小学奥数公因数和公倍数教学文稿

第三讲：公因数和公倍数
一、 公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

0被排除在约数与倍数之外。

例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12
18的约数有：1,2,3,6,9,18
12和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812
39632
，所以(12,18)236=⨯=；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．
二、公倍数的概念与最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84...
18的倍数有：18,36,54,72,90...
12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
知识点拨
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；
②短除法求最小公倍数； 例如：21812
39632
，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；
③[,](,)
a b a b a b ⨯=
． 2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数
b )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=
性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

【例 1】 两根电线分别长24m 和16m ，现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的小段最长可以
是多少米？
例题精讲
【巩固】求12和18的最大公因数。

【例 2】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4和20 6和36 7和8 6和19
【巩固】说出下面各组数的最大公因数。

4和16 15和22
【例 3】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？
【例 4】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？
【例 5】一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。

现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁几块？
【例 6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）
【巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。

【例 7】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

【巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？
【例 8】求21672和11352的最小公倍数。

【例 9】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．
【巩固】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
【例 10】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
【巩固】已知两数的最小公倍数是210，它们的积是1260，它们的和是72，求这两个数的差？
【例 11】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．
【例 12】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人正好在图书馆相会。

问至少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？
【巩固】1路、2路和5路都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。

当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？
【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒，问：再过多长时间三人第二次从同时从起点出发？
【例 13】一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。

这所学校至少有多少人？
【巩固】有一批乒乓球，总数在1000个以内，4个装一袋，5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？
【例 14】学校六年级有若干同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少有多少人？
【巩固】一袋糖，平均分给15个小朋友或20各小朋友后，最后都余下5块。

这袋糖至少有多少块？
【巩固】一个数能被3、5、7整除，但是被11除余1，这个数最少是多少？
【例 15】一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150-200颗之间，问共有多少颗？
【巩固】五一班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人，请你算一算，五一班有多少位同学？
【巩固】有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。

这批水果至少有多少个？
【例 16】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50,米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
【巩固】插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
【例 17】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。

如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【巩固】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。

在120米内一共留下多少个脚印？。