山西省实验中学 九年级(上)月考数学试卷(12月份)

九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程x2=2x的解是（）A. x=2B. x1=2，x2=0C. x1=2，x2=0D. x=02.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E．若ADDB=23，AE=6，则EC的长为（）A. 6B. 9C. 15D. 183.下列命题中，真命题是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形D. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形4.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是（）A. 2B. 12C. 55D. 2555.在反比例函数y=1−kx的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）A. −1B. 1C. 2D. 36.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x 满足的方程是（）A. x2+130x−1400=0B. x2+65x−350=0C. x2−130x−1400=0D. x2−65x−350=07.若直线y=3x+m经过第一，三，四象限，则抛物线y=（x-m）2+1的顶点必在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A. BDBCB. BCABC. ADACD. CDAC9.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A. B.C. D.10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②FPPH=35；③DP2=PH•PB；④tan∠DBE=2-3．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②④C. ②③④D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如果抛物线y=3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线是______．12.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x-3=0的两实数根，则1x1+1x2的值为______．13.一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有______个．14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则△OCE的周长是______；15.小明想测量一棵树的高度，他发现树影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为______米．16.如图，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDO=90°，且点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，若OB2-AB2=10，则k的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）17.（1）计算：2cos30°+(−13)−1+|1−3|-tan60°（2）解一元二次方程：x2+3x-4=018.画出如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图．19.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？20.如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A=______时四边形BECD是正方形．21.为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗B．宋词：C，论语：D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．22.某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）23.如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4，OB=2，反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移______个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．（3）在（2）的情况下，连结AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）答案和解析1.【答案】B【解析】解：x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或x-2=0，所以x1=0，x2=2．故选：B．先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2.【答案】B【解析】解：如图，∵DE∥BC，∴，∵=，AE=6，∴EC=9．故选：B．如图，直接运用平行线分线段成比例定理列出比例式，借助已知条件求出EC，即可解决问题．该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；运用平行线分线段成比例定理正确写出比例式是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、对角线的相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误，是假命题；D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题，故选：D．利用矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定及平行四边形的判定定理分别进行判定后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的特殊四边形的判定定理，难度不大．4.【答案】C【解析】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．AB==3，BC==．∵AC•BD=AB•CE，即×2×3=×3•CE，∴CE=，∴sin∠ABC===．故选：C．过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出∠ABC的正弦值．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1-k＞0，解得k＜1．故选：A．利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k＞0即可．本题主要考查反比例函数的性质的知识点，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．6.【答案】B【解析】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，即4000+260x+4x2=5400，化简为：4x2+260x-1400=0，即x2+65x-350=0．故选：B．本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．7.【答案】B【解析】解：∵直线y=3x+m经过第一，三，四象限，∴m＜0，∴抛物线y=（x-m）2+1的顶点（m，1）必在第二象限．故选：B．由直线y=3x+m经过第一，三，四象限可判断m的符号，再由抛物线y=（x-m）2+1求顶点坐标，判断象限．要求掌握直线性质和抛物线顶点式的运用．8.【答案】C【解析】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD===，只有选项C错误，符合题意．故选：C．利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．9.【答案】C【解析】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴-＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．由a＞0，b＜0，c＜0，推出-＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y 轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】D【解析】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，∴∠EBD=∠EDP，∵∠DEP=∠DEB，∴△BDE∽△DPE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===，故②错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴PD2=PH•CD，∵PB=CD，∴PD2=PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，∵DE∥PM，∴∠EDP=∠DPM，∴∠DBE=∠DPM，∴tan∠DBE=tan∠DPM===2-，故④正确；故选：D．根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，证得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到==故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan ∠DBE=tan∠DPM===2-，故④正确．本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM及PN的长．11.【答案】y=3x2-2【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向下平移2个单位，得到的抛物线是：y=3x2-2．故答案是：y=3x2-2．直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12.【答案】43【解析】【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.【解答】解：∵x1+x2=-4，x1x2=-3，∴==.故答案为.13.【答案】12【解析】解：由题可得：3÷=12（个）．故答案为：12．小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14.【答案】4+23【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，∴CD=AD=4，OD⊥OC，OA=OC，∴BA=AD=DB=4，∴OD=2，∵点E为边CD的中点，∴DE=EC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE=AD=2，∴OC=，∴△OCE的周长=2+2+2=4+2，故答案为：4+2，根据菱形的性质、三角形中位线的判断和性质以及直角三角形的性质解答即可．本题考查了菱形的性质、三角形中位线的判断和性质，关键是根据菱形的性质、三角形中位线的判断和性质以及直角三角形的性质解答．15.【答案】（3+6）【解析】解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），CE：DE=1：2，∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．故答案为：（+6）．延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．16.【答案】5【解析】解：设A点坐标为（a，b），∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∴AB=AC，OB=BD，BC=AC，OD=BD∵OB2-AB2=10，∴2OD2-2AC2=10，即OD2-AC2=5，∴（OD+AC）（OD-AC）=5，∴a•b=5，∴k=5．故答案为：5．设A点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OB=BD，AB=AC，BC=AC，OD=BD，则OB2-AB2=10，变形为OD2-AC2=5，利用平方差公式得到（OD+AC）（OD-AC）=5，得到a•b=5，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=5．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17.【答案】解：（1）原式=2×32-3+3-1-3=3-4；（2）（x+4）（x-1）=0，x+4=0或x-1=0，所以x1=-4，x2=1．【解析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂的意义和绝对值的意义计算；（2）利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数运算．18.【答案】解：如图所示：【解析】主视图为一个长方形的上方有一个梯形形状的缺口；左视图为一个矩形里有一条横向的虚线；俯视图为一个矩形里有两条竖向的实线以及两条竖向的虚线．本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图，俯视图，左视图分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．19.【答案】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31-12.6）÷0.6=11160≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．【解析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．20.【答案】45°【解析】解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；∵D为AB中点，∴AD=BD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=BD，∴四边形BECD是菱形；（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC=∠DBE，∴∠DBE=90°，∴四边形BECD是正方形．故答案为：45°．（1）先证明AC∥DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD=BD，得出四边形BECD是菱形；（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBE=90°，即可证出结论．本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．21.【答案】解：（1）从四个比赛项目中抽取1个有4种等可能结果，其中恰好抽中“三字经”的只有1种结果，∴恰好抽中“三字经”的概率是14；（2）画树状图为：∵共有12种等可能的结果，其中都没有抽到“论语”的有6种结果，∴都没有抽到“论语”的概率为612=12．【解析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）根据题意可直接先画出列表或树状图，根据图可判断12种结果中有6种结果可以使该事件发生，即可得概率．本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：由题意：AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC=60°，∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°∴∠AMB=∠MAB∴AB=MB=40，在Rt△BCM中，∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°．∴BC=12BM=20，∴MC=MB2−BC2=203，∴MC≈34.64，∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．【解析】首先证明AB=BM=40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB=BM=40，属于中考常考题型．23.【答案】3【解析】解：（1）如图1所示，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠AOB=∠BEC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠OBA+∠EBC=90°，又∵∠OBA+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EBC，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE=OA=4，CE=OB=2，∴OE=OB+BE=6，∴点C的坐标为（6，2）．将C（6，2）代入y=，得 2=，解得 k=12，∴反比例函数的关系式为y=；（2）∵A（0，4），∴OA=4，当y=4时，x==3，∴将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．故答案为：3；（3）①当点P的坐标为（-5，0）时，四边形ABQP是矩形．理由如下：∵由（2）知A（3，4），B（5，0），双曲线上各点关于原点对称，∴点A与点Q关于原点对称，∴Q（-3，-4），∴AO=AQ==5，又∵PO=OB=5，∴四边形ABQP是平行四边形，又∵PB=AQ=10，∴四边形ABQP是矩形；②∵A（3，4），F（3，0），∴OA=5，设P（x，0），当△AOF∽△PAF时，=，即=，解得x=-或x=，∴P（-，0）或（，0）；当△AOF∽△APF时，∵AF=AF，∴OF=PF，∴P（6，0），故点P的坐标为（-，0）或（，0）或（6，0）．（1）过点C作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC，再由全等三角形的性质可求出OE的长，进而得出C点坐标．把点坐标代入反比例函数y=即可得出其解析式；（2）根据A（0，4）可知OA=4，再把y=4代入反比例函数的解析式求出x的值即可；（3）①先根据点A与点Q关于原点对称，再根据勾股定理求出AQ的长，由矩形的对角线相等即可得出P点坐标；②设P（x，0），再根据△AOF∽△PAF与△AOF∽△APF两种情况进行分类讨论．本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等相关知识是解答此题的关键．。