力学3

d (mv ) r F r dt
有心力
运动的质点所受力的作用线始
终通过某个定点。
作用力——有心力， 定点——力心
在有心力作用下，质点在通过力心的
平面内运动。
有心力问题的基本方程
两个基本方程
m 2 F m 1 d 2 ) 0 m ( dt
Kinetic energy (动能) T=1/2mv2
T2 T1 W .
动能定理: 运动质点的动能的增加等于其它物体 对它所做的功. ( 2) ( 2) F dr Fx dx Fy dy Fz dz
(1) (1)
dx m dy m dz m x y z
(T2 V2 ) (T1 V1 ) Wn .
系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的 功的总和。
例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆 轨道上,轨道半径为,求卫星的势能\动能和机械 能.(不计空气阻力) （1）势能 （2）动能
2
V mgR / .
2
T mv / 2
(1) 2 2 2 1 1 d(1 m x m y m z ) 2 2 2 (1) ( 2)
( 2)
d ( mv ) dT
(1) 1 2 2 (1)
( 2)
( 2)
Conservation of mechanical energy
机械能守恒原理
Wtot T2 T1. Wcon (V2 V1 ).
o
A
S
M=Frsin
M r F
力对参考点o的力矩M：受力质点相对 于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。
动量矩(角动量）定理—平面运动
2 Fr mar mr mr
1d 2 m2r m ) F ma mr (r r dt
Areal velocity
一个守恒量
掠面速度：位矢r 在单位 时间内扫过的面积。
dA 1 1 OHS / t rv sin dt 2 2
推广到有心力！
牛顿的推理：
SAB面积 SBc 面积 ... SBc面积 SBC面积 ???
Cc//SB ，所以三角形SBC与SBc等高 有心力作用下掠面速度相等。
(2)功是标量，但有正负。 (3) 合力的功为各分力的功的关
两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力 的作用下从a 点运动到b点，万有引力的功:
er dr dr cos dr b b GMm W F dr 2 er dr a a r
GMm 1 1 W 2 dr GMm( ) a r ra rb
b
保守力做功
势能
WAB VA VB V O 或 VA WAO F dr
掠面速度
dA 1 rv sin dt 2 1 2 r 2
有心力作用下什么守恒？
dA 1 1 2 m m m rv sin r 守恒量 L 结论：有心力作用下掠面速度相等， dt 2 2
故角动量守恒。 2 rmv sin rp sin mr L
以力心为极点的极坐标系
径向 横向
有心力为保守力
mh m
2
动量矩守恒原理
1 2 2 m( ( ) ) V ( ) E 机械能守恒原理 2
The Laws of Planetary Motion Kepler‘s First Law:
行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭 圆的一个焦点上。
If Wtot Wcon then T2 T1 (V2 V1 ).
T2 V2 T1 V1.
功能原理
作用于质点的力F
Fc所作的功Wc可用势 能的减少来表示.
Fd所作的功Wn不（可） T2 T1 W Wc Wn 用势能的减少来表示.
(V2 V1 ) Wn .
Kepler's Second Law:
对任一个行星说，它的径矢在相等的时间 内扫过相等的面积。
演示：直升飞机
开普勒第二定律
对任一个行星说，它的径矢在相等的时 内扫过相等的面积。
Rotational speed is controlled by variations in the body’s rotational inertia as angular momentum is conserved during a forward somersault.
(1)
合力所做的功等于分力 所做功的代数和。
(1)
( 2) ( 2) F1 dr F2 dr Fn dr
(1)
w1 w2 wn
不同坐标系里的功
（1）平面直角坐标系
y
ˆ ˆ F Fxi Fy j , dr dxiˆ dyˆ j, ( where iˆ iˆ ˆ j ˆ j 1, iˆ ˆ j 0)
(2)势能
V Fx x
保守力
V V Fx lim . x 0 x x ( y , z不变 )
V V V Fx , Fy , Fz . x y z
F V gradV .
V V V F Fx i Fy j Fz k ( i j k) x y z gradU U 梯度： (i j k )V x y z (i j k )U V gradV x y z
2
R O
2 2
mv / mgR / .
2 2
v gR /
2 2
T mv / 2 mgR / 2 .
2
E T V mgR / 2 .
动量、动量定理
动量:
冲量 I:
p mv
t1
t2 I Fdt
由牛顿第二定律：
dv d F ma m (mv ), dt dt 动量定理的微分形式 d . F p p dt
A
Gravitational potential energy 1 1 Wa b GMm( ) Va Vb ra rb Elastic potential energy
Wab
1 2 2 k ( xa xb ) Va Vb 2
V mgh ? 2 1 V 2 kx c ??
动量定理的积分形式 t2 I Fdt p2 p1 mv2 mv1
t1
例 如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速
度vo来回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力 贡献。（1）求每个壁所受的平均作用力F， （2）如果一个壁表面以v<<vo的速率慢慢地移 向另一个表面，则回跳频率由于碰撞间距离的 减少以及球从运动的表面碰回时，小球的速率 增大而增加，求出用表面的距离x来表示的力F。 （3）证明：把表面从距离l推近到距离x 时所 做的功等于球的动能的增加。
y C x S
A
质点对轴的动量矩等于对轴上任意 一点的动量矩在该轴上的投影。
y
x
力对线的力矩
极坐标系 B F 直角坐标系
z
F F S
B
y C x
Fy
F Fx
C
S

A
y
A
z
x
y x
M F
AB

M xF yF
力对于参考点的力矩
M F r
力对轴上任意一点力 矩在该轴上的投影等 于力对该轴的力矩。
dt t
uvdt udx
x
(dx vdt)
积分得
ux C
u v0l / x
mv l F x
2 2 0 3
F 2muf
mu x
2
利用以上结论还容易证明，把表面从距 离l推近到距离x 时所做的功等于球的 动能的增加
角 角动 动量 量与
守 恒
匀速直线运动的
掠面速度:
y
r0
F r
r1
dw Fx dx Fy dy.
O
x
F s
s1
x
（2）平面“自然”坐标系 ˆn ˆ 1, tˆ n ˆ 0) (where tˆ tˆ n
s0
ˆ ) dstˆ Ft ds. dw ( Ft tˆ Fn n
功的性质
(1) 功是过程量，一般与路径有关。
请自己证明： dLz Mz dt
d M L dt N d Mi L dt i 1
动量矩(角动量）守恒
当
N M外 Mi 0
L 0, 或
i 1
L2 L1 0
若作用于质点的力 对参考点o的力矩 之和保持为零，则 质点对该点的动量 矩不变。
GMm V r
关 于 势 能：
(1)势能总是与保守力相联系。存在若干种保守 力时，就可引进若干种势能。 (2)势能的绝对数值与零势能位形的选取有关， 但势能的差与之无关。不同保守力对应的势 能，其零势能位形的选取可以不同。 (3) 势能既然与各质点间相互作用的保守力相联 系，因而为体系所共有。 (4) 与势能相联系的是保守力对质点系所作的总 功，与参考系无关。
定义：
动量矩 L r mv r p
角动量
2 L mr I
Moment of inertia 转动惯量