2021春新教材高中数学数学探究用向量法研究三角形的性质分层演练含解析新人教A版必修第二册
高中数学学业分层测评13向量的概念(含解析)新人教B版必修4(2021学年)
２01６-２017学年高中数学学业分层测评１3 向量的概念（含解析)新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2016－2017学年高中数学学业分层测评13 向量的概念（含解析）新人教Ｂ版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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学业分层测评(十三）向量的概念(建议用时：４5分钟)[学业达标]一、选择题１。
下列说法正确的个数是( )(1）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2）零向量没有方向;(3)非零向量的单位向量是唯一的。
A。
0 ﻩＢ.1C。
2 D.３【解析】 (１）中温度和功不是向量;（2)零向量的方向不确定，而不是没有方向,所以(１）(2）错误。
【答案】Ｂ2。
下列结论正确的是( )A．向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C。
有向线段错误!和错误!是同一向量Ｄ。
有向线段错误!和错误!的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示,所以选项A错误;向量为自由向量,只要大小相等，方向相同就为同一个向量,而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的,选项Ｂ错误;有向线段错误!和错误!的方向相反，大小相等，不为同一向量,所以选项C错误,D正确。
【答案】 D3。
给出下列四个命题:①若|a|=0,则a＝0；②若|a｜=｜b|,则a＝ｂ或a＝－b;③若a∥ｂ,则|a|＝｜ｂ|；④若ａ=０,则－a＝0。
其中正确的命题有（）Ａ.1个ﻩ B.2个C.3个ﻩD.4个【解析】对于①，前一个零是实数,后一个应是向量０。
2021_2022学年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角课时分层作业含解析新人教A版必修4
课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.]2．在－360°～0°X 围内与角1 250°终边相同的角是( )A ．170°B ．190°C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.] 3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.]4．(多选题)已知α是第三象限角，则α2可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角BD [因为α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 当k 为偶数时，α2是第二象限角；当k 为奇数时，α2是第四象限角．故选BD.] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960°[40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213° －147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k ·360°(k ∈Z )．当k ＝－5时，213°为最小正角；当k ＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. k ·360°＋60°(k ∈Z )[在0°～360°X 围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k ·360°＋60°(k ∈Z )．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出集合S 中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解] (1)因为角β的终边在直线3x －y ＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解] (1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图①图②(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .1．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈ZB[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.270°[由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.]。
2021_2022学年新教材高中数学第9章解三角形9.1.2余弦定理学案含解析新人教B版必修第四册2
9．1.2 余弦定理最新课程标准：1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)知识点一 余弦定理(1)三角形任何一边的________等于其他两边的________减去这两边与它们________的余弦的积的________，即a 2＝______________，b 2＝______________，c 2＝______________.(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求________．②已知________和它们的________，求第三边和其他两个角． 状元随笔 利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？[提示] 是．知识点二 余弦定理的变形(1)余弦定理的变形：cos A ＝________________；cos B ＝________________；cos C ＝________________.(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔∠C 为________；c 2>a 2＋b 2⇔∠C 为________；c 2<a 2＋b 2⇔∠C 为________．[基础自测]1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为()A.13B ．－12C.14D ．－142．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则b 为()A ．5B ．8C ．5或－8D ．－5或83．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则∠B ＝________.4．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则∠A ＝________.题型一 已知两边及一角解三角形例1已知△ABC ，根据下列条件解三角形：a ＝3，b ＝2，∠B ＝45°.方法归纳已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪训练1在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则边c ＝________.题型二 已知三边或三边关系解三角形例2(1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数；(2)已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．【解】 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12， ∴∠A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22， ∴∠B ＝45°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°.(2)∵c >a ，c >b ，∴∠C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12， ∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.方法归纳(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．跟踪训练2在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则∠A 等于()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°题型三 正、余弦定理的综合应用状元随笔1.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 成立吗？反之，说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC 的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A＝sin 2B ＋sin 2C.反之，将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝π2成立吗？反之，若∠C ＝π2，则c 2＝a 2＋b 2成立吗？为什么？[提示] 因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，即cos C ＝0，所以∠C ＝π2，反之，若∠C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.例3在△ABC 中，若(a －c ·cos B )sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．角边转化．方法归纳(1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练3在△ABC 中，若2∠B ＝∠A ＋∠C ，b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状为________．教材反思1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．(2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状．3．本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．9． 余弦定理新知初探·自主学习知识点一(1)平方 平方和 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos Aa 2＋c 2－2ac cos Ba 2＋b 2－2ab cos C (2)三角 两边 夹角知识点二(1)b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab(2)直角 钝角 锐角 [基础自测]1．解析：根据正弦定理，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)．则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k＝13. 答案：A2．解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即49＝9＋b 2－3b ，所以(b －8)(b ＋5)＝0.因为b >0，所以b ＝8.答案：B3．解析：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，∠B ＝60°. 答案：60°4．解析：∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12， 又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝120°.答案：120°课堂探究·素养提升例1【解】 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∴2＝3＋c 2－23·22c . 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12. ∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝60°，∴∠C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12. ∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°，∠C ＝15°.故c ＝6＋22，∠A ＝60°，∠C ＝75°或c ＝6－22，∠A ＝120°，∠C ＝15°. 跟踪训练1 解析：根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.答案：219跟踪训练2 解析：∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴∠A ＝60°. 答案：B例3【解】 方法一：∵(a －c ·cos B )sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ， 整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2.∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．方法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ，即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A .∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A .∴2∠B ＝2∠A 或2∠B ＋2∠A ＝π，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．跟踪训练3 解析：∵2∠B ＝∠A ＋∠C ，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°.又b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，从而(a －c )2＝0，∴a ＝c ，可知△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形。
新教材高中数学第六章平面向量及其应用数学探究用向量法研究三角形的性质课件新人教A版必修第二册
解析:(1)因为在△ABC 中, = · + · + ·,
所以 = · − · + ·
= ·( − )+ · = · + ·,
即 = + ·,得 ·=0,
||
+
||
·=0 可知,
以与, 同向的单位向量为邻边,构成的平行四边形的对角
线与 BC 垂直,即∠A 的平分线与 BC 垂直,故△ABC 为等腰三
角形.
设, 的夹角为 θ,而
·
=cos θ=,
|以∠BAC=π- = π,
所以 = · − · + ·
= ·( − )+ · = · + ·,
即 = + ·,得 ·=0,
所以 ⊥ ,即 CA⊥CB,可得△ABC 是直角三角形.
(2)∵ − = , + -2 = + ,
所以 ⊥ ,即 CA⊥CB,可得△ABC 是直角三角形.
(2)∵ − = , + -2 = + ,
取 BC 的中点 D,则 + =2,
∴2 ·=0,∴AD⊥BC,即 AB=AC.
答案:(1)C (2)B
解析:(1)因为在△ABC 中, = · + · + ·,
AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法
证明CF⊥AB.
证法一:因为 AD⊥BC,BE⊥AC,
所以 ⊥ , ⊥ ,
即 · = ·( − )= · − ·=0,
所以 · = ·.同理, · = ·.
所以 · = ·,即 · − ·=0,
向量在三角形中的应用课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
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总结词
04
CHAPTER
用向量法研究三角形的性质(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
探究总结
三角形“重心”的性质
结论1 三角形的三条中线必交于一点，该点即三角形的重心， 重心将每条中线分成2:1两条线段（三角形的重心是中线的三等分点。）.
结论2 O为△ABC的重心 OA + OB OC 0
PA PB PC 3PO
用向量探究证明平面几何问题的一般方法
形到向量
向量运算
向量到形
基 底 向
坐 标 法
量
法
学以致用
1. P 是 △ABC 所 在 平 面 内 与 A 不 重 合 的 一 点 ， 满 足
A B A C 3 A，PP 是△ABC 的( A )
A.重心
B.内心
C.垂心
D.外心
学以致用
2.已知 A,B,C 是不在同一条直线上的三点，O 是平面 ABC 内一
课后作业
1.思考探究一得到结论1，如果点D是△ABC 中BC 边上的三等分点， AD与AB和AC之间的关系式是什么？如果点D是BC边上的n 等分点呢？
2.用向量法探究三角形的其它性质，每位学生给出三角形内心、 垂心、外心的向量表示.
3.分组探究，形成报告，选题： 从以下几个课题中选择一个进行探究：（1） 探究三角形“角平分线”的性质（2）探究三角形“高线”的性质（3）探究三角 形“中垂线”的性质（4）探究三角形“四心”的向量表示的关系建议如下步骤 完成：（1）六人为一组，确定一人为组长；（2）小组集体讨论探究方案，确定 研究思路；（3）小组各自开展探究，并以专题作业形式撰写研究报告（报告形 式可以参考课本）；（4）小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小 组研究报告，全班进行成果交流，评价.
A
高中数学学业分层测评23向量的应用(含解析)新人教B版必修4(2021学年)
2０1６－2０17学年高中数学学业分层测评23 向量的应用(含解析）新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０１6-２017学年高中数学学业分层测评23 向量的应用（含解析）新人教B版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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学业分层测评(二十三）向量的应用（建议用时:4５分钟)[学业达标]一、选择题1。
已知直线l：mx＋2y+6＝0，向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为( )A。
-１ﻩＢ。
1C。
2 D.-1或２【解析】向量(1－m,1）是直线的方向向量,所以斜率为＼f(１,1-m),则错误!=-错误!，解得m＝－１或m＝2.【答案】D2．已知点A(2,3）,B(-2,6)，Ｃ（6,６),D（10，3),则以AＢCD为顶点的四边形是( )Ａ。
梯形B。
邻边不相等的平行四边形C。
菱形D。
两组对边均不平行的四边形【解析】因为错误!＝(8，0),错误!＝(8,0）,所以错误!=错误!,因为错误!=(4，-3)，所以|错误! |＝５，而|错误!|=8,故为邻边不相等的平行四边形.【答案】Ｂ３.在△ＡBC中，若错误!（错误!+错误!+错误!）＝错误!,则点G是△ABC的( )A。
内心Ｂ.外心C.垂心D.重心【解析】因为错误!（错误!＋错误!+错误!)=错误!,所以错误!－错误!+错误!-错误!+错误!－错误! =3错误!，化简得错误!＋错误!＋错误!=0,故点G为三角形ABC的重心.【答案】 D4.在△ＡBC中,D为BＣ边的中点,已知错误!＝ａ,错误!＝ｂ,则下列向量中与错误!同方向的是（ )A．a＋b｜ａ＋b|ﻩ B.错误!+错误!C．＼f（a－b,|a-ｂ|) ﻩ D.错误!－错误!【解析】因为D为BC边的中点，则有错误!+错误!=２错误!，所以a＋b与错误!共线,又因为错误!与ａ+b共线,所以选项A正确。
《用向量研究三角形的性质》单元教学设计
《用向量研究三角形的性质》单元教学设计一、内容与内容解析内容：人教A版必修第二册的一个数学探究内容——《用向量研究三角形的性质》，安排在第六章《平面向量及其应用之后》，具体分3个课时，单元设计思路如下：第1课时：起始课，教师与学生一起经历一次数学探究活动，明确探究思路；第2课时：学生在教师指导下通过自主探究、合作交流方式完成探究任务；第3课时：成果展示内容的本质：向量的运算（运算律）与几何图形的性质有着密切的联系，向量的运算（运算律）可以用图形简明的表示，而图形的一些性质可以反映到向量的运算（运算律）上来，因此我们可以利用向量来研究几何图形的性质，即通过将几何运算翻译成向量进行运算，最后将运算结果翻译成几何结论.蕴含的数学思想和方法：向量兼具“数”与“形”的特性，既是代数的研究对象，又是几何的研究对象，是连接代数与几何的纽带，《用向量研究三角形的性质》蕴含典型的数形结合思想.知识的上下位之间的关系：以前研究三角形的性质是利用综合法，即从公理（基本事实）出发，通过演绎推理得到新的性质。
向量法的介入，通过向量的运算发现和证明图形的性质，开辟了一条新的运算推理之路.内容的育人价值：站在新的角度，认识数学知识之间的联系性和整体性，培养学生利用向量知识研究几何问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;在探究与发现三角形性质的过程体会数学研究的乐趣,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
教学重点：用向量方法研究三角形性质的“三部曲”.二、目标解析（1）单元目标①用向量刻画几何图形中元素之间的关系，进一步认识向量运算（运算律）与几何图形性质之间的内在联系，理解向量兼具数与形的特质；②通过用向量方法证明初中学过的一些三角形的性质，掌握向量方法解决几何问题的三个步骤，体会向量方法的程序性特点；③通过探究三角形的其它性质，经历数学探究的过程和方法，体验向量方法在发现和证明几何图形性质中的作用；④在用向量法探究三角形性质的过程中，培养学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养；（2）达成上述目标的标志是①能将向量的运算（运算律）用图形简明地表示，把几何图形中的平移、共线、垂直、夹角、距离等通过向量运算来刻画，能将几何图形、图形变换、向量运算以及向量运算律统一起来；②学生梳理初中已学三角形的性质并用向量方法证明，掌握用向量法研究几何问题的三个步骤：几何问题向量化——向量运算——运算结果几何法；③通过用向量方法对三角形性质的探究，体会到靠演绎推理获得几何结论，规律性不强，难度较大，而向量方法开创了研究几何问题的新方法，将思辨论证的过程变成了一个算法过程，可按一定的程序进行运算，降低思维的难度；④在面对一个几何问题时，学生初步具备“向量意识”，能用“向量眼光”来发现和提出问题，用“向量的思维”和“向量的方法”来解决问题；三、教学问题诊断分析尽管学生在前面的学习中已经基本经历了用向量方法解决几何问题的一般过程，会用向量方法证明简单的几何图形的性质，但数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作探究最终解决数学问题的过程，学生缺乏这方法的经验，尤其是将三角形的几何性质转化为向量的运算来研究难度较大，为了让学生少走弯路，教师应该在探究内容的选择、探究方案和探究思路的制定上给学生一些指导.一旦方案确定，具体的探究过程尽可能由学生独立完成.教学难点：将三角形的几何性质研究转化为向量研究四、教学条件支持分析学生在探究过程中往往会遇到计算太复杂，画图精确性不够等影响探究发现的障碍，而借助图形计算器、几何画板等数学软件可以为发现和证明数学结论提供帮助。
2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系
第三章
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
核心素养
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平
行关系.(数学抽象)
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定
定理.(逻辑推理)
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理)
苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几
种,多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大.如图,牌楼的
柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下
边线与地面平行.
这是为什么呢?
知识点拨
一、空间中的平行与垂直
设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则l∥m
∴, , 1 是共面向量.
又∵MN⊄平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.
1
1
(方法二)∵ = 1 − 1 = 2 1 1 − 2 1
1
1
=2 (1 1 − 1 )=2 1 ,
∴ ∥ 1 .
又∵MN⊄平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.
何处,都有PE⊥AF.
分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.
证明(方法一)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间
直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),
1 1
于是 F 0, 2 , 2 .
∵E 在 BC 上,∴设 E(m,1,0),
问题34 与向量、数列等相结合的三角形问题-2021届高三数学成功在我之优等生提分精品(原卷版)
专题三 三角函数与解三角形问题四：与向量、数列等相结合的三角形问题一、考情分析在知识点的交汇处命题,是当前高考的热点,三角函数即是基本的函数,也是解决数学问题的有效工具,在代数与几何中有着广泛的应用.其中解三角形与三角函数、向量、数列的交汇较为多见二、经验分享(1)解题中要灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(2)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(3)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(4) 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍．(5) 向量在解三角形问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”.(6) 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．三、知识拓展1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 2.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0. 3.在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．4. 在△ABC 中，若,,a b c 成等差数列，则60B ≤；若,,a b c 成等比数列，则60B ≤；若,,A B C 成等差数列，则60B =.5.在锐角△ABC 中，090A <<，90A B +>，sin cos ,sin cos A B B A >>.四、题型分析(一) 三角与向量的交汇现行高中数学教材中,向量是继函数之后的一条主线,贯穿整个高中数学教学,也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇,通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识,如向量的坐标中包含三角表达式,然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等,这种情况在当前的试题中还很常见.【例1】【2017辽宁盘锦市高三11月月考】已知△ABC 的面积S 满足231S ≤≤,且2AC CB ⋅=-,ACB θ∠=．（1）若(sin 2,cos 2)m A A =,(cos 2,sin 2)n B B =,求|2|m n +的取值范围；【分析】（1）由已知数量积可得cos 2ab θ=,代入θsin 21ab S =,可得[]1,32tan -∈θ,从而求出θ的范围,再由向量模的公式可得θ2sin 4522-=+n m ,从而求得答案；（2）化简函数()24cos cos sin 344sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθθθπθθf ,令sin cos θθ=+,然后利用配方法求得函数()θf 的最大值．【解析】（1）由2CA CB ⋅=,ACB θ∠=,得cos 2ab θ=,1sin tan 23,12S ab θθ⎡⎤==∈⎣⎦, 所以tan 23,1θ⎡⎤∈⎣⎦,而(0,)θπ∈,所以124ππθ≤≤,∵(sin 2,cos 2)m A A =,(cos 2,sin 2)n B B =,∴22||sin 2cos 21m A A =+=,||1n =,sin 2cos 2cos 2sin 2sin(22)sin(22)sin 2sin 2m n A B A B A B C C πθ⋅=+=+=-=-=-, 222|2|||44||54sin 2m n m m n n θ+=+⋅+=-,因为124ππθ≤≤,所以262ππθ≤≤,[]54sin 21,3θ-∈,所以|2|1,3m n ⎡-∈⎣．（2）()sin()43sin cos cos()244f ππθθθθθ=+-+--2(sin cos )43sin cos 2θθθθ=+--, 设sin cos t θθ=+2sin()4πθ=+,因为124ππθ≤≤,所以342πππθ≤+≤,所以6,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,2124322t y t -=-⋅-2232232t t =-++-,【点评】(1)平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．(2)求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型,可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值.本题是利用方法①的思路解答的.【小试牛刀】【2018届河北省定州高三上学期期中】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-，,c 60a c b --=︒，则c 的最大值等于（ ）A. 4B. 2C.2 D. 1(二) 三角与数列的交汇数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题,主要题型有两大类：一是在解三角形中,一些条件用数列语言给出,常见的如三角形三内角A ,B ,C 成等差数列；三边a ,b ,c 成等比数列等,二是数列通项种含有三角函数,我们可以借助三角函数的周期性求和.【例2】设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且c b a ,,成等比数列,则角B 的取值范围是( )A ．]6,0(πB ．),6[ππC ．]3,0(π D ．),3[ππ【分析】利用c b a ,,成等比数列,得ac b =2,再利用余弦定理,将边与角联系,最后用基本不等式求出cos B 的范围.【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件,所以,解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来.【小试牛刀】△ABC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. (1)若c b a ，，成等差数列,证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； (2)若c b a ，，成等比数列,求B cos 的最小值. (三)三角与三角函数的交汇【例3】【2018届山东省、湖北省部分重点中学高三12月联考】设函数()32sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.【分析】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求解增区间即可；（Ⅱ）由32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3A π=，由题意可知： ABC ∆的内切圆半径为1，根据切线长相等结合图象得23b c a +-=()4334bc b c =+，利用均值不等式求最值即可.【解析】(Ⅰ) ()3313132sin cos 2sin2cos23222222f x x x cosx sinx cosx x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6. 令也可以这样转化： 31r a b c =⇔++=代入2223b c b c bc ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭；[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6.【牛刀小试】【2018届江西省抚州高三上学期教学质量检测】已知ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若5cos 45cos b A c B a +=，则222tancos 22cos sin tan 22A AA A B=⎛⎫- ⎪⎝⎭__________．(四)解三角形与其他知识的交汇【例4】已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =,其中B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． (1)求角B 的大小；学+科网 (2)若22b =,求△ABC 的面积.【解析】(1)12z z =,B c a C b cos )2(cos -=①,4=+c a ②；由①得B c C b B a cos cos cos 2== ③; 在ABC ∆中,由正弦定理得B C C B B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=0A π<< ∴sin 0A > ∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴3B π=【点评】本题其实就是利用复数相等建立两个边角关系,而复数与三角函数也有密切关系,只是现行教材的范围限制,对复数的三角形式暂不作要求,但应该注意与其相关的试题出现.【牛刀小试】已知椭圆C ：221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.五、迁移运用1．【2018届福建省莆田高三上学期第二次月考】在ABC 中，三个内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，若ABC 的面积为S ，且()224S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A. 1B. 22-C. 22D. 32A.34 B. 12 C. 56 D. 453．【2018届河北省大名高三上学期第一次月考】已知函数()y f x =是()1,1-上的偶函数,且在区间()1,0-是单调递增的, ,,A B C 是锐角ABC 的三个内角,则下列不等式中一定成立的是 ( ) A.()()sin cos f A f A > B. ()()sin cos f A f B > C. ()()cos sin f C f B > D.()()sin cos f C f B >4.已知A ,B ,C ,D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A ⎝⎛⎭⎫－π6，0,B 为y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,CD →在x 轴上的投影为π12,则ω,φ的值为( )A ．ω＝2,φ＝π3B ．ω＝2,φ＝π6C ．ω＝12,φ＝π3D ．ω＝12,φ＝π65.【2017山西临汾一中等五校高三第三联考】如图,在ABC ∆中,,3,1AD AB BC BD AD ⊥==,则AC AD 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6.【2017福建厦门一中上学期期中】如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°,点C 在AB 上,且030COB ∠=,若OC OA OB λμ=+,则λμ+=____________．7.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试】如图所示，在平面四边形ABCD 中， 1AB =，2BC =，为ACD ∆正三角形，则BCD ∆面积的最大值为__________．8．【2018届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查】如图，现有一个AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB . 现欲在弧AB 上取不同于,A B 的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中//CD OA ），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I 和养殖区域II. 若1OA cm =， 3AOB π∠=， AOC θ∠=. 求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD长度之和）的最大值为______.9．【2018届四川省双流中学高三11月月考】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4a b +=，23c =23CA CB ⋅=，则ABC 的面积是__________． 10．【2018届宁夏银川一中高三第五次月考】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若a 、b 、c成等比数列，且4cos 5B =，则11tan tan A C+的值是___________.学科=网 11．【2018届山东省济南外国语学校高三12月考试】在ABC ∆中，角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ，c ，若2sin sin c ba B C+=， 2b =，则ABC ∆面积是__________． 12．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】如图， ,,A B C 是直线l 上的三点， P 是直线l 外一点，已知112AB BC ==， 90CPB ∠=， 4tan 3APB ∠=．则PA PC ⋅=_____13．【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11sin tan tan B A B-+的取值范围是__________． 14． ABC ∆中,内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ,已知,,a b c 成等比数列,且3cos 4B =．（1）求11tan tan A B+的值； （2）设32BA BC ⋅=,求a c +的值．15.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34,b ＝(cos x ,－1)． (1)当a ∥b 时,求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ,已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝3,b ＝2,sin B ＝63,求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围． 16.【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知函数()3cos f x x x c ωω=++（0ω>,x R ∈,c 是常数）图象上的一个最高点为(,1)6π,与其相邻的最低点是2(,3)3π-． （1）求函数()f x 的解析式及其对称中心；（2）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且12AB BC ac ⋅=-,试求函数()f A 的取值范围． 17.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 10C =．（1）若92CA CB ⋅=,求ABC ∆的面积； （2）设向量(2sin ,3)x B =-,2(cos 2,12sin )2By B =-,且//x y ,求角B 的值． 18. 【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】设向量2(2,3cos 2)a λλα=+-,(,sin cos )2mb m αα=+,其中λ,m ,α为实数． （1）若12πα=,求||b 的最小值；（2）若2a b =,求mλ的取值范围．19.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且,,A B C 成等差数列 (1)若23,2b c ==,求ABC ∆的面积(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列,试判断ABC ∆的形状20.【2018届四川省德阳市高三三校联合测试】在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 3cos a B c b A =-.学&科网（1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上， 2AB AC AM +=， 32AM =,求ABC ∆的面积.。
用向量法研究三角形的性质
用向量法研究三角形的性质1.说明“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。
它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景……能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.”为了深入研究新课标、新课程、新理念，笔者在上述理念的启导下，在自己所在学校开设了一节公开课——用向量法研究三角形的性质（选自人教社必修第二册第六章），受到了其他教师的一致好评.现对这节课的课堂教学过程简录如下，并根据课后大家的点评以及个人的体会和看法做些分析，供大家参考，如有不妥之处敬请同行批评指正.1.教学过程简录2.1导言引入，设置悬念教师：前面我们一起学习了向量的线性运算和数量积运算，因为有了运算，向量的力量无限.（学生笑了笑，并示意的点了点头）教师：今天我要带领大家再一次来回味一下本章内容的章节导言.(“哦！……”学生发出一阵诧异和期待的声音)教师：课本1页平面向量的章节导言中有着这么两段话：（多媒体课件演示，以下不再注明）向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.教师：哪句话大家看后有特别深的体会啊？学生：向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.学生：向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中有广泛的应用.教师：是的.我们在学习向量的线性运算和坐标表示的时候，就体会到了向量通过坐标运算可以把几何问题转化成代数问题.今天我们要通过研究几个具体的问题来进一步认识向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.教师：首先我们先看看向量是怎么沟通代数的，下面大家请看屏幕这道题目.2.1深化导言，层层递进例1、在△ABC中，求证：.巡视片刻，部分学生采用余弦定理来证明，部分同学采用正弦定理来证.不管是用正弦定理还是余弦定理，都能很快地完成该题的证明。
高一下学期数学人教A版必修第二册第六章数学探究用向量法研究三角形的性质课件
平面向量及其应用
西
A
北
45° B
南
数学探究
用向量法研
究三角形的性质
东
目录
知识讲授
知识讲授
我们知道，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的集合意
义．例如，向量加法和三角形、平行四边形有密切联系，数乘向量和平行、图
形的类似有密切联系，而向量的数量积与距离、夹角有密切联系．向量运算与
几何图形性质的这种内在联系，使我们自然地想到：利用向量运算研究几何图
2．小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的情势撰写研究报告；
3．小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告；
4．全班进行成果交流、评价．
知识讲授
三、研究报告的参考情势
用向量法研究三角形的性质
_______年级_______班
1．本课题组的成员姓名
2．发现的数学结论及发现过程概述
完成时间：________
但我们对它知之甚少．那么，它到底有哪些神秘的性质呢？
其实，从严谨性角度看，三角形的两条中线相交于一点是肯定的，但第三
条中线是否经过这个交点是需要证明的．下面我们就用向量方法来探究它是否
成立．
知识讲授
如图2，在 △ABC 中，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中点，设 BE，CF
交于一点 O，连接 AO，OD．
度重新审视研究对象，加深对数学对象的认识，而且可以有所发现．因此，以
向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的．
1．回顾初中研究三角形的过程，从研究的思路、内容、方法等角度进行
梳理，并列出已经得到的结论．
2．用向量方法对已证的结论进行证明，总结用向量方法处理几何问题的
第六章6.4平面向量的应用-用向量法研究三角形的性质课件(人教版)
c a a b b c c
cb
2
2 a b
2
2
b
2
2
b
2
2
b c
2
2
2
ac
2
2
2
2
2
即：AB 2 BC 2 CA2 3 OA2 OB 2 OC 2
感谢凝听,批评指点
小结1：通过上述的引例，发现在研究三角形性质的问题上几何法与向量法有各
自的特点。
视察、想象、
几何法
向量法一定
建模、推理
程度上降低
研究难度
向量法
几何问题代数化
小结2：用向量法解决三角形性质的基本步骤
几何问题向量化
向量运算
表示
运算
向量结果几何化
翻译
探究什么
THE PROBLEM IS RESOLVED
1
SΔABC
3
外心
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
引例：三角形是一个“闭合回路”，可以用向量加法刻画，即
AB BC CA 0
问题1：中线对应的向量本身就可以用三边对应向量表示，类比引例中
的闭合回路，你能写出一个新的三角形回路吗？
向量意识、
基底意识
AD BE CF
y y B yC
, yG A
3
3
证明： G是ABC,的重心
GA+GB GC =0
表示
A x A , y A , B xB , y B , C xC , yC , G xG , yG
2025届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第06讲怎样用向量法解三角函数问题含解析
第06讲 怎样用向量法解三角函数问题一、学问与方法本讲主要探究平面对量与三角函数以及解三角形的综合问题的命题形式与解题思路,主要体现在以下 3 个方面。
（1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,探求值域或最值或参数的取值范围等.（3) 运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一样的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解两向量关系问题的两大途径,关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理. 三角形的面积公式求解.二、典型例题【例1】(1) .在锐角ABC 中,若137,8,,cos ,sin ,22a b m A n A ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且m ⊥n , 则ABC 的面积为().A.C. D.(2) .平面直角坐标系中,角θ满意()34sin,cos ,0,12525OA θθ=-==-,设点B 是角θ终边上一动点,则| OA OB -∣的取值范围为【分析】 第(1)问,要求三角形的面积,只需求出B ∠的正弦值,而这就要借助已知条件两个向量的垂直关系,先求出A ∠, 进而再运用正弦定理求(B ∠或其三角函数值),最终利用三角形的内角定理,找到问题的解. 第(2)问是三角函数定义、二倍角公式与用坐标运算). 两个视角各具特色,作为填空题, 从“形”的角度处理相对简捷.【解析】(1) 1,sin 02m n A A ⊥∴=, 又090,cos 0A A ∠<<∴≠则有tan A =因此60A ∠=.由正弦定理知sin sin a b A B=, 又7,8,60a b A ∠===, 843sin sin6077B ∴==又ABC 为锐角三角形,1cos 7B ∴=.()11sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=+⨯=1sin 2ABCSab C ∴==故选C . （2）【解法1】 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-= 可得 θ 为第四象限的角,且 sin 24tan cos 7θθθ==-. ∴ 点 B 在射线 ()2407y x x =-, 即 ()24700x y x += 上运动.又 OA OB BA -=, 而点 A 到射线的距离为 725d ==, 故所求取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设OB t =, 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=, 可得θ为第四象限的角, 324cos<,cos sin 225OA OB πθθ⎛⎫∴=-=-= ⎝⎭>⎪. 由2222248||212cos<,125OA OB OA OB OA OB t t OA OB t t -=+-⋅=+-=+>-224494925625625t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（当且仅当2425t =时等号成立），故OA OB -的取值范围为7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【解法3】 由 2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=设 (0)OB t t =>, 则依据三角函数定义可得点 B 坐标为 724,2525t t ⎛⎫-⎪⎝⎭.由此可得 2222227242477||012525252525OA OB t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(当且仅当 2425t = 时等号成立).故 OA OB - 的取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【例2】（1）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=, 求α和β的值; (2) 求246cos cos cos 777πππ++的值. 【解析】(1) 原条件可化为()3sin sin 1cos cos cos 2αβαβα+-=-. 构造向量()()sin ,1cos ,sin ,cos m n ααββ=-=由m nm n ⋅得23cos sin 2αα-+解得211 cos 0,cos ,0,222πααα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3πα∴=.3παββ=根据和的对称性可知(2) 如图129-所示,将边长为 1 的正七边形ABCDEFO 放人直角坐标系中,则()224466 1,0,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 777777OA AB BC CD ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8810101212cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin .777777DE EF FO ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0OA AB BC CD DE EF FO ++++++=故2468101224 1coscos cos cos cos cos ,0sin sin 77777777ππππππππ⎛+++++++++ ⎝()681012sinsin sin sin 0,07777ππππ⎫+++=⎪⎭即246810121coscos cos cos cos cos 0777777ππππππ++++++=，① 86104122 coscos ,cos cos ,cos cos 777777ππππππ===由三角函数诱导公式可得 ∴①式可化为24612cos cos cos 0.777πππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭2461coscos cos 7772πππ∴++=-【例3】已知()()() cos ,sin ,cos ,sin ,sin 2sin ,cos 2cos a b x x c x x αααα===++，其中0x απ<<<。
向量在三角形中的重要结论推导
向量在三角形中的重要结论推导在几何学中，向量是一种常见的数学工具，被广泛应用于各种数学和物理问题的求解中。
在三角形的研究中，向量也起着至关重要的作用。
本文将介绍一些关于向量在三角形中的重要结论，并解释它们的应用。
一、向量的定义和性质在开始讨论向量在三角形中的应用之前，我们先来回顾一下向量的定义和性质。
向量通常用有向线段来表示，具有大小和方向。
在平面直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差表示。
例如，向量AB可以表示为向量→AB=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是向量AB的起点和终点的坐标。
向量有以下重要性质：1. 向量的模（或长度）：向量AB的模表示为│→AB│，它等于向量AB的长度。
向量AB的模可以通过勾股定理计算得到：│→AB│=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
2. 向量的方向：向量的方向可以用夹角来表示。
例如，向量→AB和向量→CD的夹角可以用向量的点积公式计算得到：cosθ=(→AB·→CD)/(│→AB││→CD│)，其中θ表示两个向量的夹角。
3. 向量的平行性：两个向量平行的条件是它们的方向相同或相反。
如果两个向量的方向相同，则它们的比例相等；如果两个向量的方向相反，则它们的比例相等但有相反的符号。
二、向量在三角形中的应用1. 向量的平移向量的平移是指将一个向量沿另一个向量的方向和长度移动到另一个位置。
在三角形中，我们经常需要用到向量的平移来研究三角形的性质。
例如，假设有一个三角形ABC，我们可以定义向量→AB和向量→A C。
如果我们将向量→AB平移到向量→AC的起点上，得到的新向量就是向量→AC。
这意味着向量→AC可以表示为向量→AB加上向量→BC，即→AC=→AB+→BC。
通过向量的平移，我们可以得到三角形的一些重要性质，如三角形的中点定理和向量的共线性。
2. 向量的线性组合向量的线性组合是指将两个向量按照一定的比例相加或相减得到一个新的向量。
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数学探究 用向量法研究三角形的性质
A 级 基础巩固
1.若O 为△ABC 内一点,|OA
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则O 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析:由向量模的定义知O 到△ABC 的三顶点的距离相等.故O 是△ABC 的外心,故选
B .
答案:B
2.已知M 是△ABC 所在平面内的任意一点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则N 是△ABC 的 ( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析:因为MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+ (MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以N 是△ABC 的重心.
答案:C
3.P 是△ABC 所在平面内一点,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 是△ABC 的 ( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析:由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ -PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA
⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则PB ⊥CA ,同理PA ⊥BC ,PC ⊥AB ,所以P 为△ABC 的垂心.
答案:D
4.如图所示,在△ABC 中,点O 是外接圆的圆心,AB =4,AC =3,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-72
.
解析:设M 是边BC 的中点,连接OM (图略).由于点O 是△ABC 的外心,则OM ⊥BC.所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )· (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=-72
.
B 级 能力提升
5.O 为平面上一定点,A ,B ,C 是平面上的不共线的三个点,动点P 满足OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析:如图所示,设D 为BC 的中点,由向量的加法法则可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .依题意知
AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为λ∈[0,+∞),所以P ,A ,D 三点共线.又AD 为△ABC 的中线,故点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,故选C .
答案:C
6.若非零向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, 则 △ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
解析:因为非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |）·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即A 的平分线垂直于BC ,所以 AB =AC. 因为cos A =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,所以A =π
3,所以△ABC 为等边三角形. 答案:D
7.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析: 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量分别为e 1和e 2,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则原式可化为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(e 1+e 2),由菱形的基本性质知AP 平分∠BAC ,那么在△ABC 中,AP 平分∠BAC ,则知选B .
答案:B。