11版-概率作业3详解

第三章 多维随机变量及其分布（作业1）一、填空题1. 设(X , Y )的分布函数为F (x , y ), 试用F (x , y )表示： （1）=<≤≤},{c Y b X a P ),(),(c a F c b F -；（2）=<<}0{b Y P )0,(),(+∞-+∞F b F 。

2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,010,6),(y x x y x f , 则=≤+}1{Y X P ( 0.25 )3. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x ce y x f y x ,则c的值为( 1 ) 二、解答题1．设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为)3arctan )(2arctan (),(y C xB A y x F ++=(1) 求常数A ,B ,C ；(2) 求(X ,Y )的概率密度函数f (x ,y )；(3) 求(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布函数； (4) 求P {X ≤ 2,Y ≤ 0} , P {0≤ X ≤2,0≤ Y ≤3}。

解: (1) 由 )2)(2(),(1ππ++=+∞+∞=C B A F ---① 知A ≠0 )2)(2arctan (),(0π-+=-∞=C x B A x F 得2π=C ---②)2a r c t a n )(2(),(0yC B A y F +-=-∞=π得2π=B ---③ 将②,③代入①式,则A π 2=1 , 得21π=A(2) )9)(4(6313121211),(),(2222222y x y x yx y x F y x f ++=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=∂∂∂=ππ(3) )2arctan 2(1)22)(2arctan 2(1),()(2xx x F x F X +=++=+∞=ππππππ )2arctan 2(1),()(yy F y F Y +=+∞=ππ(4) 83)02)(42(1)0,2(}0,2{2=++==≤≤ππππF Y X P)0,0()3,0()0,2()3,2(}30,20{F F F F Y X P +--=≤≤≤≤161418383169=+--=2.已知10件产品中有5件一等品,2件次品.从中任取3件,记其中的一等品数为X ,次品数为Y .求:(1) (X ,Y )的分布律. (2) X 和Y 的边缘分布律.解: X \Y 0 1 2 p i .0 1/120 1/20 1/40 1/121 1/8 1/4 1/24 5/12 2 1/4 1/6 0 5/123 1/12 0 0 1/12p.j 7/15 7/15 1/153.设随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,021,10,)4(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ； (2) 求F (x , y ).； (3) 求}2{≤+Y X P .解: (1) 由 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f , 得 ⎰⎰=--10211)4(dy y x k dx ， 解得: 21=k(2) ⎰⎰∞-∞-=x yd u d v v u fy x F ),(),(011012112010,011(4),01,1221(4),1,1221(4),01,221(4),1,22x yyx x y du u v dvx y du u v dv x y du u v dvx y du u v dv x y ⎧<<⎪⎪--≤<≤<⎪⎪⎪=--≥≤<⎨⎪⎪--≤<≥⎪⎪--≥≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,0111(4)(1)(1),01,12224317,1,1244251,01,2441,1,2x y x x y x y x y y y x y x x x y x y <<⎧⎪⎪----≤<≤<⎪⎪=-+-≥≤<⎨⎪⎪-+≤<≥⎪⎪≥≥⎩或(3)dy y x dx dxdy y x f Y X P y x x)4(21),(}2{2121--==≤+⎰⎰⎰⎰≤+-127)56(2121=+-=⎰dx x x4.且1}0{==XY P . 求X 与Y 的联合分布律.解: 由 1}0{==XY P , 得 0}0{=≠XY P即 0}1,1{}1,1{}0{===+=-==≠Y X P Y X P XY P 所以,设 Y \X -1 0 10 p 11 p 12 p 13 1 0 p 22 0 得 4111=p , 4113=p ,012=p , 2122=p .所以X 和Y 的联合分布律为Y\X -1 0 10 1/4 0 1/41 0 1/2 05. 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次中出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数.求X 与Y 的联合分布律及边缘分布律.解: Y \X 0 1 2 p i .0 1/8 0 0 1/81 1/8 2/8 0 3/82 0 2/8 1/8 3/83 0 0 1/8 1/8 p.j 1/4 1/2 1/4第三章 多维随机变量及其分布（作业2）1.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,10,1,),(2x y xCxyy x f(1)确定常数C .(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y . (3)求条件概率密度)|(y x f YX 及)|(x y f XY.解: (1) 由 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f , 得⎰⎰=1121xCxydy dx , 即16=C , 则6=C .(2) ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=⎰1,10,60,012x x xydyx x ⎩⎨⎧<<-=其它,10,)1(34x x x⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=⎰1,010,60,00y y xydx y y⎩⎨⎧<<=其它,10,32y y(3) 当10<<y 时,0)(≠y f Y .所以在y Y =(10<<y )下的条件概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,36)(),()(2yx yxy y f y x f y x f Y X当10<<x 时,0)(≠x f X .所以在)10(<<=x x X 下的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其它,1,)1(36)(),()(24y x x x xy x f y x f x y fX XY2. 设(X ,Y )的概率密度为 ⎩⎨⎧<<<=其它,10,,),(x x y Cx y x f求: (1)常数C . (2)边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y . (3)条件概率密度)|(|y x f Y X 及)|(|x y f X Y . (4)}0|21{>>Y X P .解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f , 得 ⎰⎰-=11xxCxdy dx , 即132=C , 则 23=C(2) ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其它,010,23x x x xdy ⎩⎨⎧<<=其它,10,32x x⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=⎰⎰-其它,010,2301,2311y y y xdx y xdx ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,011,)1(432y y(3)当11<<-y 时，()()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-==其它,10,1,12),(2x x y yxy f y x f y x f Y YX当10<<x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧<==其它,0,21),()(x y x x f y x f x y fX XY(4) }0{}0,21{}0|21{>>>=>>Y P Y X P Y XP ⎰⎰⎰⎰=10012102323xxxdydx xdydx 8721)811(21=-=3．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2/y y ey f y Y(1)求X 和Y 的联合分布密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率。

解： （1）⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ，X 和Y 相互独立，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它 ,00,10,21)()(),(2/y x ey f x f y x f y Y X(2)022=++Y aX a ，a 有实根，则0)(44)2(22≥-=-=Y X Y X ∆，即02≥-Y X所以P {a 有实根}=P {X 2-Y ≥0}=⎰⎰⎰⎰⎰--≥--==12/02/12221),(dx edy edxdxdy y x f x xy y x1445.0)]0()1([21=--=ΦΦπ4. 设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了(X ,Y )的联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入空白处.解：5.设二维随机变量(X,Y)在矩形区域}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记 ⎩⎨⎧>≤=YX Y X U 若若,1,0 ⎩⎨⎧>≤=YX Y X V 2,12,0若若(1)求U 与V 的联合分布. (2)U 与V 是否相互独立?解: (1) 因为(X ,Y )在G 上服从均匀分布 所以41}{=≤Y X P 21}2{=>Y X P 41}2{=<<Y X Y P(U ,V )的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) 41}{}2,{}0,0{=≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P0}2,{}1,0{=>≤===Y X Y X P V U P41}2{}2,{}0,1{=≤<=≤>===Y X Y P Y X Y X P V U P21)41041(1}1,1{=++-===V U P所以U 与V 的联合分布为V \U 0 10 1/4 1/4 1/2 1 0 1/2 1/2 1/4 3/4（2） 由 812141}0{}0{41}0,0{=⨯===≠===V P U P V U P ，所以U 与V 不独立.第三章 多维随机变量及其分布（作业3）一、填空题1．设X 与Y 为两个随机变量,73}0,0{=≥≥Y X P ,74}0{}0{=≥=≥Y P X P则=≥}0),{m a x (Y X P752. 已知(X ,Y )的分布律为X\Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 α β 当α=92 , β=91 时,随机变量X 与Y 相互独立.二、 选择题1. 设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布;}1{}1{-==-=Y P X P = 21}1{}1{=====Y P X P ,则下列各式中成立的是( A )(A) 1{}2P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) 1{0}4P X Y +== (D) 1{1}4P X Y ==2. 设随机变量X 和Y 相互独立,且分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则( B ) (A) 1{0}2P X Y +≤= (B) 1{1}2P X Y +≤=(C) 1{0}2P X Y +≥= (D) 1{0}2P X Y -≤=3．X,Y 的联合概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22yxy x f π,则X,Y 为(C )的随机变量.(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布(C) 不独立同分布 (D) 不独立也不同分布4. 设X 和Y 是相互独立的随机变量,其分布函数分别为)(),(y F x F Y X .则),.min(Y X Z =的分布函数是( D )(A) ()()Z X F z F z = (B) ()()Z Y F z F z =(C) ()m in{(),()}Z X Y F z F z F z = (D) ()1[1()][1()]Z X Y F z F z F z =--- 5．设随机变量X 与Y 相互独立,且X ~),(211σa N ,Y ~),(222σa N .则Y X Z +=仍服从正态分布,且有(D )(A) Z ~22112(,)N a σσ+ (B) Z ~1212(,)N a a σσ+(C) Z ~),(222121σσa a N + (D) Z ~),(222121σσ++a a N 三、解答题1. 设(X ,Y )在区域G 内服从均匀分布,G 由直线12=+y x及x 轴y 轴围成.求 (1) (X ,Y )的联合概率密度； (2) 关于X 和关于Y 的边缘密度,并指出X 和Y 是否相互独立.解: (1) G 的面积11221)(=⨯⨯=G L ,故⎩⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它其它,0),(,1,0),(,)(1),(G y x G y x G L y x f(2) 当20≤≤x 时, ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞--∞+--=++==02102121010),()(x x X x dy dy dy dy y x f x f当0<x 或2>x 时,0),(=y x f ,所以0)(=x f X .所以X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,020,21)(x x x f X同理可求: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰-其它,010,)1(21)()1(20y y dx y f y Y对于G y x ∈),( , )()(),(y f x f y x f Y X ≠ , 故随机变量X 与Y 不独立.(3) ⎰⎰≥=≥xy dxdy y x f X Y P ),(}{⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰-=32211x xdy dx31=2. 设X 和Y 相互独立,X 服从51=θ的指数分布,Y 在区间[0,2]上服从均匀分布.求(1) 二维随机变量(X ,Y )的概率密度； (2) 概率}{Y X P ≥. 解 : (1) 按题意,随机变量X 及Y 的概率密度⎩⎨⎧≥=-其它,,5)(5x e x f xX ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,20,21)(y y f Y因为X 与Y 独立,所以按公式得二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+∞<≤=-其它,020,0,25),(5y x ey x f x(2) 由⎰⎰=≥Gdxdy y x f Y X P ),(}{其中积分区域G 介于x 轴与直线y =2之间, 在直线y =x 右方的无界区域,如图注意到y <0或y >2时,f (x ,y )=0, 故⎰⎰=≥G dxdy y x f Y X P ),(}{)1(101212510205205--+∞--=-==⎰⎰⎰e dy e dx e dy y y x 或 )1(1012525105225--+∞--=+=⎰⎰⎰⎰edy edx dy edx xxx3. 设X 与Y 相互独立, X 服从(0,1)上的均匀分布,Y 服从1=θ的指数分布.求Y X Z +=的概率密度)(z f Z .分析: 求随机变量X 与Y 的分布密度可利用的方法有两种: (1)利用卷积公式;(2)利用分布函数法,即先求X +Y 的分布函数再求导. 解 利用公式 dx x z f x f z f Z )()()(21-=⎰+∞∞-因为 ⎩⎨⎧∈=其它,)1,0(,1)(1x x f ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2y y e y f y所以有 ⎩⎨⎧>-<<=---其它,0,10,)()()(21x z x e x z f x f x z注意这里被积函数的非零区域 ⎩⎨⎧><<x z x D 10:当0<z 时,⎰+∞∞-==00)(dx z f Z当10<≤z 时,⎰⎰⎰∞-+∞----=++=0)(100)(zzzx z Z edx dx edx z f 当1≥z 时, zx z Z ee dx dx edx z f -∞-+∞---=++=⎰⎰⎰)1(00)(011)(综上 0,0()1,01(-1),1zZ zz f z e z e e z --<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩4. 进行打靶,设弹着点A (X ,Y )的坐标X 和Y 相互独立,且都服从N (0,1)分布,定点A 落在区域}1|),{(221≤+=y x y x D 得2分; 点A 落在区域 }41|),{(222≤+≤=y x y x D 得1分; 点A 落在}4|),{(223>+=y x y x D 得0分.以Z 记打靶得分,写出X ,Y 的联合概率密度,并求Z 的分布律.解 : (1) 因为X ~N (0,1) , Y ~N (0,1) ,X 与Y 相互独立,故(X ,Y )联合概率密度为 +∞<<∞-+∞<<∞-=+-y x ey x f y x ,,21),(222π(2) Z 的可能取值为0,1,2 ⎰⎰>+=∈==4322),(}),({)0(y x dxdy y x f D Y X A P Z P ⎰⎰≤+-=422),(1y x dxdy y x f⎰⎰≤++--=422222211y x y x dxdy eπ2222220221211---=-=-=⎰⎰⎰edr rerd edrrrθππ}),({)1(2D Y X A P Z P ∈==⎰⎰≤+≤=4122),(y x dxdy y x fr d r ed d x d ye ry x y x ⎰⎰⎰⎰-+-≤+≤==ππθπ20212241222222121221---=ee⎰⎰<+=∈==1122),(}),({)2(y x dxdy y x f D Y X A P Z Pr d r ed d x d y ery x y x 22012122222121-+-<+⎰⎰⎰⎰==ππθπ211--=e故Z的分布律为5. 设某种型号的电子元件的寿命X(以小时计)近似地服从)20,160(2N分布.随机地选取4只, 求其中没有一只寿命小于180的概率.解: 以X表示某种型号电子的寿命,则X~)20,160(2N,故概率密度为+∞<<∞-=⨯--xexfxX,2201)(22202)160(π随机地选取4只,设寿命分别为4321,,XXXX,相互独立且有相同的分布,概率密度为)(xfX分布函数为)(xF.依题意即求180},,,min{4321≥=XXXXZ的概率.由于nzFzFzZP)](1[1)(}{m in--==≤故4)]180(1[}180{1}180{FZPZP-=<-=≥又因为20160-X~)1,0(N, 所以8413.0)1()20160180()180(==-=ΦΦF于是没有一只寿命小于180的概率为00063.0)1587.0()8413.01(}180{44==-=≥ZP*6. 设X, Y是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布2(0,)Nσ.试验证随机变量Z=2222,0,()0,zZze zf zσσ-⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它.解: 当z≤0时, ()0ZF z=;当z>0时,(){}}ZF z P Z z P z=≤=≤(,)zf x y dxdy=()()X Yzf x f y dxdy=222222yxzdxdyσσ--=2222212x yze dxdyσπσ+-=222220012rzd e rdrπσθπσ-=⎰⎰=22220122rze rdrσππσ-=⋅⋅⎰222201rze rdrσσ-=⎰='=)()(zFzfZ2222,00,0zze zzσσ-⎧⎪>=⎨⎪≤⎩.第三章 检测题一 、选择题1. 设相互独立的随机变量X 与Y 具有同一分布,且X 的分布律为: X 1 2 则下列式子中正确的是(D ) P31 32(A) X =Y (B) P {X =Y }=1 (C) 21}{==Y X P (D) 95}{==Y X P2 . 设相互独立的随机变量X 与Y 具有同一分布,且X 的分布律为 X 1 2则==+}3{Y X P ( B ) p 1/2 1/2 (A)41(B)21(C)32(D)433. 设随机变量X 与Y 相互独立,且),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,令Y X Z +=,则( D ) (A) ),(~22211σσμ+N Z (B) ),(~2121σσμμ+N Z (C) ),(~222121σσμμ+N Z (D) ),(~222121σσμμ++N Z4. 设随机变量(X,Y )的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他,010,10,1),(y x y x f , 则概率=<<}6.0,5.0{Y X P ( B )(A) 0.5 (B) 0.3 (C)87(D) 0.4 5. 设随机变量X ~N (-3,1),Y ~N (2,1),且X 与Y 相互独立.令Z =X -2Y +7,则Z ~( A ) (A) N (0,5) (B) N (0,3) (C) N (0,46) (D) N (0,54)二、填空题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且i X ~),(2i i N σμ,(n i ,,2,1 =),则n X X X +++ 21服从 ),(121∑∑==ni ini i N σμ 分布.2. 设平面D 由曲线xy 1=及直线0=y ,1=x ,2e x =所围成,二维随机变量(X,Y )在区域D 上服从均匀分布,则(X,Y )关于X 的边缘概率密度在2=x 处的值为 413. 若X 和Y 的分布律为Y\X 1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/3 α β则α,β 应满足的条件是 31=+βα . 若X 与Y 相互独立,则α=92 , β=914 .设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,0,0,),()1(y x xe y x f y x则X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0 ,0,)(x x e x f x X5. 设两个相互独立的随机变量X,Y 均在[0,1]上服从均匀分布,则(X,Y )的概率密度 为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,10,1),(y x y x f三、 解答题1. 设随机变量(X,Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,0,0,),()2(y x Ae y x f y x(1) 确定系数A (2)求}{X Y P ≤ 解 : (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ,有⎰⎰+∞+∞--==221A dy edx Aeyx所以 2=A(2) ⎰⎰⎰⎰≤+∞--===≤xy xyxdy edx edxdy y x f X Y P 02312),(}{2. 设随机向量(X,Y )的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其他,02;2,2),(22y x e x y x f y求: (1) 关于X 和Y 的边缘分布密度 (2) X 与Y 是否相互独立? 解 : (1) 由边缘分布的定义有 ⎰⎰∞+∞-∞++-⎪⎩⎪⎨⎧≤>===2,02,22),()(2222x x xdy e x dy y x f x f y X⎰⎰∞+∞-∞++-+-⎪⎩⎪⎨⎧≤>===2,02,2),()(2222y y e e x dx y x f y f y y Y(2) 因为),()()(y x f y f x f Y X = ,所以X 与Y 相互独立. 3. 设二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<+=其他,010,)(2),(y x y x y x f ，求Z=X+Y 的概率密度函数。