苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念
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选修4－2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念
编写人： 编号：008
学习目标
1、 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。
2、 理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表
示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。 学习过程： 一、预习：
（一）阅读教材，解决下列问题：
问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。
归纳1：矩阵乘法法则:
归纳2：矩阵乘法的几何意义：
（二）初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。 练习
、.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10110110=（ ）
A 、⎥⎦⎤⎢
⎣⎡1110 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011 C 、⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡0111 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 、已知矩阵X 、M 、N,若M =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1111, N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3322，则下列X 中不满足:XM=N ,的一个
是（ ）
A 、X =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--2120 B 、X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211 C 、X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3031 D 、X =⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-3053
二、课堂训练：
例1．（1）已知A=
11
22
11
22
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，B=
11
22
11
22
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎝⎭
,计算AB
（2）已知A=
10
02
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，B=
14
23
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
，计算AB,BA
(3)已知A=
10
00
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，B=
10
01
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，C=
10
02
⎛⎫
⎪
⎝⎭
计算AB,AC
例2、已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0
90
(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M
(2)求点A,B,C,D在
M
T作用下所得到的结果
(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。
例3: 已知A=cos sin sin cos α
αα
α-⎛⎫
⎪⎝⎭，B=cos sin sin cos β
βββ-⎛⎫
⎪⎝⎭
，试求AB,并对其几何意义给
予解释。
练习： 1. 已知A=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡1220,B=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--2301则AB=____________,BA=______________ 2、设1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，分别求A 2, A 3 ,A 4, A 5
3、证明下列等式成立，并从几何变换的角度给予解释：
（1）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001000120010001（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111031100111021
4. 已知A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ，试求A 2，A 3，A n （n>3,且n ∈N *）呢？
三、课后巩固：
1. 计算：12010110⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
＝__________ 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101
k =______⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡k 110 3、已知，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡10100111s p n m 则m= ，n= ，s= ． 4、已知3
π
βα=
+，M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-αααα
cos sin sin cos N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-ββββ
cos sin sin cos , 则ＭＮ＝_______,NM=_________ 5、设,,a b R ∈若M=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡b a 01把直线l ：2x+y+7=0变换为自身，则a = ，b = 6. 计算下列矩阵的乘积
（１） 02121343
2-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
； （２）3
1032⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
7、利用矩阵乘法定义证明下列等式0011010100k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（k>0）并说明其几何意义.
8、已知矩阵M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡-
212
32321和N=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2222
2222 （1）求证：MN=NM
（2）说明M 、N 所表示的几何变换，并从几何上说明满足MN=NM ．
9、记0,0a b k A S c d k ⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，其中k R ∈，作矩阵乘法SA ，AS ， （1）运算结果有何规律？ （2）S 与单位矩阵、零矩阵的关系？
（3）当k>0时，矩阵S 对应的变换T S 有何几何意义？
（4）研究T S 与伸压变换的关系？它变换后的象共线吗？⎥⎦
⎤⎢⎣⎡10呢？