03 第三节 极限的概念
第三节函数的极限
数列极限：
相当于
即数列的极限问题其实可以看作是正整数自变量在无 限增大的运动过程中，函数的变化趋势。 函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中，如果 对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确 定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。
一、 自变量 x x0 时函数的极限
如何刻画 x x0 ?
即 x0 的去心 邻域， 是个较小的正数。
如何刻画对应函数值的变化？ 要有对应函数值，就要先使函数在 x0 的去心 邻域 内有定义，而函数在 x0 有无定义则无要求。 如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数 A ？
1. 自变量 x x0 时函数的极限定义
设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义。如果存 在常数 A ，对任意给定的正数 （无论它有多小），总 存在正数 ，使得当 x 满足 0 < | xx0 | < 时，对应的 函数值都有 | f (x) A |< ，则称 A 为函数 f (x) 当x x0 时的极限, 记作 或 几何解释:
有时找到使不等式| f (x) －A | < 成立的几个正数 ，
再取其最小者作为证明部分需要的 . 而证明部分的
思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。找到 ，
意味着满足定义条件的正数 存在，这就完成了证明。
2. 左极限与右极限（单侧极限） 左极限 :
右极限 : 易见，
x x0
其中 X 是个较大的数。 如何刻画对应函数值 f (x)的变化？ 要有对应函数值，首先要使函数在| x | > X 内有定义。
如何刻画对应的函数值 f (x) 无限接近于某个常数 A ？
1.
自变量 x 时函数的极限定义
极限的概念与计算
极限的概念与计算极限是微积分中的重要概念之一，它使我们能够准确描述和计算函数在某个点附近的行为。
通过研究函数的极限，我们可以更好地理解函数的特性，并应用于实际问题的求解中。
本文将会详细介绍极限的概念以及常用的计算方法。
一、极限的概念极限是数学分析中用于描述函数在某个点的邻域内的行为的概念。
如果函数f(x)在x趋近于a的过程中，无论a的左右两侧取值多么接近，但f(x)都逐渐趋近于一个确定的值L，那么我们称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x) = L。
在极限的定义中，我们可以看到两个重要的要素：点a和趋近。
点a表示我们要研究的是函数在这个点的邻域内的行为，而趋近表示我们关注的是函数在这个点附近的值的变化情况。
二、极限的计算方法为了计算函数的极限，我们常用以下几种方法：1. 代入法：当函数在某一点处有定义并且不会发生除数为零的情况时，我们可以直接通过代入该点的值来计算极限。
2. 分式法则：对于两个函数相除，若极限的分子和分母都存在有限极限，且分母的极限不为零，则它们的极限等于分子的极限除以分母的极限。
3. 基本初等函数的极限：对于常见的基本初等函数，我们可以利用它们的性质来计算极限，如指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 极限的运算法则：极限具有一些运算法则，如加减乘除法则、乘方法则、复合函数法则等，我们可以根据这些法则来简化极限的计算过程。
5. L'Hospital法则：当我们遇到形如0/0或∞/∞的不定型极限时，可以利用L'Hospital法则将其转化为形式相同但更容易计算的极限。
以上是常用的极限计算方法，需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。
三、极限的应用极限在各个科学领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 导数的定义和计算：导数是极限的一种特殊形式，在微积分中广泛应用于研究函数的变化率、切线斜率等问题。
2. 无穷小量的概念：无穷小量的引入是为了更准确地描述极限的性质。
极限的概念解释
极限的概念解释极限是数学中的一个重要概念，用于描述函数在逼近某个值时的行为。
在数学分析中，极限可以通过严格的定义和符号来描述，也可以通过直观的图像和例子来理解。
本文将详细解释极限的概念，从简单的定义开始，逐步深入，以便读者全面理解和掌握。
在数学中，极限是指当一个变量趋近于某个确定值时，函数的值逐步接近这个确定值的过程。
通常，我们将自变量无限接近某个值时对应的函数值称为极限。
函数的极限可以是无穷大、有限或不存在，取决于函数在逼近过程中的性质。
数学家用严格的定义来描述极限的概念。
设函数f(x)定义在某个区间内，x趋近于某个数a时，如果对于任意给定的大于零的数ε，总存在另一个大于零的数δ，当0 < x - a < δ时，则有f(x) - L < ε成立。
其中L为一个常数，称为极限。
这个定义表明，当自变量x无限接近a时，函数值f(x)无限接近L。
为了更直观地理解极限，我们可以借助图像和例子。
考虑函数f(x) = 1/x，其中x不等于0。
当x越来越接近0时，1/x 的值趋近正无穷或负无穷。
我们可以画出这个函数的图像，可以看到当x接近0时，函数的值变得越来越大（正无穷）或越来越小（负无穷）。
这就是函数f(x) = 1/x 在x趋近于0时的极限。
极限还可以是有限值。
考虑函数f(x) = x^2 - 1，当x趋近于2时，函数的极限是3。
我们可以绘制出这个函数的图像，可以看到函数值在x=2附近逐步接近于3。
这就是函数f(x) = x^2 - 1在x趋近于2时的极限。
另一种情况是函数的极限不存在。
考虑函数f(x) = sin(1/x)，其中x不等于0。
当x趋近于0时，函数值在不断振荡，没有明确的趋势。
无论我们如何接近0，函数值都不会趋近于一个确定的值。
因此，这个函数在x趋近于0时极限不存在。
为了更精确地计算和处理极限，数学家还引入了一些重要的极限性质和运算法则。
这些性质和法则提供了一些简化计算的方法。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
函数的极限
恒有
则称 A 为f(x) 当 x 时的极限。 记作 lim f(x) ＝A 或 f(x) A （x ）
x
y
例如
1 lim 0 x x
证明
1 y x
o
x
1 证明： lim 0. x x
证:
1 1 0 x x
即 就有
故 0 , 欲使 取X
1
,
因此
注:
1 y 0 为 y 的水平渐近线 . x
返回
sin x 例 1 证明 lim ＝0 . x ＋ x 证： 0 ，欲使
sin x 1 sin x 0 x x x 1 1 只要 x 2 ， 故可取 X 2 ，当 x X 时 sin x 恒有 0 x sin x lim ＝0 成立# x ＋ x
发 散
1 , 2 , , n ,
＋ （n ）
n 1
1 , - 1 , 1 , - 1 , , - 1
,
数列极限的定义：
若数列
及常数 a 有下列关系 :
0 , 正数 N , 当 n > N 时, 总有 xn a
则称该数列
n
x x0
对上述 , 0，当 0 x x0 时，
即 x U ( x0 , ) ，恒有
o
f ( x) A
即 0 A f ( x) A
即 f ( x ) 0 成立。
类似可证 A 0 的情形，同学们不妨试 一试。
返回
x 1 例 2 当 x 时， y＝ 2 1 ，问X如何取值， x 3 可使 x＞X 时恒有 y - 1＜0.01 ？
极限的概念及性质
极限的概念及性质极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。
本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。
正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。
2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。
3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。
4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。
三、极限的应用极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 微积分微积分是极限的重要应用领域之一。
通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。
微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
2. 物理学在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。
例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。
3. 统计学在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。
中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。
4. 工程学在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。
例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。
函数极限的定义
第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在 点 处没有定义，但当 不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数 在点 的某个去心邻域 内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数 ，就说当时函数的极限为 ，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义 （ 语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 只要当 满足 时 ，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如 设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。
第三节函数极限的定义
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完 落在以 yA 直 为线 中,宽 心2为 线 的带形 . 区域
例2 证l明 im ax0(a1). x
证 这 里 f(x ) A a x 0 a x (x0)
这 里 f(x)Asinx0sinx 1
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xx
要 使 f(x)A, 只 要 1 , 即 | x | 1 ,
|x |
0, 取X10, 则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
4. 水平渐近线 (horizontal asymptote)
如果 lim f(x)c或limf(x)c,则称y直 c是 线
则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 . 记 li f ( x m 为 ) A , 或 f ( x ) 者 A ( x ) .
x
"X"定义
limf(x)A
x+
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 |f ( x ) A 有 | .
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完全 落在以 yA 直 为线 中,心 宽2线 为 的带形 . 区域
5 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 . 6 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 .
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x 时的变.化趋 x
播放
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 six 时 n无限接 0. 近
极限的概念和计算方法
极限的概念和计算方法极限是微积分中的核心概念之一，它可以描述一个函数在某一点附近的行为特征。
本文将介绍极限的基本概念，并探讨一些常见的计算方法。
一、极限的概念在数学中，极限可以理解为一个函数在某一点趋于某个值（通常为无穷大或无穷小）。
为了准确定义极限，我们引入以下定义：设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这个定义可以形象地理解为：当自变量x足够靠近a时，函数f(x)的取值趋近于L。
二、极限的计算方法1. 代入法最简单的计算极限的方法就是利用代入法。
当函数在某一点a的确有定义时，我们可以直接将a带入表达式中计算函数的值。
例如，要计算函数f(x)=2x^2+3x-1在x=2处的极限，我们可以代入x=2，得到：f(2) = 2(2)^2 +3(2)-1 = 15因此，lim(x→2) f(x) = 15。
2. 分解因式法有时候我们可以通过分解因式的方法来简化极限的计算。
例如，要计算函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)，我们可以将分子因式分解得到：f(x) = (x+2)(x-2)/(x-2)若x≠2，则可以化简为：f(x) = (x+2)因此，lim(x→2) f(x) = 4。
3. 极限的性质极限满足一些基本的性质，利用这些性质可以简化计算过程。
以下是一些常见的性质：a) 常数性质：lim(x→a) c = c，其中c为常数。
b) 乘法性质：lim(x→a) cf(x) = c·lim(x→a) f(x)，其中c为常数。
c) 和差性质：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a)g(x)。
d) 乘积性质：lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a)g(x)。
极限的基本概念及判定方法
极限的基本概念及判定方法极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点的趋势和变化。
本文将介绍极限的基本概念以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、什么是极限？在数学中，极限是一种数列或函数逐渐趋近于某个确定值的性质。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值也逐渐接近于一个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。
考虑一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，如果存在一个确定的常数L，使得对任意给定的正数ε（无论多么小），总存在着另一个正数δ，只要自变量x满足0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L二、函数极限的判定方法1. 函数极限是否存在的判定方法函数极限存在的判定方法主要有以下三种情况：- 左极限等于右极限。
即lim(x→a^(-)) f(x) = lim(x→a^(+)) f(x)- 左极限等于函数值。
即lim(x→a^(-)) f(x) = f(a)- 右极限等于函数值。
即lim(x→a^(+)) f(x) = f(a)2. 函数的无穷大极限判定方法若函数f(x)当x趋于无穷大时趋于无穷大，记作lim(x→∞) f(x) = +∞；而当x趋于无穷小时趋于无穷大，记作lim(x→0) f(x) = +∞。
3. 函数的等价无穷小极限判定方法如果在x趋于某一点a的过程中，函数f(x)与g(x)之间存在一个关系，使得lim(x→a) g(x) = 0，则称函数f(x)是g(x)的一个等价无穷小。
三、极限的运算性质极限具有一些基本的运算性质，以下是常见的运算性质：1. 两个函数极限的和等于函数的和的极限。
即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. 两个函数极限的差等于函数的差的极限。
高三数学函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 y f ( x ) 的极限是a，
记作 limf (x) a x
也就是说：当 lim f ( x ) = lim f ( x ) =a时，才
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。 再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？ 常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料，根据要求作文。
人生，而以怎样的态度，持怎样的价值观，就是一个不可回避的问题。对于两种心态、行为、价值观，拟题者并未厚此薄彼，学生亦无需定势思维，完全可以从自己的生活体验出发，以自己的人生判断为尺度，真诚地表达自己要说的话，风行水上，自然成文，就是好文章。 作文题三十
四 阅读下面的材料，根据要求作文。 我们周围很多古代遗址都得到了保护和修缮，电视上几个戏曲节目备受欢迎，书市上古代文化类的图书也在悄悄升温，在重大的节日里很多人都穿起了唐装……传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。就连2008年将在举行的奥运盛会，也提出
极限的基本概念
极限的基本概念在数学中，极限是一个基本概念，它在微积分以及其他许多数学领域中扮演着重要的角色。
极限使我们能够研究函数的性质和行为，并解决实际问题。
本文将介绍极限的基本概念及其应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的值的趋势。
常用的极限符号是lim。
具体来说，对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个实数c时，如果函数f(x)的值无限接近于一个常数L，我们就将L称为函数f(x)在x趋于c时的极限。
用符号表示为：lim (x→c) f(x) = L其中，lim表示极限，x→c表示x趋向于c，f(x)表示函数f关于x的取值，L表示极限的值。
二、极限的性质极限有一些基本的性质，我们可以利用这些性质来求解极限。
1. 极限的唯一性定理：如果函数f(x)在x趋于c时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 极限的四则运算法则：- 两个函数的极限之和等于极限的和：lim (x→c) [f(x) + g(x)] = lim (x→c) f(x) + lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之差等于极限的差：lim (x→c) [f(x) - g(x)] = lim (x→c) f(x) - lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之积等于极限的积：lim (x→c) [f(x) * g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之商等于极限的商（假设除数不为0）：lim(x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x)3. 极限的复合运算法则：如果g(x)在x趋于c时的极限存在且lim (x→c) g(x) = L，而f(x)在x趋于L时的极限存在，则复合函数f(g(x))在x趋于c时的极限也存在，且lim (x→c) f(g(x)) = lim (x→L) f(x)。
三、极限的应用极限在微积分中具有广泛的应用。
极限的理解高等数学
极限的理解高等数学
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度
计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。
此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。
是由无限多个有限值组成的，并且在收敛的条件下，存在着有限的极限值。
这说明了无限包含着有限，并且在一定条件下，可以向有限转化；另一方面，有限又包含着无限，在一定条件下，可以转化为无限，并通过无限表现自身。
这一点在函数f（x）的级数展开式中得到充分体现。
高三数学函数的极限
( D )
x lim 10 0 B. x
1 x C. lim ( ) 0 x 2
D. lim 2 x 0
x
例1（优化Ｐ206）例１求下列各极限
4 1 (1) lim( 2 ) x2 x 4 x2 (2) lim( ( x a)( x b) x)
0
x x 0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a 。 的右极限，记作 xlim x
0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 lim f ( x) C .
x x0
注意： （1）lim f ( x ) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
f(x) lim x
=a时，才
函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 lim f ( x) a 或当x→x0时 x x f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 lim f ( x) a。
第三节 函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函 数
y f(x)
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 记作
y f(x)
的极限是a，
极限的概念和计算
极限的概念和计算极限是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某个自变量趋近于某一点时的行为。
在数学中，我们常常用极限的概念来研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍极限的概念和基本计算方法。
一、极限的定义在数学中，我们通常用函数的极限来描述自变量趋近于某一点时函数的变化情况。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，那么我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时极限为L，记作limx→a f(x) = L。
二、极限的计算方法1. 通过代入法对于一些简单的函数，我们可以通过代入法来计算其极限。
例如，对于常数函数f(x) = c（c为常数），无论x取什么值，f(x)始终等于c，因此其极限即为c，即limx→a c = c。
2. 利用基本性质极限具有一些基本性质，我们可以利用这些性质来计算更复杂的极限。
例如，（1）函数与常数的乘积：limx→a (cf(x)) = c·limx→a f(x)；（2）函数与函数的和差：limx→a (f(x) ± g(x)) = limx→a f(x) ±limx→a g(x)；（3）函数与函数的乘积：limx→a (f(x)g(x)) = limx→a f(x) · limx→ag(x)；（4）函数与函数的商：limx→a (f(x)/g(x)) = limx→a f(x) / limx→ag(x)（前提是g(a) ≠ 0）。
3. 利用特殊函数的极限对于一些特殊函数，我们可以通过一些特殊技巧来计算它们的极限。
例如，（1）指数函数：limx→∞ e^x = ∞；（2）对数函数：limx→0+ ln(x) = -∞；（3）三角函数：limx→0 sin(x) / x = 1。
三、极限的应用1. 函数的连续性极限在研究函数的连续性时起到重要作用。
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第三节 极限的概念
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.
极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.
分布图示
★ 极限概念的引入
★ 数列的极限 ★ 例1 ★ 例2 ★ 数列的极限的引入
★ 自变量趋向无穷大时函数的极限
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 自变量趋向有限值时函数的极限 ★ 例6 ★ 函数的左极限与右极限 ★ 例7 ★ 例8 ★ 极限的性质
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-3
内容要点
一、数列的定义
二、数列的极限
N -ε论证法，其论证步骤为：
（1）对于任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ； （2）由上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ； （3）取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论. 三、数列的极限的引入
四、自变量趋向无穷大时函数的极限 五、自变量趋向有限值时函数的极限
六、函数的左极限与右极限
例题选讲
数列的极限
例1 (E01) 下列各数列是否收敛，若收敛, 试指出其收敛于何值.
(1) };2{n (2);1⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n (3)};)1{(1+-n (4).1⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-n n 解 (1)数列}2{n 即为
,2,,8,4,2n
易见, 当n 无限增大时, n 2也无限增大, 故该数列是发散的; (2)数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n 1即为
,1
,,31,21,
1n
易见, 当n 无限增大时, n
1
无限接近于0, 故该数列收敛于0;
(3)数列})1{(1+-n 即为
,)1(,,1,1,1,11+---n
易见, 当n 无限增大时, })1{(1+-n 无休止地反复取1、-1两个数, 而不会无限接近于任何一个确定的常数, 故该数列是发散的;
(4)数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-n n 1即为 ,1,,43,32,21,
0n n - 易见, 当n 无限增大时, n
n 1
-无限接近于1, 故该数列收敛于1.
例2 (E02) 证明.1)
1(lim
1
=-+-∞
→n
n n n
证 由n
n
n x n n 11)
1(|1|1
=
--+=
--，故对任给,0>ε要使,|1|ε<-n x 只要
,
1ε<n
即.1
ε>
n 所以，若取,1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
εN 则当N n >时，就有
.1)
1(1
ε<--+-n
n n
即 .1)
1(lim
1
=-+-∞
→n
n n n
例3 (E03) 求极限.11lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
∞
→x x . 解 因为当x 的绝对值无限增大是时, x
1无限接近于0,即函数x
11+
无限接近于常数
1, 所以
.111lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛+
∞
→x x
例4 (E04) 讨论极限 x x sin lim ∞
→.
解 观察函数y sin =的图形(如图)易见:
当自变量x 的绝对值||x 无限增大时，对应的函数值y 在区间]1,1[-上震荡, 不能无限接近于任何常数.
所以极限x x sin lim ∞
→不存在.
例5 (E05) 讨论极限.arctan lim ,arctan lim ,arctan lim x x x n n n ∞
→+∞
→-∞
→及
解 当,时-∞→x 对应的函数值y 无限接近于常数;2
π
-,时+∞→x 对应的函数
值y 无限接近于常数
.2π
所以极限.2
arctan lim ,
2
arctan lim π
π
=
-
=+∞
→-∞
→x x x x
由于,arctan lim arctan lim x x n n +∞
→-∞
→≠ 所以极限x x arctan lim ∞
→不存在.
例6 (E06) 试根据定义说明下列结论:
(1);lim 00
x x x x =→ (2)).(lim 0
为常数C C C x x =→
解 (1) 当自变量x 趋于0x 时, 显然, 函数x y =也趋于0x , 故 ;lim 00
x x x x =→
(2) 当自变量x 趋于0x 时, 函数C y =始终取相同的值,C 故 .lim 0
C C x x =→
例7 (E07) 设,0
,
10
,)(⎩⎨⎧<+-≥=x x x x x f 求 )(lim 0
x f x →.
解 因为
)(lim 0
x f x -
→)1(lim 0
+-=-
→x x ,1=)(lim 0
x f x +
→x x +
→=0
lim .0=
即有
)(lim 0
x f x -
→≠),(lim 0
x f x +→所以)(lim 0
x f x →不存在.
例8 设⎩⎨
⎧≥+≤-=,0
,10,1)(2
x x x x x f 求)(lim 0
x f x →.
解 0=x 是函数的分段点，如图. 两个单侧极限为
.1)1(lim )(lim ),1(lim )(lim 2
=+=-=+
+
-
-
→→→→x f x f x f x f x x x x
左右极限存在且相等, 故.1)(lim 0
=→x f x
.
数列极限的唯一性，
.
课堂练习
1. 判别下列极限是否存在, 如果存在, 求出其值. (1);2
lim /10
x
x → (2)x
x e
/1lim ∞
→; (3)2
/10
lim x
x e -→.
2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =. 问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.。