2016年秋九年级数学上册 思想方法专题 矩形中的折叠问题习题课件
矩形的折叠专题复习ppt
.
A
B′
D
B
E
C
矩形ABCD中AD=a,AB=b,把它沿EF对折分成两个全等
的矩形且与原矩形都相似，那么 a =
.
b
A
E
D
B
F
C
矩形ABCD中AD=a,AB=b,把它沿EF对折分成两个全
等的矩形且与原矩形都相似，那么 a =
.
b
如果把矩形ABCD对折两次后，分成的矩形与原矩
形相似，那么 a =
.
候课：（小组合作完成）
1. 思考并操作： 给你一张矩形纸片，你想怎样折叠？
2. 用你所学的数学知识和你折叠好的 图形，你能编一个题吗？
第一篇章
A
B′
D
C
B
E
C′
A
E
D
B
C
A′
E
D
A
B
F
C
A
F
D
E
B
C
如图,将矩形ABCD沿BE折叠,使C 落在AD 边的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G， 连接CG．
求证:四边形EFGC是菱形；
A
FDE GBC．如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠， 使点D落在边AB上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕 MN的长为 ．
第二篇章
A
B′
D
B
E
C
如图，把矩形ABCD沿AE折叠，使点B落
到AD边上的点 B′处，AB=1，如果矩形
B′ ECD∽矩形ABCD，EC的长度为
b
如 与果原把矩矩 形形 相似AB，CD那对么折三ba 次= 后，分成. 的矩形
如果对折n次呢？
《矩形中的折叠问题》公开课教学PPT课件(终稿)
例2:(2011·四川宜宾)如图,矩形纸片
D ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角
线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,
则AB的长为( D )
C A.3
B.4
C.5
D.6
变式拓展 A
初三数学专题复习
DA
F DA
F
D F
B
E
C B 图① E C B
EB B' 图3
互动探究二
初三数学专题复习
DF
A
E
矩形ABCD中，AD=5，AB=3.若点E、C 图4 A' B
F分别是边AB、AD上的点，将△AEF沿 D
F
A
EF对折，使A点的对应点A'落在边BC上.
观察图形，回答下列问题：
（1）如图2，BA'= 3 。 5 （2）如图5，BA'= 1 ，AE= 3 。
；
。C A'
EB B'
互动探究一
初三数学专题复习
D
F
A
若矩形ABCD中，AD=5，AB=3.
（1）如图2，BA'= 3 。
C D
A' 图1 F
E B'
B A
（2）如图3，BA'= 5 . C
（3）设BA'=m,当m的取值范围是
D
3≤m≤5 时，四边形AEA'F是菱形。
A'图2 B(E)
F
A
(A') C
E 图② C
如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连
接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B落在点F处,当△CEF直角三
思想方法专题矩形中的折叠问题
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一矩形折叠问题中直接求长度或角度1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝_______°.第1题图第2题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF 折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为______cm.◆类型二矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度3．如图，点O是矩形ABCD 的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A．2 3 B.323 C. 3 D．6第3题图第4题图4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝55cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为__________cm.◆类型三矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y 轴于D点，则D点的坐标为_________．第5题图第6题图6．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为______．7．★如图①，将矩形ABCD 沿DE折叠，使顶点A落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B 恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD 和AB的长．思想方法专题：矩形中的折叠问题答案 1．65 2.6 23．A 解析：由题意可得∠OCE ＝∠BCE ，∠COE ＝∠B ＝90°.又∵OA ＝OC ，∴OE 垂直平分AC ，∴EA ＝EC ，∴∠CAE ＝∠OCE .∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠CAE .∴∠BCE ＝∠OCE ＝∠ACD ＝30°，∴BE ＝12CE .在Rt△BCE 中，CE 2－BE 2＝BC 2，即CE2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12CE 2＝32，∴CE ＝2 3.故选A.4．36 解析：设EC ＝3x cm ，FC ＝4x cm ，则DE ＝EF ＝5x cm ，∴AB ＝DC ＝8x cm.又∵BF ∶AB ＝3∶4，∴BF ＝6x cm ，∴AD ＝BC ＝10x cm.在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，即(10x )2＋(5x )2＝(55)2，解得x ＝1(取正值)．∴AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，∴矩形ABCD 的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．5．(0，2.1) 解析：∵矩形OABC 中，OA ＝2，AB ＝5，∴BC ＝2，OC ＝5.∵把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ′C ，∴B ′C＝BC ，∠B ′＝∠B ＝90°，∴AO ＝CB ′，∠AOD ＝∠B ′.又∵∠ADO ＝∠CDB ′，∴△AOD ≌△CB ′D ，∴AD ＝CD .设OD ＝x ，则AD ＝CD ＝5－x .在Rt △AOD 中，AD 2＝OA 2＋OD 2，∴(5－x )2＝22＋x 2，∴x ＝2.1.∴D 点的坐标为(0，2.1)．6.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2452＝185. 7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，AD ＝BC .由折叠的性质可得∠ADE ＝∠A ′DE ＝12∠ADC ＝45°，AE ＝EG ，BC ＝CH ，∴∠AED ＝90°－∠ADE ＝45°＝∠ADE ，∴AE ＝AD ＝BC ，∴EG ＝CH ；(2)解：由折叠的性质可得∠FGE ＝∠A ＝90°，GF ＝AF ＝2.由(1)可知∠ADE ＝45°，∴∠DFG ＝90°－∠ADE ＝45°＝∠ADE ，∴DG ＝GF ＝2，∴DF ＝DG 2＋FG 2＝2，∴AD ＝AF＋DF ＝2＋2.由折叠的性质可知∠AEF ＝∠GEF ，∠BEC ＝∠HEC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90°.又∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠BEC ＝∠AFE .由(1)可知AE ＝AD ＝BC .在△AEF 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCE (AAS)，∴AF ＝BE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝22＋2. 构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
九年级数学上册思想方法专题矩形中的折叠问题(新版)北师大版
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一矩形折叠问题中直接求长度或角度1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝_______°.第1题图第2题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为______cm.◆类型二矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度3．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A．2 3 B.323 C. 3 D．6第3题图第4题图4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝55cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为__________cm.◆类型三矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为_________．第5题图第6题图6．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为______．7．★如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．思想方法专题：矩形中的折叠问题答案1．65 2.6 23．A 解析：由题意可得∠OCE＝∠BCE，∠COE＝∠B＝90°.又∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠CAE＝∠OCE.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAE.∴∠BCE＝∠OCE＝∠ACD＝30°，∴BE＝1 2CE.在Rt△BCE中，CE2－BE2＝BC2，即CE2－⎝⎛⎭⎪⎫12CE2＝32，∴CE＝2 3.故选A.4．36 解析：设EC＝3x cm，FC＝4x cm，则DE＝EF＝5x cm，∴AB＝DC＝8x cm.又∵BF∶AB＝3∶4，∴BF＝6x cm，∴AD＝BC＝10x cm.在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，即(10x)2＋(5x)2＝(55)2，解得x＝1(取正值)．∴AB＝8cm，AD＝10cm，∴矩形ABCD的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．5．(0，2.1) 解析：∵矩形OABC中，OA＝2，AB＝5，∴BC＝2，OC＝5.∵把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，∴B′C＝BC，∠B′＝∠B＝90°，∴AO＝CB′，∠AOD＝∠B′.又∵∠ADO＝∠CDB′，∴△AOD≌△CB′D，∴AD＝CD.设OD＝x，则AD＝CD＝5－x.在Rt△AOD中，AD2＝OA2＋OD2，∴(5－x)2＝22＋x2，∴x＝2.1.∴D点的坐标为(0，2.1)．6.185解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝12BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝AB2＋BE2＝5.∵S△ABE＝12AB·BE＝12AE·BH，∴BH＝125，则BF＝2BH＝245.∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠ECF＝∠EFC.又∵∠EBF＋∠BFE＋∠EFC＋∠ECF＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，即∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝BC2－BF2＝62－⎝⎛⎭⎪⎫2452＝185.7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC.由折叠的性质可得∠ADE＝∠A′DE＝12∠ADC＝45°，AE＝EG，BC＝CH，∴∠AED＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，∴AE＝AD＝BC，∴EG＝CH；(2)解：由折叠的性质可得∠FGE＝∠A＝90°，GF＝AF＝ 2.由(1)可知∠ADE＝45°，∴∠DFG＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，∴DG＝GF＝2，∴DF＝DG2＋FG2＝2，∴AD＝AF＋DF＝2＋2.由折叠的性质可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.由(1)可知AE＝AD＝BC.在△AEF与△BCE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠BEC，∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝22＋2.。
常见的与矩形有关的折叠问题课件
分类讨论想满分
规范画图很关键
矩形折叠脱口秀
A
D
E
遇折叠，找折痕
折痕带你找对称
点对点，线对线
对应相等来牵线
辅助线，构直角
用勾股，求大小
遇难题，找本源
基本图形来救援
B
C
F
双折叠模型
A
D
P
F
B
A
C
E
双角平分线模型
D
x
P
y
B
x
y
F
E
C
例5
如图,在矩形ABCD中, AB=8，BC=6，点P、E分别是边AB、BC上的动点，连接DP、PE.将△ADP
与△ BPE分别沿DP与PE 折叠,点A与点B 分别落在 ′ 与′ 处 .
（1）当点P 运动到AB 的中点处时,点 ′ 与′ 重合于点F 处,过点C 作 ⊥ 于点K,求CK 的长.
36cm
B
36 3cm
48cm
C
E
A
，矩形ABCD 的面积是（B ）
D
3.
含30 的Rt△
D
B
C
F
A'
1. 矩形面积公式及AD=12
平角定义
B'
4 3cm
【思路分析】
2. 折叠性质
A'
∠AEF = ∠′ EF = 120
∠AE ′ = 180
′ ′ E
求′ ′ =？（折叠性质）
关键：求AB=CD=？
（6+x）2＝（6﹣x）2+82，
解得：x＝
∴ BE＝EF＝
，DE＝
，EC＝
∵S△DCE＝ •DC•CE＝ • DE • CK，
初三数学中考专题复习课件：矩形中的折叠问题
实际应用和拓展
矩形中的折叠问题在生 活中的应用
我们将探索矩形中的折叠问 题在实际生活中的应用场景， 例如纸艺折纸。
探索更复杂的折叠问题
我们将挑战和探索更复杂的 矩形中的折叠问题，提升解 题能如何将所学的解 题方法和策略应用于其他几 何形的折叠问题。
初三数学中考专题复习课 件：矩形中的折叠问题
通过本课件，我们将深入研究矩形中的折叠问题，探索其基本概念、解题方 法和实际应用，为中考备考提供全面指导。
问题的引入
在这一部分，我们将了解矩形中的折叠问题的定义，并探讨为什么我们需要学习和掌握这个问题。
基本概念和定义
折叠问题
矩形中的折叠问题是指如何将一个矩形纸张通过折叠变换成其他形状的问题。
术语和概念
我们将学习和理解与矩形中的折叠问题相关的基本术语和概念。
解题方法和策略
1
理解题目要求和条件
准确理解题目中给出的要求和条件是解决矩形中的折叠问题的第一步。
2
演算法解决问题
我们将学习和使用特定的演算法来解决各种类型的矩形中的折叠问题。
3
实例演练和练习题解析
通过实例演练和练习题的解析，我们将巩固和应用所学的解题方法和策略。
初三数学中考专题复习课件：矩形中的折叠问题
是 1≤ A’B≤3 .
C
B (E)
A' 图1
D (F)
A
E
C
B
图5 A'
中考改编
在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， OA=4，OC=2， 点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点 B1是点B关于PQ的对称点。
(1) 如图1，①求点B的坐标；
初三数学专题复习——
矩形中的折叠问题
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
D
A
C
B
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
B'
合作探究二
F
D
A
矩形ABCD中，AD=5，AB=3，
若点E，点F分别是边AB，边AD
上的点，将⊿AEF沿EF对折，使
C
点A落在边BC上，记为A′．观察
图形，请回答下列问题：
D
E
B
图4 A'
F
A
（1）如图1，BA’ = 3 .
（2）如图5，BA’ = 1 ，
5
AE= 3
.
（3）如图4，A’B的范围
D
F
A
C A'
EB B'
合作探究一
若矩形ABCD中，AD=5，AB=3.
（1）如图2， BA’= 3 。
（2）如图3， BA’= 5 。
（3）设BA’=x，当x的取值范围
初中数学北师大版九上总复习矩形中的折叠问题部优课件
☞透过现象看本质:
A
A
D
折 E叠
实质
轴 对 称F
D
B
FC
E
轴对称性质：
由折叠可得： 1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的 垂直平分线
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
二、应用举例
例1 如图，将矩形ABCD沿AE折叠后，使点B恰
好落在对角线AC上．
(1)若∠B′EC=60°,求∠BAE；
(2)若AB=6，BC=8，求BE的长.
A
D
B′
B
E
C
变式一：
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，把矩形
纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，
EC与AD相交于点F.
北师大版数学九年级上册微专题复习
授课教师 ：大田县第六中学 刘玉娟 指导教师：大田县教师进修学校 林再生
一、探究本质 动手操作：折一折
问题一： 你会在矩形纸片中折出一个正方形吗？
问题二 :折叠矩形的一个角…… 你能想到什么？
A C
B
为边BC上一动点，将矩形纸片
（1）求证：△FAC是等腰三角形； BE′
（2）求△FAC的面积. A
FD
P
B
C
变式二：
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 点E是BC边上的中点，连接AE，把∠B沿 AE折叠，使点B落在点B′处，求B′C的长.
A
B′
E B′
DA
FD