数学分析Cauchy收敛准则及迭代数列极限
2-第一讲2-极限知识浅析--数列的柯西收敛准则
and integral calculus DifferentialD ifferential and integral calculus本节提要数列的柯西收敛准则3. 定理的几何解释1. 柯西(Cauchy)列2. Cauchy 收敛准则（定理）4.例题D ifferential and integral calculus一、(复习)数列极限1. 极限定义(ε –N )n x a ε−<；ε(>0),N ,n > N,{}n x ，a ,2. 极限理解：1）动态过程：（2）极限：无限趋近于定数，要多近有多近(不是很近或非常近)；理想数，常数列极限本身，其它数列永远达不到；（3）ε：理想数（4）N 时刻：(二重性) (i)要多小有多小, 不是很小、也不是非常小(不存在)，(ii) 一旦指定后正非零数用(存在性）;不唯一, N =N (ε)；二、数列的柯西收敛准则n n x a lim →∞=⇔0,ε∀>N ,∃当n > N 时，有.n x a ε−<1. 柯西(Cauchy)列：如果数列有具有以下特性：则称数列是一个基本数列或柯西(Cauchy)列。
2. Cauchy 收敛准则：定理数列收敛的充要条件是：是一个基本数列。
数列收敛and integral calculus定理1（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件，n a 对N ,,ε0当n m N ,时, 有n m a a .ε若n a 证明必要性收敛于a , 设n na a lim .则对,ε0N N ,当n N ,m N 时，有n a a,ε2ma a,ε2故n ma a n m a aa a n m a aa a.εεε22and integral calculus先证明满足条件的数列必有界。
充分性ε1对于存在N ,使得m , n >N 时，m n a a .ε =1特别当n >N , m =N +1 时，有n N a a .1 1n n NNN a a a a a .111+1+有界。
第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则及两个重要极限极限存在准则是数学分析中用来证明函数极限存在的重要工具。
它可以帮助我们判断函数是否有极限，并且有助于我们进行更深入的研究。
极限存在准则有许多种形式，而我们在这里将着重讨论两个重要的形式。
它们分别是Cauchy收敛准则和单调有界准则。
1. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是在实数集上定义的，它陈述了一个数列收敛的充要条件。
具体来说，对于给定的一个数列{an}，如果对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n、m大于等于N时，|an - am| < ε成立，则数列{an}收敛。
Cauchy收敛准则的证明基于一个重要的数学定理，即实数集的完备性。
根据这个定理，如果一个数列满足Cauchy收敛准则，那么它一定收敛到一个实数。
2.单调有界准则：单调有界准则是在实数集上定义的，它陈述了一个单调数列有界的充要条件。
具体来说，对于给定的一个单调数列{an}，如果它是递增有上界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≤M），或者是递减有下界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≥M），则数列{an}收敛。
单调有界准则的证明也是基于实数集的完备性。
根据这个准则，如果一个单调数列满足单调有界准则，那么它一定收敛到一个实数。
这两个极限存在准则在数学分析中非常重要，提供了一种判断函数极限存在的方法。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
值得一提的是，这两个准则只适用于实数集，而在实际的数学研究中，我们还会涉及到复数集和一些其他更一般的情况。
在这些情况下，我们需要使用更为复杂的准则和方法来判断函数极限的存在性。
总结起来，极限存在准则是数学分析中用来判断函数极限存在的重要工具。
Cauchy收敛准则和单调有界准则是其中两个重要的形式。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
cauchy收敛定理
cauchy收敛定理第一篇：Cauchy收敛定理Cauchy收敛定理是数学中非常重要的定理之一，它是数学分析的基础之一。
由法国数学家Augustin-Louis Cauchy在19世纪初提出，通过连续的函数来研究函数序列的极限，为后续的数学发展做出了巨大贡献。
Cauchy收敛定理的核心思想是基于函数序列的收敛性质。
在数学中，函数序列是一系列的函数组成的序列，通过对序列中每个函数的极限进行研究，我们可以得出关于序列整体极限的结论。
在Cauchy收敛定理中，关键在于序列的收敛性质。
一个函数序列如果满足Cauchy收敛准则，即序列中任意两个函数的差值可以任意小，那么这个函数序列就是Cauchy收敛的。
具体而言，设有函数序列{f_n(x)}，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，对任意的x都有|f_n(x) -f_m(x)| < ε，那么函数序列{f_n(x)}就是Cauchy收敛的。
Cauchy收敛定理的证明过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些基本定理和方法。
通过逐步推导，我们可以得到Cauchy收敛准则的结论。
Cauchy收敛定理在实际应用中有着广泛的用途。
首先，在微积分中，我们经常需要研究函数极限的性质，而Cauchy收敛定理提供了一种有效的方法来判断函数序列的收敛性。
其次，Cauchy收敛定理在数论中也有着重要的地位。
实数的定义中就用到了Cauchy收敛定理，我们可以通过Cauchy收敛定理来构建实数的序列，并研究实数的性质。
此外，Cauchy收敛定理还在数学分析的其他领域中扮演着重要的角色。
在函数空间中，我们可以用Cauchy收敛定理来定义收敛的函数序列，进而研究函数空间的性质。
总结一下，Cauchy收敛定理是数学领域中的重要定理，它通过研究函数序列的极限性质，为我们理解和应用数学提供了强有力的工具。
无论是在微积分、数论还是其他数学分析领域，Cauchy收敛定理都有着广泛的应用和深远的影响。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(极限论及实数理论的补充)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第11章极限论及实数理论的补充11.1复习笔记一、Cauchy收敛准则及迭代法1．基本数列（1）基本数列的定义若，即对每个，都能找到一个自然数N，对一切n，m≥N成立不等式称{x n}为（Cauchy）基本数列．（2）引理1若{x n}收敛，则{x n}必是基本数列．2．数列极限的Cauchy收敛准则（1）引理2基本数列必有界．（2）Cauchy收敛准则是基本数列．3．实数系的完备性由实数所组成的基本数列{x n}必存在实数极限，这个性质称为实数系的完备性．注意：有理数域不具有完备性．4．函数极限的Cauchy收敛准则Cauchy收敛准则的两种叙述（1）设f在点a某个去心邻域有定义，则极限存在且为有限（2）ε-σ定义设f在点a某个去心邻域有定义，，当时，5．压缩映射原理（1）不动点的定义设是定义在[a，b]上的一个函数，方程的解称为的不动点．（2）不动点的存在性①不动点存在的必要条件取，递推式为，设一切，如果是连续函数且存在且为有限，则在式子两边令，可得．从而知是的一个不动点．②不动点存在的充分条件a．压缩映射的定义如果存在一个常数k，满足，使得对一切成立不等式则称是[a，b]上的一个压缩映射，显然，压缩映射必连续．b．压缩映射原理设是[a，b]上的压缩映射且由递推公式定义的[a，b]，n＝0，1，2，…，则在[a，b]上存在惟一的不动点，且．（3）不动点的惟一性设是[a，b]上的压缩映射且，则在[a，b]上存在惟一的不动点．6．牛顿迭代法（1）牛顿迭代公式设y＝f（x）于[a，b]上可微，f'（x）≠0且f（a）f（b）＜0，则f（x）在[a，b]上存在一实根，记为．同时，设x是根的一个近似值，x n下一步的近似值x n＋1，则这个求近似值的迭代公式称为牛顿迭代公式．（2）压缩映射原理的推论若①f（x）于[a，b]两次可微且f'（x）≠0；②存在一个数，对一切，成立③存在，使得一切则f（x）在[a，b]上存在惟一实根，且二、上极限和下极限1．上（下）极限的定义若数列{x}的极限不存在且存在子列，其中a是有限数或或}的一个极限点．数列{x n}的最大（最小）极（不包括不定号无穷大），则称为a数列{x限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为2．上（下）极限的存在性每个数列{x}的上极限和下极限必存在且惟一（有限或或），且3．上（下）极限和极限的关系（1）根据上（下）极限的定义，有}存在极限（包括或{x n}的上极限和下极限相同，即极限（2）定理{x点惟一，当条件满足时，三、实数系基本定理1．有限开覆盖定理（1）覆盖的定义[a，b]是一个给定的有界闭区间，{Oα}是一族开区间，若则称开区间族{Oα}覆盖了[a，b]．（2）有限开覆盖定理若开区间族{Oα}覆盖了有界闭区间[a，b]，则从{Oα}必可挑出有限个开区间Oα1，…，Oαn同样覆盖了[a，b]：2．实数系基本定理小结（1）确界存在定理；（2）单调有界数列极限存在定理；（3）闭区间套定理；（4）Bolzano-Weierstrass定理；（5）Cauchy收敛准则；（6）有限开覆盖定理．以上这些定理是相互等价的．3．实数系的一种引进法（1）QD10函数在有理数集Q上定义的、值域为1，0两值的单调减少函数称为QD10函数，用R表示所有QD10函数所组成的集合，该集合中每个元素就是一个QD10函数．譬如，对每个有理数r，函数注意：①R中的元素可分两部分一类元素（见上）及余下其他元素；②在R中引进与函数相等概念稍不同的等于“＝”概念：，称α＝β，若函数α＋（t）＝β＋（t），，显然这等价于α－（t）＝β－（t），在这种等于的概念下，r＋＝r－（称为有理数），它们可与有理数r等同起来．③引进“≤”概念：若α＋（t）≤β＋（t），（等价于α－（t）≤β－（t），，则称是指且．显然关系式α＜β，α＝β，α＞β有且仅有一个成立．（2）确界存在定理R中非空、上有界集A必存在上确界supA．11.2名校考研真题详解1．设为[0，1]上的一个连续函数列，若对任意的是有界数列．用闭区间套定理证明存在[0，1]的一个长度不为0的子区间及常数C，使得[南京理工大学2006研]证明：反证法假设在任何（非空）子区间上都不一致有界，则存在及的某个闭子区间上，恒使得又因连续，根据保号性，在含x有在上仍不一致有界，所以存在及，使得．根据连续保号性，存在闭子区间使得上恒有如此继续下去，便得一串闭区间在上恒有．利用闭区间套定理知，存在从而所以在处无界，与已知条件矛盾，结论得证．2．用有限覆盖定理证明有界性定理：闭区间上的连续函数必有界．[天津工业大学2006研]证明：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，要证明f（x）在[a，b]上有界．由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数使得考虑开区间集。
函数极限的柯西收敛准则
函数极限的柯西收敛准则柯西（Cauchy）收敛准则是判断数列收敛性的一种常用方法，它是分析数学中非常基础且重要的定理之一，可用于证明数列的极限存在性。
柯西收敛准则的基本思想是：一个数列收敛的充分必要条件是该数列是柯西数列。
首先，我们来定义柯西数列。
对于一个实数数列{a_n}，若对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有，a_n-a_m，<ε，则称该数列为柯西数列。
进一步解释，柯西数列的定义表明，当数列的后续项无限接近，趋于无穷大靠拢，无限接近一个常数时，该数列是柯西数列。
现在，我们来证明柯西收敛准则。
假设{a_n}是一个柯西数列，我们需要证明该数列收敛。
首先，由柯西数列的定义可知，对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有，a_n-a_m，<ε。
这意味着数列中的后续项无限接近，也就是说，存在一个常数L，使得对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_n-L，<ε。
换言之，我们可以对任意小的正实数ε，找到一个正整数N，使得当数列的项数超过了N时，数列中的每一项与L的差值都小于ε。
这里的L就是数列的极限值。
所以，根据柯西数列的定义，我们可以得出结论：如果一个数列是柯西数列，那么该数列是收敛的，且极限值是该数列的柯西极限。
具体而言，柯西收敛准则说明了这个性质，对于任何收敛数列，它一定是柯西数列，而柯西数列不一定收敛。
另外，需要注意的是，柯西收敛准则只适用于完备度量空间，而不适用于不完备度量空间。
完备度量空间指的是该度量空间中的任何柯西数列都是收敛的。
总结来说，柯西收敛准则用于判断数列的极限是否存在，它是极限存在性的一个有效判据。
通过验证柯西收敛准则，能够判断数列是否收敛，并找到其极限值。
这一准则在实际问题中具有重要的意义，可用于证明一些数列收敛的性质及其应用。
函数列一致收敛的判别方法
函数列一致收敛的判别方法一致收敛是函数列中每个函数都在一些集合上趋于同一个极限的性质。
本文将介绍几种判别函数列一致收敛的方法，包括Cauchy准则、Weierstrass判别法、Dini定理以及一些常见的特殊函数列。
1. Cauchy准则Cauchy准则是函数列一致收敛的重要判别法之一、设函数列{f_n(x)}在集合E上定义，对于任意ε>0，存在N，使得当n,m>N时，对于任意的x∈E，有，f_n(x)-f_m(x)，<ε。
当满足这个条件时，函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。
2. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是函数列一致收敛的常用方法之一、设函数列{f_n(x)}在集合E上定义，如果存在一个收敛的正数级数∑M_n，使得对于任意的n和x∈E，有，f_n(x)，<M_n，则函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。
3. Dini定理Dini定理是另一种判别函数列一致收敛的方法。
设函数列{f_n(x)}在集合E上定义，如果函数列逐点收敛于函数f(x)，且对于集合E中的任意一个点x，以及任意的ε>0，存在函数列的一个有限子列{f_{n_k}(x)}，使得，f_{n_k}(x)-f(x)，≤ε，那么函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。
4.常见特殊函数列除了上述常用的方法外，对于一些特殊函数列，也可以使用特定的方法来判别它们的一致收敛性。
（1）幂级数的一致收敛性：对于幂级数∑a_n(x-x_0)^n，其一致收敛域为该级数的收敛域。
（2）可导函数列的一致收敛性：如果函数列{f_n(x)}在集合E上的导函数都存在，且导函数的函数列{f_n'(x)}一致收敛于函数g(x)，那么函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛于一些函数f(x)，且f(x)可导，且导函数为g(x)。
（3）连续函数列的一致收敛性：如果函数列{f_n(x)}在集合E上的函数都连续，且函数列{f_n(x)}一致收敛于函数f(x)，那么函数f(x)也连续。
数列极限存在的判定准则
数列极限存在的判定准则数列极限存在是数学中一个重要的概念，它揭示了数列在无穷项时的趋势和稳定性。
在数学分析中，数列极限存在的判定准则有以下几种：1. Cauchy准则Cauchy准则是数列极限存在的一个重要准则。
根据Cauchy准则，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，对于任意正整数k，满足|an - ak| < ε。
这个准则意味着当数列中的项足够靠后时，这些项之间的差异足够小。
当且仅当数列满足Cauchy准则时，数列的极限才存在。
2. 单调有界准则对于递增（或递减）且有上（或下）界的数列，它的极限存在。
更加具体地，如果数列满足以下条件之一： - 若存在正整数N，当n>N时，有an≤an+1； - 若存在正整数N，当n>N时，有an≥an+1； - 数列有上（或下）界。
以上条件满足之一时，数列的极限存在。
3. 夹逼准则夹逼准则也是数列极限存在的判定准则之一。
如果存在两个数列{an}和{cn}，且满足an≤bn≤cn，并且当n趋近于无穷大时，an和cn都趋近于同一个极限L，那么数列{bn}的极限也收敛于L。
4. 有界性与单调性的整体准则一个数列，如果它是有界的，并且通过去除它的有限项后，剩余的数列具有单调性，那么原始数列的极限存在。
更准确地说，如果数列满足以下条件： - 存在正实数M，使得当n为任意正整数时，有|an|≤M； - 存在正整数N，当n>N时，an+1≥an或an+1≤an；则数列的极限存在。
5. 收敛数列算术运算性质如果两个数列{an}和{bn}收敛于a和b，那么它们的和、差、乘积和商也会收敛，并且有以下性质： - 和的极限为a + b； - 差的极限为a - b； - 乘积的极限为a * b； - 商的极限为a / b（其中b不等于0）。
这个准则告诉我们，如果知道一个数列收敛，并且知道另一个数列与之相关（通过加减乘除操作），我们可以利用这些关系判断极限的存在与值。
反常积分的收敛判别法
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
A0
Байду номын сангаас
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
数学分析
第二节 反常积分的收敛判别法
一、Cauchy收敛原理 二、无穷区间形式
三、无界函数形式
四、小 结
重点：反常积分收敛的判别 难点: 反常积分的收敛的应用
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f
(
x)dx
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0
l
，则
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
Cauchy收敛准则
Cauchy收敛准则
Cauchy数列：设x n为⼀数列，如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得
|x m−x n|＜ε，∀m,n＞N
则称x n为Cauchy数列。
Cauchy收敛准则：数列x n收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。
证明：先证必要性，设x n为收敛于A的数列，由数列极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，当m,n＞N时有 |x m−A|＜ε，|x_n-0|＜ε
所以 |x m−x n|＜2ε
由ε的任意性，数列x n是Cauchy数列。
下证充分性，设数列x n是Cauchy数列。
取ε=1，存在正整数N，使得|x m−x n|＜1，∀m,n＞N
取n=N+1，有|x m−x N+1|＜1，∀m＞N，从⽽|x m|＜1+|x N+1|，∀m＞N
|x k|，则|x n|≤M，所以数列x n有界，即存在上下极限。
令M=1+∑N+1
k=1
由定义，−ε＜x n−x m＜ε，∀m,n＞N
若m给定，令n→∞，取下极限−ε≤lim(下极限)n→∞x n−x m≤ε
令m→∞，取上极限−ε≤lim(下极限)n→∞x n−lim(上极限)n→∞x m≤ε
由ε的任意性，数列x n上下极限相等，即数列x n收敛。
Processing math: 100%。
二元函数的Cauchy收敛准则_迫敛性及两个重要极限
7
x2
h( p ) − A < ε
p → p0 p∈D y → y0
x
lim h( p) = A 。
例 2 设 lim ϕ ( y ) = A ， lim ψ ( x) = 0 ， 且在 ( x0 , y0 )
x → x0
附
近
有
f ( x, y ) − ϕ ( y ) < ψ ( x ) f ( x, y ) = A 。
( x, y ) →( x0 , y0 )
lim
sin xy y sin xy = lim =a ( x , y ) → ( 0, a ) x xy
lim
ϕ ( y) = A ，
( x , y ) → ( x0 , y 0 )
lim
ψ ( x) = 0 。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京: 高等教育出版 社, 2006. [2] 邓东皋 , 尹小玲 . 数学分析简明教程 [M]. 北京 : 高等教 育出版社, 2002. [3] 刘 玉 琏 . 数 学 分 析 讲 义 [M]. 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社 , 1982. [4]复旦大学数学系. 数学分析上册[M]. 上海: 上海科学技 术出版社, 1962. （责任编校：何俊华）
n→∞
n →∞
′ ) 存在， 如上所证，lim f ( pn 记为 B 。 lim p′ n = p0 的点列。
n→∞
2 Cauchy 收敛准则
定理 1 设 f ( p ) 为定义在 D ∈ R 上的二元函数，p0 为
2
现在证明 B = A ，为此考虑点列：
D 的一个聚点。极限 lim f ( p) 存在的充要条件是：对任
Cauchy 判别法
Cauchy 判别法
(Cauchy收敛原理)数列 {a } 收敛的充分 Cauchy收敛原理) 收敛原理 必要条件是: 必要条件是:对任意的 ε > 0 ,都存在正 整数 N ,当m , n > N 时,有
例2 设
yn = 1 +
1 2
+
1 3
++
1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(n = 1, 2 , 3 , )
证明:数列{y n } 发散. 证明: 发散.
�
n
an am < ε
例1 设 求
1 1 x 1 = 2, x 2 = 2 + , , x n +1 = 2 + x1 xn
lim x n
n→∞
Cauchy收敛原理说明:若数列 {a n } 收敛,则 对任意 ε ,必存在正整数 ,在 a N 这一 >0 N ε 项以后的任意两项之差的绝对值小于 . 反过来,如果对任意的正整数N ,在a N 这 一项以后存在两项,他们之差的绝对值 大于某个常数,则可判定该数列发散.
依测度收敛的cauchy准则
依测度收敛的cauchy准则在介绍依测度收敛的Cauchy准则之前，我们先来回顾一下数列的收敛性。
在实数集上，数列是由一系列实数按照一定顺序排列而成的。
如果一个数列存在一个实数L，使得对于给定的任意正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项与L之间的距离小于ε，那么我们称该数列收敛于L，记作lim an = L。
反之，如果不存在这样的实数L，我们称该数列发散。
然而，对于某些数列，我们无法直接找到一个实数L来判断其收敛性。
这时，依测度收敛的Cauchy准则就派上了用场。
依测度收敛的Cauchy准则是指：对于一个数列，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当m,n>N时，数列的第m项与第n项之间的距离小于ε，那么这个数列是依测度收敛的。
换句话说，如果一个数列满足依测度收敛的Cauchy准则，那么它的项与项之间的距离会趋于零，也就是说，这个数列趋于一个极限值。
这个极限值可能是一个实数，也可能是无穷大。
所以依测度收敛的Cauchy准则对于判断数列的收敛性提供了一种更加灵活的方法。
需要注意的是，依测度收敛的Cauchy准则只是判断数列收敛性的一个条件，而不是数列收敛的充分必要条件。
也就是说，如果一个数列满足依测度收敛的Cauchy准则，我们可以推断它是收敛的，但反之不一定成立。
依测度收敛的Cauchy准则在实分析中有着广泛的应用。
它不仅可以用来判断数列的收敛性，还可以用来证明一些重要的数学定理。
例如，在实数集上，我们可以利用依测度收敛的Cauchy准则证明实数完备性定理，即实数集上的Cauchy数列一定收敛。
依测度收敛的Cauchy准则还可以推广到其他数学领域。
在函数空间中，我们可以定义依测度收敛的Cauchy准则来判断函数序列的收敛性。
在测度论中，我们也可以利用依测度收敛的Cauchy准则来定义测度的收敛性。
总结起来，依测度收敛的Cauchy准则是实分析中一个重要的概念，它为我们判断数列的收敛性提供了一种更加灵活的方法。
Cauchy收敛准则的应用与推广
Cauchy 收敛准则的研究与应用2.1 基本概念定义 2.1 设{}n a 为数列。
a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时有n a a ε-<则称数列{}n a 收敛于a ，定数称a 为数{}n a 的极限，并记作lim nn a a →∞=，若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列.定义2.2 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12........n u u u ++++ （1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中{}n u 称为数项级数（1）的通项。
数项级数（1）也常写作：1nn u∞=∑或简单写作nu∑.数项级数（1）的前n 项之和，记为121....n nn n s uu u u ∞===+++∑，称它为数项级数（1）的第n 个部分和，简称为部分和。
3、数列的Cauchy 收敛准则及应用3.1数列的Cauchy 收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的ε>0, ∃正整数N ，使得当时,n m N >有n m a a ε-<.3.2数列的Cauchy 收敛准则在解题中的的应用 例3-1 证明()sin 1sin 2sin 1,2,222n n a n n =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅收敛.证明:,0m n N ε∀∈∀>且,取112N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则有m n a a -=12sin(1)sin(2)22n n n n ++++++…sin 2mm +＜121122n n ++++ (12)m+1111222n m n nε-⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭. ∴由Cauchy 收敛准则知{}n a 收敛. 例3-2 证明2221111 (2)3n a n=++++收敛()1,2......n n =证 对0>∀ε,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则对N m n >≥∀,有()()222111.....12n m a a nm m -=+++++≤1(1)m m ++1(1)(2)m m +++…+1(1)n n-=1m+1n<2m而由m>2ε知2m<ε,故n m a a ε-<.有柯西收敛准则知数列{}n a 收敛4、函数极限的Cauchy 收敛准则及应用4.1[]5函数极限的Cauchy 准则设函数()0;f x δ︒在U在内有定义，()lim n f x →∞存在的充要条件是：任给0ε>,存在正数'()δδ<，使得对任何''',x x ∈00(;)u x δ有()()fx f x ε'''-<4.2函数极限的Cauchy 准则的应用 例4-1 证明()0lim tan arcsin 0x x →=证明：()''',1,1X X ∀∈-有''''''tan(arcsin )tan(arcsin )tan(arcsin )tan(arc sin )X X X X -≤+=+显然lim0x →= 即：0,0,εδ∀>∃>当0(0,)x u δ∈2ε<于是对于上述0ε>，及0δ>，只要''',(0,)X X u δ∈，就有：'''tan(arcsin )tan(arcsin )22X X εεε-<+=由定理知，0lim tan(arcsin )x X →存在例4-2 证明01lim sinx x→不存在分析：取,x y R ∈，由110sinsin2xy≤-≤，可知：取11,2222x y n n ππππ==+-，有11sinsin2xy-=。
依测度收敛的cauchy准则
依测度收敛的cauchy准则依测度收敛的Cauchy准则是数学中一个非常重要的概念，它在实分析、泛函分析、概率论等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍依测度收敛的Cauchy准则的定义、性质和应用。
我们来看一下依测度收敛的定义。
设$(X,\mathcal{F},\mu)$是一个测度空间，$\{f_n\}$是一个实值可测函数序列，如果对于任意的$\epsilon>0$，有$\lim_{m,n\rightarrow\infty}\mu(\{x\in X:|f_m(x)-f_n(x)|>\epsilon\})=0$，则称$\{f_n\}$在测度意义下依测度收敛。
简单来说，就是对于任意的$\epsilon>0$，当$n,m$足够大时，$f_n$和$f_m$的差别在测度意义下趋近于0。
接下来，我们来看一下依测度收敛的Cauchy准则的性质。
首先，依测度收敛的Cauchy准则是完备的，也就是说，如果一个函数序列满足依测度收敛的Cauchy准则，那么它一定收敛。
其次，依测度收敛的Cauchy准则是比较弱的收敛条件，它比点态收敛和几乎处处收敛的条件都要弱。
最后，依测度收敛的Cauchy准则在证明一些重要的定理时非常有用，比如Lebesgue控制收敛定理和Fatou引理等。
我们来看一下依测度收敛的Cauchy准则的应用。
依测度收敛的Cauchy准则在实分析、泛函分析、概率论等领域都有广泛的应用。
在实分析中，它可以用来证明一些重要的定理，比如Lebesgue控制收敛定理和Fatou引理等。
在泛函分析中，它可以用来证明一些重要的定理，比如Lax-Milgram定理和Riesz表示定理等。
在概率论中，它可以用来证明一些重要的定理，比如中心极限定理和大数定律等。
依测度收敛的Cauchy准则是数学中一个非常重要的概念，它在实分析、泛函分析、概率论等领域都有广泛的应用。
通过深入理解依测度收敛的Cauchy准则的定义、性质和应用，我们可以更好地理解数学中一些重要的定理和概念，从而更好地应用它们解决实际问题。
Cauchy收敛原理
Cauchy 收敛原理“单调有界数列必有极限。
”与“夹逼定理：设有三个数列{}{}{}n n n z y x ,,满足n n n z y x ≤≤，且c z x n n n n ==∞→∞→lim lim ，则c y n n =∞→lim 。
”给出了数列收敛的充分条件而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy 获得了完善的结论——Cauchy 收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。
定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任意的0>ε，都存在正整数N ，当N n m >,时，有 ε<-m n a a证明 必要性：设a a n n =∞→lim ，则对0>∀ε，存在正整数N ，当N l >时，有3ε<-a a l从而当N n m >,时，有εεε<+<-+-≤-+-=-33m n m n m n a a a a a a a a a a必要性得证。
充分性先证明数列{}n a 有界。
取1=ε，由题设，必存在正整数0N ，当1,00+=>N m N n 时，有110<-+N n a a 因而当0N n >时，有11111000001++++++<+-≤+-=N N N n N N n n a a a a a a a a当令{} ,1,,,1100+=+N N a a a M ()(),2,1=≤n M a n ，数列{}n a 有界。
由致密性定理，数列{}n a 存在收敛的子列{}ln a ，设()∞→→l a a l n ，即对0>∀ε，存在正整数L ，当L l >时，有3ε<-a a l n令()1,1max ~++=N L l 。
则L l >~，且N N n n N l>+≥≥+11~，故当N n >时，有3~ε<-ln n a a ，从而εεε<+<-+-≤-33~~a a a a a a l l n n n n即 a a n n =∞→lim充分性得证。
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第七章实数的完备性
§1.Cauchy 收敛准则及迭代数列极限
一引言
问题
极限{}n x 收敛、发散是什么意思？答如果存在数a ，使得lim n n x a →∞=，则称数列{}n x 收敛；反之称为发散。
问题上述关于数列“收敛性”的定义有何缺陷？
答涉及数a ，这在理论上不够完美。
问题
能否不涉及数a ，仅根据{}n x 本身的特性判断{}n x 的收敛性？答可以，如前面已学过的“单调有界定理”，“两边夹法则”，“Stolz 定理”等。
问题
上述方法只是数列{}n x 收敛的“充分条件”，有无“充要条件”？答有，Cauchy 收敛准则――它是具有重要原则意义的敛散性充要判别法则，它揭示了实数的完备性。
二、基本数列（引进此概念仅为叙述方便）
不严格的讲，如果lim n n x a →∞
=⇒n 充分大时，n x a ≈⇒当n ，m 充分大时，0n m x x a a -≈-=，即从第m 个起，数列{}n x 的任意两项差别可以任意小。
严格的讲，有以下定义：
定义1对每个ε>0，都能找到一个自然数N ，对一切n ，m ≥N ，成立不等式n m x x ε-<，则称{}n x 为
（cauchy ）基本数列，记作,lim ()0n m n m x x →∞-=。
简写：{}n x 是收敛数列⇔,lim ()0n m n m x x →∞
-=⇔0,,,N n m N ε∀>∃∀≥，n m x x ε-<。
例1若{}n x 收敛，则{}n x 必是基本数列例2{}(1)n -不是基本数列例31n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是基本数列。
三、Cauchy 收敛准则
{}n x 收敛⇔{}n x 是基本数列
四、实数系的完备性
实数所组成的基本数列{}n x 比存在实数极限――实数系完备性；有理数域不具有完备性，如1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭：1lim(1)n n e n →∞+=（无理数）。
五、函数极限的Cauchy 收敛准则
设f 在点a 某个去心邻域有定义，则极限lim ()x a f x →存在且为有限⇔lim[()()]0x a x a
f x f x '→''→'''-=0ε⇔∀>，
0δ∃>，当0x a δ'<-<，0x a δ''<-<时，()()f x f x ε'''-<。
例3设()f x 在[,)a +∞内任一有限子区间中可积，给出广义积分收敛的充要条件。
六、压缩映射原理（不动点原理）
1、函数f(x)的不动点指什么？
设y ＝f(x)是定义在[a,b]上的一个函数，方程x ＝f(x)的解称为f(x)的不动点。
2、在什么样的条件下不动点一定存在呢？存在时唯一吗？如何求出不动点？
压缩映射：如果存在常数k ，满足0≤k<1，使得对一切,[,]x y a b ∈成立不等式
()()||f x f y k x y -≤-，
则称f 是[a,b]上的一个压缩映射。
压缩映射必连续。
压缩映射原理（不动点原理）设()x ϕ是[a,b]上压缩映射，且([,])[,]a b a b ϕ⊂，则()x ϕ在[a,b]上存在唯一的不动点。
例4证明Kapler 方程sin x x b ε=+在||1ε<时，存在唯一实数。
七、Newton 迭代法：
1()()
n n n n f x x x f x +=-
'用于求f(x)＝0的根。
§2.上极限和下极限
一、上（下）极限的定义
对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。
例如：{}(1)
n -。
一般地，数列{}n x ，若{}k n x ：k n x a →（k →∞），则称a 是数列{}n x 的一个极限点。
如点例{}(1)n -有2个极限点。
数列{}n
x 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）。
如lim(1)1n n →∞-=，lim(1)1n n →∞
-=-。
例1求数列sin 3n π⎧
⎫⎨⎬⎩⎭的上、下极限例2[1(1)]n n x n =+-，求上、下极限。
二、上（下）极限的存在性
下面定理指出，对任何数列{}n x ，它的上（下）极限必定存在。
定理1每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一，且lim n n x →∞＝1sup{,,}lim sup n n k n k n x x x +→∞≥= ，lim n n x →∞
＝
1inf{,,}lim inf n n k n k n
x x x +→∞≥= 。
三、上下极限和极限的关系
lim n n x →∞≥lim n n x →∞
.定理2{}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等，即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞。
四、上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立。
例如：
11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞
-+-=<-+-= .一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞
+≤+，当{}n x 收敛时，等号成立。
§3.实数系
一
实数系R 的建立二Dedekind 定理
设A/B 是R 的一个切割，则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞，(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞，[,)B ε=+∞无其它可能。
三、有限开覆盖定理
Heine-Borel 定理（有限开覆盖定理）若开区间族{}O α覆盖了有界必区间[a,b]，即[a,b]O αα⊂ ，则从{}O α中必可挑出有限个开区间1,,n O O αα ，统一覆盖了[a,b]。
即[a,b]=1n O O αα 。