5角角判定
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
5角动量守恒定律
一 质点的角动量
定义角动量
L r p mr v
对O点的角动量：
Z
L
说明：
1 角动量是矢量（kg· m2· s-1）。
2 角动量对不同点是不同的。 3 角动量的方向： 2 L mr v mr ( r ) mr
孤立质点系角动量 L ri Pi 常矢量
i
M 1 M 2 r1 f 2 r2 f 2 ( r2 r1 ) f 2 r f 2
f2
r1
0
L ri Pi
X O
v
r
Y
J c (a b ) a (b c ) b (a c )
L 与 同方向
质点的角动量定理：
dp dr dp dL d ( r p ) r p r v p dt d t dt dt dt dp r mv v dt r F v v 0
dL ri F外i M dt i
牛二 + 牛三 角动量定理
合外力矩为零，质点系总角动量守恒
判断下列情况角动量是否守恒： 圆锥摆运动中,做水平匀速圆 周运动的小球m. (1)对C点的角动量 (2)对O点的角动量 (3)对竖直轴CC'的角动量
T
C
mg
O C'
例1:一质量为m的质点沿一条二维曲线运动
dL
i
质点系角动量
Fi r
·
i
i
· · r
5 角的分类和计算
5 角的分类和计算知识要点
角的分类
1.分一分：
65
度 90
度 180
度 70度 120度 170度 1度360度 45度 125度 60度
锐角直角钝角平角周角
2.判断。
（1）平角就是一条直线，周角就是一条射线。
（）
（2）一条直线长1200米。
（）
（3）两个锐角的和一定比直角大。
（）
（4）时钟在9时整时，时针和分针成直角。
（）
（5）把一个钝角平角成两个角，则这两个角都是锐角。
（）
（6）两条垂直线相交可以成4个直角。
（）
3.已知∠1=60度，求∠2的度数。
图形定义
小于
等于
大于
钝角
角的两条边成一条直线的角叫做
平角
一条射线绕着它的端点旋转一周
成的角叫做周角
4.已知∠1=60度，∠2=55度，求∠3的度数。
5.如图，求∠1的度数。
6.已知∠1=60度，求∠2、∠3、∠4的度数。
思维训练
7.如图，已知∠1=∠2=20度，求∠3、∠4、∠5的度数。
8.已知∠1=140度，你能求∠2、∠3、∠4是多少度吗？。
相似三角形判定(角角)
AD DE AE . AB BC AC
段.
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我思,我进步
思 考
分
• 例 如图4-17,D,E分别
析
是△ ABC边AB,AC上 解:(1)由上面(3)题可知:
的点,DE∥BC. A
△ ADE∽ △ABC
对应线段成比例.
如图:在△ A′B′C′中,如果DE∥BC，
那么 AD AE ;或 AD AE ;或 DB EC ;或 DB EC .
DB EC AB AC AD AE 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
AB ห้องสมุดไป่ตู้C
随堂练习
p 119
提升能力的奥秘
如果△ ABC∽ △DEF,那么
∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
AB AC BC
D
DE DF EF A
B
CF
E
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应需位要更置完整上的的资源字请到母新就世纪是教对应角的顶点！
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解:(1)
DE∥BC
∠ADE=∠B,
∠AED=∠C.
(两直线平行,同位角相等.)
D
E (2) △ ADE∽ △ABC.理由是:
∠ADE=∠B
B
C
∠AED=∠C
•
图中有哪些相等的角?
△ ADE∽ △ABC.
(两角对应相等的两个三角形相似)
• 找出图中的相似三角 (3) △ ADE∽ △ABC
形,并说明理由; • 写出三组成比例的线
D
E
AD AE . AB AC
直角三角形全等的判定(1)(PPT)5-3
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
A
A`
B
C B`
C`
② 边角边（S A S）
A
A`
B
C B`
C`
③ 角边角（A S A）
A
ห้องสมุดไป่ตู้
A`
B
C B`
C`
④ 角角边（A A S）
形病势沉重。 【病房】名医院、疗养院里病人住的房间。 【病夫】名体弱多病的人（含讥讽意）。 【病根】名①（～儿）没有完全治好的旧病：这是坐月 子时留下的～儿。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。 【病故】动因病去世。 【病害】名细菌、真菌、病度或不适宜的气候、土壤等 对植物造成的危害，如引起植物；印刷报价 印刷报价 ；体发育不良、枯萎或死亡。 【病号】（～儿）名部队、学校、机关等集体中的病 人：老～（经常生病的人）｜～饭（给病人特做的饭食）。 【病候】名中医泛指疾病反映出来的各种症候。 【病患】名①疾病。②病人；患者：救治～｜ 给～更贴心的关怀。 【病家】名病人和病人的家属（就医生、医院、房方面说）。 【病假】名因病请的假。 【病句】名在语法修辞或逻辑上有毛病的句子： 改正～。 【病菌】名能使人或其他生物生病的细菌，如脑膜炎球菌、炭疽杆菌、霍乱弧菌等。 【病况】名病情。 【病理】名疾病发生和发展的过程和原理。 【病历】名医务人员对病人的病情、诊断和处理方法的记录。 【病例】名某种疾病的实例。某个人或生物患过某种疾病，就是这种疾病的病例。 【病魔】名 比喻疾病（多指长期重病）：～缠身｜战胜～。 【病情】名疾病变化的情况：～好转｜～恶化｜～稳定。 【病区】名医院根据住院病人治疗和管理的需要所 划分的若干住院区。 【病人】名生病的人；受治疗的人。 【病容】名有病的气色：面带～。 【病入膏肓】病到了无法医治的地步，也比喻事情严重到了不 可挽救的程度（膏肓：我国古代医学上把心尖脂肪叫膏，心脏和膈膜之间叫肓，认为是力达不到的地方）。 【病弱】形（身体）有病而衰弱：年老～｜～的 身体。 【病史】名患者历次所患疾病的情况。 【病势】名病的轻重程度：服之后，～减轻。 【病逝】动因病去世。 【病榻】名病人的床铺：缠绵～。 【病 态】名心理或生理上不正常的状态：～心理｜这不是正常的胖，而是一种～◇社会～。 【病体】名患病的身体：～康复。 【病痛】名指人所患的疾病：不 堪～折磨。 【病退】动因病退职、退学或提前退休。 【病危】形病势危险：医院已经下了～通知。 【病象】名疾病表现出来的现象，如发热、呕吐、咳嗽 等。 【病休】动因病休息：～一周。 【病恹恹】（～的）形状态词。病体衰弱无力、精神委靡的样子。 【病秧子】?〈方〉名多病的人。 【病疫】名指流 行性传染病；疫病。 【病因】ī名发生疾病的原因：～尚未查明。 【病友】名称跟自己同时住在一个医院的病人。 【病愈】动病好了：～出院。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—全等三角形
∴ = ，∠ = ∠，
∵∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠，
∴ ∥ ．
考点一 全等三角形及其性质
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【对点训练1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，、相交于点，且△ ≌△ ，在上，在
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△ ≌△ ，若∠ = 50°, ∠ = 40°，则∠1的度数为
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【小技巧】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素
（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有
（
）
A．40°
Hale Waihona Puke B．25°C．15°D．无法确定
【对点训练1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ ≌△ ，∠ = 75°，∠ = 30°，则∠的
度数为（
A．105°
）
B．80°
C．75°
D．45°
考点一 全等三角形及其性质
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ ≅△ ，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若 =
第5课时 全等三角形判定角边角,角角边练习精选.
全等三角形（三）AAS 和ASA【知识要点】1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2．角角边定理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 【典型例题】例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CD例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE.例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD. 例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF.例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.AFABDC EO12 3例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？【经典练习】1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A''' . 2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 .3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ） ①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ． N M ∠=∠ B. AB=CDC ． AM=CN D. AM ∥CN5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是_________ _________。
八年级数学上册第13章全等三角形13.2三角形全等的判定5边边边说课稿华东师大版
《13。
2。
5 边边边》说课稿一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位本节内容选自华师版初中数学八年级上册第13章,本课是探索三角形全等条件的第4课时，是在学习了全等三角形的概念,全等三角形的性质后展开的。
对于全等三角形的研究，实际是平面几何对封闭的两个图形关系研究的第一步，它是两个三角形间最简单、最常见的关系，它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法。
因此，本节课的知识具有承前启后的作用,占有相当重要的地位。
（二）三维教学目标1．知识与能力目标本节课主要给学生讲解全等三角形的“SSS"判定公理，同时理解三角形的稳定性,能用三角形全等解决一些现实问题，熟悉掌握“SSS"｜的判定方法，能够自主探索,动手操作，在过程中体会到自主学习索取知识的乐趣，从而启发学生学习数学的方式，为下节课打下基础。
2．过程与方法目标通过分解三角形的各个边和角，两个三角形做对比，用问题分解法求解,探索全等三角形的全等条件，经历认知探知过程，体会挖掘知识的过程。
通过两个三角形边与角的对比发现全等三角形的判定条件“SSS”，锻炼学生分析问题，解决问题的能力。
3．情感态度与价值观培养学生勇于探索、团结协作的精神，积累数学活动的经验。
（三）重点与难点1．教学难点认识三角形全等的发现过程以及边边边的辨析.能够对运用三角形判定公理“SSS”解决三角形全等问题，对三角形其他定理的拓展与思考，了解三角形的稳定性.2．教学重点利用性质和判定，关键是学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角. 准确理解“SSS"三角形判定的公理，规范书写全等三角形的证明;二、教法与学情分析1．教法分析数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科,因此在教学中，不仅要使学生知其然,而且还要使学生知其所以然。
认识人民币简单的计算教学
总结词
人民币加法计算是日常生活中常见的数学运算，掌握加法计算方法对于
购物、支付等场景十分重要。
02 03
详细描述
人民币加法计算是指将不同面额的人民币相加，得出总金额的过程。在 进行加法计算时，需要注意不同面额人民币之间的换算关系，以及进位 和借位的情况。
例子
一张5元纸币和一张2元纸币相加，等于7元。
纸币面值
100元、50元、20元、10元、5元、1元等。
硬币面值
1元、5角、1角等。
人民币的识别
防伪标识
人民币纸币和硬币上都有防伪标 识，如水印、安全线等，可以帮 助识别真假。
颜色和图案
不同面值的人民币有不同的颜色 和图案，通过观察颜色和图案可 以判断面值大小。
02
人民币的简单计算
加法计算
01
在缴纳费用时，也需要对金额进行核 对，避免出现误差。
需要了解各种税费的计算方法和缴纳 期限，确保按时缴纳税费和其他费用 。
04
人民币的管理和保护
人民币的存储和保管
存放于干燥、阴凉处
将人民币存放在干燥、阴凉的地方，避免阳光直射和潮湿环境， 以防发霉和变色。
避免与化学物质接触
避免将人民币与香水、樟脑丸等化学物质接触，以防纸张变质和颜 色褪色。
减法计算
总结词
人民币减法计算在购物时经常用到， 通过减法可以计算找零或比较商品价 格的高低。
例子
一张10元纸币减去一张5元纸币，等 于5元。
详细描述
人民币减法计算是指从一个总金额中 减去另一个金额，得出差值的过程。 在进行减法计算时，需要注意大减小 和借位的情况。
乘法计算
总结词
人民币乘法计算在购物时也经常 用到，特别是在需要批量购买商
专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲
专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2020•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2020•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
直角三角形全等的判定(1个知识点+5大题型+18道强化训练)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第09讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+5大题型+18道强化训练）知识点01：HL 证明三角形全等定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【即学即练1】1．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，D 是AC 上一点，DE AB ^于点E ，BE BC =，连接BD ，若8cm AC =，则AD DE +等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．10cm【即学即练2】2．如图所示，已知在△ABC 中，∠C =90°，AD =AC ，DE ⊥AB 交BC 于点E ，若∠B =28°，则∠AEC =（ ）A ．28°B ．59°C ．60°D ．62°题型01 用HL 证明三角形全等1．如图，O 是BAC Ð内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE OF =，则AEO AFO ≌△△的依据是（ ）A ．HLB ．AASC ．SSSD ．ASA2．如图，AB BC ^，AD DC ^，要根据“HL ”证明Rt Rt ABC ADC ≌△△，还应添加一个条件是（ ）A ．12Ð=ÐB ．24ÐÐ=C ．AB AD =D ．AB AC=3．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，90A D Ð=Ð=°，AB DE =，若用“HL ”判定ABC DEF ≌△△，则添加的一个条件是 ．4．如图，AC AB ^，AC CD ^，要使得ABC CDA △△≌，若以“HL ”为依据，需添加条件 ．5．已知：如图，45ABC Ð=°，AD 为ABC V 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =．求证：Rt Rt BFD ACD △≌△．题型02 利用直角三角形全等的判定求角度1．如图，已知DB AN ^于点B ，交AE 于点O ，OC AM ^于点C ，且OB OC =．若54ADB Ð=°，则OAB Ð的大小为（ ）A ．15°B ．18°C ．22°D ．30°2．如图，ABC V 中，ABC Ð的平分线与AC 边的垂直平分线交于点D ，过D 作DE BC ^于点E ，连接CD ，若35BAC Ð=°，30ACD Ð=°，则DCE Ð的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．65°D ．70°3．如图，已知PA ON ^于点A ，PB OM ^于点B ，且PA PB =，50MON Ð=°，20OPC Ð=°，则PCA Ð= ．4．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．5．如图，AC 平分BAD Ð，CE AB ^，CF AD ^交AD 的延长线于点F ，在AB 上有一点M ，且CM CD =，(1)若12AF =，4DF =，求AM 的长．(2)试说明CDA Ð与CMA Ð的关系．题型03 利用直角三角形全等的判定求长度1．如图，在Rt ABC △中，90,C BAC Ð=°Ð的平分线AE 交BC 于点,E ED AB ^于点D ，若ABC V 的周长为12,BDE V 的周长为6，则AC =（ ）A ．4B ．3C ．6D ．82．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 与BC 交于点D ，DE AB ^，垂足为E ，则BE 为（ ）A ．3B ．4C ．4.5D ．53．如图，ABC V 的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ．若6cm AB =，10cm AC =，则AD 的长是 ．4．如图，在ABC V 中，DE AC ^于点D ，且AD CD =，180ABE CBE Ð+Ð=°，EF BC ^于点F ，若7AB =，1BF =，则BC = ．5．已知：如图，BAC Ð角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ．(1)求证：BE CF =；(2)若8AB =，6AC =，求BE 的长．题型04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加1．如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ^于点F ，且DE DG =，26ADG S =△，18AED S =△，则DEF V 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ^，BD 平分ABC Ð，AD CD =，4BE =，3DE =，1CE =，则ABD △的面积是（ ）A ．4.5B ．6C ．9D ．123．如图，AE 是CAM Ð的角平分线，点B 在射线AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AM ^．若23,21ACB CBE Ð=°Ð=°，则BEF Ð= ．4．如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD Ð，BC DC CE AD =^，于点E ，127AD AB ==，，则DE 的长为 ．5．如图，CB CD =，180D ABC Ð+Ð=°，CE AD ^于E ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．题型05 全等的性质和HL 综合1．如图，在ABC V 中，P 为BC 上一点，PR AB ^，垂足为R PS AC ^，，垂足为S AQ PQ PR PS ==，，，下面结论：①AS AR =；②QP AR ∥；③△≌△ARP ASP ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．如图，在等边ABC V 中，AD BC ^于D ，延长BC 到E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG AD ，于点M ，点N ，连接GN CN ，，下列结论：①ACN BCN Ð=Ð；②12GF EF =；③120GNC Ð=°；④GM CN =；⑤EG AB ^，其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图所示，在ABC V 中，P Q ，分别是BC AC ，上的点，作PR AB ^，PS AC ^，垂足分别为点R S ，，若AQ PQ =，PR PS =，QD AP ^．现有下列结论：①AS AR =；②AP 平分BAC Ð；③BRP CSP △≌△；④PQ AR ∥．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）4．如图，ABC V 的两条外角平分线AP CP ，相交于点P ，PH AC ^于点H ．若60ABC Ð=°，则下面的结论：①30ABP Ð=°；②60APC Ð=°；③2PB PH =；④APH BPC Ð=Ð．其中正确的结论是 ．（填序号）5．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，4AC =，8BC =，D 是AC 上的一点，32CD =．点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．(1)当3t =秒时，求AP 的长度；(2)当点P 在线段AB 的垂直平分线上时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ^于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？请直接写出t 的值．1．如图，在ABC V 中，AC BC =，90C Ð=°，AD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^于点E ．若1CD =，则AB 的长为（ ）A B ．1C ．2D ．22．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，AD 平分CAB Ð，交BC 于点D ，DE AB ^于点E ，且6cm AB =，则DEB V 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 3．如图， 在Rt ABC V 中，90C Ð=°，BAC Ð的平分线AE 交BC 于点E ，ED AB ^于点 D ， 若 ABC V 的周长为12，则 BDE V 的周长为 4 ，则AC 为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．84．如图，ABC V 中，ABC Ð的平分线与AC 边的垂直平分线交于点D ，过D 作DE BC ^于点E ，连接CD ，若35BAC Ð=°，30ACD Ð=°，则DCE Ð的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．65°D ．70°5．如图，在ABC V 中，延长BA 到点E ，延长BC 到点F ．,ABC EAC ÐÐ的角平分线,BP AP 交于点P ，过点P 分别作,PM BE PN BF ^^，垂足为,M N ，则下列结论正确的有（ ）①CP 平分ACF Ð；②2180ABC APC Ð+Ð=°；③2ACB APB =∠∠；④PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，CA AB ^，垂足为点A ，8AB =，4AC =，射线BM AB ^，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 运动t 秒时，DEB V 与BCA V 全等．则符合条件的t 值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，1,AC BC AD ==是BAC Ð的平分线且交BC 于点D ，DE AB ^于点E ，则BDE V 的周长为 ．8．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC Ð，AD CD =，DE BC ^，垂足为点E ，ABD △的面积为38，BCD △的面积为50，则CDE V 的面积为 ．9．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，222AC BC AB +=，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð，若3CE =，15AB =，则四边形ABDE 的面积是 ．10．如图，在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ^，180ACE BCE Ð+Ð=°，EF BC ^交BC 于F ，8AC =，12BC =，那么BF = ．11．如图，在ABC V 中，AB AC =，过点A 作AD BC ∥，连接DC ，点E 是AB 边上一点，DE DC =，过点D 作DF AC ^于F ，若6BE =，则AF = ．12．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．13．如图，CB CD =，180D ABC Ð+Ð=°，CE AD ^于E ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．14．如图，180CB CD D ABC CE AD =Ð+Ð=°^，，于E ，CF AB ^交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若82AE DE ==，，求AB 的长．15．如图，四边形ABDC 中，90D ABD Ð=Ð=°，点O 为BD 的中点，且OA 平分BAC Ð．(1)求证：OC 平分ACD Ð；(2)求证：OA OC ^；(3)猜想AB 、CD 与AC 的关系，并说明理由．16．如图，四边形ABCD 中，90B Ð=°，连接对角线AC ，且AC AD =，点E 在边BC 上，连接DE ，过点A作AF D E ^，垂足为F ，若AB AF =．(1)求证：①DAC FAB ÐÐ=；②DF CE EF =+；(2)若AB BC =，20CDE Ð=°，求CAF Ð的度数．17．图，已知CD BE =，DG BC ^于点G ，EF BC ^于点F ，且DG EF =．(1)求证：DGC EFB ≌△△；(2)OB OC =吗？请说明理由；(3)若30B Ð=°，ADO △是什么三角形？18．已知：点P 为EAF Ð平分线上一点，PB AE ^于B ，PC AF ^于C ，点M 、N 分别是射线AE 、AF 上的点，且PM PN =．(1)当点M 在线段AB 上，点N 在线段AC 的延长线上时（如图1）．求证：BM CN =；(2)在（1）的条件下，求证：2AM AN AC +=；(3)当点M 在线段AB 的延长线上时（如图2），若:2:1AC PC =，4PC =，则四边形ANPM 的面积为_______．。
直角三角形5度角对应的边的长度
直角三角形5度角对应的边的长度直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
在这种三角形中，我们可以利用三角函数来计算各个边的长度。
本文将讨论一个非常特殊的直角三角形，它的一个角度只有5度，我们将会计算这个角度对应的边的长度。
首先，我们需要确定这个三角形的大小。
假设这个三角形的直角边为1个单位长度，那么我们可以使用三角函数来计算斜边和另一条边的长度。
首先，我们需要计算这个角度的正弦值。
正弦是一个三角函数，它表示对边与斜边的比值。
因此，我们可以使用以下公式来计算这个角度的正弦值：sin(5) = 对边 / 斜边我们可以将这个公式简化为：对边 = sin(5) ×斜边接下来，我们需要计算斜边的长度。
斜边是三角形中最长的一条边，它的长度可以使用勾股定理来计算。
勾股定理表示直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
因此，我们可以使用以下公式来计算斜边的长度：斜边 = 直角边 + 另一条边我们已经知道直角边的长度为1，那么我们只需要计算另一条边的长度即可。
我们可以使用以下公式来计算另一条边的长度：另一条边 = √(斜边 - 直角边)将这个公式代入勾股定理中，我们可以得到：斜边 = 1 + 另一条边斜边 = 1 + 另一条边另一条边 = 斜边 - 1另一条边 = √(斜边 - 1)现在，我们可以将这个公式代入之前的公式中，计算出对边的长度。
我们有：对边 = sin(5) ×斜边对边 = sin(5) ×√(斜边 - 1)我们可以使用计算器来计算这个式子，得到对边的长度为0.0875个单位长度。
因此，这个角度对应的边的长度为0.0875个单位长度。
这个结果非常小，但是它确实是正确的。
我们可以使用三角函数来计算任何角度对应的边的长度，无论这个角度有多小或多大。
这种计算方法在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
总之，我们在本文中计算了一个5度角对应的边的长度。
这个计算过程涉及到了三角函数、勾股定理等数学知识。
5角、角的比较
角、角的比较一、内容及要求：角的概念，平角、周角的概念，角的相等和大小，角的和、差概念，角的平分线二、技能要求1、会比较角的大小，理解角的和差概念，掌握角平分线的概念。
2、会用直尺、圆规、刻度尺、三角板、量角器等工具画角，角的和差及角的平分线。
3、逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语句，能由这些语句准确，整洁地画出图形。
认识学过的图形，会用语句描述这些简单的几何图形。
三、例题精选例1．如图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来，以D为顶点的角有几个？把它们表示出来。
解：以B为顶点的角有3个，分别是∠ABD、∠CBD、∠ABC。
以D为顶点的角有4个，分别是∠ADE、∠EDC、∠CDB、∠BDA。
注意：（1）也可以在靠近顶点处加上弧线，标明数字或希腊字母，然后用数字或希腊字母表示。
（2）以D为顶点的角在图形中只有4个，因为除非特别注明，所说的角都是指小于平角的角，所以以D为顶点的4个平角不能算数，即不能说以D为顶点的角有8个。
例2．已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线有多少个角呢？分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。
其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。
这样可得到5×4个角，但这些角中，每个角都重复了一次，如∠AOB与∠BOA重复，∠BOC与∠COB重复……，所以，这5条射线共组成角的个数为×5×4=10。
同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101条，构成的角的个数为×101×100=5050。
解：当在∠AOE的内部从顶点O引出3条射线时，共有×5×4=10个角。
当引出99条射线时，共有×101×100=5050个角。
注意：从例2的分析求解过程中，可以得到这样一个规律，有公共顶点的几条射线，所构成的角的个数，一共是n(n-1)个。
5角的度量
1°
认识量角器
量角器的外刻度 量角器的90 °刻度线
量角器的中心 量角器的内刻度 量角器的0 °刻度线
研究量角的方法
1
1.把量角器放在角的上面；使量角器的中心和角的顶点重合； 2.零度刻度线和角的一条边重合。
研究量角的方法
1
1.把量角器放在角的上面；使量角器的中心和角的顶点重合； 2.零度刻度线和角的一条边重合；
复习
1平角= （ 2 ） 直角=（ 180 ）° 1周角=（ 2 ）平角=（ 360 ）°
下面三个角中，哪个角最小？
四年级数学上册
共同确定研究目标
同学们已经会量长度，称重量，请 大家想一想，要度量角的大小，量前应 该考虑哪些问题？
认识 1°有多大
把半圆平均分成 180 等份，每一份 所对的角是 一度 。记作 “ 1° ” 。
练习量角
下面三个角中，哪个角最小，哪个角最大？
课堂总结
1.你会描述角是什么样的图形吗？
2.你了解什么叫一度吗？
3.通过这节课，你学到了什么？
3.角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
判断对错。
这个角是80 °
判断对错。
这个角是110 °
判断对错。
这个角是40 °
观察与思考
角的大小与度数吗？并说明原 因。
说一说
先估一估，再说出这两个角的度数。
中心对顶点,零线对一边 另边读度数,内外要分清 0在外读外，0在内读内
三角形全等的判定角边角角角边
——洪水未到先筑堤,豺狼未来先磨刀. 一只野狼卧在草上勤奋地磨牙,狐狸看到了,就对它说:天气这么好,大 家在休息娱乐,您也加入我门队伍中吧!野狼没有说话,继续磨牙,把它的牙 齿磨得又尖又利.狐狸奇怪地问道:森林这么静,猎人和猎狗已经回家了,老 虎也不在近处徘徊,又没有任何危险,你何必那么用劲磨牙呢?野狼停下来回 答说:我磨牙并不是为了娱乐,你想想,如果有 一天我被猎人或老虎追逐,到 那时,我想磨牙也来不及了.而平时我就把牙磨好,到那时就可以保护自己了.
三. 已知 如图,△ABC ≌△A’B’C’,AD、
A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’的高.
试说明AD＝ A’D’ ,并用一句话说出您的发
现.
A
A’
B
D C B’
D’ C’
全等三角形对应边上的高也相等.
4、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、 ∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试
来 表 达
AB=A′ B′ ∠B=∠B ′
呢
∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）
?
探索 二
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF, △ABC和 △DEF全等吗?为什么?
分析 能否转化为ASA?
证明 ∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E[已知]
∴∠C=∠F[三角形内角和定理] 在△ABC和△DEF中
B A′
B′
观察 △A B′ C′ 与′ △ABC 全等吗?怎么验证?
思考 这两个三角形全等是满足哪三个条件?
结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等[ASA].
两角及夹边对应相等的两个三角形全等[ASA].
数学 5角的初步认识-课件
认识角
苏教版 数学 二年级 下册
1.使学生联系生活，初步认识角，知道角的各部分名称，能正确 指出物体表面的角，能在平面图形中辨认出角。 2.使学生通过观察和操作认识到角的大小，直观区分角的大小。 3.使学生在认识角的过程中，进一步体会数学与生活的密切联系， 增强学生动手操作的能力，激发学习数学的兴趣。
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
【重点】掌握角的各部分名称及特征。 【难点】能够直观区分角的大小。
这些图形都是角。
边
顶点
1
边
记作： 1 读作：角1
角有一个顶点和两条边。
怎样才能画出一个角呢？
从一个点起，用尺子向不同的方向画两条射线， 就画成了一个角。
画角时，要牢记，先画顶点，后画边。
把两根硬纸条钉在一起，做成一个活动角。 你能把这个角变大一些吗？
最小
最大
4 判断。
⑴ 角的边越长，角就越大。 ( × ) ⑵ 角的开口越大，角就越大。 ( √ ) ⑶ 一个角只有两条边，一个顶点。 ( √ )
我 是 一 个 小 小 角， 一 个 顶 点 两 条 边。 画 角 时 ， 要 牢 记， 先 画 顶 点 再 画 边。 想 知 我 的 大 与 小， 只 看 张 口 不 看 边。
1.比一比，说一说，下面的角与三角尺上的哪个角一样大？
2.拿一张纸，折出大小不同的角。
数阅
学读
使使
人人
精充
Hale Waihona Puke 细实；；博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
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用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
A
A´
C
B´
C´
如果两个三角形有一个内角对应相等，那么 这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
相似三角形判定方法
1、（平行法）平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2、SSS（判定1）三组对应边的比相等的两个三角
底角相等
A
A'
B'
C'
B
C
第 二 种 情 况
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
顶角与底角相等
A'
B'
C'
B
C
第 三 种 情 况
两三角形不相似
3、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
分析：已知相似的什么 条件？还差什么条件？
先证 △ADB∽△AEC
4.已知DE ∥BC 且∠1=∠B ，则 图中共有 4 对相似三角形。
D
A E 1
B
C
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∵ DE∥BC ∵ ∠EDC=∠DCB， 又∵ ∠1=∠B ∴△DEC∽△CDB
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴△ADE ∽△ACD（相似的传递性）
5.找出图中所有的相似三角形
C
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
A
你能写出对应边的比例式吗?
形相似。
3、SAS（判定2）两组对应边之比相等且夹角相等的 两个三角形相似。
4、AA（判定3）两角对应相等的两个三角形相似。
基础演练
A’
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
A
C
D A B
(1)
C B’ A’
C’
相似
(2) 相似
D
A
E
E C
B
(3) 不相似
C
B’
C’
B
(4) 相似
基础演练
2、根据下列条件,判断△ABC和△A’B’C’是否 相似,并说明理由: (1)∠A=35°,AB=12cm,AC=15cm, 相似 ∠A’=35°,A’B’=36cm,A’C’=45cm, (2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm, 相似 A’B’=20cm,B’C’=25cm,A’C’=40cm. (3)∠A=105°, ∠B=15°;∠A’=105°, ∠B’=15° ∠B’=60° 相似
例1.如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,
求证:PA ▪ PB = PC▪PD
A D B C
▪ O
P
变式：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结 论还成立吗？ A
PA ▪ PB = PC▪PD ?
C
O
B P D
1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C
求证：DA·AC=AB·AE 证明： ∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AC :AE=AB :AD ∴ DA · AC=AB · AE
B C E A
D
2、判断题： ⑴ 所有的直角三角形都相似 . ⑵ 所有的等边三角形都相似. ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似. ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ×） （√ ） （√ ）
（
×）
顶角相等
底角相等
顶角与底角相等
顶角相等
A
A'
B'
C'
B
C
第 一 种 情 况
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
已知：在△ABC 和△A´B´C´中, ∠A=∠A', ∠B'=∠B 求证： Δ A'B'C'∽Δ ABC
D 证明：在线段 A'B （或它的延长线 ' 上）截取A'D AB，过点D再做 B´ DE ∥ B 'C '交A'C '交于点E E C´
A´
A
B
C
(AA)判定定理3：
两角对应相等，两三角形相似。
回顾： 相似三角形的判定方法有几种？
（判定1）1、平行判定法
A型
X型
（判定2）2、三边判定法(SSS) 三边对应成比例的两个三角形相似. （判定3） 3、两边及夹角判定法(SAS)
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
问题引入：
观察两副三角尺，（30°与60°)两个三角尺大小可能 不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角 形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
结论： ΔACD∽Δ CBD CD2=AD ·DB ΔACD ∽Δ ABC AC2=AD ·AB
A C B C A B C D
D
B
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
ΔBCD ∽Δ ABC BC2=BD ·AB
Байду номын сангаас
A 6
B
2
D
C
6、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC=
两个三角形相似。 4、AA（判定3）两角对应相等的两个三角形相似。
二、相似常应用于： 1.求线段长
2.证明等积式
三、母子相似定理的4个等积式
18
4 √2 12√2
AB2=AD ·AC BD2=AD ·DC
BC2=CD ·AC
一、相似三角形判定方法
1、（平行法）平行于三角形一边的直线与其他两边(或
两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2、SSS（判定1）三组对应边的比相等的两个三角 形相似。
3、SAS（判定2）两组对应边之比相等且夹角相等的