【新北师大版】八年级数学下册：1.3《线段的垂直平分线(1)》ppt课件
1.3 线段的垂直平分线 课件(共42张PPT)数学北师大版八年级下册
感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系： 两者都可以直接得到两条线段相等 . 区别： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的 距离 .
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
(2)用尺规作 BC 边的垂直平分线.(不写作法，保留作 图痕迹)
解：如图所示， 直线MN即为所求．
性质 判定
线段的垂直 平分线
线段的垂 直平分线
三角形三条 边的垂直平 分线
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
感悟新知
知2－练
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：一是定 义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进行判定，而利用判定定理判定一条直线 是线段的垂直平分线时，一定要证明直线 上有两点到线段两个端点的距离相等 .
感悟新知
知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC， 点 E 是 AC上一点 . 求证： (1) BE=DE；
感悟新知
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求 的线段向已知条件转化 .
知1－练
解： ∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD. ∴ △ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8 cm. ∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.
北师大数学八下课件3.线段的垂直平分线
∴ BE垂直平分CD．
点评 证明线段的垂直平分线与证明点在线段的垂直平 分线上不同，证明点在线段的垂直平分线必须要证明有两个 点到这条线段的两个端点的距离相等．
举一反三
如图1-3-7，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥
AC于点F.求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD为∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90°. 又∵AD=AD, ∴△AED≌△AFD（AAS）. ∴AE=AF，DE=DF. ∴点A在EF的垂直平分线上, 点D在EF的垂直平分线上. ∴AD垂直平分EF.
广东学导练
数学
八年级下册
配北师大版
第一章
3
三角形的证明
线段的垂直平分线
课前预习
1． 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ A ） A． 三边垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点 C． 三条高的交点 D． 三边中线的交点 2. 如图1-3-1，在△ABC中， ∠B＝30°，BC的垂直平分线交 AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB， 若BE＝2，则AE的长为 （ B ） A. B. 1 C. D. 2
新知3
用直尺和圆规作线段的垂直平分线
用直尺和圆规可以作已知线段的垂直平分线. 【例3】已知线段AB（如图1-3-8），求作线段AB的垂直平分 线．
作法 （1）分别以点A和点B为圆心、以大于AB的长为半
径作弧，两弧相交于点C和D；
（2）作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线（如图1-3-9）．
【例4】如图1-3-10，在一条河岸边有两个仓库A，B，现在要
在公路（曲线部分）上寻找一处建货 要使公路上的点C到A，B两处的距离相等，则点C 一定在线段AB的垂直平分线上，因此只需作线段AB的垂直平 分线，它与公路的交点即为货栈的位置．
北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分
线 上.
几何语言：
∵ AP＝BP ，
∴点P在AB的垂直平分线上．
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中， = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
A．AB＞AC＝CE
B．AB＝AC＞CE
数学(RS版)
八年级下册
第一章 三角形的证明
第7课
线段垂直平分线的性质与判定
新课学习
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 ．
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ AC＝BC ．
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
北师大版八年级数学(下)第一章 线段的垂直平分线
1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。
4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。
北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线及作图
提示:AB是线段CD的垂直平 分线能带给我们哪些新的条 件？
合作探究
合作探究
逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.
证明思路: 1.PA=PB能判定△PAB为何种特殊形状 2.等腰三角形 “三线合一” 3.顶角顶点P一定在线段AB的垂直平分线上
∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知)， ∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC
aA
c
b
P
B
C
合作探究
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 如果能，能作出几个?所作出的三角形都全等吗? C
A
D
B
合作探究
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰 三角形吗?能作几个?
1.垂直平分线的性质定理
“
“
三
二
个 定
2.垂直平分线的判定定理
个 作
理 ”
aA
图 ”
c
b
P
B
C
合作探究 垂直平分线的判定定理
几何语言描述： 如图， ∵PA=PB(已知)，
∴点P在AB的垂直平分线上
合作探究
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
aA
观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. c
b
如何证明这个结论呢？
P
B
C
证明思路:我们知道，两条直线相交只有一个交点。要想证明 三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上 即可.可应用垂直平分线的逆定理来证明.
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线及作图课件2021—2022学年北师大版数学八年级下册
导入新课
合作学习
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修
建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个
小区的距离相等？
A
·
猜想：三角形三边垂直平分
线交于一点，这一点到三角
·
·
形三个顶点的距离相等。
B
C
画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，
5.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边 的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F .
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
解：∵DM是AC边的垂直平分线, ∴MA=MC, ∵EN是BC边的垂直平分线, ∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC =△CMN的周长=20 cm.
1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图
北师大版 八年级下
情境引入 线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
•点P在线段AB 的垂直平分线上
互为
逆定理
PA=PB
到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距
（3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且 它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧．
例3 已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形.
已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a h
作法：
应用格式：
北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》说课课件
教学难点 是在认识定理内涵的基础上，通过证明来验证定理 的合理性，从而使对定理的认识从感性上升到理性， 能说出作图的根据，认识作图也是定理的直接应用， 理解证明“三线共点”的方法。
教法和学法
本课通过多媒体辅助手段，以学生自主探索为中心 组织课堂教学活动，以合适学生心理特征的情境问题为 依托，以情境的展开探索为发展途径，实现“问题情 境——规律——发展”这一过程。在整个教学过程中， 教师通过启示、引导，让学生自主探索、合作交流。体 现了教师是课堂的组织者、引导者、参与者。
实际应用 练习
想一想:
已知:如图,点A、B、C表示三个村庄，现在要建一个深水 井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管的长度相同， 水泵站应建在何处？说说你的理由。
A
B
C
练一练:
A
已知：如图，在△ABC中，AC的垂 直平分线分别交AB和BC于点D、E， E 且AD=BD， 求证：D在BC的垂直平分线上。
C
D B
作图应用
做一做1:
用尺规作线段的垂直平分线. 已知:如图,线段AB . 求作:线段AB的垂直平分线.
A
B
议一议:
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作几 个?所作出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能
作几个?
做一做2:
在这一过程中学生通过自主学习和与老师的互动交 流，积极思考，积极发表自己的见解，切身感受学习数 学的快乐，突现学生的主体地位，培养学生的创新意识。
学情分析
知识掌握上，在七年级（下）第七章中已经了解了“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这一 结论，所以知识的过渡上不会有困难，只是对该结论的正确 性产生置疑。
1.3.1线段垂直平分线的性质与判定-北师大版八年级数学下册习题课件
*9.(2020·河南)如图，在△ABC 中，AB＝BC＝ 3，∠BAC＝30°，
分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，
连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为( )
A．6 3 B．9
C．6
D．3 3
【点拨】如图，连接 BD 交 AC 于点 O，根据已知条件得到 BD 垂直平分 AC，进而得 BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的 性 质 得 到 ∠ACB ＝ ∠BAC ＝ 30°， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠DAC＝∠DCA＝60°，易得△ABD，△BCD 均为含 30°角的直 角三角形，可求得 AD＝CD＝ 3AB＝3， 于是 S 四边形 ABCD＝12AB·AD＋12BC·CD＝3 3. 【答案】D
*10.如图，点 C 是△ABE 的 BE 边上一点，点 F 在 AE 上，D 是 BC 的中点，且 AB＝AC＝CE.给出下列结论： ①AD⊥BC；②CF⊥AE； ③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE. 其中正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】∵∴AB＋BD＝DC＋CE＝DE. ∴①④正确．由已知条件无法得到 CF⊥AE 和∠1＝∠2， ∴②③错误．
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
(2)AB＝BC＋AD. 提示：点击 进入习题
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
提示：点击 进入习题
提示：点击 进入习题
提示：点击 进入习题
提提示示： ：点点击击证进进明入入习习：题题 由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
12．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC，AM⊥ BC 于点 M，AD 平分∠MAC，交 BC 于点 D，交 BE 于点 F， AM 交 BE 于点 G.
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.3《线段的垂直平分线(第一课时)》课件
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真 命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线 段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的 真假．如果真，则需证明它；如果假，则需 用反例说明．
A
E D
B
补充练习：
已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分
线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线
上．
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理．
随堂练习 第1题 习题1.7 1、2、3
条直线）.
你还有其他证 明方法吗？
加强应用
在Rt △AN与AB相交于点D，则∠BCD的度数 是多少？ A
分析：由点D在线段AC的垂直平分线上，可以得到 DA=DC，即△DAC是等腰三角形，问题解决.
N
D
解： ∵点D在线段AC的垂直平分线上，
练一练
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC
内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两 个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
新北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》教学课件
M
C
D
A
B
N
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
学以致用
做一做
B
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．DE垂
直平分AB，交AC于点E，连接BE．若AE=5，
BC=3．则DE的长为（D ）
A
A.
B.
C.
D.
D
E
C
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
E
B
F
D
C
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：连接AF，
∵AD⊥BC，D为线段CE的中点，
∴AC=AF.
A
∵EF是线段AB的垂直平分线，
E
∴BF=AF.
∴AC=BF.
B
F
D
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第23页“随堂练习”.
第一章 三角形的证明
教学过程——课堂小结
第一章 三角形的证明
两端点距离相等的点的问题. 根据题目要求可知，点P
为线段AB的垂直平分线与公路的交点.
解：点P的位置如图所示，
A
B
∙
P
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
例2 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC
于点E，交AB于点F，AD⊥BC于D，若点D为线段CF
的中点．
求证：AC=BF．
A
记一记
本节课学习了线段垂直平分线的性质和判定.
定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.
北师大版数学八年级下册.1线段的垂直平分线课件
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所 在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝ __7_0_°__或__2_0_°.
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形， 如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C ＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所 示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°. 故∠B＝70°或20°.
分析：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
新课讲授
练一练
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是 AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
直平分线上． 5．作用：
①作线段的垂直平分线的根据； ②可用来证线段垂直、相等．
新课讲授
典例分析
例 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC是△ABC内一点，且 OB＝OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC.
新课讲授
证明：∵ AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定 一条直线）.
新课讲授
练一练
如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A ) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
课堂小结
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点 距离都相等. 判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的 垂直平分线上. 线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离 相等的所有点的集合.
第2课时 线段的垂直平分线的性质(一)ppt课件
5. 在联欢晚会上，有A，B，C三名同窗站在一个三角形的 三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放 一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，那么凳子
应放的最适当的位置在△ABCＤ的( )
A． 三边中线的交点 B． 三条角平分线的交点 C． 三边上高的交点 D． 三边中垂线的交点
8． 如图13-1-25，有A，B，C三个居民小区，其位置成三 角形，现决议在三个小区之间建筑一个休闲广场，使广场到 三个小区的间隔相等，那么广场应建在 _三__边__垂_直__平__分__线__的_交__点__处____．
分层练习·B组
9. 知：如图13-1-26，直线AB与直线BC相交于点B，点D是 直线BC上一点. 求作一点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D 两点的间隔相等.
解：如答图13-1-4. 作法如下. ①作BD的垂直平分线MN； ②经点D作DE∥AB，交MN于点E. ∴点E即为所求.
10. 如图13-1-27，AO，OB是相互垂直的墙壁，墙角O处是 一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜， 假设猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快 能截住老鼠的位置C.
①AO＝BO；②PO⊥AB； ③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
典型例题
新知2：线段的垂直平分线的画法以及运用 【例3】某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个文娱工程， 现要在公园内建一个售票中心，使得三个文娱工程所处位置 到售票中心的间隔相等，请在图13-1-19中确定售票中心的 位置．
的度数是( )
北师大版八年级下册数学课件1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定
证明：∵GB＝GC，AB＝AC， 【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB. ∴点B在线段AF的垂直平分线上．
又(2)∵点两D点在确AG定上一，条求直∴证线：，点DBG＝D，C. 点A在BC的垂直平分线上．
探究培优
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点 N，交BC的延长线于点M. (1)若∠A＝40°，求∠NMB的度数．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝180°－ 2 40°＝70°. 又∵MN⊥AB， ∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
探究培优
(2)点D在AG上，求证：DB＝DC.
A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
选项A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正确；
夯实基础
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在 点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
【点拨】∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E，∴BD＝AD，AE＝EC，∴△ADE的周长 ＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
整合方法
(2)点D在AG上，求证：DB＝DC. 解：∵AG垂直平分BC，点D在AG上， ∴DB＝DC.
北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》说课稿
北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》这一节主要介绍了线段的垂直平分线的性质和判定。
通过这一节的学习，学生能够理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析在八年级下册的学生已经有了一定的几何基础，他们已经学习了线段、射线、直线等基本概念，并对这些概念有了初步的理解。
但是，对于线段的垂直平分线这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的实例和讲解来进行理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法。
2.过程与方法：学生能够通过观察、实验、推理等方法来探索线段的垂直平分线的性质和判定方法。
3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，提高对几何图形的观察和思考能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法。
2.教学难点：线段的垂直平分线的判定方法的理解和运用。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.引入：通过一个实际问题，引出线段的垂直平分线的概念。
2.讲解：讲解线段的垂直平分线的性质和判定方法，结合具体的实例进行讲解。
3.探索：学生分组进行实验和探索，通过观察和推理来验证线段的垂直平分线的性质和判定方法。
4.总结：学生进行总结，教师进行点评和讲解。
5.练习：学生进行练习，教师进行指导和解答。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出线段的垂直平分线的性质和判定方法。
可以采用图示和的形式进行展示。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况、练习的正确率等方式进行。
同时，还要关注学生的思维过程和方法，以及对几何图形的观察和思考能力的培养。
九. 说教学反思在教学过程中，要注意观察学生的反应和学习情况，及时进行调整和讲解。
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B●
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
独立作业
3
习题1.7
3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线 交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC 的长. A
D
E
B
C
老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东西,纳 入到自己的认知结构中去.
悟
下课了!
结束寄语
做一做
1
尺规作图
C
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长
A
B
为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
C N
B
独立 作业
习题 知识的升华
祝你成功！
独立作业
1
习题1.6
1.画一个三角形，用尺规作它三条边的垂直平 分线.观察这三条垂直平分线的位置关系，你发 现了什么？再换一个三角形试一试.
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
独立作业
2
习题1.7
4. 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河 岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等, 码头应建造在什么位置？
AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（ A SAS）.
C N B
故结论可证. 老师期望:你能写出规范的证明过程吗？
开启
智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. M
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点的距 离相等).
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应, 言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原 则.
P
C N
B
老师提示:这个结论是经常用来证明
两条线段相等的根据之一.
思 进步的标志 考 你能写出“定理 线段垂直平分线上 分 的点到这条线段两个端点的距离相等” 析
的逆命题吗? 逆命题 到一条线段两个端点的距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. P 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB. B 求证:点P在AB的垂直平分线上. A 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先 作出过点P的AB的垂线(或AB的中线,),然后证明另 一个结论正确. 想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证 ?
我能行
1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. M 如图, P ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A B 线段的垂直平分线上). C
N
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么?
3 线段的垂直平分线
第1课时
回顾
思考
线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. M P 分析:要证明PA=PB,就需要证明
PA,PB所在的△APC≌△BPC， 而△APC≌△BPC的条件由已知
试一试
2
梦想成真
1.已知直线和其上一点P,利用尺规作一垂线,使它经 过点P.
P
●
l
小结
ห้องสมุดไป่ตู้
拓展
回味无穷
M
P
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点距离相等. 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离相 A 等的点,在这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线 段两个端点距离相等的点,在这条线 段的垂直平分线上).
D
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我 们也用这种方法作线段的中点.
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平
分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600,那 么∠EDC= 60 0.
C A B D
E
老师期望:
你能说出填空结果的根据.