数列复习题

例题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即03213131=+-∴q a q a q a21101322==⇒=+-∴q q q q 或211=∴≠q q1)21(64-⨯=n n a 故（II ）n b n n n -==⨯=--72log ])21(64[log 7212 ⎩⎨⎧>-≤-=∴7777||n n n nb nn n n n T b n n )13(2)76(,6||,71-=-+==≤∴时当 2)7)(6(212)7)(71(,1||,778--+=--++==>n n n n T T b n n 时当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)13(n n n n n n T n例题2.设数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若{}n S 是首项为1，各项均为正数且公比为q 的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）试比较212()n n n a a a n N ++++∈与的大小，并证明你的结论.解析：（Ⅰ）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列.∴1(0)n n S q q -=>. 当n=1时，a1=1， 当212,(1).n n n n n a S S q q --≥=-=-时∴21(1)(1)(2)n n n a q q n -=⎧=⎨-≥⎩。

（Ⅱ）当n=1时，2132111312(1)2(1)[()]0.24a a a S S q q S q q +-=+---=-+> ∴2312a a a >+∴当1112112)1(2)1()1(2,2--++---+-=-+≥n n n n n n q q S q q S q q S a a a n 时32(1)n q q -=- ∵20,0.n q q->>①当q=1时，.2,0)1(123++=+∴=-n n n a a a q ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q 综上可知： 当n=1时，2312a a a >+ 当;2,1,212++=+=≥n n n a a a q n 则若时 若;2,1012++<+<<n n n a a a q 则 若.2,112++>+>n n n a a a q 则点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。

例题4.已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式；（II ）设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T .解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n*),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+,21=∴+nn b b}{n b ∴是以2为公比的等比数列，,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而*)(231N n b n n ∈⋅=∴-（II ）,231-==n nn b C,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n而,111)1(1+-=+n n n n.111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n例题 6.已知数列{}n x 满足,2143.1,,211*1-==∈⎪⎭⎫⎝⎛-=-+n n nn n x a x N n x x 设且且.2)12(322123212n n n na a n a a a T +-++++=-（Ⅰ）求n x 的表达式； （Ⅱ）求n T 2；（Ⅲ）若)()12(131*2N n n n Q n ∈++-=，试比较n nQ T 与29的大小，并说明理由. 解析：（I ）,)21(1n n n x x -=-+ 12123121)21()21()21(1)()()(---++-+-+=-++-+-+=∴n n n n x x x x x x x x)21(1)21(1----=1213132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n 当1=n 时上式也成立，).(213132*1N n x n n ∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴-（Ⅱ）.212141214311+-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n n n n x an n n na a n a a a T 21232122)12(32+-++++=-12243221221)12(21321221+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn n ①2212543221221)12(2132122121++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∴n n n n n T②①—②，得221232221*********++⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n T.2122161612122112114123222222n n n nn n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴+.2131912132191912222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=n nnn n n T（Ⅲ）由（Ⅱ）可得.2131922n nn T +-=又2)2(131++-=n n Q n当;9,9)12(,42,1222n n n Q T n n <∴=+==时 当;9,25)12(,162,2222n n n Q T n n <∴=+==时 当.)12()(])11[(2,32221022+>++++=+=≥n C C C C n n n n n n n n 时 .92n n Q T >∴综上所述，当.9,3;9,2,122Qn T n Qn T n n n >≥<=时当时点评：比较大小的常见的办法是做差，但关键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。

1.若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>， 由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<3.【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1- （B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=4.【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．2=02=-当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.7.【2014年全国新课标Ⅱ（理09）】设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】 B【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=8.【2014年山东卷（理05）】已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 【答案】D【解析】,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。

9.【2014年北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D10.【2014年天津卷（理07）】设a 、b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .11.【2014年广东卷（理03）】若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6D.52x y+经过点(2,1)B-时，min2(1)13z=⨯--=-，所12.【2014年湖南卷（理13）】若关于x的不等式3|2|<-ax的解集为}3135|{<<-xx，则=a________.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|aa，解得3-=a13.【2014年湖南卷（理14）】若变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,kyyxxy，且yxz+=2的最小值为6-，则=k____.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k-(),2,2,且不等式组,4y x x y≤+≤限制的区域如图,所以2k≤,则当(),k k为最优解时,362k k=-⇒=-, 当()4,k k-为最优解时,()24614k k k-+=-⇒=, 因为2k≤,所以2k=-,故填2-.14.【2014年全国大纲卷（14）】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得C （1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时z max =1+4×1=5．故答案为：517.【2014年重庆卷（理16）】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，学 科网则实数a 的取值范围是____________.【答案】-1≤a ≤21 【解析】转化为左边的最小值2122a a ≥++， 左边1111155(2)22222222x x x x x x x =-+-++≥-+---=-+≥，当12x =时取等号，故251121222a a a ≥++⇒-≤≤ 18.【2014年福建卷（理11）】若变量 x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最小值为 _________ ．【答案】1【解析】作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y ，得y=﹣3x+z ，平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z ，经过点A （0，1）时，直线y=﹣3x+z 的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：119.【2014年福建卷（理13）】要制作一个容器为4m 3，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （单位：元）【答案】160【解析】设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，则∵长方形容器的容器为4m 3，高为1m ，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b ）]=20（a+b ）+80，∵a+b ≥2=4，故当a=b=2时，y 取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160 20.【2014年浙江卷（理13）】当实数x 、y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】【解析】由约束条件作可行域如图，联立，解得C （1，）．联立，解得B （2，1）．在x ﹣y ﹣1=0中取y=0得A （1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a 的取值范围是．故答案为：21.【2014年上海卷（理05）】若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 .【答案】22【解析】：2222x y x +≥⋅=。