专题30 数形结合的思想方法
数形结合数学思想方法
数形结合数学思想方法小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。
为初中数学学习打好基础，如确实位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。
下面小编给大家整理了关于数形结合数学思想方法，希望对你有帮助!1数形结合数学思想方法“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辨证关系。
数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。
它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的。
它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，觖决数学问题能起到促进和深化的作用。
2数形结合数学思想方法用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。
“数形结合”可以借助简单的图形(如统计图)、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。
以数解形：有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。
而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系(如算式等)，以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。
它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。
助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力。
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。
表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。
数形结合的思想
变式训练 3 已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上， 那么点 P 到点 Q(2， －1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时， 点 P 的坐标为 1 A．( ，－1) 4 C．(1,2)
解析
( A ) 1 B．( ，1) 4 D．(1，－2)
定点 Q(2，－1)在抛物线内部，由抛
物线的定义知，动点 P 到抛物线焦点的距 离等于它到准线的距离，问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时， 求点 P 的坐标，显然点 P 是直线 y＝－1 和抛 1 2 物线 y ＝4x 的交点，解得这个点的坐标是(4，－1)．
又∵α、β∈(0,2π)，且 α≠β. ∴直线 l 不过点(1,0)，即 3＋a≠0. ∴a≠－ 3，即 a∈(－2，－ 3)∪(－ 3，2)．
(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β， α－β 作 OH⊥AB，垂足为 H，则∠BOH＝ . 2 ∵OH⊥AB，∴kAB· kOH＝－1. α＋β 3 ∴tan 2 ＝ 3 . α＋β 又∵ ∈(0,2π)， 2 π 7π ∴α＋β＝3或 α＋β＝ 3 . π a 方法二(1)原方程可化为 sin (θ＋ )＝－ ，作出函数 3 2 π y＝sin (x＋3)(x∈(0,2π))的图象．
Hale Waihona Puke 3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则， 要注意由于图象不能精确刻画数量关系所 带来的负面效应． (2)双方性原则， 既要进行几何直观分析， 又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则， 不要为了“数形结合”而数形结合， 具体 运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破 口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘 隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数 图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
数形结合的思想方法
数形结合的思想方法作者：牛少华来源：《学知报·教师版》2012年第48期数形结合思想是高考必考的七大数学思想之一，是数学研究对象的数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。
数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。
在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。
特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
1．集合问题中的数形结合例1．已知全集U=R，集合A=x|-2≤x≤3，B=x|x4，那么集合AI（C∪B）等于（）A．x|-2≤xC．x|-2≤x分析:不等式表示的集合通过数轴解答。
解:在数轴上先画出C∪B=x|-1≤x≤4,再画出集合A=x|-2≤x≤3,取其公共部分如2.利用函数的图象解答问题例2．函数f（x）=Inx-■的零点的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个分析：函数f（x）=Inx-■的零点的个数就是方程x-■=0的解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。
解：f（x）=Inx-■的零点，即使x-■=0，作函数y=Inx 的图象和函数y=-■的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个零点，故选B答案：B评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答3.利用导函数图象解答问题例3．函数y=f（x）的图象过原点，且它的导函数y=f’（x）的图象是如图所示的一条直线，则y=f（x）的图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：由导函数y=f’（x）的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
22-+-=214x y如等式()()3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析 例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2.解不等式x x +>2解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x yx 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合的思想和方法
小学数学中的“数形结合思想和方法”万盛小学郑华刚整理华罗庚说：“数无形时少直观，形少数时难入微”，形象、深刻地指明了数形结合思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。
这里的“数”主要指数、数量关系式、运算式、函数式、方程等；“形”则主要指几何图形与和直角坐标系下的函数图像。
理解抽象的数、数量关系式与函数关系不能脱离直观图形与图像，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状。
数学主要是研究数量关系和空间形式的科学。
空间形式常看作“形”；数量关系常看作“数”。
“数”是形的抽象概括，“形”是数的直观表现。
数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
数与形是同一事物的两个方面，既是互相联系的也是相互转化的。
数形结合思想方法融合了“抽象”和“具体”，实现了数一形优势的互补，突出了它们之间的本质联系。
一方面利用图形的性质特点可以把抽象的数学概念和数量关系直观地表达出来，以形助数，使问题获解；另一方面将形的性质或特点转化为具体模式化的代数问题，以数解形，使问题获解。
人云：授人以鱼，只供一饭之需；授人以渔，则一生受用无穷。
数学知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。
数学知识是一条明线，它被明明白白地写在在教科书上，而数学思想方法则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼，并贯彻到教学过程中。
数学的思想方法是数学的灵魂和精髓。
在小学数学教学中应结合有关内容在教学中注意渗透分类、转化、数形结合、归纳、集合、方程、符号化、函数与对应、极限等数学思想方法。
数形结合是重要的数学思想方法之一，它“以形助数，以数解形”使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化。
在小学阶段，数形结合思想方法的运用更多的体现在“以形助数”上，借助图形的直观，显示数量关系，启发解题思路，解决数学问题。
数学主要是研究数量关系和空间形式的科学。
空间形式常看作“形”；数量关系常看作“数”。
“数”是形的抽象概括，“形”是数的直观表现。
数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
高中数学二轮专题复习——数形结合思想
思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理
高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二 （采用图象法） 设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。
数形结合思想方法
浅谈数形结合思想方法摘要：中学数学教学中，教师往往特别强调数学知识的教授，数学技能、技巧的训练，忽略数学思想方法的教学，而中学数学教学大纲中明确指出中学的数学基础知识是指：“数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法。
”新课标也特别强调教学中数学思想方法的渗透。
数形结合是高中数学中一种重要的思想方法，能够清楚地认识它，灵活地运用它，不管是教还是学都显得尤为重要。
本文从对数形结合思想方法的认识入手，分析其在中学数学中的应用，尽显其重要性。
关键词：数学思想方法、数形结合一、对数形结合思想方法的简单认识法国数学家笛卡尔创立了坐标系，使点与有序实数对建立了联系，进而使曲线与方程建立了联系，于是创立了《解析几何》学科，标志着代数与几何的第一次完美结合。
数形结合是高中数学中一种重要的思想方法，它指出了解决某些数学问题时应从“数”与“形”两者联系来考虑问题。
“数”指数量关系，“形”指空间图形，当我们解决某些数学问题时，常把问题中的代数形式转化为几何图形，借助于几何图形的直观寻找解决问题的思路；相反，当我研究几何图形时，常用代数的方法来研究。
数形结合的基本思想是：在研究数学问题的过程中，注意把数与形结合起来考察。
或者把几何图形问题转化为数量关系问题，运用代数、三角知识进行讨论；或者把数量关系问题转化为图形问题，借助于几何知识加以解决]1[。
简单的说，即“以形助数”和“以数辅形”两个方面，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或是应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
二、数形结合思想方法的具体应用华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”这充分说明了数形结合思想的重要性。
数形结合思想贯穿于高中数学的全部，数轴、向量法、解析法、图解法等都是这一思想的具体应用。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，x y z AB CD 做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数形结合思想
数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系和单位圆来定义的．数形结合在解决集合运算、函数方程、不等式、解析几何、三角、向量等问题中均有广泛运用．应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大简化代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式22(2)(1)4xy ．常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径． （3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算．特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循．（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将|a |与距离互化，将a 2与面积互化，将a ≥b ≥c ＞0且b +c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用．常见的转换途径为：1°方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题．2°利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质．3°构造几何模型．通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc 与勾股定理沟通等等．4°利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离002dA B，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质．2．数形结合的原则 （1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单．而不是去刻意追求一种固定的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法．一、引入1．函数()|log |(0a f x x a ，1)a 的单调递增区间是 A ．(0]a , B ．(0),C ．(01],D ．[1),2．方程2243xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对3．已知不等式2log 0m xx在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．01mB ．1116mC ．1mD ．1016m4．如果实数x y 、满足22(2)3x y ，则y x的最大值为A ．12B ．3C ．2D ．5．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(722), B ．(722), C ．(462), D ．(462),6．若2()f x x bx c 对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t ，则(1)f 、(3)f 、f ()4由小到大依次为___________．7．对a b R ,，记max{}.a ab a b b ab ,,,, 函数()max{|1||2|}f x x x ,的最小值是_________．8．若方程22320xax a 的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______．9．已知奇函数()f x 在(0),上是增函数，且(3)0f ，不等式()0xf x 的解集为_________．10．已知定义在[11],上的函数()f x 为增函数，则不等式11()()21f x f x 的解集为 ． 11．若关于x 的方程223320x xa 在[02],上只有一个根，则实数a 的取值范围是______． 12．讨论关于x 的方程|31|xk （k R ）根的个数．二、例题：1．方程2221xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对2．已知不等式2log 0xm x在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是 ．3．点A (2，1)在圆225x y 上，将点A 绕原点O 顺时针旋转到点B ，求B 的坐标．4．当[1)x ,时，不等式222x ax a 恒成立，求a 的取值范围．5．设关于θsin 0θθa 在区间(02)π,内有相异的两个实根α，β，求实数a 的取值范围，并求α+β的值．三、练习：1．方程sin lg x x 的根的个数有 ．2．设方程 22xx的实根为a ，2log 2xx的实根为b ，则ab．3．方程2||10xx a 有四个根，则a 的取值范围是 ．4．设a b c ,,均为正数，且122log aa ，121()log 2b b ，21()log 2c c ，则A ．ab c B ．c b a C ．c a b D ．b a c5．设函数2log (1)2()1()1 2.2xx xf x x ,,,若0()1f x ，则0x 的取值范围是 A ．(0)(2),, B ．(02), C ．(1)(3),, D ．(13), 6．若log a 2<log b 2<0，则a ，b 的取值范围是A ． 0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 7．已知0x 是函数1()21xf x x的一个零点，若10(1)x x ,，20()x x ,，则A ．12()0()0f x f x ,B ．12()0()0f x f x ,C ．12()0()0f x f x , D ．12()0()0f x f x ,8．已知01a ，则方程|||log |x a a x 的根的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个 9．方程1sin()44πxx 的实数解的个数是( ) A ． 2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对 10．函数||y a x 与y x a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A ．(1)，B ．(11)，C ．(1][1)，，D ．(1)(1)，，11．若(12)x ，时，不等式2(1)log a x x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ． [1，2]12．定义在R 上的函数()y f x 在(2)，上为增函数，且(2)y f x 是偶函数，则（ ）A ．(1)(3)f fB ．(0)(3)f f C ．(1)(3)f f D ．(2)(3)f f13．已知51260xy 的最小值是A ． 6013B ．135C ．1312D ．1 14．已知()22ππx ,，则sin x ，tan x 与x 的关系是 A ．tan sin xx x B ．tan sin x x x C ．|tan ||||sin |x x x D ．不确定15．已知函数2()11([01])f x x x ,，对于满足121x x 的任意12x x ,，给出下列结论：①1212()[()()]0x x f x f x -；②2121()()()f x f x x x -；③2121()()()22f x f x x x f ．其中正确的结论的序号是A ．①B ．②C ．③D ．①③ 16．若关于x 的方程24||5x x m 有四个互不相等的实根，则实数m 的取值范围是 ． 17．函数2222613y x x x x 的最小值为___________．18．若直线yx m 与曲线21yx 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．19．若不等式|1||1|m x x 的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________． 20．对a bR ,，记min{}.b a b a b a ab ,,,, 函数1()min{|1|2}2f x x x ,的最大值是_________． 21．求函数sin 2cos 2x y x 的值域．22．关于x 的方程2230x kx k 的两根都在1和3之间，求k 的取值范围．23．已知向量(34)OA ,，(63)OB ,，(53)OC m m ,． （1）若点A B C ,,能够成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值．。
数形结合思想
——数形结合思想
1.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与 形的相互转化来解决数学问题的思想. 数形结合思想的应用包括以下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化， 能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2)“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程 f(x)＝lg x 解的个数是 A.5 B.7 C.9 D.10
4 练习 3.1 设有函数 f(x)＝a＋ －x －4x和 g(x)＝ x＋1，已知 3
2
x∈[－4,0]时恒有 f(x)≤g(x)，求实数 a 的取值范围.
解 f(x)≤g(x)，
4 即 a＋ －x －4x≤ x＋1， 3 4 2 变形得 －x －4x≤3x＋1－a，
题型二
例2
数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题
已知点 P(x，y)的坐标 x，y
x－2y＋1≥0， 满足 |x|－y－1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是 A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16]
(
)
练习 2.1 已知函数 f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R 且 a>0)有两个零 b 点，其中一个零点在区间 (1,2) 内，则 的取值范围为 a＋1 ( ) B.(－∞，1] D.(－2,1) A.(－∞，1) C.(－2,1]
练习 2.2 求函数 y
x 2 1 x 2 6x 18 的最小值
y x 2 1 x 2 6x 18
( x 0) (0 1) ( x 3) (0 3)
浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
数形结合的思想方法(2)---高考题选讲
数形结合的思想方法(2)---高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由…形‟到…数‟的转化为主.”1. 注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查【例1】图1有面积关系则由图2有体积关系：_______.解：【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则.【例2】如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P 是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）.解：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ.【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.【例３】某城市各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l1表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）.Ａ. 与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上Ｂ. 与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上Ｃ. 与市中心距离为５km的区域外Ｄ. 与市中心距离为5km的区域内解：由函数y的实际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为１km和４km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选B.【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查【例４】设奇函数f（x）定义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）<0的解集是____.解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）<0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（-2，0）∪（2，5］.【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.【例５】设集合Ｕ＝｛（x，y）x∈R，y∈R｝，Ａ＝｛（x，y）２x－y+m>0｝，Ｂ＝｛（x，y）x＋y-n≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（B）的充要条件是（）.Ａ. m>-1，n<5Ｂ. m<-1，n<5Ｃ. m<-1，n>5Ｄ. m>-1，n>5解：先假定点Ｐ（２，３）在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0和x+y-5>0所共同确定的区域，平移两直线得到答案Ａ.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查【例６】已知点Ｐ是椭圆上的动点，Ｆ1，Ｆ２分别是左、右焦点，Ｏ为原点，则的取值范围是（）.解：此题的一种解法是：在△ＰＦ1Ｆ２中，根据中线定理得：PF1２+PF2２＝2ＯP２+2F1Ｏ２，再由椭圆定义，得到（PF1-PF２）２＝ＯP２－１６，由2≤ＯP≤2得答案Ｄ.另一种解法是数形结合，根据Ｐ点所处的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动Ｐ点到长轴端点，ＯP值逐渐增大，逐渐接近，当移动Ｐ点到短轴端点时PF1＝PF２，取最小值0.从而判断出答案为Ｄ.【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性.4. 注重方法的通用性、应用性，突出能力考查【例7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了A，B两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MN∥CD）.（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？解：由M（60，98），C（500，168），N（500，230）.∵MN∥CD.设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为f A（x），f B（x），（1）通话两小时的费用分别是116元和168元.（2）由f B（n+1）-f B（n）=0.3（n>500）或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.（3）由图知：当0≤x≤60时f A（x）<f B（x）；当x>500时f A（x）>f B（x）；当60<x≤500时，令f A（x）>f B（x ）得x>，即通话时间为（，+∞）时方案B 较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例8】. 若方程lg(－x 2＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。
初中数学思想方法篇——数形结合
解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。
在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。
数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。
【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩p的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩f无解，则a的取值范围是。
3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212 x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。
已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。
给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。
则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。
小学数学数形结合的思想方法浅谈
1.以形助数的思想方法
“以形助数”就是借助题目中已经给出的图形或者是自己画图，借助图形找出图中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。在教学中学生都是从直观、形象的图形入门学习数学的。从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子，贝壳记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。和我们学习数学的过程有着很大的相似之处。都是从具体的物体逐步向抽象逻辑思维过渡。如讲解《长方体的认识》，利用多媒体课件动态演示“点动成线，线动成面，面动成体”让学生通过演示直观的体会到几何基本要素之间的联系，并感受到它们的产生过程，在知识的传授中，教师有效地利用了长方体的图形，从体由面组成，面面相交形成线，线线相交形成点，借助图形让学生形成逻辑思维，让学生在不知不觉中构建几何知识体系。
小学数学数形结合的思想方法浅谈
数形结合是小学数学中最常用的一种数学思想方法。数形结合思想的实质就是通过数与形之间的相互转化，相互渗透，把复杂难懂的的数量关系，通过图形展示的方法，降低解题难度，通过图形的结构发现数量之间存在的联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。
三、数形结合思想意义和作用
在小学数学中，形在教学中体现主要在两方面，一方面是画或课件辅助，另一方面是生活中的实物，例如小棒，小方块等，借助于这些实物，帮助学生化抽象为形象，理解抽象的概念，解题方法等。运用数形结合的思想，通过“形”把题目中的数量关系形象、简单、直观的表示出来。例如可以通过画线段图、点子图、长方体、圆柱体、数轴等，帮助学生理解抽象或难懂的数量关系，使问题简明直观，更好的解决。
一、数学教材中蕴涵的主要数学思想方法
数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。数学方法：
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1．构造途径 (1)利用“两点间的距离
例1求函数f 的最小值．
x
x 4 x 13
2
x 12 x 37
2
解析：将函数式变形，得 f
x
x 4 x 13
2 2 2
x 12 x 37
2
x 2 0 3
x 6 0 1 ，
由于
b 2
a 1
表示连结点(a，b)和点D(1,2)的斜 率，
k
AD
由图易知，
因k
AD
1 4
b2 a 1
b2 a 1
k
CD
1 4
,k
CD
1, 故
1.
点评：对于方程根的分布问题，常利用数形结合法， 从对称轴的方程、最值、开口方向、特殊点的函数值 等方面进行考虑；对于求比例形式的问题，常常可联 想直线的斜率利用数形结合的方法进行求解．
试 求 x y 2 y z 3 x z的 值 ．
分析 原题中只须求出xy+2yz+3xz的整体值，无须 求出x,y,z的单个值，可联想利用余弦定理构造三 角形，利用三角形的面积及余弦定理直接求值.
解析：将
1 3
y 视作为(
2
1 3
y) ， 依 余 弦 定 理 可 将 原 方 程 组
2
1 1 2 2 2 x 2 x y c o s1 5 0 y 5 3 3 1 2 2 2 变 形 为 y z 3 3 2 2 2 x 2 x z c o s1 2 0 z 4 三个式子可分别联想到三个三角形．
k ， k Z )， 求 证 ： c o s
2
2
c
2
2 2
a b
.
证明：在平面直角坐标系中，点 A(cos ，sin )与点B(cos ，sin )是直 线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个 交点，如图
从 而 ， AB
2
( c o s c o s ) (s in s in )
x 的 最 小 值 为 4
2.
点评：本题如果直接对原式进行变形，是有一定运 算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点 距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用 数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题．
(2)利用“直线的斜率” 例2 实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内， 另一个根在(1,2)内，求
数形结合是一种重要的数学思想方法，它包含 “以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可 以分为两种情形：一是借助形的直观性来阐明数之间的 联系，即以形为手段，数为目的，如应用函数的图象来 直观说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三 点：一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线 的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何 意义又分析其代数意义；二是恰当设参、合理用参，建 立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；三是正 确确定参数的取值范围．
b 2 a 1
的取值范围．
解析： 由根的分布，可写出a、b所满足的条件，并
作出示意图；另外，由
b 2 a 1
的形式，可联想斜率
公式，利用解析几何的办法加以求解
解析：因方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个 根在(1,2)内，故函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴的交点的 横坐标分别在区间(0,1)及(1,2)内，于是
(3)利用“点到直线的距离”
例3 求函数 y x 21- x
2
的最小值
y 2 | x 2 2 1 x
2
解析：将函数表达式变形得
y 2
|
的几何意义表示半圆
x2+y2=1（0≤y≤1）上的点P到直线x － y+2=0的距离． y 从而由图易得 2 的最小值为 2 －1 从而所求函数的最小值为 2－ 2
奇函数若在原点处有定义，则奇函数的图象一 定过原点．当我们作出了满足全部条件的函数F(x)的 图象后，不等式F(x)＜0的解集已经跃然图上了．这 就是图形的直观作用！借助于图形，省却了繁琐的 推理与计算，取而代之的是一幅赏心悦目的优美图 案与简洁明快的解答！
(5)利用“单位圆”
例 5 已 知 a c o s b s in c， a c o s b s in c ( a b 0 ，
2 2
设 A 2 , 3 ， B 6 ,1 ， P x , 0 ， 则 上 述 问 题 转 化 为 求 P A P B 的 最 小 值 ， 如 图 点 A关 于 x轴 的 对 称 点 为 C ( 2 ， 3 )， 因 为 P A P B P C P B B C 4 所以f 2，
0.
则 不 等 式 f ( x ) g ( x )＜ 0 的 解 集 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
解 析 ： 因 f ( x )、 g ( x ) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 故 函 数 F ( x ) f ( x ) g ( x )是 R 上 的 奇 函 数 ． 由 奇 函 数 的 图 象 特 征 ： 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 知 ， F ( x )在 原 点 两 侧 的 单 调 性 相 同 ． 又 注 意 到 ， F ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 依 据 条 件 知 ， F ( x ) 在 x ＜ 0 时 为 增 函 数 ， 于 是 F ( x ) 在 x＞ 0 时 亦为增函数．
从 1 x 看 出 用 三 角 代 换 ： x=sin
2
(4)利用“函数图象”
例 4 设 f ( x )、 g ( x ) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当 x＜ 0 时 ， f x g
x
f
x g x ＞0 且 g 3
因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0， 从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)． 点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相 同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函 数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特 殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点 即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：
因 S AOB S COA S BOC S ABC， 故 1 2 x 1 3 y s in 1 5 0 1 2 3. x z s in 1 2 0 1 2 1 3 yz 1 2 3 4，
化 简 即 得 xy 2yz 3xz 24
第 一 个 ： 两 边 x， 1
1 3
y ， 夹 角 1 5 0 ；
第二个：两边
y， z， 夹 角
9 0 ；
3 第 三 个 ： 两 边 x， z ， 夹 角 为 1 2 0 .
如 图 构 造 ABC， 使 AB 5， AC 4， BC 3， A O B 1 5 0 ， A O C 1 2 0 ， B O C 9 0 ， 并 设 A O x， B O 1 3 y， C O z， 且 A C B 9 0 .
2
2
2 2 c o s ( )．
又因单位圆的圆心到直线l的距离 d 由平面几何知识知， A O
即1 2 2 c o s 4
2
a
|c |
2
,
2
b
(
1 2
AB) d ，
2 2
d
2
a
c
2
2 2
b
c
2
，
所以
cos
2
2
1 c o s 2
2 2
证 明 ： 待 证 式 的 左 边 可 视 为 点 ( a ， b ) 与 ( x ， y )间 的 距 离 的 平 方 ． 已 知 条 件 说 明 点 ( a ， b ) 在 直 线 l1： x 2 y 4 0 上 ， 点 ( x， y ) 在 直 线 l 2： x 2 y－ 1 0 上 ， 且 l1 / / l 2 .显 然 ， 平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线间的 距离，而两平行线间的距离d 所 以 a - x b - y 5
2，根据数形结合思想，实现了由 三角式向三角形边角关系式的转换，使运算大 为简捷．
例 7 设 正 数 x， y ， z 满 足 方 程 组
1 2 2 2 x xy y 5 3 1 2 2 2 y z 3 ， 3 2 2 x xz z 42
f 0 0 f 1 0 f 2 0
，即
b 0 a 2b 1 0 a b 2 0
点(a，b)所表示的平面区域为如图的△ABC的内 部，其中，A(－3,1)为直线a+2b+1=0与直线a+b+2=0的 交点，B(－2,0)为直线a+b+2=0与直线b=0的交点， C(－1,0)为直线a+2b+1=0与直线b=0的交点．
2 2
于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分 别 为 2 0 、 0 、 2 0 ， 并 设 此 三 角 形 外 接 圆 直 径 为 1 ， 4 1 则 此 三 角 形 三 边 长 分 别 为 s in 2 0 、 s in 4 0 、 s in 1 2 0 ， 由余弦定理可得 s in 2 0 s in 4 0 2 s in 2 0 s in 4 0 c o s 1 2 0 s in 1 2 0