广州大学2004-2005(1)高等数学试题(A卷)
广州大学高等数学期末试题2006-2007(2)(90) (11)
广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx ∂=∂1y yx -,z y∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx ∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uuuv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T = (1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1)221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+ arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y ->。
04-05高等数学试卷A答案
04-05高等数学试卷A答案04-05高等数学试卷A答案高等数学试卷（A 卷）第 2 页共 13 页广州大学2004-2005学年第二学期考试卷答案与评分标准课程：高等数学(90学时) 考试形式：闭卷考试题号一二三四五六七总分分数 15 15 20 20 16 6 8 100 评分评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设xye z =，则=dz )(xdy ydx exy+2．设),(y x f 连续，交换积分次序┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院领导审批并签名A 卷高等数学试卷（A 卷）第 3 页共 13 页=110),(xdy y x f dx ?10),(ydxy x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则=+Lds y x )(24．当10≤=-1)1(n p n n条件收敛 5．微分方程54=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x +=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数xz及y z ??存在是),(y x f 在该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；高等数学试卷（A 卷）第 4 页共 13 页（C ）充分必要条件；（D ）无关条件. 2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-（C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域，则Ω=xdv 【 B 】（A ）1110x y dx dy x dz--?（B ）1110x x y dx dy x dz ---??（C ）1110y x y dx dy x dz---?（D ）111dx dy x dz4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x，高等数学试卷（A 卷）第 5 页共 13 页根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydy -=【 A 】（A ）??+-Ddxdyy x)(22（B ）??+Ddxdyy x)(22（C ）??--Ddxdyx y)(22（D ）??-Ddxdyx y)(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）xaxe 2 （B ）xe ax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+高等数学试卷（A 卷）第 6 页共 13 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中y x u -=，22y x v +=，求x z ??与yx z2解：xzxv u f v u f v u2),(1),(?+?=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分vuxf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vvf f y x f f y ?-+?+?-+? ┅┅┅┅ 5分2()4uuuvvvf y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 22 22=++确定，求xz及22x z ?? 解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x2= 22-=z F z┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zx F F x z zx -=-=??1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 7 页共 13 页222)1()(1z xz x z xz-??---=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分322)1()1(z xz -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由??=-==-=03303322x y f y x f yx┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx6=， 3-=xyf ， y f yy6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值┅┅ 6分在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 8 页共 13 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D，其中D 由2x y =与xy =围成的闭区域解：dxdy y x D21xx dx ydy=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1201|2xx xy dx =? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ?-=152)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdyeDy x ??+22，其中D 由4=+y x围成的闭区域解：dxdy eDy x ??+22?=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分2|2ρπe= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分高等数学试卷（A 卷）第 9 页共 13 页)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy∑=++??，其中∑为球面2a z y x =++的外侧)0(>a ，解：记2222:a z y x≤++Ω由高斯公式2223()I x y z dvΩ=++ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 drr d d a420sin 3=ππ??θ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 10 页共 13 页五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞=1!3n nnn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n uu n nn n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分nn n+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=?12n nnn x 的收敛域及其和函数解：nn n a a 1lim+∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1+=+∞→1lim 21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 11 页共 13 页当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n n n 条件收敛┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=?12n nnn x 22<≤-x=')(x S ∑∞=-112n nn x=11221-∞=∑??n n x =x-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分xx dx S x S x-=-+=?22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式+?+?=?+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分[]?+++=Cdx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 12 页共 13 页┅┅┅┅┅┅ 5分+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的8 7，问雪堆全部融化需要多少时间？解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ?-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分于是得k dtdr-= 积分得Ckt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 13 页共 13 页┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分又由题设，可知03|81|===t t V V即ππ3281)31(323?=-k61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。
2004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题A卷与答案
n 22004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题：（4×5 分）♣a (1 - cos x ) ♠ x > 0 ♠ x 21、设 f (x ) = ♦4 x = 0 连续，则常数 a = ， b =♠b sin x + ⎰ x e t d t ♠ 0 ♥♠ x x < 0∞∞2、设∑ a xn的收敛半径为 3, 则∑ n a (x -1)n +1的收敛半径 R ＝n n =1nn =13、已知 f (x ) = x (1 - x )(2 - x )…(2005 - x ) ，则 f '(0) ＝∞14、级数∑ nn =1的和 S =二、选择题：（4×4 分）1、函数 f (x ) = (x 2- x - 2) x 3- x 不可导点的个数是A 、 0B 、1C 、2D 、32、设周期函数 f (x ) 在(-∞,+∞) 内可导，其周期为4，且limf (1) - f (1 - x )= -1，x →02x则曲线 y = f (x ) 在点(5, f (5)) 处的切线的斜率为A 、 2B 、－2C 、1D 、－1∞n -11 k3、对于常数k > 0 ，级数∑(-1)tan n + n 2n =1A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、收敛性与 k 的取值相关4、设函数 f (x ) 有任意阶导数且 f '(x ) = f 2(x ) ,则 f(n )(x ) = (n > 2) .A 、n ! fn +1(x ) B 、nfn +1(x ) C 、f 2n(x ) D 、n ! f 2n(x )x ⎰ ♥三、计算下列各题：（6×6 分）arctan x - x1、求极限： lim3x →0ln(1 + 2x )2、设 y = tan2x + 2sin x，求： d y x =π23、设函数 y = y (x ) 由方程e y+ 6xy + x 2- 1 = 0 确定,求： y '(0)e x + e - xf '(x ) f (x )4、已知 f (x ) =,计算不定积分： 2+ f (x ) f '(x )d x5、设函数 y = y (x ) 由参数方程4 ln x♣♠x = t 3 + 9t ♦♠ y = t 2- 2t 确定，求曲线 y = y (x ) 的下凸区间。
2004-2005 学年第二学期大学数学分析试题及答案
一：填空（20 分）
1、函数 f (x) = e x 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式为
。
2、设 f(x)为区间 I 上的可导函数，则 f 为 I 上的凸函数的充要条件为 f (x)
f (x1) + f (x1)(x2 − x1)
n+1
,
n
=
(4
1,2,
分)
n
所以当 x (0,2) 时,
f (x) = x = 4 (−1)n+1 sin nx = 4 sin x − 1 sin 2x + 1 sin 3x + (6 分)
n
2 2 2 2 3 2
5、因 an
=
n(n
1 + 1)(n
+
2)
=
1 2
1
n(n
+
1)
−
(n
由罗尔定理存在 (,1) (0,1) 使得 F ( ) = 0 ，即 f ( ) = − f ( ) （4 分）
23
n
，当 x = −1时
二：判断（16 分）
1、实轴上的任一有界点集 S 至少有一个聚点。（ ）
2、设 H = { ( 1 , 1 ) n+2 n
n = 1, 2, } ，则 H 能覆盖区间 （0，1）。（ ）
3、黎曼函数
f
(x)
=
1 , q
x = p , p, q互素, q p q
在 区 间 [0 ， 1] 上 可 积 ， 且
连续及连续函数的局部保号性,存在 x0 的某领域 (x0 − , x0 + ) (当 x0 = a 或
2008-2009(1)高等数学试题(A卷)(90)答案
广州大学2008-2009学年第一学期考试卷 参考答案 课 程：高等数学（A 卷）（90学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f 1 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2xax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a 2 ，=b 0 .3．曲线x x x y 1sin 22-=有水平渐近线=y __1_ 和铅直渐近线=x __2____.4．已知1)(0-='x f ，则=+--→h h x f h x f h )2()(lim 000 3 .5．设C x dt t f x++=⎰501)()(，则常数=C -1 ，=)(x f 415)(+x .二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( A )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学院专业班 级姓 名2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( B ). (A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y ; (D) 2521--=x y 3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( B ). (A) 31(B) 21(C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( A) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f(C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( C ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数 （D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212x xy -=arctan ，求dy . 解：22212112⎪⎭⎫⎝⎛-+'⎪⎭⎫⎝⎛-='x x x x y2222212112212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=x x x x x x )()(）（……………………………………………3分212x += ………… ………………………………………………..4分dx xdy 212+=∴……………………………………………………6分 2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n . 解： )sin()cos(π211221221++=+='x x y ，……………….1分 )sin()sin(π2212212222++=+-=''x x y ，……………2分 )sin()cos(π2312212233++=+-='''x x y ，……………3分 所以有N n n x x y n n ∈++=),sin()()(π2122……………….……………6分3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dx dy . 解：dtdxdt dydx dy = ……………….…………………………….........3分 tt 2312--= ………….…………………………….................6分4．求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim . 解： =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 2lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→221lim ………….………….........2分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222221x x x x x lim ………….………….......................4分2-=e ……………….……………………………...................6分5．求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x sin lim 110. 解： =⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x sin lim 110x x x x x sin sin lim -→0………….……..............2分 20xx x x -=→sin lim xx x 210-=→cos lim ………………….…………............................4分 020==→x x sin lim .………….………… ………………………6分 四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分） 1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222. 解：⎜⎠⎛+-+=⎜⎠⎛++dx x x x x dx x x x )()(1331322222222 ⎜⎠⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x11322………….………………………………….3分 C x x+--=arctan 3…………………… ……………………….6分 2．⎜⎠⎛+901dx xx . 解：令x t =，则tdt dx t x 22==,……..……….…….................1分 ⎜⎠⎛+=⎜⎠⎛+3090211tdt t t dx xx ……………………….…………..........2分 ⎜⎠⎛++-=301112dt tt )( ()302122)ln(t t t ++-=…………………………….………… …….5分 243ln +=………………………………………….……....................6分3．⎰∞+-02dx e x x .解：⎰⎰∞+-∞+--=0202x x de x dx e x ⎰∞+-+∞-+-=0022dx xe e x x x ……………………...……....................2分 ⎰∞+-+∞---=0022x x xde e x x d e xe e x x x x ⎰∞+-+∞-+∞-+--=000222……………...………..........4分 220=-=+∞-xe .………………………...………….……....................6分五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x 解：根据对称性⎰=a ydx S 04令20π≤≤⎩⎨⎧==t t b y t a x sin cos………………...…….......................2分 则 ⎰⎰==02044π)cos (sin t a td b ydx S a⎰=2024πtdt ab sin …………...……………………………….5分 ⎰-=202214πdt t ab cos .ab π= ...………………………………………………………..7分六．（本题满分7分）1． 设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。
(整理)2004-2005学年第二学期高等数学试题(A卷).
命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x 所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。
2004-2005学年第二学期高等数学试题(A卷)
命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。
2004年广东高考数学考试(附答案)
2004年全国普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤则AB =（ ）A ．[)(]3,21,2--B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数322,(2)()(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a=（ ）A ．12- B ．14-C ．14 D ．134．123212lim 12311n n nn n n n n →∞--+-+-+++++（）的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．12D ．15．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ） A ．0.1536 B ． 0.1808 C ． 0.5632 D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ） A ．23B ．76 C ． 45D ．568．若双曲线2220)x y k k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f (1)>f (-1)C ． 1f （）>f (0)>f (-1)D ． f （0）>f (-1)>f (1)12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( ) A ． 第四象限 B ． 第三象限 C ．第二象限 D ． 第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分) 13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)14．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . 15．由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P ABCV V '''--=16．函数10)f x In x =>（））（的反函数1().f x -=图(2)图(1)三、解答题(共6小题,74分)17． (12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.18．如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.DC A19． (12分)设函数110,f x x x=->（），(1) 证明: 当0< a < b ,且()()f a f b =时,ab >1;(2) 点P (x 0, y 0 ) (0< x 0 <1 )在曲线()y f x =上,求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x 0表达).20． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)21． (12分)设函数f x x In x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数.(1) 当m 为何值时,0f x ≥（）；(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ-m ]内有两个实根.22．(14分)设直线与椭圆2212516x y+=相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB．求直线的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案一、选择题：二、填空题：（13）75 （14）－2i (15)PCPB PA PC PB PA ⋅⋅⋅⋅''' (16))(22R x ee xx ∈+三、解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 18．解：（I ）以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC设向量),,(z y x n =与平面C 1DE 垂直，则有22tan 36400411220101||||cos ,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001=∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z zz z z n z y x z y x y x EC DE n 的平面角为二面角所成的角垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则142122)4(2312223)4(1cos 2222221111=++-⨯++⨯+⨯+-⨯==β 19．证明：（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x xx xx x f 故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b 且f(a)=f(b)得0<a<1<b 和ab b a ab ba b a 22211,1111>+=⇒=+-=-即 故1,1>>ab ab 即 （II ）0<x<1时，10,1)(,11|11|)(0200'<<-=∴-=-==x x f xx x f y x 曲线y=f(x)在点P （x 0，y 0）处的切线方程为：020202),(1x x xy x x y y x x -+-=--=-即∴切线与x 轴、y 轴正向的交点为)2(1,0()0),2((0000x x x x --和 故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(x x x x x x A -=-⋅-=20．解：如图，y xoABC P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.21．（I ）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且m x x f mx x f -==+-=1,0)(,11)(''得令 当x ∈(-m,1-m)时,f ’（x ）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x ∈(1-m, +∞)时,f ’（x ）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0(II)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数.,)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m ef m e m m e m e m e f mm m m m -->>=+---=------由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使而当整数m>1时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-⇒>>--++>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
广州大学参考书目
3.《地理信息系统导论》，Kang-tsung Chang著，陈健飞等译，科学出版社，2003年。
应用心理学
体育教育训练学
语言学及应用语言学
中国古典文献学
中国古代文学
初试按教育部指定参考书目。
各方向复试参考书目:
01方向：《认知心理学》，王甦主编，北京大学出版社，1992年出版；
02方向：《人格心理学》，郑雪主编，广东高等教育出版社，2002年出版；
03方向：《咨询心理学》，张日昇主编，人民教育出版社，2001年出版。
电视教材编导与制作
《电视教材编导与制作》李运林徐福荫主编，高等教育出版社，2004年第二版
11方向（课程与教学原理）复试及加试参考书目
课程与教学论
《现代课程与教学论学程》（上、下），黄甫全主编，人民教育出版社2006年版。
《课程与教学论》，张华著，上海教育出版社2000年版。
广州大学参考书目
发展与教育心理学
初试参考书目：
1．《马克思主义原理》，教育部社政司组编，高等教育出版社，2001年出版。
2．《简明马克思主义史》（第三版），庄福龄主编，人民出版社，2004年。
复试参考书目：
《〈马克思主义经典著作选读〉导读》，教育部社政司组编，人民出版社，2001年。
同等学力考生加试：
1、《科学社会主义理论与实践》，高放等主编，中国人民大学出版社，2002年。
同等学力考生加试：
1、《科学社会主义理论与实践》，高放等主编，中国人民大学出版社，2002年。
2、《毛泽东思想概论》，庄福龄主编，中国人民大学出版社，2003年。
初试参考书目：
2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)解答
广州大学 2006-2007 学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90 学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分） 1. (,)(1,2) 22 lim 2 x y xy xy ® +- = - 14. 2.设 2sin z x y = ,则 2zx y¶ = ¶¶ 2cos x y .3.函数 3 x z y e = 的全微分dz = 32 3 x x y e dx y e dy + .4.若 243 (,)2 f x x x x x =++ , 22 1(,)221 f x x x x ¢ =-+ ,则 22 (,) f x x ¢ = 2 221 x x ++ .5.改换积分次序: ln 10 (,) exdx f x y dy =òò 1 0(,) y eedy f x y dx òò .6.平面 1 x y z ++= 在第一卦限部分的面积等于 32. 7.设L 为圆周 222 x y a += ,则 ò =+ Lds y x ) ( 2 2 32 ap .8.若级数 1n n u ¥= å 条件收敛，则级数 1|| n n u ¥= å 的敛散性为： 发散 .9.函数 1 1() x n f x n ¥= = å 的定义域为x Î (1,) +¥ .10.若 2 ()2ln 0 y f x dx y xdy += 为全微分方程,则 () f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知 ) , ( y x f z = 是由方程 0 ze xyz -= 确定的隐函数, 求 x z ¶ ¶ 和 2 2 xz¶ ¶ .解: 0 zz ze yz xy x x¶¶ --= ¶¶ z z yz x e xy¶ = ¶- ………………………………………………………4分 2 22 ()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy --- ¶ = ¶- ………………………………6分 2322 322 ()z zz y ze xy z y z e e xy -- = - ……………………………………7分 2.求曲面 222 236 x y z ++= 在点(1,1,1) - 处的切平面及法线方程. 解: (2,4,6)n x y z = r(1,1,1)(2,4,6) n -=- r ……………………………………………3分 所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0 x y z --++-= ……………………5分即 2360x y z -+-= 所求法线方程111246x y z -+- == - ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分 14分）1.计算 cos() Dx x y d s + òò ,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0) p 和(,) p p 的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos() Dx x y d s+ òò0cos() xdx x x y dy p =+ òò …………………………………………4分(sin 2sin ) x x x dx p=- ò …………………………………………5分0 1(cos cos 2) 2xd x x p =- ò 011 [(cos cos 2)(sin sin 2)] 24x x x x x p=--- 32p =- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周 22 1 x y += ,计算 ò + - Ldy xy dx yx x 2 2 2 ) (sin .解: 记 22 :1 D x y +£ ,由格林公式有ò + - Ldy xy dx yx x 22 2 ) (sin 22 () Dy x dxdy =+ òò ………………………………………………3分213 0d d p q r r = òò ………………………………………………5分2p=……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数 2ln n n xn ¥= å 的收敛域.解: 收敛半径 1 ln(1) lim ||lim 1 ln nn n n a n R a n®¥®¥ + + === ………………………3分 当 1 x = 时,得级数 21ln n n ¥= å ,因 11ln n n > ,而 2 1 n n ¥ = å 发散,所以 2 1ln n n ¥ = å 发散……………………………5分 当 1 x =- 时,得交错级数 2 (1)ln nn n¥= - å, 因 1lim 0 ln n n ®¥ = ,且 11 (2,,) ln ln(1) n n n >= + L ,所以 2(1) ln n n n ¥= - å 收敛 ……7分所求收敛域为[1,1) - ……………………………………………………8分 五．(本题满分6分） 求微分方程 dy y xdx x y=+ 的通解.解: 令y ux = ,则 dy duu x dx dx =+ ………………………………………2分原方程化为 1du u x u dx u +=+ ………………………………………3分分离变量得 1udu dx x = ……………………………………………4分两边积分得 21 ln || 2u x C =+ ………………………………………5分yu x= 回代得 22 2(ln ||) y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I和II，出售单价分别为 10元与9元，生产x单 位的产品I与生产 y单位的产品II的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y+++++ （元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解: 利润函数为(,)(109)L x y x y=+- 22[400230.01(33)]x y x xy y+++++22860.01(33)400x y x xy y=+-++- ………………3分由80.01(6)060.01(6)0 xyL x yL x y=-+=ìí =-+=î……………………………………………5分 得驻点(120,80)…………………………………………………………7分 因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为 120x= , 80y = …………………………………………………………8分 七．（本题满分8分）设W是由曲面 226z x y=-- 及 22z x y=+ 所围成的有界闭区域,求W 的体积.解:W在xOy面上的投影区域为 22:4D x y+£ ……………………2分W的体积为222600V dv d d dzp rrq r r-W==òòòòòò …………………5分22200(6)d dpq r r r r=--òò ………………………6分43222[3]43r rp r=--323p= ……………………8分八．(本题满分12分） （1）验证函数3693 ()1 3!6!9!(3)!nx x x xy x n =++++++ L L ，（ x -¥<<+¥）满足微分方程 x y y y e ¢¢¢ ++= ；（2）利用（1）的结果求幂级数 3 0(3)! nn xn ¥= å 的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n - ¢=+++++ - L L 47324!7!(32)!n x x xy x n - ¢¢=+++++ - L L0 ! n x n xy y y e n¥= ¢¢¢ ++== å ……………………………………4分(2) 0 y y y ¢¢¢ ++= 的通解为212 33 (cossin ) 22x Y e C x C x - =+ ………………………7分 设 x y y y e ¢¢¢ ++= 的待定特解 * x y Ae = ,代入 x y y y e ¢¢¢ ++= ,求得1 3 A = , 1* 3x y e = ……………………………………………9分x y y y e ¢¢¢ ++= 的通解为212 331 (cossin ) 223xx y e C x C x e - =++ ……………………10分 由 (0)1 y = , (0)0 y ¢ = ,求得 1 23C = , 2 0C = 幂级数 3 0 (3)! n n xn¥= å 的和函数为2 231cos 323 xx y e x e - =+ ……………………………12分。
()高等数学试题(A卷)()(00001)
广州大学2006-2007学年第一学期考试卷 课 程：高等数学（54学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1. 10lim(1)x x x →-=_______. 2．=++∞→x x x x cos 122lim 2_______. 3. 曲线2x y =在点)4,2(处的切线方程为_________________. 4. 函数2x e y -=的渐近线为_________.5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为_________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1．下列函数为偶函数的是（ ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x ; (D) x x cos +.2. 当0→x 时, 11-+x 是2x 的( )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x 处连续的( ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.学院专 业班级姓名学 号5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分) 1. 112-=x y , 求y ''.2. 设)(ln x f y =, 其中)(x f 可微, 求dy .3. 设)(x y 是由方程2=+-x y e xy e 所确定的隐函数, 求0|=x dx dy .四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分) 1. 0sin lim (1cos )x x x x x →--. 2．x x x ln 12)1(lim ++∞→.五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分) 1. dx x x )3(-⎰.装订线内不要答题2. ⎰dx x x )1(sin 2+.3. 22ln(1)x dx x +⎰.4.dx x x ⎰+31.某厂生产x 件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问 (1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?装 订 线 内 不 要 答 题证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++.。
2004～2005 学年第二学期《高等数学》期末考试试题A卷及答案(216 学时)
x ( + y )4x x yx 2 + y 2 ♥♥♥ x 2004～2005 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号姓名一、填空题（每小题 4 分）1、设 f (x , y ) 在[0,π ] ⨯[0,π ] 上连续,且恒取正值，则limn →∞⎰⎰(sin x )( f (x , y )) nd x d y =0≤ x ≤π0≤ y ≤πxy yz2.设函数u = exyz+ ⎰ t sin t d t + ⎰ t 2 d t ，则rot (gradu ) =♣ x + y + b = 0 2 23.设直线 L : ♦x + ay - z - 3 = 0 ，在平面 上，而平面 与曲面 z = x + y 相切于(1,-2,5) ，则 a = b =♣ 2 4.设 f (x ) 是周期为 2 的周期函数, 它在[-1，1]上的表达式 f (x ) = ♦x 3- 1 < x ≤ 0，它 0 < x ≤ 1 的傅里叶级数的和函数为 s (x ) ，则 s (1) = 。
5.微分方程 x 2 y ' + xy = y 2 在 y (1) = 1的特解为：。
二、计算下列各题（每小题 6 分） 1．设 z = f (x , y ) 是由 z - y + xe z - y - x= 0 所确定，求d z 。
2、计算 I = ⎰1d y⎰1(1 + ex)x -1 sin x d xy3．计算 I = ⎰⎰ 2Dd x d y其中 D 是由 x 轴， y = x , += 1和 + = 2 围成的有界区域。
♣x 2+ y 2 + z 2 = 44、计算 I ＝⎰L2 y 2 + z 2 d s L : ♦x = y5. 计算三重积分： I =⎰⎰⎰v ∧∧ 为由曲面 z = 及平面 z = 1, z = 2 围成的闭区域。
6. 求密度为 的均匀球面 x2+ y 2 + z 2 = a 2 (z ≥ 0) 对于 z 轴的转动惯量。
广州大学高数考试卷
广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim 02．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 14．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。
2004～2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B卷(.
2004~2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B 卷答案一、填空题(4×4分1、32−x ; 2、31−; 3、4; 4、(xf x c +; 5、2222sin 1cos x x x + 二、单项选择题(5×3分1、C;2、D;3、A;4、C;5、B三、试解下列各题解:1、0000→→→→x 2、66sin 31ln(2lim sin 20lim 31(lim 00e e e x x x x x x x x x ===+→→+→ 3、xdx dx x x x x x erc dy arctan 11tan 22=⎦⎤⎢⎣⎡+−++= 4、两边对x 求导(10x y dy dy e y x dx dx++−−= x y x y dy e y dx x e ++−=−5、22sin dx t t dt =−222222(cos 2sin cos 2sin dy t t t t dt t tdt =−−=−2222sin 2sin dy t t t dx t t == dy d dt dx = 22212sin d y dx t t =− 6、2c ==+ 7、22204 4044sin sin sin 111x x xx x x dx dx dx e e e ππππ−−−−−−=++++∫∫∫ 220404sin sin 11x t x t dxx t dt e e ππ−−=−++∫∫ 22444004sin 1sin (1cos 221xx dx xdx x dx e ππππ−−==−+∫∫∫ 40111(sin 2(2228x x ππ=−=− 8、2201arctan(1arctan (1td t ′∫+− ∫+−−−=2122121(arctan 1(21dt tt t t 125/2arctan −+=u四、解:例如广义积分∫10d 1x x 收敛时,但广义积分∫10d 1x x 发散。
2004年全国普通高等学校招生全国统一考试数 学(广东卷)
2004年全国普通高等学校招生全国统一考试数 学（广东卷）一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量a r =（3，1），b r =（x ，–3），且a b ⊥r r，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =I（ ）A ．[)(]3,21,2--UB ．(]()3,21,--+∞UC ． (][)3,21,2--UD ．(](],31,2-∞-U3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a=（ ）A ．12- B ．14-C ．14 D ．134．123212lim 12311n n nn n n n n →∞--+-+-+++++L （）的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．12D ．15．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ） A ．0.1536 B ． 0.1808 C ． 0.5632 D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ） A ．23B ．76 C ． 45D ．568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f (1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( ) A ． 第四象限 B ． 第三象限 C ．第二象限 D ． 第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分)13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)14．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . 15．由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P ABCV V '''--=16．函数10)f x In x =>（））（的反函数1().f x -=三、解答题(共6小题,74分)17． (12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.x图(2)图(1)18．如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.DC A19． (12分)设函数110,f x x x=->（），(1) 证明: 当0< a < b ,且()()f a f b =时,ab >1;(2) 点P (x 0, y 0 ) (0< x 0 <1 )在曲线()y f x =上,求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x 0表达).20．(12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)21． (12分)设函数f x x In x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数. (1) 当m 为何值时,0f x ≥（）；(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.试用上述定理证明:当整数m >1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ-m ]内有两个实根.22．(14分)设直线l与椭圆2212516x y+=相交于A、B两点，l又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线l的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案（13）75 （14）－2i (15)PC PB PA PC PB PA ⋅⋅⋅⋅''' (16))(22R x ee xx ∈+三、解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 18．解：（I ）以A 为原点，1,,AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC DE 设向量),,(z y x =与平面C 1DE 垂直，则有22tan 36400411220101||||cos ,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001=∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z zz z z zy x z y x y x EC n ΘΘ的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则142122)4(2312223)4(1||||cos 2222221111=++-⨯++⨯+⨯+-⨯=⨯=FD EC β 19．证明：（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x xx xx x f Θ 故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b 且f(a)=f(b)得0<a<1<b 和ab b a ab ba b a 22211,1111>+=⇒=+-=-即 故1,1>>ab ab 即 （II ）0<x<1时，10,1)(,11|11|)(0200'<<-=∴-=-==x x f xx x f y x 曲线y=f(x)在点P （x 0，y 0）处的切线方程为： 0020202),(1x x xy x x y y x x -+-=--=-即∴切线与x 轴、y 轴正向的交点为)2(1,0()0),2((0000x x x x --和 故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(x x x x x x A -=-⋅-=y xoAB C P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 21．（I ）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且m x x f mx x f -==+-=1,0)(,11)(''得令 当x ∈(-m,1-m)时,f ’（x ）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x ∈(1-m, +∞)时,f ’（x ）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0(II)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m em--- 上为连续减函数.,)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m ef m e m m e m e m e f mm m m m -->>=+---=------由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m使而当整数m>1时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-⇒>>--++>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m Θ 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m em m--- 上为连续增函数且 f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m em m---内有两个实根。
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广州大学2004-2005
一．填空题(本大题满分15分)
01．(3分)
_________;1232lim 1+∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x x x =
02．(3分) .
求曲线上横坐标为0=y x 2sin x +2=x 的切线方程
03．(3分)
.________2上是凸的在区间曲线x e y -=
04．(3分) ).0,()(,
≠=++=⎰⎰a b a d x b ax f c F d x f 为常数且其中则设)(x )(x 05．(3分) ._______)26(,)(,)(1043==⎰-f x d t t f x f x 则且连续设
二．选择题(本大题满分15分)
06．
当0→x 时αx 与)(sin 23x 为等价无穷小=α(A)2 3 5 6,则,( ).
(B) (C)(D);
;;.
左右都不连续．右连续，左不连续；
左连续，右不连续；连续；点的连续性是，在，
，函数x x x e x f x 00101)(1=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-C)(A)(B)(D)(( ).
08．(3分)
1)(,0)(='=a f a f 则极限)
1(lim n a nf n -∞→(A)不存在(B)不一定存在1(C)1(D)-,( )=.;
;
;.
函数3232)(x x x f +=只有极大值没有极小值只有极小值没有极大值在处取极大值处取极小值在处取极小值处取极大值( ).
(A)(B)(C)(D)1)(f =-1,;
1)(f =-1,;
-1=x 0=x ;
,-1=x 0=x ,.
10．(3分) 设)(x f 的一个原函数是x sin 则='d x x f x )(C x x x +-sin cos (A)C x x x ++cos sin (B)C x x x ++sin cos (C)C x x x +-cos sin (D);
;;
.,( ).
三．(本大题满分24分)
11．(6分) .sin cos sin lim
30x x x x x -→求极限
12．(6分) .,ln 1cos 2y x x y '⎪⎭⎫ ⎝⎛-=求设
13．(6分) ();,1ln 211222d y x x x x y 求++++=
14．(6分) .,52arctan )(2e ty y t x x y y t 求所确定由设⎩⎨⎧=+-==d x d y
四．(本大题满分24分)
15．(6分)
⎰
+.cos 1cos sin 23x x x 求d x
16．(6分) ⎰.
d arcsin x x 求
17．(6分) .1
22d x x x -计算定积分
18．(6分) .1+∞
d x x x +21()计算广义积分:
五．(本大题满分22分)
19．(6分)
?
1求把池水抽干至少需要作米的半球形水池充满了水半径等于.多少功 20．(10分) )0,1()0,1(,,)0)(1(2形的面积为最小.
处的两条法线所围成的图及点曲线与它在点使这条
试求一条曲线中在曲线族->-=a x a y
21．(6分) .),0(2cos 1ln 0且仅有两个不同的实根在区间证明方程+∞--
=πd x x e
x x 内有。