2020年好教育云平台泄露天机高考押题卷 理科数学(二)教师版

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(2)(5)0}M x x x =+-≤，{2}xN y y ==，则M N =I （ ） A ．(0,2] B ．(0,5]C ．[2,5]D ．[2,)+∞【答案】B【解析】依题意，{(2)(5)0}{25}M x x x x x =+-≤=-≤≤，{2}{0}x N y y y y ===>，故(0,5]M N =I ，故选B ．2．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为（ ） A ．22π3B ．42π3C ．42πD ．16π3【答案】A此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号【解析】由题意可知三棱锥的体积=圆锥的体积，因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为2π323π⨯=， 故圆锥的底面半径为1，圆锥的高为22，所以圆锥的体积212ππ1232=23⨯⨯⨯=． 3．在矩形ABCD 中，6AB =u u u r ，3AD =u u u r．若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且13BN BC =，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r （ ）A ．6B ．3C ．4D ．2【答案】B【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，212121323232MN CN CM CB CD BC DC AD AB =-=-=-+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2212121()()23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-+=-⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21936334=-⋅+⋅=，故选B ．4．在等差数列{}n a 中，12a =，3728a a +=，其前n 项和26n a =，则n 等于（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】∵12a =，375228a a a +==，∴514a =，5134a a d -∴==， 又∵1(1)23(1)3126n a a n d n n =+-=+-=-=，∴9n =，故选C ．5．已知椭圆22:16439x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为（ ） A ．310B ．710C ．25D ．35【答案】A【解析】依题意，16PF =，210PF =，而122643910F F =-=， 故222112212112361001003cos 2261010PF F F PF PF F PF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ．6．函数(1)ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题易知，函数(1)ln ||y x x =-为偶函数，排除A 选项；当01x <<时，ln ||0x <，10x -<，所以(1)ln ||y x x =-，排除B 选项； 当1x >时，(1)ln y x x =-⋅，1ln x y x x-'=+， 所以当1x >时，ln 0x >，10x x->， 所以函数(1)ln ||y x x =-在(1,)+∞上单调递增，排除D 选项． 7．已知函数2()3cos 4sin f x x x =+，π2π(,)63x ∈，则()f x 的值域为（ ）A ．17[4,)4B ．17(4,)4C ．13[4,]3D ．13(4,]3【答案】C【解析】依题意，22()3(1sin )4sin 3sin 4sin 3f x x x x x =-+=-++，令1sin (,1]2t x =∈，由2343y t t =-++的对称轴为23t =， 则max 4213343933y =-⨯+⨯+=，min 314134y =-⨯+⨯+=， 则()f x 的值域为13[4,]3，故选C ． 8．三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，三棱锥S ABC -的体积为2，则球的半径为（ ） A ．3 B ．5C ．52D ．7【答案】D【解析】如下图所示，因为2AC BC ==，120ACB ∠=︒， 则ABC △的面积为113sin 223222AC BC ACB ⋅⋅∠=⨯⨯⨯=， 设ABC △的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆E 的直径CD ，连接SD ， ∵O 、E 分别为SC 、CD 的中点，则SD OE ∥， ∴SD ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的体积1323S ABC V SD -=⨯⨯=， ∴23SD =，因120ACB ∠=︒，则30ABC ∠=︒，由正弦定理得24sin sin 30AC CD ABC ===∠︒，∴22224(23)27SC CD SD =+=+=，设球O 的半径为R ，则227R SC ==，∴7R =．9．函数2()4(2)()3xf x x x =--+⋅的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】令()0f x =，得24(2)()3xx x -=+⋅，显然2x =-不是该方程的根，故42()23xx x -=+， 在同一直角坐标系中分别作出42x y x -=+，2()3xy =的图象如图所示， 观察可知，它们有2个交点，即函数2()4(2)()3xf x x x =--+⋅有2个零点，故选C ．10．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=+（0ω>）的对称轴构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数B ．其图像关于直线π4x =对称C ．在π[0,]4上是增函数 D ．在区间π2π[,]43上的值域为[2,0]- 【答案】D【解析】π()sin 3cos 2sin()3f x x x x ωωω=+=+Q ，函数()f x 图象的对称轴构成一个公差为π2的等差数列， 故函数()f x 的最小正周期为π2π2T =⋅=， 所以2π2π2πT ω===，函数π()2sin(2)3f x x =+图象沿x 轴向左平移π12个单位得， πππ()2sin[2()]2sin(2)2cos 21232g x x x x =++=+=， 故()g x 为偶函数，并在区间π[0,]2上为减函数，所以A 、C 错误；ππ()2cos(2)044g =⨯=，所以B 错误； 因为π2π43x ≤≤，所以π4π223x ≤≤，2cos 2[2,0]x ∈-，所以D 正确． 11．已知函数2,0()2ln ,0x x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪>⎩，若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则实数k 的取值范围（ ） A ．21(0,)e B ．1(,0)2-C ．(0,)eD ．211(,)2e -【答案】A【解析】如图，作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象，函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点，函数1y kx =+图象恒过点(0,1)，则直线1y kx =+在图中阴影部分内时， 函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点，当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时，设切点为00,l (n )x x ，切线斜率为01k x =， ∴0001ln 1x x x =⋅+，解得20x e =， ∴21k e =，∴210,)(k e ∈．12．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为12,F F ，M 是双曲线C 左支上的点，12MF F △的周长是9，动点P 在双曲线C 的右支上，则1MF P △面积的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．33(,)4+∞ C ．53(+)4∞， D ．9[3,)8+∞ 【答案】B【解析】本题首先要通过12MF F △的周长结合双曲线的第一定义求得焦半径1MF 的长， 再由余弦定理得出1MF 与双曲线渐近线平行的结论， 而1MF P △的面积则需求得点P 到1MF 距离的取值范围， 进而发现P 到1MF 距离总大于b ．不妨设点M 在x 轴上方，由双曲线方程得1a =，3b =，2c =，所以1113||||249||2MF MF MF +++=⇒=，所以2221237()4()122cos 32242MF F +-∠==⨯⨯， 所以1MF 与渐近线3y x =平行，所以点P 到直线1MF 距离的取值范围是(,)b +∞，即(3,)+∞， 因此1MF P △面积的取值范围是33(,)4+∞．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51014S S =，则27aa = ． 【答案】13【解析】显然1q ≠，故5510510111114S q S q q -===-+，故53q =，故257113a a q ==． 14．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(2)(6)f a f a >-，则a 的取值范围是 ． 【答案】(2,)+∞【解析】因为函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩， 0x ≥时，2211()22()48f x x x x =+=+-，此时()f x 递增；0x <时，2211()22()48f x x x x =-=--+，此时()f x 递增，且(0)0f =，所以()f x 在R 上单调递增， ∵(2)(6)f a f a >-，∴26a a >-，∴2a >．15．已知实数x ，y 满足42604y xx y y ≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则44y x x +=-的最大值为 ．【答案】27-【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，44y z x +=-表示平面区域内的点(,)x y 与点(4,4)D -连线的斜率， 观察可知，44DCDB y k k x +≤≤-，联立4260y x x y =⎧⎨++=⎩，解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即28(,)33B --，故44y z x +=-的最大值为844233221274333-+==-----． 16．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒且14BB =．设其外接球的球心为O ．已知三棱锥O ABC -的体积为2，则球O 的表面积的最小值是 ． 【答案】28π【解析】如图，在ABC Rt △中，设AB c =，AC b =，则22BC b c =+， 取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为ABC Rt △和111A B C Rt △的外接圆的圆心，连接21O O ， 又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为21O O 的中点， 连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径，设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==， 所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =， 又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=． 在2OO B Rt △中，2222222221()()()44224b c b c R BC OO ++=+=+=+，设球的表面积为1S ，所以2222214π4π(4)π()16π2π16π4b c S R b c bc +==+=++≥+12π16π28π=+=，当且仅当b c =时取“=”，所以球O 的表面积的最小值是28π．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项*340()n n S a n ++=∈N ，114a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列2log n n b a =，求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n S ．【答案】（1）1()4nn a =；（2）4(1)n nS n =+．【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，114a =，且340n n S a ++=，当2n ≥时，11340n n S a --++=，相减得14n n a a -=，所以114n n a a -=， 则数列{}n a 是以114a =为首项，14为公比的等比数列， 则1111()()444n nn a -=⋅=， 当1n =时，114a =，符合通项公式， 故1()4nn a =．（2）2log 2n n b a n ==-，111111()4(1)41n n b b n n n n +==-⋅++，∴11111111111()(1)41223341414(1)n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L ． 18．（12分）已知向量(sin ,cos )x x =m ，(3cos ,cos )x x =n ，x R Î，设()21f x =?m n ．（1）求函数()f x 的解析式及单调减区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3a =，3b c +=，()3f A =，求ABC △的面积．【答案】（1）π()2sin(2)26f x x =++；单调减区间为π2π[π,π]63k k ++，k Z Î；（2）32S =． 【解析】2π()23sin cos 2cos 13sin 2cos 222sin(2)26f x x x x x x x =++=++=++． ππ3π2π22π262k x k +??，k Z Î，得π2π[π,π]63k k ++，k Z Î，所以函数的单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，k Z Î． （2）∵π()2sin(2)236f A A =++=，∴π1sin(2)62A +=， ∵0πA <<，∴ππ13π2666A <+<，∴π5π266A +=，即π3A =． 由余弦定理得22222cos ()22cos a b c b A b c bc bc A =+-=+--，∴393bc =-，∴2bc =，∴13sin 22S bc A ==． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，4PA PD ==，122BC AD ==，3CD =．（1）求证：平面BQM ⊥平面PAD ； （2）求四面体P BQM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】（1）证明：∵AD BC ∥，12BC AD =，Q 为AD 中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD BQ ∥， ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即BQ AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面BQM ，∴平面BQM ⊥平面PAD ．（2）∵C BQM P BQM V V --=，12M BCQ P BCQ V V --∴=， 由（1）可知：四边形BCDQ 为矩形，∴132BCQ S BQ BC =⋅=△， ∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ，在PDQ Rt △，222PD PQ DQ =+，23PQ =， ∴1113231223P BQM P BCQ V V --==⨯⨯⨯=． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为(0,3)，(0,)1-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点，该定点的坐标为3(0,)5-． 【解析】（1）依题意知点A 的坐标为(0,)b ，以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为222()x y b a +-=，令0x =，得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为(0,3)，(0,)1-，可得31b a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，得AP AQ ⊥u u u r u u u r，可知PA 的斜率存在且不为0．设直线:1PA l y kx =+①，则1:1QA l y x k=-+②， 将①代入椭圆方程并整理，得22(14)80k x kx ++=，可得2814P kx k=-+， 则221414P k y k -=+，同理，可得284Q k x k =+，2244Q k y k -=+，由直线方程的两点式，得直线l 的方程为21355k y x k -=-，即直线l 过定点，该定点的坐标为3(0,)5-．21．（12分）已知函数()ln (0)xf x a x e a a =-+>．（1）求当1a =时，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(1)0e x y -+=；（2）(0,)e ．【解析】（1）当1a =时，因为()ln ln 1xxf x a x e a x e =-+=-+， 所以1()xf x e x'=-，所以(1)1f e '=-， 又(1)1f e =-，所以()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x --=--， 即(1)0e x y -+=．（2）由（1）知()(0)xx a a xe f x e x x x-'=-=>，令()x g x a xe =-，则()(1)0xg x x e '=-+<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减．由于(0)0g a =>，()(1)0aag a a ae a e =-=-<，则存在0(0,)x a ∈，使得0()0g x =，即0000000x x x a a x e x e a e x -=⇒=⇒=， 又00x x <<，()0g x >，则()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上单调递增；0x x >，()0g x <，则()0f x '<，所以()f x 在0(,)x +∞上单调递减，所以在0x x =处有最大值000001()ln (ln 1)xf x a x e a a x x =-+=-+， 由()0f x <恒成立，得0()0f x <，即001(ln 1)0a x x -+<，所以001ln 10x x -+<． 令1()ln 1h x x x =-+，则211()0h x x x'=+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增． 由于(1)0h =，则()0h x <，解得1x <，所以01x <， 由00xa x e =在(0,1)上单调递增，所以0a e <<， 所以实数a 的取值范围为(0,)e ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线14cos :4sin x C y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的34后得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3πsin()3ρθ=-．（1）求曲线2C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，点M 为抛物线283y x =-的焦点， 求MA MB ⋅的值． 【答案】（1）22212:3sin C ρθ=+，:360l x y -+=；（2）4． 【解析】（1）将曲线14cos :4sin x C y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），消参得2216x y +=，经过伸缩变换1234x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得到曲线222:143x y C +=，化为极坐标方程为22123sin ρθ=+，将直线l 的极坐标方程为3πsin()3ρθ=-，化为直角坐标方程为360x y -+=．（2）由题意知(23,0)M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为123232x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2216x y +=中，得22340t t --=． 因为M 在1C 内，所以0Δ>恒成立，由韦达定理得124t t ⋅=-，所以124MA MB t t ⋅=⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，且1a b +=． （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）若41|21||2|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围． 【答案】（1）14m ≥；（2）[]6,12-． 【解析】（1）∵0a >，0b >，且1a b +=，∴21()24a b ab +≤=， 当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥． （2）∵,(0,)a b ∈+∞，1a b +=，∴414144()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=， 故若41|21||2|x x a b+≥--+恒成立，则|21||2|9x x --+≤． 当2x ≤-时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-； 当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<； 当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤， 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-．。