山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题三
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换五套试题及答案
（2 分） （2 分） （2 分）
7
Re s[ f (z), ] 1
（1 分）
6．解：原式（3
分）
2iRe
s
z
ze z 2
1
,1
Re s
z
ze z 2
1
,1
zi i（ cos z）zi i cos i = ich1
五、1．解：
f
(z)
（1分）
1 (z i)
z
1 i
i
（1分） 1 (z i)
1 i 31
1 z
i i
（1分） 1 z
i
1 i
n0
z
i
i n
n1
（3分）2i
e 2
e 1 2
2i ch1
（1 分）
7．解：
原式=（2 分）
1 dz =（1 分）
2i dz
| z | 1
2
z2
1
iz
|z|1 z 2 4z 1
2z
=（1 分）
2i
dz
|z|1 (z 2 3)(z 2 3)
数，且 f(0)=0。
三、（10 分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|2 z 6 (z 1)(z 3)
四、计算积分（5 分×2）
dz
1． |z|2 z(z 1)
2． cos z c (z i)3
C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。
山东理工大学复变试题
一．填空（每空3分，共36分）1.i i= = .2.设函数 )3()3()(3223y x y x y i x z f -+-=为解析函数, 则=)('z f .3．积分2||5(2cos )z z z e z dz =++=⎰，积分=⎰=1||s i nz z d zz .4．设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则(1)f '= .5. 0=z 是ez z12的 类型孤立奇点，2Re (,0)ze s z-= .6．幂级数∑∞=1n n 3n z n2 的收敛半径是 .7. 映射 3()f z z =在i z =处的伸缩率为 ，转动角为 . 8.)(2)(2t e t f t j δ-=的付氏变换是 .二．计算22||4(1)zz e dz z z =-⎰. (10分)三. 把函数1()(1)(2)f z z z =--分别在圆环域（1）1||0<<z ；（2）011z <-<内展为洛朗级数. (12分)四. 计算积分 dx x xx⎰+∞∞-++54cos 2.(10分)五. 求将上半平面映射成单位圆1<ω且满足条件2)(arg ,0)(π='=i f i f 的分式线性映射.(10分)六. (,)(cos sin )x v x y e y y x y x y =+++已知为调和函数，求一解析函数(), (0)0.f z u iv f =+=使(12分) 七.求微分方程：1)0(,0)0(32='==-'+''-y y y y y e t满足初始条件的解 .(10分)一.填空题（每小题3分，共36分）1. 设i Z --=1 ， 则=ArgZ ,Z 的三角表示为 .2. =-32i e π ; 已知2ln iz π=,则=z .3.=-⎰=dz z zz 1||2)3(cos .4. ⎰=izdz π0sin . 5.幂级数z n nn n∑⎪⎭⎫⎝⎛+∞=1112的收敛半径为 .6.已知)2(23)(2++=z z z z f ，则=]0),([Re z f s .7.)1(1)(i e z f z+-=的全部孤立奇点为 . 8.分式线性映射iz iz z f +-=)(在i z =处的旋转角为 ，伸缩率为 .9.函数t e t u t f 42)(3)(-=的Laplace 变换=)(s F . 二.设)(2323cxy x i y bx ay +++ 为解析函数，求c b a ,,的值。
山东理工大学复变试题
《复变函数与积分变换》1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 2．下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ） A.z ·z =Re(z ·z ) B. z ·z =Im(z ·z ) C. z ·z =arg(z ·z )D. z ·z =|z|3．不等式4z arg 4π<<π-所表示的区域为（ ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部D.椭圆内部4．函数z1=ω把Z 平面上的单位圆周|z|=1变成W 平面上的（ ）A.不过原点的直线B.双曲线C.椭圆D.单位圆周5．下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=zB.w=z2C.w=e zD.w=z+cosz 6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（ ） A.sinz 是周期函数B.sinz 是解析函数C.|sinz|1≤D.z cos )z (sin ='7．在下列复数中，使得e z =2成立的是（ ） A.z=2 B.z=ln2+2i π C.z=2D.z=ln2+i π8．若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.)z ()z (f Φ=' B. )z ()z (f Φ='' C. )z (f )z (='ΦD. )z (f )z (=Φ''9．设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C2dz )i 1z (1等于（ ）A.0B.i21πC.i 2πD.i π10．对于复数项级数∑∞=+0n nn6)i 43(，以下命题正确的是（ ） A.级数是条件收敛的B.级数是绝对收敛的C.级数的和为∞D.级数的和不存在，也不为∞11．级数∑∞=-0n n )i (的和为（ ）A.0B.不存在C.iD.-i12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数条件收敛B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散13．z=0是函数zz sin 2的（ ） A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点14．z1sin 在点z=0处的留数为（ ） A.-1B.0C.1D.215．将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ） A.1z z w -=B. z1z w -=C. zz1w -=D. z11w -=第二部分 非选择题 （共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16．设4ie2z π=,则Rez=____________.17.f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为_________. 18.设C 为正向圆周|z-i 4π|=1,则积分⎰=Cdz zcos 1____________.19.函数)1z (z 1z)z (f 2-+=在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为_______.20.3)1z (1-在点z=1处的留数为____________.三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．设i3i 2z -+=,求z+z 和z-z .22. 设z cos 2z1z)z (f 22+-=. (1)求f(z)的解析区域，（2）求).z (f '23.设f(z)=x 2-2xy-y 2-i(x 2-y 2).求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域.24.设z=x+iy,L 为从原点到1+i 的直线段.求.dz )iy y x (L2⎰++25.计算积分⎰+-i30.dz )3z 2(26.设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=⎰-C2z.dz )2z (z e27.将函数f(z)=)i z (z i 2+在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径.四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。
复变函数与积分变换复习题
一、简答题（本题满分24分，共含6道小题，每小题4分） 1、38i -； 2、i i ； 3、()i Ln 43+-及其主值；
4、求()2)1(1+=s s F 的拉氏逆变换；
5、求幂级数∑∞=+0
)1(n n n z i 的收敛半径； 6、dz z z z ⎰=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++21551 二、计算题（本题满分30分，共含6道小题，每小题5分）
1、求积分dz z e z z
⎰=+23
2)
1(． 2、对于映射z
w 1=
，求出曲线R z =||的像. 3、求i e 21-的模与辐角主值。
4、求函数()t tu t f +=1)(的傅里叶变换。
5、求函数t e t f t 2cos )(3⋅=的拉普拉斯变换。
6、计算积分⎰=--52d 13z z z
z z 三、(10分) 求函数()z
z z z f 212-+=
在有限奇点处的留数。
四、(10分) 将函数()51-=z z f 展开为洛朗级数，圆环域为 （1）230<-<z ； （2）+∞<-<32z
五、(10分) 利用拉氏变换解下列微分方程⎪⎩
⎪⎨⎧=='-=+''0)0(1)0(sin 2y y t y y
六、(10分) 利用定义求函数⎩
⎨⎧>≤=1||,01||,1)(t t t f 的傅氏变换，并推证下面的积分结果：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<=⎰∞+1,01412d cos sin 0t t t t ，，
ππωωωω。
山东理工大学复变试卷3
2007复变函数与积分变换试题系别___________ 班级__________ 学号__________________ 姓名___________一、填空（每题3分，共24分） 1．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.2．曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.3．i i =____________.4．0z =为函数()81cos zf z z -=的_____级极点；在该点处的留数为_____.5．函数()Im Re f z z z z =-仅在z =____________处可导.6．设()2sin 2f z d z ξπξξξ==-⎰，其中2z ≠，则()1f '=_______.7. 在映射2w z iz =-下，z i =处的旋转角为_______，伸缩率为______.8．已知()()()()12,,tf t e u t f t tu t ==则它们的卷积()()12f t f t *=____________.二、（10分）验证()22,22v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数()f z u iv =+满足条件()2f i i =-.三、计算下列各题（每小题5分，共25分）：1．41cos z d z z =⎰ .2．211z z ze d z z π+=+⎰ .3. 2011sin d πθθ+⎰ .4. ()2224x d x x +∞-∞+⎰ .5. 用留数计算()220cos (0,0)bxI b dxa b x a +∞=>>+⎰，由此求出()221F a ωω=+的傅里叶(Fourier)逆变换.四、（12分）把函数()211f z z =+在复平面上展开为z i -的洛朗级数.五、（6分）试求Z 平面上如图所示区域在映射z i w i z iπ+=--下的象区域.六、（8分）求一保形映射，把区域30Im 2Re 0z z π⎧<<⎪⎨⎪<⎩映射为区域1w <.七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程2t y y e ''''+=满足初始条件()()()0000y y y '''===的解.八、证明题：（7分）1． 设函数()f z 在区域()00z z R R r -<>>内除二阶极点0z 外处处解析，证明：()()04z z r f z dz i f z π-='=-⎰ .（4分）2． 求积分1zz e dz z =⎰，从而证明：()cos 0cos sin e d πθθθπ=⎰.（3分）。
复变函数及积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1)i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2)-1解：1cos sin i e i πππ-==+(3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5)3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar21ar21ar2bi ctg kabi ctgabi ctgaπ⎛⎫+⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222iki iiieie ee iπππππππ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i解：()2222ii k ki i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k ke eππππ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i ie eααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sincos sin cos sinn ni nnn ni nne i C ie i C iαααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()5555555543253543251cos5cos sin cos sin21cos sin1125cos sin cos sin cos5cos sin10cos sin cosn n n nnnn n nnnC i iC ii C iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin5i ie eααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e ie e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （ ）2.有界整函数必在整个复平面为常数。
( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( ） 7。
若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。
若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（ ）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。
7。
若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。
=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。
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7．设F [ f1 (t)] F1 (), F [ f2 (t)] F2 () ,
F [ f1 (t) f2 (t)] ________________，其中 f1 (t) f2 (t) 定义为________________ .
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
复变函数与积分变换试题(A卷)(3)
2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为 ．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？ ， 何处解析？ ．3．)43(Ln i +-的值为 ． 4．级数∑∞+=1n nni 是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ． 5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为 ．6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射z w e =下的像为． 7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为 ． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为 ．解答内容不得超过装订线二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=++3||342215d )1()1(z z z z z2．⎰=3||d 1cosz z zz3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ4．x x xd cos 0⎰∞++52三、(14分)已知y x y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解答内容不得超过装订线四、(14分)将函数211)(z z f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D 映射到上半平面的共形映射．解答内容不得超过装订线七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn z a 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明： )(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换考试题库
三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
三(8分) 解: 1)在2||1<<z 11000111111()()(()())()21222n nnn n n n n zzf z z z z z zz z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑-----4分 2) 在1|2|z <-<∞2111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nn n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4分四．（8分） 求())2)(1(--=z z z z f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故]2,54[Re 25422i z z es i dx x x eizix+-++=++⎰∞+∞-π --------3分)2sin 2(cos 54))2((lim 222i ez z ei z i iziz -=+++--=+-→ππ --------6分故2cos 254Re 254cos 222edx x x edx x x x ixπ=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
五.(8分) 解: 22371()()Cf z d z ξξξξ++'=-⎰-------3分由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故 i Ci d i i f +='++=+-++=+'⎰1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
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山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题三
第一部分 选择题 (共30分)
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括
号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
2．下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ）
A.z ·z =Re(z ·z )
B. z ·z =Im(z ·z )
C. z ·z =arg(z ·z )
D. z ·z =|z|
3．不等式4z arg 4π
<<π
-所表示的区域为（ ）
A.角形区域
B.圆环内部
C.圆的内部
D.椭圆内部
4．函数z 1
=ω把Z 平面上的单位圆周|z|=1变成W 平面上的（
） A.不过原点的直线 B.双曲线
C.椭圆
D.单位圆周
5．下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=z B.w=z 2
C.w=e z
D.w=z+cosz
6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（
）
A.sinz 是周期函数
B.sinz 是解析函数
C.|sinz|1≤
D.z cos )z (sin ='
7．在下列复数中，使得e z =2成立的是（ ）
A.z=2
B.z=ln2+2i π
C.z=2
D.z=ln2+i π
8．若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（ ）
A.)z ()z (f Φ='
B. )z ()z (f Φ=''
C. )z (f )z (='Φ
D. )z (f )z (=Φ''
9．设C 为正向圆周|z|=1,则⎰
+-C 2dz )i 1z (1等于（ ） A.0 B.i
21π C.i 2π D.i π 10．对于复数项级数∑∞=+0n n n 6)i 43(，以下命题正确的是（ ）
A.级数是条件收敛的
B.级数是绝对收敛的
C.级数的和为∞
D.级数的和不存在，也不为∞
11．级数∑∞
=-0n n )i (的和为（ ）
A.0
B.不存在
C.i
D.-i
12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ）
A.在收敛圆内，幂级数条件收敛
B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛
C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛
D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散
13．z=0是函数z z sin 2的（ ）
A.本性奇点
B.极点
C.连续点
D.可去奇点
14．z
1sin 在点z=0处的留数为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2
15．将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ） A.1
z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11w -=
第二部分 非选择题 （共70分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
16．设4i e 2z π
=,则Rez=____________.
17.f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为_________.
18.设C 为正向圆周|z-i 4
π|=1,则积分⎰=C dz z cos 1____________. 19.函数)1z (z 1z )z (f 2-+=在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为
_______. 20.3)1z (1
-在点z=1处的留数为____________.
三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
21．设i
3i 2z -+=,求z+z 和z-z . 22. 设z cos 2z 1z )z (f 22
+-=. (1)求f(z)的解析区域，（2）求).z (f '
23.设f(z)=x 2-2xy-y 2-i(x 2-y 2).
求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域.
24.设z=x+iy,L 为从原点到1+i 的直线段.求.dz )iy y x (L 2⎰
++ 25.计算积分⎰+-i 30.dz )3z 2(
26.设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=⎰-C
2z .dz )2z (z e 27.将函数f(z)=)i z (z i
2+在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.
28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径.
四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题，需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。
每题10分，共20分）
29．利用留数定理计算积分I=⎰∞+∞->+).0a ()a x (dx x 2222
30.试求一函数w=f(z),它将Z 平面上的区域0<argz<2
π保角映射成W 平面上的单位圆域|w|<1，且使z=1+i ，0分别映射成w=0,1.
31.已知f(t)=⎩⎨
⎧≤<其他1t 0,0,1,试求下列函数的付氏变换： (1)e -2t f(t),
(2)sin2t ，
(3)g(t)=e -2t f(t)+3sin2t.。