二次根式考点六
第16章《 二次根式》核心考点【学生版】
第16章《二次根式》核心专题一点通一、知识篇(一) 二次根式的概念与性质1.下列二次根式中，能与3合并的是（ ） A . 23 B . 12 C . 18 D . 322.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A . 21 B . 8 C . 30 D . 123.使2+x 有意义，x 的取值范围是___________.4.已知y ＝244x x -+-－2，则x －y 的值是__________. 5.已知5＋1的整数部分为a ，小数部分为b ，则2a ＋3b 的值为________.6. 实数a 、b 在数轴上的对应位置如图，则2)1(-b －2)1(-a ＝（ ）A . b －aB . 2a －bC . a －bD . 2＋a －b7.已知2＜a ＜3，化简：122+-a a ＋2)4(-a .(二) 二次根式的乘除8.计算：35×1259×3＝________. 9.计算：23÷181＝_________. 10.已知直角三角形两直角边分别是214cm 和421cm ，则它的面积是_________.11.计算：27×50÷621＝_________. 12.已知a ＜b ，化简b a 3-的结果是___________.(三) 二次根式的加减13. 计算：212－631＋348.14. 计算：(12＋20)－(3－5).15.化简：(1) x x 1832＋812x x －x x 22； (2) (391x x －3231y y )＋(x x 412－325y y ).16. 先化简，再求值：(x x 932＋32y x y )－(x x 12－5x xy ). 其中x ＝3，y ＝31.(四) 二次根式的混合运算17. 计算：(1)3(2－3)＋27＋│6－3│； (2) (6x4x －2x x 1)÷3x .(五) 实际应用18. 长方形的一组邻边长分别为 4π2a 和6πa a 2，它与一个半径为8a 的圆的周长相同. (1)求a 的值； (2)求出此时长方形的周长.(六) 二次根式与规律19. 观察下列各式：2221111++＝1＋211⨯＝1＋(1－21)， 2231211++＝1＋321⨯＝1＋(21－31)， 2241311++＝1＋431⨯＝1＋(31－41)， ……， 请利用你发现的规律，计算：2221111++＋2231211++＋2241311++＋…＋2220241202311++＝_____________.二、技能篇(一) 整体思想20. 已知a －b ＝23－1，a ＋b ＝23＋1，求a 2－b 2的值.21.已知a ＝3－22，b ＝3＋22，求a 2b ＋ab 2的值.22. 已知x ＝215-，y ＝215+，求x 2－xy ＋y 2的值，23.已知x ＝3－1，求x 2＋2x －5的值.24.已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求b a a b +＋2ab 的值.(二) 活用公式25. 化简：(a b ＋b a )2－(a b －b a )2.26. 已知x ＝2－3，求x 2＋(2＋3)x ＋43的值.27. 计算：(1) (3＋2)2023(3－2)2024；(2) (7＋43)5(2－3)10； (3) (3＋2－1)(3－2＋1).(三) 运用配方28. 已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足a 2－12a ＋36＋8-b ＝0，求这个三角形的最大边c 的取值范围.(四) 运用分式的性质29. (1)已知m ＝3＋1，n ＝3－1. ①求m n ＋n m 的值； ②求m n ＋nm 的值.(2)先化简，再求值：22222y x y xy x -+-÷(x 1－y 1)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.三、综合篇30. 运用整体思想求值(1)已知a ＝3＋22，b ＝3－22，则a 2＋b 2＋ab ＝__________；(2)已知x ＝3－2，y ＝3＋2，求x 2－xy ＋y 2的值.31. (分母有理化)观察下列各个二次根式的变形过程：121+＝)12)(12(12-+-＝22)1()2(12--＝12-；231+＝)23)(23(23-+-＝22)2()3(23--＝23-； 341+＝)34)(34(34-+-＝22)3()4(34--＝34-； 请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出11-+n n 的结果是____________； (2)根据你发现的规律，请计算：()20231202320221431321211+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++.32. 利用因式分解求值：已知a ＞0，b ＞0，且a (a ＋4b )＝3b (a ＋2b ).(1)求b a 的值； (2)求ab a ab a 326-+的值。
2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式
2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。
《二次根式》考点小结
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考点 三
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最 简 二 次 根式 的 识 别
点 评 ：本 题 应把 两 个 根 式 化 成 同类 二 次 根
语投外学习 ( 九
年 级
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式后 再进行运 算 V
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2009
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初中数学中的二次根式的易错点和考试重点，你都知道吗？
初中数学中的⼆次根式的易错点和考试重点，你都知道吗？
说到数学的⼆次根式的，很多⼩伙伴都表⽰累觉不爱，今天晓⽼师和凯哥就和⼤家梳理下相关
知识，赶紧收藏吧！
在学习⼆次根式中，有三⼤易错点：
1、求⼆次根式中字母的取值范围，忽略了分母不为0的情况；
2、忽视隐含的条件；
3、错误运⽤了结合律.
⽽接下来这⼆⼤知识点主要为⾼频考点中考频率五星
▼
知识点1：⼆次根式的化简
最简⼆次根式：在根号内不含分母，不含开的尽⽅的因数或因式叫做最简⼆次根式.
凯哥点评：判断最简⼆次根式的过程中要注意：
（1）在⼆次根式的被开⽅数中，只要含有分数或⼩数，就不是最简⼆次根式；
（2）在⼆次根式的被开⽅数中的每⼀个因式（或因数），如果幂的指数⼤于或等于2，也不是最简⼆次根式．
知识点2 ⼆次根式的混合运算
1、⼆次根式的混合运算包括⼆次根式的加、减、乘、除、乘⽅、开⽅运算.
2、⼆次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和⽆理数的混合运算.
因此：
（1）运算顺序与有理数的混合运算；
（2）运算律仍然适⽤；
（3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利⽤乘法公式与因式分解的⽅法来简化⼆次根式的有关运算；
（4）对于分母含有⼆次根式的代数式，要掌握有理化的⽅法，化分母为整式。
凯哥点评：本题要注意运算顺序．分母有理化是根据平⽅差公式使分母不含⼆次根式．。
第十六章 二次根式考点整合及2022中考真题精炼(解析版)
第十六章二次根式考点整合及2022中考真题精炼（解析版）第一部分考点整合提升考点一二次根式有意义的条件1x的取值范围是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．解：由题意知6﹣4x≥0，解得x≤3 2．故答案为：x≤3 2．总结提升：本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．2．无论x m的取值范围为（ ）A．m≥9B．m＞36C．m≤9D．m≤6思路引领：将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．∵无论x∴m﹣9≥0，∴m≥9．故选：A．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．考点二二次根式的化简3．若a＜0，化简其结果是（ ）A．0B．2a C．﹣2a D．2a或﹣2a思路引领：根据二次根式的性质得出|a﹣（﹣a）|，绝对值的意义去绝对值符号即可求出答案．解：∵a＜0，∴原式＝|a﹣（﹣a）|＝|2a|＝﹣2a，故选：C．总结提升：本题主要考查对绝对值，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解此题的关键．4解=+=0．位同学的解答正确吗？若不正确，请指出错误原因，并加以改正．思路引领：根据题目中的步骤即可发现问题所在，分类讨论x 与y 的大小，然后根据分母有理化即可解答本题．解：该同学解答不正确，错误原因是不知道x 与y 哪个大，从而x ﹣y 是正值还是负值不清楚，故解答错误，并且第一步的式子就抄错了，改正：当x ＝y 时，x−y−当x ＞y 时，x−y−==当x ＜y 时，x−y−=+=总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．我们已经学过完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22，32，72，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求3﹣解：3﹣=212=)2，∴3﹣1．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1（2（3+++思路引领：（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；（2）结合（118分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．解：（1+1；（2）=4（3）原式=++=+==1+22+=1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．6．观察下列等式：①1==；③1…请你利用规律化简：（1（2）1．思路引领：仿照给出二次根式的化简方法，化简即可：（1）分子分母同乘（2解：（1）1＝（2总结提升：此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．考点三二次根式的运算7．下列计算中，正确的是（ ）A．=21B．3+C÷3D×思路引领：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．解：A．原式＝A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=D选项符合题意．故选：D．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．8．计算（1）（2）（3）（4−2−)0．思路引领：（1）直接化简二次根式进而求出答案；（2）直接化简二次根式进而利用除法运算法则求出答案；（3）直接利用平方差公式计算，进而化简二次根式求出答案；（4）直接化简二次根式进而求出答案．解：（1）＝+4×＝（2）＝（+÷=43（3）＝5﹣12+2+＝﹣5+（4)0＝1=+1．总结提升：此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．9．计算：（1）（2)0（3）−2)2−312；（4（5）++．思路引领：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法，平方差公式和零指数幂运算即可；（3）利用完全平方公式和有理数减法法则运算即可；（4）把二次根式化为最简二次根式运算即可；（5）先去绝对值符号，然后再合并即可．解：（1）原式＝（2）原式=5−4+1+1＝1（3）原式＝（5﹣4+45）﹣312＝145−312＝﹣1710；（4）原式＝（5）原式=1+＝1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和零指数幂是解题关键．考点四 二次根式的条件求值101的整数部分为a ，小数部分为b a ）（b +1）的值．思路引领：由于34，则可得到a＝2，b=1﹣2=32）1﹣3），然后利用平方差公式进行计算即可．解：根据题意得a＝2，b=1﹣2=3，+2）+1﹣32﹣22＝11﹣4＝7．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算．11．已知a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，求a、b的值．分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零”，当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．例如，讲方程a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，从而求得a＝3，b＝4．再如，将方程a+b+1＝0化为a﹣+1+（b﹣1）1＝0，1）2+1）2＝0，从而求得a＝1，b＝2．使用类似的方法解决下面的问题：（1）已知a+b＝a＞0，b＞0）（2）已知a+b+c＝+14．求a、b、c的值．思路引领：（1）首先把a+b＝a﹣b）2＝0，得出a＝b，进一步代换求得数值即可；（2）先移项，再利用配方法得到a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0即有1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0解得a＝0，b＝3，c＝11．解：（1）∵a+b＝∴a2+2ab+b2＝4ab，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，==1 2；（2）∵a+b+c＝++14，∴a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0，1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0，∴a +1＝1，b +1＝4，c ﹣2＝9，∴a ＝0，b ＝3，c ＝11．总结提升：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．12．已知：m思路引领：先估算得到m =2，则1m ==2，即1m ＞m ，利用完全平方公式得到原式=|m −1m |，去绝对值得原式＝﹣m +1m ，然后把m 和1m 的值代入计算即可．解：∵m∴m =2，原式=|m −1m |∵m =2，∴1m 1+2，即1m ＞m ，∴原式＝﹣（m −1m）＝﹣m +1m2）+2＝4．总结提升：=|a |．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．13．已知a ＝2+b ＝2，求b a−a b 的值．思路引领：先计算出a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，再把所求代数式变形为(b a)(b−a)ab，然后代值计算即可．解：∵a ＝2b ＝2∴a +b ＝4，b ﹣a ＝﹣ab ＝4﹣3＝1，∴原式=b 2−a 2ab =(b a)(b−a)ab =−总结提升：本题二次根式的化简求值，通过先计算a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便．考点五 二次根式的规律探索14．观察下列各式1+11−12=32；1+12−13=76；1+13−14=1312．（1 ；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式，并验证；（3思路引领：（1）根据题意给出的规律即可求出答案；（2）由题意的规律即可用n 表示该等式；（3）根据（2）中的结论即可求出答案．解：（11+14−15=2120；故答案为：2120；（2=n(n 1)1n(n 1)．验证：等式左边==n(n 1)1n(n 1)=等式右边．（3=5756．总结提升：本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．2022中考真题精炼一．选择题（共6小题）1．（2022•x 应满足的条件为（ ）A ．x ≠﹣1B ．x ＞﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x +1＞0，解得：x ＞﹣1．故选：B ．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．2．（2022•广州）下列运算正确的是（ ）A =2B ．a 1a −1a=a （a ≠0）C D ．a 2•a 3＝a 5思路引领：直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．解：A −2，故此选项不合题意；B ．a 1a −1a=1，故此选项不合题意；C D ．a 2•a 3＝a 5，故此选项符合题意；故选：D ．总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）A B ．=1C ÷2=D ×思路引领：利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．解：A A 不符合题意；B 、B 不符合题意；C 2=C 不符合题意；D =D 符合题意；故选：D ．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2022•内蒙古）实数a +1+|a ﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：|a|是解题的关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v==8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2022•荆州）若3a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜32，∵若3a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（22，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n越大，2时，300n=4，∴n＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•+1）1）的结果等于 ．思路引领：根据平方差公式即可求出答案．2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．总结提升：本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1| 2 ．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|+＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022• ．思路引领：先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．0．故答案为0．总结提升：本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．三．解答题（共4小题）13．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝−13−1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．14．（2022•思路引领：根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．解：原式==总结提升：=a ≥0，b ≥0）是解题的关键．15．（2022•思路引领：原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；解：原式＝＝＝=1x−2，总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a＝2b＝2∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+（2（2++2＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．。
专题06 二次根式篇(解析版)
专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a中，0≥a。
1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。
二次根式14个必考点全梳理
考点梳理：二次根式章节涉及的14个必考点全梳理（精编Word）考点梳理∶二次根式章节涉及的14个必考点全梳理（精编Word）1 二次根式的概念2 二次根式有意义的条件（求取值范围）3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）4二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）6 最简二次根式的概念微信公众7同数文徽施感8 二次根式的加减运算9 二次根式的乘除运算10 二次根式的混合运算11 二次根式的化简求值12 分母有理化13 复合二次根式的化简14 含二次根式的数式规律题必考点一二次根式的概念掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．例题1下列式子一定是二次根式的是（）A．√−x−2B．√x C．√a2+1D．√x2−2【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．【解析】根据二次根式的定义可得√a2+1中得被开方数无论x为何值都是非负数，选C．【小结】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．变式1在式子√x2（x＞0），√2，√y+1（y＝﹣2），√−2x（x＞0），√33，√x2+1，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解析】√x2（x＞0），√2，√x2+1符合二次根式的定义．√y+1（y＝﹣2），√−2x（x＞0）无意义，不是二次根式．√33属于三次根式．x+y不是根式．选B．【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，√a表示a 的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．变式2在式子√π−3.14，√a2+b2，√a+5，√−3y2，√m2+1，√|ab|中，是二次根式的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据二次根式的定义形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得．【解析】在所列式子中是二次根式的有√π−3.14，√a2+b2，√m2+1，√|ab|这4个，选B．【小结】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．变式3 下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．【解析】在①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的是③④⑤，选C ．【小结】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．例题2 若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1 B ．m ≤1且m ≠2 C ．m ≥1且m ≠2 D ．m ≠2【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【解析】∵√m−1m−2在实数范围内有意义，∴{m −1≥0m −2≠0，解得m ≥1且m ≠2．选C ． 【小结】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．变式4 要使√2x −1√3−x 有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3 B ．12＜x ≤3 C ．12≤x ＜3 D ．12＜x ＜3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解析】要使√2x −11√3−x 有意义，则2x ﹣1≥0，3﹣x ＞0，解得：12≤x ＜3．选C ． 【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．变式5 若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ）A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．【解析】由题意可得：{2−x ≥0x −1≥02−x ≥x −1，解得：1≤x ≤1.5．选D ．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．变式6 等式√a−3a−1=√a−3√a−1成立的条件是（ ） A ．a ≠1 B ．a ≥3且a ≠﹣1 C ．a ＞1 D ．a ≥3【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a 的范围【解析】∵等式√a−3a−1=√a−3√a−1成立，∴{a −3≥0a −1＞0，∴a ≥3．选D ． 【小结】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可. 例题3 已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而得立方根．【解析】由题意得：{x −2≥02−x ≥0，解得：x ＝2，则y ＝﹣4， 2x +3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以√−83=−2．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．变式7 若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．1或7 D ．7【分析】先根据二次根式的基本性质：√a 有意义，则a ≥0求出a 的值，进一步求出b 的值，从而求解．【解析】∵b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，∴a 2﹣9＝0且a +3≠0，解得a ＝3，b ＝0+4＝4，则a +b ＝3+4＝7．选D ． 【小结】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：√a 有意义，则a ≥0．变式8 已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ，（1）求a +b 的值；（2）求7x +y 2020的值．【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x 与y 的值即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：{a +b −2020≥02020−a −b ≥0，解得：a +b ＝2020． （2）由于√a +b −2020×√2020−a −b =0，∴{2x +y −3=0x −2y −4=0，∴解得：{x =2y =−1 ∴7x +y 2020＝14+1＝15．【小结】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．变式9 已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值．【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x 、y 、z 的值；然后代入求值．【解析】由题中方程等号右边知：√x +y −2019有意义，则x +y ﹣2019≥0，即x +y ≥2019，√2019−x −y有意义，则2019﹣x ﹣y ≥0，即x +y ≤2019，即{x +y ≤2019x +y ≤2019，∴x +y ＝2019． ∴√x +y −2019=0，√2019−x −y =0．∴原题中方程右边为0．∴原题中方程左边也为0，即√3x +y −z −8+√x +y −z =0．∵√3x +y −z −8≥0，√x +y −z ≥0．∴3x +y ﹣z ﹣8＝0，x +y ﹣z ＝0．又x +y ＝2019，∴{3x +y −z −8=0x +y −z =0x +y =2019，∴{x =4y =2015z =2019．∴（z ﹣y ）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．【小结】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a （a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．必考点四二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简.例题4已知a≠0且a＜b，化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．a√ab B．﹣a√ab C．a√−ab D．﹣a√−ab【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．【解析】由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|√−ab=−a√−ab，选D．【小结】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．变式10与根式﹣x√−1x的值相等的是（）A．−√x B．﹣x2√−x C．−√−x D．√−x 【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【解析】∵√−1x有意义，∴x＜0，∴﹣x√−1x＞0，∴﹣x√−1x=−x•√−x−x=√−x，选D．【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．变式11化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a√1a=−√a，选B．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．变式12把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．【解析】（a﹣1）√1(1−a)=−（1﹣a）√11−a=−√1−a．选A．【小结】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）例题5若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．【解析】∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．【小结】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．变式13实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【分析】根据实数a和b在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可．【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．【小结】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键．变式14若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【分析】先利用二次根式的性质得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项．【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．【小结】考查二次根式性质与化简：灵活应用二次根式性质进行化简．也考查了三角形三边之间的关系．变式15已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a﹣c|+√(b−c)2−|b|．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例题6下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．√8B．√2x2y C．√ab2D．√3x2+y2【分析】判断二次根式是否为最简二次根式需根据最简二次根式定义进行，或观察被开方数的每一个因数（或因式）指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解析】A.√8=2√2，可化简；B.√2x2y=|x|√2y，可化简；C.√ab2=√2ab2，可化简；D.√3x2+y2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D．【小结】本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．变式16 在根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【解析】根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有√xy 、√ab 2、√x −y ，共3个，选C ． 【小结】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．变式17 若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 2 ．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解析】若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为2，【小结】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．变式18 若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ﹣6 ．【分析】根据最简二次根式定义，知m +3＝1，2m ﹣n +1＝1，解方程组求得m 和n 的值，则m +n 的值可得．【解析】由题意可得：{m +3=12m −n +1=1，解得：{m =−2n =−4，∴m +n ＝﹣6 【小结】考查最简二次根式的义、解二元一次方程组和简单整式加法运算，属于基础知识的考查.必考点七 同类二次根式的概念同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．例题7 下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得．【解析】∵√12=2√3，√18=3√2，√43=2√33，−√125=−5√5，√0.48=2√35，∴不能与√12合并的是√18、−√125这2个，选B ．【小结】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念．变式19 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3 【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．【解析】∵最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，∴x +3＝2x ，解得：x ＝3，选D ．【小结】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x +3＝2x 是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．变式20 若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ．【分析】由题意可知，√3m +n 与2√4m −2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．【解析】根据题意3m +n ＝4m ﹣2，即﹣m +n ＝﹣2，所以m ﹣n ＝2．【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．变式21 若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式．（1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；（2）根据x ，y 的值和算术平方根的定义即可求解．【解析】（1）根据题意知{3x −10=22x +y −5=x −3y +11，解得：{x =4y =3； （2）当x ＝4、y ＝3时，√x 2+y 2=√42+32=√25=5．【小结】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．必考点八 二次根式的加减运算二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 例题8 计算：（1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a +7a √2a 【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可； （2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可． 【解析】（1）原式=3√3−2√2+√2−3√3=−√2， （2）原式=7a √7a −a √2a +7a √2a =7a √7a +6a √2a ．【小结】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．变式22 计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解析】（1）原式＝4√3−2√3+12√3＝14√3． （2）原式=√5x +√5x −2√5x ＝0【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．变式23 计算：（1）2√3+3√12−√48 （2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可． 【解析】（1）原式＝2√3+6√3−4√3＝4√3；（2）原式=32×2√x −（15×√x5−2x ）＝3√x −3√x +2x ＝2x ．【小结】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．变式24计算（1）√27−√45−√20+√75（2）2√a−3√a2b+5√4a−2b√a2b(a≥0，b＞0)【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．【解析】（1）原式＝3√3−3√5−2√5+5√3＝8√3−5√5；（2）原式＝2√a−3a√b+10√a−2a√b＝12√a−5a√b．【小结】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．必考点九二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例题9计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解析】√313÷(25√213)×(4√125)＝（1÷25×4）√103÷73×75＝（1×52×4）√103×37×75＝10√2．【小结】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．变式25计算：nm √n3m3⋅(−1m√n3m3)÷√n2m3．【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可．【解析】nm √n3m3⋅(−1m√n3m3)÷√n2m3=n m×（−1m）÷1√n3m3×n3m3×2m3n=−nm2√2n33m3=−nm2×|n|3m2√6mn＝±n23m4√6mn．【小结】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．变式26 化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √9xy)÷(4x 2y √3x 2y)【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解析】原式=2x 3y •√2x y √3y •4x •3√xy ÷（4x 2y √3√y）=8√2x 3√3y 2•√y 4√3x 3y =2√2y 3y 3【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．变式27 计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 【解析】2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0）=−3b •a 2b ÷13√ba ＝﹣9a 2√ab =−9a 2b √ab ． 【小结】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．必考点十 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；例题10 （1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x√x 32+x ÷√x2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【解析】（1）原式=√3×12+√6÷2−3√3＝6+√3−3√3＝6﹣2√3； （2）原式＝3√2x +√2x +x •√2√x＝3√2x +√2x +√2x ＝5√2x ． 【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．变式28 （1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)．【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】（1）原式=14×√12×3+√24÷6=32+2 =72； （2）原式=5+2√15+3−(5−2)=8+2√15−3 =5+2√15．【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．变式29 计算：（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12． 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3；（2）原式=12√48÷3−13√27×6+2√2＝2﹣3√2+2√2＝2−√2．【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．变式30 计算：（1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x 3． 【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得； （2）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得． 【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣2√3+1）+5＝﹣1﹣3+2√3−1+5＝2√3； （2）原式＝（23√6x −5√6x ）÷√6x3=−13√6x 3•√6x＝﹣13． 【小结】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．必考点十一 二次根式的化简求值例题11 若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，求出y 的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．【解析】∵x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，∴4x ﹣1≥0且1﹣4x ≥0，解得：x =14，∴y =13， ∴（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）＝2x √x +2√xy −x √x −5√xy ＝x √x −3√xy=14√14−3√14×13=18−12√3． 【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出xy 的值，题目比较好，难度适中．变式31 已知x =√5−√3y =√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2； （2）yx+xy ．【分析】（1）先将x 、y 的值分母有理化，再计算出x +y 、xy 的值，继而代入x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy 计算可得；（2）将x +y 、xy 的值代入yx +x y=x 2+y 2xy=(x+y)2−2xyxy计算可得．【解析】（1）∵x =1√5−√3=√5+√32，y =1√5+√3=√5−√32，∴x +y =√5，xy =12，则x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ＝5−32=72； （2）yx +x y=x 2+y 2xy =(x+y)2−2xy xy =5−112＝8． 【小结】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．变式32 已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值．【分析】先由x 、y 的值计算出x ﹣y 、xy 的值，再代入原式＝（x ﹣y ）2﹣xy 计算可得． 【解析】∵x =12(√5+√3)，y =12(√5−√3)，∴x ﹣y =12(√5+√3)−12(√5−√3)=√52+√32−√52+√32=√3， xy =12(√5+√3)×12(√5−√3)=14×（5﹣3）=14×2=12， 则原式＝（x ﹣y ）2﹣xy ＝（√3）2−12＝3−12=52．【小结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、平方差公式．变式33 已知x =b √2a+b−√2a−b ，y =b√2a+b+√2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【分析】根据分母有理化化简x 与y ，然后求出x +y 与xy 的表达式即可求出答案． 【解析】∵x =√2a+b−√2a−b ，y =√2a+b+√2a−b，∴x =√2a+b+√2a−b2，y =√2a+b−√2a−b2，∴x +y =√2a +b ，xy =b2，∴原式＝x 2+2xy +y 2﹣3xy ＝（x +y ）2﹣3xy ＝2a +b −3b2＝2a −b2【小结】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．必考点十二 分母有理化二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．例题12 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3． （3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）分子分母分别乘√3即可； （2）分子分母分别乘√5−√3即可；（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可； 【解析】（1）√27=√3√27×√3=√33（2）化简√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1）=12（√2n +1−1）【小结】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．变式34阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n（n为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【分析】（1）根据给定算式，在分式√7+√6的分母和分子上分别相乘（√7−√6），计算后即可得出结论；（2）根据给定算式，在分式√n+1+√n的分母和分子上分别相乘（√n+1−√n），计算后即可得出结论；（3）根据（2）的结论即可得出√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99），由此即可算出结论．【解析】（1）√7+√6=√7−√6)(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6；（2）√n+1+√n =√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n+1−√n；（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99）＝10﹣1＝9．【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．变式35 观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4⋯ （1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果； （2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果； （3）根据（1）的规律可得√n 2+4−n2−√n 2+4−n，然后分母有理化，求出结果即可．【解析】（1）√5−12−√5−1=√5−12−√5+1)(√5−1)(√5+1)=√5−12−√5+12=−1，√8−22−√8−2=√8−22−√8+22=−2， √13−32−√13−3=√13−32−√13+32=−3， √20−42−√20−4=√20−42−√20+42=−4， （2）√29−52−√29−5=−5， （3）√n 2+4−n2−√n 2+4−n=√n 2+4−n2−√n 2+4+n2=−n ．【小结】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．变式36 【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2【解析】√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2【解析】√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10； ②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【分析】（1）根据分母有理化法则计算；（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简； ②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【解析】（1）原式=√5+√3)(√5+√3)(√5+√3)(√5−√3)=8+2√152=4+√15， （2）①√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2； ②原式=√2−1+√3−√2+4−√3+⋯+√2019−√2018=√2019−1．【小结】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题关键．必考点十三复合二次根式的化简例题13阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．【解析】（1）3+2√2=12+2√2+(√2)2=(1+√2)2；（2）√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1；（3）√5−2√6=√(√3−√2)2=√3−√2．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．变式37观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【分析】根据二次根式的性质以及完全平方公式即可求出答案．【解析】（1）原式=√2+2√6+3=√(√2+√3)2=√2+√3．（2）原式=√3−2√3+1=√(√3−1)2=√3−1【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．变式38阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2√3化为（1+√3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2√10化为（√5−√2）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】（1）∵4+2√3=1+3+2√3=12+(√3)2+2√3=（1+√3）2，∴√4+2√3=√(1+√3)2=1+√3；（2）√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2×√5×√2=√(√5−√2)2=√5−√2．【小结】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．变式39先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．【解析】①√4+2√3=√(√3)2+2√3+12=√(√3+1)2=√3+1，√9+4√5=√(√5)2+4√5+22=√(√5+2)2=√5+2，②√19−4√15=√(√15)2−4√15+22=√(√15−2)2=√15−2．【小结】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．。
二次根式-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向08 二次根式【考点梳理】1、二次根式：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
当a ＞0时，a 表示a 的算术平方根,其中0=02、 理解并掌握下列结论：（1）)0(≥a a 是非负数（双重非负性）； （2）)0()2≥=a a a （； （3）⎩⎨⎧≤->=⎩⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0()0()0()0()0(0)0(2a a a a a a a a a a a a a a a ；口诀：平方再开方，出来带“框框” 3、二次根式的乘法：)0,0(≥≥=•b a ab b a ，反之亦成立4、二次根式的除法：)0,0(>≥=b a b a ba ，反之亦成立5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【题型探究】题型一：二次根式的概念和性质1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数11y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）若3y =，则2022()x y +等于（ ） A ．1B ．5C ．5-D ．1-3．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．5x >B ．35x ≤<C ．5x <D ．35x ≤≤题型二：二次函数的化简4．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）A 23+B 23=⨯C D 0.75．（2023·河北·b a 的值是（ ） A ．6B ．9C ．12D ．276．（2022·四川绵阳·统考三模）已知y =，则xy ＝（ ）A ．3B ．－6C ．±6D ．±3题型三：二次根式的乘除7．（2022·广东广州· ）A B C D ．8．（2022·天津南开·二模）计算3)的结果等于______．9．（2022·河北唐山·=a ＝______；b ＝__．题型四：二次根式的加减10．（2022·黑龙江哈尔滨·=_____． 11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________．12．（2022·黑龙江哈尔滨·______．题型五：分母的有理化13．（2022·河北保定·统考一模）已知x =2y = （1）22x y +=________； （2）2()x y xy --=________．14．（2022·广东中山·统考二模）小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算tan 22.5︒时，如图，在Rt ACB 中，9045C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，所以tan 22.51AC CD ︒===，类比小明的方法，计算tan15︒的值为________．15．（2020·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）3的整数部分是m ，小数部分是n ，则mn+3＝_____．题型六：二次根式的比较大小16．（2021·四川成都·766517．（2020·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）比较大小：1013-（填“＞”、“=”、“＜”）18．（2021·陕西宝鸡·17﹣5（填“>”或“<”）题型七：二次根式的化简求值问题19．（2023·江西·九年级专题练习）先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中53x =． 20．（2022·四川广元·统考一模）先化简，再求值：222a ab b a b a b a b ab ⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中32a =+32b = 21．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：22124()(1)442x x x x x x x-+-÷--+-，其中x ＝2+tan30°．【必刷基础】一、单选题22．（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ） A 257B ．22525=+C 532=D ．233323．（2022·福建泉州·校考三模）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．23x ≠-B ．23x >-C ．23x -D ．23x -24．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ） A ．2与22B ．3与24C ．5与25D ．6与1225．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方法进行两次折叠后，BEF △恰好是等腰直角三角形，若2BE =，则CD 的长度为（ ）A ．22B ．22+C ．222+D ．224+26．（2021·广西百色·统考二模）将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列： 2，2，6，22，10； 23，14，4，32，25；…若2的位置记为()1,2，23的位置记为()2,1，则36这个数的位置记为（ ）A ．()54，B ．()44，C ．()43，D ．()35，27．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算1(2712)3-⨯的结果是（ ） A ．33B ．1C ．5D ．328．（2022·河北廊坊·统考二模）一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，则使式子()011k k ++-有意义的k 的值可能为（ ）A ．－3B ．－1C ．－2D ．229．（2021·北京·统考中考真题）若7x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______________． 30．（2018·江苏苏州·校联考中考模拟）若x 满足|2017-x|+-2018x =x ， 则x-20172=________31．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中62a =+． 32．（2022春·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.【必刷培优】一、单选题33．（2021·广东·统考中考真题）设610-的整数部分为a ，小数部分为b ，则()210a b +的值是（ ） A ．6B ．210C ．12D ．91034．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m -+-等于（ ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．435．（2021·内蒙古·统考中考真题）若21x =+，则代数式222x x -+的值为（ ） A ．7 B ．4C ．3D ．322-36．（2020·河北·统考中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）A ．1，4，5B ．2，3，5C ．3，4，5D ．2，2，4二、填空题37．（2019·广西柳州·中考模拟）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a 244a a +-+=_____．38．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：12211311112212x =++==+⨯； 22211711123623x =++==+⨯； 3221113111341234x =++==+⨯； ……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______．39．（2022·湖北荆州·统考中考真题）若32-的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式()22a b +⋅的值是______． 40．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考三模）已知625x =-为一元二次方程20x ax b ++=的一个根，且a ，b 为有理数，则=a ______，b =______．41．（2019·江苏·校考中考模拟）若a ，b 都是实数，b ＝12a -+21a -﹣2，则a b 的值为_____． 42．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简()()2211a b a b +--+-=______．三、解答题43．（2021·四川成都·统考中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中33=a ．44．（2022·安徽·统考二模）阅读下列解题过程： 21+21(21)(21)-+-2-1； 32+32(32)(32)-+-32； 43+434343-+-()()433 …解答下列各题： （1109+＝ ；（2＝ ．（3）利用这一规律计算：）×）．45．（2019·福建泉州·统考中考模拟）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m .46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m ++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222a m n +++∴2222a m n b mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a + 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若(2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n ，填空： ＋ ＝( ＋2；（3）若(2a m +＋，且a 、b 、m 、n 均为正整数，求a 的值．参考答案：1．B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：依题意，3010 xx+>⎧⎨-≠⎩∴3x>-且1x≠故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．2．A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20 420xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：x＝2，故y＝-3，∴20222022()(213)=x y+=-．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．3．C【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得50x->∴5x<故选：C．【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．4．B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23+，故错误；23=⨯，故正确；=≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．5．D【分析】由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．∴3a =，3b =， ∴3327=， 故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 6．B【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x 的值后，再求出y 的值，即可求解． 【详解】解：∵229090x x -+≥-≥，， ∴29x =， 又∵30x +≠， ∴3x =， ∴0012233y --==-+，∴()326xy =⨯-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x 的值与y 的值． 7．A【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．=== 故选：A ．【点睛】)0,0a b ≥≥)0,0a b ≥>，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．4【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：3)=223-=13-9 =4，故答案为：4．【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 9． 2 6化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．=2,6a b ∴==故答案为：2，6．【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．-【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】解：原式==-故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 11．20【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵213202x x ++=△=9-4=5＞0，∴13x =-23x =-，∴()212x x -=((223320-==，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 12【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．3==【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 13． 14 11【分析】根据分母有理化得到2x =x 和y 分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．【详解】解：∵123x =+， ∴()()12323232323x ===+-+--， ∴（1）22x y +()()222323=-++ 44334433=-++++14=，故答案为：14；（2）()2x y xy -- ()()()223232323⎡⎤=--+--+⎣⎦()()22343=---121=-11=，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．14．23-【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．【详解】解：如图，在Rt ACB 中，9030C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，∴∠BAD =∠D ，2AB BD AC ==，∴cos =3BC AC ABC AC =⋅∠，∴()23CD BC BD AC =+=+，∵∠ABC =∠BAD +∠D ，∴=15D ︒∠，∴1tan =tan15===2323AC D CD ︒-+∠， 故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．15．2m 的值，小数部分n m ，把m 、n 代入分式m n+3中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．【详解】解：∵12，∴m ＝1，n 1， ∴=n+3m＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．16．＜【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．==<故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．17．＞ 【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．【详解】解：∵21(10=，211()39-=且11109<，1<，∴13>- 故答案为：＞【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．18．>【分析】首先利用二次根式的性质可得【详解】解：∵∴＞﹣故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．19．13x x -+【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭ ()()()23221111x x x x x x ++-+=÷++- ()()()211313x x x x x +-+=⨯++13x x -=+．当3x =时，原式=． 【点睛】此题主要考查了分式的化简以及二次根式混合运算，正确化简分式是解题关键．20．ab ；7【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入3a =3b = 【详解】解：原式222a ab b a b a b ab-+-=÷- ()2a b ab ab a b a b-=⋅=--．当3a =3b =原式(33927==-=．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．21．()212x -；3【分析】先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得x 的值，代入化简结果进行计算即可． 【详解】解：22124()(1)442x x x x x x x -+-÷--+- ()()()()()22122422x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()2224=42x x x x x x x --+⨯-- ()241=42x x x -⋅-- ()212x =-2tan 302x =+︒=∴原式21322==⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．22．D【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．【详解】解：AB、= CD、=故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．23．C【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．【详解】解：根据题意得：320x +，解得23x -．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．24．A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A 、2与22是同类二次根式，符合题意；B 、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C 、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D 、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．25．D【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，四边形ABCD 是矩形，'90ADA B C A ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，CD AB =，由第一次折叠得：'90DA E A ∠=∠=︒，1452ADE ADC ∠=∠=︒， 45AED ADE ∴∠=∠=︒，AE AD ∴=，在Rt ADE △中，根据勾股定理得，2DE AD =，由第二次折叠知，CD DE AB ==，222DE AE ∴=，2222()2(2)CD AB BE CD ∴=-=-，422CD ∴=+【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．26．C∵36218÷=，18533÷=4行，第3个数字．故选：C ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．27．B再合并即可．【详解】解：94321 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．28．B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<．()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠ ∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底29．7x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：70x -≥，解得：7x ≥；故答案：为7x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．30．2018【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x 的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程=2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．【详解】解：由条件知，x-2018≥0， 所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ =x ，即 =2017，所以x-2018=20172 ，所以x-20172=2018，故答案为：2018．【点睛】本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x 的取值范围是解题的关键．31．2a a -，1+【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2a a -，再代入求值． 【详解】解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+-- 2a a =-．当2a 时，原式1==== 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 32．a b -【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.33．Aa 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34，∴263<<，∴62a =，∴小数部分624b ==∴(((22244416106a b =⨯==-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a 与小数部分b 的值是解题关键．34．D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+， 解得：37x ，374m m -+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．35．C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．36．B【分析】根据勾股定理，222+=a b c ，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a 、b 、c ，222A 、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：112=12⨯⨯；B 、∵2+3=512 C 、∵3+4≠5，则不符合题意；D 、∵2+2=4112=；1>， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．37．2【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a 的取值范围进而化简即可．【详解】解：由数轴可得：0＜a ＜2，则a=a =a +（2﹣a ）=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a 的取值范围．38．12021-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120202021⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020﹣12021﹣2021 ＝2020+1﹣12021﹣2021＝12021-． 故答案为：12021-． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 39．2【分析】先由12<得到132<<，进而得出a 和b ，代入()2b ⋅求解即可．【详解】解：∵ 12<，∴132<<，∵ 3的整数部分为a ，小数部分为b ，∴1a =，312b ==∴()((222242b ⋅=⨯=-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．40． 2； 4-；【分析】将x =1x =，则20x ax b ++=)()260a b a -+-+=，根据a ，b 为有理数，可得2a -，6b a -+)()260a b a -+-+=时候，只有20a -=，60b a -+=，据此求解即可．【详解】解：∵x ====1∴20x ax b ++=∴))2110a b ++= ∴60a b --+=60a b -++=)()260a b a -+-+=∵a ，b 为有理数，∴2a -，6b a -+也为有理数，∴2a =，4b =-，故答案是：2，4-；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．41．4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a 的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【详解】解：∵b 2，∴120210a a -≥⎧⎨-≥⎩∴1-2a=0，解得：a=12，则b=-2， 故ab=（12）-2=4． 故答案为4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a 的值是解题关键． 42．2【分析】利用数轴可得出102a b -<<<<，1，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：102a b -<<<<，1，则10,10,0a b a b +>->-<∴1a +=|1||1|||a b a b +--+-=1(1)()a b a b +----=11a b a b +-+-+=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键．43．13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，当3=a 时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．44．（13；（2（3）2020【分析】（1，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．【详解】（133；（2==（3）×）1+）×）1）×） ＝20211-＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．45．22m m-+ 1． 【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m -- =221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m 2时，原式===﹣=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 46．（1）223m n +，2mn ；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．【分析】根据题意进行探索即可.【详解】（1）∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．（2）设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．（3）由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13．【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.。
第二讲 二次根式
A．－5与－4之间B．－4与－3之间
C．－3与－2之间D．－2与－1之间
2、已知5- 的小数部分为a,b+c=7+ ,其中b是整数，0<c<1,求代数式 -(a+ )+c
题型五、二次根式的非负性
1、[攀枝花]已知实数x，y满 + ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()
二次根式
定义
形如 (________)的式子叫做二次根式
防错提醒
中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0
最简二次根式
同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
考点三、二次根式的性质
二
次
根
式
的
性
质
两个重要的性质
积的算术平方根
商的算术平方根
考点四、二次根式的运算
考点五把分母中的根号化去
常用形式及方法：
A. 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
=0,则 =
3、（荆门中考)若a、b为实数，且满足 =0，则b－a的值为( )
(A)2 (B)0(C)－2 (D)以上都不对
题型六、综合讨论型
1、已知实数a、b、c满足a= +1,c的绝对值为1且没有平方根，求a+
2、已知m、n、p满足 + .求m+n+p的值
题型一、平方根、算术平方根与立方根
(1) [雅安] 9的平方根是()
A．3 B．－3 C．±3 D．6
(2)[日照] (－2)2的算术平方根是()
A．2 B.±2 C．－2 D.√2
题型二、二次根式的有关概念
1、[南京]使有意义的x的取值范围是_____
2023年春季学期 二次根式专题复习
专题01二次根式专题复习【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．其中：①“”称为二次根号；②a 是被开方数，a ≥0，是一个非负数；【考试题型1】根据二次根式的形式准确判断二次根式【解题方法】判断形式，确定被开方数大于等于0。
例题讲解：1．下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--x B ．xC ．22+x D ．22-x 【考试题型2】根据被开方数大于等于0求未知数的值或范围。
【解题方法】利用被开方数大于等于0建立不等式，解不等式。
例题讲解：2．若x 31-是二次根式，则x 的值不可能是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1考点二：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。
即a 中，a ≥0。
【考试题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围【解题方法】利用式子中所有二次根式的被开方数都大于等于0建立不等式（组）求解集，同时若式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
例题讲解：3．若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ＜2【考试题型2】利用二次根式有意义求式子【解题方法】利用二次根式有意义的条件求出相应字母的值，再带入需要求的式子。
例题讲解：4．已知y ＝322+-+-x x ，则x y 的值是（）A ．5B ．6C ．8D ．﹣8考点三：二次根式的性质二次根式的基本性质：①二次根式的双重非负性。
即a ≥0；a ≥0．②（a ）2＝a （a ≥0）（一个数的算术平方根的平方等于它本身）．③()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）。
【考试题型1】二次根式的非负性：几个非负数的和等于0，这个几个非负数分别等于0。
【解题方法】结合绝对值，偶次方，让被开方数，绝对值符号内的式子以及底数分别为0建立方程解方程即可。
二次根式考点总结
第二十一章 二次根式 考点一：二次根式的概念 要点：:形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义。
题型1：二次根式的判定例：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+考点：二次根式的概念 分析：根据二次根式，∵a 2≥0,则a 2+1>0恒成立。
答案：D2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有__2__个。
考点：二次根式的概念 分析：根据二次根式，∵x 2≥0,则x 2+1>0恒成立。
a 若a<0则不成立。
2a b若b<0则不成立。
1x +若x<-1则不是二次根式。
答案：2题型2：二次根式有意义例：1．（2012福州）式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 解答：解：∵ 式子x －1在实数范围内有意义，∴ x －1≥0，解得x ≥1．故选D ．2.（2012•湘潭）下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ）A.y=B.y=C.y=x ﹣3 D.y=考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。
分析：分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x 的范围。
解答：解：A 、分式有意义，x ﹣3≠0，解得：x ≠3； B 、二次根式有意义，x ﹣3＞0，解得x ＞3； C 、函数式为整式，x 是任意实数； D 、二次根式有意义，x ﹣3≥0，解得x ≥3． 故选D ． 题型3：二次根式定义的运用例：1、（2012湖北荆州3分）若x 2y+9-与|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y 的值为（ ） A ． 3 B ． 9 C ． 12 D ． 27考点：相反数，非负数的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质。
初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式
第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
初二数学下册：二次根式常考10大题型
初二数学下册：二次根式常考10大题型考点二次根式1.二次根式的有关概念（1）二次根式：该式子称作二次根式。
注意被开方数a只能是非负数。
并且根式也是非负数。
（2）最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质3.二次根式的运算（1）二次根式的加减：先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。
（2）二次根式的乘除：和（3）二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式。
常考的10个类型题点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，再结合进行“移进”和“移出”的变形化简;这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题;比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解故④正确;根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF是线段BC的垂直平分线，⑤正确故选①④⑤点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题;这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现。
这类题型还很容易与函数及其图象结合在一起。
end。
二次根式(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题2.17二次根式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二次根式相关概念与性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如3、7、等式子，都叫做二次根式.要点说明：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点说明：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论aa ，再根据绝对值的意义来进行化简.2的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，与=【知识点2】二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =⨯≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合(13=+-【考点一】二次根式的概念和性质①二次根式相关概念➽➼二次根式及取值范围【例1】使代数式4x -有意义的x 的取值范围是（）A ．4x ≠B ．3x ≥C ．3x ≥且4x ≠D ．4x ≥【答案】C【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．解：∵代数式y =有意义，∴3040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：3x ≥且4x ≠，故选C ．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【举一反三】【变式1】2得（）A ．2B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.解： 1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故选C.【点拨】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,二次根式2=a,(a≥0).【变式2】下列说法正确的是（）A.BC=D 的化简结果是2-【答案】B【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．解：=C.在0a ≥，0b >=2，原说法错误；故选：B ．【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．②二次根式相关概念➽➼复合二次根式的化简【例2】如果a =b =）A ．a b =B ．a b >C ．a b<D ．1ab =【答案】A【分析】先把b 分母有理化，再比较．解：∵b =，a =∴a b =．故选：A ．【点拨】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．【举一反三】【变式1】比较大小错误的是（）A B 21C6D ．|11【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．解：A 、由于5<7B 2<6+2=8，而121，故正确；C 、由于5>-，则775622--->=-，故正确；D 、由于11=，故11>错误．故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式2】x 3a =没有实数根，那么a 的取值范围是．【答案】3a >．3a -，根据方程没有实数根可得30a -<，解不等式即可．3a =3a -，0，∴3a -没有实数根，即30a -<，3a ∴>，故答案为：3a >．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a 的取值范围．③二次根式相关概念➽➼最简二次根式★★同类二次根式【例3】阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一==.根据以上材料解决【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.【点拨】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.【举一反三】【变式1】a 的值是．【答案】3【分析】根据同类二次根式的定义得到215a -=，据此求解即可．∴215a -=，∴3a =，故答案为：3．【点拨】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出215a -=是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．【变式2】=．【答案】22【分析】分子，分母同时乘以有理化因式2，计算即可．(22222+=2=，故答案为：2【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键．④二次根式相关概念➽➼分母有理化【例4】【答案】>的大小关系．解：220=+220=+>2020∴++∴故答案为：>．【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0>>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【举一反三】【变式1】若实数a b 、满足2a =，求a b +的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性求出a 、b 的值，根据平方根的概念解答．解：∵4040b b -≥⎧⎨-≥⎩，∴44b b ≥⎧⎨≤⎩，∴4b =，把4b =代入上式得2a =，∴246a b +=+=，∴a b +的平方根为．【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b 的值是关键．【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=，==（a b >）．．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法．解： 13,42m n ∴==67=13,67=42+⨯∴原式===【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．【考点二】二次根式大小比较【例5】n 是同类二次根式．求m 2+n 2的值．【答案】11【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m 2、n 2，再代入求值即可；解：由题意得：2232410m m -=-，28m =，212n -=，23n =，28m =，23n =∴m 2+n 2＝8+3＝11；【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【举一反三】【变式1】这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．=①==②21111-====，③参照③【分析】仿照题意进行分母有理化即可．=22-==．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．【变式2】比较大小：①52+【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比较大小即可；②利用分子有理化即可比较大小．解：①(5－(2=3-∵3<∴3-＜0∴5-2+故答案为：＜；==+<故答案为：＜．【点拨】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．【考点三】二次根式的的运算【例6】计算：(2)011)(2)+-【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可（1（2）011)(2)+-+-=2113=-+-=53=-4=+2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．【举一反三】【变式1】计算：(2)．【答案】(1)0；(2)10【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．（1）解：原式=-（2）解：原式2=⨯0=．3=÷310=⨯【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．【变式2】计算：(1)(2))()2111-+-．【答案】(1)2(2)17-【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．（1）解：（2）解：)()2111+-+-=314181=--+-2=17=-．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例7】计算题(1)()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2)⎛+⨯ ⎝【答案】(1)4-；(2)10【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．（1）解：()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2231242=--+-(22=-4=-；（2）解：⎛-⨯ ⎝41254=⨯⨯10=+10=【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【举一反三】【变式1】计算：（102)；（22【答案】（1）2；（2）【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．解：（1）原式11=（2）原式=2=；=【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．【变式2】计算：092+【答案】11-【分析】先根据零指数幂的意义，二次根式的乘法和除法法则，以及去括号法则化简，再算加减即可．解：原式=912⨯+92132=++-+-11=-．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【例8】已知2x =，求代数式2(7(2x x +++的值．【答案】2+【分析】根据x 的值，可以求得22(27x ==-解：∵2x =，∴22(27x =-=-∴2(7(2x x ++++(7(2=+-+++222272=-+-+11=++2=【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】已知：y 5【答案】x y -，-4【分析】根据二次根式有意义的条件得到x =4，则y =5，再利用约分得到原式+后通分得到原式x 、y 的值代入计算即可．解：∵x -4≥0且4-x ≥0，∴x =4，∴y =5，=x y -，=45-，=-4．【点拨】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．【变式2】先化简再求值：21b =．【答案】【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出a 、b ，最后代入计算即可．解：∵1b =+，∴20a -≥，20a -≥，∴2a =，∴11b ==，原式132b a b b a=+ ==当2a =，1b =时，原式2==【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．。
2.7.1二次根式 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
的一般
方法
∙ =x2y ；
第一课时 二次根式
返回目录
续表
考
点
（2）若被开方数中含有带分数，应先将带分数化
清
单
解 化简二 为假分数；若被开方数中含有小数，应先将小数
读
化为分数，最后化去分母中的根号，例如
次根式
的一般
÷ =
÷ ）
（a≥0，b＞0）
式子中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但
必须满足 a≥0，b＞0
第一课时 二次根式
返回目录
归纳总结
考
点
利用积的算术平方根的性质可以将被开方数化简，其步
清
单 骤是：①把被开方数进行因式分解；②利用积的算术平方根
解
读 的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都移到
第一课时 二次根式
考
点
清
单
解
读
返回目录
对点典例剖析
典例 4
A.
C.
下列各式是最简二次根式的是 （
［答案］ B
B.
D.
）
第一课时 二次根式
返回目录
重 ■题型 化简含字母的二次根式
难
例
化简：（1）
题
型
突
（2）
破
［解析］先将单项式中指数大于 2 的因式化成（am）2
或因式移到根号外面
第一课时 二次根式
考
点
清
单
解
读
返回目录
续表
注意
公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必
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二次根式考点六
——同类二次与二次根式的加减
同类二次概念:
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式。
（1）掌握判断同类二次根式的依据：即先化成最简二次根式，再看被开方数是否相同.
（2）合并同类二次根式时，可类比合并同类项.
二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
一、选择题（每题3分，共18分）
1、下列根式中与其他三个不同类的是（ ）
A D 2、下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A ．18
3( )
A.1
B.1- 4、下列计算正确的是( )
A.= =
3= 3=-
5、化简122
154＋⨯的结果是( ).
(A)
6、下列计算中,正确的是( )
A. 3a = B . 632a a a ÷=
C. 1(2)2a a -=-
D. 236(2)8a a -=-
二、填空题（每题4分，共36分）
7、计算:28-=______;123
2⨯= _______. 8、计算:27124148÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=_________.
9_________．
10、若a a=_______，b=_______．
11a ，小数部分是b ，计算的值为________．
12=成立的x 的取值范围是 。
13、将-根号外的因式移到根号里面正确的是 。
14、200420032)2)= 。
15、设a b c ，，都是实数，且满足条件2(2)80a c -+=，则ab+c = 。
三、解答题
16、计算（每题6分，共36分）
（1） （2）
（3; （4）12322--.
（5; （6
17、先化简,再求值:（本题10分）
-4
-2x x +24-4+4x x ÷-2
x x ,其中x
1. 已知：a =-+3131，b =+-3131求代数式a b 334+-的值。
2. 计算：322322++-
1.还可用什么方法计算322322++-？
2.计算：252533++-
3.分母有理化：257257
+++- 4.已知x =5－1，求x x
x x x x x x 1111++-⎛⎝ ⎫⎭⎪÷+--⎛⎝ ⎫⎭⎪的值。
5.当1242-++-a a b ||=0时， 求a b ab a b a ab b b ab a a b ab +-+⎛⎝
⎫⎭⎪÷++--+⎛⎝ ⎫⎭⎪的值。
6.计算：
a a
b a b
ab b a b a a b b a b a b ab ab a b +++--⎛⎝ ⎫⎭⎪÷+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅--++232323 1.把下列二次根式化成最简二次根式 (1) 852x y (2) 27923x x - (3) a a b 1122- (4) 3253
6x a x a x
- 2.已知两个最简二次根式x a +22和21x a b ++是同类二次根式，求a 、b 、x 的值。
3.计算或化简下列各式 (1) 183833250++- (2) 1512205445
45+-+
(3) 2253536222a a b a a b -+- (4) 12469212
x x x x x x
+- (5) 2412223186-+--()() (6) (.)(.)405213
4012512--- (7) 12322000222223y x y xy y x xy y x x y -⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝
⎫⎭⎪⎪. (9) ()()252520002000+⋅- (8)
ab a b b a a b b a
--+++2 (11) ()()22263a b ab a b ++÷+ (10) ()()a b a b +--33 (12) ()()73273322-+--
4.计算或化简下列各式 (1)
132121231++--+ (2) 17431743
++- (3) ()37273732-++- (4) a a a a a a a a --+-++---22221111
(5) 132221213232++++-⎛⎝ ⎫⎭
⎪⋅-() 5.计算：
()()626151032-+-÷-
6.计算：
32332232-+-+()()
7.计算：3122135325
()()+++-+- 8.计算：
56265252656511
--+-+++-()()
9.计算：2322322232223
+⋅++⋅+++⋅-++
10.已知x=
-
+
31
31
，y=
+
-
31
31
求x y
225
+-的值。