专题09 圆锥曲线-备战2018高考十年高考数学理分项之全景展现高考命题规律北京专版 含解析 精品
2018年高考文数解析几何圆锥曲线精选试题及知识点分析
文数解析几何1.已知椭圆L：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点(2,2)在L上．(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【答案】解：(Ⅰ)抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，由题意可得c=2，即a2−b2=4，又点(2,在L上，可得4a+2b=1，解得a=22，b=2，即有椭圆L：x28+y24=1；(Ⅱ)证明：设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=kx+b代入椭圆方程x28+y24=1，可得(1+2k2)x2+4kbx+2b2−8=0，x1+x2=−4kb1+2k2，即有AB的中点M的横坐标为−2kb1+2k，纵坐标为−k⋅2kb1+2k+b=b1+2k，直线OM的斜率为k OM=y M xM=−12⋅1k，即有k OM⋅k=−12．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解析】(Ⅰ)求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2.设椭圆C：x2a+y2b=1(a>b>0)，过点Q(2,1)，右焦点F(2,0)，(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l：y=k(x−1)(k>0)分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若CN=MD，求k值，并求出弦长|MN|．【答案】解：(Ⅰ)椭圆过点Q(1)，可得2a+1b=1，由题意可得c=2，即a2−b2=2，解得a=2，b=2，即有椭圆C的方程为x24+y22=1；(Ⅱ)直线l：y=k(x−1)与x轴交点C(1,0)，y轴交点D(0,−k)，联立y=k(x−1)x2+2y2=4，消y得，(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4k21+2k2，CN=(x2−1,y2)，MD=(−x1,−k−y1)，由CN=MD，得：x1+x2=4k21+2k2=1，解得k=±22.由k>0得k=22代入①得2x2−2x−3=0，x1+x2=1，x1x2=−32，可得|MN|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2=32⋅1+6=422．【解析】(Ⅰ)将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长|MN|．本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档题．3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A．(1)求该椭圆的方程：(2)过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【答案】解：(1)由题意可知：椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c=2，c=1，椭圆的离心率e=ca =22，则a=，b2=a2−c2=1，则椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(2,0)，当直线PQ不存在时，不符合题意。
2018届浙江省高考试题逐类透析――圆锥曲线
七、平面解析几何（二）圆锥曲线一、高考考什么？[考试说明]5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。
6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系。
7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。
8. 了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程。
[知识梳理]弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则：＝＝通径：椭圆、双曲线，抛物线定义及基本量：椭圆双曲线抛物线定义基本量离心率抛物线：若的焦点弦为AB，，则：①②；③[全面解读]圆锥曲线是高中数学教学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
综观历年高考，试题中几乎考查了解析几何教学中的所有内容，重点考查了定义、位置关系、弦长、离心率、渐近线等问题，有较高的思维度和灵活性，通过一定量的计算，分析研究圆锥曲线的性质特点，充分考查解析几何的本质。
[难度系数] ★★★★☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是( )A．y2=8-4x B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16（9）若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )A． B． C． D．[2005年]（13）过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．[2008年]（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=___________。
[2009年]（9）过双曲线（）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．[2010年]（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A． B．C． D．（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为________。
2018圆锥曲线高考题全国卷真题汇总
20182010圆锥曲线高考题全国卷真题汇总(word版可编辑修改)
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【最新整理，下载后即可编辑】圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）一．选择题（共7小题）1．双曲线﹣y 2=1的焦点坐标是（ ） A ．（﹣，0），（，0） B ．（﹣2，0），（2，0） C ．（0，﹣），（0，） D ．（0，﹣2），（0，2）2．已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=1 3．设F 1，F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0．b ＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=|OP|，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．4．已知F 1，F 2是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3 C．2D．47．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x二．填空题（共6小题）8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．10．已知点P （0，1），椭圆+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足=2，则当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大．11．已知点M （﹣1，1）和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB=90°，则k= ．12．曲线y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．13．曲线y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为 ．三．解答题（共13小题）14．设函数f （x ）=[ax 2﹣（4a+1）x+4a+3]e x ．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若f （x ）在x=2处取得极小值，求a 的取值范围．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（），焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为，求直线l 的方程．16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k 的值．18．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：+=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜﹣；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．19．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．设椭圆C ：+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB ．21．记f′（x ），g′（x ）分别为函数f （x ），g （x ）的导函数．若存在x 0∈R ，满足f （x 0）=g （x 0）且f′（x 0）=g′（x 0），则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．（1）证明：函数f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x ﹣2不存在“S 点”；（2）若函数f （x ）=ax 2﹣1与g （x ）=lnx 存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数f （x ）=﹣x 2+a ，g （x ）=．对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．22．已知函数f （x ）=﹣lnx ．（Ⅰ）若f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a ≤3﹣4ln2，证明：对于任意k ＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有唯一公共点．23．已知函数f （x ）=a x ，g （x ）=log a x ，其中a ＞1．（Ⅰ）求函数h （x ）=f （x ）﹣xlna 的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（x 1，f （x 1））处的切线与曲线y=g （x ）在点（x 2，g （x 2））处的切线平行，证明x 1+g （x 2）=； （Ⅲ）证明当a ≥e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f （x ）的切线，也是曲线y=g （x ）的切线．24．已知函数f （x ）=（2+x+ax 2）ln （1+x ）﹣2x ．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0；（2）若x=0是f （x ）的极大值点，求a ．25．已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2．（1）若a=1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1；（2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．26．已知函数f （x ）=﹣x+alnx ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：＜a ﹣2．圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx ﹣ay=0，F （c ，0），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，FE ⊥CD ，ACDB 是梯形，F 是AB 的中点，EF==3， EF==b ，所以b=3，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，可得， 可得：，解得a=． 则双曲线的方程为：﹣=1． 故选：C ．3．设F 1，F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0．b ＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=|OP|，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【解答】解：双曲线C ：﹣=1（a ＞0．b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，∴点F 2到渐近线的距离d==b ，即|PF 2|=b ， ∴|OP|===a ，cos ∠PF 2O=，∵|PF 1|=|OP|，∴|PF 1|=a ， 在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×=4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3（c 2﹣a 2）， 即3a 2=c 2， 即a=c ，∴e==，故选：C ．4．已知F 1，F 2是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：y=（x+a ），由∠F 1F 2P=120°，|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，则P （2c ，c ），代入直线AP ：c=（2c+a ），整理得：a=4c ，∴题意的离心率e==． 故选：D ．5．双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±x D ．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，故选：A ．6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|==3．故选：B．7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．二．填空题（共6小题）8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 ．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为 2 ．【解答】解：椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：﹣=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e 4﹣8e 2+4=0，e ∈（0，1）， 解得e=．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．10．已知点P （0，1），椭圆+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足=2，则当m= 5 时，点B 横坐标的绝对值最大． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由P （0，1），=2，可得﹣x 1=2x 2，1﹣y 1=2（y 2﹣1）， 即有x 1=﹣2x 2，y 1+2y 2=3， 又x 12+4y 12=4m ，即为x 22+y 12=m ，① x 22+4y 22=4m ，②①﹣②得（y 1﹣2y 2）（y 1+2y 2）=﹣3m ， 可得y 1﹣2y 2=﹣m ， 解得y 1=，y 2=，则m=x 22+（）2， 即有x 22=m ﹣（）2==，即有m=5时，x 22有最大值16， 即点B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．11．已知点M （﹣1，1）和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB=90°，则k= 2 ．【解答】解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0）， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x ﹣1）， 联立可得，k 2x 2﹣2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则 x 1+x 2=，x 1x 2=1，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣2）=，y 1y 2=k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）=k 2[x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1]=﹣4， ∵M （﹣1，1），∴=（x 1+1，y 1﹣1），=（x 2+1，y 2﹣1）， ∵∠AMB=90°=0，∴•=0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1﹣1）（y 2﹣1）=0， 整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2﹣（y 1+y 2）+2=0， ∴1+2+﹣4﹣+2=0，即k 2﹣4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：212．曲线y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣3 ．【解答】解：曲线y=（ax+1）e x ，可得y′=ae x +（ax+1）e x ， 曲线y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3． 故答案为：﹣3．13．曲线y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x ． 【解答】解：∵y=2ln （x+1）， ∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．三．解答题（共13小题）14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a ＞，则＜2，f （x ）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f （x ）在x=2处取得极小值；若0＜a ＜，则＞2，f （x ）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f （x ）在x=2处取得极大值，不符题意；若a ＜0，则＜2，f （x ）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f （x ）在x=2处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是（，+∞）．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（），焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），圆O 的直径为F 1F 2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为，求直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），∴．∵∴，又a 2+b 2=c 2=3，解得a=2，b=1． ∴椭圆C 的方程为：，圆O 的方程为：x 2+y 2=3．（2）①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C ，且切点在第一象限，∴可设直线l 的方程为y=kx+m ，（k ＜0，m ＞0）． 由圆心（0，0）到直线l 的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，△=（8km ）2﹣4（4k 2+1）（4m 2﹣4）=0，可得m 2=4k 2+1，∴3k 2+3=4k 2+1，结合k ＜0，m ＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P 的坐标为（．②设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由⇒k ＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0， |x 2﹣x 1|==，O 到直线l 的距离d=，|AB|=|x 2﹣x 1|=， △OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．16．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1（x ＜0）上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P （m ，n ），A （，y 1），B （，y 2），AB 中点为M 的坐标为（，），抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得（）2=4•，（）2=4•，化简可得y 1，y 2为关于y 的方程y 2﹣2ny+8m ﹣n 2=0的两根， 可得y 1+y 2=2n ，y 1y 2=8m ﹣n 2， 可得n=，则PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1（x ＜0）上的动点，可得m 2+=1，﹣1≤m ＜0，﹣2＜n ＜2，由（Ⅰ）可得y 1+y 2=2n ，y 1y 2=8m ﹣n 2，由PM 垂直于y 轴，可得△PAB 面积为S=|PM|•|y 1﹣y 2| =（﹣m ）•=[•（4n 2﹣16m+2n 2）﹣m]•=（n 2﹣4m ）， 可令t===，可得m=﹣时，t 取得最大值；m=﹣1时，t 取得最小值2， 即2≤t ≤， 则S=t 3在2≤t ≤递增，可得S ∈[6，]，△PAB 面积的取值范围为[6，]．17．设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为，点A 的坐标为（b ，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若=sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的焦距为2c ， 由椭圆的离心率为e=，∴=；又a 2=b 2+c 2， ∴2a=3b ，由|FB|=a ，|AB|=b ，且|FB|•|AB|=6；可得ab=6，从而解得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），由已知y 1＞y 2＞0；∴|PQ|sin ∠AOQ=y 1﹣y 2； 又|AQ|=，且∠OAB=，∴|AQ|=y ，由=sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2；由方程组，消去x ，可得y 1=，∴直线AB 的方程为x+y ﹣2=0； 由方程组，消去x ，可得y 2=；由5y 1=9y 2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k 2﹣50k+11=0， 解得k=或k=； ∴k 的值为或．18．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：+=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜﹣；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵线段AB 的中点为M （1，m ）， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2m 将A ，B 代入椭圆C ：+=1中，可得，两式相减可得，3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， 即6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）=0， ∴k==﹣=﹣点M （1，m ）在椭圆内，即，解得0＜m ∴．（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）， 可得x 1+x 2=2，∵++=，F （1，0），∴x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0，y 1+y 2+y 3=0， ∴x 3=1，∵m ＞0，可得P 在第一象限，故，m=，k=﹣1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a ﹣ex 1=2﹣x 1，|FB|=2﹣x 2，|FP|=2﹣x 3=． 则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x 1﹣x 2|=所以该数列的公差d 满足2d=|x 1﹣x 2|=，∴该数列的公差为±．19．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB 的方程为：y=k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则，整理得：k 2x 2﹣2（k 2+2）x+k 2=0，则x 1+x 2=，x 1x 2=1，由|AB|=x 1+x 2+p=+2=8，解得：k 2=1，则k=1，∴直线l 的方程y=x ﹣1；方法二：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin 2θ=， ∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l 的方程y=x ﹣1；（2）过A ，B 分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A 1，B 1，设AB 的中点为D ，过D 作DD 1⊥准线l ，垂足为D ，则|DD 1|=（|AA 1|+|BB 1|）由抛物线的定义可知：|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，则r=|DD 1|=4，以AB 为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB 的中点D ， 由（1）可知：x 1+x 2=6，y 1+y 2=x 1+x 2﹣2=4， 则D （3，2），过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=16．．20．设椭圆C ：+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB ． 【解答】解：（1）c==1，∴F （1，0）， ∵l 与x 轴垂直，∴x=1， 由，解得或，∴A （1.），或（1，﹣）， ∴直线AM 的方程为y=﹣x+，y=x ﹣，证明：（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°， 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k （x ﹣1），k ≠0， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＜，x 2＜，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为k MA +k MB =+，由y 1=kx 1﹣k ，y 2=kx 2﹣k 得k MA +k MB =，将y=k （x ﹣1）代入+y 2=1可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴2kx 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+4k=（4k 2﹣4k ﹣12k 2+8k 2+4k ）=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB ．21．记f′（x ），g′（x ）分别为函数f （x ），g （x ）的导函数．若存在x 0∈R ，满足f （x 0）=g （x 0）且f′（x 0）=g′（x 0），则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．（1）证明：函数f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x ﹣2不存在“S 点”； （2）若函数f （x ）=ax 2﹣1与g （x ）=lnx 存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数f （x ）=﹣x 2+a ，g （x ）=．对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x ）=1，g′（x ）=2x+2， 则由定义得，得方程无解，则f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x ）=2ax ，g′（x ）=，x ＞0， 由f′（x ）=g′（x ）得=2ax ，得x=，f （）=﹣=g （）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x ）=﹣2x ，g′（x ）=，（x ≠0）， 由f′（x 0）=g′（x 0），得b =﹣＞0，得0＜x 0＜1，由f （x 0）=g （x 0），得﹣x 02+a==﹣，得a=x 02﹣，令h （x ）=x 2﹣﹣a=，（a ＞0，0＜x ＜1），设m （x ）=﹣x 3+3x 2+ax ﹣a ，（a ＞0，0＜x ＜1），则m （0）=﹣a ＜0，m （1）=2＞0，得m （0）m （1）＜0， 又m （x ）的图象在（0，1）上连续不断， 则m （x ）在（0，1）上有零点， 则h （x ）在（0，1）上有零点，则f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S”点．22．已知函数f （x ）=﹣lnx ．（Ⅰ）若f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a ≤3﹣4ln2，证明：对于任意k ＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f （x ）=﹣lnx ， ∴x ＞0，f′（x ）=﹣，∵f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等， ∴=﹣， ∵x 1≠x 2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256，由题意得f （x 1）+f （x 2）==﹣ln （x 1x 2），设g （x ）=，则，∴列表讨论：x （0，16）16 （16，+∞）g′（x ） ﹣ 0+ g （x ）↓2﹣4ln2↑∴g （x ）在[256，+∞）上单调递增， ∴g （x 1x 2）＞g （256）=8﹣8ln2， ∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln2． （Ⅱ）令m=e ﹣（|a|+k ），n=（）2+1，则f （m ）﹣km ﹣a ＞|a|+k ﹣k ﹣a ≥0， f （n ）﹣kn ﹣a ＜n （﹣﹣k ）≤n （﹣k ）＜0，∴存在x 0∈（m ，n ），使f （x 0）=kx 0+a ，∴对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有公共点， 由f （x ）=kx+a ，得k=，设h （x ）=，则h′（x ）==，其中g （x ）=﹣lnx ，由（1）知g （x ）≥g （16），又a ≤3﹣4ln2，∴﹣g （x ）﹣1+a ≤﹣g （16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a ≤0，∴h′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴方程f （x ）﹣kx ﹣a=0至多有一个实根，综上，a ≤3﹣4ln2时，对于任意k ＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有唯一公共点．23．已知函数f （x ）=a x ，g （x ）=log a x ，其中a ＞1． （Ⅰ）求函数h （x ）=f （x ）﹣xlna 的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（x 1，f （x 1））处的切线与曲线y=g （x ）在点（x 2，g （x 2））处的切线平行，证明x 1+g （x 2）=；（Ⅲ）证明当a ≥e时，存在直线l ，使l 是曲线y=f （x ）的切线，也是曲线y=g （x ）的切线．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h （x ）=a x ﹣xlna ，有h′（x ）=a x lna ﹣lna ，令h′（x ）=0，解得x=0．由a ＞1，可知当x 变化时，h′（x ），h （x ）的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）h′（x ） ﹣ 0 + h （x ）↓极小值↑∴函数h （x ）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x ）=a x lna ，可得曲线y=f （x ）在点（x 1，f （x 1））处的切线的斜率为lna ．由g′（x ）=，可得曲线y=g （x ）在点（x 2，g （x 2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a 为底数的对数，得log a x 2+x 1+2log a lna=0， ∴x 1+g （x 2）=；（Ⅲ）证明：曲线y=f （x ）在点（）处的切线l 1：，曲线y=g （x ）在点（x 2，log a x 2）处的切线l 2：．要证明当a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线y=f （x ）的切线，也是曲线y=g （x ）的切线， 只需证明当a ≥时，存在x 1∈（﹣∞，+∞），x 2∈（0，+∞）使得l 1与l 2重合， 即只需证明当a ≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a ≥时，关于x 1 的方程③存在实数解．设函数u （x ）=，既要证明当a ≥时，函数y=u （x ）存在零点．u′（x ）=1﹣（lna ）2xa x ，可知x ∈（﹣∞，0）时，u′（x ）＞0；x ∈（0，+∞）时，u′（x ）单调递减， 又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x 0，且x 0＞0，使得u′（x 0）=0，即．由此可得，u （x ）在（﹣∞，x 0）上单调递增，在（x 0，+∞）上单调递减，u （x ）在x=x 0处取得极大值u （x 0）． ∵，故lnlna ≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t ，使得u （t ）＜0， 由（Ⅰ）可得a x ≥1+xlna ，当时，有 u （x ）≤=．∴存在实数t ，使得u （t ）＜0． 因此，当a ≥时，存在x 1∈（﹣∞，+∞），使得u （x 1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f （x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a ﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x，时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴当0＜x＜x∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，）上单调递增，不符合题意；∴f（x）在（0，x③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1∴当x＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，1∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x，0）上单调递减，不符合题意．1综上，a=﹣．25．已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）≥g（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f （x ）在[0，+∞）单调递增，∴f （x ）≥f （0）=1， 解：（2），f （x ）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x ﹣ax 2=0在（0，+∞）只有一个根， ⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a 与G （x ）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x ∈（0，2）时，G′（x ）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 当→0时，G （x ）→+∞，当→+∞时，G （x ）→+∞， ∴f （x ）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G （2）=．26．已知函数f （x ）=﹣x+alnx ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：＜a ﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f′（x ）=﹣﹣1+=﹣，设g （x ）=x 2﹣ax+1，当a ≤0时，g （x ）＞0恒成立，即f′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞0时，判别式△=a 2﹣4，①当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）＞0，即f′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数， ②当a ＞2时，x ，f′（x ），f （x ）的变化如下表： x（0，）（，）（，+∞） f′（x ） ﹣+0 ﹣ f （x ）递减递增递减综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2=1， 则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 2﹣x 1）（1+）+a （lnx 1﹣lnx 2）=2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2）， 则=﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2， 即证2lnx 1＞x 1﹣在（0，1）上恒成立，设h （x ）=2lnx ﹣x+，（0＜x ＜1），其中h （1）=0， 求导得h′（x ）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h （x ）在（0，1）上单调递减， ∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x+＞0， 故2lnx ＞x ﹣， 则＜a ﹣2成立．。
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
2018 年第 7—8 期 （总第 187—188 期）
中国数学教育
ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU
№7—8，2018 General，№187—188
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
任佩文，张 强，霍文明 （河北正中实验中学；河北省教育科学研究所；河北正定中学）
摘 要：2018 年高考数学试卷中，“圆锥曲线与方程”专题占有很大的比重 . 知识方面，命题者注 重对圆锥曲线的标准方程和基本概念进行考查，注重对利用平面图形的几何性质对圆锥曲线的方程进 行研究的考查，注重圆锥曲线与平面向量知识的综合，体现了圆锥曲线试题在高考中的基础性、全面 性和综合性 . 数学思想和能力方面，命题者重视对圆锥曲线中的核心素养——数学运算素养的考查， 重视对数形结合思想通过“以形助数”简化运算、优化思维的考查，重视向量的工具性作用在圆锥曲 线中的应用 .
表2 卷别 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 全国Ⅲ卷 北京卷 天津卷
最新-2018年高考数学试题分项版解析专题10 圆锥曲线(
2018年高考试题解析数学（理科）分项版10 圆锥曲线一、选择题:1.(2018年高考新课标全国卷理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 452.(2018年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 83. (2018年高考福建卷理科8)双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．54．(2018年高考浙江卷理科8)如图，F1，F2分别是双曲线C：22221x ya b-=(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A BC5.(2018年高考山东卷理科10)已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为6.(2018年高考安徽卷理科9)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（ ）()A ()B ()C ()D7. (2018年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -25y =1.【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.8. (2018年高考四川卷理科8)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
专题09 圆锥曲线-备战2018高考十年高考数学文分项之全景展现高考命题规律天津专版 含解析 精品
一．基础题组1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ） （A ）±2 （B ）43± （C ）12± （D ）34± 【答案】C【解析】双曲线22221x y a b -=的两条渐进线是：b y a =±。
根据题意：5c =，24a c=，从而2245a c =，22222142a ab b ac a ==⇒=±- 本题答案选C2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -相应于焦点F 的准线方程为7.2x =-则这个椭圆的方程是( )（A ）222(1)21213x y -+= （B ）222(1)21213x y ++= （C ）22(1)15x y -+= （D ）22(1)15x y ++= 【答案】D3.【2007天津，文7】设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -=Ｃ．222133x y -= Ｄ．22136x y -= 【答案】D4.【2008天津，文7】设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 （A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 【答案】B【解析】抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在轴上，排除A 、C ，由12e =排除D ，选B ． 5.【2009天津，文4】设双曲线12222=-by a x (a ＞0,b ＞0)的虚轴长为2,焦距为32,则双曲线的渐近线方程为( )A.x y 2±=B.y ＝±2xC.x y 22±= D.x y 21±=【答案】C【解析】由题意知:2b ＝2,322=c ,则可求得2=a ,则双曲线方程为:1222=-y x ,故其渐近线方程为x y 22±=.6.【2010天津，文13】已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为__________．【答案】221412x y -=【解析】7.【2011天津，文6】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42pa +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a =,所以1b =,即25c =,2c =选B.8.【2012天津，文11】已知双曲线C 1：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：221416x y -=有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F 0)，则a ＝__________，b ＝__________． 【答案】1 2【解析】∵C1与C2的渐近线相同，∴2ba=．又C1的右焦点为0)，∴c =a2＋b2＝5．∴a2＝1，b2＝4，∴a ＝1，b ＝2．9.【2013天津，文11】已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．答案2213y x -=【解析】抛物线y2＝8x 的准线为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e＝c a ＝2，故a ＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为2213y x -=.10.【2014天津，文6】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A 【解析】A考点：双曲线的渐近线11. 【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()222y 3x -+=相切得=,由2c ==,解得1,a b ==故选D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.12.【2016高考天津文数】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：(1)确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)． 二．能力题组1.【2011天津，文18】18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程. 【答案】(1) 1,2(2)22 1.1612x y +=2.【2012天津，文19】已知椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0)，点P，2)在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．【答案】（Ⅰ）e =；（Ⅱ）k =【解析】解：(1)因为点)在椭圆上，故2222152a a a b +=，可得2258b a =．于是222222318a b b e a a -==-=，所以椭圆的离心率e =． (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x0，y0)．由条件得00220022,1,y kx x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y0并整理得2220222a b x k a b=+．① 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，而x0≠0，故0221a x k -=+，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·22a b ＋4．由(1)知2285a b =，故(1＋k2)2＝325k2＋4， 即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．所以直线OQ的斜率k =3.【2013天津，文18】设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F过点F 且与x(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）22=132x y +；（Ⅱ）【解析】解：(1)设F(－c,0)，由3c a =，知a =.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x ＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝22623k k -+，x1x2＝223623k k-+.因为A(0)，0)， 所以AC ·DB ＋AD ·CB＝(x1x2，－y2)＋(x2y2)·x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝22212623k k+++. 由已知得22212623k k+++＝8，解得k ＝ 4.【2014天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程. 【答案】(1) e = (2) 22163xy += 【解析】0x c y ++=，因为点P 在椭圆上，故222212x y c c+=，消y 可得2340x cx +=，而点P 不是椭圆的顶点，故4,,33c x c y =-=，即点P 的坐标为4(,).33cc -设圆的圆心为11(,)T x y ，则114102233,,2323c c cx c y c -++==-==再由22222||||TF MF r =+得222225()(0)8339c c c c ++-=+，即23.c =所以所求椭圆的方程为22163x y +=试题解析：解(1)设椭圆右焦点2F 的坐标为（c,0）， 由12|||AB F F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则221.2c a =所以椭圆离心率为e = (2)由(1)知22222,,a c b c ==故椭圆方程为222212x y c c +=，设(,)P x y ，解得23.c =，所以所求椭圆的方程为22163x y +=考点：椭圆离心率，椭圆方程 三．拔高题组1.【2005天津，文22】抛物线C 的方程为2(0)y a x a =<，过抛物线C 上的一点000(,)(0)P x y x ≠作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点（,,P A B 三点互不相同），且满足120(0,1)k k λλλ+=≠≠-． （I ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（II ）设直线AB 上一点M ，满足BM MA λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；（III ）当1λ=时，若点P 的坐标为（1，－1），求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】证明：（I ）由于函数定义，对任意整数，有()()()()()22sin 2sin 2sin sin 2sin f x k f x x k x k x x x k x x x k x πππππ+-=++-=+-=（II ）函数()f x 在R 上可导，()'cos sin f x x x x =+ ① 令()'0f x =，得：sin cos x x x =-若cos 0x =，则sin cos 0x x x =-=，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠。
2018年高考圆锥曲线部分小题解析
圆锥曲线2018年高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。
二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =，由勾股定理得||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =（1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin p AB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ，证明：,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP =u u u r根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=-u u u r u u u r121||||4()2FA FB x x +=-+u u u r u u u r联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r故满足2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，所以,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r为等差数列设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有1212||||||||2d FA FB x x =±-=±-=u u u r u u u r代入得2,1428d d =±=± 3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r，证明2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r。
专题16 选修部分-备战2018高考十年高考数学理分项之全
一．基础题组1. 【2011新课标，理23】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x ay a =⎧⎨=+⎩ (α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.2. 【2011新课标，理24】选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解析】：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x ax a x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为a ＞0，所以不等式组的解集为{}2ax x ≤-．由题设可得12a-=-，故a ＝2. 3.【2013课标全国Ⅱ，理23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．4. 【2013课标全国Ⅱ，理24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)2221a b c b c a++≥.【解析】：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故222()a b c a b c b c a+++++≥2(a ＋b ＋c )， 即222a b c b c a ++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a++≥1.5. 【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=． （Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．6. 【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >a b c d >a b c d a b c d -<-的充要条件． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【考点定位】不等式证明．7. 【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解析】（Ⅰ）设点M (,)x y 是C 上任意一点，则由2cos ρθ=可得C 的普通方程为：222x y x +=，即22(1)1(01)x y y -+=≤≤，所以C 的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.（Ⅱ）设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，由（Ⅰ）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与垂直，所以直线GD 与的斜率相同，tan β=3πβ=，故D 点的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2. 8. 【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求的取值范围.9. 【2016高考新课标2理数】（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣求l 的斜率.【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得的斜率．【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，弦长公式【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.10. 【2016高考新课标2理数】（选修4−5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式f (x ) ＜2的解集.（I ）求M ；（II ）证明：当a ，b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣. 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得Μ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，b Μ∈时，1a b ab +<+．【考点】绝对值不等式，不等式的证明【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．10．【2017课标II ，理22】选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）2【解析】【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。
专题02 函数-备战2018高考十年高考数学理分项之全景展
一．基础题组1.【2005天津，理9】设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的的取值范围为（ ）A 、21(,)2a a -+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞ 【答案】A【解析】1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()()()21111112a f x f fx f x f a--->⇔>⇔>=。
本题答案选A12.【2005天津，理10】若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则的取值范围是（ ）A 、1[,1)4B 、3[,1)4C 、9(,)4+∞ D 、9(1,)4【答案】B【解析】记()3g x x ax =-，则()2'3g x x a =-排除A 本题答案选B3.【2005天津，理16】设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=__________。
【答案】0【解析】()()00f f -=-得()00f = 假设()0f n =因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数都有：()0f n =从而：()()()()()123450f f f f f ++++= 本题答案填写：04.【2007天津，理5】函数)2log 2(0)y x =+>的反函数是( )A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=->【答案】C 【解析】原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ，故选C5.【2007天津，理7】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数【答案】B 【解析】6.【2007天津，理9】设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<【答案】A 【解析】由122log a a =可知0a >21a ⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<.故选A7.【2008天津，理7】设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最小值为0【答案】D8.【2008天津，理9】已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a << 【答案】A【解析】5(cos )(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．9.【2009天津，理4】设函数x x x f ln 31)(-=,则y ＝f(x)（ ）A.在区间(e 1,1),(1,e)内均有零点B.在区间(e 1,1),(1,e)内均无零点C.在区间(e 1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(e1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【答案】D【解析】由于131)1(+=e ef ＞0,31)1(=f ＞0,131)(-=e e f ＜0,故函数y ＝f(x)在区间(e1,1)内无零点,在区间 (1,e)内有零点.10.【2009天津，理8】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x f .若f(2－a 2)＞f(a),则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞,－1)∪(2,+∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞,－2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】由题中的分段函数的图象知函数f(x)在R 上是增函数,则由f(2－a2)＞f(a),可得2－a2＞a,解之,得－2＜a ＜1.11.【2010天津，理2】函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B12.【2011天津，理7】【答案】C 【解析】令4.32log=m ，6.34log =n ，3103log =l ，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得 n l m >>，又∵x y 5=为单调递增函数， ∴b c a >>.13.【2012天津，理4】函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0, 1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B14.【2012天津，理14】已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩函数y=kx －2过定点(0，－2)，由数形结合： kAB ＜k ＜1或1＜k ＜kAC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜4．15.【2013天津，理7】函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，作g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．16.【2014天津，理4】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?【答案】D ． 【解析】考点：复合函数的单调性（单调区间）．17. 【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．18.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤． 综上，47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题、二次函数、基本不等式 【名师点睛】首先将()||2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围． 二．能力题组1.【2006天津，理10】已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 【答案】D范围是]21,0(,选D. 2.【2008天津，理16】设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,aa y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，的取值的集合为 . 【答案】{2}【解析】由已知得c a y x =，单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，11[,]2c c a y a --∈所以1122log 223a c c a c a a c a --⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎩≥+≥≤≤，因为有且只有一个常数符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以的取值的集合为{2}.3.【2013天津，理8】已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )．A．⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎫⎪⎪⎝⎭C．130,⎫⎛+⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭ D ．⎛-∞ ⎝⎭【答案】A【解析】f(x)＝x(1＋a|x|)＝22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩若不等式f(x ＋a)＜f(x)的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数y ＝f(x ＋a)的图象应在函数y ＝f(x)的图象的下边．由图可知，若f(x ＋a)＜f(x)的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆， 只需1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可， 则有2211112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ＜0)，整理，得a2－a －1＜0，解得1122a +<<.∵a ＜0，∴a ∈12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.综上，可得a 的取值范围是12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4. 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.5. 【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.三．拔高题组1.【2010天津，理16】设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈32，＋∞)，f (x m)－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(－∞，＋∞) 【解析】解析：原不等式可化为22x m－1－4m2(x2－1)≤(x －1)2－1＋4m2－4， 化简，得(1＋4m2－21m )x2≥2x ＋3恒成立． ∵x ∈32，＋∞)， ∴1＋4m2－21m ≥223x x +恒成立． 令g(x)＝223x x +，x ∈32，＋∞)，2.【2011天津，理8】对实数与，定义新运算 “⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f x c =-的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【答案】B 【解析】()()⎪⎩⎪⎨⎧>----≤----=12,12,2)(222222x x x x x x x x x x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤≤--=23,1,231,222x x x x x x 或 则()x f 的图象如图∵c x f y -=)(的图象与轴恰有两个公共点，∴)(x f y =与c y =的图象恰有两个公共点，由图象知2-≤c ，或431-<<-c .３.【2014天津，理14】已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】()()0,19,+∞．【解析】()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t =++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t ?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．4. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f (x )│=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）（0，23] （B ）23，34] （C ）13，23]{34} （D ）13，23）{34} 【答案】C【解析】【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)＞f（，则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<． 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．。
专题11+圆锥曲线-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(浙江专版)+Word版含解析
【考情概览】【应试策略】1.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （ii ）由（i ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆， 所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.【应试策略】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 2.如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为.（I ）求证：； （II ）求面积的最小值.【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值【解析】试题分析：（1）设，的斜率分别为，由切线条件，易得，即，由两根之积可得所以；（2），而，同理可得，即，然后求最值即可.（II）由（I）得，所以综上，当时，面积取最小值.【应试策略】圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．3.已知点1,2P t⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆22:12xC y+=内，过P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，O为坐标原点．（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；（Ⅱ）求OAB面积S的最大值．【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅱ)max2S=.【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）存在.由解得，，（或由解得，）当时，显然不符合题意；当时，设直线的斜率为，只需，即，解得，均符合题意.（Ⅱ）由（1）知的方程是，所以，【应试策略】解析几何中存在性问题的求解方法：1．通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．【真题展示】一、选择题1.【2018年，浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（ ）A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)【.答案】B【解析】∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).2.【2017年，浙江卷2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】试题分析：e ==B ． 3.【2013年.浙江卷.理9】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A ．32 D 【答案】D【解析】椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝又因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以∠F 1AF 2＝90°.所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以|AF 1|＝2-|AF 2|＝2+所以在双曲线C 2中，2c ＝2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝e ==，故选D ． 4. 【2011年.浙江卷.理8】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A）2132a =（B ）213a = （C ）212b =（D ）22b =5. 【2010年.浙江卷.理8】设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±= 【答案】C【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A. 【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其性质7.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【考点】1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．8.【2012年.浙江卷.理8】如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A ．3 B ．2【答案】B9.【2009年.浙江卷.理9】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 【答案】C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,AB BC a b e =∴=∴= 哦；。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章 第9讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析
第9讲 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以l 为垂直平分线的线段AB 所在的直线l ′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A3.若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.答案 C4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条解析 过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案 C5.已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________. 解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×128＝64. 答案 646.(2017·嘉兴七校联考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当m ＝________时，△F AB 的周长最大，此时△F AB 的面积是________. 解析 设椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ′，则F (－1，0)，F ′(1，0).由椭圆的定义和性质易知，当直线x ＝m 过F ′(1，0)时△F AB 的周长最大，此时m ＝1，把x ＝1代入x 24＋y 23＝1得y 2＝94，y ＝±32，S △F AB ＝12|F 1F 2||AB |＝12×2×3＝3. 答案 1 3第1课时 直线与圆锥曲线考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎨⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.解 (1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )， 故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎨⎧4x （x ≥0），0（x ＜0）.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)；C 2：y ＝0(x ＜0). 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).由方程组⎩⎨⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.②当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k .③ (ⅰ)若⎩⎨⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.所以当k ＜－1或k ＞12时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎨⎧Δ＝0，x 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋k －1＝0，2k ＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k ＜－1或k ＞12或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. 考点二 弦长问题【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. (1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1). (2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322. 由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m2＝1，解得m ＝±33，满足(*).∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.考点三 中点弦问题【例3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1(2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)， 显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎨⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.[思想方法]1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1或2D.0解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A3.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A.－3B.－13C.－13或－3D.±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13. 答案 B4.抛物线y ＝x 2到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728. 答案 B5.已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( ) A.52B.62C. 2D.153解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)根据对称性，得B 点坐标为 (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得k P A k PB ＝b 2a 2＝23，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝153.答案 D 二、填空题6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝17.已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________.解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 88.(2017·金华月考)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________；此弦的长为________.解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3).即3x ＋4y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －13＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得13x 2－78x ＋105＝0，x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝10513，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－342·62－4×10513＝53913.答案 3x ＋4y －13＝0 53913三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ， l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 能力提升题组 (建议用时：30分钟)11.已知椭圆x 24＋y2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A.1B. 2C.32D. 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D12.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433解析 ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.② 由①②得p ＝433. 答案 D13.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P(6，43).由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 814.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.15.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p . 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0).代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ， y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |， 从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2， 即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4.化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.第2课时 定点、定值、范围、最值问题考点一 定点问题【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1.由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点. 规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2017·杭州七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1). 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0， x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).考点二 定值问题【例2】 (2016·山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2.所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”. 故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)， 令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. ∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 考点三 范围问题【例3】 (2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H)，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF→·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k .设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64或⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练3】 (2017·威海模拟)已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A ，B 两点.记λ＝OA→·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围. 解 (1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.(3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2（2k 2＋1）2，由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23. 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，23.考点四 最值问题【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称. (1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22.规律方法 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练4】 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2， 从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.[思想方法]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. [易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]解析 Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 答案 C2.(2017·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM→|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM→·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2. 答案 B4.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(1，3]D.(1，3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x2±bax ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点， ∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2， ∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca ≥3. 答案 A5.(2017·丽水调研)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C 二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM→·AM →＝0，∴AM →⊥PM →.∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.(2017·杭州调研)若双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________；与圆相切时渐近线的方程为________.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2.当渐近线与圆相切时，b 2＝3，a 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±3x .答案 (1，2] y ＝±3x 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ). 又点P 的坐标为(0，1)，且PC→·PD →＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.。
部分-备战2018高考十年高考数学(文)分项之全景展现高考命题规律(新课标1)含解析
一．基础题组1。
【2014课标Ⅰ，文23】(本小题满分10分）选修4—4,坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）。
（I ）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与夹角为30︒的直线，交于点A ，PA 的最大值与最小值．【答案】（I ）2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩260x y +-=；（II ）最大值为2255,最小值为255.【解析】(I ）曲线C的参数方程为2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数)．直线的普通方程为260x y +-=．2. 【2014课标Ⅰ,文24】(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若0,0a b >>,且11ab ab+=(Ⅰ）求33a b +的最小值；,学z.x 科x 。
k 网(Ⅱ）是否存在,a b ,使得236a b +=？并说明文由。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）不存在． 【解析】（I 11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==等号．故33a b +≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为(II)由（I ）知，23a b +≥≥6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．3.【2011全国新课标，文23】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x ay a=⎧⎨=+⎩ （α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2。
(1）求C 2的方程;（2）在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求｜AB |。
，（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ。
射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=， 射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin3πρ=。
0圆锥曲线(热点难点突破)-2018年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破含解析
专题10 圆锥曲线(热点难点突破）2018年高考数学（理)考纲解读与热点难点突破1．已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0，8)为圆心,｜OA｜的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点,且△ABO为等边三角形，则p的值是( ) A.错误!B．2 C．6 D。
错误!【答案】D 【解析】由题意知|MA|＝|OA｜，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为错误!，又点A是抛物线C上一点,所以错误!＝2p×4，解得p＝错误!。
2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为错误!＋错误!＝1，随着a的增大该椭圆的形状（)A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆【答案】D 【解析】由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－错误!＜a＜2＋错误!,又e2＝1－错误!＝1－错误!＝1－错误!错误!。
因此当a∈(2－错误!,1)时，e越来越大，当a∈（1,2＋错误!)时，e越来越小，故选D。
3．已知F1，F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点,对于左支上任意一点P都有｜PF2|2＝8a｜PF1|（a为实半轴)，则此双曲线的离心率e的取值范围是（)A．(1,＋∞）B．(2,3]C．（1，3] D．（1，2]4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N，则错误!的最大值为( ）A。
错误!B．1C.错误!D．2【答案】A 【解析】设AF＝a，BF＝b,由余弦定理得｜AB|2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b）2－ab≥（a＋b）2－错误!2＝错误!（a＋b)2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN，∴｜AB|2≥错误! |2MN|2，∴错误!≤错误!。
5．过点A（0，1)作直线，与双曲线x2－错误!＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（）A．0 B．2C．4 D．无数【答案】C 【解析】过点A（0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条，过点A（0，1）和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．6．椭圆y2＋错误!＝1（0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m 的取值范围是( )A 。
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1. 【2008高考北京理第4题】若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】 D考点：抛物线的定义。
2. 【2013高考北京理第6题】若双曲线22221x y a b-=( )．A ．y ＝±2xB ．y =C ．12y x =±D ．2y x =± 【答案】B 【解析】c ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B. 考点：双曲线的简单几何性质.3. 【2009高考北京理第12题】椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在 椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________. 【答案】2,120︒【解析】 试题分析：∵229,3a b ==，∴c ==∴12F F =又1124,26PF PF PF a =+==， ∴22PF =，又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.考点：圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.4. 【2010高考北京理第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．【答案】 (±4,0)±y ＝0在双曲线22221x y a b-=中，c ＝4，e ＝2，∴a ＝2，b ＝±y ＝0. 考点：圆锥曲线的简单几何性质.5. 【2011高考北京理第14题】曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF 的面积不大于212a .其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③6. 【2012高考北京理第12题】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为____________. 【答案】3 【解析】试题分析：由x y 42=可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为︒60，所以直线的斜率为360tan =︒=k ，利用点斜式，直线方程为33-=x y ，将直线和曲线联立⎪⎩⎪⎨⎧-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=)332,31()32,3(4332B A xy x y ，因此33212121=⨯⨯=⨯⨯=∆AOAF y OF S ． 考点：直线与抛物线的位置关系问题.7. 【2014高考北京理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】试题分析：因为双曲线1422=-x y 的渐近线方程为x y 2±=，所以曲线C 的渐近线方程为x y 2±=，设曲线C 的方程为)0(422≠=-m m x y ，将)2,2(代入求得3-=m ，故曲线C 的方程为112322=-y x . 考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.8.【2017高考北京理第9题】 若双曲线221y x m-=则实数m =___________. 【答案】2 【解析】试题分析：221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
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的关系，即错误！未找到引用源。
，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.9.【2016高考北京理数】双曲线22221x y a b-=的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2考点：双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.10. 【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a = ．【答案】3【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.11. 【2005高考北京理第18题】（本小题共14分）如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别 交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合.【答案】 解：（I ）12{(,)|,0},{(,)|,0}.W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>（II ）直线1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,由题意得2,d = 即22222||.1k x y d k -=+ 由(,),P x y W ∈知2220,k x y ->所以22222,1k x y d k -=+即22222(1)0.k x y k d --+= 所以动点P 的轨迹方程为22222(1)0.k x y k d --+=当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(0).y mx n n =+≠由22222(1)0k x y k d y mx n⎧--+=⎨=+⎩,得222222()20.k m x mnx n k d ----= 由直线 l 与曲线C 有两个不同交点,可知220k m -≠,且2222222(2)4()()0.mn k m n k d d =+-⨯++>设12,M M 的坐标分别为1122(,),(,).x y x y 则121212222,()2.mnx x y y m x x n k m +=+=++-设34,M M 的坐标分别为3344(,),(,).x y x y 由34,,y kx y kx n nx x y mx n y mx nk m k m ==-⎧⎧-==⎨⎨=+=+-+⎩⎩及得从而3412222.mnx x x x k m +==+-所以34341212()2()2,y y m x x n m x x n y y +=++=++=+所以343412120000,.3333x x y y x x y y ++++++++== 于是12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心也重合. 12. 【2006高考北京理第19题】（本小题共14分）已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：（1－k 2）x 2－2kbx －b 2－2＝0……………………1︒依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则222212221224k b 41k b 202kb x x 01k b 2x x 0k 1⎧⎪∆∙≥⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－ 解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为213. 【2008高考北京理第19题】（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．所以212640n ∆=-+>，解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n=+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD的面积2S =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭． 所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值 14. 【2009高考北京理第19题】（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交 于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.【答案】（Ⅰ）由题意，得2a cc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,a c == ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得()222000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<，∴20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->， 设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--， ()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦22002200828203434x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90︒.化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得 ()222000344820xx x x x --+-= ① ()222000348820xy y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<， ∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴ AOB ∠的大小为90︒.（∵22002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程②的判别式均大于零）.15. 【2010高考北京理第19题】(14分) 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．(2)法一：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M 、N 的坐标分别为(3，y M )、(3，y N )， 则直线AP 的方程为y －1＝0011y x -+(x ＋1)，直线BP 的方程为y ＋1＝0011y x +-(x －1)． 令x ＝3得y M ＝000431y x x +-+，y N ＝000231y x x -+-.于是△PMN 的面积S △PMN ＝12|y M －y N |(3－x 0)＝200020(3)1x y x x -+--.又直线AB 的方程为x ＋y ＝0，|AB |＝点P 到直线AB 的距离d，于是△PAB 的面积S △PAB ＝12|AB |·d ＝|x 0＋y 0|. 当S △PAB ＝S △PMN 时，得|x 0＋y 0|＝200020(3)1x y x x -+--.又|x 0＋y 0|≠0，所以(3－x 0)2＝|20x －1|，解得x 0＝53. 因为20x ＋320y ＝4，所以y 0＝±9. 故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为(53，±9)． 法二：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 则12|PA |·|PB |sin∠APB ＝12|PM |·|PN |sin∠MPN . 因为sin∠APB ＝sin∠MPN ， 所以PA PN PMPB =.所以00001331x x x x +-=--，即(3－x 0)2＝|20x －1|，解得x 0＝53. 因为20x ＋320y ＝4，所以y 0. 故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为(53)． 16. 【2011高考北京理第19题】已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。