3x+5C . y=3x+5D . y=2x9. (2分) (2017高三下·赣州期中) 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,AB=4,AA1=6,若E,F分别是棱BB1 , CC1上的点,且BE=B1E,C1F= CC1 ,则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为()A .B .C .D .10. (2分)(2017·抚顺模拟) 已知满足,则g (x)=2cos(ωx+φ)在区间上的最大值为()A . 4B .C . 1D . ﹣211. (2分) (2016高一上·周口期末) 直线y=kx+3被圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4截得的弦长为,则直线的倾斜角为()A . 或B . 或C . 或D .12. (2分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A . πB . 4πC . 4πD . 6π二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2018高一下·蚌埠期末) 已知,则 ________.14. (1分)已知(1+ax)(1+x)4的展开式中x2的系数为10,则a=________.15. (1分)(2016·安庆模拟) 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)是单调递增的,若S1= x2dx,S2= dx,S3= exdx,则f(S1),f(S2),f(S3)的大小关系是________.16. (1分)(2018·江苏) 已知集合 ,将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为________.三、解答题 (共7题;共70分)17. (10分) (2018高一上·佛山期末) 已知, .(1)求的值;(2)求的值.18. (10分) (2015高二上·安阳期末) 如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC的中点.证明A1 , C1 , F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值.19. (10分) (2018高二下·邯郸期末) 某贫困地区有1500户居民,其中平原地区1050户,山区450户,为调查该地区2017年家庭收入情况,从而更好地实施“精准扶贫”,采用分层抽样的方法,收集了150户家庭2017年年收入的样本数据(单位:万元)(I)应收集多少户山区家庭的样本数据?(Ⅱ)根据这150个样本数据,得到2017年家庭收入的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为 , , , , , .如果将频率率视为概率,估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率;(Ⅲ)样本数据中,由5户山区家庭的年收入超过2万元,请完成2017年家庭收入与地区的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”?附:0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828超过2万元不超过2万元总计平原地区山区5总计20. (10分) (2015高三上·潍坊期末) 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,以原点O 为圆心,椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣ y+6=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知点A,B为动直线y=k(x﹣2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在点E,使 2+ • 为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值,若不存在,说明理由.21. (10分)(2016·中山模拟) 设a∈R,函数f(x)=x2e1﹣x﹣a(x﹣1).(1)当a=1时,求f(x)在(,2)内的极大值;(2)设函数g(x)=f(x)+a(x﹣1﹣e1﹣x),当g(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)时,总有x2g(x1)≤λf′(x1),求实数λ的值.(其中f′(x)是f(x)的导函数.)22. (10分) (2019高三上·西安月考) 设为坐标原点,椭圆的焦距为,离心率为,直线与交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)设点,,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.23. (10分)已知函数f(x)=|x﹣a|+|x﹣2|,a>0.(1)当a=3时,解不等式f(x)<4;(2)若正实数a,b,c满足a+b+c=1,且不等式f(x)对任意实数x都成立,求a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题;共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
广西壮族自治区钦州市第一中学高三数学理联考试卷含解析
广西壮族自治区钦州市第一中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若,函数在处有极值,则ab的最大值是()A.9 B.6 C.3 D.2参考答案:A求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为0得到a,b满足的条件,利用基本不等式求出ab的最值解:由题意,求导函数f′(x)=12x2-2ax-2b,∵在x=1处有极值,∴a+b=6,∵a>0,b>0,∴ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时取等号,以ab的最大值等于9,答案为A2. 命题“函数是偶函数”的否定是A. B. ,C.,D.参考答案:A略3. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示,若剩余几何体的体积为,则的值为()A.1 B.2 C. D.参考答案:B4. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为()A. B.和C. D.参考答案:A5. 定义在R上的偶函数满足,且在[-1,0]上单调递减,设,,,则,,的大小关系是()A.B.C.D.参考答案:C6. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,则B=()C7. 给出下列四个命题:(1)若α>β且α、β都是第一象限角,则tanα>tanβ;(2)“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得<0”;(3)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则(?p)∨q为真命题;(4)函数是偶函数.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:A【考点】命题的真假判断与应用.【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑.【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论.【解答】解:(1)若α>β且α、β都是第一象限角,比如α=,β=,则tanα=tanβ,故(1)错;(2)这是含有一个量词的命题的否定,否定的规则是改变量词再否定结论,正确;(3)已知命题p:所有有理数都是实数,是真命题,q:正数的对数都是负数,为假命题,则(?p)∨q为假命题,不正确;(4)函数是奇函数,不正确.故选:A.【点评】本题考查命题的真假判断,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强.8. 执行如图的程序框图,则输出的( )参考答案:D9. 点是曲线上的任意一点,则点到直线的最小距离为()A. 1B.C.D.参考答案:D10. 已知复数z满足z(1+i)=i,则复数z为()A.B.C.1+i D.1-i参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在处有极值为10,则的值等于参考答案:18试题分析:在处有极值10,①②,联立①②得或,当时,,得,函数单调递增,没有极值,舍去,当时,,符合题意,,故答案为18考点:利用函数的极值求参数的值12. 已知函数,若x1,x2∈R,x1≠x2,使得f (x1)=f (x2)成立,则实数a的取值范围是▲.参考答案:(-∞,4)13. 若直线2tx+3y+2=0与直线x+6ty-2=0平行,则实数t等于参考答案:14. 圆与直线y=x相切于第三象限,则a的值是.参考答案:因为圆与直线y=x相切于第三象限,所以。
钦州市高三大联考(理科数学)
钦州市2022年高三毕业班第一次调研测试理科数学〔必修+选修Ⅱ〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.第一卷1至2页,第二卷3至8页.测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.共150分.测试时间120分钟.第一卷考前须知:1.做题前,考生在做题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.本卷共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P 〔A +B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕. 如果事件A 、B 相互独立,那么 P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕.如果事件A 在1次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C P P -=-.球的外表积公式 S 球=4πR 2 其中R 表示球的半径.球的体积公式 V 球=43πR 3 其中R 表示球的半径.一、选择题:1.如图,U 是全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,那么阴影局部所表示的集合是 〔A 〕〔M P 〕S 〔B 〕〔M P 〕S 〔C 〕〔M P 〕〔U S 〕 〔D 〕〔MP 〕〔U S 〕2.设函数f 〔x 〕=sin 〔πx -π2〕,那么以下命题中正确的选项是 〔A 〕f 〔x 〕是周期为1的奇函数 〔B 〕f 〔x 〕是周期为2的偶函数 〔C 〕f 〔x 〕是周期为1的非奇非偶函数 〔D 〕f 〔x 〕是周期为2的非奇非偶函数MSPU3.有如下三个命题:①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直. 其中正确命题的个数为 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕44.函数y =log〔x -1〕的反.函数的图象是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5.设abc ≠0,“ac >0〞是“曲线ax 2+by 2=c 为椭圆〞的 〔A 〕充分非必要条件 〔B 〕必要非充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既非充分又非必要条件 6.向量a 、b 为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |的值是〔A 〔B 〔C〔D 〕47.用1,2,3,4,5这五个数字,组成比20 000大,而且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有 〔A 〕64个〔B 〕72个〔C 〕78个〔D 〕96个8.等差数列{a n }中,如a 1+a 2+a 3=6,a 10+a 11+a 12=9,那么a 1+a 2+…+a 12= 〔A 〕15〔B 〕30〔C 〕45〔D 〕609.椭圆2225x y t +=1,两焦点间距离为6,那么t = 〔A 〕16 〔B 〕34 〔C 〕16或34〔D 〕1110.双曲线的两个焦点为F 1〔-,0〕,F 2〔,0〕,P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2,那么该双曲线的方程〔A 〕2223x y -=1 〔B 〕2232x y -=1 〔C 〕224y x -=1 〔D 〕224x y -=1 11.奇函数f 〔x 〕的定义域为:{x ||x +2-a |<a ,a >0},那么a 的值为〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕312.函数f 〔x 〕在R 上是增函数,A 〔0,-2〕、B 〔4,2〕是其图象上的两点,那么不等式|f 〔x +2〕|<2的解集是 〔A 〕〔-∞,-2〕∪〔2,+∞〕 〔B 〕〔-2,2〕 〔C 〕〔-∞,0〕∪〔4,+∞〕〔D 〕〔0,4〕钦州市2022年高三毕业班第一次调研测试理科数学〔必修+选修Ⅱ〕第二卷考前须知:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前将密封线内的工程填写清楚. 3.本卷共10小题,共90分. 二、填空题:本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.222lim 23n n nn →∞+-= .14.圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称,那么k =. 15.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出两个,那么其中含红球个数的数学期望是_________________.16.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,将该正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为 .BA 1三、解做题:本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕一扇形的周长为c 〔c >0〕,当扇形的弧长为何值时,它有最大面积?并求出面积的最大值. 18.〔本小题总分值12分〕从6位女同学和4位男同学中随机选出3位同学进行体能测试,每位女同学能通过测试的概率均为45,每位男同学能通过测试的概率均为35,试求:〔1〕选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;〔2〕10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测试的概率.有三个居民小区A、B、C构成△ABC,AB=700m、BC =800m、AC=300m.现方案在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个工厂,为不影响小区居民的正常生活和休息,需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙.据测算,从厂房发出的噪音是85分贝,而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝.每安装一道隔音窗噪音降低3分贝,本钱3万元,隔音窗不能超过3道;每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝,本钱10万元;距离厂房平均每25m噪音均匀降低1分贝.〔1〕求∠C的大小;〔2〕求加工厂与小区A的距离.〔精确到1m〕;〔3〕为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费本钱最低,需要安装几道隔音窗,建造几堵隔音墙?〔计算时厂房和小区的大小忽略不计〕20.〔本小题总分值12分〕如图①所示的等腰梯形ABCD 中,上底和高均为2,下底边长为+2,DE ⊥AB 于E ,CF ⊥AB 于F ,将△AED 、△BFC 分别沿DE 、CF 折起,使A 、B 重合于P 得图形②.在空间图形②中:〔1〕求证:FP ⊥平面PDE ;〔2〕求EF 与面PDF 所成的角的大小.ABCD EFDCEF(,)P A B ②①等比数列{a n}中,a1=64,公比q≠1,a2、a3、a4又分别是某等差数列的第7项、第3项、第1项.〔1〕求等比数列{a n}的通项公式a n;〔2〕设b n=log2a n,求数列{|b n|}的前n项和.如图,过点D 〔-2,0〕的直线l 与椭圆22x +y 2=1交于不同的两点A 、B ,点M 是弦AB的中点.〔1〕假设OP =OA +OB ,求点P〔2〕求|MD ||MA |的取值范围.钦州市2022年高三毕业班第一次调研测试理科数学参考答案及评分标准说明:1、如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么.2、对计算题,当考生的解答在某一步出错时,如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半;如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分.3、解答右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4、只给整数分.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:〔每题5分,共60分〕二、填空题:〔每题4分,共16分〕13.1214.215.6516.〔4+〕a 2三、解做题:17.解:设扇形的半径为R ,弧长为l ,面积为S ,∵c =2R +l ,∴R =2c l-,〔l <c 〕. ·························································· 2分 那么S =12Rl =12×2c l -·l =14〔cl -l 2〕 ·············································· 6分=-14〔l 2-cl 〕=-1422c l ⎛⎫- ⎪⎝⎭+216c , ············································· 8分 ∴当l =2c时,S max =216c . ···································································· 11分答:当扇形的弧长为2c时,扇形有最大面积,面积的最大值是216c . ··················· 12分18.解:〔1〕易知选出的3位同学中,没有选到一位男同学的概率是36310C C , ··················· 4分∴选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率P =1-36310C C =56; ·········· 6分〔2〕除女同学甲和男同学乙同时被选中外还有另外的8个同学中有一位同学的概率是18310C C , ······················································································ 10分 ∵每位女同学能通过测试的概率均为45, 每位男同学能通过测试的概率均为35, ∴10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测试的概率P =18310C C ×45×35=4125. ························································ 12分19.解:〔1〕由余弦定理得cos ∠C =12,∠C =60º; ·············································· 3分 〔2〕由题设知,所求距离为△ABC 外接圆半径R , ······································· 4分由正弦定理得R =7002sin C∠=404. ·················································· 6分答:加工厂与小区A 的距离约为404m ; ········································· 7分 〔3〕设需要安装x 道隔音窗,建造y 堵隔音墙,总本钱为S 万元,由题意得:40485315150,2503,0,,N .x y x y x y *⎧---⨯≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≥⎪∈⎪⎩即5 6.28,03,0,,N .x y x y x y *+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩ ·································· 9分 其中S =3x +10y ,当x =2,y =1时,S 最小值为16万元. ······················· 11分 答:需安装2道隔音窗,建造1堵隔音墙即可. ·································· 12分20.解法一:〔1〕在等腰梯形ABCD 中,EF =DC =2,AE =BF································· 1分而AE =PE ,BF =PF ,∴PE 2+FP 2=EF 2,∴PF ⊥EP . ································ 2分 又∵AE ⊥DE 〔即PE ⊥DE 〕,EF ⊥DE ,∴DE ⊥面PEF , ····························· 4分 ∴DE ⊥FP ,∴FP ⊥面PDE ; ······························································· 6分 〔2〕由〔1〕得FP ⊥面PDE ,∴面FPD ⊥面PDE , ······················· 7分作EM ⊥DP 于M ,那么EM ⊥面PDF , ································· 8分 连结FM ,那么∠EFM 为EF 与面PDF 所成的角. ················ 9分 在Rt △PED 中,EM PE =DEPD,可得,EM =2×2 4+2 =2 3 , ··························· 10分∴sin∠EFM =EMEF,∴∠EFM =. ···················· 11分故EF 与面PDF 所成的角的大小为. ····································· 12分 解法二:〔1〕以E 为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系E -xyz , ···························· 1分那么依题意得D 〔0,0,2〕,C 〔0,2,2〕,F 〔0,2,0〕,P 〔1,1,0〕, ························ 2分 ∴FP =〔1,-1,0〕,ED =〔0,0,2〕,PD =〔-1,-1,2〕. ······················· 3分 ∵FP ·ED =〔1,-1,0〕·〔0,0,2〕=0 ·························· 4分 FP ·PD =〔1,-1,0〕·〔-1,-1,2〕 =-1+1+0=0, ············································· 5分 ∴FP ⊥ED ,FP ⊥PD ,∴FP ⊥平面PDE ; ·························· 6分 〔2〕设面PDF 的法向量n =〔x ,y ,z 〕,那么0,0,FP PD n n ==⎧⎪⎨⎪⎩即(,,)(1,1,0)0,(,,)(1,1,2)0,x y z x y z -=⎧⎨--=⎩∴0,20.x y x y z -=⎧⎨+-=⎩ ····························· 8分 取y =2,那么n =〔2,2,2〕. ································································· 9分 设EF 与面PDF 所成的角为α,那么|EF n |=|EF |·|n |sin α, ··············· 10分 ∴sin α=|(0,2,0)·(2,2,2)| 2×4+4+4 = 3 3 ,α=. ························· 11分故EF 与面PDF 所成的角的大小为. ······································ 12分 DCE F(,)PA B M21.解:〔1〕∵2373a a --=3431a a --,∴2(1)4a q -=22()2a q q -, ···································· 2分2q 2-3q +1=0,∴q =12, ································································· 4分 ∴a n =27n -; ··············································································· 6分 〔2〕b n =log 2a n =log 227n -=7-n , ··························································· 8分∴当1≤n ≤7时,|b 1|+|b 2|+…+|b n |=b 1+b 2+…+b n =12〔13n -n 2〕; ···················· 10分 ∴当n ≥8时,|b 1|+|b 2|+…+|b n |=〔b 1+b 2+…+b 7〕-〔b 8+b 9+…+b n 〕 ········· 11分=2〔b 1+b 2+…+b 7〕-〔b 1+b 2+…+b n 〕 ······· 12分 =42-12〔13n -n 2〕. ···································· 13分 22.解:〔1〕设直线l 的方程为y =k 〔x +2〕,P 〔x ,y 〕,A 〔x 1,y 1〕,B 〔x 2,y 2〕, ············ 1分由22(2),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:〔1+2k 2〕x 2+8k 2x +8k 2-2=0, ··························· 3分 ∴△=64k 4-4〔1+2k 2〕〔8k 2-2〕>0,∴0≤k 2<12 . ························· 4分∵OP =OA +OB ,∴x =x 1+x 2=-22812k k +,y =y 1+y 2=k 〔x 1+x 2+4〕=2412kk +, ············ 5分 消去k 得:x 2+2y 2+4x =0, ···························································· 6分 又x =-2284412k k +-+=-4+2412k +∈(2,0]-,∴点P 的轨迹方程为:x 2+2y 2+4x =0,〔-2<x ≤0〕; ························ 7分 〔2〕|MD ||MA | =12M M x x x +-=12214x x x x ++-························· 9分24······························· 11分∵0≤k 2<12 ,∴|MD ||MA |∈)+∞. ··············································· 13分。
广西钦州市高考数学一模试卷(理科
广西钦州市高考数学一模试卷(理科姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题;共16分)1. (2分)(2017·广安模拟) 已知集合A={x|(x﹣1)2≤3x﹣3,x∈R},B={y|y=3x+2,x∈R},则A∩B=()A . (2,+∞)B . (4,+∞)C . [2,4]D . (2,4]2. (2分)(2020·南昌模拟) 下列命题正确的是()A . “ ”是“ ”的必要不充分条件B . 对于命题:,使得,则:均有C . 若为假命题,则,均为假命题D . 命题“若,则”的否命题为“若,则”3. (2分)已知函数是R上的偶函数,且在区间是单调递增的,若则下列不等式中一定成立的是()A .B .C .D .4. (2分)已知等差数列的前项和为,且,为平面内三点,点为平面外任意一点,若,则()A . 共线B . 不共线C . 共线与否和点的位置有关D . 位置关系不能确定5. (2分) (2017高一下·济南期末) 阅读如图程序框图,若输出结果为0,则①处的执行框内应填的是()A . x=﹣1B . b=0C . x=1D . a=6. (2分)长方体的各个顶点都在表面积为的球O的球面上,其中,则四棱锥的体积为()A .B .C .D . 37. (2分)用数字1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位偶数的个数是()A . 120B . 60C . 50D . 488. (2分) (2017高二下·赣州期末) 定义集合运算:A⊙B={z︳z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为()A . 0B . 6C . 12D . 18二、填空题 (共6题;共6分)9. (1分)(2017·泰州模拟) 已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =1的右焦点,则双曲线的渐近线方程为________.10. (1分) (2018高三上·定州期末) 已知等差数列的前项和为,且,数列的前项和为,且对于任意的,则实数的取值范围为________.11. (1分) (2018高二上·舒兰月考) 在三角形ABC中, 分别是内角A,B,C所对的边,,且满足,若点是三角形ABC外一点,,,,则平面四边形OACB面积的最大值是________.12. (1分)(2018·茂名模拟) 若实数满足约束条件则的所有取值的集合是________.13. (1分)(2014·湖南理) 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是________.14. (1分) (2019高一下·余姚月考) 已知数列的通项公式为,前n项和为,若对任意正整数,不等式恒成立,则实数m的取值范围是________.三、解答题 (共6题;共55分)15. (5分) (2017高一下·安庆期末) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当,求f(x)的值域.16. (5分)(2017·青岛模拟) 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为 3 的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=3,F 是棱 PA上的一个动点,E为PD的中点.(Ⅰ)若 AF=1,求证:CE∥平面 BDF;(Ⅱ)若 AF=2,求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值.17. (10分) (2016高一上·周口期末) 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元,但每生产1百台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此商品的年需求量为5百台,销售的收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x﹣ x2(0≤x≤5),其中x是产品生产的数量(单位:百台).(1)将利润表示为产量的函数;(2)年产量是多少时,企业所得利润最大?18. (10分)(2017·合肥模拟) 已知函数f(x)=(ax﹣1)e2x+x+1(其中e为自然对数的e底数).(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;(2)对∀x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范围.19. (10分) (2017高一下·哈尔滨期末) 已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).若|AB|=,求直线l的倾斜角.20. (15分)(2016·江苏) 记U={1,2,…,100},对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=∅,定义ST=0;若T={t1 , t2 ,…,tk},定义ST= + +…+ .例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66 .现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:ST<ak+1;(3)设C⊆U,D⊆U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD.参考答案一、选择题 (共8题;共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题;共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题;共55分)15-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
广西钦州市数学高三理数第一次模拟考试试卷
广西钦州市数学高三理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2016高二下·丰城期中) 设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=()A . (﹣∞,5]B . [2,+∞)C . (2,5)D . [2,5]2. (2分)(2017·广元模拟) 已知z= ﹣(i是虚数单位).那么复数z的虚部为()A .B . iC . 1D . ﹣13. (2分)(2020·上饶模拟) 已知直线平面,则“直线”是“ ”的()A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. (2分) (2017高三上·襄阳开学考) 已知三棱锥S﹣ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影H 是△SBC的垂心,SA=a,则此三棱锥体积最大值是()A .B .C .D .5. (2分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A . 232B . 252C . 472D . 4846. (2分)已知某种物质每年其质量就减少.设该物质原来的质量为,则过年后,该物质的质量与的函数关系式为()A .B .C .D .7. (2分)已知是外接圆的圆心,、、为的内角,若,则的值为()A . 1B .C .D .8. (2分)(2017·福州模拟) (1+2x)3(1﹣x)4展开式中x项的系数为()A . 10B . ﹣10C . 2D . ﹣29. (2分) (2016高一下·石门期末) △ABC 中,∠A:∠B=1:2,∠ACB的平分线 CD把△ABC 的面积分成 3:2 两部分,则cosA等于()A .B .C .D . 或10. (2分)若函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A .B .C .D .11. (2分) (2016高三上·石嘴山期中) 已知数列{an}满足a1=1,an+1= ,则其前6项之和是()A . 16B . 20C . 33D . 12012. (2分) (2019高三上·广东月考) 已知函数(为自然对数的底数)在上有两个零点,则的范围是()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2017高三上·南通开学考) 若cos(﹣θ)= ,则cos(+θ)﹣sin2(θ﹣)=________.14. (1分)已知P(x,y)满足约束条件,O为坐标原点,A(3,4),则的最大值是________.15. (1分)(2019·鞍山模拟) 三棱锥中,底面满足,,点在底面的射影为的中点,且该三棱锥的体积为,当其外接球的表面积最小时,到底面的距离为________.16. (1分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且(O为坐标原点),则r=________ .三、解答题 (共7题;共60分)17. (5分) (2020高二上·吴起期末) 在△ 中,内角的对边分别为 ,且满足,(1)求角的大小;(2)若三边满足 , ,求△ 的面积.18. (10分)(2017·晋中模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ,且a3=7,S4=24,数列{bn}的前n 项和Tn=n2+an .(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列的前n项和Bn.19. (10分)下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系.20. (5分) (2020高三上·渭南期末) 已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,F1,F2为C的左、右焦点,M为C上任意一点,最大值为1.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.①若 ,且 ,求m的值.②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.21. (10分) (2019高三上·柳州月考) 已知函数 .(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,证明:(其中e为自然对数的底数).22. (10分)已知直线l的参数方程为:(t为参数),曲线C的极坐标方程为:ρ2cos2θ=1.(1)以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程;(2)若求直线,被曲线C截得的弦长为,求m的值.23. (10分) (2018高二下·黑龙江月考) 已知函数, .(1)解不等式;(2)若的定义域为,求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题;共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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钦州市2018届高三第一次质量检测理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1234A =,,,,集合{}3,456B =,,,集合C A B =,则集合C 的子集的个数为( )A .1B .2C .3D .42.已知复数1i z =+,则下列命题中正确的个数为( )①z =1i z =-;③z 的虚部为i ;④z 在复平面上对应点在第一象限.A .1B .2C .3D .4 3.命题[]1,2m ∀∈,则12m x x+≥的否定是( ) A .[]1,2m ∀∈,则12m x x +< B .[]1,2m ∃∈,则12mx x+≥C .()(),12,m ∃∈-∞+∞,则12m x x+≥ D .[]1,2m ∃∈,则12m x x+< 4.已知等差数列{}n a 的公差为2,若1a ,3a ,4a 成等比数列,则41a =( ) A .2 B .0 C .2- D .4-5.若“m a >”是“函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A .23a ≥-B .23a >-C .23a ≤-D .23a <- 6.执行如图所示的程序框图(*N ∈N ),那么输出的p 是( ) A .33N N A ++ B .22N N A ++ C .11N N A ++ D .NN A7.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()22f x x x =-,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A .14-B .12-C .0D .128.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积为( )A .()362cm +π B .()363cm +π C .336cm 2⎛⎫+⎪⎝⎭π D .()3124cm +π9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为( )(结果保留一位小数.参考数据:lg 20.30≈,lg30.48≈)( )A .1.3日B .1.5日C .2.6日D .2.8日10.已知P 是ABC ∆所在平面内一点,且20PB PC PA ++=,现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内,则黄豆落在PBC ∆内的概率是( )A .14 B .13 C .12 D .2311.抛物线24y x =的焦点为F ,点(),P x y 为该抛物线上的动点,点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点,则PFPA的最小值是( ) A .12BCD12.已知定义在R 上的奇函数()f x ,设其导函数为()f x ',当(],0x ∈-∞时,恒有()()xf x f x '<-,令()()F x xf x =,则满足()()21F F x >-的实数x 的取值范围是( )A .()1,3B .()1,2-C .()1,3-D .()2,2-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知41a b +=(a ,b 为正实数),则12a b+的最小值为 . 14.若x ,y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是 .15.现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 . 16.在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数()2sinsin cos sinsin 36f x x x x =-ππ.(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若()14f C =,2a =,且ABC ∆的面积为3,求c 的值.18.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)(1)从这15天的数据中任取一天,求这天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取3天的数据,记ξ表示其中空气质量达到一级的天数,求ξ的分布列;(3)以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况,(一年按360天来计算),则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.19.如图,四棱锥P ABCD -底面为正方形,已知PD ⊥平面ABCD ,PD AD =,点M 、N 分别为线段PA 、BD 的中点.(1)求证:直线MN ∥平面PCD ;(2)求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值.20.已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的长轴长是短轴长的2倍,过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ,B 两点,且AB =(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点()1,0的直线l 交椭圆C 于E ,F 两点,若存在点()01,G y -使EFG ∆为等边三角形,求直线l 的方程. 21.已知函数()ln f x x x =. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)当12x x <,且()()12g x g x =时,证明:122x x +>.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l 的极cos 204⎛⎫--= ⎪⎝⎭πθ,曲线C 的极坐标方程为:2sin cos =ρθθ,将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线1C .(1)求曲线1C 的直角坐标方程;(2)已知直线l 与曲线1C 交于A ,B 两点,点()2,0P ,求PA PB +的值. 23.选修4-5:不等式选讲已知()31f x x x =-++,()1g x x x a a =+-+-. (1)解不等式()6f x ≥;(2)若不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.钦州市2018届高三第一次质量检测理科数学参考答案一、选择题1-5:DCDCD 6-10:CCCCC 11、12:BC 二、填空题13.9+.0 15.189 16.[)8,+∞ 三、解答题 17.解:化简可得:()21cos sin 2f x x x x =-=11112cos 2sin 2444264x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭π. (1)由222262k x k -+≤+≤+πππππ,k ∈Z .得:36k x k -+≤≤+ππππ.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ππππ,k ∈Z .(2)∵()14f C =,即111sin 22644C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭π.∴sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π. 可得2262C k +=+πππ,k ∈Z .∵0C <<π, ∴6C =π.由2a =,且ABC ∆的面积为3,即1sin 32S ab C ==. ∴23b =.由余弦定理可得:234124234c ++-⨯⨯=. ∴2c =.18.解:(1)记“从这15天的数据中任取一天,这天空气质量达到一级”为事件A , 则()51153P A ==; (2)依据条件,ξ服从超几何分布,其中15N =,5M =,3n =,ξ的可能值为0,1,2,3,其分布列为:()351015k kkC C P k C -⋅==ξ,其中0,1,2,3k =;(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==. 一年中空气质量达到一级的天数为η,则1360,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭η;∴13601203E =⨯=η(天). ∴一年中平均120天的空气质量达到一级.19.解:(1)证明:由底面ABCD 为正方形,连接AC ,且AC 与BD 交于点N 因为M 、N 分别为线段PA 、BD 的中点,可得MN PC ∥,MN ⊄平面PCD ,PC ⊂平面PCD ,则直线MN ∥平面PCD .(2)由于DA DC DP ⊥⊥,以DA ,DC ,DP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设()1,0,0A ,则()1,1,0B ,()0,1,0C ,()0,0,1P ,11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则()1,1,1PB =-.设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =.所以1102211022x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩.令1x =,所以1y z ==.所以平面AMN 的法向量为()1,1,1m =. 则向量PB 与m 的夹角为θ,则1cos 3=θ. 则PB 与平面AMN 22. 20.解:(1)由椭圆的长轴长是短轴长的2倍,所以24a b =,①由椭圆的通径222b AB a==,② 解得:22a =2b =∴椭圆的标准方程:22182x y +=. (2)设直线l :1x ty =+,()11,E x y ,()22,F x y . 易知:0t =时,不满足,故0t ≠,则221182x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得:()224270t y ty ++-=,显然()2242840t t ∆=++>,∴12224t y y t +=-+,12274y y t =-+, 于是()12122824x x t y y t +=++=+.故EF 的中点224,44t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭. 由EFG ∆为等边三角形, 则GE GF =.连接GD 则1GD EF k k ⋅=-,即02241414ty t t ++=---+,整理得0234t y t t =++, 则231,4t G t t ⎛⎫-+⎪+⎝⎭, 由EFG ∆为等边三角形,则32GD =,2234GD EF =. ∴()2222244311444t t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22227444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.整理得:()2222242484144t t t +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭+,即()2222228248444t t t t ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+,解得:210t =,则t = ∴直线l的方程1x =+,即)110y x =±-. 21.解:(1)()f x 的定义域为()0,+∞, 令()1ln 0f x x '=+=,得1x e=. 当1x e >时,()0f x '>,()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增; 当10x e <<时,()0f x '<,()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ∴()f x 单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)证明:因为()ln f x x x =, 故()()11ln f x g x x x x+==+,(0x >). 由()()12g x g x =(12x x <), 得121211ln ln x x x x +=+,即212121ln 0x x x x x x -=>. 要证122x x +>,需证()212121212ln x x xx x x x x -+⋅>, 即证2121212ln x x xx x x ->. 设21x t x =(1t >),则要证12ln t t t->(1t >). 令()12ln h t t t t=--.则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭.∴()h t 在()1,+∞上单调递增,则()()10h t h >=.即12ln t t t->.故122x x +>.22.解:(1)曲线C 的极坐标方程为:2sin cos =ρθθ,即22sin cos =ρθρθ,化为直角坐标方程:2y x =.将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线1C :()221y x =-. (2)直线lcos 204⎛⎫--= ⎪⎝⎭πθ,()cos sin 202+-=ρθθ. 可得直角坐标方程:20x y +-=.可得参数方程:22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数). 代入曲线1C的直角坐标方程可得:240t +-=.解得12t t +=-124t t ⋅=-. ∴12PA PB t t +=-===23.解:(1)当3x ≥时,226x -≥解得4x ≥.当13x -<<时,46≥无解,当1x ≤-时,226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{2x x ≤-或}4x ≥. (2)由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立.∴3x x a a -++≥-恒成立. 又33x x a x x a -++≥---=33a a --=+. ∴3a a +≥-,解得32a ≥-. ∴32a ≥-时,不等式()()f x g x ≥恒成立.。