2014届高三数学北京各区模拟分类汇编-统计(理)
北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷(带解析)
北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷(带解析)1.已知集合{|20}A x x =-<,{|}B x x a =<,若A B A =,则实数a 的取值范围是( )(A )(,2]-∞- (B )[2,)-+∞ (C )(,2]-∞ (D )[2,)+∞ 【答案】D 【解析】试题分析:{|20}{|2}A x x x x =-<=<,{|}B x x a =<,A B A =,则A B ⊆,2a ≥.考点:集合的运算.2.在复平面内,复数2=(12i)z +对应的点位于( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 【答案】B 【解析】试题分析:2=(12i)34z i +=-+,在复平面内对应的点位于第二象限. 考点:复数的运算,复数的几何意义.3.直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>:的一条渐近线,则双曲线C 的离心率是( )(A (B (C (D 【答案】A 【解析】试题分析:由题意可得2b a =,即22222241b c a e a a-===-,所以25e =,即e = 考点:双曲性的几何意义.4.某四棱锥的三视图如图所示,记A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )A .,且B .,且C .,且D .,且【答案】D 【解析】试题分析:由三视图可知,该四棱锥是底面对角线长为2,高为4的正四棱锥,因此它的底考点:三视图.5.设平面向量a ,b ,c 均为非零向量,则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析:由b c =得,0b c -=,得()0a b c ⋅-=;反之不成立,故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件. 考点:充要条件的判断.6.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是( )(A )1 (B )2 (C )π2(D )π【答案】B 【解析】图形的面积,2222cos sin 2S xdx xππππ--===⎰,故选B .考点:定积分求面积。
2014年北京市各区高三一模试题汇编理科解析几何
2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>,的渐近线与圆()2221x y -+=相切,则双曲线的离心率为( ).A .2 BCD答案:C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上,则p =___8__;C 的准线方程为__4x =-___.3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的(A ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln(1)y x =+上,若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ,则( B ).A .0a =B .1a =C .2a =D .2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切,则=m ____34___.6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ,N ,且MN ON ≥+uuu r r uuu r,其中O 是坐标原点,则实数m的取值范围是(D )A.(-UB.(⎡--⎣UC .[2,2]-D.[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2,则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点,若线段FB 的中点在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为(D ) A .2B .8C D .410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ,在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为(A )A B .3C .125D .111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线()的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,垂足为.如果是边长为的正三角形,则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数,若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点,则m=___16___1. 13 (2014年东城一模理科) (本小题共13分)已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -. (1)求椭圆G 的方程;(2)设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点,且||||BM BN =,求直线l 的方程.解:(Ⅰ)因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -,.所以1b =,由22111a ⎝⎭+=,得23a =. 所以椭圆G 的方程为2213x y +=.(Ⅱ)显然直线l 的斜率k 存在,且0k ≠.设直线l 的方程为32y kx =+.由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△,2512k >.设()11M x y ,,()22N x y ,,MN 中点为()22Q x y ,, 得12229262x x k x k +==-+,12623262y y y k +==+. 由BM BN =,知BQ MN ⊥,所以6611y x k +=-,即2231162962k k k k ++=--+. 化简得223k =,满足0>△.所以k = 因此直线l的方程为32y =+. 14 (2014年西城一模理科)(本小题满分14分)已知椭圆2212x W y +=:,直线l 与W 相交于,M N 两点,l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线l 的方程为210x y +-=,求OCD ∆外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为直线l 的方程为210x y +-=,所以与x 轴的交点(1,0)C ,与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24,||CD ==, ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24,半径为1||2CD =, 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分(Ⅱ)解:结论:存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下:由题意,设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠,11(,)M x y ,22(,)N x y , 则 (,0)mC k-,(0,)D m , ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=, ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>, (*) …… 8分由韦达定理,得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-, …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==, 解得m =.……… 13分 验证知(*)成立.所以存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,此时直线l 的方程为y x =,或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)(本小题满分14分)已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点,点M 的坐标为(1,0).(Ⅰ)当,A B 两点关于x 轴对称,且MAB ∆为等边三角形时,求AB 的长; (Ⅱ)当,A B 两点不关于x 轴对称时,证明:MAB ∆不可能为等边三角形. 解:(Ⅰ)设00(,)A x y ,00(,)-B x y ,————————————————1分因为∆ABM为等边三角形,所以00|||1|=-y x .————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上,所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ,———————————3分 得到2003280--=x x ,解得02=x 或043=-x ,—————————4分 当02=x时,||=AB 当043=-x时,||=AB .———————————————————5分 {说明:若少一种情况扣2分}(Ⅱ)法1:根据题意可知,直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 中点为00(,)N x y ,联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ,————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k ,——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k,又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形,则有⊥MN AB ,————————————9分所以1MN k k ⨯=-,即2222313123mk k km k+⨯=---+,—————————————10分 化简2320k km ++=,②—————————————11分由②得232k m k+=-,代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<,化简得2340+<k ,不成立,————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.——————————14分法2:设11(,)A x y ,则2211239x y +=,且1[3,3]x ∈-,所以||MA ==———8分 设22(,)B x y,同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以,有12x x =⇔||||MA MB =,————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称,所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠,————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形.———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.解:(Ⅰ)由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得=2a ,1b =.所以椭圆C 的方程是2214x y +=.………………………… 4分(Ⅱ)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2122814k x x k +=+,21224414k x x k -=+.又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点(2,0)M .由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--,故点112(0,)2y P x --. 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--,故点222(0,)2y Q x --. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ,则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立. 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ,2022(,)2y QN x x =-uuu r , 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立.又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+, 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+, 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+.解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(.………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点,线段AB的中点为M,直线:交椭圆E 于C,D 两点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)求证:点M 在直线上;(Ⅲ)是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)由题意可知,,于是. 所以,椭圆的标准方程为程.------ ---------3分(Ⅱ)设,,,22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以,,,, 于是.,所以在直线上----8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等,若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍,则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是M 为OC 中点,;设点C 的坐标为,则.因为,解得. 于是,解得,所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>,称圆心在原点O ,半C的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ,,其短轴上的一个端点到F(Ⅰ)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点P 作椭圆的切线12l l ,交“准圆”于点M N ,. (ⅰ)当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时,求直线12l l ,的方程并证明12l l ⊥; (ⅱ)求证:线段MN 的长为定值. 解:(Ⅰ)21c a b ==∴=,,∴椭圆方程为2213x y +=,………………………………2分准圆方程为224x y +=.………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±(Ⅱ)(ⅰ)因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ,, 设过点(02)P ,且与椭圆相切的直线为2y kx =+, 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切,所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=,解得1k =±,………………………………6分所以12l l ,方程为22y x y x =+=-+,.………………………………7分 ,12l l ∴⊥.………………………………8分(ⅱ)①当直线12l l ,中有一条斜率不存在时,不妨设直线1l 斜率不存在, 则1l:x =1l:x =与准圆交于点1)1)-, 此时2l 为1y =(或1y =-),显然直线12l l ,垂直; 同理可证当1l:x =12l l ,垂直.………………………………10分 ②当12l l ,斜率存在时,设点00()P x y ,,其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ,与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+, 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=, 因为22004x y +=,所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ,的斜率分别为12t t ,,因为12l l ,与椭圆相切, 所以12t t ,满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=, 所以121t t ⋅=-,即12l l ,垂直.………………………………12分 综合①②知:因为12l l ,经过点00(,)P x y ,又分别交其准圆于点M N ,,且12l l ,垂直. 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径,||4MN =, 所以线段MN 的长为定值.………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率,长轴的左右端点分别为,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设动直线与曲线有且只有一个公共点,且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过定点,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)由已知————2分,椭圆的方程为;————4分,即————10分,对满足恒成立,,故在轴上存在定点,使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ,椭圆C 的右顶点为B ,点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点,直线AS ,BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求线段MN 的长度的最小值.解:(Ⅰ).椭圆C 的方程为1422=+y x .………………3分(Ⅱ)直线AS 的斜率k 显然存在,且0>k ,故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ,………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ,………………7分 设),(11y x S ,则22141416)2(k k x +-=⨯-,得2214182k k x +-=,………………8分 从而21414k k y +=,即)414,4182(222kkk k S ++-,………………9分 又)0,2(B ,故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -,………………11分 故kk MN 216||+=,………………12分 又∵0>k ,∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ,………………13分 当且仅当k k 216=,即63=k 时等号成立, ∴63=k 时,线段MN 的长度取得最小值为32.……………………14分。
北京市大兴区2014年高三一模数学(理)试题及答案
北京市大兴区2014年高三统一练习数学(理科)本试卷分两部分,第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)共4页,共150分,考试时间120分钟。
考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}1,0,1A =-,{}10B x x =+>,那么AB 等于A. {}1,0,1-B. {}0,1C. (1,)-+∞D. [)1,-+∞ (2)复数1i1i+=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i (3)在极坐标系中,点(1,0)到直线π()4θρ=∈R 的距离是 A. 12 B. 22C. 1D.2(4)将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位后,所得图像的解析式是 A. πsin(2)3y x =+ B.πsin(2)3y x =- C. πsin(2)6y x =+ D.πsin(2)6y x =- (5)“0x >”是“12x x+≥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件(6)不等式组06,023x y x y +⎧⎨-⎩≤2≤≤≤在坐标平面内表示的图形的面积等于 A. 95 B. 185 C. 365D.1855(7)某三棱锥的三视图如图所示,则其表面中,直角三角形的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个(8)给出下列函数:①12()f x x =;②()2x f x =;③2()log f x x =;④()sin f x x =.则满足关系式1313()()()()2222f f f f ''>->的函数的序号是A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)椭圆2214x y +=的离心率等于 . (10)11x dx -=⎰ . (11)在锐角ABC 中,3a =,4b =,33ABC S =,则角C =__.(12)当圆224xy 的圆心到直线1y kx =+的距离最大时,k = .(13)已知数列{}n a 满足121a a ==,22,1,,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为偶数为奇数,则56a a += ; 前2n 项和2n S = .(14)如图所示,点,A B 是圆O 上的两点,120AOB ∠=,点D 是圆周上异于A ,B 的任意一点,线段OD 与线段AB 交于点C .若OC mOA nOB =+,则m n += ;若OD OA OB μλ=+,则μλ+的取值范围是 .三、解答题共6小题,共80分。
2014年北京市西城区高三二模数学(理)试卷Word版带解析
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学(理科) 2014.5第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|20}A x x =-<,{|}B x x a =<,若A B A = ,则实数a 的取值范围是( ) (A )(,2]-∞-(B )[2,)-+∞(C )(,2]-∞(D )[2,)+∞解析:{|20}{|2}A x x x x =-<=<,,A B A A B =⊆ ,所以满足2a ≥,所以答案选择D. 知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数:22.在复平面内,复数2=(12i)z +对应的点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限(D )第四象限解析:22=(12i)14434z i i i +=++=-+,所以复数对应的点(-3,4)点在第二象限。
知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数:23.直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>:的一条渐近线,则双曲线C 的离心率是( )(A )5(B )52(C )3(D )32解析:双曲线的渐近线方程为b y x a =±,2222222,,5,5,5bc a b c a e e a∴==+===,所以答案为C知识点:解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数:34.某四棱锥的三视图如图所示,记A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ) (A ) 2A ∈,且4A ∈ (B )2A ∈,且4A ∈(C ) 2A ∈,且25A ∈ (D )2A ∈,且17A ∈解析:有三视图可得,该四棱锥是底面边长为2的正方形,高为4的正四棱锥,所以每个侧棱长为24117+=。
2014年高三二模数学(理)北京市海淀区试题Word版带解析.doc
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习数 学(理科) 2014.5一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.sin(150)-的值为A.12-B.12C..解析:01sin(150)sin1502-=-=-知识点;三角函数--------三角函数-------诱导公式 难度系数:22.已知命题:p “0a ∀>,有1ae ≥成立”,则p ⌝为A.0a ∃≤,有1a e ≤成立B.0a ∃≤,有1ae ≥成立 C.0a ∃>,有1ae <成立 D.0a ∃>,有1ae ≤成立解析:命题的否命题,存在变为任意,任意变为存在,条件不变,结论变为对立。
知识点:集合与逻辑用语---------常用逻辑用语---------全称量词与存在性量词难度系数:13.执行如图所示的程序框图,若输出的S 为4,则输入的x 应为 A.2- B.16 C. 2-或8 D. 2-或16解析:该程序框图是一分段函数21,log ;4,16;1,2,16, 2.x x S x S x x S S x ->===≤===-知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数:24.在极坐标系中,圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为 A.12 .解析:把极坐标方程转化为标准方程,两边同乘以ρ,222222sin ,2,(1)1x y y x y ρρθ=+=+-=圆心到极轴的距离为1. 知识点:解析几何---------极坐标方程-------简单曲线的极坐标方程难度系数:25.已知(,)P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,表示的平面区域内的一点,(1,2)A ,O 为坐标原点,则OAOP 的最大值A.2B.3C. 5D. 6解析:本题为不等式和向量的综合问题,做出平面区域2OA OP x y •=+,做出平面区域,把区域交点坐标带入,所以2OA OP x y •=+的最大值是6.知识点:不等式--------线性规划----------线性规划;平面向量---------数量积及其应用-------数量积的定义 难度系数:36.一观缆车的主架示意图如图所示,其中O 为轮轴的中心,距地面32m (即OM 的 长),巨轮的半径30m ,2AM BP ==m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈, 若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为()h t m , 则()h t = A.30sin()30122t ππ-+ B. 30sin()3062t ππ-+ C. 30sin()3262t ππ-+D. 30sin()62t ππ-解析:根据题意,函数的周期是2126ππ=,当t=0时,h (t )=0,所以答案B. 知识点:三角函数-----------三角函数-----------三角函数应用 难度系数:37.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是 A.(2,4) B.(,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (4,)+∞ 解析:等差数列的单调性与公差d有关,d>0数列是增的,110181954,294,7272222a a a d a a d d d d +=+==+=-+=+>,所以答案C.知识点:数列-----------等差数列难度系数:38.已知点E ,F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱AB ,1AA 的中点, 点M ,N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有 A.0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条.解析:直线11,D E C F 在平面上有投影,过F 一定能做出底面的平行面,此时面与11,D E C F 一定相交,所以这样的平面有无数多条。
2014北京东城高考二模数学理(含答案)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习(二)高三数学 (理科)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)设集合{12}A x x =∈+≥R ,集合{2,1,0,1,2}B =--,则AB =( ).A .{2}B .{1,2}C .{0,1,2}D .{1,0,1,2}-(2)在复平面内,复数32i 1i--对应的点位于( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(3)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x 值为( ).A .2或2-B .1-或2-C .1或2-D .2或1-(4)如果实数x ,y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为( ).A .3-B .1-C .0D .1(5)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,236n n S S +-=,则n =( ). A .5 B .6C .7D .8(6)6个人站成一排,其中甲、乙必须站在两端,且丙、丁相邻,则不同站法的种数为( ).A .12B .18C .24D .36(7)若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα(α为参数)所截的弦长为22,则a 的值为( ).A .1 或5B .1- 或5C .1 或5-D .1- 或5-(8)对任意实数a ,b 定义运算“⊙”:,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++,若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点,则k 的取值范围是( ).A .(2,1)-B .[0,1]C .[2,0)-D .[2,1)-第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. (9)已知tan =2α,那么cos 2=α .(10)已知平面向量a ,b ,若3=a ,13-=a b ,6⋅=a b ,则=b ;向量a ,b 夹角的大小为 .(11)在区间[0,6]上随机取两个实数x ,y ,则事件“26x y +…”的概率为_________.(12)如图所示,PA 与圆O 相切于A ,直线PO 交圆O 于B ,C 两点,AD BC ⊥,垂足为D ,且D 是OC 的中点,若6PA =,则PC = .(13)若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,且A ,B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ,N ,若2BN AM =,则k 的值是 .A BCPD O·(14)在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,点P 是正方体棱上一点(不包括棱的端点),1PA PC m +=,①若2m =,则满足条件的点P 的个数为________;②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6,则m 的取值范围是________. 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++.(Ⅰ)求()12f π的值; (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,求函数()f x 的最大值和最小值.(16)(本小题共13分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄段在[10,20),[20,30),,[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;(Ⅱ)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,求[50,60)年龄段抽取的人数; (Ⅲ)从按(Ⅱ)中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者,记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数,求X 的分布列及数学期望.0.020 0.02510 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距(17)(本小题共14分)如图,四棱锥E ABCD -中,平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =,2BC CD EA ED ====.(I )求证:BD ⊥平面ADE ;(II )求BE 和平面CDE 所成角的正弦值;(III )在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ,请说明理由.DCBEA(18)(本小题共13分)已知0a >,函数2()21axf x a x =++,()ln g x a x x a =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)求证:对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有12()()f x g x >.(19)(本小题共13分)已知椭圆22221x ya b+=的一个焦点为(2,0)F,且离心率为63.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于,A B两点,P为直线3x=上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.(20)(本小题共14分)设a 是一个自然数,()f a 是a 的各位数字的平方和,定义数列{}n a :1a 是自然数,1()n n a f a -=(*n ∈N ,2n ≥).(Ⅰ)求(99)f ,(2014)f ; (Ⅱ)若1100a ≥,求证:12a a >;(Ⅲ)当11000a <时,求证:存在*m ∈N ,使得32m m a a =.东城区2013-2014学年第二学期综合练习(二)高三数学参考答案及评分标准 (理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) (1)B (2)A (3)C (4)D (5)D (6)C (7)A (8)D 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (9)35- (10)4 60(11)14(12)23 (13)223(14)6 (3,5) 注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分. 三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分)解:(Ⅰ)2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+. 所以1()122f π=. …………………7分 (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤. 所以,当266x ππ-=-时,即0x =时,函数()f x 取得最小值0; 当262x ππ-=时,即3x π=时,函数()f x 取得最大值32.…………………13分(16)(共13分)解:(Ⅰ)110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=,1000.35⨯=,即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35.………………………4分 (Ⅱ)1000.1515⨯=,1000.055⨯=,所以85220⨯=, 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2. ……………………7分(Ⅲ)X 的所有可能取值为0,1,2.36385(0)14C P X C ===;12263815(1)28C C P X C ===; 2126383(2)28C C P X C ===.所以X 的分布列为X 0 1 2P514 1528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.………………………13分 (17)(共14分)解:(I )由BC CD ⊥,2BC CD==.,可得22BD =.由EA ED ⊥,且2EA ED ==, 可得22AD =. 又4AB =. 所以BD AD ⊥.又平面EAD ⊥平面ABCD , 平面ADE平面ABCD AD =,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥平面ADE . ……………5分 (II )如图建立空间直角坐标系D xyz -,则(0,0,0)D ,(0,22,0)B ,(2,2,0)C -,(2,0,2)E ,(2,22,2)BE =-,(2,0,2)DE =,(2,2,0)DC =-.D B ACEzxy设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量,则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ,即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =,则(1,1,1)=-n .设直线BE 与平面CDE 所成的角为α, 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n . 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23. ……………10分 (III )设CF CE =λ,[0,1]λ∈.(2,2,0)DC =-,(22,2,2)CE =-,(0,22,0)DB =.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ.设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量,则0EB ⋅=n ,0EF ⋅=n ,即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ 令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m .若平面BEF ⊥平面CDE ,则0⋅=m n ,即2110λλ-+=,1[0,1]3λ=∈. 所以,在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分(18)(共13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111, 因为0a >,所以,当1x <-,或1x >时,'()0f x <;当11x -<<时,'()0f x >.所以,()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1.……6分(Ⅱ)因为()f x 在区间(,)01上单调递增,在区间(,e)1上单调递减,又()f a =02,e (e)e a f a a =+>+2221, 所以,当(,e)x ∈0时,()f x a >2.由()ln g x a x x a =-+,可得'()1a a x g x x x-=-=. 所以当e a ≥时,函数()g x 在区间(0,e)上是增函数,所以,当(,e)x ∈0时,()(e)g x g a e a <=-<22.所以,当(,e)x ∈0时,对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有1()2f x a >,2()2g x a <,所以12()()f x g x >. 当0e a <<时,函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数,在区间(,e)a 上是减函数, 所以,当(,e)x ∈0时,()()ln g x g a a a a ≤=<2.所以,当(,e)x ∈0时,对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有1()2f x a >,2()2g x a <,所以12()()f x g x >. 综上,对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有12()()f x g x >. ……………13分(19)(共13分)解(Ⅰ)依题意有2c =,63c a =. 可得26a =,22b =.故椭圆方程为22162x y +=. ………………………………………………5分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =-.联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ,22(,)B x y . 故21221231k x x k +=+,212212631k x x k -=+. 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+. 设AB 的中点为00(,)M x y .可得202631k x k =+,02231k y k =-+. 直线MP 的斜率为1k-,又 3P x =, 所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+. 当△ABP 为正三角形时,32MP AB =, 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++, 解得1k =±.即直线l 的方程为20x y --=,或20x y +-=.………………………………13分(20)(共14分)解:(Ⅰ)22(99)99162f =+=;2222(2014)201421f =+++=. ………………5分(Ⅱ)假设1a 是一个n 位数(3n ≥),那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+,其中09i b ≤≤且i b ∈N (1i n ≤≤),且0n b ≠.由21()a f a =可得,2222221321n n a b b b b b -=+++++.1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---.因为0n b ≠,所以1(10)99n n n b b --≥.而11(1)72b b -≤,所以120a a ->,即12a a >. ………………9分(Ⅲ)由11000a <,即1999a ≤,可知2222999243a ≤++=.同理999n a ≤,可知2221999243n a +≤++=.由数学归纳法知,对任意*n ∈N ,有999n a ≤.即对任意*n ∈N ,有{1,2,3,,999}n a ∈.因此,存在,*p q ∈N (p q <),有p q a a =.则11p q a a ++=,22p q a a ++=,…,11q q q p a a -+--=,可得对任意*n ∈N ,n p ≥,有n q p n a a +-=.设q p T -=,即对任意n p ≥,有n T n a a +=.若T p ≥,取m T =,2n m =,则有32m m a a =.若T p <,由n T n a a +=,可得n pT n a a +=,取m pT =,2n m =,则有32m m a a =. ………………14分。
北京市丰台区2014年高三一模理科数学试题及答案
丰台区高三一模2014.3第一部分 (选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 (A ) {|13}x R x ∈-≤≤ (B ) {|03}x R x ∈≤≤ (C ) {|10}x R x ∈-≤≤ (D ) {|01}x R x ∈≤≤ (2)在极坐标系中,点A (1,π)到直线cos 2=ρθ的距离是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (3)执行如图所示的程序框图,输出的x 值为(A )85 (B )2912(C )53 (D )138(4)已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数,且(3)(1)f f >,则下列各式中一定成立的是(A )(0)(6)f f < (B )(-3)(-2)f f > (C )(1)(3)f f -< (D )(-2)(1)f f > (5) “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (6)某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔,甲、乙两人成绩突出,得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲,x 乙,则下列说法正确的是 (A )x x >甲乙,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 (B )x x >甲乙,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 (C )x x <甲乙,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛(D )x x <甲乙,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛(7)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是(A )143 (B )4 (C )103(D )3(8)如果某年年份的各位数字之和为7,我们称该年为“七巧年”.例如,今年 年份2014的各位数字之和为7,所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有(A )24个 (B )21个 (C )19个 (D )18个第二部分 (非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
2014北京西城高三二模数学(理)试卷与解析(易题库教研团队出品)
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学(理科) 2014.5第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|20}A x x =-<,{|}B x x a =<,若A B A =,则实数a 的取值范围是( )(A )(,2]-∞-(B )[2,)-+∞(C )(,2]-∞(D )[2,)+∞解析:{|20}{|2}A x x x x =-<=<,,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥,所以答案选择D.2.在复平面内,复数2=(12i)z +对应的点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限(D )第四象限解析:22=(12i)14434z i i i +=++=-+,所以复数对应的点(-3,4)点在第二象限。
3.直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>:的一条渐近线,则双曲线C 的离心率是( )(A (B (C (D解析:双曲线的渐近线方程为b y x a =±,2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===以答案为C4.某四棱锥的三视图如图所示,记A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ) (A ) 2A ∈,且4A ∈ (BA ,且4A ∈(C ) 2A ∈,且A (DAA解析:4的正四棱锥,所以每个=D 。
5.设平面向量a ,b ,c 均为非零向量,则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件解析:平面向量a ,b ,c 均为非零向量,()0⋅-=a b c ,可以得出=b c 或者()⊥-a b c ;所以为必要不充分条件。
答案为B.6.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是( )(A )1(B )2(C )π2(D )π解析:求解阴影部分的面积要利用积分的方法332222(0cos )sin (11)2x dx xππππ-=-=---=⎰。
2014年北京市海淀区高三二模数学(理)试题Word版带解析
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习数 学(理科) 2014.5一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.sin(150)- 的值为A.12-B.12C. 32-D. 32.解析:01sin(150)sin1502-=-=-知识点;三角函数--------三角函数-------诱导公式 难度系数:22.已知命题:p “0a ∀>,有1ae ≥成立”,则p ⌝为A.0a ∃≤,有1a e ≤成立B.0a ∃≤,有1ae ≥成立 C.0a ∃>,有1ae <成立 D.0a ∃>,有1ae ≤成立解析:命题的否命题,存在变为任意,任意变为存在,条件不变,结论变为对立。
知识点:集合与逻辑用语---------常用逻辑用语---------全称量词与存在性量词难度系数:13.执行如图所示的程序框图,若输出的S 为4,则输入的x 应为 A.2- B.16 C. 2-或8 D. 2-或16解析:该程序框图是一分段函数21,log ;4,16;1,2,16, 2.x x S x S x x S S x ->===≤===-知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数:24.在极坐标系中,圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为 A.1 B.2 C. 3 D. 2 .解析:把极坐标方程转化为标准方程,两边同乘以ρ,222222sin ,2,(1)1x y y x y ρρθ=+=+-=圆心到极轴的距离为1. 知识点:解析几何---------极坐标方程-------简单曲线的极坐标方程难度系数:25.已知(,)P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,表示的平面区域内的一点,(1,2)A ,O 为坐标原点,则OA OP的最大值是否开始输入1>xx S -=2 x S 2log =输出S结束A.2B.3C. 5D. 6解析:本题为不等式和向量的综合问题,做出平面区域2OA OP x y ∙=+,做出平面区域,把区域交点坐标带入,所以2OA OP x y ∙=+的最大值是6.知识点:不等式--------线性规划----------线性规划;平面向量---------数量积及其应用-------数量积的定义 难度系数:36.一观缆车的主架示意图如图所示,其中O 为轮轴的中心,距地面32m (即OM 的 长),巨轮的半径30m ,2AM BP ==m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈, 若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为()h t m , 则()h t = A.30sin()30122t ππ-+ B. 30sin()3062t ππ-+ C. 30sin()3262t ππ-+D. 30sin()62t ππ-解析:根据题意,函数的周期是2126ππ=,当t=0时,h (t )=0,所以答案B. 知识点:三角函数-----------三角函数-----------三角函数应用 难度系数:37.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是 A.(2,4) B.(,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (4,)+∞ 解析:等差数列的单调性与公差d有关,d>0数列是增的,110181954,294,7272222a a a d a a d d d d +=+==+=-+=+>,所以答案C.知识点:数列-----------等差数列难度系数:38.已知点E ,F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱AB ,1AA 的中点, 点M ,N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有 A.0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条.解析:直线11,D E C F 在平面上有投影,过F 一定能做出底面的平行面,此时面与11,D E C F 一定相交,所以这样的平面有无数多条。
2014年高三一模数学(理)北京市西城区试题Word版带答案.doc
北京市西城区2014年高三一模试卷数 学(理科) 2014.4第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R ,集合2{|0}A x x =<≤,{|1}B x x =<,则集合()UA B =( )(A )(,2]-∞(B )(,1]-∞(C )(2,)+∞(D )[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ,(1,1)=b ,(5,1)=-c . 若()//k +a b c ,则实数k 的值为( ) (A )2(B )12(C )114(D )114-3.在极坐标系中,过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是( ) (A )2ρ=(B )2θπ=(C )cos 2ρθ= (D )sin =2ρθ4.执行如图所示的程序框图,如果输入2,2a b ==,那么输出的a 值为( ) (A )4 (B )16 (C )256 (D )3log 165.下列函数中,对于任意x ∈R ,同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是( ) (A )()sin =f x x (C )()cos =f x x (B )()sin cos =f x x x (D )22()cos sin =-f x x x6. “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n 等于( ) (A )3 (B )4(C )5(D )68. 如图,设P 为正四面体A BCD -表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ,如果集合M 中有且只有2个元素,那么符合条件的点P 有( )(A ) 4个 (B )6个(C )10个(D )14个BADC. P第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.设复数1ii 2ix y -=++,其中,x y ∈R ,则x y +=______. 10. 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上,则p =_____;C 的准线方程为_____.11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是________.12.若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形,则实数a 的取值范围是_______.13. 科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______. (用数字作答)14.如图,在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,AB BC ⊥,2AB =,1CD =,(0)BC a a =>,P 为线段AD (含端点)上一个动点,设AP xAD =,PB PC y ⋅=,对于函数()y f x =,给出以下三个结论:○1 当2a =时,函数()f x 的值域为[1,4]; ○2 (0,)a ∀∈+∞,都有(1)1f =成立;○3 (0,)a ∀∈+∞,函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.A BD CP三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知222b c a bc +=+.(Ⅰ)求A 的大小;(Ⅱ)如果cos =B ,2b =,求△ABC 的面积.16.(本小题满分13分)在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a ,b 的值;(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个,如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按.三个..等级分层抽样......所得的结果相同,求n 的最小值; (Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,E 是CD 的中点,1D E CD ⊥,22AB BC ==.(Ⅰ)求证:1⊥BC D E ; (Ⅱ)求证:1B C // 平面1BED ;(Ⅲ)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3,求线段1D E 的长度.18.(本小题满分13分)已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥.(Ⅰ)当0a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)如果对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有12()()f x f x <,求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆2212x W y +=:,直线l 与W 相交于,M N 两点,l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)若直线l 的方程为210x y +-=,求OCD ∆外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.120.(本小题满分13分)在数列{}n a 中,1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ,并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.(Ⅰ)试写出数列{}n a 的一个3项子列,并使其为等差数列;(Ⅱ)如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列,且{}n b 为等差数列,证明:{}n b 的公差d 满足108d -<<; (Ⅲ)如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列,且{}n c 为等比数列,证明:1231122m m c c c c -++++-≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学(理科) 2014.4一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.25-10.8 4x =-11. 12.(3,5) 13.4814.○2,○3注:第10题第一问2分,第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:因为 222b c a bc +=+,所以 2221cos 22b c a A bc +-==, ……………… 3分又因为 (0,π)∈A ,所以 π3A =. ……………… 5分(Ⅱ)解:因为 cos =B ,(0,π)∈B ,所以 sin B ==. ………………7分 由正弦定理sin sin =a bA B , ………………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+,所以 2250--=c c ,解得 1=c 因为 0>c ,所以 1=c . ………………11分故△ABC 的面积1sin 22S bc A ==. ………………13分16.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:0.15a =,30b =. ……………… 2分(Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分 所以按分层抽样法,购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ,所以n 的最小值为4. ……………… 6分 (Ⅲ)解:X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=, ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个,可看成3次独立重复试验, 所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=, 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=, 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=,33311(3)C ()464P X ==⨯=. ……………… 11分 所以随机变量X 的分布列为:………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (13)分(注:写出1(3,)4X B ,3311()C ()(1)44k kk P X k -==-,0,1,2,3k =. 请酌情给分)17.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形,所以 BC CD ⊥,1BC CC ⊥, 又因为 1=CDCC C ,所以 BC ⊥平面11DCC D , ………………2分因为 1D E ⊂平面11DCC D , 所以1BC D E ⊥. ………………4分(Ⅱ)证明:因为 1111//, BB DD BB DD =,所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ,连接EF ,则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中,因为DE CE =,1DF B F =,所以1//EF B C . ………………6分又因为 1⊄B C 平面1BED ,⊂EF 平面1BED ,所以 1//BC 平面1BED . (8)(Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知1BC D E ⊥, 又因为 1D E CD ⊥,BCCD C =,1所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点,以E 为原点,EG ,EC ,1ED 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴 如图建立空间直角坐标系,设1D E a =,则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n , 因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==,由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩令1x=,得(1,1,0)=-n . ………………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m , 因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==,由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =,得(0,,1)a =-m . ………………12分 由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3, 得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n , ………………13分解得1a =. ………………14分18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:由题意,得()(ln )ln 1f x x x x ''==+,其中0x >, ……………… 2分所以 (1)1f '=, 又因为(1)0f =,所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ……………… 4分(Ⅱ)解:先考察函数2()23g x x x =-+-,x ∈R 的图象,配方得2()(1)2g x x =---, ……………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增,在(1,)+∞单调递减,且max ()(1)2g x g ==-.……………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有12()()f x f x <成立,所以 1a ≤. ……………… 8分以下考察函数()ln h x x x =,(0,)x ∈+∞的图象, 则 ()ln 1h x x '=+,令()ln 10h x x '=+=,解得1e=x . ……………… 9分随着x 变化时,()h x 和()h x '的变化情况如下:即函数()h x 在1(0,)e上单调递减,在1(,)e+∞上单调递增,且min 11()()e e==-h x h . ……………… 11分因为对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有12()()f x f x <成立,所以 1e≥a . ……………… 12分因为 12e->-(即min max ()()h x g x >), 所以a 的取值范围为1,e[1]. ……………… 13分19.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为直线l 的方程为210x y +-=,所以与x 轴的交点(1,0)C ,与y 轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分则线段CD 的中点11(,)24,||CD ==……………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24,半径为1||2CD =, 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分(Ⅱ)解:结论:存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下:由题意,设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠,11(,)M x y ,22(,)N x y , 则 (,0)mC k-,(0,)D m , ……………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=, ……………… 7分 所以 2216880k m ∆=-+>, (*) ……………… 8分由韦达定理,得122412km x x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-, (10)分解得2k =±. ……………… 11分由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得||3||MN CD =.所以12|x x -= ……………… 12分即12||3||mx x k-==,解得 m = ……………… 13分 验证知(*)成立.所以存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,此时直线l 的方程为y x =或y x =±. ……………… 14分20.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:答案不唯一. 如3项子列12,13,16; ……………… 2分 (Ⅱ)证明:由题意,知1234510b b b b b >>>>>≥,所以 210d b b =-<. ……………… 3分 若 11b = ,由{}n b 为{}n a 的一个5项子列,得212b ≤, 所以 2111122d b b =--=-≤. 因为 514b b d =+,50b >,所以 515411d b b b =-=->-,即14d >-. 这与12d -≤矛盾. 所以 11b ≠. 所以 112b ≤, ……………… 6分因为 514b b d =+,50b >, 所以 51511422d b b b =-->-≥,即18d >-, 综上,得108d -<<. ……………… 7分(Ⅲ)证明:由题意,设{}n c 的公比为q ,则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列, 所以 q 为正有理数,且1q <,111()c a a*=∈N ≤. 设 (,Kq K L L*=∈N ,且,K L 互质,2L ≥). 当1K =时,因为 112q L =≤,所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++211111()()222≤-++++m , 112()2-=-m ,所以 112312()2m m c c c c -++++-≤. ……………… 10分当1K ≠时,因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项,且,K L 互质,所以 1*()-=⨯∈m a K M M N ,所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111()----=++++m m m m M K K L K LL. 因为 2L ≥,*K M ∈N ,,所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=-≤. 综上, 1231122m m c c c c -++++-≤. ……………… 13分。
【2014西城二模】北京市西城区2014届高三二模试卷 理科数学
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学(理科) 2014.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知集合{|20}A x x =-<,{|}B x x a =<,若A B A =,则实数a 的取值范围是( )(A )(,2]-∞-(B )[2,)-+∞(C )(,2]-∞(D )[2,)+∞2.在复平面内,复数2=(12i)z +对应的点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限(D )第四象限3.直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>:的一条渐近线,则双曲线C 的离心率是( )(A(B)2(C(D)24.某四棱锥的三视图如图所示,记A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ) (A ) 2A Î,且4A Î (BA ,且4A Î(C ) 2A Î,且A (DAA5.设平面向量a ,b ,c 均为非零向量,则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件俯视图侧(左)视图6.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是( )(A )1(B )2(C )π2(D )π7. 在平面直角坐标系xOy 中,不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α,不等式组4100,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ,则P 为区域β内的点的概率是( ) (A )14(B )35(C )34(D )15第Ⅱ卷(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.61()x x+的二项展开式中,常数项为______.10. 在△ABC 中,若4a =,3b =,1cos 3A =,则sin A =_____;B =_____. 11.如图,AB 和CD 是圆O 的两条弦, AB 与CD 相交于点E ,且4CE D E ==,:4:1AE BE =,则 AE =______;ACBD=______.8. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集,从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M ,N ,记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω,点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω. 若Ω是边长为1的正方形,给出下列三个结论:○1 ()x Ω○2 ()()x y Ω+Ω的取值范围是;○3 ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是( ) (A )○1(B )○2○3(C )○1○2(D )○1○2○3C D. O E BA12.执行如图所示的程序框图,输出的a 值为______. 13. 设抛物线24C y x =:的焦点为F ,M 为抛物线C 上一点,(2,2)N ,则||||MF MN +的取值范围是 .14. 已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射,正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ,记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >,映射f 由下表给出:则(3,5)f =__________,使不等式(2,)4xf x ≤成立的x 的集合是_____________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,点(cos )A θθ,(sin ,0)B θ,其中θ∈R .(Ⅰ)当2π3θ=时,求向量AB 的坐标; (Ⅱ)当π[0,]2θ∈时,求||AB 的最大值.16.(本小题满分13分)为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的A ,B 两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下:A 班5名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.B 班5名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (Ⅱ)由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大?(结论不要求证明)(Ⅲ) 现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生,用X 表示其中视力大于4.6的人数,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,AC BC ⊥,H 为PC 的中点, M 为AH 的中点,2PA AC ==,1BC =.(Ⅰ)求证:⊥AH 平面PBC ; (Ⅱ)求PM 与平面AHB 成角的正弦值; (Ⅲ)设点N 在线段PB 上,且PNPBλ=,//MN 平面ABC ,求实数ACPHMλ的值.18.(本小题满分13分)已知函数12e ()44x f x ax x +=++,其中a ∈R .(Ⅰ)若0a =,求函数()f x 的极值;(Ⅱ)当1a >时,试确定函数()f x 的单调区间.19.(本小题满分14分)设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点,直线AB 交x 轴于点M (与点,A B 不重合),O 为坐标原点.(Ⅰ)如果点M 是椭圆W 的右焦点,线段MB 的中点在y 轴上,求直线AB 的方程;(Ⅱ)设N 为x 轴上一点,且4OM ON ⋅=,直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ,证明:点B 与点C 关于x 轴对称.20.(本小题满分13分)在无穷数列{}n a 中,11a =,对于任意*n ∈N ,都有*n a ∈N ,1n n a a +<. 设*m ∈N , 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .(Ⅰ)设数列{}n a 为1,3,5,7,,写出1b ,2b ,3b 的值;(Ⅱ)若{}n b 为等差数列,求出所有可能的数列{}n a ; (Ⅲ)设p a q =,12p a a a A +++=,求12q b b b +++的值.(用,,p q A 表示)北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.B 7.C 8.D9.20 10.3π4 11.8 2 12.13- 13.[3,+)∞ 14.8 {1,2} 注:第10,11,14题第一问2分,第二问3分.15. (Ⅰ)解:由题意,得(sin cos ,)AB θθθ=-, … 2分当 2π3θ=时,2π2πsin cos sin cos 33θθ-=-= ……………… 4分2π3θ==所以 AB =. ……………… 6分(Ⅱ)解:因为(sin cos ,)AB θθθ=-,所以222||(sin cos )()AB θθθ=-+ ……………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……………… 8分1sin 21cos 2θθ=-+- ……………… 9分π2)4θ=+. ……………… 10分因为 π02θ≤≤,所以 ππ5π2444θ+≤≤. …… 11分所以当π5π244θ+=时,2||AB取到最大值2||2()32AB =-=,…… 12分 即当π2θ=时,||AB……………… 13分 16.(Ⅰ)解:A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +,………… 2分 B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……………… 3分 从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 (Ⅱ)解:B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 7分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知,A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X 的所有可能取值为0,1,2. ……………… 8分所以 3335C 1(0)C 10P X ===213235C C 3(1)C 5P X ===;123235C C 3(2)C 10P X ===. 11分所以随机变量X……………… 12分故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 13分 17.(Ⅰ)证明:因为 PA ⊥底面ABC ,BC ⊂底面ABC ,所以 PA BC ⊥, …… 1分 又因为 AC BC ⊥, PA AC A =,所以 ⊥BC 平面PAC ,… 2分 又因为 ⊂AH 平面PAC , 所以 BC AH ⊥. … 3分 因为 ,AC PA =H 是PC 中点, 所以 AH PC ⊥,又因为 PCBC C =,所以 ⊥AH 平面PBC . … 5分(Ⅱ)解:在平面ABC 中,过点A 作,BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ,所以 ⊥AD 平面PAC ,由 PA ⊥底面ABC ,得PA ,AC ,AD 两两垂直,所以以A 为原点,AD ,AC ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(0,0,2)P ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,1,1)H ,11(0,,)22M . 设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ,因为 (0,1,1)AH =,(1,2,0)AB =,由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1=z ,得(2,1,1)=-n . ……………… 8分设PM 与平面AHB 成角为θ,因为)23,21,0(-=PM ,sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n 即 sin 15θ=. 10分 (Ⅲ)解:因为 (1,2,2)PB =-,PN PB λ=,所以 (,2,2)PN λλλ=-,又因为 13(0,,)22PM =-, 所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……………… 12分 因为 //MN 平面ABC ,平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =, 所以 340MN AP λ⋅=-=,解得 43=λ. … 14分 18.(Ⅰ)解:函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ,且1}x ≠-. …… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. …… 3分令()0f x '=,得0x =,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下:……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-,(1,0)-;单调增区间为(0,)+∞. 所以当0x =时,函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……………… 6分 (Ⅱ)解:因为 1a >,所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->,所以函数()f x 的定义域为R , ……………… 7分求导,得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++,…… 8分令()0f x '=,得10x =,242x a=-, ……………… 9分 当 12a <<时,21x x <,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下:故函数()f x 的单调减区间为(2,0)a -,单调增区间为(,2)a-∞-,(0,)+∞. ……………… 11分当 2a =时,210x x ==,因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥,(当且仅当0x =时,()0f x '=)所以函数()f x 在R 单调递增. ……………… 12分 当 2a >时,21x x >,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下:故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-,单调增区间为(,0)-∞,4(2,)a-+∞. 综上,当 12a <<时,()f x 的单调减区间为4(2,0)a -,单调增区间为4(,2)a-∞-,(0,)+∞;当 2a =时,函数()f x 在R 单调递增;当 2a >时,函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-;单调增区间为(,0)-∞,4(2,)a-+∞. ……………… 13分19.(Ⅰ)解:椭圆W 的右焦点为(1,0)M , …………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上, 所以点B 的横坐标为1-, 因为点B 在椭圆W 上,将1x =-代入椭圆W 的方程,得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……………… 3分 所以直线AB (即MB )的方程为3430x y --=或3430x y +-=.…………… 5分 (Ⅱ)证明:设点B 关于x 轴的对称点为1B (在椭圆W 上),要证点B 与点C 关于x 轴对称,只要证点1B 与点C 重合,. 又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C (与点A 不重合),所以只要证明点A ,N ,1B 三点共线. ……………… 7分 以下给出证明:由题意,设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122(,)B x y -.由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 222(34)84120k x kmx m +++-=, ……………… 9分 所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->,122834km x x k +=-+,212241234m x x k-=+. ……………… 10分 在y kx m =+中,令0y =,得点M 的坐标为(,0)mk-, 由4OM ON ⋅=,得点N 的坐标为4(,0)km-, ……………… 11分 设直线NA ,1NB 的斜率分别为NA k ,1NB k ,则 1211122121212444444()()NA NB k kx y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m+⨯++⨯--=-=++++ ,………12分 因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k k x x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k kmk m k k m k-=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=, ……… 13分 所以 10NA NB k k -=,所以点A ,N ,1B 三点共线,即点B 与点C 关于x 轴对称. 1420.(Ⅰ)解:11b =,21b =,32b =. ………… 3分 (Ⅱ)解:由题意,得1231n a a a a =<<<<<,结合条件*n a ∈N ,得n n a ≥. ……………… 4分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ,使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +,所以11b =,*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =,则 2k ≥.假设2k >,即2 >2a k =,则当2n ≥时,2n a >;当3n ≥时,1n k a +≥. 所以21b =,2k b =. 因为{}n b 为等差数列,所以公差210d b b =-=,所以1n b =,其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾,所以22a =. … 6分 又因为123n a a a a <<<<<,所以22b =,由{}n b 为等差数列,得n b n =,其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ,所以n n a ≤, 由n n a ≥,得n n a =. …………… 8分 (Ⅲ)解:设2 (1)a k k =>,因为123n a a a a <<<<<,所以1211k b b b -====,且2k b =,所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个,即21a a -个; ……………… 9分 设3 ()a l l k =>,则112l k k b b b -+====, 且3l b =,所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个,即32a a -个; ……………… 10分 ……以此类推,数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分 所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++121(1)p p a a p a a p -=-----++121()p p p pa p a a a a -=+-++++(1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。
北京市西城区2014年高三二模数学(理)试卷
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学(理科) 2014.5第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|20}A x x =-<,{|}B x x a =<,若A B A =,则实数a 的取值范围是( )(A )(,2]-∞-(B )[2,)-+∞(C )(,2]-∞(D )[2,)+∞2.在复平面内,复数2=(12i)z +对应的点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限(D )第四象限3.直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>:的一条渐近线,则双曲线C 的离心率是( )(A(B(C(D4.某四棱锥的三视图如图所示,记A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ) (A ) 2A Î,且4A Î (BA ,且4A Î(C ) 2A Î,且A (DAA俯视图侧(左)视图5.设平面向量a ,b ,c 均为非零向量,则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件6.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是( )(A )1(B )2(C )π2(D )π7. 在平面直角坐标系xOy 中,不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α,不等式组4100,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ,则P 为区域β内的点的概率是( ) (A )14(B )35(C )34(D )158. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集,从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M ,N ,记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω,点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.若Ω是边长为1的正方形,给出下列三个结论: ○1 ()x Ω○2 ()()x y Ω+Ω的取值范围是; ○3 ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是( ) (A )○1(B )○2○3(C )○1○2(D )○1○2○3第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.61()x x+的二项展开式中,常数项为______.10. 在△ABC 中,若4a =,3b =,1cos 3A =,则sin A =_____;B =_____. 11.如图,AB 和CD 是圆O 的两条弦, AB 与CD 相交于点E ,且4CE D E ==,:4:1AE BE =,则 AE =______;ACBD=______.12.执行如图所示的程序框图,输出的a 值为______.13. 设抛物线24C y x =:的焦点为F ,M 为抛物线C 上一点, (2,2)N ,则||||MF MN +的取值范围是 .14. 已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射,正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ,记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >,映射f 由下表给出:(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m(,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________,使不等式(2,)4xf x ≤成立的x 的集合是_____________.C D. OE BA三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、 15.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点(cos )A θθ,(sin ,0)B θ,其中θ∈R .(Ⅰ)当2π3θ=时,求向量AB 的坐标; (Ⅱ)当π[0,]2θ∈时,求||AB 的最大值.16.(本小题满分13分)为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的A ,B 两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下:A 班5名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.B 班5名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (Ⅱ)由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大?(结论不要求证明)(Ⅲ) 现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生,用X 表示其中视力大于4.6的人数,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,AC BC ⊥,H 为PC 的中点, M 为AH 的中点,2PA AC ==,1BC =. (Ⅰ)求证:⊥AH 平面PBC ; (Ⅱ)求PM 与平面AHB 成角的正弦值; (Ⅲ)设点N 在线段PB 上,且PNPBλ=,//MN 平面ABC ,求实数λ的值. 18.(本小题满分13分)已知函数12e ()44x f x ax x +=++,其中a ∈R .(Ⅰ)若0a =,求函数()f x 的极值;(Ⅱ)当1a >时,试确定函数()f x 的单调区间. 19.(本小题满分14分)设,A B 是椭圆22: 143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点,直线AB 交x 轴于点M (与点,A B 不重合),AC PHMO 为坐标原点. (Ⅰ)如果点M 是椭圆W 的右焦点,线段MB 的中点在y 轴上,求直线AB 的方程; (Ⅱ)设N 为x 轴上一点,且4OM ON ⋅=,直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ,证明:点B 与点C 关于x 轴对称.20.(本小题满分13分)在无穷数列{}n a 中,11a =,对于任意*n ∈N ,都有*n a ∈N ,1n n a a +<. 设*m ∈N , 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .(Ⅰ)设数列{}n a 为1,3,5,7,,写出1b ,2b ,3b 的值;(Ⅱ)若{}n b 为等差数列,求出所有可能的数列{}n a ; (Ⅲ)设p a q =,12p a a a A +++=,求12q b b b +++的值.(用,,p q A 表示)1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.B 7.C 8.D9.20 10.3π4 11.8 2 12.13-13.[3,+)∞ 14.8 {1,2}注:第10,11,14题第一问2分,第二问3分.15.(Ⅰ)解:由题意,得(sin cos ,)AB θθθ=-, ……… 2分当 2π3θ=时,2π2π1sin cos sin cos 332θθ+-=-=, …… 4分2π32θ==-,所以 AB =. …… 6分(Ⅱ)解:因为 (sin cos ,)AB θθθ=-,所以 222||(sin cos )()AB θθθ=-+ ………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……… 8分1sin 21cos 2θθ=-+- ………… 9分π2)4θ=+. ………… 10分因为 π02θ≤≤,所以 ππ5π2444θ+≤≤. …… 11分所以当π5π244θ+=时,2||AB取到最大值2||2(32AB =--=,… 12分 即当π2θ=时,||AB… 13分16.(Ⅰ)解:A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +,…… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……… 3分 从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……… 4分 (Ⅱ)解:B 班5名学生视力的方差较大. …… 7分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知,A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X 的所有可能取值为0,1,2. … 8分所以 3335C 1(0)C 10P X ===; … 9分213235C C 3(1)C 5P X ===; … 10分 123235C C 3(2)C 10P X ===. ……… 11分所以随机变量X…… 12分故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. …… 13分17.(Ⅰ)证明:因为 PA ⊥底面ABC ,BC ⊂底面ABC ,所以 PA BC ⊥, … 1分 又因为 AC BC ⊥, PAAC A =,所以 ⊥BC 平面PAC , ……… 2分 又因为 ⊂AH 平面PAC , 所以 BC AH ⊥. … 3分 因为 ,AC PA =H 是PC 中点, 所以 AH PC ⊥,又因为 PCBC C =,所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分 (Ⅱ)解:在平面ABC 中,过点A 作,BC AD //因为 ⊥BC 平面PAC ,所以 ⊥AD 平面PAC , 由 PA ⊥底面ABC ,得PA ,AC ,AD 两两垂直,所以以A 为原点,AD ,AC ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(0,0,2)P ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,1,1)H ,11(0,,)22M . 设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ,因为 (0,1,1)AH =,(1,2,0)AB =,由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1=z ,得(2,1,1)=-n . … 8分 设PM 与平面AHB 成角为θ,因为 )23,21,0(-=PM ,所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n, 即 sin 15θ=. ……………… 10分 (Ⅲ)解:因为 (1,2,2)PB =-,PN PB λ=,所以 (,2,2)PN λλλ=-, 又因为 13(0,,)22PM =-, 所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……… 12分 因为 //MN 平面ABC ,平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =, 所以 340MN AP λ⋅=-=,解得 43=λ. ………… 14分18.(Ⅰ)解:函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ,且1}x ≠-.…… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. …… 3分 令()0f x '=,得0x =,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下:………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-,(1,0)-;单调增区间为(0,)+∞. 所以当0x =时,函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……… 6分 (Ⅱ)解:因为 1a >,所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->,所以函数()f x 的定义域为R , ……… 7分求导,得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++, (8)分令()0f x '=,得10x =,242x a=-, …… 9分 当 12a <<时,21x x <,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下:)故函数()f x 的单调减区间为(2,0)a -,单调增区间为(,2)a-∞-,(0,)+∞.……… 11分当 2a =时,210x x ==,因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥,(当且仅当0x =时,()0f x '=)所以函数()f x 在R 单调递增. …… 12分当 2a >时,21x x >,当x 变化时,()f x 和()f x '的变化情况如下:故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-,单调增区间为(,0)-∞,4(2,)a -+∞. 综上,当 12a <<时,()f x 的单调减区间为4(2,0)a -,单调增区间为4(,2)a-∞-,(0,)+∞;当 2a =时,函数()f x 在R 单调递增;当 2a >时,函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-;单调增区间为(,0)-∞,4(2,)a -+∞. ……… 13分 19.(Ⅰ)解:椭圆W 的右焦点为(1,0)M , ……… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上,所以点B 的横坐标为1-, 因为点B 在椭圆W 上,将1x =-代入椭圆W 的方程,得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……… 3分 所以直线AB (即MB )的方程为3430x y --=或3430x y +-=.……… 5分 (Ⅱ)证明:设点B 关于x 轴的对称点为1B (在椭圆W 上),要证点B 与点C 关于x 轴对称,只要证点1B 与点C 重合,.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C (与点A 不重合), 所以只要证明点A ,N ,1B 三点共线. 以下给出证明:由题意,设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122(,)B x y -. 由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 得 222(34)84120k x kmx m +++-=, ……… 9分 所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->,122834kmx x k +=-+,212241234m x x k-=+. ………… 10分 在y kx m =+中,令0y =,得点M 的坐标为(,0)mk-, 由4OM ON ⋅=,得点N 的坐标为4(,0)km-, … 11分 设直线NA ,1NB 的斜率分别为NA k ,1NB k ,则 1211122121212444444()()NA NB k kx y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m+⨯++⨯--=-=++++ ,………12分 因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k k x x m x x k m=++++2222412482()()()83434m k kmk m k k m k-=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=, … 13分 所以 10NA NB k k -=,所以点A ,N ,1B 三点共线, 即点B 与点C 关于x 轴对称. …… 14分20.(Ⅰ)解:11b =,21b =,32b =. ……… 3分(Ⅱ)解:由题意,得1231n a a a a =<<<<<,结合条件*n a ∈N ,得n n a ≥. ……… 4分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ,使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +,所以11b =,*1()m m b b m +∈N ≤. …… 5分设2 a k =,则 2k ≥.假设2k >,即2 >2a k =,则当2n ≥时,2n a >;当3n ≥时,1n k a +≥.所以21b =,2k b =.因为{}n b 为等差数列,所以公差210d b b =-=,所以1n b =,其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾,所以22a =. …… 6分又因为123n a a a a <<<<<,所以22b =,由{}n b 为等差数列,得n b n =,其中*n ∈N . … 7分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ,所以n n a ≤,由n n a ≥,得n n a =. ……… 8分(Ⅲ)解:设2 (1)a k k =>,因为123n a a a a <<<<<, 所以1211k b b b -====,且2k b =,所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个,即21a a -个; …… 9分 设3 ()a l l k =>,则112l k k b b b -+====, 且3l b =, 所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个,即32a a -个; … 10分 ……以此类推,数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. …… 11分 所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++121()p p p pa p a a a a -=+-++++(1)p q A =+-.即12(1)qq A bb b p++++=-. … 13分。
2014年北京东城高三二模数学(理科)试题及答案
2014年北京东城高三二模理科数学试题及答案东城区2013-2014学年第二学期综合练习(二)高三数学(理科)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)设集合{12}A x x =∈+≥R ,集合{2,1,0,1,2}B =--,则AB =( ).A .{2}B .{1,2}C .{0,1,2}D .{1,0,1,2}-(2)在复平面内,复数32i 1i--对应的点位于( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(3)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x 值为( ).A .2或2-B .1-或2-C .1或2-D .2或1-(4)如果实数x ,y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为( ).A .3-B .1-C .0D .1(5)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,236n n S S +-=,则n =( ).A .5B .6C .7D .8(6)6个人站成一排,其中甲、乙必须站在两端,且丙、丁相邻,则不同站法的种数为( ). A .12 B .18 C .24 D .36(7)若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα(α为参数)所截的弦长为22,则a 的值为( ).A .1或5B .1-或5C .1或5-D .1-或5-(8)对任意实数a ,b 定义运算“⊙”:,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++,若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点,则k 的取值范围是( ).A .(2,1)-B .[0,1]C .[2,0)-D .[2,1)-第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. (9)已知tan =2α,那么cos 2=α .(10)已知平面向量a ,b ,若3=a ,13-=a b ,6⋅=a b ,则=b ;向量a ,b 夹角的大小为 .(11)在区间[0,6]上随机取两个实数x ,y ,则事件“26x y +…”的概率为_________.(12)如图所示,PA 与圆O 相切于A ,直线PO 交圆O 于B ,C 两点,AD BC ⊥,垂足为D ,且D 是OC 的中点,若6PA =,则PC = .(13)若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,且A ,B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ,N ,若2BN AM =,则k 的值是 .(14)在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是正方体棱上一点(不包括棱的端点),1PA PC m +=,①若2m =,则满足条件的点P 的个数为________;②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6,则m 的取值范围是________.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++.(Ⅰ)求()12f π的值; (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,求函数()f x 的最大值和最小值.ABCPDO·(16)(本小题共13分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄段在[10,20),[20,30),,[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;(Ⅱ)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,求[50,60)年龄段抽取的人数;(Ⅲ)从按(Ⅱ)中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者,记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数,求X 的分布列及数学期望.0.020 0.02510 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距(17)(本小题共14分)如图,四棱锥E ABCD -中,平面EAD⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =,2BC CD EA ED ====.(I )求证:BD ⊥平面ADE ;(II )求BE 和平面CDE 所成角的正弦值;(III )在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ,请说明理由.(18)(本小题共13分)已知0a >,函数2()21axf x a x =++,()ln g x a x x a =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)求证:对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有12()()f x g x >.(19)(本小题共13分)已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F ,且离心率为63.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)斜率为k 的直线l 过点F ,且与椭圆交于,A B 两点,P 为直线3x =上的一点,若△ABP 为等边三角形,求直线l 的方程.DCBEA(20)(本小题共14分)设a 是一个自然数,()f a 是a 的各位数字的平方和,定义数列{}n a :1a 是自然数,1()n n a f a -=(*n ∈N ,2n ≥).(Ⅰ)求(99)f ,(2014)f ; (Ⅱ)若1100a ≥,求证:12a a >;(Ⅲ)当11000a <时,求证:存在*m ∈N ,使得32m m a a =.东城区2013-2014学年第二学期综合练习(二)高三数学参考答案及评分标准 (理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) (1)B (2)A (3)C (4)D (5)D (6)C (7)A (8)D二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (9)35- (10)4 60(11)14(12)23 (13)223(14)6 (3,5) 注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分)解:(Ⅰ)2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+. 所以1()122f π=. …………………7分 (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤. 所以,当266x ππ-=-时,即0x =时,函数()f x 取得最小值0; 当262x ππ-=时,即3x π=时,函数()f x 取得最大值32.…………………13分(16)(共13分)解:(Ⅰ)110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=, 1000.35⨯=,即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35.………………………4分 (Ⅱ)1000.1515⨯=,1000.055⨯=,所以85220⨯=, 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2. ……………………7分(Ⅲ)X 的所有可能取值为0,1,2.36385(0)14C P X C ===;12263815(1)28C C P X C ===;2126383(2)28C C P X C ===.所以X 的分布列为X1 2P 5141528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.………………………13分D B ACEzxy(17)(共14分)解:(I )由BC CD ⊥,2BC CD ==.,可得22BD =.由EA ED ⊥,且2EA ED ==, 可得22AD =. 又4AB =. 所以BD AD ⊥. 又平面EAD ⊥平面ABCD ,平面ADE平面ABCDAD =,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥平面ADE . ……………5分 (II )如图建立空间直角坐标系D xyz -,则(0,0,0)D ,(0,22,0)B ,(2,2,0)C -,(2,0,2)E ,(2,22,2)BE =-,(2,0,2)DE =,(2,2,0)DC =-.设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量,则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n , 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =,则(1,1,1)=-n .设直线BE 与平面CDE 所成的角为α, 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n .所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23. ……………10分 (III )设CF CE =λ,[0,1]λ∈.(2,2,0)DC =-,(22,2,2)CE =-,(0,22,0)DB =.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ.设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量,则0EB ⋅=n ,0EF ⋅=n , 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m .若平面BEF ⊥平面CDE ,则0⋅=m n ,即2110λλ-+=,1[0,1]3λ=∈.所以,在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分(18)(共13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111,因为0a >,所以,当1x <-,或1x >时,'()0f x <;当11x -<<时,'()0f x >.所以,()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1.……6分(Ⅱ)因为()f x 在区间(,)01上单调递增,在区间(,e)1上单调递减,又()f a =02,e (e)e af a a =+>+2221, 所以,当(,e)x ∈0时,()f x a >2. 由()ln g x a x x a =-+,可得'()1a a x g x x x-=-=. 所以当e a ≥时,函数()g x 在区间(0,e)上是增函数, 所以,当(,e)x ∈0时,()(e)g x g a e a <=-<22. 所以,当(,e)x ∈0时,对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有1()2f x a >,2()2g x a <,所以12()()f x g x >. 当0e a <<时,函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数,在区间(,e)a 上是减函数, 所以,当(,e)x ∈0时,()()ln g x g a a a a ≤=<2. 所以,当(,e)x ∈0时,对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有1()2f x a >,2()2g x a <,所以12()()f x g x >. 综上,对于任意的12,(0,e)x x ∈,都有12()()f x g x >. ……………13分(19)(共13分)解(Ⅰ)依题意有2c =,63c a =. 可得26a =,22b =.故椭圆方程为22162x y +=. ………………………………………………5分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =-.联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ,22(,)B x y . 故21221231k x x k +=+,212212631k x x k -=+. 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+. 设AB 的中点为00(,)M x y .可得202631k x k =+,02231k y k =-+. 直线MP 的斜率为1k-,又 3P x =, 所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+. 当△ABP 为正三角形时,32MP AB =, 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++, 解得1k =±.即直线l 的方程为20x y --=,或20x y +-=.………………………………13分(20)(共14分)解:(Ⅰ)22(99)99162f =+=;2222(2014)201421f =+++=. ………………5分 (Ⅱ)假设1a 是一个n 位数(3n ≥),那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+,其中09i b ≤≤且i b ∈N (1i n ≤≤),且0n b ≠.由21()a f a =可得,2222221321n n a b b b b b -=+++++.1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---.因为0n b ≠,所以1(10)99n n n b b --≥.而11(1)72b b -≤,所以120a a ->,即12a a >. ………………9分(Ⅲ)由11000a <,即1999a ≤,可知2222999243a ≤++=.同理999n a ≤,可知2221999243n a +≤++=. 由数学归纳法知,对任意*n ∈N ,有999n a ≤.即对任意*n ∈N ,有{1,2,3,,999}n a ∈.因此,存在,*p q ∈N (p q <),有p q a a =.则11p q a a ++=,22p q a a ++=,…,11q q q p a a -+--=,可得对任意*n ∈N ,n p ≥,有n q p n a a +-=.设q p T -=,即对任意n p ≥,有n T n a a +=.若T p ≥,取m T =,2n m =,则有32m m a a =.若T p <,由n T n a a +=,可得n pT n a a +=, 取m pT =,2n m =,则有32m m a a =. ………………14分。
北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习-理科数学-Word版包含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试(理工类)2014.5(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合{230}A x x =∈-≥R ,集合2{320}B x x x =∈-+<R ,则AB =(A )32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ (B )322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭(C ){}12x x << (D )322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2)如果0a b >>,那么下列不等式一定成立的是(A )33log log a b < (B )11()()44a b>(C )11a b< (D )22a b <(3)执行如右图所示的程序框图.若输出的结果为2,则输入的正整数a 的可能取值的集合是 (A ){}1,2,3,4,5 (B ){}1,2,3,4,5,6 (C ){}2,3,4,5 (D ){}2,3,4,5,6(4)已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示,则ϕ=(A )π6- (B )6π(C )π3- (D )π3(5)已知命题p :复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限;命题q :0x ∃>,cos x x =,则下列命题中为真命题的是(A )()()p q ⌝∧⌝ (B )()p q ⌝∧ (C )()p q ∧⌝ (D )p q ∧(6)若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是(A )(1,2] (B )[2,)+∞ (C) (D)+∞ (7)某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示.若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最大纯利润和是(A )60万元 (B )80万元 (C )90万元 (D )100万元(8)如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动.当△PMN 沿正方形各边滚动一周后,回到初始位 置时,点P 的轨迹长度是 (A )83π (B )163π(C )4π (D )5π第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.(9)已知平面向量a ,b 满足1=a ,2=b ,a 与b 的夹角为60︒,则2+=a b ____. (10)5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___.(用数字表示)(11)如图,AB 为圆O 的直径,2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线,交AB 的延BA长线于点C ,过点M 作MD AB ⊥于点D ,若D 是OB 中点,则AC BC ⋅=_____. (12)由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体积是 ;表面积是 .(13)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足24()n n S a n *=-∈N ,则n a = ;数列2{log }n a 的前n 项和为 .(14)若存在正实数M ,对于任意(1,)x ∈+∞,都有()f x M ≤,则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数.下列函数 ①1()1f x x =-; ②2()1x f x x =+; ③ln ()xf x x=; ④()sin f x x x =, 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分13分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3A 2π=,3b =,△ABC. (Ⅰ)求边a 的长; (Ⅱ)求cos2B 的值.A (第11题图)22俯视图侧视图正视图(第12题图)(16)(本小题满分13分)某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参 加社区服务时间不少于90小时的概率; (Ⅱ)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生,记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.(17)(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,E ,F 分别为PA ,BD 中点,2PA PD AD ===.(Ⅰ)求证:EF ∥平面PBC ; (Ⅱ)求二面角E DF A --的余弦值; (Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点G ,使GF ⊥平面EDF ?若存在,指出点G 的位置;若不存在,说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数21()e1x f x ax +=-+,a ∈R .(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)设32e a <,当[0,1]x ∈时,都有()f x ≥1成立,求实数a 的取值范围.服务时间/小时FABCDP E(19)(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,离心率为12,右焦点到右顶点的距离为1.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l :()y kx m k =+∈R ,使得22OA OB OA OB +=-成立?若存在,求出实数m 的取值范围,若不存在,请说明理由.(20)(本小题满分13分)已知1x ,2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点,其中常数m ,t ∈Z ,设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N .(Ⅰ)用m ,t 表示1T ,2T ; (Ⅱ)求证:543T mT tT =--;(Ⅲ)求证:对任意的,n n T *∈∈N Z .北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试(理工类)2014.5二、填空题(满分30分)三、解答题(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由1sin 2ABC S bc A ∆=得,13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=. 所以5c =.由2222cos a b c bc A =+-得,22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=, 所以7a =. ……………7分(Ⅱ)由sin sin a bA B=3sin B =,所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=. ……………13分 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)根据题意,参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=(人), 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=(人). 所以抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=; 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=; 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=; 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=. 随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ,,所以355E ξ=⨯=. ……………13分17.(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)如图,连结AC .因为底面ABCD 是正方形, 所以AC 与BD 互相平分. 又因为F 是BD 中点, 所以F 是AC 中点.在△PAC 中,E 是PA 中点,F 是AC 中点, 所以EF ∥PC .又因为EF ⊄平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,所以EF ∥平面PBC . ……………4分 (Ⅱ)取AD 中点O .在△PAD 中,因为PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为面PAD ⊥底面ABCD , 且面PAD面=ABCD AD ,E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD .因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥. 又因为F 是AC 中点,所以OF AD ⊥.如图,以O 为原点,,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 因为2PA PD AD ===,所以OP =,则(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(1,2,0)C -,(1,0,0)D -,P,1(2E ,(0,1,0)F . 于是(0,2,0)AB =,3(,0,22DE =,(1,1,0)DF =. 因为OP ⊥面ABCD,所以OP =是平面FAD 的一个法向量. 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n .因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n .所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n. 由图可知,二面角E-DF-A 为锐角,所以二面角E-DF-A …10分 (Ⅲ)假设在棱PC 上存在一点G ,使GF ⊥面EDF .设111(,,)G x y z ,则111=(,1,)FG x y z -. 由(Ⅱ)可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n . 因为GF ⊥面EDF ,所以=FG λn .于是,111,1,xy z λλ=-=-=,即111,1,x y z λλ==-=. 又因为点G 在棱PC 上,所以GC 与PC 共线.因为(1,2,PC =-,111(+1,2,)CG x y z =-, 所以111212x y +--==.所以1112λλ+---==,无解. 故在棱PC 上不存在一点G ,使GF ⊥面EDF 成立. ……………14分 18.(本小题满分13分)(Ⅰ)由已知得21()2ex f x a +'=-.因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直, 所以(0)e f '=.所以(0)2e e f a '=-=.所以e a =. ……………3分(Ⅱ)函数()f x 的定义域是(),-∞+∞,21()2ex f x a +'=-. (1)当0a ≤时,()0f x '>成立,所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞. (2)当0a >时,令()0f x '>,得11ln 222a x >-,所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞; 令()0f x '<,得11ln 222a x <-,所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-.综上所述,当0a ≤时,)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞;当0a >时,()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞, ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-. ……………8分(Ⅲ)当0x =时,(0)e 11f =+≥成立,a ∈R . “当(0,1]x ∈时,21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时,21e x a x+≤恒成立.”设21e ()x g x x+=,只要“当(0,1]x ∈时,min ()a g x ≤成立.”212(21)e ()x x g x x +-'=. 令()0g x '<得,12x <且0x ≠,又因为(0,1]x ∈,所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数;令()0g x '>得,12x >,又因为(0,1]x ∈,所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数.所以函数()g x 在12x =处取得最小值,且21()2e 2g =.所以22e a ≤. 又因为a 32e <, 所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞. ……………13分(Ⅲ)另解:(1)当0a ≤时,由(Ⅱ)可知, ()f x 在[0,1]上单调递增,所以()(0)e 1f x f ≥=+.所以当0a ≤时,有()1f x ≥成立.(2)当02e a <≤时, 可得11ln 0222a -≤. 由(Ⅱ)可知当0a >时,()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞, 所以()f x 在[0,1]上单调递增,又()(0)e 1f x f ≥=+,所以总有()f x ≥1成立. (3)当32e 2e a <<时,可得110ln 1222a <-<. 由(Ⅱ)可知,函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数,在11(ln ,1]222a -为增函数,所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值,且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+.当[0,1]x ∈时,要使()f x ≥1成立,只需ln 1122a aa -+≥, 解得22e a ≤.所以22e 2e a <≤. 综上所述,实数a 的取值范围22(,e ]-∞.19.(本小题满分14分)(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,半焦距为c .依题意12c e a ==,由右焦点到右顶点的距离为1,得1a c -=. 解得1c =,2a =. 所以2223b a c =-=. 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ……………4分 (Ⅱ)解:存在直线l ,使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下:由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->,化简得2234k m +>.设1122(,),(,)A x y B x y ,则122834km x x k+=-+,212241234m x x k -=+. 若22OA OB OA OB +=-成立,即2222OA OB OA OB +=-,等价于0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=. 1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=,222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得,2271212m k =+. 将227112k m =-代入2234k m +>中,22734(1)12m m +->, 解得,234m >. 又由227121212m k =+≥,2127m ≥,从而2127m ≥,m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞. ……………14分20.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由12x x m +=-,12x x t =.因为120n n r r n r T xx -==∑,所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑. 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑. …………3分 (Ⅱ)由120k k r r k r T x x -==∑,得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑. 即55142T x T x =+,同理,44132T x T x =+.所以5241232x T x x T x =+.所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--.……………8分 (Ⅲ)用数学归纳法证明.(1)当1,2n =时,由(Ⅰ)问知k T 是整数,结论成立.(2)假设当1,n k =-n k =(2k ≥)时结论成立,即1,k k T T -都是整数. 由120k k r r k r T xx -==∑,得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑. 即1112k k k T x T x ++=+.所以112k k k T x T x -=+,121212k k k x T x x T x +-=+.所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-. 即11k k k T mT tT +-=--.由1,k k T T -都是整数,且m ,t ∈Z ,所以1k T +也是整数.即1n k =+时,结论也成立.由(1)(2)可知,对于一切n *∈N ,120n n r r r x x -=∑的值都是整数. ………13分。
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2013年北京模拟真题--统计(理)
1(2013东城一模12-11)如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育
测试成绩的茎叶图,则甲5次测试成绩的平均数是 ,乙5次测
试成绩的平均数与中位数之差是 .
2 (2013西城二模11-9).右图是甲,乙两组各6名同学身高
(单位:cm )数据的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数
依次为x 甲和x 乙,则 x 甲______x 乙.
(填入:“>”,“=”,或“<”)
3 (2013东城二模13-2)如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率
分布直方图,其中成绩分组区间是:[)4050,,[)5060,,[)6070,,
[)7080,,[)8090,,[]90100,,则图中x 的值等于( ) A .0.754
B .0.048
C .0.018
D .0.012
4 (2013丰台期末5-9). 某高中共有学生900人,其中高一年级240人,高二年级260人, 为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本,则在高三年级抽取的人数是 .
5(2013丰台一模16-10). 某校从高一年级学生中随机抽
取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)
分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到频率
分布直方图(如图所示).则分数在[70,80)内的人数是
________。
6 (2013顺义一模19-11).下图是根据50个城市某年6
月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方
图,其中平均气温的范围是[]5.26,5.20,样本数据的分组
[)5.21,5.20,[)5.22,5.21,[)5.23,5.22,[)5.24,5.23,
[)5.25,5.24,[]5.26,5.25.由图中数据可知=a ;
样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为
.
频率组距
0.054x 0.01
0.006
1009080706050400
成绩
7(2013丰台二模17-10).已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:
(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4y
x a =+,则a 的值是 。