中考复习分层训练32 与圆有关的计算(含答案)

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中考数学复习方案(31)与圆有关的计算(24页)

第31课时┃归类探究
探究四、用化归思想解决生活中的实际问题
命题角度：
1．用化归思想解决生活中的实际问题； 2．综合利用所学知识解决实际问题．例5．[2012•山西] 如图31－3是某公园的一角， ∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是 OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是( C )
考点聚焦
归类探究
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第31课时┃归类探究
解析
(1)如图；
(2)由平移，得 A1C1∥B1E∥AC，A1C1 ＝ B1E＝AC，∴四边形 ACEB1、四边形 A1C1EB1 都是平行四边形，∴线段 AC 扫过区域的面积为 S 四边形 ACEB1＋ S 四边形 A1C1EB1＋S 扇形 A1C2D＝4³2＋3³2＋ 45³π ³（2 2）2 ＝14＋π . 360
圆锥简介
(1)h是圆锥的高；半径 (2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的________； (3)r是底面圆的半径； (4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长，弧长等于圆锥底母线面圆________的扇形周长
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第31课时┃考点聚焦
圆锥的
侧面积圆锥的全面积
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第31课时┃归类探究
解析 ∵圆锥的侧面积S＝πrl，r＝3 cm，l＝5 cm，∴S＝ 15π cm2，故选D.
方法点析
熟记圆锥的侧面积公式S＝πrl，知道公式中的r
表示圆锥的底面圆半径，l表示圆锥的母线长．条件中已知半
径与母线，直接代入求圆锥的侧面积．
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方法点析

分层训练32 与圆有关的计算(含答案)

第3课时与圆有关的计算一级训练1．如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为( )A ．30° B. 45° C ．60° D ．90°2．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9 cm ，母线长为30 cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( ) A ．270π cm 2 B ．540π cm 2 C ．135π cm 2 D ．216π cm 23．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A ．πB ．1C ．2 D.23π4．如图5－1－59，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为( )A ．4πB ．4 2πC ．8πD ．8 2π图5－1－59 图5－1－60 图5－1－61 5．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（）A．B．C．D．6．如图5－1－60，“凸轮”的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于________．7．如图5－1－61，圆锥的底面半径OB为10 cm，它的侧面展开图的扇形的半径AB为30 cm，则这个扇形的圆心角α的度数为____________．8．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为______ cm9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．10．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__________．11．如图5－1－62，点A，B，C在直径为2 3的⊙O上，∠BAC＝45°，则图中阴影的面积等于________(结果中保留π)．图5－1－62二级训练12．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A ．23π－32B ．23π－3C ．π－32D ．π－313．如图5－1－64，如果从半径为5cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 cm ．图5－1－64A ．4πB ．2πC ．π D.2π314．如图5－1－65，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D.(1)求证：∠CDO＝∠BDO；(2)若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积(结果保留π)．图5－1－6515．如图5－1－66，已知在⊙O中，AB＝4 3，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．图5－1－66三级训练16．如图5－1－67，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线»AB上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面折叠．点O恰好落在积．图5－1－67第3课时与圆有关的计算参考答案1．C 2.A 3.C 4.D5．考点：圆的认识分析：首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．解答：解：∵AB=4，AC=2，∴S1+S3=2π，S2+S4=，∵S1﹣S2=，∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=π∴S3﹣S4=π，故选D ．点评：本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S 1+S 3和S 2+S 4的值．6.π7.120°8.59.3π 10.30 11.3π4－3212.【答案】B【解析】扇形BEF 的面积为：S 1=604360π⨯=23π，菱形ABCD 的面积为S ABCD =1223232⨯⨯⨯=，如右图，连结BD ，易证：△BDP ≌△BCQ ，所以，△BCQ 与△BAP 的面积之和为△BAD 的面积为：3，因为四边形BPDQ 的面积为3，阴影部分的面积为：23π－313.考点：圆锥的计算．3718684 分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm ，利用勾股定理求圆锥的高即可；解答：解：∵从半径为5cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长==8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长， ∴圆锥的底面半径r==4cm ， ∴圆锥的高为=3cm故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．14．(1)证明：∵AB 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥AB ，即∠B ＝90°. 又∵DC ⊥OA ，∴∠OCD ＝90°.在Rt △COD 与Rt △BOD 中，OD ＝OD ，OB ＝OC ， ∴Rt △COD ≌Rt △BOD .∴∠CDO ＝∠BDO . (2)解：在Rt △ABO 中，∠A ＝30°，OB ＝4， ∴∠BOC ＝60°.∵Rt △COD ≌Rt △BOD ， ∴∠BOD ＝30°.∴BD＝OB·tan30°＝4 3 3.∴S四边形OCDB＝2S△OBD＝2×12×4×4 33＝16 33.∵∠BOC＝60°，∴S扇形OBC＝60π×42360＝8π3.∴S阴影＝S四边形OCDB－S扇形OBC＝16 33－8π3.15．(1)解法一：如图D24(1)，过O作OE⊥AB于E，则AE＝12AB＝2 3.在Rt△AEO中，∠A＝30°，cos∠A＝cos30°＝AE OA，∴OA＝AEcos30°＝2 332＝4.∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°.∵AC⊥BD，∴»BC＝»CD.∴∠COD＝∠BOC＝60°.∴∠BOD＝120°.∴S阴影＝120360π·42＝163π.解法二：如图D24(2)，连接AD.∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD. ∴»BC＝»CD.∴∠BAD＝2∠BAC＝60°.∴∠BOD＝120°.∵BF＝12AB＝2 3，sin60°＝AFAB，AF＝AB·sin60°＝4 3×32＝6.∴OB2＝BF2＋OF2，即OB2＝(2 3)2＋(6－OB)2.∴OB＝4.∴S阴影＝13S圆＝163π.解法三：如图D24(3)，连接BC.∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵AB＝4 3，∴AC＝ABcos30°＝4 332＝8，AO＝4.∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴»BC＝»CD. ∴∠BOC＝60°.∴∠BOD＝120°.∴S阴影＝120360π·42＝163π.(2)解：设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr.∴2πr＝120360×2π×4.∴r＝43.图D24 16．解：如图D25，连接OD.图D25 ∵OB＝OD，OB＝BD，∴△ODB是等边三角形．∠DBO＝60°.∴∠OBC＝∠CBD＝30°，在Rt△OCB中，OC＝OB·tan30°＝2 3.∴S△OBC＝12OC·OB＝12×2 3×6＝6 3，∴S阴影部分＝S扇形AOB－2S△OBC＝14π·36－2×6 3＝9π－12 3，由图可知，CD＝OC，DB＝OB，整个阴影部分的周长为：»AB＋AC＋CD＋DB＝2×6＋6π＝12＋6π.。

备战中考数学分点透练真题与圆有关的计算(解析版)

第二十二讲与圆有关的计算命题点1 扇形的相关计算类型一弧长的计算1．（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（）A．πB．πC．πD．2π【答案】B【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为＝π．故选：B．２．（2021•云南）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是（）A．B．πC．D．2π【答案】B【解答】解：连接OB、BD，如图：∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵半径OA＝3，∴劣弧BD的长为＝π，故选：B．３．（2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米．A．6π﹣6B．6π﹣9C．12π﹣9D．12π﹣18【答案】D【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，AC＝＝米，∴AB＝2AC＝米，又∵的长＝米，∴走便民路比走观赏路少走（）米，故选：D．４．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走米．【答案】12π﹣18）【解答】解：过O作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，在Rt△AOC中，OA＝18米，∠A＝30°，∴OC＝OA＝9（米），∴AC＝＝＝9（米），∴AB＝2AC＝18（米），又∵的长＝＝12π（米），∴走便民路比走观赏路少走（12π﹣18）米，故答案为：（12π﹣18）．５．（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB ＝90°，则这段铁轨的长度为米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）【答案】100π【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．故答案是：100π．６．（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，＝40，则＝．【答案】１００【解答】解：设∠AOB＝n°．由题意＝40，∴nπ＝360，∴＝＝100，故答案为：100．７．（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝．【答案】１０８【解答】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，∴＝6π，解得：n＝108，故答案为：108．８．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为．【答案】【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴的长＝＝．故答案为：．９．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB 折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．【答案】（１）①∠APO′＝60°，②AP＝6﹣2．（２）的＝【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，∴∠OBO′＝90°，由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，∠OPB＝∠BPO′，∵∠AOB＝75°，∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠OPO′＝120°，∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如图1中，过点B作BH⊥OA于H，在BH上取一点F，使得OF＝FB，连接OF．∵∠BHO＝90°，∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°，∵FO＝FB，∴∠FOB＝∠FBO＝15°，∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°，设OH＝m，则HF＝m，OF＝FB＝2m，∵OB2＝OH2+BH2，∴62＝m2+（m+2m）2，∴m＝或﹣（舍弃），∴OH＝，BH＝，在Rt△PBH中，PH＝＝，∴P A＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．解法二：连接OO′交PB于T，则BP⊥′OO′，在Rt△OBT中，OT＝OB×sin45°＝3．在Rt△OTP中，OP＝＝2，∴AP＝OA﹣OP＝6﹣2．（2）如图2中，连接AD，OD．∵＝，∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD，由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBD，∵PD∥OB，∴∠DPB＝∠OBP，∴∠DPB＝∠PBD，∴DP＝DB＝AD，∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB，∵AO＝OD＝OB，AD＝DB，∴△AOD≌△BOD，∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB，∴∠DOB＝36°，∴∠AOB＝72°，∴的长＝＝．类型二扇形面积的计算．（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）【答案】4π【解答】解：S扇形＝＝4π，故答案为：4π．１１．（2021•嘉峪关）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．【答案】2π【解答】解：连接AC，∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．故答案为：2π．１２．（2021•重庆）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】π【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD,∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，∴图中阴影部分的面积为：2×＝π，故答案为：π．命题点２与扇形有关的阴影部分面积计算类型一直接和差法13．（2021•青海）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．πm2B．πm2C．πm2D．πm2【答案】B【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，则面积＝＝（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．故选：B．１４．（2021•怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】π﹣【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．１５．（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为．【答案】4﹣π【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝BC＝2∵BE＝CE＝BC＝2，∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF＝2﹣×2＝4﹣π，故答案为4﹣π．１６．（2021•宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）【答案】（2π﹣2）【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，故答案为：（2π﹣2）．类型二构造和差法１７．（2021•济宁）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是．【答案】﹣【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sin C＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．１８．（2021•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为cm2．【答案】（﹣π）【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝cm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，在Rt△BCE中，∵AB＝BE＝2cm，BC＝cm，∴EC＝＝1cm，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠BEC＝60°，∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB，＝2﹣×1×﹣•π•22，＝（﹣π）cm2．故答案为：（﹣π）．类型三等积转化法１９．（2021•泰安）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为．【答案】４【解答】解：设AB交半圆于点D，连接CD．∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；又∵△ABC为等腰直角三角形，∴CD垂直平分斜边AB，∴CD＝BD＝AD，∴＝，∴S弓形BD＝S弓形CD，∴S阴影＝S Rt△ABC﹣S Rt△BCD；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴S Rt△ABC＝2S Rt△BCD；又S Rt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．２０．（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB＝．故答案为：．类型四容斥原理法２１．（2021•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为．【答案】2﹣【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．命题点３圆切线与阴影部分求面积结合２２．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】（１）CD与⊙B相切（２）【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．命题点４圆锥、圆柱的相关计算２３．（2021•聊城）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为cm2．【答案】80π【解答】解：∵扇形铁片的弧长16πcm，∴圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径＝＝8（cm），由勾股定理得：圆锥的母线长＝＝10（cm），∴扇形铁片的面积＝×16π×10＝80π（cm2）故答案为：80π．２４．（2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为cm2．【答案】100π【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为10cm，高为10cm，∴侧面积＝10π×10＝100π(cm2)．故答案为：100π．２５．（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为．（用含π的代数式表示），圆心角为度．【答案】12π，216【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，根据题意得2π×6＝，解得n＝216，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故答案为：12π，216．２６．（2021•黔东南州）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是度．【答案】１５０【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，∵圆锥的底面圆周长为20πcm，∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，由题意得：×20π×l＝240π，解得：l＝24，则＝20π，解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°，故答案为：150．２７．（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是．【答案】【解答】解：连接AC、AE，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∵圆弧与BC相切于E，∴AE⊥BC，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝＝，设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即圆锥的底面圆半径为．故答案为．２８．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（１）∠BAC＝90°（２）S阴＝(100﹣25π)cm2【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．命题点５圆与正多边形的相关计算２９．（2021秋•柯桥区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接OD．∵AC＝4，AB＝2，∴AC＝2AB，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∵BC＝AB＝2，∴OC＝OD＝OB＝，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×2×2﹣××﹣＝2﹣﹣＝﹣．故选：A．３０．（2021•贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，故选：A．３１．（2021•成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π，故选：D．３２．（2021•山西）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．D．【答案】A【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE＝＝2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A．３３．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．【答案】【解答】解：连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，∵正六边形的边长为4cm，∴正六边形的外接圆的半径4cm，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO＝×4＝2，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为＝．故答案为：．３４．（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、F A，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为．【答案】【解答】解：连接EB，AD，设⊙O的半径为r，⊙O的面积S＝πr2，弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，∴△EDO、△AOB是正三角形，∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，故答案为：．３５．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长P A7的值．【答案】（１）比直径长（２）P A1⊥A7A11（３）P A7＝A1A7•tan60°＝12【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，∴的长＝＝4π＞12，∴比直径长．（2）结论：P A1⊥A7A11．理由：连接A1A7，A7A11，OA11．∵A1A7是⊙O的直径，∴∠A7A11A1＝90°，∴P A1⊥A7A11．（3）∵P A7是⊙O的切线，∴P A7⊥A1A7，∴∠P A7A1＝90°，∵∠P A1A7＝60°，A1A7＝12，∴P A7＝A1A7•tan60°＝12．。

中考数学总复习分层提分训练：与圆有关的计算(含答案)

与圆有关的计算一级训练1．(2019年广东珠海)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为( )A．30° B. 45° C．60° D．90°2．(2019年贵州铜仁)小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9 cm，母线长为30 cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )A．270π cm2 B．540π cm2 C．135π cm2 D．216π cm23．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A．π B．1 C．2 D.2 3π4．(2019年浙江宁波)如图5－1－59，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为( )A．4π B．4 2π C．8π D．8 2π图5－1－59 图5－1－60 图5－1－615．(2019年江苏淮安)在半径为6 cm的圆中，60°的圆心角所对的弧等于________．6．(2019年山东德州)如图5－1－60，“凸轮”的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于________．7．(2019年山东聊城)如图5－1－61，圆锥的底面半径OB为10 cm，它的侧面展开图的扇形的半径AB为30c m，则这个扇形的圆心角α的度数为____________．8．(2019年四川巴中)已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为______ cm9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．10．(2019年四川内江)如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__________．11．如图5－1－62，点A，B，C在直径为2 3的⊙O上，∠BAC＝45°，则图中阴影的面积等于________(结果中保留π)．图5－1－62二级训练12．(2019年山东泰安)如图5－1－63，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC ＝120°，OC ＝3，则BC 的长为( )A ．πB ．2π D ．3π D ．5π图5－1－63 图5－1－6413．如图5－1－64，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则阴影部分图形的面积为( )A ．4πB ．2πC ．π D.2π314．如图5－1－65，AB 是⊙O 的切线，切点为B ，AO 交⊙O 于点C ，过点C 作DC ⊥OA ，交AB 于点D.(1)求证：∠CDO ＝∠BDO ；(2)若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，求阴影部分的面积(结果保留π)．图5－1－6515．如图5－1－66，已知在⊙O 中，AB ＝4 3，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ，∠A ＝30°. (1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．图5－1－66三级训练16．如图5－1－67，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．图5－1－67参考答案1．C 2.A 3.C 4.D5．2π cm 6.π7.120°8.5 9.3π10.3011.3π4－3212.B 13.D14．(1)证明：∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，即∠B＝90°.又∵DC⊥OA，∴∠OCD＝90°.在Rt△COD与Rt△BOD中，OD＝OD，OB＝OC，∴Rt△COD≌Rt△BOD.∴∠CDO＝∠BDO. (2)解：在Rt△ABO中，∠A＝30°，OB＝4，∴∠BOC ＝60°. ∵Rt△COD≌Rt△BOD， ∴∠BOD ＝30°.∴BD ＝OB·tan30°＝4 33.∴S 四边形OCDB ＝2S △OBD ＝2×12 ×4×4 33＝16 33.∵∠BOC ＝60°， ∴S 扇形OBC ＝60π×42360＝8π3.∴S 阴影＝S 四边形OCDB －S 扇形OBC ＝16 33－8π3. 15．(1)解法一：如图D24(1)，过O 作OE ⊥AB 于E ，则AE ＝12AB ＝2 3.在Rt △AEO 中，∠A ＝30°， cos ∠A ＝co s30°＝AEOA ，∴OA ＝AE cos30°＝2 332＝4.∵∠A ＝30°，∴∠BOC ＝60°. ∵AC ⊥BD ，∴BC ＝CD .∴∠COD ＝∠BOC ＝60°.∴∠BOD ＝120°. ∴S 阴影＝120360π·42＝163π.解法二：如图D24(2)，连接AD.∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD. ∴BC ＝CD .∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°. ∴∠BOD ＝120°.∵BF ＝12AB ＝2 3，sin60°＝AFAB ，AF ＝AB·sin60°＝4 3×32＝6. ∴OB 2＝BF 2＋OF 2，即OB 2＝(2 3)2＋(6－OB)2. ∴OB ＝4.∴S 阴影＝13S 圆＝163π.解法三：如图D24(3)，连接BC. ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∵AB ＝4 3，∴AC ＝AB cos30°＝4 332＝8，AO ＝4.∵∠A ＝30°， AC ⊥BD ，∴BC ＝CD . ∴∠BOC ＝60°.∴∠BOD ＝120°. ∴S 阴影＝120360π·42＝163π.(2)解：设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr. ∴2πr ＝120360×2π×4.∴r ＝43.图D2416．解：如图D25，连接OD.图D25∵OB ＝OD ，OB ＝BD ， ∴△ODB 是等边三角形． ∠DBO ＝60°.∴∠OBC ＝∠CBD ＝30°，在Rt△OCB 中，OC ＝OB·tan30°＝2 3.∴S △OBC ＝12OC·OB＝12×2 3×6＝6 3，∴S 阴影部分＝S 扇形AOB －2S △OBC ＝14π·36－2×6 3＝9π－12 3，由图可知，CD ＝OC ，DB ＝OB ，整个阴影部分的周长为：AB ＋AC ＋CD ＋DB ＝2×6＋6π＝12＋6π.。

中考真题分类整理：与圆的有关计算(附答案)

一、选择题5．（2020·青岛）如圈，结段AB经过⊙O的圆心，AC BD分别与⊙O相切于点D.若AC= BD= 4,∠A=45°，则圆弧CD的长度为A.πB. 2πC.π D.4π【答案】B【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，CD=904180π⨯=2π，故选B.3. （2020·济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BCAC＝3．则图中阴影部分的面积是．【解析】在Rt△ABC中，∵tanBCAAC==，∴∠A＝30°．∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB．A C设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r ，∴阴影的面积是S ＝60360×π×(32)2＝6－334π．9．（2020·德州）如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等，若∠ABC ＝40°，则∠ADC 的度数是（） A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°【答案】B ．【解析】由题意得到OA ＝OB ＝OC ＝OD ，作出圆O ，如图所示，∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形， ∴∠ABC +∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＝40°，∴∠ADC ＝140°，故选B ．6．（2020·滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A 和∠BCD 都是弧BD 所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B ．6. （2020·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 6．(2020·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC 6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD＝AD ＝12AC ＝4,∴BD 22213CD ,故选C.7．（2020·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】C【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得3π．故选C. 8．（2020·绍兴）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( ) A.π B.π2 C.π2 D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A ＝180°-∠B-∠C ＝45°，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．10．（2020·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.π-D.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD ＝－2π＝2π,故选A.8．（2020·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2020·武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（） A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋＝90°＋45°＝135°∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆）如图，C 的路径为MN ,E 的路径为PQ 设⊙O 的半径为1，则⊙D ，∴MN PQ ＝42136022360tt ππ⨯⨯⨯1. (2020·泰安)如图,将O 沿弦AB 折叠,AB 恰好经过圆心O,若O 的半径为3,则AB 的长为A.12π B.πC.2πD.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点E,由题可知OD ＝DE ＝12OE ＝12OA,在Rt △AOD 中,sinA ＝OD OA ＝12,∴∠A ＝30°,∴∠AOD ＝60°,∠AOB ＝120°,AB ＝180n rπ＝2π,故选C.4t 2t t165432QP EDAOBC M N2. (2020·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,以点B 为圆心,AB 为半径画弧,交对角线BD 与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－12π【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 3. (2020·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.4. （2020·凉山州）如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2π B ．2π C ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .5.（2020·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A.45B.34C.23D.12【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=CEOC =√22,设CE=k，则OC=√2CE=√2k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴S正方形ABCDS⊙O=4k22πk2=2π≈23.6.（2020·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．7. （2020·湖州）如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接BD ，则∠ABD 的度数是（）A ．60°B ．70°C ．72°D ．144°【答案】C ．【解析】∵正五边形ABCDE 内接于⊙O ，∴∠ABC ＝∠C ＝(52)1805-⨯︒＝108°，CB ＝CD ．∴∠CBD ＝∠CDB ＝1801082︒-︒＝36°．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝108°－72°＝36°．故选C ．8. （2020·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2B.C.32D.【答案】D ．【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2RR．故选D ．9.(2020·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cmD.5cmB A【答案】B【解析】AE＝124ABπ⋅⋅,右侧圆的周长为DEπ⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124ABπ⋅⋅＝DEπ⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.10. （2020·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

中考数学一轮复习专题过关检测卷—与圆有关的计算(含答案解析)

中考数学一轮复习专题过关检测卷—与圆有关的计算（含答案解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（）A．5B．6C．8D．10【答案】A【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故选：A．2．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150°B．144°C．135°D．120°【答案】B【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：B．3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，AB＝12，则的长为（）A．πB．2πC．4πD．.6π【答案】B【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∵AB＝12，∴OB＝6，∴的长为＝2π，故选：B．4．如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（）A．B．C．D．π【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵BC＝，∴OB＝OC＝BC＝1，∴的长为：＝π，故选：C．5．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧的长为（）A．8πB．5πC．4πD．6π【答案】C【解答】解：连接OA、OC，∵AB⊥CD，∠A＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，∴的长为：＝4π，6．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．18πB．27πC．36πD．54π【答案】B【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r＝9，＝＝27π，∴S扇形故选：B．7．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC 的面积为（）A．2πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．15πcm2【答案】C【解答】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝30°，∴∠CBE＝∠AEB＝30°，＝＝12π（cm2），∴S扇形EBC故选：C．8．已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（）cm2．A．15πB．45πC．30πD．20π【答案】A【解答】解：圆锥的侧面积：2π×3×5÷2＝15π（cm2），故选：A．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．，πB．，πC．，D．，2π【答案】D【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴，∴，∴的长为：，故选：D．10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA n B n∁n D n E n，当n＝2022时，正六边形OA n B n∁n D n E n的顶点D n的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，∴45°×8＝360°，当n＝2022时，2022÷8＝252⋅⋅⋅6，则D2022的坐标与D6的坐标相同，∵∠DOD6＝2×45°＝90°，则OD⊥OD6，如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6F6⊥y轴于点F6，∵OE＝DE＝2，OD＝OD6，∴Rt△ODF≌Rt△OD6F6（HL），∴DF＝D6F6，OF＝OF6，∵正六边形OABCDE的一个外角∠DEF＝，∴，∵∠DEO＝180°﹣∠DEF＝120°，DE＝EO，∴∠DOF＝30°，∴，∴，∴，∴，故选：A．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。

九年级数学中考二轮复习专题训练圆的有关计算(有答案)

九年级数学中考二轮复习专题训练圆的有关计算（有答案）2022中考九年级数学二轮复习专题训练：圆的有关计算一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.一个扇形的半径为6，圆心角为120∘，则该扇形的面积是（）A.2πB.4πC.12πD.24π2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240∘的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30∘，OA=2，则阴影部分的面积是（）A.B.C.πD.2π 4.已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36∘，则该圆锥的母线长为（）A.100cmB.10cmC.10cmD.1010cm 5.已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB＝60∘，则弧AB的长是（）A.2πB.πC.32πD.12π 6.如图，在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A.2π-4B.4π-8C.2π-8D.4π-4 7.制作一个圆锥模型，已知这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为120∘的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，则这块铁皮的半径为（）cm．A.32B.1C.2D.38.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且BDl:ADl=1:3（BDl表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A.1:3B.1:πC.1:4D.2:99.如图一个扇形纸片的圆心角为90∘，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）A.16π3-43B.43-4π3C.16π3-83D.93-3π10.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC⋅AB；③若AB＝4，∠APE＝30∘，则BM的长为π3；④若AC＝3，BD＝1，则有CM=DM=3．A.1B.2C.3D.4二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）11.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为________．12.一个圆锥的侧面展开图半径为16cm，圆心角270∘的扇形，则这个圆锥的底面半径是________cm．13.如图，在△ABC中，AB=CB=62cm，∠ABC=90∘，以AC的中点O为圆心，OB为半径作半圆．若∠MON=90∘，OM与ON分别交半圆于点E，F，则图中阴影部分的面积是________.14.如图，半径为2的⊙O与△AOB的边AB相切于点C，与OB相交于点D，且OD=BD，则图中阴影部分的面积为________．15.如图，AC⊥BC,AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作AB，过点O作AC的平行线分别交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________.三、解答题（本题共计8小题，共计75分）16.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以12AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．17.(9分)如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE // AB，过点B作直线BE // AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45∘，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．18.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=43，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．19.(9分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E=40∘，∠F=50∘.(1)求∠A的度数；(2)当⊙O的半径等于2时，请求出劣弧BD的长(结果保留π).20.(9分)如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC = CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．1求证：CD是⊙O的切线；2若OFFD = 23，求证：AE=AO；3连接AD，在2的条件下，若CD = 2，求AD的长．21.(9分)如图，AB是半圆的直径，O为半圆O的圆心，AC是弦，取BC的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE 是半圆O的切线；(2)当AB=10,AC=53时，求BC的长；(3)当AB=20时，直接写出△ABC面积最大时，点D到直径AB的距离. 22.(10分)如图，点O是线段AH上一点，AH=3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OH=13AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；(3)若NH=13AH，BN=54，连接MN，求OH和MN的长．23.(11分)如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长_________．参考答案一、选择题1.【答案】C【解答】解：S=120某π某62360=12π.故选C.2.【答案】C【解答】圆锥的弧长为：240π某18180=24π，∴圆锥的底面半径为24π÷2π＝12，3.【答案】B【解答】∵∠BCD=30∘ABO=60∘AB是OO的直径，CD是弦，OA=2…阴影部分的面积是：60某π某22360=2π3故选B．4.【答案】C【解答】设母线长为R，圆锥的侧面积=36πR2360=10π，∴R＝10cm5.【答案】A【解答】如图，∵∠ACB＝60∘，∴∠AOB＝2∠ACB＝120∘，∴l=nπr180=120某π某3180=2π．6.【答案】A【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴∠COD=45∘，∴OC=(22)2+(22)2=4，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积=45360某π某42-12某(22)2=2π-4．故选A.7.【答案】D【解答】解：圆锥的底面周长为：120某π某9180=6π,设圆形铁皮的半径为r，则2πr=6π，解得：r=3cm．这块圆形铁皮的半径为3cm.故选D.8.【答案】D【解答】解：连接OD交OC于M.由折叠的可得：OM=12OD=12OA，∠OMA=90∘，∴∠OAM=30∘，∴∠AOM=60∘.∵BDl:ADl=1:3，∴∠AOB=80∘.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl180=2πr，∴r:l=2:9.故选D.9.【答案】B【解答】解：由折叠可知，S弓形AD=S弓形OD，DA=DO.∵OA=OD，∴AD=OD=OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD=60∘，∠DOB=30∘.∵AD=OD=OA=4，∴CD=23，∴S弓形AD=S扇形ADO-S△ADO=60π⋅42360-12某4某23=83π-43，∴S弓形OD=83π-43，∴阴影部分的面积=S扇形BDO-S弓形OD=30π⋅42360-(83π-43)=43-4π3.故选B.10.【答案】C【解答】连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM // AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90∘，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴ACAM=AMAB，∴AM2＝AC⋅AB，故②正确；∵∠APE＝30∘，∴∠MOP＝∠OMP-∠APE＝90∘-30∘＝60∘，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BM的长为60⋅π某2180=2π3，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD // AC，∴PBPA=BDAC=13，∴PB=13PA，∴PB=12AB，BD=12OM，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，∴OP＝4，∴∠OPM＝30∘，∴PM＝23，∴CM＝DM＝DP=3，故④正确．二、填空题11.【答案】π16【解答】根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，圆的半径为1cm，其面积为πcm2，故其概率为π16．12.【答案】12【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=270π某16180，则r=12cm．故答案为：12.13.【答案】(9π-18)cm2【解答】解：∵AC是半圆O的直径，∴∠ABC=90∘=∠MON，又∵AB=CB，点O是AC的中点，∴∠BOC=90∘，∴∠BOE=∠COF，∴S扇形BOE=S扇形COF，将扇形BOE以点O为旋转中心，逆时针旋转90∘，∵AB=CB=62,由勾股定理，得AC=AB2+BC2=622+622=12 ,∴OB=OA=OC=6,S阴影=S扇形BOC-S△BOC=90π某62360-12某6某6=(9π-18)cm2.故答案为：(9π-18)cm2.14.【答案】23-2π3【解答】解：∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB.∵OD=DB，OD=OC=r=2，∴OB=OD+DB=2OC=2r=4，∴∠OBC=30∘，∴∠BOC=60∘，∴BC=OB2-OC2=42-22=23，∴S阴影=S△OCB-S扇形DOC，=12某BC某OC-60某π某r2360，=12某23某2-60π某4360=23-2π3.故答案为：=23-2π3.15.【答案】5π3-23【解答】解：连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90∘，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE // AC，∴∠ACB=∠COE=90∘，∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，∴∠CEO=30∘，∠ECB=60∘，∴OE=23，∴S阴影＝S扇形BCE-S扇形BOD-S△OCE=60π某42360-14π某22-12某2某23=5π3-23.故答案为：5π3-23.三、解答题16.【答案】解：∵∠C=90∘，CA=CB=4，∴12AC=2，S△ABC=12某4某4=8，∵三条弧所对的圆心角的和为180∘，三个扇形的面积和=180π某22360=2π，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π．17.【答案】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45∘，∵AB是直径，∴∠ADB=90∘，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE // AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE // AD，DE // AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE-S扇形OBD=12(4+8)某4-90⋅π⋅42360=(24-4π)cm2．18.【答案】解：（1）连接OA，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵∠B=30∘，∴∠C=30∘，∴∠AOC=60∘，∴∠OAC=90∘，∴直线CA与⊙O相切；（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，∵AB=43，∴AD=OA=OB=OD=4，∵∠DAE=30∘，∴DE=2，∴△ABC面积123，扇形AOD面积83π，△ABO面积43，∴阴影面积83-83π．19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCE=∠A，∵∠EDF=∠A+∠F=∠A+50∘，而∠EDF+∠DCE+∠E=180∘，∴∠A+50∘+∠A+40∘=180∘，∴∠A=45∘.(2)连接OB，OD，∵∠BOD=2∠A=90∘，∴BD的长=90∘某π某2180∘=π．20.【答案】1证明：连接OC，∵OC=OB，AC = CG，∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴∠CBD=∠OCB，∴OC // BD，∴∠ECO=∠EDB，∵CD⊥BG于点D，∴∠EDB=90∘，∴∠ECO=90∘，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．2证明：∵OC // BD，∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴△OCF∼△DBF，∴OFDF = OCDB，∵OFFD = 23，∴OCDB = 23，∵OC // BD，∴△EOC∼△EBD，∴OCBD = EOEB，∴EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴OB=OA=a，∴EA=a，∴AE=AO．3解：∵OC=OA=a，EO=2a，∴OC = 12EO，又∵∠OCE=90∘，∴∠E=30∘，∵∠B DE=90∘，BC平分∠EBD，∴∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵CD = 2，∴BC=22，BD = 6，∵OCBD = 23，∴OC = 263，作DM⊥AB于点M，∴∠DMB=90∘，∵BD = 6，∠DBM=60∘，∴BM = 62，DM = 322，∵OC = 263，∴AB = 463，∴AM=AB-BM = 463 - 62 = 566，∵∠DMA=90∘，DM = 322，∴AD = AM2 + DM2 = (566)2 + (322)2 = 783．21.【答案】(1)证明：连接OD.∵D是弧BC的中点，∴BD=DC，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3，∴OD//AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.(2)解：连接BC，OC，则∠ACB是直角.当AB=10,AC=53时，则co∠BAC=ACAB=32，∴∠BAC=30∘,∠BOC=60∘，∴BC=60π⋅5180=5π3.(3)解：连接OD，BC，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，作DH⊥AB于点H,由(1)可知OD⊥DE.∴∠FOD=∠ODE=∠DEA=90∘，∴四边形ODEF为矩形，∴OF=ED.当∠BAC=45∘时，△ABC为等腰直角三角形，此时，△ABC面积最大，∴AC=co45∘⋅AB=22某20=102，∴OF=12BC=12AC=52.又∵∠BAD=∠DAE，∴DH=DE，即点D到直径AB的距离为52.22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC.∵∠AHC=90∘，∴∠HAD=90∘，即OA⊥AD.又OA为半径，∴AD是⊙O的切线.(2)解：连接OC.∵OH=12OA，AH=3，∴OH=1，OA=2.在Rt△OHC中，∠OHC=90∘，OH=12OC，∴∠OCH=30∘，∴∠AOC=∠OHC+∠OCH=120∘，∴S扇形OAC=120某π某22360=4π3.∵CH=22-12=3，∴S△OHC=12某1某3=32，∴四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积=S扇形OAC+S△OHC=4π3+32.(3)解：设OA=r，则OH=3-r.连接ON.在Rt△OHN中，OH2+HN2=ON2，∴(3-r)2+12=r2，∴r=53，则OH=43；在Rt△ABH中，AH=3，BH=54+1=94，则AB=154.在Rt△ACH中，AH=3，CH=NH=1，得AC=10.在△BMN和△BCA中，∠B=∠B，∠BMN=180∘-∠AMN=∠BCA，∴△BMN∼△BCA，∴MNCA=BNBA，即MN10=54154=13，∴MN=103.23.【答案】(1)证明：过点O作OM⊥AC于点M．∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴OM=OE，∴AC是⊙O的切线．解：(2)∵OM=OF=OE=3，且点F是OA的中点，∴AO=2OF=6，在Rt△AEO中，AE=AO2-OE2=33，∴S△AEO=12AE⋅OE=932，∵∠OEA=90∘，AO=6，AE=33，OE=3，∴∠EOF=60∘，∴S扇形OEF=9π某60∘360∘=3π2，∴S阴影=S△AEO-S扇形OEF=932-3π2．(3)如图，作点F关于直线BC的对称点F＇，连接EF＇，交BC于点P，则此时PE+PF取最小值，为EF＇的长，∵PF=PF＇，∴PE+PF=PE+PF＇=EF＇，此时EP+FP最小，∵OF＇=OF=OE，∴∠F＇=∠OEF＇，而∠AOE=∠F＇+∠OEF＇=60∘，∴∠F＇=30∘，∴∠F＇=∠EAF＇，∴EF＇=EA=33，即PE+PF最小值为33.在Rt△OPF＇中，OP=33OF＇=3，在Rt△ABO 中，OB=33OA=33某6=23，∴BP=23-3=3，即当PE+PF取最小值时，BP的长为3.故答案为：3.。

中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练(全国通用)：专题31 与圆有关的计算(原卷版)

专题31与圆有关的计算【专题目录】技巧1：圆与相似三角形的综合技巧2：用三角函数解与圆有关问题技巧3：圆与学科内知识的综合应用【题型】一、求多边形中心角【题型】二、已知正多边形中心角求边数【题型】三、正多边形与圆【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径【题型】五、扇形面积的相关计算【题型】六、圆锥侧面积的相关计算【考纲要求】1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．3.会求图中阴影部分的面积.【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝180n r.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝n πr 2360或S ＝12lr .【考点总结】二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h .如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.【考点总结】三、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．【技巧归纳】技巧1：圆与相似三角形的综合1.【中考·衢州】如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是()A ．3B ．4C .256D .258(第1题)(第2题)2．【中考·南通】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，A B ＝6，AD ＝5，则AE 的长为()A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为()A ．3B ．23C .21D ．35(第3题)(第4题)4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)(第6题)6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第7题)8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB PC＝12.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD ＝3，求△ABC 的面积．(第8题)技巧2：用三角函数解与圆有关问题一、选择题1．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为3，AC ＝4，则sin B ＝()A .13B .34C .45D .23(第1题)(第2题)2．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70°，∠C ＝50°，那么cos ∠AEB 的值为()A .3B .33C .12D .323．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin B ＝45.⊙O 过B ，C 两点，且⊙O 的半径r ＝10，则OA 的长为(A ．3或5B ．5C ．4或5D ．4二、填空题4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________.(第4题)(第5题)5．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.6．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．(第6题)(第7题)7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝_______.三、解答题8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan B＝12，半径为2的⊙C分别交A C，BC于点D，E，︵.得到DE(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第8题)9．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝12，AB＝3，求BD的长．(第9题)技巧3：圆与学科内知识的综合应用【类型】一：圆与三角函数的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第1题)【类型】二：圆与相似的综合2．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠AC B ＝90°，点P 在AB ︵上移动，P ，C 分别位于AB 的异侧(P 不与A ，B 重合)，△PCD 也为直角三角形，∠PCD ＝90°，且Rt △PCD 的斜边PD 经过点B ，BA ，PC 相交于点E.(1)当BA 平分∠PBC 时，求BECD的值；(2)已知AC ＝1，BC ＝2，求△PCD 面积的最大值．(第2题)【类型】三：圆与二次函数的综合3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y 轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切．(3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△B DF 的面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标．(第3题)【题型讲解】【题型】一、求多边形中心角例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（）A．B．C．60D．例2、如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A． 2,B． 2,2 C． 2, D．【题型】二、已知正多边形中心角求边数例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于3π4，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12【题型】三、正多边形与圆例5、半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c B．b a c C．a c b D．c b a例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．4B ．4C ．8D ．4【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径例7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ，4CD ，则퐶的长为（）A ．2B ．4C ．2D ．例8、一个扇形的圆心角为120 ，扇形的弧长等于4, 则该扇形的面积等于（）A ．2B ．4C ．12D ．24例8、若扇形的圆心角是150 ，且面积是2240cm ，则此扇形的弧长是（）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．40cm【题型】五、扇形面积的相关计算例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm ），则这个几何体的侧面积为（）A ．48πcm 2B ．24πcm 2C ．12πcm 2D ．9πcm 2例10、如图，在⊙�中，2OA ，45C ，则图中阴影部分的面积为（）A ．2B ．C ．22D ．2【题型】六、圆锥侧面积的相关计算例11、一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A ．πB ．πC ．πD ．例12、用一个半径为3,面积为3 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A ．B ．2C ．2D ．1例13、如图，有一块半径为1m ，圆心角为90 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A ．1m 4B ．3m 4C ．m 4D ．m 2与圆有关的计算（达标训练）一、单选题1．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（）AB ．C ．3D2．如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则正五边形的中心角COD 的度数是（）A ．72°B ．60°C ．48°D ．36°3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（）A ．正负术B ．方程术C ．割圆术D ．天元术4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（）A ．刘徽，祖冲之B ．祖冲之，刘徽C ．杨辉，祖冲之D ．秦九韶，杨辉5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D 点的坐标为 2,0，则点F 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 1,17．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，GOK 的两边,OG OK ，分别与,AB CB ，相交于点M ，N ，当180GOK ABC 时，下列说法错误的是（）A ．60GOKB ．MB NB DC C ．112OMBN ABCDEF S S 四边形正六边形D ．OMA 与ONB 相等8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（）A ．48B ．24C ．12D ．4二、填空题9．如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠OCD 的度数为_____°．10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．三、解答题11．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，已知13CF BC ，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE 上求作点G ，使DG CF ；(2)在图2中的边DE 上求作点H ，使EH CF ．与圆有关的计算（提升测评）一、单选题1．如图，工人师傅准备从一块斜边AB 长为40cm 的等腰直角AOB 材料上裁出一块以直角顶点O 为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥(接缝处忽略)，则圆锥的底面半径为（）A ．5cmB ．C ．4cmD ．2．如图，在半径为2，圆心角为90 的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．1B ．2C ．112D ．121 ＋3．如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（）A ．5124B ．5124C ．3124D ．51224．如图，ABC 中，AC O 是AB 边上的一点，O 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，点F 为O 上一点，连AF ，若四边形ACEF 是菱形，则图中阴影部分面积是（）A 3B ．23C 3D ．35．把边长为的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF 的长为（）A ．1B ．2CD ．6．如图1所示的正六边形（记为“图形1P ”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形2P ”），作出图形2P 的内切圆⊙O ，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形3P ”，则图形123P P P ，，的周长之比为3：2③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O 上任意一点的最大距离为以上结论正确的是（）A ．②③B ．①③C ．②D ．①7．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，过点A 作O 的切线交对角线DB 的延长线于点F ，则下列结论不成立的是（）A ．AE BF ∥B ．AF CD ∥C ．DF AFD ．AB BF8．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a ）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A B C D E F 沿水平方向向左平移a 个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A B C 扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）A ．3:1B ．4:1C ．5:2D ．2:1二、填空题9．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，若O 的半径为4，则阴影部分的面积等于______．10．如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角COD 顶点在圆心O 上，这个角绕点O 任意转动，在转动过程中，扇形COD 与扇形AOB 有重叠的概率为310，求 ___________．三、解答题11．如图，已知ABC ，1tan 3C ，30A ．(1)在AC 边上求作点P ，连接PB ，使30PBA （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在第（1）问图中，若AB①求PBC S ；②已知经过点P 的圆O 与AB 相切于点A ，求扇形AOP 的面积．12．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 为 BC上的一点，连接DP ，CP ．(1)求∠CPD 的度数；(2)当点P 为 BC的中点时，CP 是⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．。

中考复习圆练习题及答案_资料第32课时弧长和扇形面积及圆锥

第32课时弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积一、温故而知新1、（陕西）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（）A、48πB、48C、24πD、242、（2005 海南）正方形ABCD的边长为2cm，以B点为圆心，AB长为半径作AC，则图中阴影部分的面积为（）A、（4—π）cm2B、（8—π）cm2C 、（2π—4）cm2D、（π—2）cm23、（2005 山西）要在面积为1256m2的三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是m（π取3.14）4、（2006 旅顺）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为．二、考点解读（1）、考点1、圆周长：C=2πR2、弧长：L= 1180nπR3、扇形面积：S=1360nπR2=12LR4、圆柱的侧面积S=2πr·h （r是底面积，r是底面半径）S表=S侧+ 2S底=2πr·h+ 2πr25、圆锥的侧面积S=12L·2πr=πrL（L是母线，r是底面半径）S表=S侧+ S底=πrL+πr2（2）、难点1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算2、弓形面积的求法：①当弓形的弧是劣弧时S弓形=S扇形－S▲②当弓形的弧是优弧时S弓形=S扇形+S▲2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用①割补法②拼凑法③等积变形法二、例题讲解1、如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的侧面积．解：根据条件得：圆锥母线长为10cm，所以圆锥侧面积为：S=πrL=π·6·10=60π变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为2、AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A、43π－3B、23πC、23π－3D、13π解、∵AE ED DB==∴∠A=∠ABC=600∴△ABC是等边三角形又 AB是⊙O的直径∴∠AEB=900即BE⊥AE，∴AC=2CE=4=AB∴S阴=S扇形OBE－S▲ABE =43π－3故选A变式题：AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积是（）3、已知矩形ABCD的一边AB=5cm,另一边AD=2cm，求：以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积解：C=2π·AD=4π(cm)S=2π·AD2+C·AB=28π(cm2)变式题：已知矩形ABCD的一边AB=10πcm,另一边AD=4cm，求：将BC、AD边重合后所得圆柱的体积三、中考视窗1、（2006 广东）如图，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是(结果保留根式)．解、小虫爬行的最短路线的长度是=2222+=222 如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？（2）求由DG、GE和弧ED围成图形的面积（阴影部分）．解：（1）∠BFG＝∠BGF连OD，∵OD＝OF（⊙O的半径），∴∠ODF＝∠OFD ABCD EFGOABCD EFGO∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC又∵∠C ＝90°，即GC ⊥AC ，OD ∥GC∴∠BGF ＝∠ODF又∵∠BFG ＝∠OFD ，∴∠BFG ＝∠BGF（2）连OE ，则ODCE 为正方形且边长为3∵∠BFG ＝∠BGF∴BG ＝BF ＝OB －OF ＝32－3 ∴阴影部分的面积＝△DCG 的面积－(正方形ODCE 的面积－扇形ODE 的面积)＝21·3·(3＋32)－(32－41π·32)＝π49＋229－49 四、牛刀小试1、钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（A ）cm 310π （B ）cm 320π （C ）cm 325π （D ）cm 350π 2、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13、如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（）．A ．4－94π B ．4－98π C ．8－94π D ．8－98π4圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（）A. 60πcm2B. 45πcm2C. 30πcm2 D15πcm2、5、如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24 cm，AB＝25 cm．若的长为底面周长的2，如图2所示．3(1)求⊙O的半径；）(2)求这个圆柱形木块的表面积．(结果可保留和根号)六、总结、反思、感悟。

(名师整理)最新人教版数学中考《与圆有关的计算》专题精练(含答案解析)

与圆有关的计算一选择题：1.如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需要（）个五边形.A．7 B．8 C．9 D．10 2.如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A.πB.πC.π D.π3.如图，在正方形ABCD中，AB=2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣4 B．6π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣84.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1 D.6∶4∶35.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（）A． B． C． D．6.如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B． C． D．7.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A． 6cm B． 12cm C． 6cm D． 4cm8.如图,半径为2cm，圆心角为90°扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分面积为（）A．（﹣1）cm2 B．（+1）cm2 C．1cm2D．cm29.如图,△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ等于 ( )A．60° B．65° C．72° D．75°10.如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（）厘米．A． B． C． D．11.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是( )A.πm2B.πm2C.πm2D.πm212.如图5313，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为( )A.－ B．－ C.－D.－13.如图，A为⊙O上一点，从A处射出的光线经圆周4次反射后到达F处. 如果反射前后光线与半径的夹角均为50°，那么∠AOE的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 80°14.如图，四边形 OBCA为正方形，图1是以AB为直径画半圆，阴影部分面积记为S1,图2是以O为圆心，OA长为半径画弧，阴影部分面积记为S2 ,则S1, S2的大小关系为（）A. S1 < S2B. S1 = S2C. S1 >S2 D．无法判断15、如图，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF…圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是（）A.8πB.6πC.4π D.2π16.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为（）A． B． C．π D．2π17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣218.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )A.25π-6 B.-6 C.-6 D.-619.如图,正五边形ABCDE中，连接AC，AD，CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是 ( )A．△CDF的周长等于AD＋CD B．FC平分∠BFD C．AC2＋BF2=4CD2 D．DE2=EF·CE20.如图，一个半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥2）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A. B. C.3﹣π D.不能求出具体值二填空题:21.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为．22.如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为。

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第3课时与圆有关的计算
一级训练
1．(2012年广东珠海)如果一个扇形的半径是1，弧长是π
3
，那么此扇形的圆心角的大小为( )
A ．30° B. 45° C ．60° D ．90°
2．(2012年贵州铜仁)小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9 cm ，母线长为30 cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( ) A ．270π cm 2 B ．540π cm 2 C ．135π cm 2 D ．216π cm 2
3．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边
扇形”的面积为( )
A ．π
B ．1
C ．2 D.23
π
4．(2011年浙江宁波)如图5－1－59，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为( ) A ．4π B ．4 2π C ．8π D ．8 2π
图5－1－59 图5－1－60 图5－1－61
5．(2011年江苏淮安)在半径为6 cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧等于________．
6．(2012年山东德州)如图5－1－60，“凸轮”的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于________．
7．(2011年山东聊城)如图5－1－61，圆锥的底面半径OB 为10 cm ，它的侧面展开图的扇形
的半径AB 为30 cm ，则这个扇形的圆心角α的度数为____________．
8．(2012年四川巴中)已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为______ cm 9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)． 10．(2011年四川内江)如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，
则圆锥的母线长是__________．
11．如图5－1－62，点A ，B ，C 在直径为2 3的⊙O 上，∠BAC ＝45°，则图中阴影的面积
等于________(结果中保留π)．
图5－1－62
二级训练
12．(2012年山东泰安)如图5－1－63，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连
接BC ，若∠ABC ＝120°，OC ＝3，则 BC
的长为( ) A ．π B ．2π D ．3π D ．5π
图5－1－63 图5－1－64
13．如图5－1－64，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则阴影部分
图形的面积为( )
A ．4π
B ．2π
C ．π D.2π
3
14．如图5－1－65，AB 是⊙O 的切线，切点为B ，AO 交⊙O 于点C ，过点C 作DC ⊥OA ，交
AB 于点D .
(1)求证：∠CDO ＝∠BDO ；
(2)若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，求阴影部分的面积(结果保留π)．
图5－1－65
15．如图5－1－66，已知在⊙O 中，AB ＝4 3，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ，∠A ＝
30°.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
图5－1－66
三级训练
16．如图5－1－67，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线
AB上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面折叠．点O恰好落在
积．
图5－1－67
参考答案
1．C 2.A 3.C 4.D
5．2π cm 6.π 7.120° 8.5 9.3π 10.30 11.3π4－3
2
12.B 13.D
14．(1)证明：∵AB 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥AB ，即∠B ＝90°. 又∵DC ⊥OA ，∴∠OCD ＝90°.
在Rt △COD 与Rt △BOD 中，OD ＝OD ，OB ＝OC ， ∴Rt △COD ≌Rt △BOD .∴∠CDO ＝∠BDO . (2)解：在Rt △ABO 中，∠A ＝30°，OB ＝4， ∴∠BOC ＝60°.
∵Rt △COD ≌Rt △BOD ， ∴∠BOD ＝30°. ∴BD ＝OB ·tan30°＝
4 3
3
. ∴S 四边形OCDB ＝2S △OBD ＝2×12 ×4×4 33＝16 3
3.
∵∠BOC ＝60°， ∴S 扇形OBC ＝60π×42360＝8π
3
.
∴S 阴影＝S 四边形OCDB －S 扇形OBC ＝16 33－8π
3.
15．(1)解法一：如图D24(1)，
过O 作OE ⊥AB 于E ，则AE ＝1
2AB ＝2 3.
在Rt △AEO 中，∠A ＝30°， cos ∠A ＝cos30°＝AE
OA
， ∴OA ＝
AE cos30°＝2 3
3
2
＝4. ∵∠A ＝30°，∴∠BOC ＝60°.
∵AC ⊥BD ，∴ BC
＝ CD . ∴∠COD ＝∠BOC ＝60°.∴∠BOD ＝120°. ∴S 阴影＝
120360π·42＝16
3
π. 解法二：如图D24(2)，连接AD .
∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD .
∴
BC＝ CD.∴∠BAD＝2∠BAC＝60°. ∴∠BOD＝120°.
∵BF＝1
2AB＝2 3，sin60°＝
AF
AB，
AF＝AB·sin60°＝4 3×
3
2＝6.
∴OB2＝BF2＋OF2，
即OB2＝(2 3)2＋(6－OB)2.
∴OB＝4.∴S阴影＝1
3S圆＝
16
3
π.
解法三：如图D24(3)，连接BC.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
∵AB＝4 3，∴AC＝
AB
cos30°＝
4 3
3
2
＝8，AO＝4.
∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴
BC＝ CD. ∴∠BOC＝60°.∴∠BOD＝120°.
∴S阴影＝120
360
π·42＝
16
3
π.
(2)解：设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr.
∴2πr＝120
360×2π×4.∴r＝
4
3.
图D24
16．解：如图D25，连接OD.
图D25 ∵OB＝OD，OB＝BD，
∴△ODB是等边三角形．
∠DBO＝60°.
∴∠OBC＝∠CBD＝30°，在Rt△OCB中，
OC＝OB·tan30°＝2 3.
∴S△OBC＝1
2OC·OB＝
1
2×2 3×6＝6 3，
∴S阴影部分＝S扇形AOB－2S△OBC＝1
4
π·36－2×6 3
＝9π－12 3，
由图可知，CD＝OC，DB＝OB，
整个阴影部分的周长为： AB＋AC＋CD＋DB＝2×6＋6π＝12＋6π.。