圆锥曲线与方程综合典型测试题教学文案
圆锥曲线与方程综合检测题(附答案)
圆锥曲线与方程综合检测题（附答案）综合检测(三) 第三章圆锥曲线与方程 (时间：90分钟满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．) 1．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y＝3x的距离是( ) A.12 B．32 C．1 D．3 【解析】右焦点F(1,0)，∴d＝32. 【答案】 B 2．椭圆x29＋y225＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( ) A．20 B．12 C．10 D．6 【解析】由椭圆的定义知：△ABF2的周长为4×5＝20. 【答案】 A 3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( ) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上【解析】∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．【答案】 A 4．双曲线x24－y2＝1的焦点坐标为( ) A．(±3，0) B．(0，±3) C．(±5，0) D．(0，±5) 【解析】依题意a＝2，b＝1，所以c＝a2＋b2＝5，又因为双曲线x24－y2＝1的焦点在x轴上，所以，其焦点坐标为(±5，0)．【答案】 C 5．抛物线y＝－18x2的准线方程是( ) A．x＝132 B．y ＝2 C．y＝132 D．y＝－2 【解析】由y＝－18x2，得x2＝－8y，故准线方程为y＝2. 【答案】 B 6．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px上的三点，点F是抛物线y2＝2px的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则( ) A．x1＋x3>2x2 B．x1＋x3＝2x2 C．x1＋x3<2x2 D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定【解析】∵|PF1|＝x1＋p2，|PF2|＝x2＋p2，|PF3|＝x3＋p2，∴x1＋x3＝2x2. 【答案】 B 7．(2013•广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是( ) A.x24－y25＝1 B.x24－y25＝1 C.x22－y25＝1 D．x22－y25＝1 【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为ca＝32，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为x24－y25＝1，选B. 【答案】 B 8．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB→＝12BC→，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3C.5 D．10 【解析】对于A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，直线与两渐近线的交点为B，C，可求得B(a2a＋b，aba＋b)，C(a2a－b，－aba－b)，则有BC→＝(2a2ba2－b2，－2a2ba2－b2)，AB→＝(－aba＋b，aba＋b)，因AB→＝12BC→，故有－aba＋b＝a2ba2－b2，即b＝2a，故e＝ca＝ 1＋＝5.故选C. 【答案】 C 9．双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为e1，双曲线y2b2－x2a2＝1的离心率为e2，则e1＋e2的最小值为( ) A．42 B．2 C．22 D．4 【解析】(e1＋e2)2＝e21＋e22＋2e1e2 ＝a2＋b2a2＋b2＋a2b2＋2•a2＋b2a•b2＋a2b ＝2＋b2a2＋a2b2＋2(ba＋ab) ≥2＋2＋2×2＝8.当且仅当a＝b时取等号．故选C. 【答案】 C 10．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．圆【解析】易知点P到直线C1D1的距离为PC1，C1是定点，BC是定直线．据题意，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离．由抛物线的定义，知轨迹为抛物线．故选B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知圆C过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．【解析】由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4，±473)．易求它到中心的距离为163. 【答案】163 12．已知A(4,0)，B(－3，3)是椭圆x225＋y29＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最小值是________．【解析】由题意知A(4,0)是椭圆的右焦点，设左焦点为点C，则C(－4,0)，∴|MA|＋|MB|＝10－(|MC|－|MB|)≥10－|BC|＝10－－3＋＋－＝10－2＝8. 【答案】8 13．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为________．【解析】设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线过点(2，－2)，∴4＝2p×2. ∴p＝1，∴x2＝－2y. 当y0＝－3时，得x20＝6. ∴水面宽为2|x0|＝26 m. 【答案】26 m 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆x225＋y216＝1上，则sin A＋sin Csin B＝________. 【解析】由已知得点A，C为椭圆x225＋y216＝1的焦点，由正弦定理得sin A＋sin Csin B＝|AB|＋|BC||AC|＝2×56 ＝53. 【答案】53 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2013•大连高二检测)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，右焦点为F(1,0)． (1)求此椭圆的方程； (2)若过点F且倾斜角为π4的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．【解】(1)由ca＝22，c＝1得a＝2，b＝1，∴椭圆方程为x22＋y2＝1. (2)由x22＋y2＝1，y＝x－1，得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝43. ∴|AB|＝2|x1－x2|＝423. 16．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．【解】设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝8x1y22＝8x2. ① ② 由x1＋x22＝1y1＋y22＝－1，得x1＋x2＝2y1＋y2＝－2.③ ④ kAB＝y2－y1x2－x1. ⑤ 由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，∴y2－y1x2－x1＝8y2＋y1. 将④⑤代入上式可得kAB＝－4. ∴弦所在直线方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x ＋y－3＝0. 17．(本小题满分12分)已知过��物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的一条直线交��物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证： (1)x1x2为定值；(2)1FA＋1FB为定值．【证明】(1)��物线y2＝2px(p＞0)的焦点为Fp2，0，当直线斜率存在时，设直线AB 的方程为y＝kx－p2(k≠0)，代入��物线方程，得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0，故x1x2＝p24(定值)．当直线的斜率不存在时，AB⊥x 轴，x1＝x2＝p2，∴x1x2＝p24也成立． (2)由��物线的定义知，FA＝x1＋p2，FB＝x2＋p2，结合(1)可得1FA＋1FB＝1x1＋p2＋1x2＋p2 ＝x1＋x2＋＋＋x1x2＋p24 ＝x1＋x2＋＋＋p22＝x1＋x2＋＋x2＋＝2p(定值)． 18．(本小题满分14分)(2013•天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC→•DB→＋AD→•CB→＝8，求k的值．【解】(1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c. 过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有－＋y2b2＝1，解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2. 又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1. (2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组y＝＋，x23＋y22＝1消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 由根与系数的关系可得x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2. 因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC→•DB→＋AD→•CB→＝(x1＋3，y1)•(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)•(3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋2k2＋122＋3k2. 由已知得6＋2k2＋122＋3k2＝8，解得k＝±2.。
圆锥曲线与方程测试题(带答案)
圆锥曲线与方程测试题(带答案) 圆锥曲线与方程单元测试本次测试时长为90分钟，总分为120分。
一、选择题（每小题5分，共60分）1.椭圆 $x+my=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值为（）。
A。
2.B。
1/2.C。
4.D。
-1/22.过抛物线 $y=4x$ 的焦点作直线 $l$ 交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若线段 $AB$ 中点的横坐标为 $3$，则 $|AB|$ 等于（）。
A。
10.B。
8.C。
6.D。
43.若直线 $y=kx+2$ 与双曲线 $x-y=6$ 的右支交于不同的两点，则 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$(-15/3,-5/3)$。
B。
$(5/3,15/3)$。
C。
$(-\infty,-1)$。
D。
$(-1,\infty)$4.（理）已知抛物线 $y=4x$ 上两个动点 $B$、$C$ 和点$A(1,2)$，且 $\angle BAC=90^\circ$，则动直线 $BC$ 必过定点（）。
A。
$(2,5)$。
B。
$(-2,5)$。
C。
$(5,-2)$。
D。
$(5,2)$5.过抛物线 $y=2px(p>0)$ 的焦点作直线交抛物线于$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 两点，若 $x_1+x_2=3p$，则$|PQ|$ 等于（）。
A。
$4p$。
B。
$5p$。
C。
$6p$。
D。
$8p$6.已知两点 $M(1,5)$，$N(-4,-4)$，给出下列曲线方程：①$4x+2y-1=0$；②$x+y=3$；③$2x^2+y^2=1$；④$-y^2=1$。
在曲线上存在点 $P$ 满足 $|MP|=|NP|$ 的所有曲线方程是（）。
A。
①③。
B。
②④。
C。
①②③。
D。
②③④7.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $A$ 在双曲线第一象限的图象上，若 $\triangle AF_1F_2$ 的面积为 $1$，且 $\tan\angleAF_1F_2=1$，$\tan\angle AF_2F_1=-2$，则双曲线方程为（）。
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C ．12D ．22．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．63．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．12C ．2D 6．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=7．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ） A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =-8．已知椭圆222:14x y C b+=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足||||OF FP =，则b =（ ）A ．3BC D 9．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C S SS+=，则a 的值为（ ）A ．9B ．11C ．17D ．1910．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线:2230l kx y ka --=与双曲线C 交于A 、B 两点．若7AF FB =，则实数k ＝________．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．15．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，若点B 为()3,2，则PB PF +的最小值为________________．16．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为π4的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的面积为___________.17．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．18．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.19．已知曲线22:1(0)x y C mn m n+=≠.给出下列四个命题：①曲线C 过坐标原点；②若0m n =>，则C 是圆，其半径为m ； ③若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上； ④若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为n y x m=-. 其中所有真命题的序号是___．20．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为__________. 三、解答题21．设动点(),M x y （0x ≥）到定点()2,0F 的距离比它到y 轴的距离大2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值.22．已知抛物线1C ：()220x py p =>和圆2C ：22120x x y -+=交于O ，P 两点，且1OP k =，其中O 为坐标原点.（1）求1C 的方程；（2）过1C 的焦点F 且不与坐标轴平行的直线l 与1C 交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，1C 的准线为0l ，且0MQ l ⊥，垂足为Q .证明直线AB ，OQ 的斜率之积T 为定值，并求该定值.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，且经过点32,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB 的面积为4617，求直线l 的方程. 24．已知椭圆2222:1x y C a b +=的左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点P ，直线1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆内一点(,0)(0)M m m ≠，作一条不垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，点Q 和点B 关于x 轴对称，直线AQ 交x 轴于点(,0)N n ，证明：m n ⋅为定值．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为23，点P 为椭圆C 上一动点，且直线,AP BP 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，若点,M N 是C 上不同于,A B 的两点，且满//,//AP OM BP ON ，求证：MON △的面积为定值．26．在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，记P 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 的直线交曲线Γ于点A 、B （其中点A 在第一象限），交直线l 于点C ，且点F 是AC 的中点，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由10MD NF ⋅=得1MD NF ⊥，结合D 是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F 是MN 中点，从而MN x ⊥轴，利用勾股定理可得,a c 的关系得离心率． 【详解】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =， 因为12//MF DF ，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴， 设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23am =，在12MF F △中，由勾股定理得22242()()(2)33m m c +=，变形可得c e a ==． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,a b c 的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MF N 的性质（实质上它是等边三角形），特别是MN x ⊥轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴> ∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=,022163k y ∴===. 故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.4．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】 由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k ++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k ， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN ==23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=， 整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．5．D解析：D 【分析】首先设直线2x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率. 【详解】设直线方程为2x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立得22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，12222y y a b+=+4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-， 得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.6．C解析：C 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程．22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=， 又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.7．C解析：C 【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ， 联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-，故选：C ． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.8．B解析：B 【分析】首先由椭圆的对称性得到点P 的位置，再求解,c b 的值. 【详解】根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足OF FP =，这个点只能是右顶点，即2a c c a c -=⇒=，由条件可知242a a =⇒=，则1c =，那么b ==故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点P 的位置，从而得到2a c =这个关键条件.9．C解析：C 【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+ 所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n+=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.10．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】 由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解；210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，k = 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．11．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=， 所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】由直线方程过右焦点得的关系设直线方程与双曲线方程联立消去应用韦达定理得出由得这样结合起来可得值【详解】在中令得所以则设由消去得由得所以化简得故答案为：【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线解析：【分析】由直线方程过右焦点得,a b 的关系，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与双曲线方程联立消去x ，应用韦达定理得出1212,y y y y +，由7AF FB =，得127y y =-，这样结合起来可得k 值．在2230kx y ka --=中令0y =得32a x =，所以32a c =，则222254a b c a =-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222212230x y a bkx y ka ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得22222223504b ab a b a y y k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 2122223kab y y a k b+=-，2221222254()k a b y y b a k =-， 由7AF FB =得127y y =-，212222236kab y y y a k b+=-=-，222222()kab y a k b =--， 所以224222212222222225774()4()k a b k a b y y y a k b b a k =-=-⨯=--，化简得2221235b k a ==，k =．故答案为： 【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得）1212,y y y y +，已知条件又得127y y =-，这样结合起来可求得k 值．14．【分析】由题意利用直角三角形的边角关系可得再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出【详解】设直线的倾斜角为则在直角三角形中令则由椭圆定义得椭圆的离心率故答案为：【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系1【分析】由题意1290F MF ∠=，利用直角三角形的边角关系可得21,MF MF ，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出． 【详解】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．熟练掌握直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．15．5【分析】求出抛物线的准线方程把到焦点距离转化为它到准线的距离然后利用三点共线得最小值【详解】如图过作与准线垂直垂足为则∴易知当三点共线时最小最小值为∴的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线解析：5 【分析】求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线得最小值． 【详解】如图，过P 作PM 与准线2x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =，∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为3(2)5--=．∴PB PF +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．16．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x 求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x 得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积 122【分析】先求出直线l 的方程,与椭圆方程联立,消去x ,求出| y 1- y 2|,利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△即可求出1F AB 的面积. 【详解】由题意得: 直线l :1y x =-, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有:2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得:7y 2+6y -9=0, ∴121269,77y y y y +=-=-12211111|||227|2227F AB S F F y y -∴=⨯=⨯⨯==△即1F AB 的面积为7【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB |,利用11||2F AB AB d S =△; （2）利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△. 17．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=. 由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.18．【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系由题意及椭圆性质有为椭圆通径得结合及解出代入离心率公式计算即可【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系由及椭圆性质可得为椭圆通径所以又解得所以截口所在椭圆的离心率解析：13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ； （2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．19．③④【分析】对于①根据点在曲线上的充分必要条件即可作出判定；对于②利用圆的标准方程可求得半径为的圆故错误；对于③利用椭圆的标准方程可以判定；对于④利用双曲线的标准方程可以作出判定将双曲线方程中的等号解析：③④ 【分析】对于①，根据点在曲线上的充分必要条件即可作出判定；对于②，利用圆的标准方程可③，利用椭圆的标准方程可以判定；对于④，利用双曲线的标准方程可以作出判定，将双曲线方程中的等号右边的常数改为0，得到220x y m n+=，整理即可得到渐近线方程. 【详解】对于①，将原点坐标(0,0)代入曲线22:1(0)x y C mn m n+=≠的方程，显然不成立，故曲线C 不过坐标原点，故错误；对于②，若0m n =>，曲线22:1(0)x y C mn m n+=≠的方程为222x y m +==,对的圆，故错误；对于③，若0m n >>，则曲线22:1(0)x y C mn m n+=≠表示半长轴a =半短轴b =x 轴，即焦点在x 轴上的椭圆，故正确；对于④，若0mn <，曲线22:1(0)x y C mn m n+=≠表示双曲线，渐近线方程为220x y m n+=，即y =，故正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查圆，椭圆，双曲线的标准方程和性质，难度不大，要熟练准确掌握圆，椭圆，双曲线的标准方程，注意若0mn <，曲线22:1(0)x y C mn m n+=≠表示双曲线，渐近线方程可用220x y m n+=表示.20．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e ==又因为1e >，所以2e ===，2）. 【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤： （1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.三、解答题21．（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）8. 【分析】（Ⅰ）根据M 的几何性质可得)20x x +=≥，化简后可得抛物线的方程.（Ⅱ）设:2l x ty =+，联立直线方程和抛物线方程，消元后可得面积的表达式，从而可求面积的最小值. 【详解】（Ⅰ）由题设可得)20x x +=≥，整理可得()280y x x =≥.（Ⅱ）设:2l x ty =+，由228x ty y x=+⎧⎨=⎩可得28160y ty --=，故12y y -==又1282OABS =⨯⨯=≥，当且仅当0t =时等号成立， 故AOB 面积的最小值为8.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率、斜率的倒数或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过常见函数的性质、基本不等式或导数等求得.22．（1）26x y =；（2）证明见解析，定值为12-. 【分析】（1）由题意写出直线OP 的方程，代入圆的方程，求出点P 的坐标，再代入抛物线方程即可；（2）设直线l 的方程，与抛物线方程联立方程组，得韦达定理，即可得点M 的横坐标，进而得点Q ，表示出OQ k ，计算O AB Q k k ⋅可得定值. 【详解】（1）解：由O 为坐标原点，且1OP k =，得直线OP 的方程为y x =， 代入圆2C 的方程，得22120x x x -+=，解得0x =或6x =，则()6,6P .将点P 的坐标代入1C 的方程，得2626p =⨯，则3p =，故1C 的方程为26x y =.（2）证明：由（1）可知30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0l ：32y =-. 由题意值，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(0)2y kx k =+≠， 联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，整理得2690x kx --=，236360k ∆=+>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x k +=， 所以点M 的横坐标为3k ，则3(3,)2Q k -则31232OQk k k -==-，所以1122AB OQ T k k k k ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，故T 是定值，且定值为12-. 【点睛】思路点睛：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、焦点弦、斜率、三角形的面积等问题．23．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点32⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程. 【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛=-= ⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+. 由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx . 因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B所以()()()22212242324320k k k ∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=即223S k ==+ 因为OAB 的面积为17=，即()2232k =+. 化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程. 24．（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题中所给的条件，设出椭圆的上顶点坐标，(0,)P b ，根据122344PA PA b k k ⋅==--，求得23b =，得到椭圆的方程； （2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理，证得结果.【详解】（1）由题可知：2a =，令1223(0,),44PA PA b P b k k ⋅==--，所以23b =， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-，联立223412()x y y k x m ⎧+=⎨=-⎩，消y 得：()222223484120k x mk x k m +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理得：2221212228412,3434mk k m x x x x k k-+==++ 直线()121112:y y AQ y y x x x x +-=--， 令0y =，则()1121112111211212y x x y x y x x y x y n x x y y y y ---+++==+=++ ()()()()()2222212211212121221212122412822343482234k m mk m k x m x k x m x x x m x x y x x y k k mk y y k x m k x m x x m m k ---+--++++====+-+-+--+()222222241282448686m k m k mk m mk m m---===--- 所以44m n m m⋅=⋅=（定值）. 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，解题思路如下：（1）根据椭圆上的点与顶点连线斜率乘积为定值，得到相应参数所满足的条件，求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用题意，求得其坐标，结合韦达定理证得结果.25．（1）2214x y +=；（2）定值为1，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得2a =，c =222a b c =+即可求解.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，且直线MN 的方程为：x my t =+，由题意可得14OM ON k k ⋅=-，联立直线MN 和椭圆方程，利用韦达定理可得2224t m =+，再由121||||2S t y y =-，化简整理即可求解. 【详解】（1）由题意可得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得1b =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y += （2）证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为：x my t =+ 由1//,//,,4AP BP AP OM BP ON k k ⋅=-得14OM ON k k ⋅=- 即121214y y x x ⋅=-， 联立直线MN 和椭圆方程：2214x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 整理得：222(4)240m y mty t +++-= 由韦达定理可得：212122224,44mt t y y y y m m -+=-=++ 又221212244()()4t m x x my t my t m -=++=+ 代入121214y y x x ⋅=-，可得2224t m =+， MON ∴△的面积1211|||||22S t y y t =-=1===，MON ∴△的面积为定值1．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线MN 的方程x my t =+中2224t m =+，考查了计算能力.26．（1）24y x =；（2）16||3AB =． 【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；（2）由点F 是AC 的中点可得A 点的坐标，设出直线AB 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理再得B 点坐标，再由两点间的距离公式可得答案．【详解】（1）因为动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，由抛物线定义可得曲线Γ为抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则12p =， 所以2p =，曲线Γ的方程为24y x =. （2）设过点F 的直线方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，且120,0y y ><，0(1,)C y -，由214x my y x=+⎧⎨=⎩整理得，2440y my --=，所以124y y =-， 因为点F 是AC 的中点，所以1112x -=，解得13x =，所以211412y x ==，得1y =(3,A ，又因为124y y =-，所以2y =，代入抛物线方程得213x =，所以1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以163AB ===. 【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系及弦长，关键点是由点F 是AC 的中点可得A 点的坐标，利用韦达定理再得B 点坐标，考查了学生的基础知识、基本技能.。
第三章 圆锥曲线与方程单元测试(解析版)
2021-2022学年高二数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019选择性必修第一册）第三章圆锥曲线与方程一、单选题1．不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足2AB OM k k ⋅=，则顶点在坐标原点O ，焦点在x轴上，且经过点(P a 的抛物线方程是（）A ．24y x =B ．22y x=C．2y =D．22y x =【答案】C【分析】运用点差法得到222AB OM b k k a⋅==得解【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222200x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，相减得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=，所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即12212212120202y y y y b x x x x a +--⋅=+--，所以222AB OM b k k a⋅==，b a =22(0)y px p =>，则22,pa p ==．于是所求抛物线方程是2y =．故选：C ．2．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为2F ，过点2F 且倾斜角为3π的直线与双曲线右支交于A ，B两点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．()1,2B．(C．)+∞D ．()2,+∞【答案】A【分析】根据题意，直线l 的斜率为k 进而作出图形，数形结合得b a <故2c e a ==<=，进而得12e <<.【详解】因为过2F 的直线l 的倾斜角为3π，所以直线l 的斜率为tan3k π==因为直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，如图所示：由图象知：ba<，所以2c e a ==<=，又1e >，所以12e <<，故选：A ．3．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-->>的左右焦点分别为1F ､2F ，过点2F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，与双曲线左支交于点P ，且112||PF F F =，则双曲线的离心率为（）A B ．2C ．73D ．53【答案】D【分析】根据题意，作出图形，结合定义可得222PF a c =+，由21cos 2a c PF F c +∠=与21cos bPF F c∠=，化简求值即可【详解】在12PF F △中，112PF F F =，222PF a c =+，由余弦定理可知，21cos 2a cPF F c+∠=，在2Rt F O A △中，21cos b PF F c ∠=，2a c bc c+∴=，化简可得：223250c ac a --=，53e ∴=.故选：D.4．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12 ∠F PF 的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线，||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.【详解】P 是焦点为1F 、2F 的椭圆2212516x y +=上一点，PQ 12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1FQ 的延长线交2F P 的延长线于点M ，1∴=PM PF ，12210+== PF PF a ，22||210∴=+==MF PM PF a ，由题意知OQ 是12F F M △的中位线，||5∴==OQ a ，Q ∴点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，∴当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离541=-=-=d a b，故选：D ．5．已知直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1AB 与x 轴相交于(),0C m 点，则实数m 的值为（）A ．1-B ．2-C ．32-D ．12-【答案】A【分析】设抛物线的准线与x 轴交于1C ，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足为M ，N ，可证得11~AMC BNC ，有11AC F BC F ∠=∠，所以点1C 与点C 重合，故得解.【详解】设抛物线的准线与x 轴的交点为1C ，过点,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,M N .因为1////AM FC BN ，所以11MC AF AM NC BF BN==，又因为01190AMC BNC ∠=∠=，所以11~AMC BNC ，所以11MAC NBC ∠=∠，即11AC F BC F ∠=∠，因为点B 关于x 轴的对称点为1B ，所以点1C 与点C 重合，所以1m =-.故选：A6．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（）A ．36B ．48C ．72D ．96【答案】D【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，b =4c ==，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠ ，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.7．已知圆22(2)9x y ++=的圆心为C ，过点(2,0)M 且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【答案】C 【分析】根据题意找出几何关系CAB CBA ∠=∠，得到CAB AMP ∠=∠，所以PM PB =，即可得到--3PM PC PB PC BC ===，可求点P 的轨迹.【详解】由已知条件可知AC BC =,所以三角形是等腰三角形，CAB CBA ∠=∠,因为//MP AC 所以CAB AMP∠=∠则三角形BMP 是等腰三角形，PM PB =所以--3||4PM PC PB PC BC MC ===<=所以点P 的轨迹是双曲线的左支．故选：C【点睛】考查数形结合解集动点轨迹问题，本题的关键是根据图形，确定PM PM =.8．平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于AB 、两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到y 轴的距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，过,A B分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，根据抛物线的定义和已知条件可得点B 为AP 的中点，进而可得点B 的横坐标为1，则26AM BN ==从而可求出答案【详解】解：设抛物线2:8C y x =的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，如图过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，因为2FA FB =，所以2AM BN =，所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则12OB AF =，所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1，所以26AM BN ==，所以点A 到y 轴的距离为4，故选：B【点睛】考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义9．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）A 174B 173C 214D 213【答案】B【分析】令双曲线E 的左焦点为F '，连线即得PFQF ' ，设FR m =，借助双曲线定义及直角F PR ' 用a 表示出|PF|，||PF '，再借助Rt F PF ' 即可得解.【详解】如图，令双曲线E 的左焦点为F '，连接,,PF QF RF '''，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF '是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有PFQF ' 是矩形，设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==，||22PF m a =-，||2,||32RF m a PR m a '=+=-，在Rt F PR ' 中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去），从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt F PF ' 中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22179c a =，173c e a ==所以双曲线E 的离心率为173．故选：B10．已知椭圆E :2212x y +=的左焦点为F ，过点P (2，t )作椭圆E 的切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，则三角形ABF 面积最大值为（）A 2B ．1C ．2D ．43【答案】A【分析】设11(,)A x y ,22(,)B x y ，并求出切线PA 、PB 的方程，进而求出直线AB 方程，并确定其过定点(1,0)，且定点为椭圆的右焦点2F ，再联立方程求得12222t y y t +=+，12212y y t -=+，再表示出ABF S = 本不等式求出范围即可.【详解】由椭圆方程2212x y +=，知222,1a b ==，21c ∴=(1,0)F ∴-，设右焦点为2(1,0)F ，即22FF =设11(,)A x y ,22(,)B x y ，由椭圆的切线方程可知切线PA 的方程为1112x x y y +=，切线PB 的方程为2212x xy y +=由于点P 在切线PA 、PB 上，则112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，故直线AB 方程为1x ty +=，所以直线AB 过定点(1,0)，且定点为椭圆的右焦点2F ，联立方程22112x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(2)210t y ty +--=由韦达定理得12222ty y t +=+，12212y y t -=+，21211||222ABF S FF y y ∴=⨯⨯-=⨯V =1m =≥，则221t m =-，12m m+≥，则11012m m<≤+(ABFS m m===+，当且仅当1m =，即0t =时，等号成立，故三角形ABF 故选：A【点睛】考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程22221x y a b+=在椭圆上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y x a b +=.二、多选题11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQλ=uur uuu r【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-化简得4133y x =-,由24133y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =,故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故1211251216216p AB x x =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以C ,B,Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ．12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（）A ．与()222210,0x y a b a b -=>>共轭的双曲线是()222210,0y x a b a b-=>>B ．互为共轭的双曲线渐近线不相同C ．互为共轭的双曲线的离心率为1e 、2e 则122e e ≥D ．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】CD【分析】由共轭双曲线的定义可判断A 选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B 选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C 选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由共轭双曲线的定义可知，与()222210,0x y a b a b -=>>共轭的双曲线是()222210,0y x a b b a-=>>，A 错；对于B 选项，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，双曲线()222210,0y x a b b a-=>>的渐近线方程为b y x a =±，B 错；对于C 选项，设c ，双曲线22221x y a b -=的离心率为1c e a =，双曲线22221y x b a-=的离心率为2c e b =，所以，222122c b a b a e e ab ab a b +===+≥=，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，设c 22221x y a b-=的焦点坐标为(),0c ±，双曲线22221y x b a-=的焦点坐标为()0,c ±，这四个焦点都在圆222x y c +=上，D 对.故选：CD.13．已知焦点在y 轴，顶点在原点的抛物线1C ，经过点()2,2P ，以1C 上一点2C 为圆心的圆过定点()0,1A ，记M ，N 为圆2C 与x 轴的两个交点（）A ．抛物线1C 的方程为22x y=B ．当圆心2C 在抛物线上运动时，MN 随2C 的变化而变化C ．当圆心2C 在抛物线上运动时，记||AM m =，||AN n =，m nn m+有最大值D ．当且仅当2C 为坐标原点时，AM AN ⊥【答案】ACD【分析】由已知，设抛物线方程为22x py =，将点()2,2P 代入即可判断A 选项；设圆心22,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，求出圆的半径，写出圆的方程，令0y =，可求得M 、N ，由此可判断B 选项；设(1,0)M a -，(1,0)N a +，根据条件可求得m nn m+，利用基本不等式讨论即可判断C 选项；再根据222||||||AM AN MN +≥可判断D 选项．【详解】解：由已知，设抛物线方程为22x py =，2222p =⨯，解得1p =．所求抛物线C 的方程为22x y =，故A 正确；设圆心22,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆的半径r =圆2C 的方程为222222()122a a x a y a ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0y =，得22210x ax a -+-=，得11x a =-，21x a =+，12||2MN x x =-=（定值），故B 不正确；设(1,0)M a -，(1,0)N a +，m =n ==，222m n m n n m mn ++===当0a =时，2m nn m+=，当0a ≠时，m n n m +=≤，故当且仅当a =m nn m+取得最大值为，故C 正确；由前分析，2222||||24||4AM AN a MN +=+≥=，即2222224a a a a -++++=，当且仅当0a =时，222||||||AM AN MN +=，故D 正确；故选：ACD ．14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．椭圆C 2B ．椭圆C 的离心率不确定C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为13-【答案】AD 【分析】设(,)P x y ，则2222(1x y b a =-，从而可得1222A P A P b k k a ⋅=-，再结合已知条件可得2212b a =，进而可求出椭圆的离心率，可对A ，B 选项判断；由已知条件可得四边形12A PA Q 为平行四边形，则有12A Q PA k k =，结合已知条件可得1112PA QA k k ⋅=-，从而可知11PA QA k k ⋅的值不受点P ，Q 的位置影响，设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，由题意得1tan tan 2αβ⋅=，则结合基本不等式可得12tan A PA ∠≤-P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，进而可求出12cos A PA ∠的最小值【详解】解：设(,)P x y ，则2222(1)xy b a=-，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222A P A P y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-+--，因为1212PA PA k k ⋅=-，所以2212b a -=-，所以2212b a =，所以离心率2e ===，所以A 正确，B 错误；因为点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，所以12A Q PA k k =，因为1212PA PA k k ⋅=-，所以1112PA QA k k ⋅=-，不受P ，Q 位置影响，所以C 错误；设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，由题意得1tan tan 2αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--，所以12tan tan tan tan()tan()1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--当且仅当tan tan αβ=时取等号，即当αβ=时，即当点P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，1212A PA A PO ∠=∠，111sin AO A PO A P ∠===，所以2121121cos cos 212sin 1233A PA A PO A PO ∠=∠=-∠=-⨯=-，所以D 正确，故选：AD.【点睛】考查椭圆的性质的应用，考查计算能力和转化思想，解题的关键是由1212PA PA k k ⋅=-可得2212b a =，从而可求出椭圆的离心率，设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，则有1tan tan 2αβ⋅=，再结合基本不等式可得12tan tan tan tan()tan()1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--，从而可知当点P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，进而可得答案，属于中档题三、填空题15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点FC 相交于A ,B 两点，若12AF FB =，则椭圆C 的离心率为____.【答案】23【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到,BE AB ，然后利用cos BE ABE AB∠=计算即可.【详解】如图，作AD 垂直右准线交右准线于点D ，作BC 垂直右准线交右准线于点C 作AE 垂直BC 于点E由12AF FB =，设,2AF m FB m == ，则3AB m =由2,AF FB m mAD AD e e e e====所以mBE BC AD e=-=，又直线AB 360ABE AFx ∠=∠= 所以112cos 323BE ABE e ABe ∠===⇒=故答案为：2316．双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过其左支上一点M 作平行于x 轴的直线交渐近线于P 、Q 两点，若4PM MQ ⋅=，则该双曲线的焦距为________.【答案】8【分析】设()00,M x y ，写出渐近线方程，即可得00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，结合4PM MQ ⋅=可得222024a x y b=-，由()00,M x y 在双曲线上可求出24a =，结合离心率可求出4c =，即可求出焦距.【详解】解：设()00,M x y ，则2200221x y a b-=，双曲线渐近线方程为b y x a =±，所以当0y y =时，0a x y b =±，即00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为//PQ x 轴，所以00a MP y x b =--，00a MQ y x b =-，则2220024P x M a M bQ y =-⋅=，又2200221x y a b-=，即2222002a y x a b -=，所以24a =，即2a =，则离心率22c c e a ===，所以4c =，所以焦距为28c =，故答案为:8.【点睛】考查了双曲线的离心率,双曲线的渐近线方程.本题的关键是求出a 的值.17．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在E 上，且2AF OF =，若OA ，则p =______.【答案】【分析】设()00,A x y ，进而结合抛物线的定义与已知条件得,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，进而由OA =解得答案.【详解】解：设()00,A x y ，由题知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2p OF =，因为2AF OF =，所以2AF p OF ==因为点A 在E 上，所以02F x p A p +==，解得02px =，所以,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以2OA =，解得p =故答案为：18．已知椭圆G ：22216x y b+=（0b <<1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是__．【答案】①③【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP 的值取得最小，即可判断③；点P 靠近坐标轴时，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得2 3m =2=，可得OP 的最小值为2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，可得OP <.【详解】由椭圆的对称性及1212PF PF PB PB +=+，所以可得以1B ，2B 为焦点的椭圆为椭圆222166y xm +=-，则点P 为椭圆22216x y m +=与椭圆222166y x m+=-的交点，因为椭圆G 的长轴顶点()椭圆222166y x m+=-的长轴顶点(0,所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得2 3m =时，取得最小值，此时两椭圆方程为：22163x y +=，22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，∴OP <故答案为：①③．【点睛】考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．四、解答题19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，依次连结E的四个顶点构成的四边形面积为（1）求E 的方程；（2）设E 的左，右焦点分别为1F ，2F ，经过点(2,0)M -的直线l 与E 交于A ，B 两点，且12//F A F B ，求l 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）12或12-.【分析】（1）由题意可得：22ab ==⎪⎩，解方程组即可求解；（2）设直线l 的方程为2x ty =-，联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩利用根与系数的关系，再结合1//2F A F B 的坐标关系，建立等式即可求解【详解】（1）依题意可得：22ab ==⎪⎩解得a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）由题可知：直线l 的斜率存在且不为零，故设直线l 的方程为2x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）可知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，则()1111,F A x y =+ ，()2221,F B x y =-，因为1//2F A F B，所以()()122111x y x y +=-，10y ≠，20y ≠，化简得213y y =，所以1214y y y +=，21213y y y ⋅=，得()()21212163y y y y ⋅+=.联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()222420t y ty +-+=，由0∆>得22t >，12242t y y t +=+，12222y y t =+，则()222216162322t t t=++，解得2t =或2t =-，故l 的斜率为12或12-.20．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）221124x y -=；（2）AB =．【分析】（1）先判断出轨迹为双曲线，然后根据焦点坐标和实轴长度求解出双曲线的方程；（2）写出直线l 的方程，联立直线方程与双曲线的方程，利用弦长公式求解出AB .【详解】解：（1）因为8PM PN MN -=<=，所以点P 的轨迹是以,M N为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=；（2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB ===21．平面直角坐标系中，点()1,0F ，直线l ：3x =-．动点P 到l 的距离比线段PF 的长度大2，记P 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）设点()()1,0A t t >在E 上，C ，D 为E 上异于A 的两个动点，且直线AC ，AD 的斜率互为相反数，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出该定值．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，1-.【分析】（1）依题意，线段PF 的长度等于P 到l '：1x =-的距离，由抛物线定义可得其方程；（2）设直线CD 方程为y kx b =+（0k ≠），与E 联立得()222240k x bk x b +-+=，由“直线AC ，AD 的斜率互为相反数”结合韦达定理得()2120k b k b +-+-=，进而可证得结果.【详解】（1）由已知，线段PF 的长度等于P 到l '：1x =-的距离，则点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，l '：1x =-为准线的抛物线，所以，E 的方程为24y x =．（2）将1x =代入24y x =得2t =．则()1,2A 易知直线CD 斜率存在，设为k ，知0k ≠，直线CD 方程为y kx b =+．由24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩得()222240k x bk x b +-+=．则242C D bk x x k -+=，22C D b x x k=．①则2211D D AD D D y kx b k x x -+-==--，2211C C AC C C y kx b k x x -+-==--，因为直线AC ，AD 的斜率互为相反数，所以，()()()()()22222201111C D C D C D AC AD C D C D kx x b k x x b kx b kx b k k x x x x +--+--+-+-+=+==----，则()()()22220C D C D kx x b k x x b +--+--=．②联立①②，得()2120k b k b +-+-=，所以1k =-或2k b =-．若2k b =-，则CD 的方程为()212y kx k k x =+-=-+，恒过点()1,2A ，不合题意；所以1k =-，即直线CD 的斜率为定值1-．22．已知椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，点A 为椭圆C 的上顶点，过点F 与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且3PQ =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为30°，且与椭圆C 交于M ，N 两点，问是否存在这样的直线l 使得0FA FM FN ++= ？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据题给条件，建立关于a ，b ，c 的方程即可求出结果.（2）这是典型的解析几何存在性问题，先假设满足条件的直线存在，由题给条件设直线的方程，根据题中的向量等式，求解出直线方程，从而得出结论.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意可得2222123c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得123c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2）由题及（1）知，(03),(1,0)A F ，，假设存在直线l 满足题意，并设直线l 的方程为:33y x t =+，()11,M x y ，()22,N x y ．由223143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2213831230x tx t ++-=，由()22Δ)4131230t =-⨯⨯->，得12,3313t x x -<<+=-．由题意知:点F 为AMN 的重心，所以123A F x x x x ++=，即03+=，解得t =当t =t <所以不存在直线l ，使得0FA FM FN ++= ．。
高中数学 第二章圆锥曲线与方程检测试卷及答案解析
第二章 本章检测一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（ ）A .54B .52C .32D .54 2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是（ ） A .22134x y -= B .22143x y -= C .22152x y -= D .22125x y -= 3. 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44．设双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 5.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为（ ）A .22 B .32C .2－3D .3－１ 6. 已知△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)， △ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.221916x y -= B.221169x y -= 建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分C.221916x y -=(x >3) D.221169x y -= (x >4) 7.已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若4FA FB =-，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±438. 若点P 到A (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：x －y ＝0的距离等于582，则满足条件的点P 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49.已知双曲线C ：x 2－24y ＝1，过点(1,1)作直线l ，使直线l 与双曲线C 只有一个交点，满足这个条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10. 双曲线22221x y a b -=的左焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆位置关系为( ) A .相交 B .相切C .相离D .以上情况都有可能11. 已知方程22ax by ab +=和0ax by c ++=，其中,ab ≠0,a ≠b ,c ＞0，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）12. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）A BC DA. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填到横线上）13. 已知椭圆221x y m n+=与双曲线2x p －2y q 有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．14.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 15．平面上有三个点A (－2，y )，B 0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，C (x ，y )，若A B B C ⊥，则动点C 的轨迹方程是________．16.已知双曲线方程是x 2－22y ＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程18．（12分）设A ，B 分别为双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．19．（12分）如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．20.（12分）已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P.(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足|MG|·|NG|＝|OG|2(O为坐标原点)，求·MG NG的取值范围．21.（12分）已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由22.（12分）设分别为椭圆：22221x ya b+=(0)a b>>的左、右两个焦点.（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、选择题1. B 解析：由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，. 2. D 解析：设双曲线方程为．将代入， 整理得．由根与系数的关系得，则． 又，解得，，所以双曲线的方程是3.D 解析:因为椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.4.D 解析：双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，x2－x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2b a ⎛⎫⎪⎝⎭－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝22a b a +＝21b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ 5.5. D 解析：由题意得，，. 在直角三角形中,,即,整理得.等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）. 故6. C 解析:如图,|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是：以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为221916x y -=(x >3)． 7.D 解析:由题意知焦点F (1,0)， 直线AB 的斜率必存在且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，① y 1y 2＝－4.② 又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③ 联立①②③式解得k ＝±43.8.B 解析：点P 的轨迹方程为y 2＝4x ，设P (t 2，2t )，则点P 到直线x －y ＝0的距离为|t 2－2t |2，令|t 2－2t |2＝582，解得4t 2－8t ±5＝0，∴ t ＝－12或t ＝52，共2个．故选B.9.D 解析：数形结合可知过点(1,1)，当斜率不存在时和与两条渐近线平行时所在的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程y ＝kx ＋1－k 与双曲线方程联立消元利用判别式为0可求得k ＝52也符合．所以有4条． 10.B 解析：如图所示，设的中点为，若在双曲线左支上，则，即圆心距为两圆半径之和，此时两圆外切；若在双曲线右支上，同理可求得，此时两圆内切，所以两圆位置关系为相切. 11. B 解析：方程可化成，可化成.对于A ：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错； 对于C ：由椭圆图象可知：，，∴ ，即直线的斜率应小于0，故错；同理错.所以选B ．12. B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为. 又，所以直线的斜率为.由题意得，解得. 二、填空题13. 解析：因为椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=有共同的焦点， 所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为, 由椭圆以及双曲线的定义可得， ， 由①②得，．所以．14. 6 解析：由题意，得F (-1，0)， 设点，，则有 =1，解得=. 因为＝，，=，，所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为=-2， 因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值 +2+3＝6. 15. y 2＝8x 解析: AB ＝0,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－(－2，y )＝2,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， BC ＝(x ，y )－0,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭.∵ AB BC ⊥，∴ 0AB BC ⋅=，∴2,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭·,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，即y 2＝8x . ∴ 动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .16.4x －y －7＝0 解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由221112y x -=，222212y x -=，得k ＝()2121212122442x x y y x x y y +-⨯===-+， 从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0， 因为Δ＞0，故此直线满足条件． 三、解答题17. 解：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ， 根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 这表明动点M 到两定点C 2、C 1的距离的差是常数2，且小于|C 1C 2|＝6.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)， 这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－28y ＝1(x ≤－1)．18.解：(1)由题意知a ＝23，∴ 一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3 ，∴ b 2＝3，∴ 双曲线的方程为221123x y -=. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴ 00220043,31,123x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴ 0043,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴ t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．19.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵ 点P (1,2)在抛物线上，∴ 22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝1121y x -- (x 1≠1)，k PB ＝2221y x -- (x 2≠1)， ∵ PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴ k PA ＝－k PB .由点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴12221222111144y y y y --=---，∴ y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴ y 1＋y 2＝－4. 由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝12121241y y x x y y -==--+ (x 1≠x 2)．20. 解：(1)由题意得|PA |＝|PB |，∴ |PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2，∴ 动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为22221y x a b+= (a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴ 动点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=. 曲线Q:x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1,即(x －a )2＋y 2＝1，∴ 曲线Q 是圆心为(a ,0)，半径为1的圆． 而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， ∴ a 的最小值为－3＋1.(2)设G (x ，y )，由|MG |·|NG |＝|OG |2得：2222·(2)(2)x y x y ++-+＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴ ·MG NG ＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)． ∵ 点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴x 2＋(y －1)2<16， ∴ 0≤(y －1)2<16⇒－3<y <5⇒0≤y 2<25，∴－2≤2(y 2－1)<48， ∴ •MG NG 的取值范围为[－2,48)． 21.解： （1）直线的方程为．依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=．（2）假若存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=, 所以22(12)36(13)0k k D =-+>.① 设11()C x y ，、22()D x y ，，则②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×．当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点． 22.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.又点312A 骣÷ç÷ç÷ç÷桫，在椭圆上，因此22232112b骣÷ç÷ç÷÷ç桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点，.（2）设椭圆上的动点，线段的中点满足111,22x y x y -+==，即，.因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=.又设点的坐标为，由,PM PN y n y n k k x m x m -+==-+，得2222y n y ny n x m x mx m-+-?-+-.将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a。
圆锥曲线与方程综合练习含详细解答
5 ，求圆 C 的标准方程. 2
4/9
2 2 19. 设圆 C 与两圆 （x+ 5） y 2 4, （x 5） y 2 4 中 的一个内切，另一个外切.
（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程. （2）已知点 M (
3 5 4 5 且 P 为 L 上动点，求 MP FP 的最大值及 ， )，F （ 5，0）， 5 5
| PF1 | 、 | F1 F2 | 、 | PF2 | 成等差数列，则椭圆方程为
（
）
A.
x2 y 2 1 8 6
B.
x2 y 2 1 16 6
C.
x2 y 2 1 8 4
D.Байду номын сангаас
x2 y 2 1 16 4
9.双曲线
A.(, 0)
x2 y 2 1 的离心率 e (1, 2) ，则 k 的取值范围是（ ） 4 k
B
C
D
．
12.已知抛物线 y ax 2 1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点 ． 7 13.在△ABC 中，AB=BC， cos B ．若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C，则 18 该椭圆的离心率 e= ．
2 14.已知 F 是抛物线 C：y 4 x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A，B 两
2
的
焦
点
坐
标
是
F1 m 2 n 2 ,0 , F2
m
n 2 ,0
1/9
7.已知圆 x 2 y 2 6 x 7 0 与抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线相切，则 p 为（ A、1 B、2 C 、3 D、4
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5 C ．3 D ．6 2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+= 3．设O 为坐标原点，1F ，2F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且3OP a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．14C ．312- D ．224．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．25．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．346．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ） A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =-7．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 0y ±=B ．0x ±=C 20y ±=D ．20x =8．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．729．已知两定点()0,1M -，()0,1N ，直线l ：y x =+，在l 上满足PM PN +=P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1或210．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ的最小值是（ ）A ．12B ．27C ．23D 11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．[D ．12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．15．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2cA PA a=（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____． 17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为e ，直线:l y x =与双曲线C 交于,M N 两点，若MN =，则e 的值是___________.18．在双曲线22221x y a b -=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.19．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为__________.20．已知点P 是椭圆22:13x C y +=上动点，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值是________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为4+C 的方程； （2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积. 23．A B 是抛物线24y x =上两个不同的点，A 、B 纵坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）O 为原点，若OA OB ⊥，求直线AB 的方程．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为2，P 是椭圆C 上的一个动点，当P 是椭圆C 的上顶点时，12F PF △的面积为1.（1）求椭圆C 的方程（2）设斜率存在的直线2PF ，与椭圆C 的另一个交点为Q .若存在(),0T t ，使得TP TQ =，求t 的取值范围25．已知抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点为F ，点(4,)A m 在抛物线C 上，且OAF △的面积为212p （O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线l ：1y kx =+与抛物线C 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．26．如图，已知抛物线2:2(0)M x py p =>的焦点为(0,1)F ，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，在A ，B 两点处的切线相交于N ，再分别过A ，B 两点作准线的垂线，垂足分别为C ，D .（1）求证：点N 在定直线上；（2）是否存在点N ，使得BDN 的面积是ACN △的面积和ABN 的面积的等差中项，若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62ce a . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．B解析：B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-，利用点差法22 11 22 22 22 2211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y ya b+-+-+=，整理得到2212214y bx a=，即222222244b a ck ka a-=⇒=，即221k e+=故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．A解析：A【分析】根据中线向量可得()1212PO PF PF=+，平方后结合椭圆的定义可得212PF PF a⋅=，在焦点三角形中再利用余弦定理可得224c a=，从而可求离心率.【详解】因为O为12F F的中点，故()1212PO PF PF=+，所以()2221212124PO PF PF PF PF=++⋅，故22212123112442a PF PF PF PF⎛⎫=++⋅⋅⎪⎝⎭，故()2222121212123a PF PF PF PF PF PF PF PF=++⋅=+-⋅，所以212PF PF a⋅=，又22212121422c PF PF PF PF =+-⋅⋅， 故()2222212124343c PF PF PF PF a a a =+-⋅=-=，故12e =. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.4．A解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题6．C解析：C 【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ， 联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-，故选：C ． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.7．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，2b a ∴=， 因此，双曲线C 的渐近线方程为2by x x a=±=±，即20x y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -=所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=,其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为：1115||||||||||222PD PP PD PF DF +=+-≥-== 当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．B解析：B 【分析】求出P 点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的P 点的个数． 【详解】∵PM PN +=2MN =，∴P 在以,M N为焦点，由于2a =，a =1c =，因此1b ==，椭圆方程为2212x y +=，由2212y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴P 点只有一个． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点P 的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．10．B解析：B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：在椭圆22:11612x y C +=中，4a =，23b =222c a b -，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，899211111617PF PF PT PQPT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=， 所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意. 易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+， 联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】由椭圆定义得由余弦定理得结合可得的值从而得答案【详解】由已知得所以由椭圆定义得由余弦定理得即则的面积为故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的简单的性质关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题考解析：24-由椭圆定义得128F P PF +=，由余弦定理得22212121212cos 2F P PF F F F PF F P PF +-∠=⨯，结合可得12F P PF ⨯的值，从而得答案. 【详解】 由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=， 由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PFF P PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF ⨯=， 则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24- 【点睛】本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解 解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值． 【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+， 设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=， 直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．16．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理解析：1)． 【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.【详解】设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ， 如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=,∴点C 是双曲线的顶点，即11F A FC c a ==+，22F B F C c a ==-，22c PA PB a==， 2122222c c a PF ac PF c a a++=>-+，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a ， 得2260e e +-<，解得：1717e --<<-+，且1e >， 所以离心率的取值范围是()1,71-.故答案为：()71 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.17．【分析】联立方程组求出M 的坐标利用整理得求出离心率【详解】不妨设点在第一象限联立得又∴则整理得所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构造离心率e 6【分析】联立方程组求出M 的坐标，利用2MN b =，整理得225b a =，求出离心率.【详解】不妨设点(),M x y 在第一象限，联立22221x y a b y x⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222a b x y b a ==-，又MN =，∴2222b x y +=，则2222222a b b b a =-，整理得225b a =，所以==e【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.19．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故或2【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e ==又因为1e >，所以e ===，. 【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤： （1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.20．【分析】设与平行的直线与相切求解出此时的方程则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出【详解】设与平行的直线当与椭圆相切时有：所以所以所以所以或取此时与的距离为所以点到直线距离的最大值为解析：2【分析】设与30x y +-=平行的直线:l y x m '=-+与22:13xC y +=相切，求解出此时l '的方程，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与30x y +-=平行的直线():3l y x m m '=-+≠，当l '与椭圆C 相切时有：2233y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，所以2246330x mx m -+-=， 所以()223616330m m ∆=--=，所以2m =±，所以:20l x y '+-=或:20l x y '++=，取:20l x y '++=，此时:20l x y '++=与30x y +-=的距离为2d ==，所以点P 到直线30x y +-=距离的最大值为2，. 【点睛】方法点睛：求解椭圆22221x y a b+=上一点到直线距离的最值的两种方法：（1）设与已知直线平行的直线l 与椭圆相切，求解出切线l 的方程，根据平行直线间的距离公式求解出点到直线距离的最值；（2）将P 点坐标为设为()cos ,sin a b θθ，利用点到直线的距离公式以及三角函数的知识求解出点到直线距离的最值.三、解答题21．（1）24x y =；（2）230x y -+=. 【分析】 （1）将将2py =代入抛物线C 的方程可求得,M N 坐标，得,,MN OM ON ，由OMN 的周长参数p ，得抛物线方程；（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由,A B 坐标表示出直线斜率，结合中点坐标即得直线斜率，得直线方程． 【详解】解：（1）由题意，焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将2p y =代入抛物线C 的方程可求得,2p M p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p N p ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2MN p =，OM ON p ===，所以QMN 的周长为24p +=+2p =，故抛物线方程为24x y =.（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，直线m 的斜率为2212121244x x x x x x -+=-， 由条件1212x x +=，故直线m 的斜率为12，从而直线m 的方程为230x y -+=.【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，求中点弦所在直线方程．已知弦中点坐标，一般设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y 代入圆锥曲线方程相减即可得中点坐标与直线斜率关系．这称为“点差法”． 22．（1）28x y =；（2） 【分析】（1）由题中条件，根据抛物线的定义，得到242p+=，求出p ，即可得出抛物线方程； （2）先由（1）得到焦点坐标，得出直线l 的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，求出弦长AB ，再由点到直线距离公式，以及三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4，所以242p+=，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28x y =； （2）由（1）可得，()0,2F ；则过点F 且斜率为1的直线l 的方程为：2y x =+，即20x y -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 由228y x x y=+⎧⎨=⎩消去x ，整理得21240y y -+=， 则1212y y +=，因此1212416AB AF BF y y p =+=++=+=， 又点O 到直线20x y -+=的距离为d ==，所以OAB的面积为12OABS AB d ==. 【点睛】 思路点睛：求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，即可得出三角形的面积.23．（1）1；（2）y x =或4y x =-． 【分析】（1）法一：设()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程相减结合斜率公式即可求得；法二：设直线方程与抛物线联立结合韦达定理求得结果；（2）由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=即12120x x y y +=结合两根关系可求得m ，即可求直线方程. 【详解】（1）法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得()()()1212124y y y y x x +-=-． ∵124y y +=，∴()()121244y y x x -=-． 根据题意可知12x x ≠，∴12121AB y y k x x -==-， ∴直线AB 的斜率为1．法二：据题意直线AB 斜率存在，可设直线AB 的方程为y kx m =+，与24y x =联立得204k m y y -+=，则1244y y k+==， ∴1k =，∴直线AB 的斜率为1．（2）由（1）得，124y y +=，124y y m ⋅=， 由题意，0OA OB ⋅=，即()221212121214016x x y y y y y y m m +=+=+=， 解得，0m =或4m =-．所以，直线AB 的方程为y x =或4y x =-． 【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．24．（1）2212x y +=；（2）10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）根据离心率、12F PF △的面积为1及a 、b 、c 的关系，即可求得a 、b 、c 的值，即可得答案.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，直线2PF 的斜率为k ，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可求得N 点坐标，根据题意，可得直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，利用斜率的关系，即可求得t 的表达式，结合k 的范围，即可求得答案. 【详解】（1）由题可知椭圆离心率2，当P 为椭圆C 的上顶点时，12F PF △的面积为1.∴2221212c ab c b c a⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，直线2PF 的斜率为k ， 由（1）设直线PQ 的方程为()1y k x =-. 当0k =时，0t =符合题意.当0k ≠时，把()1y k x =-代入2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=，∴()()42221641222880k k k k ∆=-+-=+>，2122412k x x k+=+， ∴212022212x x k x k+==+，()002112k y k x k -=-=+， 即2222,1212k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ∵TP TQ =，∴直线TN 为线段PQ 的垂直平分线， ∴TN PQ ⊥，即1TN k k ⋅=-.∴222121212k k k k t k-+⋅=--+， ∴22211122k t k k ==++.20k >，210k ∴> ，2122k+>， 2110122k ∴<<+，即10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【点睛】解题的关键是根据韦达定理求得N 点坐标，将题干条件转化为直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，根据斜率关系进行求解，考查计算化简的能力，属中档题.25．（1）24y x =；（2）114y x =-+． 【分析】（1）分析题意，列方程组，用待定系数法求抛物线C 的方程；（2）用“设而不求法”联立方程组，把OM ON ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，得到直线方程 【详解】解：（1）由题意可得228,11,222m p p m p ⎧=⎪⎨⨯⋅=⎪⎩解得2p =．故抛物线C 的方程为24y x =． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩整理得22(24)10k x k x +-+=．由题意可知0k ≠，则12224k x x k -+=-，1221x x k =． 因为OM ON ⊥，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 则()()()()21212121211110x x kx kx k x x k x x +++=++++=，即()222124110k k k k k -⎛⎫+⋅+⋅-+= ⎪⎝⎭，整理得2140k k +=， 解得14k =-． 故直线l 的方程为114y x =-+． 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.26．（1）证明见解析；（2）存在，1N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由题意设直线:1AB y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与抛物线方程联立求出两根之和、两根之积，求出直线121:24x x AN y x =-以及直线222:24x x BN y x =-，将两直线联立求出交点即证.（2）由（1）知点N 为CD 的中点，取AB 的中点E ，则2AC BDEN +=，利用抛物线的定义可得2AB EN =，ABNAENBEN SSS=+，2ACNAF CNS⋅=，2BDNBF CNS ⋅=，根据2BDN ACN ABN S S S =+△△△，可得2BF AF AB =+，即212x x =-，结合韦达定理即可求解. 【详解】解（1）由题知2p = 所以2:4M x y =设直线:1AB y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --= 所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩对24x y =求导得2x y '=所以直线AN 的斜率为12AN x k =所以直线()111:2x AN y y x x -=-即121:24x x AN y x =-① 同理直线222:24x x BN y x =-② 联立①和②得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩所以点N 的坐标为(2,1)k -，即点N 在定直线1y =-上 （2）由（1）知点N 为CD 的中点 取AB 的中点E ，则2AC BDEN += 由题知AC BD AB += 所以2AB EN =所以22222ABN AEN BEN EN CN EN DN EN CN AB CNS S S ⋅⋅⋅⋅=+=+=⨯=△△△ 而22ACN AC CN AF CN S ⋅⋅==△，22BDN BD DN BF CNS ⋅⋅==△ 若存在点N 满足题意则2BDN ACN ABN S S S =+△△△ 即2BF AF AB =+所以()2121200x x x x -=-+-即212x x =-③ 又因为121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩④将③代入④解得=k ±由（1）知(2,1)N k -即12N ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭经检验，存在12N ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭满足题意.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由()11,A x y ，()22,B x y ，求出点N 的坐标为(2,1)k -以及212x x =-，考查了计算能力、推理能力.。
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2224b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28b ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A ．1020,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．102,13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．510,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．51,13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．33C ．12D ．223．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．2BC ．2D ．4．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ）A ．2B 1C ．1D 25．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =±C ．y x =D ．y x = 7．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．8．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ的最小值是（ ）A ．12B ．27C ．23D ．49．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A ．2273+ B ．273+ C ．53D ．210．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为（ ）A ．6 B ．7 C ．42 D ．2711．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1012．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2cA PA a=（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.16．已知点P 是椭圆22:13x C y +=上动点，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值是________．17．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．18．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若||3AF =，则AOB 的面积为_______．19．设A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，F 是右焦点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，过点B 作x 轴的垂线与直线MA 交于点P ，若直线OP 与BM 的斜率之积为4，则双曲线的离心率为_________．20．倾斜角为45的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，则AB 的长为__________________.三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为,2A B 为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程； （2）求NAB △面积的取值范围.22．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．23．设命题:p 方程22137x ya a +=-+表示双曲线；命题:q 不等式10a x -<对01x <≤恒成立.（Ⅰ）若命题p q ∨为真，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围.24．已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.25．荷兰数学家舒腾(F.van Shooten ，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆AC 和BF 的一端各用钉子固定在点A 和B 上(但分别可以绕钉子转动)，4AC BF ==，另一端用铰链与杆FC 连接，2FC AB ==，AC 和BF 的交点为E ，转动整个工具，交点E 形成的轨迹为椭圆Γ.以线段AB 中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2的平面直角坐标系.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）经过B 点的直线l 交椭圆Γ于不同的两点M N 、，设点P 为椭圆的右顶点，当PNM △的面积为627时，求直线l 的方程. 26．如图，已知抛物线2:2(0)M x py p =>的焦点为(0,1)F ，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，在A ，B 两点处的切线相交于N ，再分别过A ，B 两点作准线的垂线，垂足分别为C ，D .（1）求证：点N 在定直线上；（2）是否存在点N ，使得BDN 的面积是ACN △的面积和ABN 的面积的等差中项，若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围. 【详解】因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得2202214y aa b+=，解得0y =±，故2a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0A a -，所以()2:32AE l y x a a =+，即30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，d=，此时PQ ==故2112228PQFb b SPQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故()2222231392b ac b b a +>+，即()()222231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2a ，得2212142e e e ++>-，即23420ee +->，所以e<舍去)或23e >，在椭圆中a c>，所以1e <，所以2,13e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式进行求解，有一定的计算量，需要把基础知识掌握牢固.2．B解析：B 【分析】由10MD NF ⋅=得1MD NF ⊥，结合D 是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F 是MN 中点，从而MN x ⊥轴，利用勾股定理可得,a c 的关系得离心率． 【详解】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =， 因为12//MF DF ，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23am =， 在12MF F △中，由勾股定理得22242()()(2)33m m c +=，变形可得3c e a ==． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,a b c 的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MF N 的性质（实质上它是等边三角形），特别是MN x ⊥轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．3．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，1y ∴=，∴直线AB=∴直线AB的方程为1)y x =-，由241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=， 解得12x =，212x = 当212x =时，2y = 因此AOB 的面积为：121111||||||||112222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯⨯． 故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.4．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②， 由①＋②，解得1||F M a c =+， 又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ， 设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ， 所以()220||21CI y =+-，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.6．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =， 设()2,0F c ()0c >()()220045c -+-=，解得3c =，因为2a =，所以22945b c a -=-， 所以双曲线的渐进线为：52b y x x a =±=±， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.7．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．8．B解析：B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：在椭圆22:11612x y C +=中，4a =，23b =222c a b -，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，899211111617PF PF PT PQPT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.9．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．10．C解析：C 【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，把直线1x y +=与椭圆2221(02)4x yb b +=<<，联立，根据OP OQ ⊥计算出b ，直接求出离心率.【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由222141x y b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222(4)8440b x x b +-+-=，所以12221228=444·=4x x b b x x b ⎧+⎪⎪+⎨-⎪⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴12121212=2()10OP OQ x x y y x x x x +=-++=，解得247b =.224442747c e a -∴=== 故选：C 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．11．C解析：C 【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=, 设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为2r ==>．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程 解析：28y x =【分析】 推导出OBE EBF △△，求出tan BOE ∠，可得出直线AO 的方程，联立直线AO 与抛物线C 的方程，求出点A 的坐标，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程. 【详解】因为BOE BEF ∠=∠，90OBE EBF ∠=∠=，OBEEBF ∴△△，OB BEBE BF ∴=，即2222p p BE OB BF p =⋅=⨯=，2BE p ∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y xy px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得()2A p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.14．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理解析：71)． 【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.【详解】设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ， 如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=,∴点C 是双曲线的顶点，即11F A FC c a ==+，22F B F C c a ==-，22c PA PB a==， 2122222c c a PF ac PF c a a++=>-+，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a ， 得2260e e +-<，解得：1717e --<<-+，且1e >， 所以离心率的取值范围是()1,71-.故答案为：()71 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15．【分析】作出图形根据已知条件可得出与的大小关系再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】如下图所示双曲线的渐近线方程为由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点由图可知直线的倾斜解析：233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】作出图形，根据已知条件可得出b a 与tan 6π的大小关系，再利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 由图可知，直线b y x a =的倾斜角6πα≥，所以，3tan 63b a π≥=， 因此，222222231c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≥ ⎪⎝⎭所以，该双曲线的离心率为取值范围是233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 故答案为：233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、e 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．16．【分析】设与平行的直线与相切求解出此时的方程则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出【详解】设与平行的直线当与椭圆相切时有：所以所以所以所以或取此时与的距离为所以点到直线距离的最大值为 解析：522【分析】设与30x y +-=平行的直线:l y x m '=-+与22:13xC y +=相切，求解出此时l '的方程，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出. 【详解】设与30x y +-=平行的直线():3l y x m m '=-+≠，当l '与椭圆C 相切时有：2233y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，所以2246330x mx m -+-=， 所以()223616330m m ∆=--=，所以2m =±，所以:20l x y '+-=或:20l x y '++=，取:20l x y '++=，此时:20l x y '++=与30x y +-=的距离为d ==所以点P 到直线30x y +-=距离的最大值为2，. 【点睛】方法点睛：求解椭圆22221x y a b+=上一点到直线距离的最值的两种方法：（1）设与已知直线平行的直线l 与椭圆相切，求解出切线l 的方程，根据平行直线间的距离公式求解出点到直线距离的最值；（2）将P 点坐标为设为()cos ,sin a b θθ，利用点到直线的距离公式以及三角函数的知识求解出点到直线距离的最值.17．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =.法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.18．【分析】根据已知条件不妨设在第一象限根据抛物线定义以及方程求出点坐标进而得出直线方程与抛物线方程联立求出点坐标即可求出AOB 的面积【详解】抛物线的焦点为∵∴点A 到准线的距离为3点的横坐标为根据对称性解析：2【分析】根据已知条件不妨设A 在第一象限，根据抛物线定义以及方程，求出A 点坐标，进而得出直线AF 方程，与抛物线方程联立，求出B 点坐标，即可求出AOB 的面积. 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ,∵3AF =，∴点A 到准线:1l x =-的距离为3， 点A 的横坐标为2，根据对称性不妨设点A 在第一象限， 设1122(2,)(0),(,)A y y B x y >，2x =代入抛物线方程得1y =直线AF方程为1)y x =-，联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去x 得，240y --=，解得12y y ==∴AOB 的面积为12121122S y OF y =⨯⨯==-⨯⨯.故答案为：2. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定相交点的坐标是解题关键，属于中档题.19．【分析】设代入双曲线方程变形为再根据MPA 共线利用斜率相等求得点P 然后再直线与的斜率之积为4得到ab 的关系求解【详解】设则即设又且MPA 共线所以解得则的斜率为的斜率为又直线与的斜率之积为4所以即所以【分析】设(),M m n ，代入双曲线方程变形为22222n b m a a =-，再根据M ，P ，A 共线，利用斜率相等，求得点P ，然后再直线OP 与BM 的斜率之积为4，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设(),M m n ，则22221m n a b -=，即22222n b m a a=-， 设(),P a t ，又(),0A a -，且M ，P ，A 共线， 所以2n tm a a=+， 解得2ant m a=+， 则OP 的斜率为2nm a+， BM 的斜率为nm a-， 又直线OP 与BM 的斜率之积为4，所以22222224a n b m a ==-，即222b a=，所以c e a ===【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法以及点的双曲线上和斜率公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】直线的方程为与抛物线方程联立可得从而可得再根据抛物线的定义即可求出的长【详解】抛物线的焦点的坐标为所以直线的方程为即由得所以由抛物线的定义可知所以的长为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与抛 解析：8【分析】直线l 的方程为1y x =-，与抛物线方程联立可得2610x x -+=，从而可得6A B x x +=，再根据抛物线的定义即可求出AB 的长.【详解】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=-，即1y x =-，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，所以6A B x x +=， 由抛物线的定义可知628A B AB x x p =++=+=，所以AB 的长为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线焦点弦长的求法，属于中档题.三、解答题21．（1）24y x =；（2）(0,4]. 【分析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】 （1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-= 所以222t m m =- 点N 到AB的距离h =||AB ==所以1||2|2|2NABSAB h m t =⋅⋅=+42m m =-令u=u =由24y x y x =⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)，因点M 在l 上可得(0,2)m ∈所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB △的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．（1）1p =；（2） 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】 （1）由已知得122p -=-，所以1p =； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =，因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-， 则122y y +=，124y y =-， 所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力. 23．（Ⅰ）(,3)a ∈-∞；（Ⅱ）(,7][1,3)a ∈-∞-⋃. 【分析】（Ⅰ）分别求出命题,p q 为真时a 的范围，然后由或命题为真的真值表求解；（Ⅱ）命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，则,p q 是一真一假，由此可得参数范围． 【详解】（Ⅰ）当命题p 为真时，由题意()()370a a -+<，解得73a -<<.当命题q 为真时，由题意可得min1a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由此可得1a <.若命题p q ∨为真命题，则73a -<<或1a <， 即(,3)a ∈-∞.（Ⅱ）命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，则p ，q 一真一假.p 真q 假时，73,1,a a -<<⎧⎨≥⎩13a ∴≤<，p 假q 真时，7?3,?1,a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或7a ∴≤-，综上，(,7][1,3)a ∈-∞-⋃. 【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：24．（1）2214x y +=；（2）12S S +是否为定值，为54π．证明过程见解析． 【分析】（1）设(,)D x y ，用,x y 表示出P 点坐标，代入圆的方程即可得；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，利用率1k ､k ､2k 成等比数列，得2121212y y k k k x x ==可计算出214k =，然后计算12S S +可得证． 【详解】（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴2244x y +=，所以曲线E 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->，∴122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+， 111y k x =，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，∴2221212121212()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，212()0kt x x t ++=，又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k tt k-+=+，解得12k =±． 1228414kt x x kt k +=-=-+，22122442214t x x t k-==-+， 22222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，22222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222222222211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++222244825k k t t =+-+=，∴125 4S S π+=为定值．【点睛】关键点点睛：本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，设直线l方程为y kx t=+，1122(,),(,)M x y N x y，0t≠，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,x x x x+，再利用题中其他条件求出参数满足的结论，并计算12S S+．25．（1）22143x y+=；（2）1x y=±+.【分析】（1）设椭圆Γ的标准方程为22221x ya b+=，连接AF，由AFB AFC≌，得到ABE FCE△≌△，再利用椭圆定义求解.（2）设直线l的方程为：1x my=+,联立221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理得到12y y-,然后由PNM△的面积为62求解.【详解】（1）如图所示：由题意可设椭圆Γ的标准方程为22221x ya b+=，连接AF，可得AFB AFC≌，所以,,4ABE FCE EF AE EA EB EF EB FB=+=+==≌，由椭圆定义可知：2,1a c==，3b=所以椭圆Γ的方程为22143x y+=.。
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．263．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．964．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．312- C ．51- D ．3 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A 2B 2C 32D ．326．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ） A ．1B 2C ．2D ．47．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．3.90mB ．3.95mC ．4.00mD ．4.05m8．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 29．过抛物线26y x =的焦点作一条直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若123x x +=，则这样的直线（ ）A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条10．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且1223PF F S b =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 20x y ±=B ．20x ±=C 320x y ±=D ．230x =11．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（ ） A．1BC．1+D二、填空题13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为8，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，且1F AB 的面积为4，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为___________. 14．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．15．已知双曲线22:143x y C -=的左､右焦点分别12,F F ，P 为双曲线上异于顶点的点，以1PF ，2PF 为直径的圆与直线l 分别相切于A ，B 两点，则12cos ,AB F F <>=___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.18．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．19．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.20．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.三、解答题21．已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，直线():0l y kx t t =+>与以12F F 为直径的圆相切于点P ，当1k =时，12PF F △的面积为2； （1）求E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点，设0k >时，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0M m ，求m 的取值范围.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和右焦点F 的距离与右焦点F 到椭圆C的右准线的距离相等，且椭圆C 的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点F ，且与坐标轴不垂直，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点B . ①当67BF =时，求直线l 的方程； ②求证：PQBF为定值. 23．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上． （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．24．设命题:p 方程22137xy a a +=-+表示双曲线；命题:q 不等式10a x -<对01x <≤恒成立.（Ⅰ）若命题p q ∨为真，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围.25．设抛物线2:4C y x =，点()4,0A ，()4,0B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．26．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，过点1F 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且2ABF 的周长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）在椭圆中有这样一个结论“已知000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，过0P 作椭圆的两条切线，切点分别为12,P P ，则直线12PP 的方程为00221x x y ya b+=”.现已知M 是圆223x y +=上的任意点，,MA MB 分别与椭圆C 相切于,A B ，求OAB 面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，根据抛物线的定义和已知条件可得点B 为AP 的中点，进而可得点B 的横坐标为1，则26AM BN ==从 而可求出答案 【详解】解：设抛物线2:8C y x =的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，如图过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ， 因为2FA FB =，所以2AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则12OB AF =， 所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1， 所以26AM BN ==， 所以点A 到y 轴的距离为4， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义，考查计算能力，属于中档题2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴>∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===.故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．D解析：D【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.4．C解析：C 【分析】作出图形，可知FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，可得出0AF AB ⋅=，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】如下图所示，可知AFB ∠、ABF ∠均为锐角， 所以，FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，由题意可知，点(),0F c -、()0,A b 、(),0B a ，则(),AF c b =--，(),AB a b =-，20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=，在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a 可得210e e +-=，01e <<，解得512e =. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，122y ∴=，∴直线AB 的斜率为22221=-∴直线AB 的方程为22(1)y x =-，由2422(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=， 解得12x =，212x =当212x =时，22y =-， 因此AOB 的面积为：1211113||||||||1212222222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯+⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.6．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点， 过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小， 而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m 即m ， 故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.7．B解析：B 【分析】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-，所以，抛物线的方程为25x y =-，将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-， 因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.8．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=， 则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ． 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．9．A解析：A 【分析】由抛物线方程求得焦点F 的坐标，分直线AB 斜率不存在和直线斜率存在，存在时设直线AB 方程与抛物线方程联立，由韦达定理表示出A 、B 两点的横坐标之和，求得k ，即可得结论. 【详解】抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 当过焦点的直线斜率不存在时，即为32x =， 1232x x ==，符合123x x +=， 当过焦点的直线斜率存在时设为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，由2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得()222293604k k x k x -++=， 所以2122363k x x k++==，即22363k k +=，所以无解， 则这样的直线有且只有一条. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏，是中档题.10．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=， 因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 11．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.12．A解析：A 【分析】先由题意求出以AB 为直径的圆的半径为2b r a=和圆心坐标得到圆的方程，然后代入左焦点坐标，利用222c a b =+化简后可得答案.【详解】将x c =代入22221x y a b-=可得2bya =±，所以以AB 为直径的圆的半径为2b r a=，圆心为(),0c ，圆的方程为()4222ab xc y -+=，左焦点为(),0c -，因为双曲线的左焦点在圆上，所以()2240b c ac +--=，整理得242460a c c c +=-，即42610e e -+=，解得2322e =+或2322e =-舍去， 所以12e =+. 故选：A . 【点睛】关键点点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系、点和圆的位置关系，关键点是先求出以AB 为直径的圆的半径，再根据双曲线的左焦点在圆上，得到所要求的,,a b c 等量关系即可，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 二、填空题13．【分析】先根据的面积和短轴长得出abc 的值求得的范围再通分化简为关于的函数利用二次函数求得最值即得取值范围【详解】由已知得故∵的面积为∴∴又故∴∴又而即∴当时最大为；当或时最小为即∴即即的取值范围为解析：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据1F AB 的面积和短轴长得出a ，b ，c 的值，求得 1PF 的范围，再通分化简1211PF PF +为关于1PF 的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围． 【详解】由已知得28b =，故4b =，∵1F AB 的面积为4，∴()142a cb -=，∴2ac -=， 又()()22216a c a c a c b -=-+==，故8a c +=， ∴5a =，3c =，∴12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111210101021010525a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又而1a c PF a c -≤≤+，即128PF ≤≤， ∴当15PF =时，()21525PF --+最大，为25；当12=PF 或8时，()21525PF --+最小，为16，即()211652525PF ≤--+≤，∴121011102516PF PF ≤+≤，即12211558PF PF ≤+≤. 即1211PF PF +的取值范围为25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质1a c PF a c -≤≤+，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.14．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+， 联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 15．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解解析：7【分析】求得双曲线的a ， c ，设1PF m =，2PF n =，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得MN ，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ AM ⊥，垂足为Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值． 【详解】解：因为双曲线22:143x y C -=，所以2a =，227c a b =+= 依题意画出如下图形，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，过点N 作NQ AM ⊥交AM 于点Q ，连接MN ，所以12172MN F F ==，设1PF m =，2PF n =，则24m n a -==所以11122AM PF m ==，21122BN PF n ==，所以()122MQ AM BN m n =-=-=，在Rt MNQ 中223NQ MN MQ =-=，因为//NQ BA ，所以MNQ ∠为12,AB F F 的夹角，所以12321cos ,77QN AB F F MN <>===故答案为：217【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．16．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴 解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠， 由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=， 所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==， 因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.17．【分析】作出图形根据已知条件可得出与的大小关系再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】如下图所示双曲线的渐近线方程为由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点由图可知直线的倾斜解析：23,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】作出图形，根据已知条件可得出b a 与tan 6π的大小关系，再利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 由图可知，直线b y x a =的倾斜角6πα≥，所以，3tan 6b a π≥= 因此，2222222313c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≥ ⎪⎝⎭. 所以，该双曲线的离心率为取值范围是233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 故答案为：23⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、e 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．18．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a ，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．19．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =， ∴3e = 3【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.20．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误；③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+， 抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=， 所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上， 当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件， 所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ， 所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在， 设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由直线l 斜率为1且圆相切，得14POF π∠=(O 为原点)，从而12PF F △的面积可用c 表示出来，从而求得c ，再由离心率求得a ，然后可得b ，得椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得12x x +，从而可得AB 中点坐标，写出AB 中垂线方程，令0y =可得m ，由直线与圆相切得,k t 关系，这样m 可化为一元函数，再用换元法可求得取值范围． 【详解】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c =，当1k =时，14POF π∠=(O 为原点)，从而12122PF F Sc =⋅=从而解得1c =， 又离心率12c e a ==，所以2a =，从而b =因此E 的方程为22143x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将()0,0y kx t k t =+>>，代入椭圆方程22143x y +=，消去y ，得()2224384120k x ktx t +++-=，从而122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+，① 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02443kt x k -=+，02343ty k =+， 从而AB 的中垂线方程为223144343t kt y x k k k -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，解得243ktm k -=+，由线l 与以12F F 1=，即t =从而m ==2130,344n k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+，则m =由函数2314101623y n n n ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭取值范围为()0,1， 得m 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解题关键建立m 与参数的函数式，方法是：由直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得弦中心坐标得弦垂直平分线方程，从而可求得m ，利用直线与圆相切得参数,k t 关系后可得所需要的函数式，换元后可求得取值范围．22．（1）22143x y +=；（2）①1y x =-或1y x =-+，②证明见解析.【分析】（1）依题意得到方程组解得即可；（2）设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，设线段PQ 的中点为M ，联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可表示出线段PQ 的中点M 的坐标，从而得到线段PQ 的垂直平分线方程，表示出B 点坐标，再根据①、②分别计算可得； 【详解】解：（1）由条件得，22,23,a a c c cb a⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222b a c =-，解得2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）因为直线l 过点()1,0F ，且与坐标轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,P x y ，()22,Q x y ， 设线段PQ 的中点为M ，由()221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+ 所以线段PQ 的中点22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以线段PQ 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2234k x k =+，即22,034k B k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭①当67BF =时，则2261347k k -=+， 解得1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+.②因为()212212134k PQ x k+=-==+，22223313434k k BF k k+=-=++， 所以4PQBF =为定值. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．23．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．【详解】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -， 设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，。
高中-数学-通用版-第二章 圆锥曲线与方程 综合与测试(一)
第二章 圆锥曲线与方程 综合与测试（一）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、“0m >”是“方程2212x y m m -=+表示双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2、已知点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ）A. 1B.12C.14D.183、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为(, 0)c ，若a ，b ，c 成等比数列，则双曲线C 的离心率e =（ ）A.12+ B.12+ C.12D.14、已知椭圆2222:12x y C m n n m+=--的焦点在x 轴上，若椭圆C 的短轴长为4，则实数n 的取值范围为（ ）A. (12,)+∞B. (4,12)C. (4,6)D. (6,)+∞5、已知点0(4,)M y 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为5，设O 为坐标原点，则OFM △的面积为（ ）A. 1B. 2C.D. 6、若双曲线22:3C x ty t -=的焦距为6，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.2C.D.7、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，l 为抛物线C 的准线，点P 在抛物线C 上，且点P 位于第一象限，若PA l ⊥，垂足为A ，且直线AF 的斜率为，则点A 到直线PF 的距离为（ ）A. B.C.D. 28、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若2ABF △的周长为C 的标准方程为（ ）A. 2213x y +=B. 22132x y +=C. 2211210x y +=D. 22143x y +=9、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于坐标原点O 的A ，B 两点，若四边形AOBF 的面积为221()2a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. y =C. y x =±D. 2y x =±10、已知点P 在椭圆22:1169x y C +=上，椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，若12|12|||PF PF =⋅，则12F PF ∠=（ ）A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒11、古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，A ，B 为椭圆Γ长轴的端点，C ，D为椭圆Γ短轴的端点，动点M 满足||2||MA MB =，MAB △的面积的最大值为8，MCD △的面积的最小值为1，则椭圆Γ的离心率为（ ）A.3B.3C.2D.212、已知抛物线2:3C y x =的焦点F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与抛物线C 的准线交于点P ，若AF FP =，则||AB =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题：请将答案填在题中横线上． 13、已知椭圆C 的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12，则椭圆C 的标准方程为______．14、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为2的直线l 与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，若21AF AF ⊥，则双曲线C 的离心率e =______．15、已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点重合，抛物线1C 与双曲线2C 交于A ，B 两点，抛物线23:2(0)C y px p =->与双曲线2C 交于C ，D 两点，若四边形ABCD 的面积为22p ，则双曲线2C 的离心率e =______．16、已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，E 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，过点F的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若||ME =则||AB =______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点(3,0)与点(6,3)--；（2）焦点在y 轴上，实半轴长为(2,5)-．18、已知双曲线221:1412x y C -=．（1）若点(3,)M t 在双曲线1C 上，求点M 到双曲线1C 的右焦点的距离；（2）求与双曲线1C 有共同渐近线，且过点(3,-的双曲线2C 的标准方程． 19、在直角坐标系xOy 中，抛物线2:6C x y =与直线:3l y kx =+交于M ，N 两点． （1）设点M ，N 到y 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的值．（2）在y 轴上是否存在点P ，使得OPM OPN ∠=∠恒成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且||4AB =． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点为点D ，求证：直线BD 过定点，并求出该定点的坐标．21、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点(,0)F c 到直线2a x c=的距离为1，离心率为2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，当||AB <直线l 的斜率k 的取值范围．22、在平面直角坐标系xOy 中，离心率为3的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,3M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点G 在直线:0l x y +-=上，过点G 作椭圆C 的两条切线1l ，2l ，使得12l l ⊥，求点G 的坐标．答案第1页，共10页参考答案1、【答案】A【分析】本题考查双曲线的标准方程，充分条件、必要条件、充要条件的判断.【解答】若方程2212x y m m -=+表示双曲线，可得(2)0m m +>，解得2m <-或0m >，∴“0m >”是“方程2212x y m m -=+表示双曲线”的充分不必要条件，选A.2、【答案】D【分析】本题考查抛物线的定义和标准方程.【解答】由题可知，抛物线C 的标准方程为212x y =，∴122p =，则128p =，设点P 的纵坐标为0y ，则001||28p PF y y =+=+，易知0y 的最小值为0，∴min 1||8PF =，选D. 3、【答案】B【分析】本题查双曲线的焦点坐标和离心率，等比数列的性质.【解答】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =，∴22c a ac -=，即21e e -=，∴210e e --=，解得e =（负值舍去）．选B. 4、【答案】A【分析】本题考查椭圆的标准方程和性质.【解答】∴椭圆C 的焦点在x 轴上，∴2220m n n m ->->，即2232m n m >>， 又椭圆C 的短轴长为4，∴24n m -=，即24m n =-，∴3(4)42n n n ->>-， 解得12n >，∴实数n 的取值范围为(12,)+∞，选A. 5、【答案】B【分析】本题考查抛物线的定义和标准方程.【解答】∵点(4,)M y 到抛物线C 的焦点F 的距离为5，∴452p+=，解得2p =，∴抛物线C 的标准方程为24y x =，∴04y =±，∴OFM △的面积01||||22S OF y =⋅=．选B. 6、【答案】B【分析】本题考查双曲线的焦距和离心率.【解答】223x ty t -=可化为22133x y t -=，∴双曲线22:3C x ty t -=的焦距为6，3=，解得2t =，故双曲线C 的方程为22163x y -=，∴双曲线C 2==，选B. 7、【答案】A【分析】本题考查抛物线的定义和焦点坐标.【解答】∵直线AF 的斜率为AF 的倾斜角为120︒，则60PAF ∠=︒， 由抛物线的定义，可得||||PF PA =，∴PAF △为等边三角形，又∴||1OF =，∴||4AF =，∴点A 到直线PF 的距离为 A. 8、【答案】A【分析】本题考查椭圆的定义和标准方程.【解答】∴椭圆C 的左、右焦点分别为1(F ，2F ，∴c =又过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，∴2ABF △的周长为1212||||||||224AF AF BF BF a a a +++=+==，解得a =∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=，选A.9、【答案】C【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，圆与圆锥曲线的综合问题. 【解答】根据题意，可知OA AF ⊥，点F 到双曲线C 的渐近线by x a=±的距离为b =，则||AF b =，∴||OA a =，又四边形AOBF 的面积为221()2a b +，∴221()2ab a b =+，∴1ba=，∴双曲线C 的渐近线方程为y x =±．选C. 10、【答案】B【分析】本题考查椭圆的定义，余弦定理的应用.【解答】∴点P 在椭圆C 上，椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，答案第3页，共10页∴12|28|||PF PF a ==+，12||F F =， ∵12|12|||PF PF =⋅，∴22212|8212||40|PF PF =-⨯=+，在12F PF △中，由余弦定理可得1240281cos 2122F PF -∠==⨯，∴1260F PF ∠=︒，选B. 11、【答案】D【分析】本题考查椭圆的离心率及几何性质.【解答】∵A ，B 为椭圆Γ长轴的端点，C ，D 为椭圆Γ短轴的端点， ∴可设(,0)A a -，(,0)B a ，(0,)C b ，(0,)D b -，设(,)M x y ，∵||2||MA MB =，∴=222516()39a a x y -+=，∵MAB △的面积的最大值为8，MCD △的面积的最小值为1， ∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a =2b =， ∴椭圆Γ=．选D. 12、【答案】B【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题. 【解答】由题可知3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线C 的准线方程为34x =-，∵AF FP =，∴F 是AP 的中点，设11(,)A x y ，则133244x ⎛⎫+-=⨯ ⎪⎝⎭，解得194x =， 不妨设点A在第一象限，则1y =，∴94A ⎛ ⎝⎭， 所知直线AF的斜率k =AF的方程为34y x ⎫=-⎪⎭，将34y x ⎫=-⎪⎭代入23y x =，消去y 可得2590216x x -+=，设22(,)B x y ，则1252x x +=，∴12||4AB x x p =++=，选B.13、【答案】22143x y +=【分析】本题考查椭圆的焦点坐标，离心率和标准方程.【解答】由题可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵椭圆C 的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12，∴1c =，12c a =， ∴2a =，23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．14、【答案】3【分析】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率.【解答】∴21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴||AO c =，∴点A 在双曲线C 的渐近线上，∴点A 的坐标为(,)a b ，∴12tan AF F ∠=b a c =+，化简可得22230c ac a --=，即()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，∴3ce a==．15、1【分析】本题考查圆锥曲线的综合问题.【解答】设抛物线1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为00(,)A x y ，由对称性知200222x y p ⋅=，又202y px =，即2002y x p =，∴330y p =，∴0y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵抛物线1C 的焦点与双曲线1C 的右焦点重合，∴(,2)A c c ，∴222241c c a b-=，整理可得422460c a c a -+=，∴42610e e -+=，解得23e =+23e =-，∴1e =．16、【答案】6【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题.【解答】由题可得(1,0)F ，显然直线l 的斜率存在，故可设直线:(1)l y k x =-， 将(1)y k x =-代入24y x =，消去y 可得2222(24)0k x k x k -++=，答案第5页，共10页设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k++=， ∵M 为线段AB 的中点，∴2222(,)k M k k+， 又(1,0)E -，||ME =∴222224(1)k k k+++11=，解得22k =， ∴1224||||||226AB AF BF x x p k =+=++=++=． 17、【答案】（1）22193x y -=；（2）2212016y x -=．【分析】本题考查双曲线的标准方程和性质. 【解答】（1）由于双曲线过点(3,0)， 故双曲线的焦点在x 轴上，且3a =，设双曲线的方程为22219x y b-=，∵该双曲线过点(6,3)--， ∴236919b-=，解得23b =， 故所求双曲线的标准方程为22193x y -=．（2）∴所求双曲线的焦点在y轴上，实半轴长为∴2221x b-=， ∵该双曲线过点(2,5)-，22221b =，解得216b =， 故所求双曲线的标准方程为2212016y x -=．18、【答案】（1）4；（2）2213y x -=．【分析】本题考查双曲线的焦点坐标，渐近线方程和标准方程.【解答】（1）易知双曲线221:1412x y C -=的右焦点为(4,0)，∴点(3,)M t 在双曲线1C 上，∴2231412t -=，解得215t =， ∴点M 到双曲线1C4==．（2）设与双曲线1C 有共同渐近线的双曲线2C 的方程为22412x y m -=，∴点(3,-在双曲线2C 上，∴2(3)4m -=，解得14m =，∴2221:4124x y C -=，即2213y x -=，故双曲线2C 的标准方程为2213y x -=．19、【答案】（1）18；（2）存在，点P 的坐标为(0,3)-． 【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题. 【解答】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，（1）将3y kx =+代入26x y =，消去y 可得26180x kx --=，则1218x x =-，∵点M ，N 到y 轴的距离分别为1d ，2d ， ∴11||d x =，22||d x =， ∴121212||18||||d d x x x x ⋅===．（2）假设在y 轴上存在点(0,)P b ，使得OPM OPN ∠=∠恒成立， 设直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ， 由（1）知126x x k +=，1218x x =-， 则1212121212122(3)()366(3)(3)183y b y b kx x b x x k k b k b k k x x x x --+-+-+-++=+===-，答案第7页，共10页显然当3b =-时，有120k k +=对任意的k 恒成立，此时直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，即OPM OPN ∠=∠，∴在y 轴上存在点P ，使得OPM OPN ∠=∠恒成立，点P 的坐标为(0,3)-．20、【答案】（1）22y x =；（2）证明见解答，该定点的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题.【解答】（1）由题可知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2F p ， ∴直线l 过点F 且斜率为1，∴直线l 的方程为2p y x =-， 将2p y x =-代入22y px =，消去y 可得22304p x px -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则123x x p +=，2124p x x =， 由抛物线的定义可知12||34AB x x p p p p =++=+=，∵||4AB =，∴44p =，解得1p =，∴抛物线C 的标准方程为22y x =．（2）∴点11(,)A x y 关于x 轴的对称点为点D ，∴11(,)D x y -，∴直线BD 的斜率为2121BD y y k x x +==-21222122y y y y +-212y y =-， ∴直线BD 的方程为11212()y y x x y y +=--， 即221121122()y y y y y y x x -+-=-，∵22y x =，1214x x =， ∴21212()41y y x x ==，∵1y ，2y 异号，∴121y y =-，∴直线BD 的方程为1212()()02x y y y ++-=，令102x +=，即12x =-，则0y =， ∴直线BD 过定点，该定点的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．21、【答案】（1）2212x y +=；（2）112,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】本题考查直线与椭圆的综合问题.【解答】（1）∴椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点(,0)F c 到直线2a x c =的距离为1，∴221a b c c c-==，∴4222b c a b ==-，又椭圆E 的离心率为2，∴2c a =， ∴22212a b a -=，即222a b =， ∴4222a b b b =-=，解得21b =，∴22a =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=． （2）由题可知直线l 的方程为(2)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将(2)y k x =-代入2212x y +=，消去y 可得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得22k -<<．∵||AB <12||x x -<， ∴422222648220([](1))412129k k k k k -+-⨯<++，解得12k <-或12k >．综上，122k -<<-或122k <<，答案第9页，共10页故直线l 的斜率k的取值范围为112,2222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22、【答案】（1）2213x y +=；（2）． 【分析】本题考查直线与椭圆的综合问题.【解答】（1）设椭圆C的右焦点为(,0)c ，∴椭圆C∴c a =，即c =， 又222a b c =+， ∴222)a b =+，即223a b =，∴椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴2212133b b+=，解得21b =， ∴23a =，∴椭圆C的标准方程为2213x y +=． （2）易知点(，，(1)-，1)-均不在直线l 上， ∴直线1l ，2l 的斜率存在且不为0，设00(,)G x y ，过点G 的椭圆C 的切线方程为00()y k x x y =-+，将00()y k x x y =-+代入2213x y +=， 消去y 可得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，则2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简可得2200()(31)0kx y k --+=，即2220000(3)210x k x y k y --+-=，设切线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则20122013y k k x -=-， ∵12l l ⊥，∴2020113y x -=--，即22004x y +=， 又点00(,)G x y在直线:0l x y +-=上，∴000x y +-=，由220040x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴点G的坐标为．。
圆锥曲线大题教案
直线和椭圆相交问题直线与椭圆的位置关系判断方法：位置关系直线与椭圆交点个数方程解的个数的取值相交个解相切个解相离个解直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的公共点直线与椭圆方程联立方程组解个数当为何值时，直线：与椭圆：相切、相交、相离．圆锥曲线大题1已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；设而不求第一步1、直线与圆锥曲线相交，满足一个关系式，22221x y a b +=设直线方程m kx y +=代入22221x y a b +=得=+21x x =21.x x =-21x x 用m kx y +=可得=+21y y =21.y y =-21y y第二步 列出关系式第三步 将关系式化为用=+21x x =21.x x =-21x x=+21y y=21.y y =-21y y 表达的式子，然后再代入。
2、过椭圆14922=+y x 内一点()1,1P 作弦AB ，若PB AP =，则直线AB 的方程为3、如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D （1）求椭圆C1的方程；（2）试用k表示△ABD的面积S；（3）求△ABD面积S取最大值时直线l1的方程．二、定值问题1、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =,右焦点到直线1x ya b+=的距离217d =,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于,A B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求出定值.三、定点问题1、如图，已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1）的上顶点为A ，离心率为，若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且•=0．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．四、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．五、1.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；抛物线p=4(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；3、设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．练习1、已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m 与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值2、过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值是否为定值？如果是，定值是多少？3.如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．4、已知椭圆C与双曲线y2﹣x2=1有共同焦点，且离心率为．设A 为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM 与AN的斜率之积为﹣3①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若P点为椭圆C上异于M，N 的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP的面积的最小值．5、已知点F为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线与y轴交于P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A，B，若λ|PM|2=|PA|•|PB|，求实数λ的取值范围．6.已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点（，﹣），且椭圆的离心率e=．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．7、已知双曲线，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l交椭圆于A、B两个不同点，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．8.已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标9.已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以线段AB为直径的圆的方程；(2)问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得1|AM|2＋1|BM|2恒为定值作业1、已知椭圆C：+=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值为（）2、已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P （1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．3.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，且点P（﹣2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．4、已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P （1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．5、在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.6、已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．（1）证明：点O到直线AB的距离为定值7.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．8、已知点F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2（1，0）的距离的最大值为+1．（1）求椭圆C的方程．（2）点M的坐标为（，0），过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，是否为定值？9、已知椭圆C ：（b ＞0），以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过椭圆C 左右两个焦点，A ，B 是椭圆C 的长轴端点．（1）求圆O 的方程和椭圆C 的离心率e ；（2）设P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，试判断MQ 与NQ 所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.11、已知椭圆C：（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O 经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e；（2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如果斜率为12的直线EF 与椭圆交于两个不同的点E 、F ，试判断直线AE 、AF 的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由．(3)试求三角形AEF 面积S 取得最大值时，直线EF 的方程．已知椭圆G 的离心率为，其短轴两端点为A （0，1），B （0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）若C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线AC 、BD 与x 轴分别交于点M 、N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．补充设椭圆E 的方程为+y 2=1（a ＞1），O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点A ，B ，M 为线段AB 的中点．（1）若A ，B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为﹣，求E 的标准方程；（2）若a=2，且|OM |=1，求△AOB 面积的最大值． 已知椭圆方程为+y 2=1，点B （0，1）为椭圆的上顶点，直线l ：y=kx +m 交椭圆于P 、Q 两点，设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=1（1）求证：直线l 过定点M ，并求出点M 的坐标；（2）求△BPQ 面积的最大值． 已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2,点)3,2(P ,点F 2在线段PF 1的中垂线上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点,直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补,求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.已知椭圆C ：的焦距为2c ，离心率为，圆O ：x 2+y 2=c 2，A 1，A 2是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2；（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围；设O 为坐标原点，椭圆C ：的左焦点为F ，离心率为．直线l ：y=kx +m （m ＞0）与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，|OM |+|MF |=5．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P （0，1），=﹣4，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 已知椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率，O 为坐标原点，圆与直线AB 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC ．记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1•k 2是否为定值？证明你的结论．如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．。
圆锥曲线与方程综合练习卷.doc
圆锥曲线与方程综合练习（2010-1-6）一、选择题：1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)12=，则=+BC AC （ ）A ．6B ．4C ．2D ．不能确定2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为 （1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ） A ．7 B ．53 C ．6 D ．53.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．)22(21- B ．12- C ．12+ D ．)22(21+4.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线221(,0)x y m n m n-=>有相同的焦点F 1、F 2， P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A ．n b -B ． m a -C ． n b -D ． 2a m -5.已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹 方程是（ ）A ．122－＝y xB ．16122－＝y x C ．212－＝y xD ．222－＝y x6. 给出下列结论,其中正确的是 （ ）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a by 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=xC ．等轴双曲线的离心率是2D ．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、48.一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为 （ ）22222222.1.1.1.186********x y x y x y x y A B C D +=+=+=+=9.双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） .(,0).(12,0).(3,0).(60,12)A B C D -∞----10. 方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ） A B C D11. 12,F F 是椭圆2214y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF 的最大值是 ．12.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 13.在△ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．14.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB>，则FA与FB的比值等于 ．三、解答题：15．(1)已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10，求双曲线的标准方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线与方程综合典型测试题一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（ ）A ．122－＝y xB ．16122－＝y x C ．212－＝y xD ．222－＝y x2．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：414)1(22=-+-x y x ，则=+BC AC（ ）A ．6B ．4C ．2D ．不能确定3．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ）A ．7 B ．53 C ．6 D ．5 4．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．)22(21- B ．12- C ．12+D ．)22(21+5．若椭圆)0(122>>=+b a by ax 和双曲线)0,(122>=-n m ny mx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ）A ．n b -B ．m a - C ． n b - D ． m a -6．直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．2C ．26D ．57．直线143x y+=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．曲线)1(42≤--=x x y 的长度是 （ ）A ．34πB ．32πC ．38πD ．π39．方程22)1()1(-+-=+y x y x 所表示的曲线是（ ）A ． 双曲线B ． 抛物线C ． 椭圆D ．不能确定10．给出下列结论,其中正确的是 （ ）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a by 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=x C ．等轴双曲线的离心率是2D ．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---二、填空题（本题每小题5分，共25分）11．如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量12DE BC =u u u r u u u r,那么以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率是 .12．已知椭圆()x m y n x p y qm n p q R 22221+=-∈+与双曲线,,,有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则12PF PF ⋅u u u v u u u u v=.13．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(*21N n e n n ∈=，则所有这些椭圆的长轴长之和为 . 14．沿向量a =(m, n)平移椭圆1522=+y x ,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x －y+6=0上, 则m= 、n= .15．已知曲线ax y =2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A 和B ，如果过这两个交点的直线的倾斜角是︒45，则实数a 的值是三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且AC ·BC =0，|BC |=2|AC |，（1）求椭圆的方程； （2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则是否存在实数λ,使PQ =λAB ？17．（本小题满分12分）已知一条曲线上的每个点到A （0,2）的距离减去它到x 轴的距离差都是2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x －4)+B(y －2)=0(A ，B ∈R)与曲线的交点个数.18．已知圆锥曲线C 经过定点P （3，32），它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线λ交圆锥曲线C 于A 、B 两点，且 |AB|=53，求圆锥曲线C 和直线λ的方程。
19．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程； （2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH λ=，求λ的取值范围.20．（本小题满分13分）已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，||||PN PM =u u u r u u u u r.（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-u u u r u u u r且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．21．（本小题满分14分）如图,在Rt △ABC 中，∠CAB=ο90，AB=2，AC=22. 一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持+PA PB 的值不变，直线m ⊥AB 于O ，AO=BO. （1）建立适当的坐标系,求曲线E 的方程; （2）设D 为直线m 上一点,=,过点D 引直线l 交曲线E 于M 、N 两点,且保持直线l 与 AB 成ο45角,求四边形MANB 的面积.参 考 答 案一、选择题（每小题5分，共50分）：(1).A (2). B (3).A (4).C (5). D (6).A (7).B (8).A (9).A (10).C 二、填空题（每小题5分，共25分）(11).1 (12).m -p (13). 4 (14). －5、－4 (15)2三、解答题（共74分，按步骤得分）16. 解（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系则A （2，0），设所求椭圆的方程为：224b y x 2+=1(0<b <2), 由椭圆的对称性知|OC |=|OB |,由AC ·BC =0得AC ⊥BC ， ∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴C 的坐标为（1，1）， ∵C 点在椭圆上∴22141b +=1,∴b 2=34,所求的椭圆方程为43422y x +=1 ……………5分 （2）由于∠PCQ 的平分线垂直OA （即垂直于x 轴），不妨设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为-k ，直线PC 的方程为：y =k (x -1)+1,直线QC 的方程为y =-k (x -1)+1,由⎩⎨⎧=-++-=0431)1(22y x x k y 得：(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0（*） ……………8分∵点C （1，1）在椭圆上，∴x =1是方程（*）的一个根，则其另一根为2231163k k k +--,设P（x P ,y P ）,Q (x Q ,y Q ),x P =2231163k k k +--, 同理x Q =2231163kk k +-+, k PQ =3131163311632)3116331163(2)(22222222=+-+-+---+-+++--⋅=--+=--k k k k k k k k k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ………10分 而由对称性知B (-1,-1),又A （2，0） ∴k AB =31∴k PQ =k AB ，∴AB 与PQ 共线，且AB ≠0,即存在实数λ，使PQ =λAB . ……12分 17. 解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则22)2(-+y x -|y |=2， 整理22)2(-+y x =|y |+2，所求曲线的方程. C 1：当y ≥0时， x 2=8y ；C 2：当y<0时，x=0. ……………5分 （2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A 、B 不同时为零，（数形结合）当B=0时，A ≠0，直线x=4与曲线有1个的交点； ……………7分 当B ≠0时，令k=-BA ，则y=k(x-4)+2，与x 2=8y 联列：x 2-8kx+32k-16=0 当∆=0时，k=1，即A=-B 时，直线与C 1和C 2各一个交点； 当k>1时，BA<-1时，直线与C 1两个交点，和C 2一个交点； 当21<k<1时，-1<B A <-21时，直线与C 1两个交点，和C 2一个交点； 当k ≤21时，BA ≥-21时，直线与C 1和C 2各一个交点. ……………10分 ∴直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A ≠0；直线与曲线有2个的交点, A=-B 和BA ≥-21； 直线与曲线有3个的交点, -1<B A <-21和BA<-1. ……………12分18．解：设圆锥曲线C 的离心率为e, P 到λ的距离为d ，则e=144==d PF …………(1分) ∴圆锥曲线C 是抛物线………………………（2分） ∵12=P∴P=2 ∴抛物线方程为y 2=4x ………………………………(3分) 设λ的方程为y=2x+b,A(x 1y 1),B(x 2,y 2) 由y=2x+by 2=4x 消去y ，整理得：4x 2+4(b －1)x+b 2=0………………………………(4分) 则 x 1+x 2=－(b －1)x 1x 2=42b …………………………(5分)∴|AB|=)21(5]4))[(1(212212b x x x x k -=-++………………………（6分） 又∵|AB|=53∴1－2b=9, ∴b=－4 …………………………(7分)故直线λ的方程为y=2x －4……………………………………(8分) 综上所述：圆锥曲线C 的方程为y 2=4x ，直线λ的方程为y=2x －4 19．（本小题满分12分）解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM Θ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………………6分 （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则……………………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλΘ又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴k k k k 整理得……………………10分 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k Θ .131,10<<∴<<λλΘ又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λx)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………12分 20．解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ，则(,0),(0,),(0)2yM x P x ->，(,),(1,)22y yPM x PF =--=-u u u u r u u u r ，由0PM PF ⋅=u u u u r u u u r 得，204y x -+=，因此，动点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>. …………5分(2)设直线l 的方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y ，则由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，得12124x x y y +=-，又2211224,4y x y x ==，故128y y =-.又224440(0)y x ky y b k y kx b ⎧=⇒-+=≠⎨=+⎩， ∴216(12)048k b k⎧∆=+>⎪⎨=-⎪⎩，2222116||(32)k AB k k +∴=+，∴||AB ≤≤22211696(32)480k k k+≤+≤ 解得直线l 的斜率k 的取值范围是11[1,][,1]22--U . ……………………12分 21.解：（1）以AB 、m 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点建立直角坐标系.22223222222222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+CB CA PB PA Θ ∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a 、b ，半焦距为c ，则1,1,222=-===c a b c a∴曲线E 方程为1222=+y x （2）由题设知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0D ， 由直线l 与AB 成ο45角，可设直线方程为22+=x y ，代入椭圆方程整理得012232=-+x xx设()()2211,,,y x N y x M ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+31,3222121x x x x 所以，四边形MANB 的面积2121y y AB S -⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=222222121x x ()21221214x x x x x x -+=-==3523143222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-。