2012年广东外语外贸大学附设外语学校高三数学寒假作业(数学理)2

图2
结 束
7. 如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示， 则该几何体的表面积为( ) ．(不考虑接触点） A. 6+ 3 +
2
1 2
3
C1
2
2
3
2
正视图
侧视图
俯视图
B. 18+ 3 + 4 C. 18+2 3 + D. 32+ 图3
y 0 2 8.已知 ( x, y ) | 直线 y mx 2m 和曲线 y 4 x 有两个不同的交 ， 2 y 4 x 点，它们围成的平面区域为 M ，向区域 上随机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率 2 为 P ( M ) ，若 P ( M ) [ ) ． ,1] ，则实数 m 的取值范围为( 2 3 3 1 A． [ ,1] B． [0, C． [ D． [0,1] ] ,1] 3 3 2






21． （本小题满分１４分）设函数 f x 1 x ln 1 x .
2 2
(1)求函数 f x 的单调区间; (2)当 x 1, e 1 时,不等式 f x m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)关于 x 的方程 f x x x a 在 0,2 上恰有两个相异实根,求 a 的取值范围.
5．解析：当 A=1 时，B=2×1+1=3，当 A=2 时，B=2×3+1=7，当 A=3 时，B=2×7+1=15，当 A=4 时，B=2×15+1=31，当 A=5 时，B=2×31+1=63，当 A=6 时，输出结果 B=63，故选 A。 6．解析：③若 m // ， n / / ，则 m 与 n 可能平行可能异面可能相交； ④若 ，
数学寒假作业（数学理）2
一、选择题： 1．设全集 R，M= x x 1 A． 4

2 , x R ，N= 1,2,3,4，则 CR M N 等于 (
C． 2,3,4 D． 1,2,3,4

) ．
B． 3,4
2. 已知复数 z1 2 i ， z 2 1 i ，则 z z1 z 2 在复平面上对应的点位于( A．第一象限 3．函数 f ( x) ln( x 1) A． (3 , 4) C． (1 , 2) B．第二象限 C．第三象限 ) ． D．第四象限
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． 9.( ax －
1 x
)8 的展开式中 x 的系数为 70 ，则 a 的值为
2
.
10. 已知 | a | 1,| b | 2且(a b)与a 垂直，则 a与b 的夹角是_____________. 11．已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 ,若它的一条准线与抛物线 y 4 x 的准线重合, 则该双曲线的方程是 .
8、本题考查几何概型的运算。由题意得 ( x, y ) |

y 0
所表示的平面区域为X 2 y 4 x
轴上方的一个半圆，其面积为 2 ，由直线 y mx 2m 和曲线 y
4 x 2 有两个不同的 交点，可得直线必过一个特殊点（-2，0） ，此时它们围成的平面区域 M 的面积为 2 ，由 2 点 A 落在区域 M 内的概率 P ( M ) 最小值为 得 m =0 ，由点 A 落在区域 M 内的概率 2 P ( M ) 最大值为1时，可得 m =1，所以实数 m 的取值范围为 [0,1] ，故选D.
二、填空题： 9.【答案】 1 解析： C (ax )
r 8 8 r
( x ) a 1

1 2 r
10． 【答案】 120


解析：∵ ( a b ) b , a . b b . b 0 ，



2 1 cos a . b 1 1 0, cos a . b
1 1 的最小值是 a b
.
图4 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16． ( 本小题满分 12 分）已知： A 、 B 、 C 是 ABC 的内角， a, b, c 分别是其对边长，向量
m

3, cos A 1 ， n sin0.8
(注:毛利润 销售商支付给果园的费用 运费) (Ⅰ) 记汽车走公路 1 时果园获得的毛利润为 (单位:万元),求 的分布列和数学期望 E ； (Ⅱ) 假设你是果园的决策者,你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多?
18． （本小题１４分） 如图 5，在直角梯形 ABCP 中，AP//BC，AP AB， AB=BC= 平面 ABCD, 如图 6 （Ⅰ）求证：AP//平面 EFG； (Ⅱ) 求二面角 G EF D 的大小； （Ⅲ）求三棱椎 D PAB 的体积.
2





x 2 y 5 0 x 1 y 12．已知实数 x , y 满足 ，则目标函数 z= 的最大值为_______. x y 0 x 2 y 3 0
▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分. 13 ． （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 是
A=1，B=1 A=A+1 B=2B+1
6．设 m、n 是两条不同的直线， , , 是三个不同的 平面，给出下列四个命题： ①若 m ， n / / ，则 mn ②若 / / ， / / ， m ，则 m ③若 m / / ， n / / ，则 m / / n ④若 ， ，则 // 其中正确命题的序号是( ) ． A、①和② B、②和③ C、③和④ D、①和④
B G C
1 AP 2 ， 2 D 是 AP 的中点， E， F， G 分别为 PC、 PD、 CB 的中点， 将 PCD 沿 CD 折起， 使得 PD
P B G F E C
E
A
D
F
P
图5
A
图6
D
19 ． （ 本 小 题 满 分 １ ４ 分 ） 已 知 f ( x ) log m x （ m 为 常 数 ， m>0 且 m 1 ） 设

解析：∵ z z1 z 2 = ( 2 i ) (1 i ) = 3 i ，在复平面上对应的点位于第四象限，故选 D。 3 ．函数 f ( x) ln( x 1)
2 x
的零点的定义域为（ -1 ， 0 ） （ 0 ， +∞ ） ，无法排除答案，而
f (1) 0, f (2) 0, 所以函数 f ( x) ln( x 1) x
f (a1 ), f (a 2 ), , f (a n )(n N ) 是首项为 4，公差为 2 的等差数列.
（1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若 bn=an· f ( a n ) ，且数列{bn}的前 n 项和 Sn，当 m
2 时，求 Sn；
20． （本小题满分１４分）已知定点 F 1,0 和定直线 x 1 ， M , N 是定直线 x 1 上的两 个动点且满足 FM FN ,动点 P 满足 MP // OF ， NO // OP （其中 O 为坐标原点）. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点 ①求 OA OB 的值; ②设 AF FB ,当三角形 OAB 的面积 S 2, 5 时,求 的取值范围.
2
1 e


参考答案及评分标准 一、选择题： 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 A 7 C 8 D
１．本题考查集合的概念与运算。解：∵M= x x 1 选 B。 2．本题考查复数的基本运算。

2 , x R ，∴ C R M N = 3,4，
) ．
2 的零点所在的大致区间是( x
B． ( 2,3) D． (0 ,1)
4．在图 1 的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每 一纵列成等比数列，那么 x y z 的值为( ) ． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 开 始 5．若某程序框图如图 2 所示，则该程序运行后输出的 B 等于( ) ． A． 63 B． 31 C． 15 D． 7 A≤5？ 否 输出 B 是 图1
，则 // 或垂直，故选 A。
7．解析：原图形是一个以边长 a =2 的等边三角形为地面的三棱柱，并且上面放着一个以 1 为 直径 的球 体， 则三 棱柱 三个 侧面 面积 之和 为 3× （ 2×3 ） =18 ， 两个 底面 面积 之和 为
3 2 a = 3 ，球体表面积为 4 r 2 ， 故选 C。 4
y sin 1 （ 是参数） ，若以 o 为极点， x 轴的正半轴为极轴，则曲线 C 的极坐标 x cos
方程可写为________________. 14． （不等式选讲选做题） 已知 a,b 为正实数， 且 a 2b 1, 则
15．(几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径 AB 6cm ， P 是 AB 延长线上的一点，过 P 点作⊙O 的切线，切点为 C ， 连接 AC ， 若 CPA 30 ， PC ．
11． 【答案】


1 ，即 a与b 的夹角是 120 . 2
x2 y 2 1 3 6
a2 c 解析： 离心率 e= 3 ， 抛物线的准线方程为 x=1， 即所求双曲线的准线方程为 x 1， a c