正弦函数、余弦函数性质的教学设计

周期性也是最新要 研 究 的 函 数 性 质，应 该 给 予 足
够 的 重 视 ，结 合 周 期 性 不 难 归 纳 正 弦 函 数 、余 弦 函
数的其他 性 质．基 于 以 上 对 教 材 的 理 解，笔 者 对 “正弦函数、余弦函数性质（第 １ 课 时）”进 行 以 下 教学设计．
１ 教学目标
· ６ · 中学数学月刊 ２０１４ 年第 ３ 期
内，狓＋犜 也一定在函数定义域内，且有犳（狓＋犜） ＝犳（狓）．
设计意图 函数的奇偶性是学习过的与周
期 函 数 定 义 形 式 相 同 的 性 质 ，这 样 比 较 学 习 ，有 利
于把新知识纳入到原有认知结构中．
引导学生对本例归 纳 总 结：１ ）求 函 数 周 期 就
是对于定义域内 的 任 意 自 变 量 狓，找 使 等 式 犳（狓
＋犜）＝犳（狓）成立的最小非零常数犜；２ ）自变量狓 加的常数犜 才是周期．
设计意图 选择本例的函数求周期目的有：
１ ）掌握用定义求周期的方法；２ ）由周期犜 与参数
犃，ω 和φ 的关系猜想函数狔 ＝犃ｓｉｎ（ω狓 ＋φ）及 狔＝犃ｃｏｓ（ω狓 ＋φ）的周期公式 犜＝狘２ωπ狘，并引导
４ 设计背景
在吉林省 ２０１３ 年高中数学教学新秀评选活
动中，选手们对正弦函数、余弦函数性质的第 １ 课
时的总体设计有：１ ）只讲周 期 函 数，正、余 弦 函 数
的周期及狔＝犃ｓｉｎ（ω狓 ＋φ）及狔＝犃ｃｏｓ（ω狓 ＋φ） 的周期；２ ）正、余 弦 函 数 的 所 有 性 质；３ ）正、余 弦
引导学 生 观 察 正 弦 函 数 的 图 象，从 正 弦 函 数
图象上任取一段曲线，利用课件通过平移 ２π后函 数值重复出现，再 平 移 ２π 后 函 数 值 还 重 复 出 现， 不难发现只要平移 ２π的整数倍后，函数值都重复 出现（图 １ ）．
图１
进而提出问题：为 什 么 会 出 现 这 一 现 象 呢？ 理论根 据 是 什 么？ 学 生 会 想 到 用 诱 导 公 式 一 ｓｉｎ（狓＋ ２犽π）＝ｓｉｎ 狓（犽∈ 犣），解释正弦函数自变 量狓 变为狓 ＋ ２犽π时，函数值重复出现，数学中为 了刻画函数值重复 出 现 的 特 征，我 们 把 正 弦 函 数 称为周期函数，２犽π（犽∈ 犣，且犽≠ ０）称为正弦函 数 的 周 期 ．那 么 应 如 何 定 义 一 般 的 周 期 函 数 呢 ？
犜 ＝２π．
（２ ）设犳（狓）＝ｓｉｎ ２狓 的周期为犜，则 犳（狓 ＋
犜）＝犳（狓），即 ｓｉｎ ２ （狓＋犜）＝ｓｉｎ ２狓 ①．设狕＝２狓，
由狔＝ｓｉｎ狕的最小正周期为 ２π，有 ｓｉｎ ２狓＝ｓｉｎ狕
＝ ｓｉｎ（狕＋ ２π）＝ｓｉｎ（２狓＋ ２π）＝ｓｉｎ ２ （狓＋π）②．
由 ①② 式知 犜 ＝π． （３ ）同理可求得周期为 ４π（过程略）．
用的处理方法．
探 究 ：周 期 函 数 是 否 一 定 有 最 小 正 周 期 ？
举例：犳（狓）＝犮（犮为常数）是周期函数，可以看
到任意正的常 数 都 是 它 的 周 期，但 是 这 些 正 数 没 有
最小的．今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别
说明，一般都是指函数的最小正周期．例如狔＝ ｓｉｎ狓 和狔＝ ｃｏｓ 狓 的最小正周期都是 ２π（证明从略）．
思考：由 ｓｉｎ（３０°＋１２０°）＝ｓｉｎ ３０°，能否说明
１２０°是狔＝ｓｉｎ狓 的周期？为什么？强化狓 在定义 域中的任意性，加深理解周 期 函 数 的 定 义．由狔＝
ｓｉｎ 狓，探讨周期函数的周期是否唯一？
由诱导公式一知，正弦函数狔＝ｓｉｎ 狓 的周期
有 ± ２π，± ４π，± ６π，… 任意一个常数 ２犽π（犽 ∈
本节主要学习了：１ ）周 期 函 数 和 函 数 的 周 期
及最小正周期的定义；２ ）正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的
周 期 性；３ ） 函 数 狔 ＝ 犃ｓｉｎ（ω狓 ＋ φ） 及 狔 ＝ 犃ｃｏｓ（ω狓 ＋φ）周期公式及其求解方法；４）求函数 周 期 的 方 法 有 ：定 义 法 、公 式 法 和 图 象 法 ．
犣，犽≠ ０）都是狔＝ｓｉｎ狓 的周期．归纳定义最小正 周期：如果在 周 期 函 数 犳（狓）的 所 有 周 期 中 存 在 一个最小的正 数，则 这 个 最 小 正 数 叫 做 犳（狓）的
最小正周期．
设计意图 利用已知知识体系的正弦函数，
探求新知体系的一 般 周 期 函 数，是 数 学 学 习 中 常
新教材在正弦函数、余弦函数性质第 １ 课时， 只安排了周期函数 的 概 念 和 正 弦 函 数、余 弦 函 数
的周期性．在 探 究 与 发 现 部 分，安 排 了 函 数 狔 ＝ 犃ｓｉｎ（ω狓 ＋φ）及狔＝犃ｃｏｓ（ω狓 ＋φ）（其中 犃，ω，φ 为常数，且犃 ≠ ０ ，ω≠ ０ ，以下同）的周期．教材这 样 安 排 的 目 的 ，是 为 了 突 出 主 干 知 识 周 期 函 数 ，而
定义：对 于 函 数 犳（狓），如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 犜，使 得 当 狓 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 时，都 有 犳（狓 ＋犜）＝犳（狓），那么函数犳（狓）就叫做周期函 数，非零常数 犜 叫做这个函数的周期．
引 导 学 生 分 析 ，周 期 函 数 与 奇 、偶 函 数 都 是 定 义 域 内 的 总 体 概 念 ，对 周 期 函 数 定 义 进 行 剖 析 ，可 得以下 三 点：１ ）周 期 函 数 是 定 义 域 内 的 整 体 概 念，即狓 是定义域内的任意自变量；２ ）犜 是一个确 定的非零常数，只要存在即可；３ ）狓 在函数定义域
（３ ）作出函数犳（狓）＝ｓｉｎ狘狓狘（狓 ∈ 犚）的图 象 ，并 由 图 象 分 析 犳（狓）是 不 是 周 期 函 数 ．
（４）判断函数狔＝２ｓｉｎ（π狓＋π４ ）（狓 ≥ ０）是不
是 周 期 函 数 ，并 说 明 理 由 ．
设计意图 进一步加深理解周期函数概念 及求周期的方法．
３ ．５ 课堂小结
本课的教学目标是：１ ）通 过 观 察 正 弦 曲 线 周 而复始的现象，体 会 周 期 性 意 义；２ ）利 用 正 弦 函 数周而复始特征定义周 期 函 数；３ ）理 解 正 弦 函 数 的周期是 ２π；４）理解与 掌 握 函 数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓 ＋ φ）及狔＝犃ｃｏｓ （ω狓 ＋φ）周 期 的 求 法 及 周 期 公 式 ．
函数定义域 后，可 能 就 不 是 周 期 函 数 了，因 此，强
化定义域对于周期函数的重要性．
３ ．３ 例题选讲
例 １ 求下列函数的周期：
（１ ）狔＝３ｃｏｓ 狓，狓 ∈ 犚；（２ ）狔＝ｓｉｎ ２狓，狓 ∈
犚；（３ ）狔＝２ｓｉｎ（２１ 狓 －π ６Fra bibliotek），狓
∈
犚．
解 （１ ）设狔＝３ｃｏｓ 狓 的周期为犜，则犳（狓＋ 犜）＝犳（狓），即 ｃｏｓ（狓＋犜）＝ｃｏｓ 狓．再由狔＝ｃｏｓ 狓 的最小正周期为 ２π，即 ｃｏｓ（狓＋２π）＝ｃｏｓ 狓，可知
函 数 的 所 有 性 质 ，又 补 充 了 对 称 轴 和 对 称 中 心 ．究
其原因是对教材理 解 认 识 不 同 所 致，后 两 种 设 计
忽 略 了 周 期 函 数 这 一 主 干 知 识 ，重 点 不 够 突 出 ，对
于正、余弦函数的性质泛泛而谈，并且造成第 ２ 课
时 内 容 不 好 安 排 等 一 系 列 问 题 ．有 鉴 于 此 ，笔 者 撰
２０１４ 年第 ３ 期 中学数学月刊 · ５ ·
正弦函数、余弦函数性质的教学设计
王恩权 刘春英 （吉林省松原市实验高中 １ ３８００３ ）
作者简介：王恩权，男，１ ９５５ 年生人，吉林省松原市实验高级 中 学 高 级 教 师， 吉林省高中数学名师工作室主 持 人，１ ９８１ 年 毕 业 于 东 北 师 大 数 学 系．获 吉 林 省 中学数学 骨 干 教 师、吉 林 省 中 学 数 学 学 科 带 头 人、吉 林 省 中 学 特 级 教 师、吉 林 省 首届教育科研型名教师、吉 林 省 “十 一 五”教 育 科 研 先 进 个 人、全 国 教 育 科 研 骨 干教师、教育部 Ａ 版教材优秀实验教师等荣誉或称号．已发表论文四 百 多 篇，被 《中 学 数 学 教 学 参 考 》等 十 多 家 报 刊 杂 志 社 聘 为 特 约 通 讯 员 或 特 约 编 委 ．
３ 教学过程
３ ．１ 实例引入课题 实 际 生 活 中 有 许 多 周 而 复 始 的 现 象 ，如 一 年 有
春夏秋冬 ４ 个季节，一周有 ７ 天，钟表上的指针周而 复始地运转等．除以上现象，同学 们还能说出 哪些 周而复始的现象？数学中有没有这样的现象？
设计意图 由学生熟知的实际现象引入，加 深对周期性的认识． ３ ．２ 生成周期函数概念
２ 教学重点、难点与关键
重点：理解 周 期 函 数 概 念；难 点：正 确 归 纳 周
期函数定义，会 用 定 义 求 函 数 狔＝犃ｓｉｎ（ω狓 ＋φ） 及狔＝犃ｃｏｓ （ω狓 ＋φ）的 周 期 ；关 键 ：按 照 由 特 殊 到 一 般 的 规 律 ，理 解 、认 识 函 数 的 周 期 性 ．
学生用例 １ 的方法证明．
例 ２ 求函数犳（狓）＝狘ｓｉｎ狓狘（狓∈犚）的周期． 设计意图 初步体会用图象法求周期． ３ ．４ 跟踪练习
（１ ）求 下 列 函 数 的 周 期：１ ）狔 ＝ ２ｓｉｎ（－ ２狓 ＋
π ３
），狓
∈
犚；２ ）狔＝
－
ｃｏｓ
π３狓，狓
∈
犚．
（２ ）犳（狓）是定义在 犚 上 以 ４ 为 周 期 的 函 数， 已知犳（－ １ ）＝３ ，求犳（７ ）．
写 此 文 ，与 同 行 们 探 讨 ．
设计意图 遵循由特殊到一般的认知规律， 逐步对函数值重复 出 现 这 一 现 象 加 深 认 识，上 升 到 理 论 高 度 ，观 察 归 纳 出 周 期 函 数 的 概 念 ．通 过 感 知数学现象，提 升 数 学 认 识，培 养 学 生 的 分 析、抽 象和概括的能力．