高中数学选修2-2 北师大版 微积分基本定理 课后练习(含答案)
数学选修2-2微积分基本定理练习题含答案
（2）
（3）
（4）
故
40.
【答案】
解： 原式
．
为纯虚数，
∴ 解得 ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
复数的模
微积分基本定理
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
（1）利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出；
（2）利用复数的运算法则和纯虚数的意义即可得出．
【解答】
解： 原式
．
为纯虚数，
∴ 解得 ，
∴
（2）
【考点】
微积分基本定理
【解析】
（1）根据二倍角的余弦公式，得 ，因此将原式化为 在 上的定积分值，结合积分计算公式，不难算出原式的值；
（2）函数 在区间 上表达式为 ，在区间 上表达式为 ．因此将所求积分转化为 在区间 上的积分值，加上 在区间 上的积分值，所得的和即为原式的值．
【解答】
解：（1）∵ ，
解：由于 ，定义当 时， ，
则
，
故答案为 ．
19.
【答案】
【考点】
微积分基本定理
【解析】
求出原函数，即可求得定积分．
【解答】
解：
．
故答案为： ．
20.
【答案】
【考点】
微积分基本定理
【解析】
利用积分的运算公式和积分的几何意义进行求值．
【解答】
解：因为 是奇函数，所以根据奇函数的积分性质可知， ．
表示圆心在原点半径为 的上半圆，此时半圆的面积为 ，
1.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
【解析】
由于 为 的一个原函数即 ，根据 公式即可求出值．
2020北师大版高中数学选修2-2 课后习题：第四章 微积分基本定理
[A 组 基础巩固]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30等于( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|30＝12.又{a n }为等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20. ∴S 30＝3(S 20－S 10)＝3×(17－12)＝15. 答案：A2．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|10 ＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3. 答案：A3．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e 1x d x 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定解析：m ＝e x |10＝e －1，n ＝ln x |e1＝1，∴m >n .答案：A4.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( ) A.213B.223C.233D.253解析：⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233，故选C. 答案：C5．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．即无最大值也无最小值解析：F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73， F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B6.⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝10，则k ＝________.解析：⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )|20＝10，则k ＝1.答案：1 7．若a a -⎰x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：a a-⎰x 2d x ＝x 33|a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：38．求下列定积分． (1)20π⎰sin 2x2d x ； (2) 3ππ⎰cos(x －π6)d x .解析：(1)2π⎰sin 2x 2d x ＝20π⎰1－cos x 2d x ＝122π⎰d x －1220π⎰cos x d x ，因为x ′＝1，(sin x )′＝cos x ，所以原式＝12x |20π－12sin x 20π＝π－24.(2)法一：因为cos(x －π6)＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝32cos x ＋12sin x ，又因为(sin x )′＝cos x ，(－cos x )′＝sin x ， 所以3ππ⎰cos(x －π6)d x＝3ππ⎰(32cos x ＋12sin x )d x ＝(32sin x －12cos x )3ππ＝0.法二：∵[sin(x －π6)]′＝cos(x －π6)，∴3ππ⎰cos(x －π6)d x ＝sin(x －π6)3ππ＝sin 56π－sin π6＝0.9．已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析：f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )|x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0.又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13. ∴a ＝－52.[B 组 能力提升]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≥0，2x ，x <0，则11-⎰f (x )d x 的值是( )A.11-⎰x 2d xB.11-⎰2x d xC.1-⎰x 2d x ＋⎠⎛012xd xD.01-⎰2x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：11-⎰f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛0－12x d x .答案：D2．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 等于( )A.56 B.12 C.23D.16解析：f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：A3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.解析：因为⎠⎛01f (x )d x 是常数， 所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)， 所以x 2＋c ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋cx |10，解得c ＝－23，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝13x 3－23x | 10＝(13－23)－0＝－13.答案：－134．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，332，则ω＝________. (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)， 所以f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)． 当φ＝π6时，f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.又该函数过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，332，故332＝ωcosπ6. 所以ω＝3.(2)设A (x 0,0)，不妨取ωx 0＋φ＝π2，所以x 0＝π2ω－φω. 又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω， 所以|AC |＝πω，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－φω＋πω，0.依题意曲线段与x 轴围成的面积为S ＝22cos()d x x πϕπωωωπϕωωωωϕ-+--⎰＋＝2.因为|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝π2. 所以满足条件的概率为π4.答案：(1)3 (2)π45．物体在力F (x )＝2 016x ＋1(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝1处运动到x ＝2处(单位：m)，求力F 所做的功．解析：W ＝⎠⎛12(2 016x ＋1)d x ＝(1 008x 2＋x )|21＝3 025(J)．即力F 所做的功是3 025 J.6．计算⎠⎛04|x －a |d x ，a ∈R.解析：当a <0时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(x －a )d x ＝(12x 2－ax )|40＝8－4a ； 当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛0a |x －a |d x ＋⎠⎛a4|x －a |d x ＝⎠⎛0a (a －x )d x ＋⎠⎛a 4(x －a )d x ＝(ax －12x 2)|a 0＋(12x 2－ax )|4a ＝a 2－12a 2＋8－4a －12a 2＋a 2＝a 2－4a ＋8；当a ≥4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(a －x )d x ＝(ax －12x 2)|40＝4a －8. 综上所得：当a <0时，⎠⎛04|x －a |d x ＝8－4a ；当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝a 2－4a ＋8；当a ≥4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝4a －8.。
高中数学选修2-2 北师大版 微积分基本定理课时 作业(含答案)
§2 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理：如果连续函数f (x )是________________________，则有ʃba f (x )d x ＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →0F x ＋Δx －F xΔx等于( )A ．F (x )B ．f (x )C ．0D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1B.12C.13D.143．220sin cos 22x x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的值是( )A.π2B.π2＋1C ．－π2D ．04．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe 11xd x ，则m 与n 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定6．ʃ421xd x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 二、填空题7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________. 8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________．9．定积分20π⎰1－sin 2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ；(2) 22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，20π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分． 答 案知识梳理函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x ) F (b )－F (a ) 作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4|10＝14.]3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22d x ＝20π⎰(1＋sin x )d x＝x |20π＋(－cos x )20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋3x |0－3＝5.] 5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1，m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .]6．D [ʃ421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.]7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1 ＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 8.12ln 2 解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ln 1＋x 2 ′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln 2. 9．2(2－1) 解析 20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰ sin x －cos x 2d x ＝20π⎰|cos x －sin x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) 40π－(cos x ＋sin x )24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知 ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ，。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-2讲义：第四章 §2 微积分基本定理 Word版含答
姓名，年级：时间：§2微积分基本定理已知函数f(x)＝x，F(x)＝错误!x2。
问题1:f（x）和F(x)有何关系？提示:F′(x)＝f（x)．问题2:利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!。
问题3：求F(2）－F（1)的值．提示：F(2)－F（1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4：你得出什么结论?提示：错误!f(x)d x＝F（2）－F（1)，且F′（x)＝f(x）．问题5：由错误!f(x）d x与F(2)－F（1)之间的关系,你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a），其中F′（x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F（x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时,常常用记号F(x）错误!来表示F（b)－F（a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作错误!f（x)d x＝F（x) 错误!＝F（b）－F（a)．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1］(1) 错误! (2x＋3）d x;(2) 错误!（cos x＋e x)d x；(3）错误!错误!d x。
[思路点拨］先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] （1）∵(x2＋3x）′＝2x＋3，∴错误! (2x＋3）d x＝（x2＋3x）错误!＝1＋3＝4。
（2）∵（sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误! (cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x）错误!＝1－e－π.(3）∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!d x＝错误!错误!＝7＋错误!＝错误!。
[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时,通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x）的导函数F′(x）＝f(x)为止（一般情况下忽略常数),然后再利用微积分基本定理求出结果．1。
高中北师大数学选修2-2练习：第四章 §2 微积分基本定理
[A 组 基础巩固]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30等于( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|30＝12.又{a n }为等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20. ∴S 30＝3(S 20－S 10)＝3×(17－12)＝15. 答案：A2．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛1f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|10 ＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3. 答案：A3．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e 1x d x 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定解析：m ＝e x |10＝e －1，n ＝ln x |e1＝1，∴m >n .答案：A4.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( ) A.213B.223C.233D.253解析：⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233，故选C. 答案：C5．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．即无最大值也无最小值解析：F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73， F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B6.⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝10，则k ＝________. 解析：⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )|20＝10，则k ＝1.答案：1 7．若a a -⎰x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：a a-⎰x 2d x ＝x 33|a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：38．求下列定积分． (1)20π⎰sin 2x2d x ； (2) 3ππ⎰cos(x －π6)d x .解析：(1)2π⎰sin 2x 2d x ＝20π⎰1－cos x 2d x ＝122π⎰d x －1220π⎰cos x d x ，因为x ′＝1，(sin x )′＝cos x ，所以原式＝12x |20π－12sin x 20π＝π－24. (2)法一：因为cos(x －π6)＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝32cos x ＋12sin x ， 又因为(sin x )′＝cos x ，(－cos x )′＝sin x ， 所以3ππ⎰cos(x －π6)d x＝3ππ⎰(32cos x ＋12sin x )d x ＝(32sin x －12cos x )3ππ＝0.法二：∵[sin(x －π6)]′＝cos(x －π6)， ∴3ππ⎰cos(x －π6)d x ＝sin(x －π6)3ππ＝sin 56π－sin π6＝0.9．已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析：f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )|x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[B 组 能力提升]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≥0，2x ，x <0，则11-⎰f (x )d x 的值是( )A.11-⎰x 2d xB.11-⎰2x d xC.1-⎰x 2d x ＋⎠⎛012x d x D.01-⎰2x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：11-⎰f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛0－12x d x .答案：D2．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 等于( )A.56 B.12 C.23D.16解析：f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：A3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.解析：因为⎠⎛01f (x )d x 是常数， 所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)， 所以x 2＋c ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋cx |10，解得c ＝－23， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝13x 3－23x | 10＝(13－23)－0＝－13.答案：－134．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，332，则ω＝________. (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)， 所以f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)．当φ＝π6时，f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.又该函数过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，332，故332＝ωcos π6. 所以ω＝3.(2)设A (x 0,0)，不妨取ωx 0＋φ＝π2，所以x 0＝π2ω－φω.又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω， 所以|AC |＝πω，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－φω＋πω，0.依题意曲线段与x 轴围成的面积为S ＝22cos()d x x πϕπωωωπϕωωωωϕ-+--⎰＋＝2.因为|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝π2. 所以满足条件的概率为π4. 答案：(1)3 (2)π45．物体在力F (x )＝2 016x ＋1(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝1处运动到x ＝2处(单位：m)，求力F 所做的功．解析：W ＝⎠⎛12(2 016x ＋1)d x ＝(1 008x 2＋x )|21＝3 025(J)．即力F 所做的功是3 025J.6．计算⎠⎛04|x －a |d x ，a ∈R.解析：当a <0时， ⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(x －a )d x ＝(12x 2－ax )|40＝8－4a ； 当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛0a |x －a |d x ＋⎠⎛a4|x －a |d x＝⎠⎛0a (a －x )d x ＋⎠⎛a 4(x －a )d x ＝(ax －12x 2)|a 0＋(12x 2－ax )|4a＝a 2－12a 2＋8－4a －12a 2＋a 2＝a 2－4a ＋8； 当a ≥4时， ⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(a －x )d x ＝(ax －12x 2)|4＝4a －8. 综上所得：当a <0时，⎠⎛04|x －a |d x ＝8－4a ；当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝a 2－4a ＋8；当a ≥4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝4a －8.由Ruize收集整理。
高中数学选修2-2 北师大版 微积分基本定理 课时作业(含答案)
2015-2016学年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x 等于( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2[答案] D[分析] 利用微积分基本定理求定积分．[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2 －π2＝(π2＋sin π2)－[－π2＋sin(－π2)]＝π＋2，故选D.2．(2014·昆明一中模拟)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴所围成图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．π2D ．π[答案] B[解析] ⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝－cos π＋cos0＝2.3．若⎠⎛1a (2x ＋1x)d x ＝3＋ln2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2. ∴a ＝2.4．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝x3∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义：S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.求曲边图形的面积通常是应用定积分计算．5．(2014·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 因为f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.二、填空题6．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．[答案] 3[解析] 由⎠⎛0T x 2dx ＝x 33|T0＝T 33＝9，解得T ＝3.7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.。
高中数学北师大版选修2-2学案4.2 微积分基本定理 Word版含解析
§ 微积分基本定理
.了解微积分基本定理的含义.(难点)
.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)
[基础·初探] 教材整理 微积分基本定理
阅读教材～，完成下列问题.
.微积分基本定理
.
()－()()＝则有，()＝′()即，如果连续函数()是函数()的导函数 .定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在轴上方的面积为上，轴下方的面积为下，则
()
图--
.上()＝则，如图--()，()当曲边梯形的面积在轴上方时 .下－()＝则，如图--()，()当曲边梯形的面积在轴下方时
() ()
图--
()当曲边梯形的面积在轴上方、轴下方均存在时，如图--()，则()＝.
则，下＝上若，下－上()＝
.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()微积分基本定理中，被积函数()是原函数()的导数.( ) ()应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常
数项为.( ) ()应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连
续函数.( )
【答案】()√()√()√
(－)等于( )
.－
【解析】(－)＝＝π－＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
()(＋＋)；()(－)；。
2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：4.2 微积分基本定理 Word版含解析
§2 微积分基本定理课后训练案巩固提升A 组1。
∫ π2-π2（1+cos x ）d x 等于( )A .πB .2C .π-2D .π+2解析：∫ π2-π2(1+cos x )d x=(x+sin x ）|-π2π2=(π2+sin π2)−[-π2+sin (-π2)]=π+2。
答案：D2。
若∫ a1(2x +1x )d x=3+ln 2(a 〉1），则a 的值为( ）A .2B .3C .4D .6解析:∵∫ a 1(2x +1x )d x=(x 2+ln x ）|1a =a 2+ln a —1，∴a 2+ln a-1=3+ln 2，则a=2.答案：A3。
若S 1= ∫ 21x 2d x ，S 2=∫ 211xd x ,S 3=∫ 21e xd x ,则S 1,S 2，S 3的大小关系是( ）A 。
S 1<S 2<S 3B 。
S 2〈S 1〈S 3C .S 2〈S 3<S 1D 。
S 3<S 2〈S 1解析：S 1=∫ 21x 2d x=13x 3|12=73，S 2=∫ 211x d x=ln 2,S 3=∫ 21e x d x=e 2—e,∵e 2-e =e(e -1)〉e 〉73>ln 2,∴S 2〈S 1<S 3.答案：B4.设f （x ）={x 2,x ∈[0,1),2-x ,x ∈[1,2],则∫ 20f (x )d x=（ )A.34B.45 C 。
56 D.65解析：∫ 20f （x ）d x=∫ 10x 2d x+∫ 21(2—x ）d x=13x 3|01+(2x -12x 2)|12=56.答案:C5。
设函数f （x ）=x m +ax 的导函数为f'（x )=2x+1,则∫ 21f (-x )d x 的值等于（ )A 。
56 B.12 C.23 D.16解析：∵f'(x ）=2x+1,∴f (x )=x 2+x ，于是∫ 21f （-x )d x=∫ 21(x 2—x ）d x=(13x 3-12x 2)|12=56.答案：A6.已知一物体自由下落的速度为v=gt ，则当t 从2 s 至3 s 时，物体下落的距离为 。
2019-2020年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2
2019-2020年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x 等于( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2[答案] D[分析] 利用微积分基本定理求定积分．[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2 －π2＝(π2＋sin π2)－[－π2＋sin(－π2)]＝π＋2，故选D.2．(xx·昆明一中模拟)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴所围成图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．π2D ．π[答案] B[解析] ⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝－cos π＋cos0＝2.3．若⎠⎛1a (2x ＋1x)d x ＝3＋ln2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2. ∴a ＝2.4．(xx·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝x 3∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义：S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.求曲边图形的面积通常是应用定积分计算．5．(xx·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 因为f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.二、填空题6．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．[答案] 3[解析] 由⎠⎛0T x 2dx ＝x 33|T0＝T 33＝9，解得T ＝3.7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4， 即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13.8．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是________．[答案] c <a <b[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20＝－cos2＋1<2，∴c <a <b .三、解答题 9．求定积分： (1)⎠⎛014x 3d x ；(2)⎠⎛25d xx；(3) sin x d x .[分析] 利用微积分基本定理解决．其中计算定积分⎠⎛ab f (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．[解析] (1)⎠⎛014x 3d x ＝x 4|10＝1－0＝1；(2)⎠⎛25d x x＝ln x |52＝ln5－ln2＝ln 52；(3) sin x d x ＝－cos x |π20＝－(cos π2－cos0)＝1.10．计算下列定积分： (1)⎠⎛0e33x ＋2d x ； (2)⎠⎛012xd x ；(3) (2x ＋cos x )d x ； (4) sin 2x d x . [解析] (1)因为[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2， 所以⎠⎛0e33x ＋2d x ＝ln(3x ＋2)|e0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(2)因为(2xln2)′＝2x ，所以⎠⎛012x d x ＝(2xln2)|10＝2ln2－1ln2＝1ln2.(3)因为(sin x ＋x 2)′＝cos x ＋2x ，所以 (2x ＋cos x )d x ＝(sin x ＋x 2) ⎪⎪⎪⎪π2 π2＝sin π2＋(π2)2－sin(－π2)－(－π2)2＝2.(4)对原式化简sin 2x d x ＝1－cos2x 2d x ，因为(12x －14sin2x )′＝1－cos2x 2，所以sin 2x d x＝1－cos2x 2d x ＝(12x －14sin2x )⎪⎪⎪⎪π2 π2＝π2.一、选择题1. ⎠⎛-ππ (sin x ＋cos x )d x 等于( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] ⎠⎛-ππ (sin x ＋cos x )d x＝⎠⎛-ππsin x d x ＋⎠⎛-ππcosxd x＝(－cos x )|π－π＋sin x |π－πv ＝0＋0＝0. 2.⎠⎛01(e x＋e －x)d x 等于( )A ．e ＋1eB ．2eC ．2eD ．e －1e[答案] D[解析] ⎠⎛01(e x ＋e －x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛01e －xd x＝e x |10＋(－e －x )|10＝e －e 0－e －1＋e 0＝e －1e.3．设a >0，a ≠1，若⎠⎛02a xd x ＝＝－2a x |20，则a 的值为( )A ．e －2B ．e 2C ．e －12 D ．e 12[答案] C[解析] ⎠⎛02a x d x ＝1ln a a |20＝a 2ln a －1ln a ＝－2a x |2＝－2a 2＋2∴(a 2－1)(1ln a＋2)＝0 ∵a >0且a ≠1，∴ln a ＝－12，∴a ＝e －124．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4[答案] A[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|1＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3， ∴f (x )＝4x ＋3. 二、填空题5.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，1)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．[答案] 14[解析] 本题主要考查了定积分求面积，由条件得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤12－2x ＋2，12<x ≤1xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤12－2x 2＋2x ，12<x ≤1 S ＝⎠⎛01xf(x)dx ＝⎠⎜⎛012 2x 2dx ＋⎠⎜⎛－121 (－2x 2＋2x)dx＝(23x 3)⎪⎪⎪⎪120＋(－23x 3＋x 2)⎪⎪⎪⎪112＝23×(12)3＋(－23＋1)－[－23×(12)3＋(12)2]＝14. 由图形得函数解析式，注意f(x)的图像是折线段，故f(x)的解析式要写成分段函数的形式，进一步xf (x )的解析式也要写成分段函数的形式．6．(xx·汕头模拟)由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________． [答案] 43[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1得交点坐标(－1，1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝2[⎠⎛01(x 2－x 24)d x ＋⎠⎛12(1－x24)d x]＝2(14x 3|10＋x|21－112x 3|21)＝43.三、解答题7．求下列函数的定积分：(1)⎠⎛02(3x 2＋4x 3)d x ；(2) ⎠⎜⎛0π2 sin 2x 2d x ；(3)⎠⎛12(x －1)d x . [解析] (1)原式＝⎠⎛023x 2d x ＋⎠⎛024x 3d x ＝3⎠⎛02x 2d x ＋4⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪3×13 x 320＋ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×14x 420＝x 320＋x 420＝8＋16＝24. (2)原式＝⎠⎜⎛0π2 1－cos x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝12⎠⎜⎛0π2 (1－cosx)dx ＝12⎠⎜⎛0π2 1dx －12⎠⎜⎛0π2 cosxdx ⎪⎪⎪⎪π2＝12x ⎪⎪⎪⎪ π20－12×sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12. (3)原式⎠⎛12xdx －⎠⎛121dx ＝⎠⎛12x 12dx －1＝23 x 32 ⎪⎪⎪21－1＝23×(8－1)－1＝23×(22－1)－1＝423－23－1＝423－53＝42－53.8.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，又f′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0，而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ＋c ，所以13a ＋12b ＋c ＝－2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，13a ＋12b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝0，c ＝－4.2019-2020年高中数学 第4章 3定积分的简单应用课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( ) A ．13gt 20 B ．gt 20 C.12gt 20 D ．14gt 20 [答案] C[解析] ⎠⎛0togt d t ＝12gt 2|⎪⎪⎪to＝12gt 20. 2．如果1 N 的力能把弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx .当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100， 所以F (x )＝100x ，所以W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 J.3．(xx·湖北理，6)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，要满足f (x )，g (x )是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0.① ⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝(－12cos x )|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝(x 33－x )|1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 44|1－1＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.4．直线y ＝2x ，x ＝1，x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为( )A ．28π3B ．32πC ．4π3D ．3π[答案] A[解析] 由V ＝⎠⎛12π·(2x )2d x ＝π⎠⎛124x 2d x ＝4π⎠⎛12x 2d x ＝4π·13x 3|21＝4π3(8－1)＝28π3. 5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．17[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立⎩⎨⎧y ＝x y ＝x∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )dx ＝(23x 32 －x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值． 二、填空题6．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01 f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] 因为(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a3x 3＋cx )|10＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．故填33. 7．(xx·福建理，13)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．[答案]512[解析] 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2d x ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.8．(xx·宁波五校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．[答案]163[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得直线与抛物线的交点横坐标为x ＝－1， 由题意得，由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2， 直线x ＝1围成的封闭图形的面积为：⎠⎛－11 (2x 2＋4x ＋2)d x＝(23x 3＋2x 2＋2x ) ⎪⎪⎪1-1＝23＋2＋2＋23－2＋2＝163. 三、解答题9．求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.如图所示，所求图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x＝(x 2－13x 3)|20－(23x 3－2x 2)|20＝4.10．求由曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S .[分析] y ＝sin x 在[0，π]上的积分为正值，在[π，2π]上的积分为负值，其面积应取绝对值．[解析] 如图所示，所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋|∫2ππsin x d x |＝(－cos x )|π0－(－cos x )|2ππ＝4.一、选择题1．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 作出图形，容易判断应选B.2．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4 C.163D ．6[答案] C[解析] 由题意知，所围成的面积⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝(23x 32 －12x 2＋2x )|40＝23×432 －12×42＋2×4＝163.[点评] 本小题重在考查由两条曲线与y 轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围．3．(xx·广州模拟)物体A 以v ＝3t 3＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s )为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.二、填空题4．由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3(x ≥0)所围成的图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积为________．[答案]4π21[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x 3x，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以V ＝⎠⎛01πx 2d x －⎠⎛01πx 6d x＝π⎠⎛01x 2d x －π⎠⎛01x 6d x＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17 ＝π×421＝4π21.5．抛物线y ＝x 2与直线y ＝23x 所围成的图形的面积是________．[答案]481[解析] 如图，y ＝x 2与y ＝23x 的交点坐标为(0,0)和(23，49)，所以所求的面积为S ＝⎠⎜⎛023 (23x －x 2)d x ＝(13x 2－13x 3) ⎪⎪⎪⎪23＝13[(23)2－(23)3]－0＝481. 6．曲线y ＝e x，直线x ＝0，x ＝12与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________．[答案]e －π2[解析] V ＝⎠⎜⎛012 π(e x )2d x ＝π⎠⎜⎛012 e 2xd x ＝π×12e2x⎪⎪⎪⎪120＝π2(e －1)＝－π2.三、解答题7．计算(y －1)2＝x ＋1及y ＝x 所围的平面图形的面积．[分析] 首先画出草图(如图所示)，若选x 为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y 作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限．[解析] 将已知条件改写为x ＝y 以及x ＝(y －1)2－1，由图知所求面积为阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝y －2－1，得交点的纵坐标为y 1＝0及y 2＝3，因此，阴影部分面积S ＝⎠⎛03{y －[(y －1)2－1]}d y ＝⎠⎛03(3y －y 2)d y ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2－13y 330＝92.[点评] 解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点，灵活选用积分变量． 8．求由曲线y ＝x 2，直线y ＝x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解析] 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形如图中阴影部分．设所得旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于直线y ＝x ，x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．因为V 1＝⎠⎛01πx 2d x ＝⎪⎪⎪π·13x 310＝π3×(13－03)＝π3， V 2＝⎠⎛01π(x 2)2d x ＝π⎠⎛01x 4dx ＝⎪⎪⎪π·15x 510＝π5，所以V ＝V 1－V 2＝π3－π5＝2π15.[点评] 求旋转体的体积时，要先画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用定积分求解，本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的．。
2019年数学北师大版选修2-2练习：第4章 2 微积分基本定理 活页作业16 含解析
即S1＝t·t2－ x2dx＝ t3；
S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t及x＝1围成的图形的面积减去一个矩形的面积，矩形边长分别为t2,1－t，
即S2＝ x2dx－t2(1－t)＝ t3－t2＋ .
∴阴影部分面积S＝S1＋S2＝ t3－t2＋ (0≤t≤1)．
答案：A
12．计算： dx＋ dx＝________.
解析： dx＝ln x ＝1－0＝1.而 dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴上方部分的面积，故 dx＝ π×22＝2π.故答案为2π＋1.
答案：2π＋1
13．设f(x)＝ 若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，则f(0)＝0＋ 3t2dt＝t3 ＝a3＝1，得a＝1.
解：∵g(x)＝x3＋ax为奇函数，
∴ (x3＋ax)dx＝0，
∴ (x3＋ax＋3a－b)dx＝ (x3＋ax)dx＋ (3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b＝ ＋ ＋(3a－b)t为偶函数，
∴3a－b＝0.②
由①②得
解析： (|x|－1)dx＝ (－x－1)dx＋ (x－1)dx＝ ＋ ＝－1.
答案：－1
9．求 |x＋3|dx的值．
解：∵|x＋3|＝
∴ |x＋3|dx
＝ (－x－3)dx＋ (x＋3)dx
＝ ＋
＝5.
10．如下图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
北师大版高中数学选修2-2练习题-微积分基本定理
§2 微积分基本定理课后训练案巩固提升A 组1.∫ π2-π2(1+cos x )d x 等于( )A .πB .2C .π-2D .π+2解析:∫ π2-π2(1+cos x )d x=(x+sin x )|-π2π2=(π2+sin π2)−[-π2+sin (-π2)]=π+2. 答案:D2.若∫ a1(2x +1x)d x=3+ln 2(a>1),则a 的值为( ) A .2B .3C .4D .6解析:∵∫ a 1(2x +1x)d x=(x 2+ln x )|1a=a 2+ln a-1,∴a 2+ln a-1=3+ln 2,则a=2.答案:A3.若S 1= ∫ 21x 2d x ,S 2=∫ 211xd x ,S 3=∫ 21e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系是( ) A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3 C .S 2<S 3<S 1D .S 3<S 2<S 1解析:S 1=∫ 21x 2d x=13x 3|12=73,S 2=∫ 211xd x=ln 2,S 3=∫ 21e x d x=e 2-e,∵e 2-e =e(e -1)>e >73>ln 2, ∴S 2<S 1<S 3.答案:B4.设f (x )={x 2,x ∈[0,1),2-x ,x ∈[1,2],则∫ 20f (x )d x=( )A.34B.45C.56D.65解析:∫ 20f (x )d x=∫ 10x 2d x+∫ 21(2-x )d x=13x3|1+(2x -12x 2)|12=56.答案:C5.设函数f (x )=x m +ax 的导函数为f'(x )=2x+1,则∫ 21f (-x )d x 的值等于( ) A.56B.12C.23D.16解析:∵f'(x )=2x+1,∴f (x )=x 2+x ,于是∫ 21f (-x )d x=∫ 21(x 2-x )d x=(13x 3-12x 2)|12=56.答案:A6.已知一物体自由下落的速度为v=gt ,则当t 从2 s 至3 s 时,物体下落的距离为 . 解析:物体下落的距离s=∫ 32g (t )d t=(12gt 2)|23=12g (32-22)=52g. 答案:52g7.已知函数f (x )=3x 2+2x+1,若∫ 1-1f (x )d x=2f (a )成立,则a= . 解析:∵∫ 1-1f (x )d x=∫ 1-1(3x 2+2x+1)d x=(x 3+x 2+x )|-11=4,∴2(3a 2+2a+1)=4,即3a 2+2a-1=0,解得a=-1或a=13.答案:-1或138.已知2≤∫ 21(kx+1)d x ≤4,则实数k 的取值范围是 .解析:∵∫ 21(kx+1)d x=(12kx 2+x)|12=32k+1,∴2≤32k+1≤4.∴23≤k ≤2. 答案:23≤k ≤29.计算下列定积分.(1)∫ e033x+2d x ;(2)∫ π2-π2(2x+cos x )d x ; (3)∫ 20(x 2-1)d x.解(1)∵[ln(3x+2)]'=33x+2, ∴∫ e033x+2d x=ln(3x+2)|e=ln(3e +2)-ln(3×0+2)=ln3e+22. (2)∵(sin x+x 2)'=cos x+2x ,∴∫ π2-π2(2x+cos x )d x=(sin x+x 2)|-π2π2 =sin π2+(π2)2−[sin (-π2)+(-π2)2]=2. (3)∵y=|x 2-1|={x 2-1,1≤x ≤2,1-x 2,0≤x <1,∴∫ 20(x 2-1)d x=∫ 10(1-x 2)d x+∫ 21(x 2-1)d x=(x -x 33)|01+(x 33-x)|12 =(1-13)+(83-2)−(13-1)=2.10.已知f (x )在R 上可导,f (x )=x 2+2f'(2)x+3,试求 ∫ 30f (x )d x 的值. 解∵f (x )=x 2+2f'(2)x+3,∴f'(x )=2x+2f'(2).∴f'(2)=4+2f'(2).∴f'(2)=-4. ∴f (x )=x 2-8x+3.∴∫ 30f (x )d x=(13x 3-4x 2+3x)|03=-18. B 组1.设a>0,a ≠1,若∫ 20a x d x=-2a x |02,则a 的值为( ) A .e -2B .e 2C .e -12D .e 12解析:∵∫ 20a x d x=1lna a x |02=a 2lna −1lna =-2a x |02=-2a 2+2,∴(a 2-1)(1lna+2)=0. 又∵a>0且a ≠1,∴ln a=-12.∴a=e -12. 答案:C 2.导学号88184048已知f (x )是一次函数,且∫ 10f (x )d x=5,∫ 10xf (x )d x=176,则f (x )的解析式为( )A .4x+3B .3x+4C .-4x+2D .-3x+4解析:设f (x )=ax+b (a ≠0),则∫ 10f (x )d x=∫ 10(ax+b )d x=(12ax 2+bx)|01=12a+b=5. ∫ 10xf (x )d x=∫ 10(ax 2+bx )d x=(13ax 3+12bx 2)|01=13a+12b=176,解方程组{12a +b =5,13a +12b =176,得{a =4,b =3.故f (x )=4x+3. 答案:A3.已知函数f (x )的图像是折线段ABC ,其中A (0,0),B (12,1),C (1,0),则函数y=xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形面积为 . 解析:由已知条件得f (x )={2x ,0≤x ≤12,-2x +2,12<x ≤1.则xf (x )={2x 2,0≤x ≤12,-2x 2+2x ,12<x ≤1,故所求面积S=∫ 10xf (x )d x=∫ 1202x 2d x+∫(-2112x 2+2x )d x=23x 3|012+(-23x 3+x 2)|121=23×(12)3+(-23+1)−[-23×(12)3+(12)2]=14. 答案:144.已知f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),且f (-1)=2,f'(0)=0,∫ 10f (x )d x=-2,求a ,b ,c 的值. 解∵f (-1)=2,∴a-b+c=2.又f'(x )=2ax+ b ,∴f'(0)=b=0. ∵∫ 10f (x )d x=∫ 10(ax 2+bx+c )d x=(13ax 3+12bx 2+cx)|01 =13a+12b+c ,∴13a+12b+c=-2.解方程组{a -b +c =2,b =0,13a +12b +c =-2,得{a =6,b =0,c =-4. 5.导学号88184049如图所示,在区间[0,1]上给定曲线y=x 2,试在此区间内确定t 的值,使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.解S 1等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y=x 2与x 轴、直线x=t 围成的图形的面积,即S 1=t ·t 2-∫ t0x 2d x=23t 3.S 2等于曲线y=x 2与x 轴、x=t 及x=1围成的图形的面积去掉一矩形面积,矩形边长分别为t 2,1-t , 即S 2=∫ 1t x 2d x-t 2(1-t )=23t 3-t 2+13. 所以阴影部分面积 S=S 1+S 2=43t 3-t 2+13(0≤t ≤1). 令S'(t )=4t 2-2t=4t (t -12)=0, 得t=12或t=0(舍去).因为当0<t<12时,S'(t )<0;当12<t ≤1时,S'(t )>0;所以当t ∈(0,12]时,S (t )是减少的, 当t ∈(12,1]时,S (t )是增加的. 所以当t=12时,S min =S (12)=14.。
高中数学 第4章 定积分 2 微积分基本定理课后演练提升 北师大版选修2-2(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第4章定积分 2 微积分基本定理课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1.错误!(e x＋2x)d x等于( )A．1 B．e－1C．e D．e＋1解析：错误!（e x＋2x)d x＝(e x＋x2)|错误!＝（e1＋1)－e0＝e，故选C.答案：C2.错误!错误!d x等于（)A．－2ln 2 B．2ln 2C．－ln 2 D．ln 2解析：错误!错误!d x＝ln x｜错误!＝ln 4－ln 2＝ln 2。
答案: D3．若错误!错误!d x＝3＋ln 2，则a的值是( )A．6 B．4C．3 D．2解析：错误!错误!d x＝错误!2x d x＋错误!错误!＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2.∴a＝2。
答案：D4．求由y＝x3，x＝2,y＝0所围成的图形的面积（)A．2 B．4C．6 D．8解析：如图，可得：S＝错误!x3d x＝错误!错误!＝错误!×24－错误!×04＝4.答案：B二、填空题5．若a＝错误!x2d x,b＝错误!x3d x,c＝错误!sin x d x，则a、b、c的大小关系是_________．解析: a＝错误!x2d x＝错误!错误!＝错误!,b＝错误!x3d x＝错误!错误!＝4，c＝错误!sin x d x＝(－cos x)|错误!＝－cos 2＋1＜2，∴c＜a＜b.答案：c＜a＜b6．已知函数f（x）＝3x2＋2x＋1.若错误!f（x）d x＝2f(a）成立，则a＝________________.解析: 错误!错误!＝4，所以2(3a2＋2a＋1）＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝错误!。
答案: －1或错误!三、解答题7．计算下列定积分:(1)错误!(x－1)5d x；（2)错误!|2－x|d x；（3)错误!cos2错误!d x.解析：（1）因为错误!′＝(x－1)5，所以错误!（x－1)5d x＝错误!错误!＝错误!×(2－1）6－错误!×(1－1）6＝错误!.(2）错误!|2－x｜d x＝错误!(2－x）d x＋错误!（x－2）d x＝错误!错误!＋错误!错误!＝2＋错误!＝错误!.(3）错误!cos2错误!d x＝错误!错误!d x＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!.8．已知f（x）是一次函数，其图像过点（1,4)，且错误!f(x)d x＝1，求f（x）的解析式．解析: 设f(x)＝kx＋b（k≠0），因为函数的图像过点（1,4)，所以k＋b＝4.①又错误!f(x）d x＝错误!(kx＋b)d x＝错误!错误!＝错误!＋b，所以错误!＋b＝1。
高中数学北师大版选修2-2同步训练：(13)微积分基本定理
（13）微积分基本定理1、下列积分值等于1的是( )A. 1xdx ⎰B. ()11x dx +⎰C. 11dx ⎰D. 1012dx ⎰2、1-= ( )A. 3πB. 4πC. 2πD. π3、曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭与坐标轴所围成的面积是()A. 2B. 3C. 52D. 44、()22sin cos x x dx ππ-+⎰的值是( )A. 0B. 4πC. 2D. 45、设()()()2,01,{2,12,x x f x x x ≤≤=-<≤则()2f x dx ⎰等于( ) A. 34B. 45C. 56D.不存在6、下列值等于1的积分是() A. 1012xdx ⎰B. ()11x dx +⎰C. 2012dx ⎰D. 1012dx ⎰7、()212x x dx +⎰等于()A. ()22|1x x +B. ()22ln 2|1x x +C. 222|12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 222|12ln 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8、2231111dx x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰ ( ) A. 7ln 28+B. 7ln 22- C. 5ln 28- D. 17ln 28- 9、220sin 2x dx π=⎰ ( ) A. 4π B. 12π- C. 2D. 24π-10、自由落体的运动速度v gt = (g 为常数),则当[]1,2t ∈时,物体下落的距离为( )A.12g B. g C. 32g D. 2g11、设函数()()20f x ax c a =+≠,若()()1000,01f x dx f x x =≤≤⎰,则0x 的值为__________.12、若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是__________. 13、由拋物线21y x =-,直线2x =,0x =,0y =所围成图形的面积是__________.14、若()122x k dx +=⎰,则k =__________.15、设()f x 是连续函数,且()()102f x x f t dt =+⎰,求()f x .答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：B解析： 如图, 32202cos cos S xdx xdx πππ=+⎰⎰32sin |sin |123202x x πππ=-=+=.4答案及解析：答案：C解析：()22sin cos x x dx ππ-+⎰()2cos sin |22x x ππ=-+=-.5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：C解析：物体下落的距离21s gtdt =⎰,则有221|12s gt =()22132122g g =-=.11答案及解析：答案：3解析：主要考查定积分的基本应用.由()()100f x dx f x =⎰,得()123011|03ax c dx ax cx +=+⎰2013a c ax c =+=+, ∴203a ax =, ∵0a ≠,∴2013x =,又001x ≤≤,∴03x =.12答案及解析：答案：c a b <<解析：13答案及解析：答案：2解析：14答案及解析：答案：1解析：15答案及解析：答案：因为()12f t dt ⎰是一个常数, 所以可设()f x x c =+,所以()()11200111|022f t dt t c dt t ct c ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,所以()112c f t dt c ==+⎰,所以1c =-, 所以()1f x x =-解析：由Ruize收集整理。
北师大版高中数学选修2-2课时训练微积分基本定理
课堂练习(十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2D [⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2．]2．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c>a >bC ．a >c>bD ．c>b >aA [∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪1＝34， b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪1＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14， ∴a >b >c.]3．已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1A [⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2．]4．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．3B ．4 C.72D.92C [因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22| 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22| 20＝32＋2＝72.]5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56D [⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 ⎪⎪⎪21＝13＋12＝56.] 二、填空题6．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于__________．1 [⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍)或k ＝1．]7．⎠⎜⎜⎛-π2π2(1＋cos x )d x 等于________． π＋2 [∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.1 [因为f (1)＝lg 1＝0， 且⎠⎛0a3t 2dt ＝t 3|a0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1．] 三、解答题9．已知f (x )＝⎠⎛x－a (12t ＋4a )dt ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．[解] 因为f (x )＝⎠⎛-a x(12t ＋4a )dt ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪1＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1．∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1．10．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝1．(1)如果f (x )的图像经过点(3,4)，求f (x )的解析式； (2)求证：⎠⎛01[f (x )]2d x >1．[解] (1)设f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛10(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx | 10＝k2＋b . 所以k2＋b ＝1．①又因为f (x )的图像经过点(3,4)． 所以3k ＋b ＝4. ②由①②解得k ＝65，b ＝25.所以y ＝65x ＋25.(2)证明：因为⎠⎛01 [f (x )]2d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )2d x＝⎠⎛01(k 2x 2＋2kbx ＋b 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2x 3＋kbx 2＋b 2x | 10 ＝13k 2＋kb ＋b 2， 由①可得k ＝2(1－b )． 因为k ≠0，所以b ≠1． 所以⎠⎛01[f (x )]2d x＝43(1－b )2＋2b (1－b )＋b 2 ＝13(b －1)2＋1>1． [能力提升练]1．已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．π2B ．4C ．πD ．－9πA [⎠⎛24－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛24－x 2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .]2．⎠⎛01(x －e x)d x 等于( )A.32－e B.12－e C.32＋e D.12＋e A [⎠⎛01(x －e x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－e x | 10＝⎝⎛⎭⎪⎫12－e －(－1)＝32－e.]3．计算：⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝__________.12 [⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛-2(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12．]4．已知⎠⎛-11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，则a ＝________，b ＝________.－3 －9 [∵f (x )＝x 3＋ax 是奇函数，∴⎠⎛-11(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛-11(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝⎠⎛-11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛-11(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)] ＝6a －2b ，∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎠⎛t0(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 44＋ax 22＋(3a －b )x t |0＝t 44＋a t22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0. ②由①②得a ＝－3，b ＝－9.]5．定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞)．令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与O A ，O B 所围成图形的面积为S ，求S 的值．[解] ∵F (x ，y )＝(1＋x )y， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9， 故A (0,9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，tn＝2n －4，解得B (3,6)．∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪3＝9.。
【创新设计】高中数学同步训练：4.2 微积分基本定理 (北师大选修2-2)
§2 微积分基本定理双基达标 (限时20分钟)1． (1＋cos x )d x 等于( )．A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin （－π2）＝π＋2.答案 D2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )．A ．1 B.12 C.13D.14解析 曲边梯形面积A ＝⎠⎛01x 3d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 410＝14. 答案 D 3.⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1x 2＋1x 3d x 等于( )．A ．ln 2＋78 B ．ln 2－72 C ．ln 2－58D ．ln 2－178解析 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x 2＋1x 3d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫ln x －1x －12x 221＝78＋ln 2. 答案 A 4．定积分cos 2x d x ＝________.解析cos 2x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＝0.答案 05．定积分⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋1d x ＝________.解析 当x ＞0时，⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ＋x 21＝12 ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln 1＋1＝12ln 2＋1.答案 1＋12ln 26．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)⎠⎛011－x 2d x ； (2)⎠⎛02π cos x d x ； (3)⎠⎛-11 (sin 7x ＋x 3)d x . 解 (1)由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)其图像是圆心为原点，半径为1的圆的14部分． ∴⎠⎛01 1－x 2d x ＝14π·12＝14π.(2)由函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像的对称性(如图)知，⎠⎛02πcos x d x ＝0. (3)∵函数y ＝sin 7x ＋x 3在x ∈[－1,1]上是奇函数且区间[－1,1]关于原点对称， ∴⎠⎛0-1 (sin 7x ＋x 3)d x ＝0.综合提高 (限时25分钟)7.⎠⎛0π(sin x －cos x )d x 的值为 ( )．A ．2πB ．πC ．2D ．－2解析 ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x=－(cos π－cos 0)－(sin π－sin 0)＝2.答案 C8．已知曲线y ＝f (x )在x 轴下方，则由y ＝f (x )，y ＝0，x ＝－1和x ＝3所围成的曲边梯形的面积S 可表示为 ( )．A.⎠⎛-13－1f (x )d xB.⎠⎛-31f (x )d x C ．－⎠⎛-13f (x )d xD ．－⎠⎛-31f (x )d x解析 因为f (x )位于x 轴下方，故f (x )＜0. ∴⎠⎛-13f (x )d x ＜0， 故上述曲边梯形的面积为－⎠⎛-13f (x )d x .答案 C9．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积是________．解析 根据定积分的概念，⎠⎜⎛122 1x d x ＝ln 2－ln 12＝2ln 2. 答案 2ln 210．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析 ∵⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛01k d x＝＝1＋k ，∴1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案 1 11．计算定积分：(1)2cos 2x 2d x ； (2)⎠⎛02||x 2－1d x . 解 (1)原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )＝π2＋1.(2)原式＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 310＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21＝2. 12．(创新拓展)求当c 取何值时，⎠⎛01(x 2＋cx ＋c )2d x 的值最小？解 令y ＝⎠⎛01(x 2＋cx ＋c )2d x＝⎠⎛01(x 4＋2cx 3＋c 2x 2＋2cx 2＋2c 2x ＋c 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5＋24cx 4＋13x 3c 2＋13x 3·2c ＋12x 2·2c 2＋c 2x 1＝15＋76c ＋73c 2 ∴y ′＝76＋143c ， 令y ′＝0，得c ＝－14.当c ＜－14时，y ′＜0，当c ＞－14时，y ′＞0. ∴当c ＝－14时，y 最小．。
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二、能力提升
lg x，x>0 7． 设 f(x)＝ ，若 f[f(1)]＝1，则 a＝________. a 2 x＋03t dt，x≤0
8． 设函数 f(x)＝ax2＋c (a≠0)，若 ʃ1 0f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则 x0 的值为________．
1 9． 设 f(x)是一次函数，且 ʃ1 0f(x)dx＝5，ʃ0xf(x)dx＝
x 3． ʃ1 0(e ＋2x)dx 等于
( B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)] ( B．e－1 D．e＋1 ( 4 B. 3 2 D．－ 3
)
)
A．1 C．e
2 x ，－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx≤0， 4． 已知 f(x)＝ 则 ʃ1 －1f(x)dx 的值为 1，0<x≤1，
)
3 A. 2 2 C. 3 5． π A. 4 C．2 6． ʃ1 －1|x|dx 等于 A．ʃ1 －1xdx B．ʃ1 －1(－x)dx
1 C．ʃ0 －1(－x)dx＋ʃ0xdx 1 D．ʃ0 －1xdx＋ʃ0(－x)dx
x sin2 dx 等于 2 π B. －1 2 π－2 D. 4
(
)
(
)
－0.05x＋1
3 9．f(x)＝4x＋3 3
(3)∵(e
)′＝－0.05e )dx＝e
－0.05x＋1
，
∴ʃ20 0 (－0.05e ＝1－e. (4)∵ ∴ʃ2 1
－0.05x＋1
－0.05x＋1
|200
1 1 1 1 1 ＝ － ，(ln x)′＝ ，(ln(x＋1))′＝ ， x xx＋1 x x＋1 x＋1
3
求 ʃ3 0f(x)dx 的值．
2 2 12．已知 f(a)＝ʃ1 0(2ax －a x)dx，求 f(a)的最大值．
三、探究与拓展 13．求定积分 ʃ3 －4|x＋a|dx.
答案
1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．C 7．1 8. 1 10．解 (1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋ ， x 1 x x ∴ʃ2 1(e ＋ )dx＝(e ＋ln x)|21 x ＝e2＋ln 2－e. 1 2 2 3 (2)∵ x(1＋ x)＝x＋ x，( x ＋ x 2 )′＝x＋ x， 2 3 1 2 2 3 ∴ʃ9 x (1 ＋ x )d x ＝ ( x ＋ x 2 )|91 1 2 3 ＝ 172 . 3
2
7 7a－ 2
.
3 原式＝ʃ－a 4[－(x＋a)]dx＋ʃ－a(x＋a)dx
－
x2 x2 － 3 ＝(－ －ax)|－a 4＋( ＋ax)|－a 2 2 a2 a2 9 ＝ －4a＋8＋( ＋3a＋ ) 2 2 2 25 ＝a2－a＋ . 2 (3)当－a≥3 即 a≤－3 时， x2 7 原式＝ʃ3 －4[－(x＋a)]dx＝(－ －ax)|3－4＝－7a＋ . 2 2 综上，得 ʃ3 －4|x＋a|dx a≥4 25 ＝a －a＋ 2 －3<a<4 7 a≤－3 －7a＋2
17 ，则 f(x)的解析式为________． 6
10．计算下列定积分： 1 1 －0.05x＋1 x 9 20 (1)ʃ2 )dx；(4)ʃ2 dx . 1(e ＋ )dx；(2)ʃ1 x(1＋ x)dx；(3)ʃ0 (－0.05e 1 x xx＋1
x ，x∈[0，1]， 11．若函数 f(x)＝ x，x∈1，2]， 2x，x∈2，3].
§ 2
一、基础过关
微积分基本定理
( )
1． 若 F′(x)＝x2，则 F(x)的解析式不正确的是 1 A．F(x)＝ x3 3 B．F(x)＝x3 1 C．F(x)＝ x3＋1 3 1 D．F(x)＝ x3＋c(c 为常数) 3 2． ʃb af′(3x)dx 等于 A．f(b)－f(a) 1 C. [f(3b)－f(3a)] 3
2 2 ∴ʃ1 0(2ax －a x)dx
2 1 ＝( ax3－ a2x2)|10 3 2 2 1 ＝ a－ a2， 3 2
2 1 1 4 4 2 即 f(a)＝ a－ a2＝－ (a2－ a＋ )＋ 3 2 2 3 9 9 1 2 2 ＝－ (a－ )2＋ ， 2 3 9 2 2 ∴当 a＝ 时，f(a)有最大值 . 3 9 13．解 (1)当－a≤－4 即 a≥4 时， x2 原式＝ʃ3 －4(x＋a)dx＝( ＋ax)|3－4 2 7 ＝7a－ . 2 (2)当－4<－a<3 即－3<a<4 时，
1 2 dx＝ln x|1 －ln(x＋1)|21＝2ln 2－ln 3. xx＋1
11．解 由积分的性质，知：
1 2 ʃ3 0f(x)dx＝ʃ0f(x)dx＋ʃ1f(x)dx
＋ʃ3 2f(x)dx
3 2 3 x ＝ʃ1 0x dx＋ʃ1 xdx＋ʃ22 dx
x4 2 3 2x ＝ |10＋ x 2 |21＋ |32 4 3 ln 2 1 4 2 8 4 ＝ ＋ 2－ ＋ － 4 3 3 ln 2 ln 2 5 4 4 ＝－ ＋ 2＋ . 12 3 ln 2 2 1 12．解 ∵( ax3－ a2x2)′＝2ax2－a2x， 3 2