1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 已知2(cos ),0,(),x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =处连续,则a = . (2)设y =则0x y =''= .(3)= .(4)2048dxx x +∞=++⎰.(5) 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2,则t = .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设0x →时,tan xx ee -与n x 是同阶无穷小,则n 为 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x '''><>记12(),()()baS f x dx S f b b a ==-⎰,31[()()]()2S f a f b b a =+-,则 ( )(A) 123S S S << (B) 231S S S << (C) 312S S S << (D) 213S S S <<(3) 已知函数()y f x =对一切x 满足2()3[()]1xxf x x f x e -'''+=-,若00()0(0),f x x '=≠则 ( ) (A) 0()f x 是()f x 的极大值 (B) 0()f x 是()f x 的极小值(C) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点(D) 0()f x 不是()f x 的极值,00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 (4) 2sin ()sin ,x t xF x e tdt π+=⎰设则()F x ( )(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数(5) 设22,0,0(),(),[()]2,0,x x x x g x f x g f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩则为 ( )(A) 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ (B) 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩(C) 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ (D) 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)求极限limx (2) 设()y y x =由2arctan 25tx t y ty e =⎧⎨-+=⎩所确定,求dydx . (3) 计算22(tan 1)x e x dx +⎰.(4) 求微分方程222(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=的通解.(5) 已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.(6) 已知111011001A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,且2A AB E -=,其中E 是三阶单位矩阵,求矩阵B .四、(本题满分8分.)λ取何值时,方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.五、(本题满分8分)设曲线L 的极坐标方程为()r r θ=,(,)M r θ为L 上任一点,0(2,0)M 为L 上一定点,若极径0OM OM 、与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的一半,求曲线L 的方程.六、(本题满分8分)设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足()()xf x f x '=+232a x (a 为常数),又曲线()y f x =与1,0x y ==所围成的图形S 的面积值为2,求函数()y f x =,并问a 为何值时,图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七、(本题满分8分.)已知函数()f x 连续,且0()lim2x f x x→=,设10()()x f xt dt ϕ=⎰,求()x ϕ',并讨论()x ϕ'的连续性.八、(本题满分8分)就k 的不同取值情况,确定方程sin 2x x k π-=在开区间(0,)2π内根的个数,并证明你的结论.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】12e-【解析】由于()f x 在0x =处连续,故22ln ()ln(cos )lncos 0(0)lim ()lim lim lim xf x x xxx x x x f f x eee --→→→→====001(sin )ln cos ln cos cos lim lim 20lim x x x xx x x x xx eee→→-→===洛必达sin 1lim 2cos 2x xx xee →--==【相关知识点】1.函数()y f x =在点0x 连续：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.2.如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.(2)【答案】32-【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：21ln(1)ln(1)2y x x ⎡⎤=--+⎣⎦, 221121()2112(1)1x x y x x x x -'=-=---+-+, 2222112(1)(1)x y x x -''=---+,032x y =''=-. 【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅或dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】2arcsin2x C -+或2arcsin 2C + 【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下： 方法1：原式2()2arcsin 2x d x C --==+=.方法2：原式2==22arcsin 2dC ==+. (4)【答案】8π 【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：原式20022()1224(2)21()2x d dx x x +∞+∞+==++++⎰⎰ 0121arctan ()222248x πππ+∞+==-=. (5)【答案】3【解析】方法1：利用初等变换.以123,,ααα为行构成34⨯矩阵,对其作初等变换：[][]()[][]()12122332112111211200042204520452121104220030A t t t ,t +⨯-+⨯---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==→-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥→-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ααα因为()1232r A r ,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ααα所以303t ,t -==. 方法2：利用秩的定义.由于()1232r r A ,ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则矩阵A 中任一三阶子行列式应等于零. 12312112000452t ααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦,应有121121121204204200450453t t t t---=-+=-+=---, 解得3t =.方法3：利用线性相关性.因为()()1232r ,,r A ,ααα==故123,,ααα线性相关,⇔以123T T T,,ααα组成的线性齐次方程组1122330T T T x x x BX ααα++==有非零解,因[][]()[][][][]()[][][]()[][]()1231221243132241142212020415102120120044011025003022000T T T t B ,,t ,t t ⎛⎫⨯- ⎪+⨯-⎝⎭++⨯--+⨯-+⨯-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ααα故0BX =有非零解⇔3t =.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(C)【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：tan tan 00222311200001lim lim tan sec 1tan 1lim lim lim lim ,33x x x xx n nx x n n n n x x x x e e e e x x x x x x x nx nx x -→→=--→→→→--=⋅--=====洛必达 tan x x e e -与3x 同阶,故应选(C).(2)【答案】(D)【解析】方法1：用几何意义.由()0,()0,()0f x f x f x '''><>可知,曲线()y f x =是上半平面的一段下降的凹弧,()y f x =的图形大致如右图1()baS f x dx =⎰是曲边梯形ABCD 的面积；2()()S f b b a =-是矩形ABCE 的面积；31[()()]()2S f a f b b a =+-是梯形ABCD 的面积.由图可见213S S S <<,应选(D).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的()f x 都成立的结果,故可以取满足条件的特定的()f x 来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]f x x x=∈,则 2123213211115,,248S dx S S S S S x ====⇒<<⎰.【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点ξ,使()()(),baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ成立,再由()0,f x '<所以()f x 是单调递减的,故()(),f f b ξ>从而12()()()()()baS f x dx f b a f b b a S ==->-=⎰ξ.为证31S S >,令1()[()()]()(),2x a x f x f a x a f t dt ϕ=+--⎰则()0,a ϕ=11()()()(()())()2211()()(()())2211()()()()()()221(()())(),2x f x x a f x f a f x f x x a f x f a f x x a f x a a x f x f x a ''=-++-'=---''=---<<''=--ϕηηη拉格朗日中值定理 由于()0f x ''>,所以()f x '是单调递增的,故()()f x f ''>η,()0x '>ϕ,即()x ϕ在[,]a b 上单调递增的.由于()0,a ϕ=所以()0,[,]x x a b >∈ϕ,从而1()[()()]()()02bab f b f a b a f t dt =+-->⎰ϕ,即31S S >.因此,213S S S <<,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续,则在(,)a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()ba f x dx fb a a b =-<<⎰ξξ.这个公式叫做积分中值公式.2. 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立. (3)【答案】(B)【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：由0()0f x '=知0x x =为()f x 的驻点.把0x x =代入恒等式000()1x x f x e-''=-,即001()x e f x x --''=.由于分子、分母同号,故0()0f x ''>,因此驻点0x x =为极小值点.应选(B).(4)【答案】(A) 【解析】由于函数sin sin tet 是以2π为周期的函数,所以,22sin sin 0()sin sin x tt xF x etdt e tdt +==⎰⎰ππ,()F x 的值与x 无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计2sin 0sin t e tdt ⎰π的值有多种方法.方法1：划分sin sin te t 取值正、负的区间.22sin sin sin 0sin sin 0sin sin 0()sin sin sin sin (sin )()sin t t t t u t t F x e tdt e tdt e tdte tdt e u due e tdt--==+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππππ当0t π<<时,sin 0t >,sin sin 0,t t e e -->所以()0F x >.选(A). 方法2：用分部积分法.22sin sin 022sin sin 00220sin 2sin 20()sin cos cos cos (11)cos cos 0.tt t tt t F x etdt e d te ttde e e t dt e t dt ==-=-+=--+=>⎰⎰⎰⎰⎰ππππππ故应选(A).【评注】本题的方法1十分有代表性.被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (5)【答案】(D)【解析】题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域.当0x <时,2()0f x x =>,则2[()]()22g f x f x x =+=+； 当0x ≥时,()0f x x =-≤,则[()]2()2()2g f x f x x x =-=--=+.故22,0[()]2,0x x g f x x x ⎧+<=⎨+≥⎩,因此应选(D).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)【分析】这是∞∞型的极限,可以设法约去分子、分母中极限为∞的因子,从而转化为确定型的极限.在计算过程中应注意x 趋于负无穷.x =-(0)x <,则原式1lim11x ===.(2)【解析】题目考察参数方程所确定的函数的微分法.t x t y y x ''=',211t x t '=+, t y '可由第二个方程两边对t 求导得到：2220t t t y tyy y e ''--+=,解得22(1)t t y e y ty -'=-.由此,有22(1)()2(1)t x t y e y ty +-'=-. (3)【解析】题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难度不大,具体计算如下：原式22222(sec 2tan )sec 2tan x x xe x x dx e xdx e xdx =+=+⎰⎰⎰222tan tan tan x x x e d x xde e x C =+=+⎰⎰分部.(4)【解析】题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法计算如下：方法1：所给方程是齐次方程.令y xu =,则dy xdu udx =+,代入原方程得23(1)(12)0u u dx x u du +-+-=,分离变量得21231u du dx u u x-=-+-, 积分得 22(1)131d u u dx u u x+-=-+-⎰⎰, 即 231u u Cx -+-=. 以y u x =代入得通解22C x xy y x+-=. 方法2：用凑全微分的方法求解.由于222(32)(2)x xy y dx x xy dy +-+- 222223(())(())x dx yd x x dy y dx xd y =++-+ 322()()()d x d x y d xy =+- 322()d x x y xy =+-,故通解为： 322x x y xy C +-=.(5)【解析】13x y y e --=与212x x y y e e --=-都是相应齐次方程的解,1312()()y y y y -+-2x e =也是相应齐次方程的解,x e -与2x e 是两个线性无关的相应齐次方程的解；而2x x y e xe --=是非齐次方程的解.下面求该微分方程：方法1：由xe -,2xe 是齐次解,知121,2r r =-=是特征方程的两个根,特征方程为 (1)(2)0r r +-=,即220r r --=,相应的齐次微分方程为：20y y y '''--=.设所求非齐次方程为：2()y y y f x '''--=,把非齐次解xxe 代入,便得()()()2()(12)x x x x f x xe xe xe x e '''=--=-.所求方程为：2(12)x y y y x e '''--=-.方法2：由于通解为：212x x x y c e c e xe -=++,求出2122(1)x x x y c e c e x e -'=-+++,2124(2)x x x y c e c e x e -''=+++,并消去1c ,2c ,便得微分方程2(12)x y y y x e '''--=-.(6)【答案】021000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由题设条件2A AB E -=,把A 提出来得()A A B E -=,因为11101110001A -==-≠-,由此知道A 是满秩的,所以A 可逆,两边左乘 1A -,从而有1A B A --=,1B A A -=-.(或2A AB E -=,2AB A E,=-A 可逆,两边左乘 1A -,得()121B A A E A A --=-=-).用矩阵的初等变换求1A -.[][][]()[][][][]()[]()13123121311111100110101011010010011001001001001100112010011001001A E E A +⨯-++⨯-⨯----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥⎡⎤→=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦得 1112011001A ---⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 从而得 1111112021011011000001001000B A A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.四、(本题满分8分.)【解析】方法1：对原方程组的增广矩阵作初等行变换：[][][][][]()[][]213153252112111122103455165506211210354009A b ++⨯-+⨯--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥→+-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦λλλλλλλλλλ 当45λ≠-且1λ≠时,()[]3r A r A b ==,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解.当45λ=-时,()[]23r A r A b =≠=,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解.当1λ=时,原方程组的同解方程组为123121x x x x +-=⎧⎨=⎩ １, 原方程组有无穷多解,其通解为12311x ,x k,x k.=⎧⎪=-+⎨⎪=⎩(k 为任意常数).(或[][][]123110011TTTx ,x ,x ,,k ,,=-+(k 为任意常数)) 方法2：原方程组系数矩阵的行列式()()2121111015445545A λλλλλλλ--=-=-=-+-,故知：当45λ≠-且1λ≠时,()[]3r A r A b ==,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解.当45λ=-时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 [][][][][]152532421151045510455411245510455105455100094551A b ⨯⨯+⎡⎤--⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦()[]r A r A b ,≠即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解.当1λ=时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得[][][][]()[][]()[][][]12323212123143211111121112111203330111455109990000↔+⨯+⨯-⨯+⨯----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦()[]23r A r A b ==<,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,故原方程组有无穷多解,其通解为12311x,x k,x k.=⎧⎪=-+⎨⎪==⎩(k 为任意常数).(或[][][]123110011TTTx ,x ,x ,,k ,,=-+(k 为任意常数))五、(本题满分8分)【解析】由已知条件得2001122r d θθθθ=⋅⎰⎰.两边对θ求导,得2r =隐式微分方程), 解出r ',得 r '=±分离变量,得d θ=±.由于1()1arccos d r =-=, 或sec 1arccos r tdt t r====⎰,两边积分,得 1arccos c rθ=±+. 代入初始条件(0)2r =,得1arccos 23c π==,1arccos 3r πθ⇒=±.即L 的极坐标方程为113cos()cos sin 32r πθθθ=±≡, 从而,L 的直角坐标方程为32x y =.六、(本题满分8分)【解析】由23()()2a xf x f x x '=+,有 2()()32xf x f x a x '-=,即()3()2f x ax '=,从而得 ()32f x a x C x =+,即23()2a f x x Cx =+. 又由题设知,面积113()()2222a a CS f x dx Cx dx ==+=+=⎰⎰, 得4C a =-,从而23()(4)2a f x x a x =+-. 旋转体体积 21122200316()[(4)]()23033a a a V a y dx x a x dx πππ==+-=++⎰⎰. 由1()()0153a V a π'=+=,解得惟一驻点5a =-；又由()015V a π''=>,5a =-是极小值点也是最小值点.(易验证,此时215()92f x x x =-+在(0,1]恒正.)七、(本题满分8分.)【分析】通过变换将()x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据0()limx f x A x→=,知 (0)0f =,从而10(0)0f dt ϕ==⎰（）,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续性的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性. 【解析】由题设0()limx f x A x→=知,(0)0,(0),f f A '==且有(0)0ϕ=.又 1()()()(0),xf u du x f xt dt u xtx x ϕ==≠⎰⎰从而 02()()()(0)xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰.由导数定义,有20()()(0)limlim22xx x f u du f x Ax x ϕ→→'===⎰. 由于 02200()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x ϕ→→→→-'==-⎰⎰ (0)22A AA ϕ'=-==, 从而知()x ϕ'在0x =处连续.八、(本题满分8分) 【解析】设()sin 2f x x x π=-,研究()f x 在(0,)2π内的极值情况,从而判定它与水平线y k =的交点个数.由()1cos 02f x x π'=-=解得()f x 在(0,)2π内的唯一驻点02arccosx π=；由cos x 在(0,)2π单调减,()f x '在点0x 由负变正,0x 是()f x 的极小点也是最小点.最小值0000()sin 2f x x x y π=-；由此,最大值(0)()02f f π==(显然00y <).当0k ≥或0k y <时,()y f x =与y k =没有交点；当0k y =时,两者有唯一交点；当00y k <<时,两者有两个交点.评注：也可以设()sin 2g x x x k π=--,研究它的零点个数.。